数度术卷三

数度术卷三

桐城　方中通　撰笔算下奇零列位法术曰：奇零者，不尽数也。加减乗除，皆有奇零，惟除为多耳。以法命之，曰几分之几？除数为母，列上零数为子，列下。式有实四十六，法七，用数六，除四十二，尚余实四，命之。

曰七之四七列上四列下通曰：「以母分子，故以法为母；子随母分，故以实。」

为子奇零别多寡法术曰：母同子异，别在子；子同母异，别在母；俱异者，别在子母也。母同式奇零有二，一曰七之三，一曰七之四，辨其孰多孰寡。今母数等矣，但据子数别之：子多者为多，子少者为少耳。子同式，若子数相等，母数不等者，其母数小，子数反大；母数大，子数反小。如二分十之一，得五；三分十之一，止得三三耳。当以母数少。

者为多子母俱异式，子数母数俱不等，以彼此子母互乗，得数各注其下，较之其较有三：一曰差逺，一曰稍差，一曰相同。法皆一也。

竒零约法术曰：约多者为少，其法有三：一用折半，一用通数，一用纽数。纽数不得，则不可复约矣。只就见数较多寡，用彼此互乘之法。折半式，十六之八，约之为少。折母数十六为八，折子数八为四。约为八之四，再折半，又约为四之二通数式四十八之三十六，欲约之，视子母两数有何数相乗而得其数，即通数也。今以六为通数。以六乘八，得四十八，母可约为八；以六乘六，得三十六，子可约为六。纽数式以小减大，减尽而止，以最后减尽数为纽数，以除子母二数，得约数也。四十八内减三十二，余十六；又于三十二内减十六，两次减尽，是十六为纽数矣，以十六除四十八，得三，约母为三；以十六除三十二，得二，约子为二。通曰：「纽即通也。但通可见，而纽不见耳。今以十六为通数，以三乗之，得四十八；以二乗之，得三十二，亦合。」

奇零并母子法术曰：凡两子母数，先并母较之，使两母数等。以两母相乘，得共母数。次以两母互乘两子，得各子数。或三四母子不同，并较多寡者，亦以各母次第叠乗，并一共母为实。乃以各母数为各法，除之。即以各子数乗各所除数，得各子数也。两母子相并，式甲三之二，乙四之三，欲并一共母，以两母乘得十二为共母数，以甲子二乘乙母四得八为甲并子，以乙子三乘甲母三得九为乙并子四母子相并，式甲二之一，乙三之二，丙四之三，丁五之一。欲并一共母，以甲母二乘乙母三，得六。又以六乘丙母四，得二十四。又以二十四乗丁母五，得一百二十，为共母。以甲母二除共母，得六十，以甲子一乗之，得六十，为甲并子。以乙母三除共母，得四十，以乙子二乗之得八十，为乙，并子；以丙母四除共母，得三十；以丙子三乗之，得九十，为丙，并子；以丁母五除共母，得二十四；以丁子一乗之，得二十四，为丁，并子。倂母子用纽数式，若母数相乗过有纽数可用，即用纽数。如甲母乗乙母得六，嗣当与丙母四相乗，有二为纽数可用【二与三乗得六，二与二乗得四】则约甲乙相乗之六为三，约丙母四为二，乃复以甲乙相乗之六乗丙母所约之二得十二，以丙母四乘甲乙所约之三得十二，是甲乙丙母俱得十二数而止也。至丁母无纽数，即以十二。乘丁母五得六十，则前式共母之一百二十，今约为六十矣。如法逐位母除子乗所得，并子俱减前式之半。

奇零累析约法术曰：奇零有析之又析者，或三四析，欲知其总，用母乗母、子乗子法。三四位者，母子俱湏叠乗也。二位析求总式，七之四又五分四之三，列自左向右，七之四在左，五之三在右，两母乗得三十五，两子乗得十二，是总得三十五之一十二。

也四位析求总式二之一，又六分一之一，又四分一之三，又三分三之二。列自左向右算，仍自右向左。以丁母三乗丙母四，得十二。又以十二乗乙母六，得七十二。又以七十二乗甲母二，得一百四十四，为总母。以丁子二乗丙，子三得六。以六乗乙，子一得六。以六乗甲，子一得六。为总子，是总为一百四十四之六也。

