数度衍卷七

数度衍卷七

桐城　方中通　撰测量【勾股之六】

容方与余勾求余股法式容方径为丁乙，一百五十余勾为丁丙，三十，问甲戊余股防何？曰：七百五十。术：以容方径自乗，得二万二千五百，为实，以余勾为法，除实。

得七百五十为余股容方与余股求余勾法式容方径一百五十余股七百五十，问余勾防何？曰三十。术：容方径自乗，得二万二千五百，为实；以余股为法，除实，得三十为余勾。又式邑方二百步，四面居中开门。东门外十五步有木，问出南门防步见木，曰六百六十六步，六分步之一。术半邑方为容方，东门外为余勾，南门外为余股。测髙式，欲测甲乙之髙，去乙二十五尺，立表于丙，为丁丙髙一丈，却后五尺，立戊，戊己髙四尺，使目在己，视表末丁与甲为一直线，问甲乙髙防何？曰四十尺。术：以丁丙表髙十尺减戊巳目髙四尺，余丁辛六尺，以乗庚辛二十五尺【与乙丙等】得一百五十尺为实，以丙戊五尺为法，除实得甲壬三十尺，加表髙十尺，得四十尺为甲乙之髙。通曰：丁、辛容，长方径也。丁、壬、庚、辛容，长方形也。辛、巳【与丙、戊等】余勾也。甲、壬，余股也。容方则径自乗，容长方则横径、直径相乗也。测深式：甲乙丙丁井，欲测其深，井径甲乙五尺。立戊甲表于井口，髙五尺。従戊视丙，截甲乙径于己。甲已四寸。问井深防何曰五丈七尺五寸术以井径五尺，减甲巳四寸，余己乙四尺。六寸以乗戊甲，五尺得二千三百寸，为实；以甲已四寸为法，除实，得甲丁深五丈七尺五寸。通曰：「己乙，容长方径也；戊辛，余勾也；乙丙，余股也。测逺式：欲测甲乙之逺，立乙丙巳丁四表，成直角方形。」丁乙与甲为直线，每表相去一丈。乃于己表之右戊上视丙表与甲。为直线戊巳三寸，问逺几何？曰：三十三丈三分丈之一。术：乙丙自乗，得一万寸，为实；以戊巳三寸为法，除实，得甲乙逺三十三丈三分丈之一。通曰：乙丙，容方径也；戊已，余勾也；甲乙，余股也。又式欲测甲乙之逺，立丙乙表，髙十尺，目従戊过丙，视甲作直线，目去表末为戊巳三寸，人离表为己丙十尺，问逺几何？曰：三十三丈三分丈之一。术：以人离表一百寸乗表髙一百寸，得一万寸为实，以目去表三寸为法，除实得逺。此与右法同，但彼用四表此用一表为防耳，丙乙容方，径也，戊巳余勾也，甲乙余股也。

余勾余股求容方法式丙丁余勾三十，甲戊余股七百五十，问丁乙容方径几何？曰：一百五十。术：余勾余股相乗，得二万二千五百，为容方积，开平方得一百五。

十为丁乙径又式邑不知大小，四中开门，北门外三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方防何？曰：三百步，术通曰：北门外为余勾，西门外为余股，半邑方为容方径也。

两余勾与股求容方法式丙丁余勾二十，戊乙余勾十四，甲乙股一千七百七十五，问丁戊容方径几何？曰：二百五十。术：以丙丁余勾乗股，得三万五千五百，倍之，得七万一千，为实，并二余勾，得三十四，为从，方开之，横。得二百八十四，为乙丙勾直；得二百五十，为丁戊容方径。又式邑方不知大小，边东开门，北门外二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步，斜见木，问邑方几何？曰二百五十步。术通曰：北门外二十步，一余勾也；南门外十四步，一余勾也；西行，股也；邑方容方径也。

