数度衍卷二十一

数度衍卷二十一

桐城　方中通　撰方程杂和较乘法通曰：「数之不齐者，以乗齐；之数之不齐者，以较齐。之徧用者，方程也。」

二色方程式：鼎三彞二，共重一百四十五两；又鼎四彞五，共重二百七十五两。问：二色各重若干？曰：鼎二十五两，彞三十五两。术：分三段徧乗之，鼎四列左，上彛五列左中，共重。

二百七十五，列左下鼎三，列右上彛二，列右中，共重一百四十五，列右下。以右上鼎三乗左上，得十二；乗左中，得十五；乗左下，得八百二十五。注左：以左上鼎四乗右上，得十二；乗右中，得八；乗右下，得五百八十。注右。又以乗数各相对减，两鼎减尽不用，两彛减余七，两共重减余二百四十五。乃以少除多，当以二百四十五为实，以七为法，除得三十五两为一彛之重。以右中彛二乗得七十，以减右下共重一百四十五，余七十五。以右上鼎三除得二十五两为一鼎之重。若以彞徧乗，以七为法，亦同所得减余之实，乃一百七十五，以法除得毎鼎二十五两。以左上鼎四乗得一百，以减左下共重，余一百七十五两为五彛重数。葢鼎乗反得彛，彛乗反得鼎也。通曰：既得毎彛或每鼎之后，左右皆可求也。式：二纱三疋，绢四疋，共价四两八钱。又纱七疋，绢二疋，共价六两八钱。问二色各价若干？曰：纱每疋价八钱，绢每疋价六钱。术与右同。式：三七钏九钗，共重九两四钱。钏重钗轻，于中互换其一，轻重适等。问：各重若干？曰：每钏重七钱，每钗重五钱。

术此依互换者列位一系六钏一钗一系一钏八钗，而中分其共重之数，左右列下，以右钏六徧乗左行钗，得四十八重，得二十八两二钱，以左钏一徧乗右行钗，得一重，得四两七钱，对减中段减余四十七为法，下段减余二十三两五钱为实【作二百三十五】以法除得五钱为一钗数，以减右重余四两二钱为六钏共数，以六除得每钏七钱，若以钗徧乗者得减余之实三十二两九钱，以法四十七除得七钱为一钏数。通曰：「上段互乗相减，必尽可以不乗矣。」式：四钱，一万文。买二马一牛，则不足半马之价；买一马二牛，则余半牛之价。牛、马价各若干？曰：牛价一千八百。

一十八文又十一之二马价五千四百五十四文又十一之六，术此当以不足半马者损为一马，又二分马之一及一牛也；以余半牛者益为一马及二牛，又二分牛之一也。依法列段，用整带零乗除之【见奇零】以右马徧乗左行，左中得三头四之三，左下得一万五千；以左马徧乗右行，右中得一头，右下得一万。对减中段，减余二头又四之三为法，下段减余五千文为实。以法除得牛价，以减右总价，余八千一百八十一文又十一之九。以右上马一匹又二之一除之，得马价。式：五甲乙二窖积粟，云取乙三之一与甲，及取甲二之一与乙，各满二千石，其各原窖几何？曰：甲一千六百石。

乙一千二百石术此零法列位互乗甲得六千，乙得四千，减余二千为实，两母并五为法，除得四百。以乙母三乗得乙，以减二千，余八百。以甲母二乘得甲。其各以母乗者，葢前所除为子数，必归母见整，故也。式六，每工种麦三畦，菽四畦，共种三百○一畦。其菽麦畦及工各若干，曰麦一百二十九畦，菽一百七十二畦，工四十三。术：此为双头单脚互乗，取三、四左右列之，并七为法，下列总畦。若求麦数者，左三乗总畦，得九百○。

