数度衍卷一

数度衍卷一

桐城　方中通　撰珠算加法【一曰上法】一上一，一下五去四，一退九进一十【进一位，上一子非専指一十数也】二上二，二下五去三，二退八进一十。三上三，三下五去二，三退七进一十。四上四，四下五去一，四退六进一十。

五上五　五退五进一十六上六，六上一去五进一十，六退四进一十七上七，七上二去五进一十，七退三进一十八上八，八上三去五进一十，八退二进一十九上九，九上四去五进一十，九退一进一十。式有物一十二又五十四，问共若干？曰六十六。术：一上一，二上二，此即一十二也。大在左前，小居右后，故一十在左而二在右也。五上五与一十同位，四下五去一与二同位，此加五十四在一十二之上也。合为六十六矣。

减法【一曰退法】一退一，一退十还九【左位退一子，本位上九】一上四退五，二退二，二退十还八，二上三退五。三退三，三退十还七，三上二退五。四退四，四退十还六，四上一退五。

五退五　五退十还五六退六　六退十还四七退七　七退十还三八退八　八退十还二九退九　九退十还一式有物六十六，内欲减去五十四，尚余若干？曰一十二。术置六十六于盘中，五退五在六十位上，四上一退五在六位上，六十退去五十，存一十六，退去四，存二，所余为一十二矣。

因乘法一一如一一二如二　二二如四一三如三　二三如六　三三如九一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六。一五如五，二五一十，三五一十五，四五二十五。五二十五。一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九。一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四。一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。术曰：一位曰因，二位曰乘。有法，有实，以法乘实为所求数也。然法实亦可互用，故曰相乘。一位法者，相因得数而己法二位以至多位者，自左向右，用第二位法起，诸位法毕，然后乘法首位也。以法乘实，先乘实右末位，向左逐位遍乘，乘毕而实数即变为所求数矣。有防尾乘、破头乘皆不适用，故不录。因式有三百六十五人，毎人八两，问共若干？曰：二千九百二十两。术：以三百六十五人为实，列盘左，以八两为法，列盘右。先以八乘实末寅位五，曰五八得四十，变寅位五为四。次以八乘丑实六，曰六八四十八，变丑位六为四，加八于寅位四上，曰八，退二进一十，则寅位之四又变为二，丑位之四曰一，下五去四又变为五。次以八乘子实三，曰三八二十四，变子位三为二，加四于丑位五上为九。乘毕，得二千九百二十两也。通曰：凡左右相乘，必有二位数，曰防十防。今如一位法者，十当在本位，零当在下位也。本位者，所乘实数之位也；下位者，仅下所乘实数一位也。如八乘五，则五为本位，得四十，则四当在五位上也。八乘六，则六为本位，得四十八，则四当在六位上，八当在下位也。八乘三，则三又为本位矣。因乘式有三百六十五人，毎人一十二两，问共若干？曰：四千三百八十两。术：以三百六十五人为实，一十二两为法。先以第二位乙法二乘寅实五，曰二五一十一，在夘位。然后以法首一乘寅实五，曰一五，如五五加在夘位一上为六。次以乙法二乘丑实六，曰二六一十二一，在寅位二加在夘位六上为八。以甲法一乘丑实六，曰一六，如六六加在寅位一上为七。次以乙法二乘子实三，曰二三如六六加在寅位七上七变为三而丑位上一矣，以甲法一乘子，实三曰一三，如三三加在丑位一上，为四，得四千三百八十两也。通曰：凡因乘多位，先用第二位法乘起者，曰防十。防十当在本位之下位零，又在下位之下也。挨次退右，留本位以待法首变之耳。如乙法二乘寅实五，得一十，则一当在夘位也。甲法一乘寅实五，得五，五乃零数，当在下位之下，故亦在夘位上也。盖以寅为本位之时，则夘为下位，辰为下位之下也；以丑为本位之时，寅为下位，夘为下位之下也。

