御制数理精蕴下编卷二

御制数理精蕴下编卷二

首部二命分约分通分命分凡归除分至最细而可以恰尽无余者，谓之无竒零数。若分至最细而屡除不尽者，谓之有竒零数。其竒零若畧去之，则不能复还原数，此命分之所以立也。其法命为分母、分子。分母者，即除数也；分子者，即除不尽之数也。凡不尽之数得分母中之几分者，即命为几分之几。是以命分之一法，正所以济归除之所不逮也。设如，有银十一两，命三人分之，问每人得若干？法以三人分银十一两，每人得银三两，仍余二两。所余二两，再以三人分之，每人得六钱六分六厘六豪。如是每得六而仍余二，数不尽，故立命分法，以三人为分母，所余二两为分子，命为每人得三两又三分两之二。葢将每两剖作三分，其所余二两则共剖作六分，三人分之，每人得二分，故命为三分两之二也。如因三分两之二求知原银数，则以三人与分子二分相乘，得六分。葢每人得二分，则三人共得六分也。以六分用分母三分归之，得二两。葢初分一两为三分，故终收三分为一两也。再加入三人所得整数共九两【一人三两，三人共得九两】则得十一两，以合原数也。设如，有银一百八十七两，命十八人分之，问每人得若干？法以十八人分银一百八十七两，每人得银十两，仍余七两，分之不尽，则以十八人为分母，所余七两为分子，命为每人得一十两又十八分两之七。葢将每两剖作十八分，其所余七两则共剖作一百二十六分，十八人分之，每人得七分，故命为十八分两之七也。如因十八分两之七求知原银数，则以十八人与分子七分相乘，得一百二十六分。葢每人得七分，则十八人共得一百二十六分也。以一百二十六分用分母十八分归之，得七两。葢初分一两为十八分，故终收十八分为一两也。再加入十八人所得整数共一百八十两【一人十两，十八人共得一百八十两】则得一百八十七两，以合原数也。

约分约分者，以所命之分约之，以就整分也。葢命分是随其数之多寡全而纪之，而约分则即其多寡之数从而约之，以求简易焉。其法以分子、分母两数辗转相减，务期减余两数相同，是为度尽两数之一数。乃以此数为一分，以除分母，得几分者，即约分母为几分；又除分子，得几分者，即约为分母几分中之几。凡诸法中有带分者，皆由约法而得，故设例于此，所以明带分之根也。设如古厯歳实命为三百六十五日又一百分日之二十五，今以法约之，求相当最小数法置日分一百，以余分二十五减之，余七十五分；再以二十五减之，余五十分；再以二十五减之，亦余二十五分。两数齐等，即以相等之数二十五转除日分一百，得四，即为四分；又以二十五除余分二十五，得一，即为一分。乃百分日之二十五约为四分之【凡约】【分法以分母分】一，是歳实共得三百六十五【葢将一日剖作四分而得其四分之一也】日又四分日之一也。子相减必得相等之数，然后用之。葢因此数可以度尽分母，又可以度尽分子，故也。今以相等之数二十五为一分，则日分一百有四，倍二十五故为四分，而余分二十五，又恰足一分之数，故为一分。一百与二十五之比，即同于四与一之比，是四与一即一百与二十五之相当，最小数也。凡分母分子辗转相减，不得相等之数，终减至于一，是分母分子俱无一数可以度尽之数，即不用约分，用命分志之可也。设如，有银二百一十两，命一百四十七人分之，每人得银一两，仍余六十三两不尽，以法约之，求相当最小数。法置一百四十七人，以余银六十三减之，余八十四；再以六十三减之，余二十一。又置六十三，转以二十一减之【因减数大于原数，又不得两数齐等，故以二十一转减之】余四十二；再以二十一减之，亦余二十一。则两数齐等，即以相等之数二十一转除一百四十七人，得七，即为七分。又以二十一除银六十三两，得三，即为三。

分乃一百四十七人分余银六十三两约为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】七分之三是每人得银一两又七分两之三【葢将每两剖作七分而得其七分之三也】也此法以一百四十七人与六十三两辗转相减得相等之数二十一是二十一可以度尽一百四十七人又可以度尽六十三两故也既以二十一为一分则一百四十七有七倍二十一故为七分六十三有三倍二十一故为三分一百四十七与六十三之比即同于七与三之比是七与三即一百四十七与六十三之相当最小数通分凡竒零数目，不以十递析者，难以立算，则用通分。如斤通为两，宫通为度，度通为分之类是也。又有整数而带零分者，则必通之以从其类，如化整为零，收零作整之类是也。或有零分而分母不同者，则必通之以同其母，如互乘之类是也。通分之法立，然后竒零数目得以归有余，齐不足，而带分之法皆根于此，故为另设加减乘除之法以明其义焉。

