御制数理精蕴上编卷四

御制数理精蕴上编卷四

几何原本十一几何原本十二几何原本十一第一作三界度等之三角形及两界度等之三角形法，如欲作三界度等之三角形，则作一甲乙线，取甲乙之度为准，以甲为心，自甲至丙作弧一段，又以乙为心，自乙至丙作弧一段，两弧相交处至甲乙作二线，即成三界度等之甲丙乙三角形矣。葢甲乙丙三角形之甲乙、甲丙、丙乙三界，原系一圜之辐线，其度必等，度既等，而线未有不等者也。若欲作两度等之三角形，仍作一甲乙线，比甲乙线之度或大或小，取一度，以甲乙二处为圜心，皆至丙作弧两段，仍于两弧相交处作二线，即成两界度等之甲丙乙三角形矣。葢甲丙、丙乙二线虽比甲乙线或大或小，然二线俱同为一圜之辐线，其度自等，两度既等，则两界线亦必等也。

第二平分直线角为两分法，如甲乙丙角，欲平分为两分，乃以一角为心，任意作弧线一段，则乙甲、乙丙二线截于丁、戊，即成乙丁、乙戊等度二线。自弧两端复作一丁戊线，照丁戊线度，依前节法作一三界度等之丁己戊三角形，则己角与乙角正相对。乃自乙角至己角作一乙己直线，即分甲乙丙角为两平分矣。何也？其乙丁己、乙戊己两三角形之乙丁、乙戊二界，是一圜之辐线，其度等；而丁己、戊己二界，是三界度等三角形之两傍界，其度亦等；而乙己线既为两形之共界，其等无疑。此两三角形之各界度既各相等，则与丁己、戊己界相对之丁乙、己戊乙己二角，亦必相等，可见矣【见二卷第七节】

第三平分一直线为两分法，如有甲乙一直线，欲平分为两叚，乃如第一节法，于甲乙线上作乙甲丙、乙三界度等之三角形，又如第二节法，平分甲丙乙角为二分，自丙角作垂线至甲乙线，即平分甲乙线于丁，而甲丁、丁乙两叚必等也。葢甲丙乙原为三界度等之三角形，今作丙丁垂线平分为两三角形，则两三角形之相当各角、各界必俱等，而甲丁、丁乙为两形相当之底界，其度安得不等乎？

第四横线上立纵线法，如有甲乙一横线，欲于丙处立一纵线，则于丙之两傍，任意取等度二分，为戊丙、己丙。以戊为心，于横线上作弧一叚，又以己为心，于横线上作弧一叚，两弧相交于丁，此丁处正与丙相对。自丁至丙作一直线，即甲乙线上正立之纵线也。试自戊、己至丁作二线，成一戊丁己三角形，此形之丁戊、丁己两线，俱同一圜之辐线，其度必等。而丁丙线既将戊己底线为两平分，则丁丙线必为甲乙线之垂线矣【见二卷第十节】第五有一横线，自此线上不拘何处立纵线法。如有甲乙一横线，自此线上丙处至甲乙线欲作一纵线，则以丙为心作弧线一叚，截甲乙线于戊己。乃自戊己至丙作二线，成一戊丙己三角形。又照第二节分角法，平分丙角为二分，自丙至甲乙线上作丙丁线。则此丙丁线即为自丙至甲乙线之纵线也。葢戊丙己三角形之丙戊、丙己两界度等，故戊角与己角必等。而丙丁线又平分丙角为二，则所分之戊丙丁、己丙丁两角度亦等，而丙丁戊、丙丁己两并角亦必等。此两并角既等，则成两直角。既成两直角，则丙丁线必为甲乙横线之垂线矣【见一卷第十节】

第六在横线一边立纵线法，如有甲乙横线，在乙边欲立一纵线，则于甲乙线上不拘何处立为圜心，如以丙为圜心，自丙至乙为圜界，旋转作一圜，则于甲乙线丁处相交，即自丁处过丙心至相对界作一直线，交圜界于戊，乃自戊至乙作一戊乙直线，即是乙边所立之纵线也。葢丁乙戊角因在半圜，必为直角【见四卷第十四节】既为直角，则戊乙线必为甲乙线之垂线，既为垂线，故为横线一边所立之纵线也。若甲乙线一边之上有一戊防欲自戊至甲乙线一边作一垂线，则自戊至甲乙线任意作一戊丁斜线，遂将戊丁斜线平分于丙，于是以丙为心，自戊旋转作一圜，则截甲乙线于己，自戊至己作一直线，即是欲作之垂线也。葢戊己丁角既在半圜，必为直角，既为直角，则戊己必为垂线矣。

