数度衍卷二十二
数度衍卷二十二
桐城 方中通 撰度【粟布之一】
度长短法式九寸五分，小尺量得三丈五尺十寸，正尺该若干？曰：三丈三尺二寸五分。术：以三丈五尺为实，以九寸五分为法，乗之即得。式二十寸，正尺量得三丈三尺二寸五分，九寸五分，小尺该若干？曰：三丈五尺。术：以三丈三尺二寸五分为实，以九寸五分为法，除之即得。式三九寸尺量得四丈八寸尺，该若干？曰：四丈五尺。术：以四丈为实，以九寸乗之，得三丈六尺，再用八寸除之，即得。通曰：「乗非加也，折而小之也；除非减也，折而大之也。」
求价法式银二十六两五钱，买纱二百二十二丈六尺，毎疋长四丈二尺，问纱疋及疋价若干？曰：五十三疋，毎疋价五钱。术：以二百二十二丈六尺为实，以四丈二尺为法，除之，得五十三疋。又以二十六两五钱为实，以五十三疋为法，除之，得五钱。
量【粟布之二】
量多寡法式一斗五升，大斗量得七石十升，正斗该若干？曰十石○五斗。术：以一斗五升乗七石，即得。式二十升，正斗量得十石○五斗，一斗五升大斗，该若干？曰七石。术：以一斗五升除十石○五斗，即得。式三二斗五升，斛量得四十二斛。若以一斗五升大斗量之，该若干？曰七石。术：以二斗五升乗四十二斛，得十石○五斗为实，以一斗五升为法，除之即得。
官粮带耗法式正一石，耗七升。今共粮二千七百六十五石九斗五升，内正耗各若干。曰正二千五百八十五石，耗一百八十石○九斗五升。术：以共粮为实，以正耗共一石○七升为法，除之得正数，以减共粮，余为耗数。或以耗七升乗正数，亦可。
衡【粟布之三】
权轻重法较秤式，用秤称物，不及其锤重一斤十两，外加一锤重一斤四两八钱，称得六十七斤，依本秤算该斤几何？曰：一百二十斤○九两六钱。术：以原锤通作二十六两【法见后】加锤通作二十两○八钱，并得四十六两八钱为三率，以六十七斤为次率，以原锤二十六两为首率，次三相乗，首除得一二○六一二者，一百二十斤也。六乃斤下虚数，用加六法得九两六钱。较锤式原秤称物重八斤二两，失去原锤，欲另配锤，不知轻重。借锤重二斤五两称原物，只得六斤。原锤该重若干？曰：一斤十一两三钱零。术：以六斤通作九十六两为三率，以借锤通作三十七两为次率，以原重通作一百三十两为首率。次三相乗，首除，得二十七两三钱零，乃一斤十一两三钱零也。
两求斤法通曰：斤法十六，不以十进，故须通斤为两，归两为斤也。式物重三百二十两，该斤几何？曰：二十斤。术：以物重为实，以十六为法，除之即得。又术：先用八除实，后用五乗，亦得。又术：以实两次折半，又加实数，再折半，亦得。又术：以实四次折半，亦得。此即偶数可折至一止也。又术：先用二除实，后用八除，亦得。以实两次四除，亦得。通曰：「二八为十六，四四亦为十六，故皆可用也。五乗即二除也。」
斤求两法式物重二十斤，该两几何？曰：三百二十两。术：以物重为实，以十六为法，乗之即得。又术：以八乗实，以五除之，亦得。又术：倍实，又乗八，亦得。又术：以四乗实，又乗四，亦得。
珠算两求斤法诀曰：一退六二五，二一二五，三一八七五，四二五，五三一二五，六三七五，七四三七五，八五九五六二五，十六二五，十一六八七五，十二。七五，十三八一二五，十四八七五，十五九三七五，十六进一。退者，挨身下位也。无退则自本位起也。进则左位矣。式物重三百二十一两，该斤几何？曰二十斤○一两。术：置三百二十一两在位，从右起，曰一退六二五，抹去寅一卯上六，辰上二，巳上五，曰二一二五。丑二变一，寅上二，卯六变一，而寅二又变三，曰三一八七五。子三变一，丑一变九，寅抹三，又抹丑九，而子一又变二，卯一变六。算毕，子位二，即二十斤也。卯六。辰二，巳五，再用定身加六法，得一两。又诀曰：进一除一六，进二除三二，进三除四八，进四除六四，进五除八十，进六除九六，七除一一二，八除一二八，九除一四四。式物重二千九百四十四两，该斤几何？曰：一百八十四斤。术：置二千九百四十四两，在位从左起，曰进一，除一六，子上一，丑二，变一寅九，变三曰八，除一二八，丑一变八，寅抹三，夘四变六，曰进四，除六四，寅上四，卯抹六，辰抹四，除毕，即得。通曰：「二式得数后，须推斤止何处，始得余两。」