加法凡竒零数相加，两分母同者，即并两分子为得数。若相加之数大于母数，则于所得数内减去母数为一整数，纪其余为零数。设如，有九分丈之七【一丈分为九分而得其七分也】与九分丈之五【一丈分为九分而得其五分也】相加，求总数。法以九分之七与九分之五左右列之，将两分子七与五相加得一十二，因子数大于母数，乃于一十二内减去母数九为一整数，余三为零数，即得整数一丈零九分丈之三为相加之数也。此法因两分母同为九分，而两分子亦同为九分中之零分，故径并两零分之七与五得一十二，又以母数九分收为一丈【葢初以一丈分为九分，今满九分即收为一丈也】其所余三亦仍为九分中之三分，故得一丈零九分丈之三为两零分之共数，此分母相同之加法也【如以真数明之，九分丈之七是将一丈分为九分得其九分中之七分，一丈分为九分则每一分得一尺一寸一分一厘有余，九分中之七分则为七尺七寸七分七厘有余也，九分中之五分则为五尺五寸五分五厘有余也，两数相加共得一丈三尺三寸三分三厘有余，即一丈零九分丈之三也。葢一尺一寸一分一厘有余既为九分中之一分，则三尺三寸三分三厘有余即九分中之三分也，如以九分除三分即得三尺三寸三分三厘不尽之数，是九分与一丈之比即同于三分与三尺三寸三分有余之比也】凡竒零数相加，两分母不同者，则用互乘法。以两分母相乘为共母数，再以前分母乘后分子，又以后分母乘前分子，以所得两子数相加为共子数，纪于共母数之下为共零数。设如，有三分丈之二【例亦等一丈分为三分而得其】与五分丈之三【二分也一丈分为五分而得其】相加求总数。法以两分母三五相乘得一十五为共母数，再以前分母三乘后分子三得九，又以后分母五乘前分子二得十，将两得数相加得十九为共子数。因子数大于母数，乃于十九内减去共母数十五为一整数，余四为零数，即得整数一丈零十五分丈之四为相加之数也。此法用互乘者，本为齐其分母也。夫以两分母相乘得十五者，乃以两分母俱变为十五分也【三分也，因分母不同难以相加故变】以前分母三乘后分子三得九者，乃以后分子变为十五分中之九也。又以后分母五乘前分子二得十者，是又以前分子亦变为十五分中之十也。葢十五分之十与三分之二其比例等【为同等俱为五】而【倍比例】十五分之九与五分之三其比【俱为三倍比例】两分母既变为同等，则两分子亦俱为同分母之子矣，故相加如第一法，此分母不同之加法也【如以真数明之，三分丈之二既变为十五分丈之十，则每一分为六寸六分六厘有余，今得十分即六尺六寸六分六厘有余也。

又五分丈之三既变为十五分丈之九，则每一分亦为六寸六分六厘有余，今得九分即六尺也。两数相加共得一丈二尺六寸六分六厘有余，即一丈零十五分丈之四也。葢六寸六分六厘有余即为十五分中之一分，今二尺六寸六分六厘有余为四倍六寸六分六厘有余，即十五分中之四分也。如以十五分除四分即得二尺六寸六分不尽之数，是十五分与一丈之比即同于四分与二尺六寸六分有余之比也】又或分母不同而可以加减之使同者，则变而同之，可省互乘。设如，有八分两之一与十二分两之三相加，求总数法。以十二分之三变为八分之二，则与八分之一两分母相同，故径并两分子，二与一得三，即八分两之三为相加之数也。此法将十二分之三变为八分之二者，乃分母分子各减三分之一也。母数十二减三分之一余八，子数三减三分之一余二。葢十二分之三与八分之二其比例相等，故变从简易。如数有参【分】差者则当用下节之【如以真数明之：八分两之一是将一两分为八分，其一分即一钱二分五厘也。又十二分两之三是将一两分为十二分，其三分为二钱五分。今变为八分两之二是将一两分为八分，其二分亦为二钱五分也。两数相加共得三钱七分五厘，即八分两之三也。葢一钱二分五厘为八分中之一分，今三钱七分五厘即八分中之三分也。如以八分除三分，即得三钱七分五厘。是八分与一两之比，即同于三分与三钱七分五厘之比也】法设如有六分石之五与三分石之二相加求总数，如依前法将六分之五折半为三分之二分半，则两分母虽同而分子却有竒零。若将三分之二加一倍作六分之四，变少从多，则与六分之五两分母相同，乃径并两分子五与四得九，因子数大于母数，乃于九内减去母数六为一整数，余三为零数，即得整数一石零六石之三为相加之数也。此法三分之二变为六分之四者，乃分母分子各加一倍之比例也。凡变分母分子或加或减，务期所变之分数与原分数比例相同，使其两分母同而两分子可并也。此条与上条用加减虽各异，而齐其分母以加之则同也【如以真数明之，六分石之五是将一石分为六分，则每一分得一斗六升六合六勺六撮六抄有余，今得五分即八斗三升三合三勺三撮三抄有余也。又三分石之二是将一石分为三分，其二分为六斗六升六合六勺六撮六抄有余，今变为六分石之四是将一石分为六分，其四分亦为六斗六升六合六勺六撮六抄有余也。两数相加共得一石四斗九升九合九勺九撮九抄有余，收为五斗即一石零六分石之三也。葢六分为一石则三分即五斗也】凡子母数有三四种相加者，其分母分子俱不同，则用互乘以齐其分母，按前法加之【三种者，以第一数与第二数依前互乘法相加得数，又与第三数依前互乘法相加；四程者，以第一数第二数互乘相加得数，与第三数互乘相加得数，复与第四数互乘相加】如两分母相同者，即并其两分子，而与所余之分母不同者用互乘以加之。