三以法除得麦畦又以四乗得五百一十六，以左三除，得菽畦。若求菽数者，右四乗总畦，得一千二百○四，以法除，得菽畦。又以三乗，得五百一十六，以右四除，得麦畦。又术通曰：以三、四并七为法，除总畦，得四十三为工数。以麦三乘工数，得麦畦；以菽四乗工数，得菽畦。式：七银二百六十四两，买牛羊共百牵。每牛三头，价二十两；每羊四羫，价一两五钱。牛羊及价各若干？曰：牛三十六头，价二百四十两；羊六十四羫，价二十四两。术：左右列定牛乗羊价，羊乗牛价，得数减余七十五两五钱为法，总牵总价列下。如求牛数者，以羊四乗总价，得一千○五十六；以羊价一两五钱乗总牵，得一百五十，相减余九百○六为实，以法除得十二为牛裒。以牛三乗得三十六头，以二十两乗牛裒，得牛共价，总内减牛余羊。如求羊数者，以牛三乗总价，得七百九十二；以牛价二十两乗总牵，得二千，相减余一千二百○八为实，以法除得十六为羊裒。以羊四乗得六十四羫，以一两五钱乗羊裒，得羊共价，总内减羊余牛。

式八用匠五千名包砖板二隄共四千九百九十五方限每日匠九名包板隄十一方匠七名包砖隄四方问隄匠各若干曰板隄四千○一十五方匠三千二百八十五名砖隄九百八十方匠一千七百一十五名术通曰：与右同。总匠即总价，共方即总牵，砖板即牛羊也。式九百，饼饭大小，百僧一大僧食三饼，三小僧食一饼，其大小僧各若干？曰：大僧二十五，食饼七十五；小僧七十五，食饼二十五。术通曰：此两总同数，其裒必同也。左右列定，互乗相减，余八为法。总僧总饼列下，如求大僧。

者以小三乗总饼得三百小食一乗总僧得一百相减余二百为实以法除得二十五为裒大一乗裒得大僧数以食三乗裒得饼如求小僧者以小三乗裒得小僧数以食一乗裒得饼又术通曰两总相同即以一百为实大小僧并大小食并又同即以四为法除得大僧数推知各数三色方程式：四雀六燕七鹪，共重八钱九分。又三雀五燕九鹪，共重八钱一分。又五雀七燕八鹪，共重一两○六分。三色各重若干？曰：每雀重八分，每燕重六分，每鹪重三分。术：

置左右中三行，作四段，列之。以右五雀徧乗中行，雀得十五，燕得二十五，鹪得四十五，重得四两○五分，注中。以中三雀徧乗右行，雀得十五，燕得二十一，鹪得二十四，重得三两一钱八分，注右。中右对减，雀无余，燕余四，鹪余二十一，重余八钱七分。另列后图之右。以右五雀徧乗左行，雀得二十，燕得三十，鹪得三十五，重得四两四钱五分，注左。以左四雀徧乗右行，雀得二十，燕得二十八，鹪得三十二，重得四两二钱四分，注右。左右对减，雀无余，燕余二，鹪余三，重余二钱一分。另列后图之左，除雀无余不用。后图止三段。以右行燕四徧乗左行燕得八，鹪得十二，重得八钱四分，注左。以左行燕二徧乗右行燕得八，鹪得四十二，重得一两七钱四分。注：右对减燕无余，鹪余三十为法，重余九钱为实，以法除得二分，为一鹪之重。乗左三鹪得九分，以减左重，余一钱二分，为左二燕之重。每燕六分，乃于前图左重八钱九分内，去原鹪七重二钱一分，原燕六重三钱六分，尚存三钱二分，为原四雀之重。每雀八分，或于前图右行、中行原数内推之，皆得。式二：犒夫二人，共饭一分，三人共酒一分，四人共肉一分，总用饭、酒、肉六十五分，计夫若干？曰：夫六十，饭三十分，酒二十分，肉十五分。术：以二人乗三人，得六；三人乗四人，得十二；四人乗二人，得八，并得二十六为法。以二乗三得六，乗四得二十四，乗总分六十五，得一千五百六十为实。以法除得夫数，推知各数。附式七人醵金，甲乙共二十三两七钱，戊己庚共二十六两一钱，丙丁不知，问各若干？曰：甲十二两二钱，乙十一两五钱，丙十两○八钱，丁十两○一钱，戊九两四钱，己八两七钱，庚八两。术：先求隔母，左列甲乙二，右列戊己庚三，取右三増一为四，又乗三得十二，减半得六，又减三余三为右中率。取左二乗七人得十四，减右三余十一为左中率。下列各共银，乃以左二徧乗右行中得。