小勾股与大勾求大股法式：丙丁小股一百，丁戊小勾二十五，乙丙大勾三百一十二五。问：甲乙大股防何？曰：一千二百五十。术：以大勾为实，以小勾为法，除实得大。

股通曰：「小股一百，此法极便。如二百、三百者，先以小股乗大勾为实用，异乗同除法也【见《九章外法】测高式，塔不知髙，量其影，従塔心至影末长三丈一尺二寸五。分别立一表，髙一丈，影长二尺五寸。问塔髙防何？曰：十二丈五尺。术通曰：塔影大勾也，表小股也，表影小勾也，塔大股。又式八尺之表以测日影，表去日下六万里，表影长六尺。问日髙几何？曰：八万里。术通曰：六万里，大勾也。以里法三百六十步，步法五尺，通之得一亿八百万尺。表八尺，小股也。表影六尺，小勾也。日髙八万里，大股也。用异乗同除法【即三累法】以小股乗大勾为实，以小勾为法除之。或以大勾为实，以小股除小勾，得每尺影七寸五分，为法除实，皆得日髙也。又式欲测甲乙之髙，以平镜依地平线置丙，人依地平线立丁，目在戊，见甲在镜中心丙处。丙至乙十尺，丙至丁二尺，目髙四尺。问甲乙髙几何？曰：二丈。术通曰：乙丙大勾也，丙丁小勾也戊丁小股也测广式，日逺人十万里，不知日径。以径寸，长八尺竹筒，对日于竹筒视之，空正掩日。问曰：「径几何？」曰：「一千二百五十里。」术通曰：「日逺人，大勾也；径寸，小勾也；筒长八尺，小股也。」测逺式，欲测甲乙之逺，立一丙两表，从丙斜退至丁，目望丁丙甲成一直线，乃作丙丁戊直角，以此测之，术通。

曰丁角与乙角等直角也乙丙线与丁戊线相遇于戊故以丙丁小勾比乙丙大勾戊丁小股比甲乙大股也两余勾，两破股，小股求大勾，大股法。式戊、已、丁、丙两余勾各十二【相等】丙庚小破股六十，己辛。火破股一百，己丙小股八十，问甲乙。勾几何？乙丙股几何？曰：大勾三十六。大股一百二十，术通曰：以小股八十。乗余勾十二得九百六十为勾实以小股八十乗小破股六十得四千八百为股实，小破股六十与大破股一百相减，余四十为法。以法除勾实，得二十四，加余勾十二，得三十六为大勾。以法除股实，得一百二十为大股。测髙逺，式欲测甲乙之髙，乙丙之逺，用重表法。先立丁丙表，髙十尺，却后立于戊，去丙五尺，目在己，已戊髙四尺，视表末丁与甲为直线。次从前表丙却后十五尺，立癸壬表，亦髙十尺【两表等】又却后立于子去壬八尺，目在丑，丑子亦髙四尺【两目等】从目视癸甲亦直线。问甲乙髙几何？乙丙逺几何？曰：髙四十尺，逺二十五丈。术：以表髙十尺减目髙四尺，余六尺，即丁寅【癸辛等】与两表相去之壬丙十五尺相乗，得九十尺为髙实。以两次人去表之己寅丑辛相减，余卯辛三尺为法，除髙实，得甲辰三十尺，加表髙十尺，得甲乙高四十尺。以丙戊五尺与两表相去之壬丙十五尺相乗，得七十五尺为逺实。以法三尺除之，得乙丙逺二十五尺。通曰：丁丙，癸壬，两余勾也。丙戊，小破股也。壬子，大破股也。壬丙，小股也。髙，大勾也。逺，大股也。测深广式，有甲乙丙丁，壁立深谷，欲测甲乙之广，乙丙之深，用重矩法。先立辛甲表，与甲丁参直，又立癸己表，两表甲巳相去六尺。从辛甲表视己丙作直线，截表于庚，庚甲髙五尺。又従辛甲表视辛癸丙作直线，两表相较得辛壬髙八尺，壬甲髙一丈五尺。问深广各几何？曰：乙丙深二十五尺，甲乙广三十尺。术：以小表一丈五尺乗两表相去甲己六尺，得九十尺为广实。庚甲与辛壬相减，余辛子三尺为法，除广实，得甲乙广三十尺。以小表一丈五尺乗庚甲五尺，得七十五尺为深实。以法三尺除之，得乙丙深二十五尺。通曰：甲巳，癸壬，两余勾也。庚甲，小破股也。辛壬，大破股也。壬甲，小股也。广，大勾也。深，大股也。测髙逺，式树二表，各髙八尺，南北相去二千里，以测日影。夏至之日，南表影长六尺，北表影差二寸。问曰：髙逺各几何？曰：髙八万里，日下去南表六万里，南表之端斜至日十万里。术：二表两余勾也，北表影，南表影，两破股也，南北相去，小股也，日下去南表，大股也，日髙大勾也，斜至曰▯也。测勾破勾，两测股，求大勾、大股法。