又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者，则直以所得之分子与所余之分子相加为得数，即不用互乘矣。设如有三分斤之一又四分斤之二，又五分斤之三，相加求总数法以前两分子分母按互乘法相加得十二分斤之十【五种相加者俱仿此以两分母三与四相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子二得六又以后分母四乘前分子一得四相加得一十为共子数】乃以十二分斤之十与第三子母分用互乘法相加得六十分斤之八十六【是为十二分斤之十以第三分母五与前两分母互乘所得之十二相乘得六十为共母数以前两分母所得十二乘第三分子三得三十六又以第三分母五乘前两分子所得十得五十相加得八十六为共子数是为】因子数大于母数乃于共子数八十六内减去共母数六十为一整数余二十六为零数即得一斤零六十分斤之二十六为总数也【六十分斤之八十六】凡子母分有四种【如以真数明之三分斤之一是将一斤分二十分丈之一为总数也为三分其一分即五两三钱三分三厘有余也四分斤之二是将一斤分为四分则每一分为四两今得二分即八两也五分斤之三是将一斤分为五分则每一分为三两二钱今得三分即九两六钱也三数相加共得二十二两九钱三分三厘有余内收十六两为一斤余六两九钱三分三厘有余即六十分斤之二十六也葢以十六两分为六十分每分得二钱六分六厘有余今六两九钱三分三厘有余有二十六倍二钱六分六】设如，有五分丈之三，又四分丈之一，又五分丈之一，相加求总数。

法因五分丈之三与五分丈之一两分母相同故直并其两分子三与一为五分丈之四再以五分丈之四与四分丈之一依互乘法相加得二十分丈之二十一【厘有余即为二十六分也以前分母五与后分母四相乘得二十为共母数以前分母五乘后分子一得五又以后分母四乘前分子四得十六相加得二十一】因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数二十为一整数余一为零数【是为二十分丈之二十一】即得一丈零【如以真数明之其五分丈之三即六尺也其四分丈之一即二尺五寸也其五分丈之一即二尺也三数相加得一丈零五寸即一丈零二十分丈之一葢一丈分为二十分每分得五寸也】设如，有三分两之二，又四分两之三，又十二分两之四，相加求总数。

法以三分之二与四分之三用互乘法相加得十二分两之十七【以前分母三与后分母四相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子三得九又以后分母四乘前分子二得八相加得十七是为十二分两之十七】此所得之十二分两之十七与第三分母相同即以前两分所得共子十七与后一分子四相加得二十一是为十二分两之二十一因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数十二为一整数余九为零数即得一两零十二分两之九为总数也【如以真数明之其三分两之二即六钱六分六厘有余也其四分两之三即七钱五分也其十二分两之四即三钱三分三厘有余也三数相加得一两七钱四分九厘有余收作七钱五分即一两零十二分两之九葢十二分两之九即七钱五分也】

