勾股引蒙卷四

勾股引蒙卷四

海宁　陈訏　撰三角法八线全图【周天三百六十度，两分之为半。】

周四分之为一象限　每一象限各九十度又名弧度　　六】凡正方角【乙】即直角，即象限之角，其所对弧必九十度。凡在一象限不及九十度者为鋭角【如丙】凡过一象限多于九十度者，为钝角。凡言角，以中一字为所指之角【如甲、乙、癸】凡求某角者，求其角之对弧度与分。凡求某角，即本角之弧矢▯割切为正，其外为余。凡半径为全数，为一○○○○○八线有增减，半径无増减，常为十万弧中旋转，可如▯如句。

凡正角以半径全数为正▯凡钝角以外角之正余▯为正余▯。

直角【即正方角，一名勾股形】有角有边，求余角余边【直角之一】假如【壬癸丁】勾股形有丁角【五十七度】壬丁▯【九十一丈八尺】求余角余边。

先求癸丁边术曰以半径全数比丁角之余▯若壬丁▯与癸丁句一率【原设▯】半径一○○○○○为法，二率【原设句】丁角【五十七度】余▯五四四六四【相乗】三率【今有▯】壬丁边九十一丈八尺【为实】四率【今所求句】癸丁边五十丈【法除实得所求】右三率法后同，半径即乙丁，余▯即甲丁。

求壬癸边以半径比丁角之正▯若壬丁▯与壬癸股。一率【原设▯】半径，一○○○○○二率【原设股】丁角【五十七度】正▯○八三八六七三率【今有▯】壬丁边九十一丈八尺。四率【所求股】壬癸边，七十七丈。

求壬角以丁角五十七度与象限九十度相减，得余三十三度，为壬角。

右例先得▯以求勾股假如【壬癸丁】勾股形，有丁角【六十二度】癸丁勾【二十四丈】求余角余边。

求壬角以丁角【六十二度】与象限相减，得余【二十八度】为壬角。平面弧止容一正方角，两鋭角，今既有勾股形【癸】则于一象限内减丁角之度，其余度自必壬角。

戊丙丁勾股形以戊丙切线为股丙丁半径为勾戊丁割线为▯是丁角原有之线，今壬、癸、丁勾股形与戊、丙、丁勾股形既同丁角，则其比例等。

求壬丁边以半径比丁角之割线，若癸丁勾与壬丁▯一率【原设勾】半径，一○○○○○，二率【原设▯】丁角【六十二度】割线，二一三○○五。三率【今有勾】癸丁边，二十四丈。四率【所求▯】壬丁边，五十一丈一尺。

求壬癸边以半径比丁角之切线，若癸丁勾与壬癸股。一率【原设勾】半径一○○○○○，二率【原设股】丁角【六十二度】切线一八八○七三。三率【今有勾】癸丁边，二十四丈。四率【所求股】壬癸边，四十五丈一尺。右例先得勾以求▯及股，或先得股以求▯及勾，亦同。按半径随弧旋转，无有増减，故可为▯，为勾，为股，各随比例之所取用，视边与线之纵横小大为比例。

有边求角【直角之二】假如【壬癸丁】勾股形，有壬丁▯【一百○二丈二尺】癸丁勾【四十八丈】求二角一边。

求丁角以丁壬▯比癸丁勾，若半径乙丁与丁角之余▯甲丁。

一　　壬丁边　　一百○二丈二尺二　　癸丁边　　○四十八丈三　　半径　　　一○○○○○四　　丁角余▯　四六九六六以所得余▯检表得六十二度，为丁角度。

右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为余角之比例矣然丁角必求余▯为四率者盖若求正▯正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若余▯【甲丁】与正割【壬丁】之例然余▯尚未求得又无可为比故以壬丁▯比癸丁句若乙丁▯之半径与甲丁勾之丁角余▯相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数歴然可于无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可于无比例中寻出比例矣求壬角以丁角六十二度与象限相减，得余二十八度，为壬角。

