九章録要卷一

九章録要卷一

松江屠文漪撰乗除诸法九章乗除之法，各有不同，因以分着各章。其通用者，宜先讲也。具详于左。并乗并除。算以速见巧。乗或屡乗，除或屡除，不若一乗一除之捷也。假如有数，须用一十五乗，复一十八乗者，直以二百七十乗之【先以十五与十八相乗】余可意推。其在除法，尤以并为便。葢使分除而前除不尽，以后必用零除之法，仍是并除而更多事，固不如先并也。惟前除适尽，则后除虽有零余，亦当无几，特便于命分而并除者，余实反多，然约之亦正相同耳。分乗分除，再三乗除不若一乗除之便，而亦有时宜用分者，不可以一律拘。假如有数须二百四十五乗【凡为四十九者五】则先以五乗之，复以七乗之，又以七乗之，既无易误之患，而算较防也。其在除法，则须审量何也？恐前除不尽，而后仍用零除也。葢以法除实，或不能尽者，非必如三、六、七、九等除，虽破实之一为十、为百与千【如实米一石破为十斗，为百升，为千合之类是也】而终不尽也。即如二、四、五、八等除，但破实之一为十与百、千，自无不尽，而若不破实，则仍不尽矣。前除既破实以至于尽，后除势不中止，此于命分反逺，特求分厘数者宜之耳。夫既已命分，而以母除子，亦得分厘数，既得分厘数，而以原法乗之，亦可命分，二者固亦相通，然而各自取防，岂须借径？此其宜审者也。更恐前除破实且不尽，则虽求分厘数，亦未能精细，故所分之除法，孰先孰后【大抵二、四、五、八等除宜居前，三、六、七、九等除宜居末】又不可不审。总之，运算之巧，存乎一心，非言所可悉矣。假如有银四百五十两，用一百六十八除，若并除得二两又一百六十八分两之一百一十四，即不复破实细除，但约之为二十八分两之一十九，而可以命分矣。若分除者，先用三除，次八除，次七除【以原数四百五十故先用三除，若系三百五十便当先用七除，次八次三也】得二两六钱七分八厘五毫七丝又七分丝之一【尚可再除而数微已甚矣】倘欲以两命分，则惟二两整数已定外，余须以原法乗之，乃得一百一十四之数，仍再约之，反不防也【右一条新增】乗除相减归一法。数须乗除并用，而可用乗省除，或用除省乗，则归一尤为至便。如数须一十八乗复三除者，直以六乗之；须四乗复十二除者，直以三除之。其法，乗数多则从乗，除数多则从除，而必先取乗除两数以少除多，除之可尽，即用除得之数；不可尽者，不能归一也。省乗用除，倘有零余，则约分简易，更非原数乗除之比【右一条新订】两数一半一倍乗法。置两数欲相乗者，若倍其一半，其一而乗之，所得数同。如一数五百二十五，一数三十二，倍上数为一千零五十，半下数为一十六，乗之，视以原数相乗者防矣。此特宜于数之少者，葢直可以臆计而不烦布算也【右一条新增】倍除法置两数欲以法除实者，若倍其法除之，所得数亦倍之，即应得之数。如有数须四十五除，则用九十除；须一百三十五除，则用二百七十除，亦倍所得数，防于以原法除也。遇零分欲求分厘数者，依此除之。若欲命分，则仍其子，还用原母【即原法也】以命之，或须约者，更约之。满原母者，归整为一数，俱不用倍【右一条新增】乗除通用法二乗与五除同，二除与五乗同【置银十两，以二乗之，得二十两，以五除之，得二两，其差十倍，然而可通用者，其乗除俱得二数，则同耳】四乗与二五除同，四除与二五乗同【其差百倍】八乗与一二五除同，八除与一二五乗同【其差千倍】以加减代乗法。假如有数须八乗者，即于实下一位减二。若实数系五二五，当减一十，则于实之本位减一也。有数须一零五乗者，即于实下第二位加五。若实数系二二五，当加一十，则于实下一位加一也。加减俱从小数始。三率准测乗除法。数有已知者，因以测所未知，则列前三率，求后一率。先定三率之位，第一率与第三率相准，第二率与未知之第四率相准，如谷准谷，钱准钱之类。乃以二率三率相乗为实，以一率为法除之，得四率为所求数。旧名异乗同除【左例原银与原米是为同，今银与原米是为异】假如原有银三十六两，籴米四十八石，今银六十三两，问米几何？