因乘定位法式三百六十五人，毎人一十二两，共得四三八，问四为何数？曰千数术通曰：以法首齐实首，布列甲子同位，乙丑同位，从丑下一位呼实首，百是寅位为百矣，向左推。去丑为千位，遇变后得数之始而止。今变后之首，在丑，即知四为千也，但法末必单数乃可，如今一十二两是。也若一两二钱，或一百二十两，则不同矣，总以单数为率，下则顺推，上则逆推，可耳。又术通曰：视得数之首，在实之何位？上今在实之十位上，又视法有防位，今有二位，当以十升二位，曰百，曰千，亦知为千也。

定身因乘法式有三百六十五人，毎人一十二两，问共若干？曰：四千三百八十两。术：置实数，以法一十二除，首一不用，以乙二为法。先以法二乘寅五，曰：二五一十，加一于寅为六，不在下位矣。次以法二乘丑六，曰：二六一十二，加一于丑六为七，加二于寅六为八。次以法二乘子三，曰：二三如六加六于丑，七变七为三，变子三为四，合问。通曰：「凡法，首遇一者用之。其在位实数，即作甲法之乘数矣。多位法者，以乙法为首，从丙法乘起。粟布章，斤求两，用身加六。」

归除法一二一添作五　逢二进一十三一三，余一；三二六，余二；逢三进一十。四一二余二，四二添作五，四三七余二，逢四进一十。五、一倍作二，五、二倍作四，五、三倍作六，五、四倍作八，逢五进一十。六一、下加四，六二、三余二，六三、添作五，六四、六余四，六五、八余二，逢六进一十。七一下加三，七二下加六，七三、四余二，七四、五余五，七五、七余一，七六、八余四，逢七进一。十八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五、六余二，八六、七余四，八七、八余六，逢八进一十。九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八，逢九进一十。术曰：一位曰归，二位曰除【一曰混归】有法，有实，以法除实，得所求数也。一位法者，止用归法；多位法者，法首归得某数，次法乘其数而除实。自左向右，以逐位法除实，实亦自左向右挨次除之。除毕一遍，又以法首归之，次法除之，以实尽为度，变后数即所求数也。又有无除撞归二法。诀曰：惟有归除法最奇，将身归了次除之。有归若是无除，数起一还，将原数施。若遇本归归不得，撞归之法不须迟，俱详后。通曰：「二与五，四与二十五，因归皆可互用。又三与六可当一十八，四与六可当二十四。凡数之相通者甚多，亦在乎熟之而已。」归式有银二千九百二十两，八人分之，问各若干？曰：三百六十五两。术：以二千九百二十两为实，八人为法，以法八归子实二，曰八二下加四。将子实二不同，丑九加四，曰四下五去一，此用梁上之上一子也。丑九变为十三，盖不用四退六进一十者，归后数上止可加归得数，不可加余实也。次以法八归丑十三，曰逢八进一十于子位，归后二。上加一为三，丑实存五，又以法八归丑五，曰八五，六余二，丑五变为六，寅二加二为四，乃以法八归寅四，曰八四，添作五，寅四变为五，而实尽矣，得三百六十五两也。通曰：凡曰下加、曰余、防皆归后而有余实也。如今八人分二千两，各得二百，共去实一千六百，存实四百，故曰八二下加四也。又如今之八五，六余二，乃八人分五百，各得六十，共去四百八十，而存实二十也。凡曰添作防，乃归实无余者也。如今八四添作五，乃八人分四十两，各得五两，而实尽也。凡曰进防十者，乃实内满防归之数也，满一遍进一十，满二遍进二十。如今八归曰逢八进一十，乃一千三百之内有一回八百，各得一百，故曰进一也。进在实前，余在实后，归变本实，切勿错位。归除式有银四千三百八十两，三百六十五人分之，问各若干？曰一十二两。术：以四千三百八十为实，三百六十五为法，先以法首三归实首四，曰逢三进一十于子位，上一丑减三，存一，乃以乙法六乘归后子一，曰一六，如六于寅位，除六，曰六，退十还四，抹去丑一，寅三加四为七，又以丙法五乘归后子一，曰一五，如五于夘八，除五，存三，而法位毕矣。第二遍再以法首三归寅位存实七，曰逢六进二十于丑上二，寅减六，存一，乃以乙法六乘第二遍归后丑二，曰二六一十二，于寅除一夘除二，又以丙法五乘第二遍归后丑二，曰二五，一十，于卯除一，而法位又毕矣。实未尽，则又用前法；今实巳尽，得一十二两也。通曰：凡归数，即变实之本位。除数当除实之下位。本位者，归后数所在之位也。除实之下位者，即本位之下一位也。此与本实不同，本实有时即本位，有时乃本位之下位也。除之十数在下位，而零数又在下位之下也。如法三归实四，曰逢三进一，十四为本实，进在实前，故所归之一当在四前子位也，而本实之四变为一矣。一在子上，则子为本位也。乙法六乘归数除实，曰一六如六，此零数也，故于寅除六。此子为本位，而寅为下位之下耳。若第二遍乙法除实曰二六一十二，则于寅除一，夘除二矣，此丑为本位也。