求壬癸边以半径比丁角之正▯若壬丁▯与壬癸股。

一　　半径　　　　一○○○○○二丁角【六十二度】正▯○八八二五九三　　壬丁边　　　一百○二丈二尺四壬癸边○九十丈○二尺三寸。右例以边求角，而先知方角，故止用二边。此先有之边是▯与勾，故求壬癸边之股者，以壬丁边之斜▯为比，而正▯如股，半径旋转如▯，可线与线相比以为边与边相比之例也。若先有者是股边勾边，则求切线者，以股邉为例，而勾之比股者，又可以半径为勾，如下求丁角法。假如壬癸丁三角形，有壬丁边一百○六丈，壬癸边九十丈，癸丁边五十六丈，求角。

求癸角以壬丁大边与丁癸边相加得【一百】。六十二丈】为总，又相减得【五十丈】为较，以较乘总得【八千一百丈】为实，以壬癸边【九十丈】为法除之，仍得【九十丈】与壬癸。

边数等即知癸角为正方角求丁角以丁癸边比壬癸边，若半径与丁角切线。

一　　丁癸勾　　五十六丈二　　壬癸股　　九十丈三　　半径　　　一○○○○○四　　丁角切线　一六○七一四以所得切线检表，得五十八度○六分，为丁角。有一角必有一弧，每一弧必有八线。今求丁角，而壬癸边，如丁角弧之切线，可以半径相比。故先以丁癸边比壬癸边为例，若半径与丁角之切线。

求壬角以丁角【五十八度○六分】与象限相减，得余三十一度五十四分，为壬角。右例亦以边求角，而先不知其为勾股形，故兼用三边。

鋭角有两角一边求余角余边【鋭角之一】假如【乙丙丁】鋭角，有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁边【一百二十尺】

求乙角以丙角【六十度】丁角【五十度】相并得【一百一十】。度】以减半周一百八十度，余七十度。

为乙角右丙角，丁角有度而无边，乙角有边。而无度，先以两角之度除半周，而乙。角之弧度得矣，既得乙角之度，即可。以乙角之线比乙角相对之边，若他角之线与他角之边求乙丁边以乙角正▯比丙丁边，若丙角正▯与乙丁边一乙角【七十度】正▯九三九六九二丙丁边【即乙角对边】一百二十尺。三丙角【六十度】正▯八六六○三四乙丁边【即丙角对边】一百一十尺○六寸。以前诸法俱线比线，边比边，互相为例。此处以线比边，下求乙丙边同。

求乙丙边以乙角正▯比丙丁边，若丁角正▯与乙丙边一乙角【七十度】正▯九三九六九二丙丁【乙角对边】一百二十尺。三丁角【五十度】正▯七六六○四四乙丙【丁角对边】○九十七尺八寸。右例先有之边在两角之间也。若先有之边与一角相对，亦同。有一角两边，求余角余边【鋭角之二】假如【甲乙丙】鋭角形有丙角【六十度】甲丙边【八千尺】甲乙边【七千○三十四尺】

求乙角以甲乙边比甲丙边若丙角正▯与乙角正▯一　　甲乙边　　　　七千○三十四尺二　　甲丙边　　　　八千尺三丙角【六十度】正▯八六六○三四　　乙角　　正▯　九八四九六检表得八十度○三分为乙角凡角俱有正▯下垂，角小▯亦小，角大▯亦大，依割线之低昻也。今丙角斜边长近俯，乙角斜边短近仰，则乙角必大于丙角。故以小边比大边，亦若正▯小之比大而可得角也。此以小比大也。

求甲角以丙角乙角相并，得【一百四十度○三分】以减半周，余三十九度五十七分，为甲角。

求乙丙边以乙角之正▯比甲角之正▯若甲丙边与乙丙边。一乙角【八十○度三分】正▯九八四九六二甲角【三十九度五十七分】正▯六四二一二三　　甲丙【乙角对边】　　　　　八千尺四乙丙【甲角对边】五千二百一十五尺，乙角以乙丙为底，其正▯从甲下垂，故▯长；甲角以甲丙为底，正▯从乙下垂，故▯短。今乙丙边小于甲乙、甲丙之两边，故以最大之邉比之，先以最大之线比最小之线，用乙角、甲角之正▯为例也。右例有两边一角，而角与一边相对。假如【甲乙丙】鋭角形，有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】角在两边之中，不与边对，求甲乙边。

先求中长线分为两勾股形以半径比丙角正▯若甲丙边与甲丁中长线【此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及分形之角】

