庄氏算学卷六

庄氏算学卷六

淮徐海道庄亨阳撰比例十法一法正方边求积【设正方边五十步，问积数若干】法以方边五十步自乗得二千五百步，即正方积。如系田地，则以畆法二百四十除之，得畆数二十四步为一分，满一百畆为顷。凡面积皆同。

积求边即开平方法方求斜【设正方边五十尺，求对角斜线】法以方边五十尺自乗得二千五百尺，倍之得五千尺，开方得七十尺七寸一分○六毫有余，即对角斜线。又倍积求边，与此法同。斜求方【设对角斜线五十尺，求正方边】法以对角斜线五十尺自乗得二千五百尺，折半得一千二百五十尺，开平方得三十五尺三十五分五厘三毫有余，即正方边。○又正方积折半求方边，与此法同。

四倍积求边法以方边数加倍即得二法长方边求积【设濶八尺，长十二尺，求长方积】法以濶八尺与长十二尺相乗，得九十六尺，即长方面积。

积求边有长濶较，或长濶和者，用开带纵平方法算之。有濶边者，以濶数除积，得长边；有长边者，以长数除积，得濶边。更面【设长方形，长十二尺，濶八尺，今将长积倍之，仍与原长方同式，问得长濶各几何】法以濶八尺自乗得六十四尺，倍之得一百二十八尺，开方得一十一尺三寸一分三厘有余，即所求之濶。乃以原濶八尺为一率，原长十二尺为二率，今濶一十一尺三寸一分三厘为三率，得四率一十六尺九寸七分有余，即所求之长。

三法斜方形【有两直角】

有边求积法以上濶二十丈，与下濶二十八丈相加，得四十八丈，折半得二十四丈，与长五十丈相乗，得一千二百丈，即斜方形积数。有积数，有长，有上下两濶，较求上下濶。法将积数加倍，以长除之，得数为上下两濶和，加较折半，得下濶，减较折半，得上濶。

有积有上下濶求长法将积加倍，以两濶共数除之，得数即所求之长梯形【算法与前斜方形同】

四法三角形有中长，有底濶，求积【设底濶八十尺，中长七十五尺，问面积】法以中长七十五尺，与底濶八十尺相乗，得六千尺，折半得三千尺，即三角形面积。有积数，有底濶，求中长【设三角形积三千尺，底濶八十尺，问中长】法以积三千尺，倍之得六千尺，以底濶八十尺除之，得七十五尺，即三角形之中长。

有积数有中长求底濶与前法同勾股形有边求积，有积求边，算法俱与三角形同。葢三角形之中长，即勾股形之股；三角形之底，为勾之两倍。三角形积，亦勾股形积之两倍，俱得长方面之一半。故全与全，半与半，为比其数相同。

甲、丙、丁为三角形，丙丁为底濶，甲乙为中长，甲丙乙为勾股形，甲乙为股，丙乙为勾，甲丙为▯。五法：鋭角、钝角、三角形【多边形附】三角形求中垂线及面积【设三角形大股十七尺，小股十尺，底二十一尺】法以底二十一尺为一率，两腰相加得二十七尺为二率，两腰相减余七尺为三率，求得四率九尺为底边之较【如图戊丙】与底二十一尺相减余十二尺【如图乙戊】折半得六尺【如图乙丁】乃用勾▯求股法，以甲乙小腰十尺为▯，自乗得一百尺为▯方，乙丁六尺为勾，自乗得三十六尺为勾方，▯方内减去勾方余六十四尺，开方得八尺为股，即甲丁中垂线，再以中垂线八尺与乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺，折半得八十四尺，即三角形面积。凡十字正方角为直角，大于直角者为钝角【如图甲角】不及直角者为鋭角【如图乙角丙角也】甲乙边为小腰，甲丙边为大腰，乙丙边为底，戊丙为底较，甲丁为中垂线。

多边形有边有对角斜线求面积法依对角斜线分多边形为几形算之。

六法两两等边无直角斜方形【此等形必有对角斜线方可命算】有边求积【设斜方形两小边皆二十五尺，两大边皆三十九尺，对两鋭角斜线五十六尺，问面积】法以对角斜线分斜方形为两三角形，以对角斜线五十六尺为底，大边三十九尺，小边二十五尺为两腰，用三角形求中垂线法【法载三角形条下】求得中垂线十五尺，乃以对角斜线与中垂线相乗，得八百四十尺，即斜方形之面积。

有勾有股求▯法以股自乗得股方，以勾自乗得勾方，两自乗数相加，开平方得数为▯。

有勾有▯求股法以勾自乗得勾方，以▯自乗得▯方，▯方内减勾方，余数开平方得数为股。

有股有▯求勾法以股自乗得股方，以▯自乗得▯方，▯方内减股方，余数开平方得数为勾。甲乙为对角斜线，丁己与丙戊俱为中垂线。

七法方环形有边求积【设方环外周二十八丈，内周一十二丈，求面积】法以外周二十八丈，四归之得七丈，自乗得四十九丈。又以内周一十二丈，四归之得三丈，自乗得九丈。两自乗数相减，余四十丈，即方环面积。有积及濶，求内外边【设面积四千尺，濶二十尺，求内外方边】法以濶二十尺自乗得四百尺【如图之甲壬寅戊小正方】四因之【为四正方】得一千六百尺，与环积四千尺相减，余二千四百尺【壬戊子辛等四縦方共积】四归之得六百尺【一线方积】以濶二十尺除之，得三十尺，即内方边。又以濶二十尺【如图甲壬】倍之【如甲壬并子丁】得四十尺，加内方边三十尺【如戊辛与壬子等】得七十尺，即外方边。