减法凡竒零数相减，两分母同者，即将两分子相减为余数。设如，有十一分丈之七，减十一分丈之五，求余数法。以十一分丈之七与十一分丈之五左右列之，将两分子五与七相减，余二，即得十一分丈之二为余数也。葢因两分母同为十一分，则两分子亦同为十一分中之零分，故径将两分子相减，余二，亦仍为十一分中之二分，是以定为。十一分丈之二，此分母相同之减【也】法【如以真数明之】，十一分丈之七，是将一丈分为十一分，则每一分得九寸零九厘零九丝有余，其中之七分即六尺三寸六分三厘六豪三丝有余也。其中之五分即四尺五寸四分五厘四豪五丝有余也。相减余一尺八寸一分八厘一豪八丝有余，即十一分中之二分也。葢九寸零九厘零九丝有余为一分，则一尺八寸一分八厘一豪八丝有余即为二分也。如以十一分除二分，亦得一尺八寸一分八厘一豪八丝，不尽之数是十一分与一丈之比，即同于二分与一尺八寸一分八厘一豪八丝有余之比也】凡竒零数相减，两分母不同者，则用互乘法。以两分母相乘为共母数，再以前分母乘后分子，又以后分母乘前分子，以所得两子数相减为余数。设如有三分丈之二减五分丈之三求余数法以两分母三五相乘得一十五为共母数，再以前分母三乘后分子三得九，又以后分母五乘前分子二得一十，将所得两分子相减余一，即得十五分丈之一为余数也。此法用互乘齐其分母，将三分丈之二变为十五分丈之十，将五分丈之三变为十五分丈之九，两分母既同为十五分，故两分子十与九相减余一为十五分丈之一也。此分母不同之减法也。如两分母不同可以加减之使其相同者，减之亦如加法中例，故不重设【如以真数明之，其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有余也，其五分丈之三即六尺也，相减余六寸六分六厘有余，即十五分丈之一也。葢一丈分为十五分，每一分得六寸六分六厘不尽也】凡零数与整数相减者，即以分子与分母相减为余数。设如有米一石内减七分石之五，求余数法以整数一石变为七分，为分母与分子五相减，余二，即得七分石之二为余数也。葢将一石分为七分，而于此七分内减去五分，则所余即七分石之二【五】此整数中减零数法【如以真数明之，将一石分为七分，则每一分得一斗四升二合八勺五撮七抄有余，其五分即七斗一升四合二勺八撮五抄有余也，与一石相减，余二斗八升五合七勺一撮四抄有余，即七分石之二也。葢一斗四升二合八勺五撮七抄有余为一分，则二斗八升五合七勺一撮四抄有余自为二分也】也，凡整数带零分相减者，将两零分用互乘法变为同母，然后减。之设如，有银八两零五分，两之四，内减五两零七分两之三，求余。数法以八两之零数五分之四与五两之零数七分之三用互乘法，两分母七相乘得三十五为共母数。再以五两之分母七乘八两之分子四，得二十八为八两所变之子数。又以八两之分母五乘五两之分子三，得十五为五两所变之子数。乃以八两五两二整数相减，余三两。以两子数二十八与十五相减，余十三，即得三两又三十五分两之十三为余数也。葢既将两子数变为同母，则八两者为八两零三十五分两之二十八，五两者为五两零三十五分两之十五。分母既同，故以子数相减而得余数，此整数带零分相减之法也【如以真数明之，其八两零五分两之四即八两八钱也。其五两零七分两之三即五两四钱二分八厘五豪七丝有余也。相减余三两三钱七分一厘四豪二丝有余。其三两为整数，其三钱七分一厘四豪二丝有余即三十五分中之十三分也。葢将一两分为三十五分，则每一分得二分八厘五豪七丝有余。其十三分即三钱七分一厘四豪二丝有余也】凡子母数三、四种相减者，其分母、分子俱不同，则用互乘以齐其分母，按前法减之。如两分母相同者，即将其两分子相减，而与所余之分母不同者，用互乘以减之。又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者，则直以所得之分子与所余之分子相减，即得余数。其理与加法同。设如，有铜九斤零八分斤之七，内减二斤零四分斤之一，又减八分斤之三，求余数法以九斤内减去二斤，余七斤为整数，乃以八分斤之七与四分斤之一用互乘法，将八分斤之七变为三十二分斤之二十八，将四分斤之一变为三十二分斤之八，两数相减，余三十二分斤之二十，又以三十二分斤之二十与第三零数八分斤之三用互乘法，将三十二分斤之二十变为二百五十六分斤之一百六十，将八分斤之三变为二百五十六分斤之九十六，两数相减，余二百五十六分斤之六十四，合前整数共得七斤又二百五十六分斤之六十四为余数也。如用约法则为七斤零四分斤之一，葢二百五十六为四倍六十四，今以六十四为一分，则二百五十六自得四分也。其余几种零分内有两分母相同，或两分母乘出之数与余一分母相同，俱照同分母之例减之，故不再设或零分有四种五种者，亦俱仿此，此几种零分相减之法也【如以真数明之，其九斤零八分斤之七即九斤十四两也，内减二斤零四分斤之一，是减去二斤四两，又减去八分斤之三，是又减去六两也，余七斤零四两，即七斤零四分斤之一也，葢一斤分为四分，则每一分得四两，今七斤零四两，故谓七斤零四分斤之一也】