第七一圜分为三百六十度法如甲乙丙丁一圜界欲分为三百六十度则取圜之辐线度縁圜界比之即分圜界为六叚。将六叚各平分为二则为十二叚。十二叚各平分为三则为三十六叚。三十六叚各平分为十即成三百六十度矣。第八一直线上作角度法，如甲乙线上欲作三十度之角，则用有度之圜，依圜之丙丁辐线度，截甲乙线于戊。于是以甲为心，自戊作弧一叚，复依圜界之丙庚三十度之分，自戊截弧于己。乃自己至甲作一直线，即成己甲戊三十度之角矣。第九各种多界形仿己有之形，或大或小，叧作一同式形法。如有甲乙丙一三角形，欲仿此式叧作一形，则考甲乙界度有防分。如甲乙界度为三分，今取其二分作一丁戊线，又以甲丙界度亦作三分，而取其二分，以丁为圜心作弧一叚。又以乙丙界度亦作三分，而取其二分，以戊为圜心作弧一段。两弧相交于己，乃自己至丁戊作二线，即成丁戊己一小三角形，与原有甲乙丙大三角形为同式也。葢丁戊己三角形之三界虽与甲乙丙三角形之三界不等，而其相当各角之度俱等。因其相当各角之度俱等，故其相当各界之比例皆同。相当各界之比例既同，则其二形之式不得不同也。若有一甲乙丙丁戊己六界形，欲仿此式叧作一形，则在此六界形作分角线，分为四三角形，照前法仿作四三角形，即成一庚辛壬癸子丑小六界形，其式与原有之甲乙丙丁戊己大六界形同也。

第十有一直线，或上或下，一防作与此线平行一线。法如甲乙线上有一丙防，欲自丙防作与甲乙线平行一线，则以丙为圜心，任意取甲乙线之近甲边一处作弧一叚，如丁。又取甲乙线之近乙边一处为心，如戊。乃照丙丁原度，于丙防相对处作弧一叚，如己。复照丁戊度，以丙为心，于丙防相对处作弧一叚，则二弧相交于己。乃自丙至己交处作一丙己直线，即为甲乙线之平行线也。何则？试自丁戊二处至丙己二处作二线，即成丙丁戊己一四界形。此四界形之丙丁、己戊相对之两纵线，丙己、丁戊相对之两横线，因依各度所取，必两两相等。既两两相等，则必为平行线之四边形。然则丙己、甲乙为平行线四边形之二线，岂有不平行之理哉？

第十一有一直线上作一正方形法，如甲乙一直线，欲作一正方形，则以甲为心，取甲乙度，自乙至丙作乙弧线；又以乙为心，依甲乙度，自甲至丁作一弧线；又于甲乙线之两端，照本卷第六节，立甲丙、乙丁二纵线。则乙丙弧截于丙，甲丁弧截于丁。乃自丙至丁作一直线，即成甲乙丁丙一正方形也。何则？丙甲、甲乙、乙丁三线，俱同为一圜之辐线，其度必等；而丁丙、丙甲二线，又俱切一圜界为两尖相合，其度亦必等【见四卷第七节】则四界俱等矣。且甲乙二角，又为垂线所立之角，必成直角；则丙丁二角，亦必为直角；而四角又等矣。四角皆等，故甲乙丁丙形为甲乙线上所立之正方形也。

第十二平分一弧为两叚法，如有甲乙弧，欲平分为两叚，则自甲至乙作一甲乙▯线，将此▯线照本卷第三节平分直线为两分法，作一戊丁纵线，复自戊引至弧界，截甲乙弧于丙，即平分甲乙弧为甲丙、丙乙两叚矣。葢丙丁纵线既平分甲乙▯线，则亦必平分甲乙弧之全圜，既平分甲乙弧之全圜，则必平分甲乙弧为两叚可知矣【见四卷第六节】

第十三有一叚弧，欲继此弧作一全圜。法如有甲乙一叚弧，继此弧欲作一全圜，则在此弧界任意指三处，如甲丙乙。自甲乙二处至丙，作甲丙、丙乙二线。照前节作平分甲丙、丙乙两▯之丁己、戊己二线，引长则相交于己。乃以己为心，继甲乙弧界作一全圜，即成甲乙弧之全圜也。葢丁己、戊己二线既平分甲丙、丙乙二▯，则必平分甲丙、丙乙二弧【见四卷第六节】既平分甲丙、丙乙二弧，则其相交之处必为圜心，故己为继甲丙乙弧界所作全圜之圜心也。

第十四不拘何处，有三防，求縁此三防作一圜法。如甲乙丙三防不在一直线上，欲縁此三防作一圜，则依前节，作甲丙、丙乙二线，又平分此二线正中，作丁己、戊己二垂线，引长至己处相交。遂以己为心，以甲乙丙为界，作一圜，则甲乙丙三防俱在一圜之界矣【此节之理与前节同】

第十五有圜不知中心，求知中心之法。如有一甲乙丙丁圜，不知其中心，欲求知之，则于此圜界随便取甲乙丁三处，从甲至乙至丁作二▯线，将此二线平分正中为戊己二处，自戊己作戊庚、己庚两垂线，则相交于庚，此庚即是甲乙丙丁圜之中心也【此节之理亦与前同】

第十六有圜外一防，将此防至圜界作切线法。如一圜之外有一甲防，欲将此甲防与圜界相切作一切线，则以此甲防至圜心作一甲乙直线，又以乙为心，以甲为界作一甲丙圜界。又自甲乙线所截圜之丁处作一丁己垂线，则此垂线即截甲丙圜界于丙。乃自丙至乙心作一丙乙直线，复自丙乙所截圜界戊处作一戊甲线，即是自甲防至圜界所作之切线也。何则，此乙丁、乙戊既同为一圜之辐线，其乙甲、乙丙亦同为一圜之辐线，则甲乙戊与丙乙丁两三角形之各两边线必等，而两三角形又同一乙角，然则两三角形之每相当各角必俱等矣【见二卷第六节】夫丁丙线原为甲乙辐线之垂线，则丁角必为直角，而相当之戊角亦必为直角矣。戊角既为直角，则甲戊线亦必为乙丙辐线之垂线，故甲戊与丙丁皆为圜界之切线也【见四卷第九节】