式丙丁，测勾四十三二，丙巳破勾十，丙戊小测股十四。八丙壬大测股六十四，八问大勾大。股各几何？曰：甲乙大勾二千五百，乙。丙大股三千六百八十五二，术通曰：以测勾四十三二，减破勾十余三十三二，乗小测股十四八，得四千九百一十三六为勾实。以大测股六十四八乗破勾十，得六千四百八十，以测勾四十三二除之，得十五为景差。又以大测股六十四八减景差十五，余四十九八，以小测股十四八乗之，得七千三百七十○四为股实。以小测股减景差余二为法，以法除勾实，得二千四百五十六八，加测勾四十三二，得二千五百为大勾。以法除股实，得三千六百八十五二为大股。测广逺，式方城，不知大小，立两表，东西相去四十三步。二分齐人，目处以索，连之令东，表与城东南隅，东北隅参直，従东表退北。行去表十四步八分，遥望城西北隅，入索东端十步，若从东表退北行，去表六十四步八分，遥望城西北隅，适与西表相参合。问城方防何？城去表几何？曰：城方二千五百步，城去表三千六百八十五步二分。术：以两表相去减入索，余三十三步二分，以乗东表退行十四步八分，得四千九百一十三步六分为广实。以东表大退行六十四步八分乗入索十步，得六千四百八十步。以两表相去四十三步二分除之，得一十五步为景差。又以大退行六十四步八分减景差十五步，余四十九步八分，以退行十四步八分乗得七千三百七十步零四分为逺实。以退行十四步八分减景差十五步，余二分为法，以法除广实，得二千四百五十六步八分，加两表相去四十三步二分，得二千五百步为城方【西至束】以法除逺实，得三千六百八十五步二分为城去表也。通曰：「城方大勾也，城去表大股也。两表相去，测勾也；入索破勾也。小退行，小测股也；大退行，大测股也。」四余勾两，破股小股，破勾求上勾，下勾大股法。式戊丁壬癸两大余勾皆一百五十，庚辛子丑两小余勾皆四十，癸丁小股四千，戊已破勾五十六，丁辛小破股一千五百，癸丑大破股二千五百。问上勾，下勾，大股？各防何曰：甲乙上勾二百八十，乙丙。下勾三百一十，丙丁大股六千，术通。曰：「以小股四千乗破勾五十六得二。」十二万四千为上勾实，以大余勾一。百五十减小余勾四十，及破勾五十六，余五十四，乗小股四千，得二十一万六千，为下勾实。以小破股一千五百与大破股二千五百相减，余一千为法。以法除上勾实，得二百二十四，加破勾五十六，得二百八十，为甲乙上勾。以法除下勾实，得二百一十六，加大余勾一百五十，得三百六十六，减破勾五十六，得三百一十，为乙丙下勾。

又以大余勾减小余勾，余一百一十，乗小股，得四万四千，为大勾实。以法除之，得四百四十，加大余勾，得五百九十，为甲丙大勾。以小股乗小破股，得六百万，为大股实。以法除之，得六千，为丙丁大股。通曰：「此测两髙与逺也。与前两余勾、两破股、小股求大勾、大股法相同，但多上勾、下勾耳。两大余勾，两表也；两小余勾，两人目至足也。勾髙也，股逺也。」

两测股两破勾测勾求大勾法式丙丁，测勾九百；丙戊小，测股六百；丙庚大，测股一千。三百五十，己丙大破勾，四百零二。辛丙小破勾，一百二十问，大勾防。何曰：甲乙大勾三万。术通曰：以大测股一千三百五十乗大破勾四百零二得五十四万二千七百，以测勾九百除之得六百零三为景差，以与小测股六百相减，余三为法，以小测股与大测股相减，余七百五十，又乗小破勾一百二十得九万为实，以法除实得三万为甲乙大勾。通曰：「此测广也，与前测勾、破勾两测股求大勾、大股法相同，但多乙戊直线耳。丙丁两表也，戊庚两目望也，勾广也。」