一率　原银三十六两二率　原米四十八石三率　今银六十三两四率　八十四石为今米数右法，若先以一率除二率，得数乃以乗三率；或先以一率除三率，得数乃以乗二率，所得四率皆同。但除之不尽，必用零乗之法，则不若从前先乗后除为防【凡数须乗除并用者，每以乗居先，仿此】右法覆算，以二率、三率相乗，如前，以四率除之，仍得第一率。若以一率、四率相乗，以二率除之，得三率；以三率除之，得二率。三率化多为寡，乗除法。别求一通数，可以除尽率中之两数者【其一必系第一率，其一或第二率，或第三率】即以通数除率数，所得数列本率下，以代率数乗除。如前无通数者，则否。一率，三十六，三【此以十二为通数】

二率　四十八　四三率　六十三四率　八十四又式一率，三十六，四【此以九为通数】

二率　四十八三率　六十三　七四率　八十四三率易位乗除法。前法以原银原米相连置一二率，而今银置三率。葢以二率视四率，犹以一率视三率；三率视四率，亦犹一率视二率。其数可例推也。若如左例，原珠数多，其价数反少；今珠数少，其价数反多。必以一率与三率互换其位，而后三率之视四率，亦犹一率之视二率矣。乗除如前，得所求数。旧名同乗异除【若如前置率，则当以一率二率相乗，以三率除之】假如原有小珠五十颗，今有珠稍大三十颗，其总重适等。原珠共价银一十二两，问今价几何？一率，今珠三十颗，三【以十为通数】

二率　原价十二两三率原珠五十颗　五四率　二十两为今价又如，有物一枚，以称称之，称小不及其锤重十两，外加一锤重八两，称之得三十五斤。依小称算，该几斤？一率原锤十两，二【以五为通数】

二率　今重三十五斤　七三率　并两锤十八两四率　六十三斤为实重数又如原称称物重三十五斤，失原锤，欲别作锤配之，不知轻重，却借一锤重十两以较原称之物，得六十三斤，问原锤重？

一率　原重三十五斤二率　今锤十两三率　今重六十三斤四率　十八两为原锤重【此即前例，一率四率相乗，而以二率除，得三率也】三率重测法，数或繁襍，非三率可尽，当叠用三率之法，次第推之。假如原母银五十两，三月得子银四两，今母银二百两，欲得子银二百两，须几年？

一率　原母五十两二率　原子四两三率　今母二百两四率　十六两为今母三月之子又一率　子十六两二率　三月三率　子二百两四率三十七月二分月之一为所求数。

右例亦可用并法一率　原子四两二率，原母乗三月，得一百五十两。

三率　今须子二百两四率，七千五百两，为今母乗月之数，再以今母除。

之得月数又如客贩布卖之，每匹二钱，即母银百两，已得息三十两。设每匹卖二钱四分，则百两获息几何？

一率　已得息并母一百三十两二率　母一百两三率　布价二钱化二十分四率，十五分又十三分分之五，为每匹母银，别有防法，应补于后。

一率　二十分二率　一百三十两三率　四分四率　二十六两并三十两得五十六两又一率，每匹母十五分又十三之五。二率，布价二钱四分，内息八分，又十三之八；三率，母一百两。

四率　五十六两为所求息数又防法一率　二十分二率　一百三十两三率　二十四分四率　一百五十六两此为母子并数三率并乗并除法，数虽繁襍，而可归并入三率之内，则以三率尽之。假如炼矿求银，初火得三之二，再火得七之五，又火得四之三，凡三火得银七十五两，问原矿几何？一率三子相乗得三十。

二率　三母相乗得八十四三率　炼得银七十五两四率　二百一十两为原矿又如原有绫八匹换纱二十匹，原纱三十匹换布一百匹，原布六十匹换锦二匹。今有绫一十八匹，问换锦几何？一率，原绫纱布乗得一万四千四百。

二率　原换纱布锦乗得四千匹三率　今绫一十八匹四率　五匹为换锦数乗除先化大小数法。凡数大小杂见不便相乗除，则先以大数化为小数。假如原有银六钱，买丝七两。今有银五两，问买丝几何？此因银数有钱复有两，须化两为钱。其丝自作两算，不必化钱也。大凡同类者，须化殊类则否【遇多数取最小数为主，以大数化之，仿此如一十二两三钱四分化为一千二百三十四分之类】

一率　六【原银钱数】

二率　七【原丝两数】

三率　五十【今银化为钱数】四率五十八又三分之一【今应得丝两数】右例亦可以钱从两化之，而不如前法之防。一率，五分之三【原银化为两数】

二率　七【原丝两数】

三率　五【今银两数】四率五十八又三分之一【得丝两数同前】又如原银六钱二分五厘，买丝七两，今银一百三十二两，问买丝几何？此若以大数化小，则原银、今银当悉化为厘，而原银数固可以两命分，又不如从两化之为便，所贵乎随宜通变者也【因今银是以两计而化之，非为丝以两计也】一率，八分之五【原银化为两数】

二率　七【原丝两数】三率，一百三十二【今银两数】四率，一千四百七十八又五分之二【今应得丝两数，右一条新增】

九章録要卷一

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