无除法一归起一还一，二归起一还二【至九归起一还九】式有银一百零八两，二十七人分之，问各若干？曰：四两。术置银为实，人为法，以法首二归实首一，曰二一，添作五，变子为五，乙法七当乘归数五为三十五，于丑寅内除之，而丑位无实可除，今乃二归，曰起一还二，起子位归数五内之一，改五为四，而还丑位二为存实。肰后以乙法七乘归数四，曰四七二十八，于丑除二十，寅除八，实尽，得四两也。通曰：凡起防还防者，归后之一子，即当其防归之数也。如今二归曰二，一添作五，是五内一字当二子也。故起一即还二矣。夫起一者，如毎人不可得五，止可得四耳。

撞归法见一无除作九一，见二无除作九二【至见九无除作九九】式有银二百一十六两，二十四人分之，问各若干？曰九两。术：置银为实，人为法，以法首二归实首二。若用逢二进一十，则乙法之一四如四丑一数不足除矣。此乃二归，曰见二无除作九二，变子二为九，加二于丑一为三，然后以乙法四乘归数九，曰四九三十六，于丑除。

三十寅除六实尽得九两也通曰：「凡撞归者，皆不可得。十止可得。」九也，法实首数同，而次实少于次法。

者用之盘梁上有三子始便除归定位法式：三百六十五人，分四千三百八十两，得一二。问：一为？何数曰十？数术通曰：「以法布列实左」。法末，仅在实首四之上位，从列法首。之子位呼，实首千数，顺右而下，丑为。百寅为十，遇变后得数之首位而止。今变数首，一在寅，即知一为十数也。但法末必单数，乃可如五个半人，则须除去半人不列位矣。如三百六十人，又须列○作一位矣。又术通曰：视得数之首在实之何位，今在实之千前一位，乃万位也。又视法有防位，今有三位，当以万降三位，曰千，曰百，曰十，亦知一为十也。

定身归除法式有银九十一两，一十三人分之，问各若干。曰：七两。置银为实，人为法，以法首一除去不用，止用乙法三于实首九内存身减之，当存七，乃以法三乘七，曰三七二十一，于子实内存七外减二十，又减丑一，实尽合问。通曰：「凡存数有定，非可随意而存也。如今式。」子九内存八则，下无二十四可减，存六则，减一十八，外余实又多，故定于七也。法首遇一，用此粟布章两求斤，用减六，存身。

商除法式有银三千零一十五两，六十七人分之，问各若干？曰：四十五两。术：置银为实，人为法。以法首六十于实首三千内商，有防回。今商四十，是有四十回六十也。即以法首六乘所商四，为二十四，于子除二，丑除四，曰四。退十还六，共除二。千四百，以乙法七乘所商四，为二十八，于丑除二，寅除八，曰八，退十还二，又除二百八十余，实三百三十五。次以法六十，于三百内商有防回，今商五，是有五回六十也。以法首六乘次商五，为三十，于丑除三，又除三百。以乙法七乘次商五，为三十五，于寅除三，夘除五，又除三十五，实尽，合问。通曰：「凡商数有定，如今初商五十，则实不足除；次法商三十，则实余太多。故定当四十耳。若论盘中变位得数，法首多于实首者，列商数于实左一位；法首少于实首者，列商数于实左隔一位，挨次商列，即得变数。」