第十七有圜内▯线，欲与此▯线平行作圜外切线法。如有一甲乙丙丁圜之乙丁▯线，欲与此乙丁▯线平行作切圜之切线，则从圜心戊至乙丁▯作戊己垂线，平分乙丁▯线于己。引长截圜界于甲，为甲戊线。又切甲处作庚辛线，为甲戊之垂线，即是所求之切线也。何则，此庚辛线既为甲戊线之垂线，其戊甲庚角必为直角。又己戊线既为乙丁线之垂线，其戊己乙角亦必为直角。然则戊甲庚角与戊己乙角既俱为直角，其度必等。因其度等，故乙丁庚辛两线为两平行线也。又戊甲线为圜之辐线，而庚辛既为甲戊之垂线，则必为甲乙丙丁圜之切线可知矣【见四卷第九节】

第十八作函三角形之圜法，如甲乙丙三角形，欲作函此三角形之一圜，则平分甲丙边于丁，平分丙乙边于戊。自丁、戊作二垂线，引长至己，相交，即以己为心，任以甲丙、乙三角形之一角为界，作一甲丙乙庚圜，即是函甲丙乙三角形之圜也【此节之理与本卷第十三节同】

第十九圜内作等度四角形及等度八角形法，如甲丙乙丁圜内欲作一等度四角形，则以甲乙丙丁二径线交于圜心，皆作直角，复自甲丙乙丁四处作甲丙、丙乙、乙丁、丁甲四▯线，即成甲丙乙丁等度之四角形也。何则？甲乙丙丁二径线在圜心作直角相交，则平分圜界为四分矣。既平分圜界为四分，则甲丙、丙乙、乙丁、丁甲四▯线度必等，而甲丙乙丁四角既俱立在一圜之半界，亦必俱为直角【见四卷第十四节】既俱为直角，必为正方形可知矣。苟欲作等度八角形，则照前平分圜界为四分，将所分之每分又各平分为二分，即平分圜界为八分，乃作八▯线，即成甲戊丙己乙庚丁辛一形，为圜内等度八角形也。

第二十圜内作等度六角形、三角形、十二角形法，如甲圜内欲作等度六角形，则以圜之甲乙辐线为度，将圜界分为乙丙、丙丁、丁戊、戊己、己庚、庚乙六叚，作六▯线，即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形也。何则？苟以乙为心，以甲为界，作一丙甲庚弧线，则乙丙、乙甲二线俱为丙甲庚圜之辐线，而度必等。夫乙丙丁戊己庚六界形之诸界，因俱照甲乙辐线度所作，故此形之六界俱相等也。若欲作三角形，则照前法将圜界分为六叚，以所分六叚两两相合为三叚，作乙丁、丁己、己乙三▯线，即成一乙丁己等度三角形也。若欲作十二角形，亦照前法将圜界分为六叚，以所分六叚各平分为二分，作十二▯线，即成一乙辛丙壬丁癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也。第二十一圜内作各种等度多界形总法。苟甲圜内欲作等度多界各种形，则察各种形之各角度【见三卷第十七节】如等度三角形之三角俱六十度，四角形之四角俱九十度，五角形之五角俱一百零八度，六角形之六角俱一百二十度，七角形之七角俱一百二十八度三十四分一十七秒，八角形之八角俱一百三十五度，九角形之九角俱一百四十度，十角形之十角俱一百四十四度，十一角形之十一角俱一百四十七度一十六分二十二秒，十二角形之十二角俱一百五十度。今甲圜内若欲作一等度九角形，则以九角形之每角一百四十度与一百八十度相减，余四十度。复以别有度之圜取四十度之分，以分甲圜界，即平分为乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分。再照平分度作乙丙、丙丁、丁戊、戊己、己庚、庚辛、辛壬、壬癸、癸乙九▯线，即成甲圜内等度之九角形也。何也？从圜心甲作线至各角，分九角形为九三角形。其每三角形之三角共一百八十度，内减去二界角一百四十度，余心角四十度，即每界所对之角。此九角形之每界，即九心角之▯线，故以心角度分圜界度，即得九角形之分也。凡圜内欲作等边多界形，皆依此法作之。

第二十二作函圜等度多界形法，如欲作函圜之等度三角形、四角形、五角形或多界形，则将圜界照欲作之几界平分为几段，乃自圜心至所分各界作几辐线，于辐线之末各作切界线，俱引长至合角，即成函圜之等度多界形也。如第一图，自甲心至庚、辛、壬三角，作甲庚、甲辛、甲壬三线，即成六三角形。其庚甲乙、庚甲丙两三角形之庚乙、庚丙二线为合尖切圜之线，其度必等【见四卷第七节】而庚甲乙、辛甲丁两形之庚甲乙、辛甲丁二角为对角，其度又等；庚乙甲、辛丁甲之二角为辐线切线所成之角，其度又皆为直角相等【见四卷第五节】则其余一角亦必等，而其乙甲、甲丁二界又同为一圜之辐线，其度必等，则其他界亦必俱等可知。再辛丙、辛丁二线，壬丁、壬乙二线俱为合尖切圜之线，其度相等，而辛甲丙与壬甲乙两三角形、壬甲丁与庚甲丙两三角形必俱与前每相当之角等，则此六三角形俱相等矣。六三角形俱相等，则其庚乙、乙壬、壬丁、丁辛、辛丙、丙庚相等之六界两两相合，即成庚壬、庚辛、辛壬之三界，其度安得不等乎？故庚辛壬三角形为函圜等界形也。其第二图函圜四角形，第三图函圜五角形，或更欲作多界形，其理皆同。