六下得五十二两二钱以右三徧乗左行，中得三十三，下得七十一两一钱。对减中余二十七为法，下余十八两九钱为实。以法除得隔母七钱，再取甲乙共数，并入七钱，减半得甲十二两二钱。▯减七钱得各数。通曰：「隔母即递减数也。用带分子母差分法，亦可。附式：竹筩九节，下三节共乗粟三升九合，上四节共盛粟三升，中二节不知，问各节盛若干？曰：一节六合，二节七合，三节八合，四节九合，五节一升，六节一升一合，七节一升二合，八节一升三合，九节一升四合。术：左列下」

三右列上四用右法求得右中率六左中率二十一下，列各共盛，乃以左三徧乗右行，中得十八，下得九分。以右四徧乗左行，中得八十四，下得十五分六厘。对减中余六十六为法，下余六分六厘为隔母率。却以法乗左三升九合，得二百五十七分四厘，以左三除，得八十五分八厘为第八节数。加母率得九节九十二分四厘。若递减母率七节得七十九分二厘，六节得七十二分六厘，五节得六十六分，四节得五十九分四厘，三节得五十二分八厘，二节得四十六分二厘，一节得三十九分六厘。各以法六十六除，得各粟数。又术，以中余六十六为法，下余六十六为实，以法除得一合为隔母率。以左三除左三升九合，得一升三合为八节。通曰：前式甲乙二人共数，故加隔母折半而得甲。此式下三节共数，故所求即第八节，乃下三节之中节也。

立正负法立正负以别同异，初以同名减其下，同减而异并；初以异名减其下，异减而同并。

二色方程式笔三管换砚七方，贴砚价四百八十文。又砚三方换笔九管，贴笔价一百八十文。问各价几何？曰：一笔价五十文，一砚价九十文。术：砚为正，笔为负，左右三段列之。

以右砚七乗左行中得六十三下得一千二百六十，注左以左砚三乗右，行中得九下得一千四百四十，注右两笔负同名减，余五十四为法，两价正负异名并得二千七百为实，以法除得五十文为一笔之价，取右笔三乗得一百五十，加入价正四百八十，共六百三十，即右七砚之价，以七除得每砚九十文。若取左笔九乗五十得四百五十，内减价负一百八十，余二百七十，即左三砚之价。如以笔徧乗者，得异并之实四千八百六十，以法除得砚价通曰旧法上段亦乗，今不用其下段分正负者，砚为正故贴砚价亦正，笔为负故贴笔价亦负。

三色方程式硃二斤，黄三斤，价二千○四十文。又黄五斤，碌六斤，价六百四十文。又碌七斤，硃三斤，价二千九百八十文。问各价若干？曰：硃每斤九百文，黄毎斤八十文，碌每斤四十文。术：分三色及价，作四段于右、中、左列之，以右硃。

二乗左行碌得十四价得五千九百六十，以左硃三乗右行黄得九价得六千一百二十，左右黄碌两段俱无减，并止两价作同减，余一百六十。除硃一段，乃于左○位照黄乗得之数为立负九，另以中行黄五碌六价六百四十列右，左行○负九碌乗十四价，余一百六十列左于后，以右黄五乗左行碌得七十价得八百，以左负九乗右行碌得五十四价得五千七百六十，碌系正负异名，并得一百二十四为法，两价作同减，余四千九百六十为实，以法除得四十文为碌一斤价。乃于前图中行，原价减中碌六斤价二百四十，余四百为中黄五斤价，每斤八十文。又于右行，原价减右黄三斤价二百四十，余一千八百为右硃二斤价，每斤九百文。式：二牛一头，马二匹，驴三匹，皆载物七百斤，不能行。一牛借马一匹，二马借驴一匹，三驴借牛一头，方行。三等力各若干？曰：一牛力四百，一马力三百，一驴力一百。术：