化法术曰：凡整数后带奇零，欲将整数尽，依母数化之，以母数乘整数，以乗得数入子数，却以母数除之，有零无零，两化俱合。化整为零式，有整六又零五分一之三，列六于左，列五之三于右，以母五乗整六，得三十，并子数三为三十三，是化为五之三十三也。零数归整，无零式七之五十六，欲归为整，以母数除子。

数用八除尽知是八为整数也零数归整，有零式九之四十七，欲归为整，以母除子，用五除于子四十七内，除五九四十五，尚余二，知是整五又零九之二也。

奇零加法术曰：两零数以至多零数，及整与零数，欲并为一者，同母则一母可代众母，异母则湏叠乗为共母也。子不拘同异，皆并为一。遇有纽数者，用纽数求其共母。两位者，子母互乘以求并。子位多者，母除子乘以求并。子同母之子，惟并而已。异母之子，湏求并子而并也。其整与零并，先并整，次并零，合为一曰积。同母式曰七之五，曰七之六，欲并为一。同母七，即用为。共母两子并得十一，为共子积为七之一十一归得一零七之四异母，式两母不同，乘得十二，为共母。甲子乘乙母，得八。

为甲并子乙子乘甲母得九为乙并子再以两并子并得十七积为一十二之一十七异母位多式，以甲母七乘乙母十三，得九十一，再乘丙。

母十一得一千零一为共母依法各母除各子乘得各并子又并得共子积为一千零一之二千六百九十二一整一零并式，零曰五之三，整曰八，倂为一，仍以整为整，零为零，即为八又零五之三也。二整一零并式，零曰三之二，整曰四，曰八，并为一。先倂两整，得一十二，零数止一位，无倂积为一十二又零三之二也。整与同母二零倂式零曰七之二曰七之六，整曰八曰四，先倂两整得十二，次并两子得八，同母七即为共母，积为一十二又零七之八也。整与异母二零并式，零曰三之二，曰四之三。整曰八。整数无并，两母乘得十二为共母，左右母子互乘，右子得八，左子得九，为倂子。再并得十七积，为八又零十二之十七也。

试加差法通曰：「加用、减试、用加、试皆有同母、异母之分。」试同母式，以右子五减积子十一，余六，合；左子数，以左子六减积子十一，余五，合右子数；合则无差。试，异母，式先试母，以右母三除共母十二，得四，合左母。

数以左母四除共母十二得三合右母数无差次试子以右并子八减积，子十七余九，合左并子数。以左并子九，减积子十七余八，合右并子数。又以左母四除右并子八，得二，合右子数。以右母三除左并子九，得三，合左子数，无差。

竒零减法术曰：先审多寡，多为原数，少为减数。同母，止就子数相减；异母，先求共母，又母除子乘，求各子，乃以相减也。通曰：多中减少，即右内减左也。但并母子数，有时似少中减多者，而化整之后，仍是多中减少也。同母式曰：十七之八，曰十七之五，相减，此当于十七之八内减十七之五也，同母止于右子。八内减左子五，余三，得十七之三。异母式曰九之八曰三之二相减，先以两母乘，得二十。

七为共母乃母除子乘得各子审多寡然后相减余二十七之六整数内减零数，式整一十内减零一十一之六，先于整内抽出一数，依零母数化为一十一作化子，整止存九，是化为一十一之一十一也，于化内减十一之六，余十。

一之五是减余为九零十一之五整内减整，及零式两整，先减十，内减四，余六，乃于六中抽一依零母化五为子是化为五之五也于化内减五之三余五之二，其余整六，既抽一，止存五，是减余为五零五之二。整及零内，减整及零，式整数多者为原数。先以两整相减十内减六余四此乃异母以两母乘得八为共母乃子母互乘为子，以右子一乘左母四，得四为右，并子以左子三乘右母二，得六为左，并子当于八之四内减八之六，然四少六多不能减，湏于既减之余整四内抽出一数，以共母化为八，又并右并子四为十二，化为八之十二，于此内减去八之六，余八之六，整数止存三，是减余为三零八之六。整及零内减零，式整数不动，乃并母子，以两母乘得三百六十三为共母，母子互乘，右得十一为并子，左得一百三十二为并子，当于右内减左，而右并子少，乃于整九内抽出一数，依共母化为三百六十三，并入右并子十一为三百七十四，乃于此内减右并母子，余三百六。