第二十三作函等度多界形之圜法，如甲乙丙三角形，或甲乙丙丁四角形，或甲乙丙丁戊五角形，欲作函此三形之圜，则任用此三形之甲乙、乙丙二界，平分于庚、辛二处，乃自庚、辛二处各作垂线至各形中心，相交为己，即以己为心，以各形之角为界作圜，即成函此三形之圜也。何也？各形之界皆为圜之▯线，而▯线上所作之垂线必皆交于圜心，今甲乙、乙丙二界上所作之庚己、辛己二线，既平分二界而相交于已则己必为圜心，故以己为心作圜，即成函各等界形之圜也。

第二十四作函于等度多界形之圜法，如甲乙丙三角形，或甲乙丙丁四角形，或甲乙丙丁戊五角形，欲在此三形内各作一圜，则照前节平分甲乙、乙丙二界，作己庚、己辛二垂线，引长相交于己，即以己为心，以庚辛为界作圜，即成多界形内所函之圜也。何也？己庚、己辛二线，是平分甲乙、乙丙二线之垂线，引长之必相交于各形之中心，今既相交于己，则己必为各形之心，凡形心作垂线至各界，其度必等，即如圜之辐线，故以己为心，庚辛为界所作之圜，即为各等界形所函之圜也。

第二十五有一三角形，一圜形于此。圜内作切圜界三角形，与原有之三角形同式。法如：有甲乙丙一三角形，丁戊己庚辛一圜形，欲于此圜内作一切界三角形，与原有之甲乙丙三角形同式。则于圜界任意作与甲角相等之辛角，将此角之两边线俱引至圜界，作辛庚、辛戊二线。再自戊至庚作一戊庚线。又于戊处作与乙角相等之庚戊丁角，爰自戊至丁作一丁戊线。复自庚至丁作一庚丁线，成一丁戊庚三角形，即是所求之圜内切界三角形，与原有之甲乙丙三角形为同式也。何则？其庚辛戊三角形之辛角，与庚丁戊三角形之丁角，其尖既俱与圜界相切，而共立于戊己庚一叚弧分，其度必等【见四卷第十二节】此辛角原与甲角等，则丁角亦必与甲角等。又庚戊丁之戊角原系依甲乙丙之乙角之度而作者，固相等。夫丁角与甲角，戊角与乙角既等，则所余之庚角与丙角亦必等。其三角既俱等，其两形必为同式可知矣。第二十六有一三角形，一圜形于此。圜外作切界三角形，与原有之三角形同式。法如：有甲乙丙一三角形，戊己庚一圜形，欲于此圜外作一切界三角形，与原有之甲乙丙三角形同式。则将原有之甲乙丙三角形之乙丙底线引长至辛、壬二处，此两傍即成辛乙甲、壬丙甲二外角。乃于圜心丁处作与辛乙甲角相等之戊丁庚角，又作与壬丙甲角相等之己丁庚角，则成丁戊、丁己、丁庚之三辐线。于三辐线之末作三垂线，引长相交成一癸子丑三角形，即是所求之圜外切界三角形，与原有之甲乙丙三角形为同式也。何则？凡三角形之三角相并，必与二直角等【见二卷第四节】今戊丁庚子一四边形可分为两三角形，则此四边形之四角相并必与四直角等矣。四直角内减去子戊丁、子庚丁之两直角，所余戊丁庚、戊子庚两角相并亦必与两直角等也。又辛乙甲外角与甲乙丙内角相并亦与二直角等【见一卷第十四节】其戊丁庚角既系依辛乙甲角之度而作者，则戊子庚角必与甲乙丙角相等，其庚丑己角亦必与甲丙乙角相等，而己癸戊角又必与乙甲丙角相等。三角俱等，则两形之式必相同也。

第二十七三角形内作切三界之圜法，如有一甲乙丙三角形，欲与此形内切三界作一圜，则依此卷第二节之法，将甲乙丙三角俱平分为两分，所分三角之三线俱引长，使相交于丁，自丁至甲乙、乙丙、丙甲三界线作丁戊、丁己、丁庚三垂线，乃以丁为心，以戊、己、庚为界作一圜，即是三角形内之切界圜也。何则？戊甲丁与庚甲丁两小三角形之甲角，因自一角为两平分，其度必等，又丁戊、丁庚既系两垂线，则甲戊丁、甲庚丁二角俱为直角而相等，此戊甲丁、庚甲丁两小三角形内之二角既等，其各三角必俱相等，而又共用一甲丁线为边，则此两三角形之各相当边亦必俱等，故丁戊线与丁庚线等者，即是丁己线与丁戊、线丁庚线等也。此三线既等，以为辐线作戊己庚圜，则必与三角形之甲乙、乙丙、丙甲三界相切矣。