列定以右正牛一乗左行各如故，以左借牛一乗，右行各如故，左右不用减，并左马空，仿右马乗得数，立负一，乃除却牛段，以中正马乗左行负得二，驴得六，下得一千四百，以左负一乗中行马得二，驴得一，下得七百，中左马同名减尽，正借驴异名，并得七为法，下物作同减，余七百为实，以法除得驴力一百斤，于中行七百内减中一驴力，余六百为中二马力，每马力三百斤，又于右行七百内减右一马力，余四百，即右一牛力。或用后图求马力，以右借驴一乗，左行牛得一，下得七百。以左正驴三乗，右行马得六，下得二千一百。左右马牛无减，并下减余一千四百，除却驴段。又左马空，仿右马乗数立负六。以中借马一乗，左行牛得一，下得七百。以左负六乗，中行牛得六，下得四千二百。中左正借牛异名，并得七为法，下物作同减余三千五百。又以右下余一千四百减之余二千一百为实，以法除得三百斤为一马力。通曰：「此以正借分同异，不分正负也。」式：三鴈二雉三，换谷五斗七升；雉三▯二，换▯五斗三升；▯四鴈五，换▯一石。问各若干？曰：每鴈一斗二升，毎雉一斗一升，每▯一斗。术：列定，以右鴈二乗左行，▯八▯二石；以左鴈五乗右行，雉十五糓二石八斗五升。左右雉▯无减，并糓作同减，余八斗五升。除却鴈段，于雉左○照右乗，立负十五。以中雉三乗，左行▯二十四糓二石五斗五升。以左负十五乗中行▯三十糓七石九斗五升。中左▯正负异名，并得五十四为法。糓作同减。

余五石四斗为实，以法除得一斗，为一▯价。于中行糓内减二▯价，余三斗三升，为中三雉价，每雉一斗一升。又于右行糓内减三雉价，余二斗四升，为右二鴈价，每鴈一斗二升。通曰：左右互乗，既不乗鴈一段，则左中互乗，亦可不乗雉一段。不然则雉系正负异名，安得减尽乎？故皆省之。式四卖二牛五羊，买十三豕，余五两；卖一牛一豕，买三羊，适足；卖六羊八豕，买五牛，不足三两。问各价若干？曰：牛六两，羊二两五钱，豕一两五钱。术：此以卖为正，买为负，余为正，不足为负也。正为主，则同减异并；负为主，则同并异减。列定以右牛二乗中行，羊六豕二，以中牛一乗右行羊五豕十三价五中右以正为主羊异名并十一豕异名并十五价无减并以右牛二乗左行羊十二豕十六价六以左牛五乗右行羊二十五豕六十五价二十五左右以负为主羊同名并三十七豕异名减余四十九价异名减余十九除牛一段再列减并数于后以羊十一乗左行豕五百三十九价二十两○九钱以羊三十七乘，右行豕五百五十五，价十八两五钱。左右豕异名，减余十六为法，价异名，减余二两四钱，作二十四为实。以法除，得一五，即一豕价一两五钱。以右豕十五乗，得二十二两五钱，加右价五两，共二十七两五钱，俱羊价。以右羊十一除，得每羊二两五钱。再以前图右豕十三乗一豕价，得十九两五钱，加入右价五两，共二十四两五钱，为牛羊总价。内减右五羊价十二两五钱，余十二两，为右二牛价，每牛六两。

四色方程式柰二，梨四，共钱四十文；梨二，桃七，共钱四十文；桃四。

榴七共钱三十文，榴八柰一共钱二十四文，问各价若干？曰：每柰八文，每梨六文，每桃四文，每榴二文。术：分甲乙丙丁四行作五段列之。先甲丁互乗，以甲柰二乗丁行，梨空，桃空，榴得十六价，得四十八。以丁柰一乗甲行，梨仍四无对，桃榴俱空，钱仍四十，与四十八相减，余八。丁梨空，照甲立负四次。乙丁互乗，乙无柰，取梨二乗丁行，桃空，榴巳乗出十六得三十二钱，余八得十六。以丁负梨四乗乙行，桃得二十八无对，榴空，钱得一百六十，并十六得一百七十六。丁桃空，照乙立负二十八次。丙丁互乗，丙无柰，梨取桃四乗丁行，榴巳乗出三十二得一百二十八钱，巳乗并一百七十六得七百○四。以丁桃负二十八乗丙行，榴得一百九十六，与一百二十八相减，余六十八为法，钱得八百四十减去七百○四，余一百三十六为实。其甲丁乙丁互乗，惟求应立负数以为乗母，既得法实，其诸数皆不用也。以法除实，得二文为一榴之价。于丙价三十减丙七榴价十四，余十六为丙四桃价，每桃四文。又于乙价四十减乙七桃价二十八，余十二为乙二梨价，每梨六文。又于甲价四十减甲四梨价二十四，余十六为甲二柰价，每柰八文。