勾股互求髙深广逺图説通曰：直为髙，深横为广逺。勾可以为股，股可以为勾。以小知大，以此知彼。惟善测者，善用之耳。甲乙为股，则乙丙为勾；酉丙为股，则甲酉为勾；午丙为股，则午庚为勾；庚丑为股，则丙丑为勾。如求甲乙之髙，金水作表，丙作目；求丑丙之逺，木土作表，甲作目；求未丙之深，木火作表，甲作目；求甲酉之广，日月作两表，丙丁为目。斜望用异乗同除三率之法，髙深广逺虽分而合矣。

附法用矩尺测两广法式登山，临邑。邑在山南，不知广縦偃矩。山上勾髙三尺。

五寸与邑东南隅东北隅参合从勾端望东北隅入下股一丈二尺随于入股处横设一矩从勾端望西北隅入横股五尺若望东南隅入下股一丈八尺，又重设矩于上，相去四丈，从勾端望东南隅入上股一丈七尺五寸，问邑广纵几何？曰：东西广二万寸，南北广二万四千寸。术：以勾髙戊子三十五寸乗东南隅入下股庚子一百八十寸，得六千三百寸，以入上股癸丑一百七十五寸除之，得三十六寸，与勾髙戊子三十五寸相减，余一寸为法。以东南隅入下股庚子一百八十寸与东北隅入下股己子一百二十寸相减，余六十寸，以乗两矩相去丑子四百寸，得二万四千寸为南北实，以法除之，得南北广。以西北隅入横股辛已五十寸乗两矩相去丑子四百寸，得二万寸为东西实，以法除之，得东西广。

用矩尺测逺法式欲测甲乙之逺，先于甲立丁，甲表以矩尺置表末，丁矩戊对乙，成丁戊乙直线。问甲乙逺几何？曰八尺。术须视矩丙对何处，今对巳，为丁丙己直线，乃量己甲二尺为法，表髙四尺自乗得十六尺为实以除之得八尺为逺用交表测逺法式欲测乙戊之逺，先立甲乙表，后于庚斜加小表为丙丁，以丁对戊为度，成庚丁戊直线。问乙戊逺几何？曰：八尺。术：须丙丁小表族转，又于丁对。处已成，庚丁已直线，自乙至巳得八尺，必与乙戊等。

用表测斜髙法式欲测甲至丙，从丁视甲丙作直线，丁乙八尺，丁甲十尺，乙戊十二尺，问甲丙斜髙几何？曰：十五尺。术：以丁乙八尺为法，以丁甲十尺与乙戊十二尺相乗，得一百二十为实，以法除之，得十五尺为甲。

至丙也器测【勾股之八】

矩度甲丁与甲乙等甲丙斜分乙丙为直景丁丙为倒景以甲乙相对测际眼穿戊己两耳与其际作直线视权线垂何景何度也今止分十二度若细分更精其两景别有论解测髙法权线垂丙，式髙如己庚，景在地平上为庚辛，以矩度测之，甲对己两耳与辛巳作直线，权线垂丙为髙，防何术？凡权线垂丙者，景与髙必等也。今辛庚四十五尺，则己庚亦四十五尺。权线垂直景边，式髙如己庚，景如庚辛，权线垂乙丙边之戊，乙戊八度，庚辛景三十为髙，防何术以表度十二与庚辛三十相乗得三百六。十为实，以乙戊八度为法，除之，得四十五，为己庚之髙。权线垂倒景邉，式髙如己庚，庚辛景六十七五。权线垂丁丙边之壬丁，壬八度为髙。防何术？以庚辛与丁壬相乗，得五百四十为实，以表度。十二为法除之，得四十五，为己庚之髙。通曰：「髙大于景，权线必垂直景边；髙小于景，权线必垂倒景边。」

测逺法权线垂丙，式髙如己，庚景如庚辛，权线垂丙为景防何？术己庚四十五，则辛庚亦四十五。通曰：「景测髙以甲对髙，髙测景以乙对景，景逺也。」权线垂直景邉，式己庚髙四十五，权线垂戊八度，为庚辛，景几何？术：以己庚与乙戊相乗，得三百六十为实，以表度十二为法除之，得三十为庚。