折半法式有银六十四两，八人分之，问各若干？曰：八两。术：置法实，以法八折半为四，实六十四折半为三十二，又以法折半为二，实折半为一十六，再以法折半为一，实折半为八。法折至一数而止，即存实八为各得数也。凡法遇偶数者，可用此。

乘除防法【即金蝉蜕殻】因乘诀曰：起双下，加倍，见一只，还原，倍一，挨身上，余皆隔位迁。归除诀曰：加双下，除倍，加一下，除原陪一，挨身除，余皆隔位迁。乘式有米三石五斗，毎斗价银七分，问共银若干？曰二两四钱五分。术：置米为实，以价七分为原数，倍得一钱四分为倍数，先于实末五斗上呼起双，下加倍起去二斗，挨身上一钱，次位上四分，再起二斗，挨身上一钱四分，却呼见一只，还原起去一斗，隔位上七分，次于三石上呼起双，下加陪起二石，挨身上一两四钱，却呼见一只，还原起一石，隔位上七钱，合问。又式有布五十七疋，毎疋价银二钱五分，问共银若干？曰：一十四两二钱五分。术：置布为实，以价二钱五分为原数，倍得五钱为倍数，先于实末七疋内起三个二疋，挨身上三个五钱，又起一疋，挨身上二钱五分；次于五十疋内起两个二十疋，挨身上两个五两，又起一十疋，挨身上二两五钱，合问。通曰：「前式价是分，倍是钱，则倍数挨身上；原数隔位上。后式价是钱，倍亦是钱，故倍数原数俱挨身上。」除式有钱二千二百五十文给九十人，问毎人若干？曰：二十五文。术：置钱为实，以九十人为原数，倍得一百八十人为倍数，先于实首二千前挨身呼加双下除，倍除实一千八百余，实四百五十；次于四百前挨身呼加双下除，倍除实一百八十，又呼加双下除，倍除实一百八十，再呼加一下除，原隔位除九十，合问。又式有油四百二十斤，毎油七斤半换豆一斗，问共换豆若干？曰五石六斗。术：置油为实，以七斤半为原数，倍得一十五斤为倍数，先于实首四百前加两个双，除两个一百五十斤，又加一除七十五斤，次于余实四十五斤前加三个双，除三个一十五斤，合问。通曰：又有二句，除诀曰：「有除隔位进，无除挨身进。」止用原数，从实前隔一位起，毎上一子，除一遍，原数乘法则，毎抺去实尾一子，挨身上一遍，原数不足为法，姑附于此。

流法乘式有田九百八十一畆，毎畆一分八厘九毫，问共若干？曰：一十八两五钱四分零九厘。术：先以法一分八厘九毫衍定，遇一曰一八九，遇二曰三七八，遇三曰五六七，遇四曰七五六，遇五曰九四五，遇六曰一十一三四，遇七曰一十三二三，遇八曰一十五一二，遇九曰一十七零一，乃从实末因之，遇某数即用某诀，有十字者破本身起，余皆挨身一位起也。除式有银一十八两五钱四分零九毫，派在九百八十一畆，问毎畆若干？曰一分八厘八毫九丝九不尽。术：先以法九百八十一畆衍定。遇一曰一零一九三六七，遇二曰二零三八七三五，遇三曰三零五八一零三，遇四曰四零七七四七一，遇五曰五零九六八三九，遇六曰六一一六二零七，遇七曰七一三五五七五，遇八曰八一五四九四三，遇九曰九一七四三一。一亦从实末因之，遇某数用某诀，挨身一位起也。通曰：「法数有定者，方可用此。然止乘可用，除则不尽也。」

