九章録要卷二
九章録要卷二
松江屠文漪撰零分法几数不能有整而无零分，有法以通之，则零不异于整也。知此，而零分皆可相并、减、相乗、除，乃能尽九章之术，故备论于左。竒零命分约法，以法除实，除得数为整数，余实少于法，除之不可，乃成竒零。或原实先少于法，则无整而但有零矣【假如以尺计物，是亦以法除实也，物不满尺，是亦实少于法也】凡此皆须命分，而母子数多者，必当约之。其法有三：一曰以实除法，假如法一百六十八，实一十四，则以实除法，适尽得一十二，是为一十二分之一也。一曰减法除实，假如法一百六十八，实一百四十，则以实减法，余二十八，乃以余法除实，适尽得五，是为六分之五也。一曰以通数并除法实，列法实两数，以少减多，更互相减，至两数相等，即为通数。假如法一百六十八，实三十五，依前互相减，得七为通数，因以除实尽得五，亦以除法尽得二十四，是为二十四分之五也。又如二百五十分之二百一十，约为二十五分之二十一，是亦以十为通数也。二十四分之一十，约为一十二分之五，是亦以二为通数也【前两法之一十四与二十八，亦即是通数之易得者耳。葢三法小异，而理则同】亦有不可约者，即以法为母，实为子，命分。整带零分化整为零分法。凡以法除实务，得数归整，值余实少于法，不得已而命分，乃有整带零分，此固然也。而此特谓归整命分之后，其数可定，不复与他数相并减、相乗除者耳。若更有他数，须与之相并减、相乗除，则无论未归整者，且当以法为母，实为子，而勿急于归整【必归整无零分方可归整也】即遇整带零分已成之数，亦必化整为零分，何也？数或零或整，皆可与他数相并减、乗除。若本数自兼零整，则难用整法，又难用零分法，故必须化之，而不能化零为整，但可化整为零。其法以原母为母，以原母乗整得数，并原子为子。如有数七零五分之三，则化为五分之三十八是也。零分与整相并法，零分并整，则成整带零分矣。若更须与他数相并、减、乗、除者，亦以原母为母，以原母乗整得数，并原子为子，如前法。零分与整相减法。零整相减者，法亦以原母为母，以原母乗整得数，减原子为子。如甲数七，乙数五分之三，相减得五分之三十二是也【归整则为六又五分之二】零分相并法。诸数皆零分欲相并者，法以诸母累乗得数为共母，以诸子各累乗他母得数为诸子【本子与本母不相乗，或诸子各乗共母而以本母除之得数为诸子亦可】乃相并为子。假如甲数五分之二，乙数七分之四，丙数八分之三，则以三母累乗得二百八十为共母，以甲子累乗乙丙二母得一百一十二为甲子，以乙子累乗甲丙二母得一百六十为乙子，以丙子累乗甲乙二母得一百零五为丙子，并之得三百七十七为子。
凡得二百八十分之三百七十七是也【归整为一又二百八十分之九十七】右法亦有可省者，如甲数五分之四，乙数三分之一，丙数一十五分之七，即以丙母一十五为共母，而以甲子乗乙母得一十二为甲子，以乙子乗甲母得五为乙子【丙子即用原数】并之得二十四为子，凡得一十五分之二十四，仍约为五分之八是也【归整为一又五分之三】零分相减法。零分相减者，依并分法，累乗为共母，为诸子而减之为子。如甲数五分之二，乙数七分之四，内减丙数八分之三，得二百八十分之一百六十七，是也。零分与整相乗法，零分数整数相乗者，以原母为母，以原子乗整得数为子。如甲数七，乙数五分之三相乗，得五分之二十一是也【归整为四又五分之一】零分除整法，以零分数为法除整数者，以原子为母，以原母乗整得数为子，如乙数五分之三除甲数七，得三分之三十五是也【归整为一十一又三分之二】整除零分法。以整数为法，除零分数者，以整乗原母得数为母，以原子为子。如甲数七除乙数五分之三，得三十五分之三是也。零分相乗法。两零分数相乗者，以两母相乗得数为母，以两子相乗得数为子。如甲数九分之八，乙数五分之三，相乗得四十五分之二十四，仍约为一十五分之八是也【或两母同，或两子同者，亦必相乗】右法亦有可省者，以两母相乗，以甲子除之为母，即竟以乙子为子。如右例，两母相乗，以乙子除之为母，则以甲子为子，得一十五分之八，不须更约，是也。零分除零分法，以法除实，而法实两数俱系零分者，以法子乗实母，得数为母，以法母乗实子，得数为子。如甲数九分之八除乙数五分之三，得四十分之二十七是也【若两母相同者，竟以法子为母，实子为子；两子相同者，反以实母为母，法母为子也】右法亦有可省者，以法子乗实母，以法母除之为母，即竟以实子为子。如甲数九分之八除乙数二十七分之一十三，得二十四分之一十三是也。零分自乗法。零分数自乗者，以母自乗得数为母，以子自乗得数为子。如有数三分之五，自乗得九分之二十五，是也【归整为二又九分之七】零分开方法，零分开平方除者，以母自开得数为母，以子自开得数为子。如有数九分之二十五，开方得三分之五，是也【归整为一又三分之二。按此因论零分法而及开方，故聊举大畧而已，其详在少广章中】零分求分厘小整数法。实少于法，除之不足，不能成整，而为零分。若求分厘小整数，则以母除子，即得。如八分两之三，除得三钱七分五厘；一十六分两之一，除得六分二厘五毫是也。葢其初以两计，故三不可以八除，而析为钱为分厘则可除矣。
至除尽而止，亦有终不可尽者，仍当就最后小数命分。如七分石之二，除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也【或欲还原子，即以原母乗之。如八乗三钱七分五厘，得三两为八分两之三；七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四，得二石为七分石之二是也】分厘数命分法，据分厘小整数欲以大数命分者，法以分厘数依其下最小数化之为子，以所用大数亦依最小数化之，置一算为母【其为伯千及万亿则因乎所化之数而只置一算也】乃以法约之。如六钱六分二厘五毫欲以两命分，则以六千六百二十五为子【六千六百二十五毫也】以一万分为母【一两为一万毫也】乃约为八十分两之五十三是也。亦有不可约者，即以所立之母子命分。
九章録要卷二
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