乘法零分与零分相乘者，两分母两分子各相乘，所得之数即乘出之分也。设如，有三分丈之二与五分丈之四相乘，问得几何？法以两分母三、五相乘得十五分为乘出之分母，又以两分子二、四相乘得八分为乘出之分子，即定为十五分丈之八为所得之数也。今以图明之：如甲乙为一丈，而甲丁亦为一丈，作一甲乙丙丁正方形，将甲丁分为三分，甲乙分为五分，内共容十五分，即共母数，乃两分母三与五乘出之数也。其甲丁之三分之二为甲戊，甲乙之五分之四为甲己，二数相乘得甲已庚戊长方形，内容八分，即共子数，乃两分子二与四乘出之数也。甲乙丙丁正方与甲己庚戊长方相较，即知甲己庚戊长方为甲乙丙丁正方中之十五分之八矣，此零分乘零分之法也【如以真数明之：其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有余也，其五分丈之四即八尺也，相乘得五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有余，即十五分丈之八也。葢一丈正方内容百尺，分为十五分，则每一分得六尺六十六寸六十六分六十六厘有余，今得其八分，即五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有余也】零分与整数相乘者，分子乘整数而以分母归之，即所得之数也。设如，有七人，每人赏银五分两之二，问共得若干？法以分子二与七人相乘，得十四，以分母五归之，得二两八钱，即七人共得之数也。葢五分两之二，是一两分为五分而得其二分也。一人得二分，则七人必共得十四分。既以一两分为五分，今满五分收为一两，故以五归十四，得二两八钱为共数。此零分与整数相乘之法也。整数带零分与整数乘者，先将整数俱通为零分，相乘得数，以分母自乘之数除之，即得。设如，有整数二丈又四分丈之一，与八丈相乘，问得几何？法以整数二丈用分母四通为八分，加入分子，一共得九分。又以整数八丈用分母四通为三十二分，乃与九分相乘，得二百八十八分。以分母四自乘之一十六除之，得一十八，即定为一丈正方，一十八为所得之数也。此法葢以一丈通为四分，是四四自乘之数，始合一丈自乘之数，故一十六者，即分母四自乘之数。未乘之先，既以四通之，故相乘之后，必以四四自乘之数收之，乃得真数。此整数带零分与整数相乘之法也【如以真数明之，其二丈又四分丈之一，即二丈二尺五寸，与八丈相乘，即得一十八丈也】整数带零分与零分乘者，先将整数通为零分，相乘得数，以分母自乘之数除之，即得。设如，有整数二丈又五分丈之四，与零分五分丈之三相乘，问得几何？法以整数二丈用分母五通为十分，加入分子四，得十四分，乃与零分分子三相乘，得四十二，以分母五自乘之二十五除之，得一六八，即定为一丈正方一又一尺正方六十八，为所得之数也。

此法葢以一丈通为五分，是五五自乘之数，始合一丈自乘之数，故以二十五除之。又二丈之零分五分之四与所乘之零分五分之三为同母，故用此法。如两零分分母不同，则先将两零分用互乘法变为同母，然后用所变之分母化整为零，再与彼一零分相乘得数，以所变之分母自乘之数除之，即得乘出之数【法见下节】此整数带零分与零分相乘之法也【如以真数明之，其二丈又五分丈之四，即二丈八尺也，其五分丈之三，即六尺也，以六尺与二丈八尺相乘，即得一丈六十八尺也】整数带零分与整数带零分相乘，而零分之分母不同者，则以两零分之分母用互乘法齐其数，然后各以相同之分母化整为零，两数相乘，再以同母自乘之数除之，即得【如所带零分本为同母者，可省互乘】设如，有长方田，阔二丈又四分丈之三，长三丈又三分丈之二，求积。法以两分母四三相乘得一十二为共母数，以前分母四乘后分子二得八，以后分母三乘前分子三得九为两分子数。乃以共母数十二化阔二丈为二十四分，加入分子九得三十三分为阔边所变之分数。又以共母数十二化长三丈为三十六分，加入分子八得四十四分为长边所变之分数。爰以阔三十三分与长四十四分相乘得一千四百五十二，乃以共母数十二自乘之一百四十四除之，得一○○八余四八不尽，即定为一丈正方十一尺正方八零一百四十四分尺之四十八，约为三分尺之一，为所得之数也。此整数带零分与整数带零分相乘之法也【如以真数明之，其阔二丈又四分丈之三，即二丈七尺五寸也；其长三丈又三分丈之二，即三丈六尺六寸六分六厘有余也。以二丈七尺五寸与三丈六尺六寸六分六厘有余相乘，即得一十丈零八尺有余也】大分下又带小分相乘者，其例有四【所谓大分下带小分者，是将大分之一分又分为几分，如大分五分之三又带小分四分之一，是将大分五分之三之一分又分为四分而得其一分也】有大小分母俱同者，有大小分母俱不同者，有大分母同而小分母不同者，有大分母不同而小分母同者。今以一法驭之，总以小分母通大分母为母数，又以小分母通大分子加入小分子为子数，然后以所变之两母数、两子数对乘即得【总以小分母通之者，葢小分母又为大分母之每一分之几分，小分不能使大，大分可以变小，使大分母、大分子俱变为小分母一体，然后可以相乘，乘之即所以通之也。设法中以度数明之，其理自显】设如，有甲数五分丈之三，又带此一分之四分之一，与乙数五分丈之四，又带此一分之四分之二，相乘，问得几何【此大小分母俱同者也】法以甲数小分母四通大分母五得二十，仍以小分母四通大分子三得一十二，再加入小分子一得一十三，共得二十分之十三为甲大小分所变之数。