第二十八勾股形内作正方法，如有一甲乙丙勾股形，欲于此形内作一正方形，则以丙为心，以乙为界，作一乙丁弧线，将此弧线平分于戊，自戊至丙作一戊丙线，即平分丙角为两分，而截甲乙线于庚矣。乃自庚与甲丙线平行作庚己线，又自庚与乙丙线平行作庚辛线，即成庚己丙辛一正方形，为所求甲乙丙勾股形内之正方也。何则？甲丙乙勾股形之丙角原是直角，今庚辛、庚己二线各与甲丙、乙丙平行，则庚己丙辛之四角必俱为直角矣。而庚己丙三角形内，己庚丙角与己丙庚角又俱是直角之一半，其度必等，则己丙线与庚己线相等，而庚辛线与己丙线、庚己线与辛丙线皆为平行线内之垂线，其度亦等，故庚己、己丙、丙辛、辛庚四线相等，而庚己丙辛四角俱为直角，是为甲乙丙勾股形内之正方形也。

第二十九勾股形内作正方第二法。如有一甲乙丙勾股形，欲于此形内作一正方，则将乙丙线引长，照甲乙线度増于乙丙，作一壬丙线。自此壬丙之两末与甲乙线平行，作丁壬、癸丙两垂线，使其度俱与甲乙线等。又自丁至癸与壬丙线平行，作一丁癸线。自丁至丙作一对角线，截甲乙线于戊。乃自戊与乙丙线平行，作戊己线，截甲丙线于己。又自己与戊乙线平行，作己庚垂线，成一戊乙庚己正方形，即为甲乙丙勾股形内欲作之正方也。何则？试将戊己线引长成辛戊己子线，则此辛戊己子线与甲乙线分丁壬丙癸为四长方形。其甲戊子癸长方与辛壬乙戊长方既为丁壬丙癸大长方对角线傍所成两形，其分必等【见三卷第七节】故子戊线与戊辛线之比例同于乙戊线与戊甲线之比例也。然此子戊线与丙乙线等，而戊辛线又与甲乙线等，则丙乙线与甲乙线之比例亦同于乙戊线与戊甲线之比例也。又甲乙丙与甲戊己两三角形为同式，故丙乙线与乙甲线之比例同于己戊线与戊甲线之比例，而乙戊线与戊甲线之比例又同于己戊线与戊甲线之比例也。乙戊线既与己戊线相等，而乙庚线与戊己线，己庚线与戊乙线又为两平行线内之垂线，其度相等，故戊乙庚己四角俱为直角。戊乙庚己四角既俱为直角，则戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形内之正方矣。

第三十三角形内作正方法，如有甲乙丙三角形，欲于此形内作一正方，则自甲角至乙丙底线作一甲辛垂线，将此垂线引长出甲角，如乙丙底线度作一壬辛线，又自壬两分如乙丙线度与乙丙线平行作一子癸线，又自癸至辛作癸辛线，截甲乙线于丁，自子至辛作子辛线，截甲丙线于庚，乃自丁至庚作一庚丁线，此线必与乙丙平行，又自庚丁二处作庚己、丁戊二垂线，即成丁戊己庚一正方形，即为甲乙丙三角形内欲作之正方也。何则？壬辛线与壬子线之比同于辛丑线与丑庚线之比，而辛壬线与壬癸线之比又同于辛丑线与丑丁线之比，故辛壬线与癸子线之比亦必同于辛丑线与丁庚线之比也。然辛壬与癸子原相等，则辛丑与丁庚亦必相等矣。辛丑与丁庚既等，则丁戊、戊己、己庚、庚丁四边亦必俱等，丁戊、戊己、己庚、庚丁四边既俱等，则为甲乙丙三角形内之正方无疑矣。

第三十一有一直线，将此线为正方对角线作正方法。如有一甲乙直线，欲以此线为对角线作一正方，则将甲乙线平分为戊，以戊为心，以甲乙为界作一圜，即于此圜内作一丙丁径线，为甲乙线之垂线。乃自甲至丙，自丙至乙，自乙至丁，自丁至甲作四直线，即成甲丁乙丙一正方形，为所求之正方也。葢甲丙乙角、丙乙丁角、乙丁甲角、丁甲丙角，既俱在半圜内，必俱为直角；而甲戊丙、丙戊乙、乙戊丁、丁戊甲四三角形之两傍线俱是半径线，必相等。又此四三角形之两傍线所合之角俱为直角，亦必相等，则甲丙、丙乙、乙丁、丁甲四直线必俱相等可知矣。甲丙乙丁四边形内四角既俱为直角，而四边线又俱相等，则必为正方形，而甲乙线为其对角线矣。

第三十二有一直线为正方边与对角线相较之余，于此线求作其原正方。法如有一甲乙线为正方边与对角线相较之余，求作一正方，则先将此甲乙线为一边作甲乙丙丁一小正方形。次自甲至丙作一小对角线。于是以丙为心，以乙为界作一圜。乃引甲丙线至圜界戊处，作一甲戊线。将此甲戊线为度，作一甲戊己庚大正方形，即是所求之正方也。试引甲乙线至己，作甲己一对角线。此对角线之乙己一叚必与戊己边线相等。何也？其丙乙、丙戊为一圜之二辐线，既等，则丙乙戊、丙戊乙二角亦等。若于丙乙己直角内减去丙乙戊角，又于所作丙戊己直角内减去丙戊乙角，所余戊乙己、乙戊己二角亦必相等。此二角既等，则乙己、戊己两线必等矣。因其相等，则所作甲戊己庚一大正方之甲己对角线与戊己一边线相较，则原有之甲乙线为其相较之余，可知矣。