减六法定身减六式，物重四万○七百三十六两，该斤几何？曰：二千五百四十六斤。术：置实，从左起，曰减二六一十二，子之四，存二；减一二丑上八，曰减五六方三十，丑之八，存五；减三，曰减四六二十四，寅之七，存四；减二四卯三变九，曰减六六三十六，卯之九，存六；减三辰，减六实尽，即得。
通曰凡存数皆勿动即斤数也珠算斤求两法通曰：「作几段起算后，并为一，不论左首，但取右尾，挨次退一位加之。」诀曰：「一作一，六二作三二，三作四八，四作六四，五作八，六作九六，七作一一二，八作一二八，九作一四四。」式物重三百七十四斤，该两几何？曰：五千九百八十四。
两术通曰分三段三百为一段曰三作四八七十为一段曰七作一一二四斤为一段曰四作六四乃以每段右退一位加得两数加六法定身加六式，物重四十六斤，该两几何？曰：七百三十六两。术：置实，从实尾起，曰六六加三十六，曰四六加二十四，于四十六上共加二十七六也，合成七三六，即两数通。曰：减六者，于数内照存数减几回六也；加六者，于数外照本数加几回六也。式二物重三百二十一两，用两求斤，前诀巳推二十斤，尚余六二五，为斤法，几两？曰：一两术，用定身加六即得。曰：五六方三十，曰：二六一十二，曰：六六三十六，如六百二十五上加三百七十五，成一千也。
化法百两为六斤四两，千两为六十二斤八两，万两为六百二十五斤，故知六二五为一之所化也。葢百两曰六二五，六即六斤二五为化数，存身加六，归得四两也。千两曰六二五，六二即六十二斤五为化数，存身加六，归得八两也。若以一两为六百二十五，一斤为一万数矣。式原买物一斤价七钱六分五厘，今欲买六两，该银若干？曰二钱八分六厘八毫七丝五忽。术以六两化之，六其六二五，得三十七五，降作三七五为实。以七钱六分五厘降作七分六厘五毫为法，乗之即得。式二：原买物一斤，价五两。今买三百四十五两，该银若干？曰：一百○七两八钱一分二厘五毫。术通曰：以三百四十五两乗六百二十五，化作二十一万五千六百二十五，又以五两乗之，得一百○七万八千一百二十五为实，以一斤化作一万为法，除之即得。
互求【粟布之四】通曰：「周尺小，沿今渐大。今之周通尺犹小。古石即石，如其石重量亦衡也。斤法三百八十四铢，汉志十六两，故每两二十四铢。至其不齐，度量有大至加五，衡有十七八两以至二十余两为斤者。闽中更有牙桶管，不以升斗十进。粤又以五斗为石，五升为斗，与豫章之硕同。《书》曰：『同律度量衡，同律而后可互求也。』」
度求量法斛法二尺五寸，乃长濶皆一尺，髙二尺五寸，容积一石也。方仓求积式，方仓长四丈七尺，濶三丈一尺，髙九尺。问积米若干？曰：五千二百四十五石二斗。术：以长与濶相乗，得一百四十五丈七尺；再以髙乗之，得一千三百一十一丈三尺为实，以斛法二尺五寸除之，即得。式二方仓，方一丈五尺，髙一丈五尺，问积米若干？曰：一千三百五十石。术：以方一丈五尺自乗，得二百二十五尺，再以髙乗之，得三千三百七十五尺为实，以斛法除之，即得。圆仓求积式，圆仓周二丈四尺，髙一丈二尺三寸，问积若干？曰：二百三十六石一斗六升。术：以周自乗，得五百七十六尺，以髙乗之，得七万○八百四十八，以圆率十二除之，得五千九百○四为实，以斛法除之，即得。