数度衍卷十
数度衍卷十
桐城 方中通 撰较容【少广之三】
同周异容通曰：「周不可以论容，故方田不以周歩为率。同周者，形必异；形异容，故异耳。」式一，同周多边形容积大于少边形容积，何也？少边如甲乙丙三角形，甲乙、甲丙两腰各五，乙丙底六，共周十六；多边如己庚戊辛四角形，己戊、庚辛与三角之腰等。
皆五己庚戊辛与三角之半底等各三共周亦十六以三角用甲丁▯线折半得甲丁乙甲丁丙两小三角形，以四角形己戊庚辛与甲丁较，去己壬庚癸，存壬戊癸半，皆与甲丁等，是壬癸戊辛小四角形内可容甲乙丙三角形也。癸辛戊、癸壬戊与甲丁乙、甲丁丙皆等耳。四角形是多一己壬癸小四角形矣。式二同周，四直角形等边容积大于不等边容积，何也？等边如甲乙丙丁四直角形，毎边六，共周二十四；不等边如戊己庚辛四直角形，两边五，两边七，共周亦二十四。以等边之六自乘得积三十六，以不等边之五七相乘得积三十五是不等边之积少一矣又如两边四两边八共周亦二十四而积三十二又少矣，两边三，两边九，共周亦二十四，而积二十七，又少矣。两边二，两边十，共周亦二十四，而积二十，又少矣。边愈不等，积愈少也。通曰：「又如四边皆三周，得十二，积九；两边二，两边四周亦十二，积八。是九之中一藏，而无周；八无中可藏，故少一也。」右式等边形中有离边积十六，不等边形中止有离边积十五，可见少一积者，非少近边之积，乃少离边之中积也。式三同周等边四角形直角容积大于斜角容积，何也？直角如甲乙丙丁四角形，毎边五，共周二十；斜角如戊己丙丁四角形，毎边五，共周二十。以斜角截戊庚丁三角形，补己辛。丙三角形适足是庚辛丙丁形与戊己丙丁形之容等矣。以直角截庚辛丙丁，外尚余甲乙庚辛形，乃多于斜角者也。式四同周有法形多边容积大于少边容积何也？多边如甲乙丙有法形【边边相等角角相等曰有法也】不拘边数，今为六边。
毎边四共周二十四少边如丁戊己有法形今为四边毎边六共周亦二十四试于两形外各作一圜而从圜心望一边作庚壬，作辛癸两垂线，平分乙丙于壬，戊己于癸。其甲乙丙形多边者，与丁戊己形少边者，外周既等，而以乙丙求周六，其乙丙而徧，以戊己求周四，其戊己而徧，则乙丙边固小于戊己边，而乙壬半线亦小于戊癸半线矣。兹截癸子与壬乙等，而作辛子线，又作辛戊、辛己及庚丙、庚乙诸线。次第论之，其己丁戊圜内各切线等，即匀分各边俱等，而全形边所倍于戊己一边数，与全圜切分所倍于戊己切分地亦等，则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边，与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎？其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分，若戊辛己角之与全形四直角，则以平理推之，移戊己边于甲乙丙全边，亦若戊辛己角之于四直角也。而甲乙丙内形周与乙丙一边，犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜，亦犹四直角之与庚乙丙角也。则又以平理推戊己与乙丙，即戊癸与乙壬，而乙壬即是癸子，又以平理推戊辛己角与乙庚丙角，亦若戊辛癸之与乙庚壬也。夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例，则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例，而癸辛子角大于壬庚乙角。其辛癸子与庚壬乙皆系直角，而辛子癸角明小于庚乙壬角。令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角，则其线必透癸辛到丑。其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角，而乙壬边亦等于子癸边，则丑癸线亦等于庚壬线，而庚壬实赢于辛癸。令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形，必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也。然则多边直线形之所容，岂不大于等周少边直线形之所容乎？式五同周等底三角形等边容积大于不等边容积何？