又以乙数小分母四通大分母五得二十，仍以小分母四通大分子四得一十六，再加入小分子二得一十八，共得二十分之十八为乙大小分所变之数。然后以甲所变之分母二十与乙所变之分母二十相乘得四百分为乘出之分母，又以甲所变之分子十三与乙所变之分子十八相乘得二百三十四分为乘出之分子，即定为四百分丈之二百三十四为所得之数也【此法甲乙之小分母俱为四，故将其大分母之每分亦俱化为四分，又将大分子之每分亦俱化为四分，使大分与小分之子母一体然后乘之。今以度数明之，甲之五分丈之三乃一丈内之六尺，其所带小分之四分之一乃二尺内之五寸，是甲数共为六尺五寸。乙之五分丈之四乃一丈内之八尺，其所带小分之四分之二乃二尺内之一尺，是乙数共为九尺。六尺五寸与九尺相乘得五十八尺五十寸，是一丈正方为一百尺而得其五十八尺又小余五十寸也。若以分母四乘一百尺得四百分，又乘得数五十八尺五十寸得二百三十四分，故为四百分之二百三十四也。若以尺随寸命之，则五十八尺五十寸又为五千八百五十寸，以大分每一分通为小分四分，则每一千寸分为四分，每分得二百五十寸，以二百五十寸归五千八百五十寸得二十三寸四十分，乃四十分中之二十三又小零分之四分，进而命为丈则为四百分丈之二百三十四也】设如，有甲数四分丈之三，又带此一分之七分之二，与乙数九分丈之五，又带此一分之三分之一，相乘，问得几何【为所得之数也，此大小分】法以甲数小分母七通大分母四得二十八，仍以小分母七通大分子三得二十一，再加入小分子二得二十三，共得二十八分之二十三为甲大小分所变之数。又以乙数小分母三通大分母九得二十七，仍以小分母三通大分子五得一十五，再加入小分子一得一十六，共得二十七分之一十六为乙大小分所变之数。然后以甲所变之分母二十八与乙所变之分母二十七相乘得七百五十六分为乘出之分母，又以甲所变之分子二十三与乙所变之分子一十六相乘得三百六十八分为乘出之分子，即定为七百五十【母俱不同者也】六分丈之三百六十八【如以真数明之，甲四分丈之三即一丈内之七尺五寸，又带小分七分之二即二尺五寸内之七寸一分四厘二豪有余，是甲数共为八尺二寸一分四厘二豪有余也。乙九分丈之五即一丈内之五尺五寸五分五厘五豪有余，又带小分三分之一即一尺一寸一分一厘一豪有余内之三寸七分零三豪有余，是乙共为五尺九寸二分五厘九豪有余也。两数相乘得四十八尺六十七寸六十五分有余，即七百五十六分丈之三百六十八也。如以七百五十六分除三百六十八分，亦得四十八尺六十七寸六十五分不尽之数，葢七百五十六分为一百尺，则三百六十八分自得四十八尺六十七寸六十五分有余也】设如，有甲数八分丈之三，又带此一分之四分之一，与乙数八分丈之四，又带此一分之六分之五，相乘，问得几何【此大分母同而小分母不同者也】法以甲数小分母四通大分母八得三十二，仍以小分母四通大分子三得一十二，再加入小分子一得一十三，共得三十二分之一十三为甲大小分所变之数。

又以乙数小分母六通大分母八得四十八，仍以小分母六通大分子四得二十四，再加入小分子五得二十九，共得四十八分之二十九为乙大小分所变之数。然后以甲所变之分母三十二与乙所变之分母四十八相乘得一千五百三十六分为乘出之分母，又以甲所变之分子十三与乙所变之分子二十九相乘得三百七十七分为乘出之分子，即定为一千五百三十六分丈之三百七十七为所得之数也【二相乘问得几何？如以真数明之，甲八分丈之三，即三尺七寸五分，又带此一分之四分之一，即三寸一分二厘五豪，是甲数共为四尺零六分二厘五豪也。乙八分丈之四，即五尺，又带此一分之六分之五，即一尺零四分一厘六豪有余，是乙数共为六尺零四分一厘六豪有余也。两数相乘得二十四尺五十四寸四十二分有余，即一千五百三十六分丈之三百七十七也。如以一千五百三十六分除三百七十七分，亦得二十四尺五十四寸四十二分不尽之数。葢一千五百三十六分为一百尺，则三百七十七分自得二十四尺五十四寸】设如，有甲数六分丈之四，又带此一分之五分之一。与乙数九分【四十二分有余也】丈之七又带此一分之五分之【此大分母不同而小分母同者也】法以甲数小分母五通大分母六得三十，仍以小分母五通大分子四得二十，再加入小分子一得二十一，共得三十分丈之二十一为甲大小分所变之数。又以乙数小分母五通大分母九得四十五，仍以小分母五通大分子七得三十五，再加入小分子二得三十七，共得四十五分之三十七为乙大小分所变之数。然后以甲所变之分母三十与乙所变之分母四十五相乘得一千三百五十分为乘出之分母，又以甲所变之分子二十一与乙所变之分子三十七相乘得七百七十七分为乘出之分子，即定为一千三百五十分之七百七十七为所得之数也【如以真数明之，甲六分丈之四即六尺六寸六分六厘六豪有余，又带此一分之五分之一即三寸三分三厘三豪有余，是甲数共为六尺九寸九分九厘九豪有余也。乙九分丈之七即七尺七寸七分七厘七豪有余，又带此一分之五分之二即四寸四分四厘四豪有余，是乙数共为八尺二寸二分二厘二豪有余也。两数相乘得五十七尺五十五寸五十五分有余，即一千三百五十分丈之七百七十七也。如以一千三百五十分除七百七十七分，亦得五十七尺五十五寸五十五分不尽之数，葢一千三百五十分为一百尺，则七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有余也】