一　　半径　　　　　一○○○○○二丙角【六十度】正▯○八六六○三三　　甲丙边　　　　四百尺四，甲丁中长线，三百四十六尺四寸一分。求丙丁边【求中长线，专为分边而求】以半径比丙角余▯，若甲丙边与丙丁边。

一　　半径　　　　一○○○○○二丙角【六十度】余▯○五○○○○三　　甲丙边　　　四百尺四　　丙丁边　　　二百尺求角者须先审四率之线，应求某线，而以边之可比例者为一、二率。求边者须先审二率，应用某线可与四率之边相比例，而以一率、三率比之。盖边有定在，而线则随所比例而变，其所取也。如右求丙丁边，乃分边而非乙丙之全边。妙在八线余▯限于正▯而不越于正▯之外，与丁丙分边限于中长线甲丁，不能越丁而至乙，故二率取为比例而得丙丁之分边。

求乙丁边以丙丁与丙乙相减，余六十一尺○八分，为乙丁。

求丁甲乙分角以甲丁中长线比乙丁分边，若半径与甲分角切线。一，甲丁中长线，三百四十六尺四寸一分二；乙丁分边，○六十一尺○八分。

三　　半径　　　　一○○○○○四　　甲分角切线　○一七六三三检切线表得一十度为甲分角右求分角之线，自必以分边为例，则所得之线乃分角之线，而非甲全角之线。惟切线即在角之对边，故分边之线为分角之度。

求甲乙边以半径比甲分角割线，若甲丁中长线与甲乙边。

一　半径　　　　　一○○○○○二甲分角【十度】割线一○一五四三三，甲丁中长线，三百四十六尺四寸一分。四甲乙边三百五十一尺七寸五分。右甲分角，以中长线为底，则割线即甲乙边。

求甲全角以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求得甲分角【一十度】相并，得四十度为甲全角。

求乙角以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周同】右例有两边一角，而角在两边之中，不与边对，故用分形以取勾股。

用切线分外角【梅本新増】假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角六十度。

求甲角以甲丙边乙丙边相并为总，相减为较。又以丙角【六十度】减半周，得外角【一百二十度】半之得半外角【六十度】检其切线，依三率法求得半较角，以减半外角，得甲角。

一，两边总，六百六十一尺○八分二，两边较，一百三十八尺九寸三分三，半外角切线，一七三二○五。

四　　半较角切线　○三六三九七检切线表，得二十度为半较角，转与半外角【六十度】相减，得甲角四十度。

求乙角以甲丙二角相并，共【一百度】以减半周，得余八十度，为乙角。

求甲乙边以甲角【四十度】正▯六四二七九。比丙角【六十度】正▯八六六○三。若乙丙边，二百六十一尺○八分。与甲乙边三百五十一尺七寸五分。按此新増例，即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也。但此不用求分边分角之烦，而径求甲角之半较角。葢一弧之中既有丙角，则所余之度皆甲乙之角为丙之外角，应将外角中分为半外角，以为甲乙两角之地。然甲角边长鋭于乙角，则乙角必大，甲角必小。又应于外角之半分出较角，而后甲角始得其真。在半外角既中分外角之半，则此较角亦必中分较角之半为半较角。故先以边总比边较为一、二率。盖边总如半外角之总，犹之外角一百二十而半外角止六十也。以边较求甲角之半较角，犹甲角小于乙角若干，而此求得之较为小于乙角若干之半，名半较角也。所以求切线者，盖切线在各弧之贴际，必与本角之底为直角形，如勾股其线遇本角之割线而止。今所求在所割之半较角，则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际，不烦更觅他线也。梅刻増此一条简捷巧便，而所以然之理初学茫然，为补图明之如左。

此平三角借弧以明其理若弧三角所容三角不止三个如平方立方有面体之别后同有三边求角【鋭角之三】假如【甲乙丙】鋭角形有乙丙边【二十丈】甲丙边【一十七丈五尺八寸五分】乙甲边一【十三丈○五寸】

求两勾相减之数为勾较任以【乙丙】大边为底，从甲角作甲丁虚垂线至底，分为两勾股形。一甲丁丙形，以甲丙边为▯，丁丙为勾。一甲丁乙形，以甲乙边为▯，丁乙为勾。两▯相并为总，相减为较。两勾相并【即乙丙边原数】为勾总。求戊丙勾较。