也等边如甲丁丙三角形，丁甲，甲丙。丙丁各六，共周十八，不等边，如乙甲。丙等甲丙底三角形，甲丙六，乙甲七。乙丙五共周，亦十八试，引甲丁至戊。令丁戊与丁甲等，亦与丁丙等，又作丁乙、乙戊两线。夫甲乙、乙戊合线，既大于甲戊，即大于甲丁、丁丙合线，亦大于甲乙、乙丙合线。此两率者，令减一甲乙，则乙戊大于乙丙。而丁戊、乙三角形之丁戊、丁乙两边，与丁丙、乙三角形之丁丙、丁乙两边等，其乙戊底大于乙丙底，则戊丁乙角大于丙丁乙角，而戊丁乙角逾戊丁丙角之半。令别作戊丁己角与丁甲丙角等，则丁己线在丁乙之上，而与甲丙平行。又令引长丁己与甲乙相遇，而作己丙线，连之。其甲丁丙、甲己丙既在两平行之内，又同底，是三角形相等也。因显甲己丙大于甲乙丙，而甲丁丙等边三角形必大于乙甲丙不等边三角形矣。通曰：以丁庚甲三角形与乙庚丙三角形相较，知乙庚丙之小于丁庚甲，即知乙甲丙之小于甲丁丙也。式六，同周多边形，等边容积大于不等边容积，何也？等边如甲庚丙丁戊巳多边形，毎边六，共周三十六；不等边如甲乙丙丁戊巳多边形，甲乙边四，乙丙边八，他边皆六，共周亦三十六。作甲丙线，视甲庚丙大于甲乙丙，则知甲庚丙丁戊巳大于甲乙丙丁戊巳也。通曰：「甲乙辛与辛庚丙两形较，知甲乙辛小于辛庚丙，即知甲乙丙丁戊巳小于甲庚丙丁戊巳也。」式七：同周多边等边形等角容积大于不等角容积，何？
也通曰等角如子丑寅卯辰午多边等边形毎边十共周六十不等角如甲乙丙丁戊巳多边等边形，毎边亦十，共周亦六十。作丑午线，得十八；作丑卯线，亦得十八。丑午既与丑卯等，则子申必与寅未等。是午子丑与丑寅卯之子角、寅角等也。又作乙巳线，少于十八；作乙丁线，多于十八。乙丁既大于乙巳，则甲庚必大于丙辛。是巳甲乙与乙丙丁之甲角、丙角不等也。今以两形叠而较之，今巳戊与午辰同线。又令子遇甲乙线于子，卯遇丙丁线于卯。乃视并甲子巳与卯丁戊两小三角形，不及子丑寅卯丙乙一曲。角形则知甲乙丙丁戊巳形小于子丑寅卯辰午形矣。式八同周圆形容积大于有法形容积，何也？圆形如甲乙丙形，周五十四；有法如丁戊巳形，毎边九，共周亦五十四。庚为甲乙丙之心，辛为丁戊巳之心。甲乙丙外另作壬乙丙癸多边形，与丁戊巳相似【同为有法之六角形】而从壬癸切圆于甲者作半径线于庚则庚甲为壬癸▯线而分壬癸之半又从辛作子丑▯线则辛丁亦分子丑之半两形相似，其壬全角与子全角等，则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等，壬甲庚直角与子丁辛直角亦等。然乙壬癸丙之周大于圆周，而圆周与丁戊巳形同，则是乙壬癸丙周原大于丁戊巳周矣。夫两形相似，而壬癸边大于子丑边，则半之而壬甲亦大于子丁。又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例，而壬甲大于子丁，则甲庚亦大于丁辛。是故取甲庚线与半圆周线以作矩内直角形，其与圆地等也，大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形，其与形地等也。推此，则是圆形大于等。
周之多边形也通曰：「圆周五十四，圆外六角周六十，是多六矣。虽与丁、戊、己六角相似，而周不同也。」今以同周之甲乙丙丁戊己两形相较，圆形外有六小三角形，圆内有六小弧矢形，知小三角之不及小弧矢，即知丁戊己之小于甲乙丙也。式九同周浑圆形容积大于长圆形容积何也？通曰：浑圆如甲乙丙丁戊己形，周三十六；长圆如庚丙癸戊辛己壬乙形，周亦三十六。今以两形相较长，圆加浑圆之上，必透。乙庚丙己辛戊两半圆形必虚，丙丁戊癸乙甲己壬两半圆形。以乙庚丙半圆形与丙丁戊癸半圆形相较，则乙庚丙形必小；以乙甲己壬半圆形与己辛戊半圆形相较，则乙甲己壬形必大。即知甲乙丙丁戊己形大于庚丙癸戊辛巳壬乙形矣。通曰：「边莫少于三角，莫多于浑圆。浑圆似乎无角，而其角之多不可指説也。同周之容，其角渐多，其容渐大，故以浑圆为最大，以三角为最小。葢大者因角而大也，角向外生，内必益地，虽中距之径少，不敌角増之地多也。方者不以角论，长方与正方同为四角，直方与斜方同，亦四角。一增于中藏之无边，一减于斜周之无积，故以长方、斜方为小，以正方、直方为大也。其不成形者，不可防举矣。」