除法零分归除，零分者，两分母两分子各自除之，所得之数即除出之分也。如有竒零不尽者，用互乘法齐之，即得分数，其比例与除出之法同。设如，有九分丈之二，以三分丈之一除之，求得几何？法以九分丈之二为实，三分丈之一为法，以法分母三除实分母九，得三为除出之分母，又以法分子一除实分子二，仍得二为除出之分子，即定为三分丈之二为所得之数也。此法即乘法内两分母、两分子各相乘为所得之数者，转用之耳。此零分除零分之法也。又法以互乘代除，以实分母九乘法分子一，得九为除出之分母。又以法分母三乘实分子二，得六为除出之分子。共得九分丈之六，即所求之数也。此法与前法所得之分母分子之数虽不同，而理则一。前法之三分之二与此法之九分之六，其比例实同。葢前法以法除实，其得数为减分之比例；此法以两数互乘，其得数为加分之比例。故九分之六即三分之二也。但法中不用两分母相乘之数，省去一层耳。如欲明晰其故，则以两分母九与三相乘得二十七，法分母三与实分子二相乘得六，实分母九与法分子一相乘得九。是将三分之一变为二十七分之九，将九分之二变为二十七分之六。其两分母既等，则其两分子自成比例。故九与六之比即同于三与二之【六以三约之非三分之二耶】比九分之【如以真数明之实九分丈之二为面积即二十二尺二十二寸二十二分二十二厘有余也法三分丈之一为边线即三尺三寸三分三厘有余也除之得六尺六寸六分六厘有余即三分丈之二也如以三分除二分亦得六尺六寸六分六厘不尽之数葢三分为一丈其二分自得六尺六寸六分六厘有余也】整数归除，零分者，分母通整数以除分子，即得所求之数。设如，有五分丈之三，以八丈除之，求得几何？法以分子三为实，以分母五通整数八丈，得四十为法，除之得七寸五分，即所求之数也。此法以五分乘八丈者，是分母通整数，将每丈俱通为五分也。八丈既通为四十分，则五分之三之每一分，即与四十分中之每一分同等。然而零数三分以四十分除之而得七寸五分者，则又为变分为尺寸之比例矣。四十分与一丈之比，即同于三分与七寸五分之比，此整数除零分之法也。零分归除整数者，分母通整数而以分子除之，即得所求之数。设如，有六丈，以三分丈之二除之，求得几何？法以分母三通整数六丈得一十八为实，以分子二为法除之，得九丈，即所求之数也。此法以三分乘六丈者，是将每丈俱通为三分也。六丈既通为十八分，则十八分中之每一分与三分之二之每一分同等，故以分子二除十八得九丈，此零分除整数之法也。整数带零分归除整数者，先将法实之两整数俱通为零分，而于法中加入分子，除之即得。