以勾总比▯总若▯较与勾较一，两勾之总【即乙丙】二十丈。

二　　两▯之总　　三十丈○六尺三寸五分三　　两▯之较　　四丈五尺三寸五分四　　两勾之较【即丙戊】　六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余▯然余▯长短必限于正▯今甲丁中垂线即丙角之正▯今若求丙角余▯又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾【戊丁】而得丁丙分边与丙角之余▯等以之比例而得丙角之余▯即查表得丙角之度求分形之两勾以勾较【六丈九尺四寸六分】减勾总【二十丈，即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分，为甲丁乙分勾之形。又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加勾较【六丈九尺四寸六分即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分，为甲乙丙分勾之形。

求丙角以甲丙▯比丁丙勾，若半径与丙角余▯。一，甲丙边，一十七丈五尺八寸五分二，丁丙分边，一十三丈四尺七寸三分三，半径，一○○○○○四　　丙角余▯　○七六六一六检余▯表得丙角四十度求甲角先求分形大半之甲角以丙角【四十度】减象限，余五十度，为【丁甲丙】分形，甲角。

次求分形小半之甲角以甲乙▯比丁乙勾，若半径与分形甲角之正▯一，甲乙边一十三丈○五寸二丁乙分边○六丈五尺二寸七分三　　半径　　　　一○○○○○四　　甲分角正▯　○五○○一五【以甲丁为底，则甲乙边如半径，而乙丁边如甲分角之正▯】检正▯表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角，并分形两甲角【先得五十度，次得三十度】得共八十度，为甲全角。

求乙角并丙甲二角，共【一百二十度】以减半周，得余六十度，为乙角。

钝角有两角一边求余角余边【钝角之一】假如【乙丙丁】钝角形，有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙边【五十四丈】

求丁角以丙丁二角并共【六十度半】以减半周得余一百一十九度半，为丁。

钝角求乙丙边以丙角正▯比丁角正▯若乙丁边与乙丙边一　　丙角【三十六度三十分】正▯　五九四八二二　　丁角【一百十九度三十分】正▯　八七○三六三　　乙丁边　　　　五十四丈四乙丙边七十九丈○一寸。右所用丁角正▯，即六十度半正▯，以钝角度减半周用之，凡钝角同。

求丁丙边以丙角正▯比乙角正▯若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度三十分】正▯　五九四八二二　　乙角【二十四度】正▯　四○六七四三　　乙丁边　　　　五十四丈四　　丁丙边　　　　三十六丈九尺二寸凡钝角以外角之正▯为正▯盖即此钝角之外角也。如图，丁为钝角，乙「」。丙为丁角所对之弧，乙丁甲为丁角。之外角至于正▯皆以本角之勾为底以割线【半径同】与弧之相界处，直线。垂下与本角之底为正方直角，如图。乙、丁、甲为丁角之外角，乙丁如外角。之割线，夘丁如外角之余▯而夘乙。则外角之正▯也。至如丙角，以丙丁，为底其正▯丑丁近乙丁边乙角以。乙丙为底，其正▯子丁近乙丙边也。

补图明之有一角两边，求余角余边【钝角之二】假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形【此钝角所对之弧度分】甲丙边四千尺，甲乙边三千五百一十七尺。【前则用他角求钝角，此则用钝角求他角】

乙角为钝角甲丙为钝角所对之弧度乙丁为丙角正▯甲戊为钝角用外角之正▯求丙角以甲丙边比甲乙边，若乙角正▯与丙角正▯。

一　　甲丙边　　　　　　四千尺二　　甲乙边　　　　　　三千五百一十七尺三　　乙角【九十九度五十七分】正▯　九八四九六【即八十度三分正度】四　　丙角　　正▯　八六六○三检表得丙角六十度按乙角为钝角，其所用外角之正▯，即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所余八十度○三分之外角，其所有之正▯也【每度六十分】求丙角者，止丁外角之正▯可比丙角之正▯，故先以甲丙边比甲乙边为例，俱以长比短，而纵与纵为同类。