同容异周通曰：「有积于此，可方，可圆，可斜，可直，周之不一，其积实同。周既不可以论容，容亦不可以论周也。」式同容，少边形周大于多边形周，何也？少边如甲乙丙形，多边如甲巳丙丁形。以甲乙丙形分为二，得甲丁丙、甲丁乙两形。以甲巳丙丁形，分为二，得甲、巳、丙、甲、丁、丙两形，相较皆等容，而甲丙长于已丙，甲乙长于甲丁，是以少边者为大也。通曰：「此与同周异容相反。同周以少边为小，言容之小也；同容以少边为大，言周之大也。举一可以类推。」
倍大通曰其所容多一倍也同底倍大容积式，乙丙底，甲乙丙形得戊乙巳丙形之半，作甲丁线，甲丁乙形与甲戊乙形等，甲丁丙形与甲巳丙形等，故也。通曰：「下同乙丙，底上切。甲防作与乙丙。」
平行线得长方形始可不同底倍大容积式通曰：以丙乙同底而言，则戊巳丙乙形倍于甲乙丙形；以丙乙与丙丁不同底而言，则甲巳丙丁形两倍于甲乙丙形。葢甲戊丙乙形与戊巳丙乙形等，则甲丙线分甲戊丙乙为甲乙丙、甲丙戊两形，是甲乙丙形为戊巳丙乙形之半，即为甲巳丙丁形四之一也。
变形同容通曰：此形容积，亦可以他形容之。葢不变容而变形也。六角变四角，式六角如甲乙丙丁戊巳有法形，欲变为四角形，视六角之心于庚，自庚至甲乙作直角线为庚。
辛另作壬癸线与庚辛等作癸子与甲乙丙丁线等则壬癸子丑四角形与甲乙丙丁戊巳六角形之所容等也论曰：自庚到各角皆作直线，皆分作三角形，皆相等。其甲乙庚三角形与甲辛、辛庚二线所作矩内直角形等。若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线，以与壬癸线共作矩内直角形，即与有法全形等。葢此半边三其三角形照甲乙庚形作分中▯线，其矩线内直角形俱倍本三角形故也。通曰：半径线作横线，半周线作直线，两形之容相等。则以六角形之全径、全周作四角形，其容四倍矣。然六角之径，必须两角中分之辛寅相对为径，非角对角之甲丁为径也。六角变三角式，六角如甲乙丙，有法形欲变为三角形，视六角之心于丁，从丁望甲乙作▯线，为丁戊线，另作丁戊线相等，作戊己线与甲乙丙全周线等，则丁戊庚己四角形倍于甲乙丙六角形，今以丁戊庚己分为二，得丁己戊三角形与甲乙丙六角形之所容等也。论曰：以丁、戊、己、庚直角形，两平分于壬、辛，作直线与丁、戊平行，则丁、戊、辛、壬直角形与甲、乙、丙形相等。何者？戊、辛线得甲、乙、丙。之半，周而又在丁戊矩内，即与有法形全体等，故也。其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等，则丁戊己三角形与甲乙丙全形自等矣。圆形变四角三角式，圆形如甲乙丙形，先变为四角形，视圆心于丁，得半径丁乙线，另作丁乙线相等，作乙戊线与甲乙丙半周线等，则丁乙戊己四角形与甲乙丙圆形之所容等也。次变为三角形，倍乙戊线为乙庚线与甲乙丙全周等，又作丁庚线，则丁乙庚三角与甲乙丙圆形之所容等也。通曰：「截丁己辛形为辛戊庚形，则丁乙戊己形内虚；丁己辛地与丁乙戊己形外盈辛戊庚地相等。则等圆形之四角变为三角，等四角之三角自等于圆形也。鋭觚形变直角立方形式，觚形不拘几面，如甲乙丙丁。」
戊底其顶巳今变为寅庚直角立方形其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其高庚子与觚等则寅庚直角立方形与甲乙丙丁戊己鋭觚形之所容等也。论曰：从立形底诸用与相对一角如子角者，皆作线以成庚辛壬癸子觚形。此形与庚寅形同底同髙，又同己甲鋭觚之髙。己甲形既兼庚辛壬癸子觚之三【两觚形同高者，其所容之比例如其底，底等亦等，底倍亦倍】则寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三。是寅庚全方与己甲觚自等也。斜角能含圆形，变直角立方形式，平面不拘几边，其全体可容浑圆切形。如甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜，其心壬，而外线甲乙切圜于戊。试从戊壬割圜之半，作戊己庚辛圜从壬心望各切圜之防作壬戊为甲乙▯线壬己为乙丙▯线壬庚为丙丁▯线壬辛为甲丁▯线今变为直角立方午子形，其底子辰卯癸，得甲乙丙丁体三之一，而其髙丑子与圆半径等，则午子直角立方形与甲乙丙丁全形之所容等也。论曰：从壬心与甲、乙、丙、丁各角作直线，即分其体为数觚形。其面即为觚底，而皆以壬心为觚鋭顶。此各觚皆以其三分底之一及至鋭高之数为直角立方形，皆与觚所容等。又并为一形，即与甲、乙、丙、丁体等，亦与午、子等。以午、子底正得甲、乙全形三之一，而其高合圆之半径也。浑圆变直角六方形式，浑圆如甲乙丙形，其心为丁作。甲丁半径线，今变为直角立方戊形。在甲丁径及甲乙丙浑圆三之一矩。内则戊形与甲、乙、丙全形之所容等。