防何原本十二第一有一直线，将此线为底，作一两边度等三角形，使底之两边各一角俱比上一角为大一倍之三角形法。如有一甲乙直线，将此线为底，欲作两边度等之三角形，而底之两边各一角俱比上一角为大一倍，则用十一卷第八节之法，于甲乙线之两头各作一七十二度之角，将两边线俱引长相交于丙，即成一甲乙丙三角形，为所求之形也。何则？凡三角形之三角相并为一百八十度，与二直角等。今此所作甲乙丙三角形之甲乙两角，既俱系七十二度，则于一百八十度内减去甲乙二角共一百四十四度，余三十六度，即为丙角之度。三十六度者，七十二度之半，故甲乙两底角比丙角各大一倍也。

第二有一直线，依此线度作两边度等三角形，使上一角小于两底角一倍之三角形法。如有甲乙一直线，以此线为一边，复依此线度作一边，使此两边线所合之上一角小于两底角一倍之三角形，则用十一卷第八节之法，以甲乙、甲丙二线之甲末相合作一乙甲丙角为三十六度。再自丙至乙作一乙丙直线为底，即得一甲乙丙三角形为所求之形也。何则？将甲角三十六度与全形三角之共数一百八十度相减，余一百四十四度为乙、丙两底角之共数。今甲丙线与甲乙线既等，则乙角与丙角必等。因其相等，将两底角共数一百四十四度折半，得七十二度，即为每一底角之数。七十二度者，三十六度之倍数故甲角比乙、丙两底角俱为小一倍也。

第三有一直线，以此直线为一边，作等边等角之五界形。法如：有甲乙一直线，以此直线为一边，作一等边等角之五界形。则将此甲乙直线为底，用此卷第一节法，作一两边度等甲丙乙三角形。其甲丙乙角为丙乙甲、丙甲乙二角之各一半。又用十一卷第十五节法，于此三角形之周围作一圜。此甲丙、丙乙两直线原系相等，其相对之两弧亦必相等。乃以此两弧自戊、丁二处为丙平分。又自甲至戊，自戊至丙，自丙至丁，自丁至乙作四直线，即成甲乙丁丙戊五边五角等度之五界形也。何则？其甲丙乙角原为丙乙甲角之一半，则甲丙乙角为三十六度。试自甲乙二处至圜心作甲己、乙己二线，成甲己乙一三角形。则此甲己乙角比甲丙乙角亦为大一倍【见四卷第十一节】故甲己乙角为七十二度，而甲乙弧线亦为七十二度矣。以七十二度于全圜界三百六十度内减之余二百八十八度，折半得一百四十四度，即为甲戊丙一叚弧线之数也。▯将一百四十四度折半得七十二度，即为甲戊一叚弧线之数也。既得甲戊弧线之数，则戊丙、丙丁、丁乙各弧线度俱各为七十二度矣。甲乙、乙丁、丁丙、丙戊、戊甲五线既俱系相等弧之▯线，则五线之度必俱等。五线之度既等，则此形又在圜之内，而五角之度岂有不相等者哉？

第四有一直线分大小两分，为相连比例线法。如甲乙直线为全分，甲丙一叚为大分，丙乙一叚为小分。以甲乙全分与甲丙大分之比，同于甲丙大分与丙乙小分之比。则用此甲乙线为一边线，依此卷第二节法作两边等度之两底角，比上一角各大一倍之甲乙丁三角形。又依此卷第三节法，取乙丁线度作边角俱等之甲戊乙丁已五边形。又自戊至丁作一直线，截甲乙线于丙，乃得甲丙一大叚为大分，丙乙一小叚为小分，即是所欲作之相连比例线也。何则？甲戊乙丁两弧线度等，则甲乙戊乙戊丁两角度必等。又乙戊丁角与乙甲丁角共立于乙丁弧，其度必等。再甲戊丁与甲乙丁二角亦同立于甲巳丁弧，其度亦必等也。至于甲乙丁角原比乙甲丁角大一倍，故甲戊丁角比丙戊乙角、丙乙戊角俱大一倍。其甲丙戊角，因为戊丙乙三角形之外角，与丙乙戊、丙戊乙两内角等，故甲丙戊与甲戊丙两角相等。此二角既等，则甲丙、甲戊两线必等矣。又甲戊、戊乙两线度原相等，其戊甲乙角必与戊乙甲角等，而甲乙戊一大三角形必与戊乙丙一小三角形为同式形矣。葢小三角形之丙戊乙角与大三角形之戊甲乙角等，而小三角形之丙乙戊角与大三角形之甲乙戊角为共角而等，则小三角形之戊丙乙角与大三角形之甲戊乙角不得不等。三角俱等，非同式形而何？是故甲乙线与甲戊线之比，必同于乙戊线与丙乙线之比也。夫甲戊原与甲丙相等，而乙戊原与甲戊相等，故乙戊亦与甲丙相等。然则甲乙全线与所分甲丙大分之比，必同于甲丙大分与丙乙小分之比，可知矣。故曰甲乙与甲丙、甲丙与丙乙为相连比例之线也。