有内外方边求边法以外周二十八丈四归之得七丈【如图甲丁】又以内周一十二丈四归之得三丈【如图戊辛与壬子等】七丈与三丈相减，余四丈【如图甲壬及子丁二段】折半得二丈，即方环外周至内周之濶。

八法圆面径求周【设圆径一尺二寸】法用周径定率比例，以径数一一三为一率，周数三五五为二率，现设圆径一尺二寸为三率，求得四率三尺七寸六分九厘九毫有余，即所求之圆周。

周求径【设圆周一丈五尺】法以周四三五五为一率，径数一一三为二率，现设圆周一丈五尺为三率，求得四率四尺七寸七分四厘六毫有余，即所求之圆径。

径求面积【设径八寸】法用径求周法，求得圆周二尺五寸一分三厘二毫七丝有余，折半得一尺二寸五分六厘六毫三丝有余，又将径八寸折半得四寸，两折半数相乗得五十寸二十六分五十四厘八十二毫，即所求之圆面积。又法用方周圆周定率比例，以方周定率四五二为一率，圆周定率三五五为一率，现设圆径八寸，自乗为三率，求得四率即圆面积。周求面积【设圆周六尺六寸】法用周求径法求得圆径二尺一寸零八毫四丝五忽，折半得一尺○五分○四毫二丝二忽。又将周六尺六寸折半得三尺三寸，两折半数相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八毫，即所求之圆面积。又法用圆周方积与圆积定率比例，以圆周方积一○○○○○○○○为一率，圆积七九五七七四七为二率，现设之圆周六尺六寸自乗为三率，求得四率即圆面积。圆面积求径【设圆面积六尺一十六寸】法用圆周方周定率比例，以圆周二五五为一率，方周四五二为二率，现设之圆面积六尺一十六寸为三率，求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十三毫为正方面积，开方得二尺八寸○五毫有余，即所求之圆径。圆面积求圆周【设圆面积六尺一十六寸】法用圆积求径，法求得圆径二尺八寸零五毫有余，又用圆径求周法，求得八尺七寸九分八厘有余，即圆之周数。

九法撱圆【一名鸭蛋形】径求面积【设大径九尺，小径六尺，问面积】法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积，乃用方积圆积之定率比例，以方积一○○○○○○○○为一率，圆积七八五三九八一六为二率，长方积五十四尺为三率，求得四率四十二尺四十一寸一十五分有余，即所求撱圆形之面积。积求径【设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫，大径九尺，问小径】法用圆积方积之定率比例，以圆积七八五三九八一六为一率，方积一○○○○○○○○为二率，现设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫为三率，求得四率五十四尺为长方积，以大径九尺除之，得六尺，即撱圆形之小径。如有小径求大径，则以小径数除长方积，得数即大径。

十法圆环形圆环形有内外周及濶，求面积【设外周二十一尺三寸，内周七尺一寸，濶二尺二寸六分，问面积】法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸，折半得十四尺二寸，以濶二尺二寸六分乗之，得三十二尺零九寸二十分，即圆环形之面积。

圆环形有内外径求面积法用圆径求周，法以内径数求得内周，外径数求得外周。又以内径与外径相减，余数折半为环濶。依前有内外周及濶，求面积法算之，即径。

圆环形有内外周求面积法用圆周求径，法以内周数求得内径，外周数求得外径，乃以两径相减，余数折半为环濶，依前有内外周及濶求面积法算之，即得。圆环形有面积及濶，求内外径【设面积四百六十二尺，濶七尺，求内外径】法以濶七尺除面积得六十六尺，即内外周相并折半之数，为中周【如图戊己周】乃用周求径法，求得径二十一尺有余，为内外径相并折半之数，为中径【如图戊己径】加濶七尺，得二十八尺有余，即外径；中径内减濶七尺，余十四尺有零，即内径。

圆环形有面积及濶求内外周依前法求得内外径，再用径求周法算之，即得。圆环形有面积及内周求外周并濶【设面积三尺三十六寸，内周一尺一寸】法以内周一尺一寸，用周求径法，求得内径三寸五分零一毫有余。又用周径求积法，求得内周圆面积九寸六十二分七十七厘五十毫，与圆环积三尺三十六寸相加，得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十毫，即外周圆面积。乃用有圆面积求径法，求得外周径二尺零九分七厘七毫。内减去内径三寸五分零一毫，余一尺七寸四分七厘六毫，折半得八寸七分三厘八毫，即圆环形之濶。又用径求周法，求得周六尺五寸九分有余，即外周数也。圆环形有面积及外周求内周并濶【设面积三百八十四尺外周八十八尺】法以外周八十八尺，用周求径法，求得外径二十八尺零一分一厘一毫有余。又用周径求积法，求得外周圆面积六百一十六尺二十四寸六十四分，内减去环积三百八十四尺，余二百三十二尺二十四寸六十四分。

【积乃用有圆面积求径法求得内周径一十七尺一寸九分六厘，与外径二十八尺零一分一厘二毫相减，余一十尺八寸一分五厘二毫，折】【半得五尺四寸零七厘六毫，即圆环形之濶。再用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八毫有余，即内周数也。《庄氏算学》巻六】

为内周圆面<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学》>钦定四库全书