也论曰：若言不等，谓戊大于浑圆形，其较有巳者，合以丁为心，外作庚辛壬浑圆，大于甲乙丙，而勿令大于戊，第令或等或小，以验之。而于庚辛壬内试作有法形，勿令切甲乙丙圜，自丁心至形边各作▯线，则▯线必长于甲丁又自丁心至形各角作直线以分此形为几觚其庚辛壬法形诸直线为觚底而▯线至丁心为觚鋭顶试取各觚底三之一及丁▯线之高以作直角立形与觚等则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等。如云以甲丁为髙而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形。因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体。若谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬内之法形亦大于戊形也。而况庚辛壬形乎？则戊体不大于甲乙丙可知矣。又论曰：「戊形小于甲、乙、丙浑圆体者，其较为己。试从丁」。
心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以騐之于甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑，而从丁至甲、乙、丙各面为▯线。此▯线大于丁癸之半径。又从丁向法形诸角作直线，以分此形为数觚。以形之各面为觚底，丁心为觚鋭顶，而取觚底三之一及底至丁之▯线，以作直角立形与觚等。若使以甲丁为高，而以各觚三之一为底，以作直角立形，则其形必高于前形。既甲乙丙圜之面大于其内形之面，则圜面三之一大于内形面三之一。而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一，因即戊大于甲乙丙之内形矣。而云癸子丑圜或等或大于戊，岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全乎？则戊体不小于甲乙丙，又可知矣。
相似通曰：「形相似而大小不同也。相似者可比例也，不相似者非比例也。」并线并形，求与并线形同容式有甲、乙、丙及丁、戊、己三。
角形二两形相似因并甲丙丁巳为丁辛一直线于上作直角方形又并甲乙丁戊为丁、庚、乙、丙、戊、巳为庚、辛，乃并此二线上所作两方形与丁辛线上方形之所容等也。论曰：引长丁戊至庚，令戊庚与甲乙同度。从庚作线与戊己平行，又引丁巳长之，令相遇于辛。从己作己壬线与戊庚平行，则巳壬辛之角形与丁戊巳相似，而丁戊巳与甲乙丙相似矣。何者？巳壬辛角与庚角等，庚角与丁戊巳角等，巳角又与乙角等，而辛角与丁巳戊角及两角俱等。壬巳辛角与甲角亦等。又巳壬边与戊庚相等，则亦与甲乙相等，而壬辛与乙丙，巳辛与甲丙俱相等。故丁辛线兼丁巳、甲丙之度，丁庚线兼丁戊、甲乙之度，庚辛线兼戊巳、乙丙之度。庚壬即戊巳也。然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直方形并自相等矣。通曰：此与勾股求▯相通也。丁庚上方形，股羃也；庚辛上方形，勾羃也；丁辛上方形，▯羃也。▯羃之内应有勾股二羃也。两形互并，求同周式。甲乙丙丁两底不等，上有甲戊、乙丙、巳丁三角形二。其戊甲、戊乙腰与巳丙、巳丁腰俱相等。若甲乙大于丙丁者，则戊角大于巳角，而两三角形不相似。求于两底上各作三角形相似，而两腰各相等，其周亦等也。其法作庚辛线，与甲戊、戊乙、丙巳、巳丁四线并等，而分之于壬。令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁。甲乙既大于丙丁，则庚壬亦大于壬辛，而平分庚壬于癸。平分壬辛于子庚壬与壬辛，既若甲乙与丙丁，则合之而庚辛之视壬辛，若甲乙丙丁并之视丙丁矣。夫庚辛并既大于甲乙丙丁并，则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙，可知也。甲乙庚癸、癸壬三线，毎二线必大于一线；而丙丁壬子、子辛亦然。令于甲乙上用庚癸、癸壬线作甲丑乙三角形，为两腰等，而其周在甲戊乙形之外；于丙丁上用壬子、子辛线作丙寅丁三角形，亦两腰等，而其周在丙己丁之内。则甲丑乙、丙寅丁两形自与甲戊乙、丙己丁两形同周也。