第五平分一直线为数叚法，如有甲乙一直线，欲平分为三分，则自甲乙线之两末作甲丙、乙丁二平行线，随意取一甲戊度，将甲丙线分为甲戊、戊庚、庚丙三叚。又依甲戊度将乙丁线亦分为乙辛、辛巳、巳丁三叚。乃自二平行线之三叚处复作甲丁、戊己、庚辛、丙乙四平行线，即平分甲乙直线为甲壬、壬癸、癸乙之三分矣。试观甲乙丁三角形之甲乙、乙丁两傍线，为与甲丁线平行之壬己、癸辛二线所分，故俱为相当率。今以甲乙全线与乙丁全线之比，同于丁已叚与甲壬叚之比，而已辛叚与壬癸叚之比，辛乙叚与癸乙叚之比，亦皆与甲乙全线与乙丁全线之比相同也。因其比例俱同，故丁乙线之丁巳、巳辛、辛乙三叚为平分，而甲乙线之甲壬、壬癸、癸乙三叚亦为平分也。

第六有分数之直线，将别一直线依此线分分为相当比例率法。如有甲乙一直线，原分为甲巳、巳辛、辛乙三叚。又有一丙丁直线，欲依此甲乙线分分作三分为相当比例之率，则齐二线之一端以为平行线。自甲乙线之甲端，过丙丁线之丙端，作一纵线。复自甲乙线之乙端，过丙丁线之丁端，作一斜线。则二线相交于戊。乃自戊至所分巳辛二处，作戊巳、戊辛二线。则丙丁线即分为丙庚、庚壬、壬丁三叚，与甲乙线之甲巳、己辛、辛乙三叚为相当比例率也。试审戊甲乙全形内，戊丙庚、戊甲已、戊庚壬、戊已辛、戊壬丁、戊辛乙之大小六三角形，其相当各式皆同。如戊丙庚与戊甲已为同式，戊庚壬与戊巳辛为同式，戊壬丁与戊辛乙为同式。故丙庚与甲已为相当二界，庚壬与已辛为相当二界，壬丁与辛乙为相当二界。此六线既各为相当界，故各为相当比例率也。

第七有二直线作与此二线相连比例之第三线法，如有甲乙、甲丙二直线，欲作与此二线相连比例之第三线，则将甲乙、甲丙二线之甲末合成一角，照甲丙线度增于甲乙线为甲戊线，自乙末至丙末作一乙丙线，又与乙丙线平行，自戊末作一戊己线，将甲丙线引至已处，乃成一甲已线，其自丙末所分之丙已线，即为与甲乙、甲丙二线相连比例之第三线也。葢已戊线既与丙乙线平行，故甲乙丙三角形与甲戊己三角形为同式，而甲乙、甲丙、乙戊、丙已四叚必为相当比例之四率，是以甲乙第一率与甲丙第二率之比，即同于乙戊第三率与丙巳第四率之比也。夫乙戊之度原与甲丙等，故甲乙与甲丙之比，即甲乙与乙戊之比，而甲丙与丙已之比，即乙戊与丙巳之比，然则甲乙与甲丙、甲丙与丙巳，岂非相连比例之三线乎？

第八有三直线作与此三线相当比例之第四线法，如有甲乙、甲丙、乙丁三线，欲作与此三线相当比例之第四线，则取甲丙线度，叧作一甲丙线，将此所作甲丙线照甲乙线度纪于乙，于是以甲为心，自乙作弧一叚，又取原有之乙丁线度，自乙截弧线于丁，即自乙至丁作一乙丁线，再依甲丙线度，自甲过丁作一甲戊线，又与乙丁线平行作一戊丙线，此戊丙线即为原三线相当比例之第四线也。葢甲丙戊三角形与甲乙丁三角形为同式，故甲乙线与甲丙线之比即同于丁乙线与戊丙线之比，因其比例相同，故戊丙线为原有之甲乙、甲丙、乙丁三线相当比例之第四线也。或欲作相当比例之数线，则将甲角上下二线引长为甲癸、甲子，凡相当各二处，任意截为防叚，作防平行线，既得相当比例之数线矣。如以甲角之甲子、甲癸二线截为丁乙、戊丙、庚巳、壬辛、子癸五叚，于所截五处作五平行线，即得相当比例之十率矣。葢以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比，以甲丙与甲巳之比同于戊丙与庚已之比，以甲已与甲辛之比同于庚已与壬辛之比，以甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比，故将甲子、甲癸二线虽分为无数叚，作无数平行线，其比例亦无不相同也。

第九有二直线，欲叧作一线，为此二线之中率。法如，有甲乙、乙丙二线，欲另作一线为此二线之中率，则将甲乙、乙丙二线相连为一甲丙全线，乃平分全线于戊，以戊为心，以甲丙两末为界，作一半圜。自二线相连乙处至圜界，作一丁乙垂线，即为原有甲乙、乙丙二线之中率线也。何也？丁乙线既为圜径上之垂线，则甲乙、丁乙、乙丙为相连比例之三率【见九卷第七节】故甲乙线与乙丁线之比，同于乙丁线与乙丙线之比也。比例既同，则所作乙丁线为原有甲乙、乙丙二线之中率，可知矣。