五色方程式井不知深，用甲绳二，不及泉；借乙绳一，补之，及泉；用乙绳三，则借丙一；用丙绳四，则借丁一；用丁绳五，则借戊一；用戊绳六，则借甲一，始俱及泉。其各绳及井深若干？曰：甲绳二丈六尺五寸，乙绳一丈九尺一寸，丙绳一丈四尺八寸，丁绳一丈二尺九寸，戊绳七尺六寸，井深七丈二尺一寸。术：列作五行，以五绳之率为母，借绳一为子。先取甲二乗乙三，得六；又乗丙四，得二十四；又乗丁五，得一百二十；又乗戊六，得七百二十，并入子一，得七百二十一，为井深七丈二尺一寸也。乃取甲、乙、丙、丁、戊及井深列作六段，而以第五行为主，一二三四行俱。

与五行互乗也，先以一行甲二乗五行戊六，得十二下。

得一千四百四十二，以五行甲一乗一行乙，仍得一，五行即立负一下，仍得七百二十一，与前所乗之一千四百四十二相减，余七百二十一次，以二行乙三乗五行戊十二，得三十六，下之减余七百二十一乗，得二千一百六十三，以五行乙负一乗二行丙，仍得一，五行即立负一下，仍得七百二十一，并前所乗之二千一百六十三，得二千八百八十四，再以三行丙四乗五行戊三十六，得一百四十四，下之所并二千八百八十四乗，得一万一千五百三十六，以五行丙负一乗三行丁，仍得一，五行即立负一下，仍得七百二十一，与前所乗之一万一千五百三十六相减，余一万○八百一十五，末以四行丁五乗五行戊一百四十四，得七百二十，下之减余一万○八百一十五乗，得五万四千○七十五，以五行丁负一乗四行戊，仍得一，并五行所乗之七百二十，得七百二十一为法，下仍得七百二十一，并前所乘之五万四千○七十五，得五万四千七百九十六为实，以法除实，得戊绳七尺六寸，以减四行之七百二十一，余六百四十五，以丁五除，得丁绳一丈二尺九寸【丈为百，尺为十】以减三行之七百二十一，余五百九十二，以丙四除，得丙绳一丈四尺八寸，以减二行之七百二十一，余五百七十三，以乙三除，得乙绳一丈九尺一寸，以减一行之七百二十一，余五百三十，以甲二除，得甲绳二丈六尺五寸通曰：自四色以上，凡下段互乗相对，皆系一减一并而积之，不分正负同异矣。其四色之丙丁两行互乘榴段，皆正同名，则用减；五色之四五两行互乗戊段，正借异名，则用并也。

止推下二段法通曰：如右式推出井深列定之后，先以五行甲一乗各行，乗乙一立负一，乗丙一立负一，乗丁一立负一，乃止。求下法实二段，如求实段，以一行甲二乗五行下，得一十四百四十二；以五行甲一乗一行下，仍得七百二十一，相减余七百二十一。又以二行乙三乗之，得二千一百六十三；以五行乙负一乗二行下，仍得七百二十一，并得二千八百八十四。又以三行丙四乗之，得一万一千五百三十六；以五行丙负一乗三行下，仍得七百二十一，相减余一万○八百一十五。又以四行丁五乗之，得五万四千○七十五；以五行丁负一乗四行下，仍得七百二十一，并得五万四千七百九十六为实也。如求法段，以一行甲二乗五行戊六，得十二；又以二行乙三乗之，得三十六；又以三行丙四乗之，得一百四十四；又以四行丁五乗之，得七百二十；乃以五行丁负一乗四行戊一，仍得一，并得七百二十一为法也。

数度衍巻二十一钦定四库全书