通曰甲丑乙大丙寅丁小甲戊乙小丙己丁大以大并小以小并大互并而大小隠矣两形互并，较容式甲丙，丙戊大小。两底上设有甲乙丙丙丁戊两三角形，而甲乙、乙丙、丙丁、丁戊四线俱等。令于两底上，依右法别作甲、己、丙、丙。庚戊两形相似，而前两三角形并。与之等周，则甲、己、丙、丙、庚、戊相似。之形，并其所容，大于甲、乙、丙、丙、丁。
戊不相似之形并也论曰：将甲丙丙戊作一直线，而甲丙底大于丙戊底，乃从己过乙作己壬线，两分甲丙于壬；又从丁过庚作丁辛线，两分丙戊于辛。其甲己乙三角形之甲己、己乙两边，与乙己丙三角形之己丙、己乙两边等，而甲乙、乙丙两底又等，则甲己乙角与丙己乙角亦等。又甲己壬三角形之甲己、己壬两边，与丙己壬三角形之丙己、己壬两边等，则甲己壬角与丙己壬角等，而甲壬、壬丙之两底亦等。壬之左右皆直角，因显丙辛、辛戊亦等，而辛之左右角亦直角矣。次引丁辛至癸，令辛癸与丁辛同度，而从癸过丙作癸丑直线。则丁丙辛三角形之丁辛、辛丙两边，与辛癸丙三角形之辛癸、辛丙两边等，而辛之上下角亦等，为直角。丁丙、丙癸两底等，而丁丙辛角与癸丙辛角俱等。丁丙辛角既大于庚丙辛角，而庚丙辛角相似与己丙壬角，即相等，而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬。其癸丙辛角等于对角之丑丙壬，是丑丙壬亦大于己丙壬。而引癸丑线当在丙己之外也。若夫癸丙、丙乙二线涵癸丙乙角，向壬试作癸乙线，以分壬丙于子，而并乙丙、丙癸二线必大于癸乙线，则己丙、丙庚并亦大于乙癸线。何也？此四形者，两两相并为等周，则甲乙、乙丙、丙丁、丁戊四线并与甲己、己丙、丙庚、庚戊四线并原相等，而减半之乙丙、丙丁即乙丙、丙癸与己丙、丙庚亦相等故也。并己丙、丙庚二线为一直线，就其上作直角方形，必大于乙癸线上之直角方形。夫己丙、丙庚并之直角方形，与己壬、庚辛并之直角方形及壬丙、丙辛上之直角方形并相等；而癸乙上之直角方形，与乙壬并辛丁【即辛癸】上直角方形及壬子、子辛上直角方形并又自相等【若移置辛癸于乙壬之下，移置壬辛为癸▯线，则乙壬、辛癸为股，壬辛为勾，乙癸为▯矣】此己壬、庚辛线并。之直角方形及壬丙、丙辛上之直角方形并，明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子、子辛上之直角方形并也。此两率者，毎减一壬辛上直角方形，则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣。而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣。此两率者，令一减乙壬，一减庚辛，则己乙岂不大于丁庚乎？壬丙原大于丙辛，则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形。而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半，何者？令从壬丙作▯线与乙己平行，而以乙己为底，就作直角形，此谓己乙壬丙矩内直角形，其中积倍于己乙丙三角形。反之，则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半。其丁庚丙三角形亦然，乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也。则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形，而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者，亦大于丙丁戊庚丙形为丁庚丙三角之倍者矣。此两率者，又毎加甲乙丙与丙庚戊之三角形，则甲己丙及丙庚戊之两三角形并，岂不大于甲乙丙及丙丁戊两三角形并哉？其底同，其周同，四腰俱同，则不相似之形并必小于相似之形并也。
数度衍卷十
钦定四库全书