十三之二百四十二整九止存八是减余为八零三百六十三之二百四十二【可约为八零三之二】通曰：「乘除内用加减，加减内亦用乘除，故四法通而一法通也。」

试减差法试同母式以减余子三，并入左子五为八，合右子。即以减余子三于右子八内。

减之余五亦合左子无差试异母式，以减余二十七之六与左三之二相加，合右九之八。此两母乘得八十一为共母，以减余子乘左母得十八，乘右母得五十。四再并为七十二，得八十一之七十二，约之为九之八。

奇零乘法术曰：两零相乘，当以母乘母，子乘子。零与整乘，则置整数与零并列，而整数上立一数为母，与零母并列，依母乘母、子乘子之法也。其不止一整者，或俱有带零者，法详后。零与零乘，式四之三与三之二相乘，以两母乘得十二为乘母，两子乘得六为乘子，是乘为一十二之六。零与整乘，式五之四与整八相乘，乃以八上立一为母。作一之八与五之四并列，依法乘。得五之三十二，通曰：「但以整数乘。」

零数之子为乘子可也整带零与整乘式，整三零六之五与整八相乘，先以右整三与母六乘得十八并子五得二十三为子化为六之二十三以左整，八上立一为母，并列依法乘，得六之一百八十四。整带零与零乘式，四零三之二与二之一相乘，依法右。

位整乘母得十二并子二得十四为三之十四与左零数并列乘得六之十四整带零与整带零乘式，四零二之一与三零五之一相乘依法整三与母五乘得十五并子一得十六左为五之十六整四与母二乘得八，并子一得九。右为二之九，并列乘得一十之，一百四十四。通曰：竒零与常法不同，常法皆乘少为多，今或乘多为少，葢借用虚数，实非乘多为少也。

试乘差法通曰：乘用除试，除用乘试。葢奇零试差，皆彼此还原也。式以前零与零乘，式试之，以乘得十二之六为原数，以其两相乘之数皆为除数但湏倒位前曰三之二，今曰二之三，前曰四之三，今曰三之四，乃以除数右母二乘原母十二，得二十四，以除数右子三乘原子六，得十八，是为二十四之十八，约为四之三，而合上左，其左位依法还原为三十六之二十四，约为三之二，亦合上右。

奇零除法术曰：两零相除，右列原数，左列除数。却将除数倒列子母，而与原数并列，亦用母乘母，子乘子之法，乘出数即除出数也。零除零式，二之一为实，列右；六之一为法，列左。倒为一。

之六乃与二之一并列母乘母子乘子即得除出数为二之六也零除整式，整六为实，三之二为法，法倒为二之三，实立。一为母，作一之六，乃并列相乘得。

除出数通曰乘除本互用于此可见整带零，除整式六为实，四零三之二为法，以母三乘整。

四为十二并子二为十四化为三之十四再用零除整法得除数整除零式，三之二为实，整六为法，以六上立一为母，又倒为六之一，与三之二并列乘得。

除数整除整带零式六零二之一为实，三为法，以整六乘母。二，得十二，并子一，得十三，化为二。之十三，整三立母，倒位并列，乘之。整带零，除零式三之二为实，六零二之一为法，以整六。

乘母二得十二并子一得十三化为二之十三倒位乘之零除整带零式六零二之一为实，四之三为法，以整六乘母二，并子一，得十三，化为二之。

十三倒法位乘之整带零除，整带零式，六零二之一为实，三零五之二为法依法实化为二之十三法化为五之十七倒法位乘之试除差法式以前零除零，式试之，以乘得二之六，列右除数六之。