求甲角并乙丙二角，共一百五十九度五十七分，以减半周，得余二十度○三分为甲角。

求乙丙边以乙角之正▯比甲角正▯，若甲丙边与乙丙边一乙角【九十九度五十七分】正▯九八四六九二甲角【二十度○三分】正▯三四二八四三　　甲丙边　　　　四千尺四乙丙边一千三百九十二尺。右甲角正▯，以甲丙为底，乙已即甲角正▯，与甲已为正方角，此二则皆以大比小。右例有两角一边，而先有对角之边；若两边一角，而边在角之两旁，不与角对，又另法如左。假如乙丁丙钝角形，有乙丁边【一千○八十尺】乙丙边【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】

丙戊为虚股　戊丁为虚勾乙角，乙丁为底，丑丁为正▯。乙丁。即余▯，丙角丙丁为底子，丁为正。

▯先以半径比乙角正▯若乙丙边与丙戊边。

一　　半径　　　　一○○○○○二乙角【二十四度】正▯○四○六七四三乙丙边一千五百八十二尺四，丙戊边【即虚垂线】○六百四十三尺。又以半径比乙角余▯若乙丙边与乙戊。

一　　半径　　　　一○○○○○二乙角【二十四度】余▯○九一三五五三乙丙边一千五百八十二尺四乙戊边【即乙丁引长线】一千四百四十五尺。右以原边乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊边相减，得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚勾股形之勾【先得丙戊垂线为股，原有边之丁丙为▯】

求丁丙边依勾股求▯法，以丙戊股自乘【四十一万三千四百四十九尺】丁戊勾自乘【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实，平方开之，得▯七百三十九尺，为丁丙边。

求丙角以丁丙边比丁乙边，若乙角正▯与丙角正▯一，丁丙边○七百三十九尺二，丁乙边，一千○八十尺。三，乙角【二十四度】正▯四○六七四。

四　　　丙角　正▯　五九四四二检表，得丙角三十六度二十九分。

求丁角以丙乙二角并之，共【六十度二十九分】以减半周，得余一百一十九度三十一分，为丁钝角。此三角形既有乙角，度当先求丙角之鋭，而后丁角之钝，可以半周相减即得。但求丙角，虽有乙丁边可为丙角正▯之比例【凡正▯必在本角相对之边】然丙丁无边，不能以边比边为乙角正▯比丙角正▯之例，故又当先求丙丁边。但丙丁边如勾股之斜▯，当以勾股求▯法求之。今丁戊无勾，丙戊无股，故先求丙戊边以作虚股，再求乙戊边以作虚勾，而后用勾股求▯法而得丙丁之边。三边既得，则每角之正▯必近本角所对之边，即可以所对之两边相比为两角之正▯相比之例求之矣。葢丙角以丙丁为底，其正▯子丁近乙丁边，而乙角之正▯子丑近丙丁边，故必先得边以为求线之比例也。既先有乙角，又求得丙角，则丁角半周减之即得矣。

右两边一角而角不与边对用切线分外角【梅本新増】假如乙丁丙钝角形，有乙丁边【五百四十尺】丙乙边【七百九十一尺】乙角【二十四】度。

求丙角以【丁乙丙乙】两边相并为总，相减为较。又以【乙】角【二十四度】减半周，得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】以边总比边较，若半外角切线与半较角切线一，两边之总，一千三百三十一尺二，两边之较，○二百五十一尺。

三　　半外角切线　四七○四六三四　　半较角切线　○八八七一九检表得半较角【四十一度三十五分】以减半外角【七十八度】得余【三十六度二十五分】为丙角。

求丁角并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周，得一百一十九度三十五分，为丁钝角。

求丁丙边以丙角正▯比乙角正▯若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度二十五分】正▯　五九三六五二　　乙角【二十四度】正▯　四○六七四三　　乙丁边　　　　五百四十尺四丁丙边三百六十九尺九寸八分右新増一则，亦角在两边之中，不与边对，与前三角形无异，亦俱先求丙角。前法先以勾股求▯法求丙丁边，先补虚勾虚股以求丙丁边。边得而丙角之线可比例以求丙角，其法详此新増法。竟求丙角而求丙丁边，反在求得丙角之后，更简捷矣。其边总边较半外角切线与半较角切线，补图明之如左。