设如，有二十四丈，以二丈零三分丈之二除之，求得几何？法以分母三通二十四丈得七十二为实，又以分母三通二丈得六，加入分子二得八为法，除之得九丈，即所求之数也。此法以分母三通实二十四丈，是将实之每丈俱化为三分也；又以分母三通法二丈，是将法之每丈亦俱化为三分也。两整数俱化为同等，则法实一体，故法除实而得所求之数也。此整数带零分除整数之法也。整数归除，整数带零分者，先将法实之两整数俱通为零分，而于实中加入分子，以法除之，即得。设如有二丈零三分丈之二，以二十四丈除之，求得几何【即以前法数目作题者，取其易明也】法以分母三通二丈得六，加入分子二得八为实。又以分母三通二十四丈得七十二为法，除之得一尺一寸一分，不尽约为九分丈之一，即所求之数也。此法以分母三通法实之两整数者，是将两整数之每丈俱通为三分也。一得七十二分，一得八分，以七十二与八之比，即同于九与一之比，故约为九分之一。且以七十二除八得一，一一不尽之数定为一尺一寸一分有余者，葢七十二分与一丈之比，即同于八分与一尺一寸一分有余之比也。此整数除整数带零分之法也。整数带零分，归除零分者，先将整数通为零分，加入分子，除之即得。设如有五分丈之四，以三丈零八分丈之一除之，求得几何？法以五分丈之四为实，以法之分母八通三丈，得二十四，加入分子一，得二十五，共得八分丈之二十五为法，用两分母两分子各自归除之法，以法分母八除实分母五，得六二五为除出之分母，以法分子二五除实分子四，得一六○为除出之分子，乃以所得之分母除所得之分子，得二尺五寸六分，即所求之数也。葢法之三丈又八分丈之一，乃三丈一尺二寸五分也，实之五分丈之四，乃八尺也，以三丈一尺二寸五分归除八尺，每丈得二尺五寸六分，是三丈一尺二寸五分与一丈之比，即同于八尺与二尺五寸六分之比也。今以分母六二五除分子一六○，亦得二尺五寸六分，是六二五与一丈之比，即同于一六○与二尺五寸六分之比也。然六二五与三丈一尺二寸五分之比，又即同于一六○与八尺之比，而皆为加倍之比例也，此整数带零分除零分之法也。又或整数通为零分，加入分子之后，以法除实而数有竒零不尽者，则用互乘代除之法，如前数已将整数通为八分丈之二十五为法，乃以实分母五乘法分子二十五，得一百二十五为除出之分母，又以法分母八乘实分子四，得三十二为除出之分子，乃以所得之分母除所得之分子，亦得二尺五寸六分。葢一百二十五分与一丈之比，即同于三十二分与二尺五寸六分之比也，后法之有竒零数而用互乘代除者，皆同此例。

零分归除，整数带零分者，先将整数通为零分，加入分子，以法除之，即得。设如，有四丈又三分丈之二，以七分丈之四除之，求得几何？法以实之分母三通四丈得十二，加入分子二得十四，共得三分丈之十四为实，以七分丈之四为法，用互乘代除之法，以实分母三乘法分子四得十二为除出之分母，以法分母七乘实分子一十四得九十八为除出之分子，乃以所得之分母除所得之分子得八尺，仍余二不尽，命为十二分尺之二，以法约之为六分尺之一，共得八尺零六分尺之一，即所求之数也。葢十二与一尺之比，即同于九十八与八尺有余之比也，此零分除整数带零分之法也。整数带零分，归除整数带零分者，先各以整数通为零分，加入分子，而以法除实，即得。设如有田五亩，又三分亩之二，共租银五两又二十七分两之一，求每亩得租银几何？法以银分母二十七通五两得一百三十五，加入分子一得一百三十六，共得二十七分两之一百三十六为实。又以田分母三通五亩得十五，加入分子二得十七，共得三分亩之十七为法。用互乘代除之法，以银分母二十七乘田分子一十七得四百五十九为除出之分母；以田分母三乘银分子一百三十六得四百零八为除出之分子。乃以所得之分母除所得之分子，得八钱八分八厘零四百五十九分厘之四百零八，即每亩所租之银数也。葢四五九与一两之比，即同于四○八与八钱八分八厘有余之比也。此整数带零分除整数带零分之法也。大零分下又带小零分相除者，其例有四【有大小分母俱同者，有大小分母俱不同者，有大分母同而小分母不同者，有大分母不同而小分母同者】今以一法驭之，总以小分母通大分母为母数，又以小分母通大分子，加入小分子为子数，然后以所变之子母数用互乘代除之法归之，即得【如用子母各自对除亦得，但恐数有竒零，故用此法】设如，有甲八分丈之七，又带此一分之五分之三，以乙五分丈之二，又带此一分之四分之一，除之，求。

法以甲小分母五通大分母八得四十，仍以小分母五通大分子七得三十五，再加入小分子三得三十八，共得四十分丈之三十八，为甲大小分所变之数，以之为实。又以乙小分母四通大分母五得二十，仍以小分母四通大分子二得八，再加入小分子一得九，共得二十分丈之九，为乙大小分所变之数，以之为法。然后用互乘代除之法，以甲所变之分母四十乘乙所变之分子九得三百六十，为除出之分母；又以乙所变之分母二十乘甲所变之分子三十八得七百六十，为除出之分子。乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十，得二尺一寸一分一厘零三百六十分厘之四十，约为九分厘之一，即所求之数也。葢三六○与一尺之比，即同于七六○与二尺一寸一分一厘有余之比也。此大零分下带小零分相除之法也【其分母分子俱同及分母同而分子不同，分母不同而分子同者，皆用此例，故不重设】

御制数理精蕴下编卷二<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书