一列左母乘母子乘子得十二之六约为二之一合右原数无差重零除尽法术曰：归除不尽曰奇零。然有原数内本来先带奇零者，是大奇数内又有小奇数也。若欲除之使尽，当先归之使一。列小奇于右，列大奇于左。两母相乘为总母。又以小奇母乘大奇子，并入小奇子为共子。此即是除尽之数。大奇，内有小竒。式四人分一十五零三之二，其不尽者整三零三之二也。三之二为小奇，四之三为大奇。两母乘得十二为共母，小奇。母乘大奇子得九，并小奇子二为十一，作共子是一十二之一十一为除尽数也。大奇，内小奇，有小奇式。若小奇内，复有小奇，至三，至四。

者如七除不尽而余四数为七之四，而又以此四中之一剖为五停之二，又以二中之一剖为四停之三，又以三中之一剖为三停之二，此乃大奇内带三小竒也。先并大次两母五七乘得三十五为母，以次母五乘大竒子四得二十，并入次子二得二十二为子，是为三十五之二十二。再并三奇，以母三十五乘三奇母四得一百四十为母，以三奇母四乘大次并子二十二得八十八，并三奇子三得九十一为子，是为一百四十之九十一。再并四奇，以母一百四十乘四奇母三得四百二十为母，以四奇母三乘大次三并子九十一得二百七十三，并四奇子二得二百七十五为子，是为四百二十之二百七十五。此即通并即除尽数也，可约为八十四之五十五。大奇，内有小奇。用加除二法式，凡大奇一位，小奇止一。

位者，当用加除二法。而前式葢防法也。如第一式，大奇四之三，小奇三之二。先用除法，以小奇三之二列右止，以大奇母四列左立一为母，倒位并列，乘得十二之二【此用整除零法】后用加法，以除出之十二之二列右，以大奇四之三列左，两母相乘得四十八为共母，或母除子乘求子，或母子互乘求子。右子得八，左子得三十六，并得四十四，是积为四十八之四十四也【此用异母加法】约得一十二之一十一，而合除尽数矣。

附铺地锦乘式有物二十三件，每件价银五钱六分五厘，问共若？干曰：一十二两九钱九分五厘术。物数为实，列上价数为法，列旁相。呼填数于格内，呼毕，斜格成总也。先呼三五，一十五次，呼三六，一十。八次呼三五一十五，填三下之格内；后呼二五得一十二，六一十二，二五得一十，填二下之格内。乃斜取总数一为一十一，一为二，两五一二，一为九钱，八一为九分，五为五厘也。除式有银九十四两五钱，买物七十斤，问每斤若干？曰一两、三钱、五分。术：先画图，置银数于内为实，以物数为法，自下左旋而上而右止。用珠算归除诀，先除九十，起曰：「逄七进一，十填在左图右格为一两。」又曰：「七二下加六，次除四两，因加六作十，曰：『逄七进一，十将此一并九十，图内存二作三，填在九十图左格为三钱。』」又曰：「七三、四余，二次除五分，因加二作七，曰：『逄七进一，十将此一并四两图内作四，又作五，填在四两图右格为五分。』共得一两、三钱、五分也。

洛书算通曰：「洛书用九，八卦旋中加升减降，法异理同。九内易位，越十移宫，过去未来，用之无穷。」

加式有四钱五分，又三钱四分，又三两五钱，问共若干？曰：四两二钱九分。术：每图用棋子一枚，先呼四钱五分，将钱图棋子置四上，分图棋子置五上。又呼三钱四分，将钱图四上棋子移置七上【四加三】分图五上棋子移置九上【五加四】又呼三两五钱，将两图棋子置三上，却以钱图七上棋子加五成一十二，移置本图二上，而两图三上棋子加一成四，移置四上。乃视各图棋子所在为总数也。减式，先将总数棋子照图安置，逐呼逐减，即得。

通曰：「又有一笔锦之法，似笔算而叠改不同。又有一掌金之法，五指每指九位，分三行，自下而上曰一二三，又自上而下曰四五六，又自下而上曰七八九。临算暗记，殊觉可笑。即铺地锦乘，尚似筹而除则不可用矣。惟洛书算为便，并列图数而求之，虽乘除亦可得也。」

数度衍巻三钦定四库全书