【甲庚癸为半周子庚为半径甲壬为乙角度壬辛癸为外角壬、辛为半外角，子、夘为半外角，割。

线壬夘为半外角切线己丑为半较角切线己辛为半较角】

新式三边求角【钝角之三】假如【乙丙丁】钝角形，有乙丙边【三百五十尺】乙丁边【六百○七尺】丁丙边【三百尺】

右有边无角术自乙角作虚垂线至甲，又引丁丙线横出，遇于甲而成正方形，为乙甲丁勾股形。又横线至辛，如丙甲成乙甲辛勾股形。丁辛为两勾之总，丁丙边为两勾之较。乙丁边为大形【乙甲丁】之▯，乙丙边为小形【乙甲辛即乙甲丙】之▯。两▯相并为总，相减为较。

先求勾总此因将求丁角度，而三角无度，则无线可比。唯丙丁句似丁角余▯，然丁角以乙丁为半径，则乙甲为正▯，而余▯应自丁至甲，今止自丁至丙，尚少丙甲之余▯，故必先求甲丁勾，始与丁角余▯相等。然欲求甲丁勾，又必先求勾总，以为分形之勾股，而后甲丁之勾可比得丁角之余▯，以查表而得丁角也。

一　　勾较【即丁丙边】　　　三百尺二▯较【即乙丁边减乙丙之余】二百三十二尺。三▯总【即乙丁乙丙二边相并】九百八十二尺四勾总【即丁辛】七百五十九尺四寸，以勾较【三百尺】减所得勾总【七百五十九尺四寸】余数【四百五十九尺四寸】半之得数【二百二十九尺七寸】为小形之勾甲丙。以甲丙小形之勾加丁丙较【三百尺】得数【五百二十九尺七寸】为大形之勾甲丁。

求丁角以乙丁▯比丁甲勾若半径与丁角之余▯一，乙丁▯六百○七尺。

二　　甲丁勾　　　五百二十九尺七寸三　　半径　　　　一○○○○○四　　丁角余▯　　○八七二六五检表，得丁角二十九度一十四分。

求丙角【用乙甲丙小形】钝角用外角，故用乙甲丙之小形勾股。此勾股之▯乙丙，即此钝角丙之外角割线。以甲丙勾比乙丙▯，若半径与丙角之割线一甲丙勾二百二十九尺七寸二乙丙▯三百七十五尺三　　半径　　　　一○○○○○四　　丙角割线　　一六三二五六检表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角，以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分。按此五十二度一十四分乃丙外角之度分，故乙丙斜▯实即丙角之割线。至于求丁角，求丙角，俱以半径为三率，而丁角之三率用以作▯，丙角之三率用以作勾。半径可勾可股可▯，顾随所取用耳。

求乙角并丁丙二角所得度分共【一百五十七度】以减半周，得余二十三度，为乙角。右例钝角形三边求角，作垂线于形外，径求钝角，乃新式也。若以大边为底，从钝角分中长线，同鋭角之三。补图。乙、丙、丁三角形。乙己为丙角。

弧度　乙辛为丙外角　丙戊即【乙丙】为丙外角割线，乙壬壬。

辛为外角之丁角乙角乙甲即中长线　乙甲丙即小形勾股　乙甲丁即大形勾股乙丙即虚勾虚股之▯　戊辛为切线右钝角用割线，宣城梅定九先生新増此式，为割线求度分之法。盖割线乃象限中所割各度之线，必与切线相遇以为増减。割线割于弧内，切线切于弧外，彼増此减，彼减此増。如前钝角之二己辛，为半较角，其切线即从己之弧外起。今外角乙辛，即从辛之弧外起。此新式之用割线，视前法无异也。至钝角之所以用外角者，盖大圜两分之为半周，四分之为象限。凡象限止九十度，而自一度至四十四度为平度，自四十五度至八十九度为髙度。其髙度之正线，即平度之余线；而髙度之余线，即平度之正线。故四十四与四十五同表，四十三与四十六同表，以至○度○分，则与八十九度六十分同表。此作八线表者，因髙度平度如测望之直景倒景相反而实相通，为此省文也。今凡钝角度必过象限之外，在八线无半弧之表可查，则用外角之线度以减半弧，而所余之度即钝角所对之弧度，明矣。此因八线表而立钝角用外角之法也。