又术：以七万○八百四十八为实，以斛法乗圆率，得三十为法，除实，亦得。又术：以七万○八百四十八为实，以三除之，亦得。方窖求积式，方窖上方六尺，下方八尺，深一丈二尺，问积若干？曰：二百三十六石八斗。术：以上方自乗，得三十六；下自乗，得六十四；上下方相乗，得四十八；并三乗数，共一百四十八；以深乗之，得一千七百七十六；用方窖率三除之，得五百九十二为实；以斛法除之，即得。又术：以五百九十二为实，以四乗之，亦得。通曰：「四乗即二十五，除故可代斛法也。」圆窖求积，式圆窖上周二丈八尺，下周一丈五尺，深七尺五寸，问积若干？曰一百一十九石○八升有零。术：以上周自乗，得七十八丈四尺；下周自乗，得二十二丈五尺；上下周相乗，得四十二丈；并三乗数，共一百四十二丈九尺；以深乗之，得一○七一七五；用圆窖率三十六除之，得二九七七零为实；以斛法除之，即得。又术：以一○七一七五用六除二次，亦得二九七七零；以四乗之，亦得。通曰：「六六为三十六，故可代圆窖率也。」平地尖堆求积式，周二丈七尺，髙六尺，问积若干？曰：四十八石六斗。术：以周自乗，得七二九，又以髙乗之，得四三七四，用圆窖率三十六除之，得一二一五为实，以斛法除之即得。又术：以四三七四为实，以九除之，亦得。通曰：以斛法乗圆窖率，得九十，故可用九除也。倚壁求积式，下周一丈九尺，髙一丈二尺六寸，问积若干？曰：一百○一石○八升。术：以下周自乗，得三六一，以髙乗之，得四五四八六，用倚壁率十八除之，得二五二七为实，以斛法除之即得。又术：以四五四八六为实，以四十五除之，亦得。又术：以四五四八六用五除之，得九○九七二，以九除之，亦得。通曰：「以斛法乗倚壁率，得四十五，五九亦四十五，故皆可用。」内角求积式，周一丈五尺，髙一丈四尺四寸，问积若干？曰：一百四十四石。术：以周自乗，得二二五，以髙乗之，得三二四，用内角率九除之，得三六为实，以斛法除之，即得。又术：以三二四为实，以二十二尺五寸为法除之，亦得。通曰：以斛法乗内角率，得二十二尺五寸也。故用之外角，求积。式周五丈七尺，髙八尺五寸，问积若干？曰：四百○九石一斗三升二合零。术：以周自乗，得三二四九；以髙乗之，得二七六一六五。用外角率二十七除之，得一○二二八三零，为实。以斛法除之，即得。又术：以二七六一六五为实，以六十七尺五寸为法，除之，亦得。又术：以二七六一六五用三除之，得九二○五五；以九除之，得一○二二八三零；以四乗之，亦得。通曰：「以斛法乗外角率，得六十七尺五寸也。三九亦二十七，故皆可用。」船求积式：船两头俱面广六尺五寸，中腰广七尺五寸，底广六尺，长一丈八尺，深二尺五寸。问积若干？曰：一百二十三石七斗五升。术：倍腰广为十五尺，并入面广、底广，共二十七尺五寸，以四除之，得六八七五，以深乗之，得一七一八七五，又以长乗之，得三○九三七五为实，以斛法除之，即得。式：二南头面广六尺，腰广六尺五寸，底广五尺，北头面广七尺，腰广七尺五寸，底广六尺，深二尺四寸，长九尺。问积若干？曰：五十六石一斗六升。术：倍南腰为十三尺，加南面底，共二十四尺。倍北腰为十五尺，加北面底，共二十八尺。南四除得六，北四除得七，并得十三，折半得六五，以乗深，得十五尺六寸，再乗长，得一百四十尺○四寸为实，以斛法除之，即得。通曰：「圆仓、圆窖，非浑圆也。仓乗得积十二倍，窖乗得积三十六倍。方窖乃三不等立方也，乗得积三倍。尖堆与圆窖同率，倚壁止半尖，故其率减尖堆之半。内角乗得积九倍，外角周大而积少，故其率三倍于内角。此用率除得实之故也。」