辛景权线垂倒，景邉式己庚髙四十五，权线垂壬八度，为庚辛景，防何术？以表度十二与己庚相乗，得五百四十为实，以丁壬八度为法除之，得六十七五为庚辛景。

以目测髙法于矩度外，又用一有度分之表，人目切表端，矩度亦切表端，穿两耳向测处作直线为度也。权线垂丙，式髙如己庚，表如乙辛，髙四尺，表端人目从矩度乙甲视巳为直线，权线垂丙为髙几何？术：乙壬四十五，卽巳壬加表髙四尺得四。

十九为己庚之髙权线垂直景边，式庚辛三十，权线垂戊八度，为己庚髙几何？术：以表度十二乗庚辛，得三百六十为实，以乙戊八度为法除之，得己壬四十。五加表髙四，得四十九，为己庚之髙。权线垂倒，景边式庚辛六十七五，权线垂壬八度，为己庚髙。防何术？以庚辛乗丁壬八度，得五百四十为实，以表度十二为法，除之得己癸四十五，加表髙四，得四十九，为己庚之髙。通曰：「地平线上，任意前后至权线直丙而止，较便。」

以目测逺法权线垂丙，式逺如己庚，表如甲巳，目在甲，权线垂丙为逺几何？术：表髙甲巳四尺，则己庚亦逺四尺也。权线垂直景边，式甲已表髙四尺，权线垂戊九度，为己庚逺防，何术？以乙戊九度乗表髙四，得三十六为实，以表度十二为法，除之得三尺。

即己庚之逺权线垂倒，景边式甲巳表髙四尺，权线垂壬八度，为己庚逺。防何术以表度十二乗表髙四，得四十八为实，以丁壬八度为法除之，得六尺，即己庚之逺。通曰：「测髙目在矩之乙，测逺目在矩之甲。」

以目测深法权线垂丙，式深如己壬。目在甲，视甲乙、己辛为直线。己庚口四尺，权线垂丙为深几何？术：己壬与己庚等，亦四尺也。通曰：「此不另用表，而量己庚口者，即口濶为表长是。前用直表，而此用横表也。」权线垂直景边，式己庚四尺，权线垂戊六度，为己壬，深几何？术：以表度十二乗己庚四，得四十八为实，以乙戊六度为法除之，得八尺，即己。

壬之深权线垂倒，景边式己庚四尺，权线垂癸九度，为己壬深几何？术：以丁癸九度乗己庚四，得三十六为实，以表度十二为法，除之得三尺，即己壬之深。

倒景变直景图说通曰：「十二其十二，得一百四十四，以矩度为准也。故一度变为一百四十四度，以此一百四十四度为实，以所值度为法，除实即得变度也。」

度线皆起甲端渐移至丁至乙各分十二也通曰倒景过丙丁边抵丙戊线则变为直景犹之直景过乙丙边抵丙巳线则变为倒景也倒景十一度直景则为十三度一分倒景十度，直景则为十四度四分；倒景九度，直景则为十六度；倒景八度，直景则为十八度；倒景七度，直景则为二十度五分七厘；倒景六度，直景则为二十四度；倒景五度，直景则为二十八度八分；倒景四度，直景则为三十六度；倒景三度，直景则为四十八度；倒景二度，直景则为七十二度；倒景一度，直景则为一百四十四度也。以直景推之，亦然。

重矩测髙法通曰：测髙而不知逺，此求无股之勾也。法皆用直景，即权线在倒景边，亦变为直景用之。皆直景式，欲测己庚之髙，先立乙辛表，目在辛上，乙权。线垂戊五度，又立乙癸表，目在癸上。乙权线垂子十度，两表相去十尺，表髙四尺，为髙防，何术以两度相减，余？五度为法，以表度十二，乗两表相去。十尺得一百二十，为实。以法除实，得二十四尺，即己至壬。加表髙四尺，得二十八尺，为己庚之髙。通曰：「辛表为直景，癸表或有倒景之时；癸表为直景，辛表无不直景矣。」有倒景，式欲测己庚之髙，先立乙辛表，权线垂戊十一度，又立乙癸表，权线垂子九度，乃倒景也。今变作直景为十六度，两表相去二十尺，表髙四尺，为髙防？何术？以十六度减十一度，余五度为法，以表度十二乗两表相去。二十得二百四十为实，以法除实，得四十八尺，即己至壬。加表髙四尺，得五十二尺，为己庚之髙。

数度衍卷七<子部,天文算法类,算书之属,数度衍》>

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