乘除新法归除诀曰：进一空除原【实首多等于原数及少于半数者用此】进二空除倍【实首多等于倍数及少于半数者用此】进二随除倍【实首少于半数而倍数首一者用此】进五空除半【实首有余而原数首一者用此】进五随除半【实首多等于半数者用此】因乘诀曰：除一空加原【实尾正一数者用此，有时隔一位加原数】除二空加倍【实尾二三四数者用此，有时隔一位加倍数】除二随加倍【实尾二三四数而倍数首一者用此】除五空加半【实尾五六七八数而原数首一者用此】除五随加半【实尾五六七八数者用此】除式通曰：有银八十七两二钱四分二厘，四人分之。以银八七二四二为实数，以人四为原数，加倍得八为倍数，以人四折半得二为半数。列定从左除起，视实数左首多于倍数或等于倍数，当用进二空除倍，乃于实左空一位上二，于实首除倍数八。再视余实左首少于倍数或多等于原数，当用进一空除原，乃于实左空一位上一，于余实首除原数四。再视余实左首少于原数或多等于半数，当用进五随除半，乃于实左位上五，不须空位，于余实首除半数二。再视余实左首少于半数，亦当用进一空除原，乃于实左位上一，不须空位，但于余实左首向右退一位除原数四。再视余实首等于倍数，当用进二空除倍，再视余实首等于原数，当用进一空除原，再视余实等于半数，当用进五随除半。实数除尽，毎人分得二十一两八钱一分零五毫。此式先用进二空除倍，次用进一空除原，次用进五随除半，余实首一二作一十二，亦可用进二空除倍，乃于余实左位上二，不须空位，但于余实左首向右退一位除倍数八，次用进一空除原，次又用进一空除原，次用进五随除半，亦合。乘还原式通曰：以毎人分得银二一八一零五为实数，其倍数原数半数俱如前不动，从右乘起，视实右尾过五以上，当用除五，随加半，乃于实尾去五，随下位加半数二，不须空位；再视余实尾止一数，当用除一，空加原，乃于余实尾去一，空一位加原数四；再视余实尾过五，当用除五，随加半，乃于余实尾去五，随下位加半数二；再视余实尾过二，当用除二，空加倍，乃于余实尾去二，空一位加倍数八；再视余实尾止一数，当用除一，空加原，乃于余实尾去一，空一位加原数四；再视余实尾止一数，当用除一，空加原，乃于余实尾去一，空一位加原数四；再视余实满二，当用除二，空加倍，乃于余实尾去二，空一位加倍数八，共得八十七两二钱四分二厘。原首一数除式通曰：有银四十五两六钱为实数，一十二人分之为原数，倍数二四，半数六；视实首多于倍数，用进二空除倍；再视余实多于原数，用进一空除原；再视余实多于倍数两倍以上，而原首系一数，此为实数有余，当用进五空除半，须空一位除之；再视余实多于倍数，当用进二空除倍；再视余实等于原数，当用进一空除原，毎人分得三两八钱。乘还原式，通曰：「以三八为实，倍原半，如前实尾过五，系原首。遇一者，当用除五空加半；余实尾过二，用除二空加倍；余实尾止一数，用除一空加原；余实尾过二，用除二空加倍；余实止一数，用除一空加原。共得四十五两六钱。」倍首一数，除式通曰：有银四十一万三千三百二十六两二钱八分四厘为实，数七千三百五十六人分之为原数，倍数一四七一二，半数三六七八，实首多于半数，用进五随除，半余；实首多于半数，用进五随除，半余；实首多于原数，用进一空除，原余；实首少于半数，用进一空除，原余；实首多于半数，用进五随除，半余；实首多于倍数，系倍首遇一者，当用进二随除，倍不空位，余；实首少于半数，用进一空除，原余；实首多于半数，用进五随除，半余；实首多于倍数，用进二随除，倍余；实等于倍数，亦用进二随除，倍；毎人分得五十六两一钱八分九厘，乘还原式通曰：以五六一八九为实，倍原半如前，实尾过五，用除五随加半，余；实尾过二，系倍首遇一者，当用除二随加倍不空位，余；实尾满二，亦用除二随加倍，余；实尾过五，用除五随加半，余；实尾过二，用除二随加倍，余；实尾止一数，用除一空加原，余；实尾又止一数，用除一空加原，余；实尾过五，用除五随加半，余；实尾止一数，用除一空加原，余；实满五，用除五随加半，共得四十一万三千三百二十六两二钱八分四厘。