度求衡法立方一寸为金率，十六两；银率，十二两；玉率，十两不等；铅率，九两五钱；铜率，七两五钱；铁率，六两；青石率，三两不等。式金立方一丈二尺，该重几何？曰：二千七百六十四万八千两。术：以一丈二尺通作一百二十寸，自乗得一万四千四百寸，再乗得一百七十二万八千寸为实，以金率十六两乗之，即得。式二盐立方一尺重四十斤。今有盐一堆，长一丈五尺，濶一丈二尺，髙六尺五寸，共重几何？曰：四万六千八百斤。术：以长乗濶，得一百八十尺；又乗髙，得一千一百七十尺，为实。以四十斤为法，乗之，即得。
量求度法此即度求量之还原也式有米二千四百一十九石二斗，欲作方仓盛之，濶十八尺，髙十二尺，长该几何？曰：二十八尺。术：以斛法二尺五寸乗米数，得六千○四十八尺为实，以髙乗濶，得二百一十六尺为法，除之得长。长髙求濶，以长乗髙为法；长濶求髙，以长乗濶为法。式二有米七百○五石六斗，欲作圆仓盛之，髙十二尺，周该几何？曰四十二尺。术：以斛法乗米数，得一千七百六十四；以圆率十二乗之，得二万一千六百六十八；以髙除之，得一千七百六十四，为实用。少广章平方法开之，得周。周求髙，则以二万一千一百六十八为实，以周自乗为法除之，得髙。式三有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之。上方九尺，深十三尺，下方该若干？曰：十二尺。术：以斛法乗米数，得一千四百四十三尺。以方窖率三乗之，得四千三百二十九尺。以深除之，得三百三十三尺。内减上方自乗，得八十一尺，余二百五十二尺为实。以上方为纵，用少广章带纵开平方除之，得下方。下方求上方，于三百三十三内减下方自乘，余为实。以下方为纵，用带纵开平方除之，得上方。式四有米七十七石二斗，欲作圆窖盛之。上周十四尺，深九尺，下周该若干？曰十八尺。术以斛法乗米数得一百九十三尺。以圆窖率三十六乘之，得六千九百四十八。以深除之，得七百七十二尺。内减上周自乗，得一百九十六，余五百七十六尺为实以上周为纵用带纵开平方除之，得下周下周求上周于七百七十二内减下周自乗，余为实以下周为纵用带纵开平方除之，得上周量求衡法百二十斤为石，法然，物亦不等，率亦不等。式米二百五十三石，该斤几何？曰：三万○三百六十斤。术：以米数为实，以石法乗之，即得。
衡求度法此即度求衡之还原也式金重二千七百六十四万八千两，该立方几何？曰：方一丈二尺。术：以金数为实，以金率十六除之，得一百七十二万八千寸为立实用，少广章开立方除之，即得。
衡求量法此即量求衡之还原也式：米三万○三百六十斤，该石几何？曰：二百五十三石。术：以米数为实，以石法除之，即得。
就物抽分法式糓三千五百石，即以糓扣作脚价，每石脚银五分，糓每石价二钱，问主脚糓各若干？曰主糓二千八百石，脚糓七百石。术：以二钱为法，除五分，得每石脚糓二斗五升，并一石为一石二斗五升，以除总糓，得主糓，以主糓减总糓，余为脚糓。又术：以五分乗总糓，得一百七十五为实，以谷价脚银并二钱五分为法，除实得脚糓，减总得主。式二丝四十三斤十二两，织绢每疋用丝一斤，即与织工丝四两，问各若干？曰：织绢三十五疋，织工丝八斤十二两。术：以斤下两化作七五【十二其六二五也】并四十三斤得四三七五，以工四两化作二五【四其六二五也】相乗得十斤○九三七五为实，乃并织丝工丝共一斤四两化作一二五为法，除实得八斤七五，将七五用加六法归得八斤十二两为织工丝，以减总丝余为织绢丝三十五斤，一斤即一疋，得三十五疋。又术：以总丝通为七百两，以工四两乗之得二千八百两为实，以每疋用十六两并入工四两得二十两为法，除实得织工丝一百四十两，归得八斤十二两。
数度衍巻二十二钦定四库全书