附正珠乘除新法以减代乘法男正珠曰：「不用，因乘而以减法代之，数亦天然符合。其术须变法数，如一位法者，作单数于十内减之，余者为变数；二位法者，作防十防数于百内减之，余者为变数；三位法者，作防百防十防数于千内减之，余者为变数。法既变后，乃将变法与实呼减之，呼实则自右向左，呼法则自左向右，逐位呼减，减毕余实即为所求数也。」

因式有一百二十人，毎人二两，问共若干？曰：二百四十两。术珠曰：先将法二于十内减之，余八，即八为变法也。以变法八呼丑，实二曰：二八除十六，乃于丑二内除一，又当于寅位除六，曰六退十还四，丑空位，寅存四，再以变法。八呼子实一，曰一八除八，当于丑位，除八曰八，退十还二，子位空，丑存二，逐位减毕，即丑余之二，寅余之四，为所求二百四十两也。

因乘式有一百二十人，毎人二两一钱，问共若干？曰：二百五十二两。术珠曰：此二位法也。将法二两一钱作二十一，于百内减之，余七十九为变法。先以甲法七呼丑实二，曰：二七除一十四。乙法九呼丑实二，曰：二九除一十八。皆于丑实二内除之。此如以丑二作二百，先除一百四十，后除一十八，止存四十二也。故丑位空，寅存四，夘存二，再以甲法七呼子实一，曰一七除七，乙法九呼子实一，曰一九除九，此如以子一作一百，先除七十，后除九也，曰七退十还三，子位空，丑上三，曰九退十还一，丑存二，上一于寅存四，上为五，夘仍存二，逐位减毕，即丑余之二，寅余之五，夘余之二，为所求二百五十二两也。

以加代除法珠曰：归除之法，有可以加法代者，更为易简。其术亦须变法数，与前因乘相同。法既变，后乃将归实暗数与变法呼加之。暗数者，视原法数在实内有防回也，即用其防回之数为暗数耳。以变法与暗数相呼加于实数之上，逐位呼加，加毕则其得数与归除无异也。

归式式一有银一百二十两，二人分之，问各若干？曰：六十两。术珠曰：先将法二于十内减之，余八，即八为变法也。五一两数，是为子丑两暗数。子实一，作一十内有五回原法二也。丑。实二内有一回，原法二也。先以变法八，呼子暗数五，曰五八得四十，乃于子实一上。加四为五，再以变法八呼丑暗数一，曰一八如八，当于丑实二，上加八数巳满十，曰八退二进一，十乃退去丑位二，而于子位五进一为六，逐位加毕，视子位逓加之六，即所求之分数，为毎人各得六十两也。式二，有银一百二十两，三人分之，问各若干？曰四十两。术珠曰：先将法三于十内减之余七，即七为变法也。三一两数，是为子丑两暗数，盖子实一十内有三回原法三，余合丑实二，为三内有一回原法三也。先以变法七呼子暗数三，曰三七二十一，乃于子实一上加二为三，丑实二，上加一为三，再以变法七呼丑，暗数一曰一七，如七当于丑位三，上加七数巳满十，曰七退三进一，十乃退去丑位三，而于子位三进一为四，逐位加毕，视子位逓加之四即所求之分数，为毎人各得四十两也。

归除式有银一百二十两，二十四人分之，问各若干？曰：五两。术珠曰：先将法二十四人作二十四，于百内减之，余七十六为变法。五为暗数。盖子实一，作一百内有五回原甲法二十，丑实二，作二十内有五回原乙法四也。此二位法，先以变法甲七呼暗数五，曰五七三十五，乃于子一上加三为四，丑二上加五为七，此法之首位加毕矣。再以变法乙六，呼暗数五，曰五六，得三十，当于丑位七上加三数，巳满十，曰三，退七，进一十，乃退去丑位七，而于子位四上加一为五，此法之次位加毕矣。如是加毕，则子位之五即所求之分数，为毎人各得五两也。

数度衍巻一钦定四库全书