第十有二直线，欲另作二线为此二线间之两率法。如有甲乙、乙戊二直线，欲另作二线为此二线间之两率，则将甲乙、乙戊二线之乙末相合为直角。又自此二线所合乙角引长为甲乙丙、戊乙丁二线。次将二矩尺之二角正置于丁戊、甲丙二线上。如一矩尺为己庚辛，一矩尺为壬癸子。乃以巳庚辛矩尺之一股切于丁戊线之戊末，又以壬癸子矩尺之一股切于甲丙线之甲末，仍使二矩尺之已庚、癸子二股相合，则癸庚二角亦为直角而不离于所跨之线。其二矩尺之壬辛二股亦使不离于所切之线。末乃自甲至癸，自戊至庚，自庚至癸作三线，即截丁乙线于癸，截乙丙线于庚，成乙癸、乙庚二线，即为原有之甲乙、乙戊二线间之两率也。何也？如平分戊癸线于丑，则丑为心，戊为界，成一戊庚癸半圜。若平分甲庚线于寅，则寅为心，甲为界，成一甲癸庚半圜。今乙癸线为甲癸庚半圜径线上之垂线，故乙癸为甲乙、乙庚二线之中率。而乙庚线为戊庚癸半圜径线上之垂线，故乙庚又为癸乙、乙戊二线之中率。是以甲乙线与乙癸线之比同于乙癸线与乙庚线之比，而乙癸线与乙庚线之比亦同于乙庚线与乙戊线之比。因其比例相同，故乙癸、乙庚二线为甲乙、乙戊二线间之两率也。

第十一有三角形，依一界作等积之直角四界形。法如，有甲乙丙一直角三角形，欲依其乙丙界作一直角四界形，与原三角形积等。则与乙丙平行作一甲丁线，又与甲乙平行作一丁丙线，即成一甲乙丙丁直角四界形。于是平分甲乙线于戊，平分丙丁线于巳，作一戊巳线，则平分甲乙丙丁四界形为两形。此所分甲戊巳丁与戊乙丙已两直角四界形之积，俱与甲乙丙三角形之积相等也。葢甲乙丙三角形为甲乙丙丁四界形之一半，今所分甲戊巳丁与戊乙丙已两四界形，既俱为甲乙丙丁四界形之一半，则必与甲乙丙三角形之积俱相等可知矣。又如庚辛壬无直角之三角形，依辛壬界作一直角四界形，与原三角形积等。则与辛壬平行作一庚癸线，又自辛壬至庚癸线作子辛癸壬二垂线，即成一子辛壬癸直角四界形。于是平分子辛线于丑，平分癸壬线于寅，作一丑寅线，则平分子辛壬癸四界形为两形。其所分子丑寅癸与丑辛壬寅两直角四界形之积，俱与庚辛壬三角形之积相等也。试与庚辛线平行作一卯壬线，即成庚辛壬卯一斜方形，为与子辛壬癸方形同底同髙，故其积必等【见三卷第八节】今庚辛壬三角形为庚辛壬卯形之一半，则亦必为子辛壬癸方形之一半矣。既为一半，则所分子丑寅癸与丑辛壬寅直角四界形，必与庚辛壬三角形之积相等可知矣。

第十二有一长方形，作与此积相等之正方形。法如：有甲丙一长方形，欲作与此长方形相等之正方形，则将甲丙形之丙乙纵线合于甲乙横线，照此卷第九节法，求得甲乙、丙乙二线之中率为丁乙线，即以丁乙线为一边，作一丁戊正方形，即与甲丙长方形之积相等也。何则？大凡相连比例三率，内中率所作之正方形积，与首率末率所作之长方形积相等。今丁乙线既为甲乙、丙乙二线之中率，则丁乙线所作之丁戊正方形积，焉得不与甲乙、丙乙二线相合所作之甲丙长方形之积相等乎？

第十三凡多界形作与本形同式或大或小之形法，如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界形，欲作比此形小一半之同式形，则自此形中心壬处至各角作众线，又取甲乙、乙丙、丙丁、丁戊、戊己、己庚、庚辛、辛甲各界度之一半，与各界平行，置于对角各线之间，为癸子、子丑、丑寅、寅卯、卯辰、辰巳、巳午、午癸之八线，即成癸子丑寅卯辰巳午之形，为原形每界减半之同式形也。何也？如对角线间所成之甲乙壬、癸子壬大小两三角形之甲乙、癸子线既平行，而又同一壬角，则其相当各角俱等，而两形之式相同。仿此推之，其乙丙壬、子丑壬二形，丙丁壬、丑寅壬二形，丁戊壬、寅卯壬二形，戊已壬、卯辰壬二形，巳庚壬、辰巳壬二形，庚辛壬、巳午壬二形，辛甲壬、午癸壬二形，必俱为同式形。此各相当大小两形既俱同式，则所作癸子丑寅卯辰已午小形之各边，为甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各边之一半，而为同式形可知矣。又如甲乙丙丁戊巳庚辛壬癸形，从甲角作线至各角，取乙丙度之一半，置于甲乙、甲丙二线之间，与乙丙平行，如子丑。照此于诸对角线间作诸界之平行线，即成甲子丑寅卯辰巳午未申小形，为原形每界减半之同式形，其理亦与前同。若欲作比原形大防倍之形，则以所作诸对角线按分引长，而于本形外作诸界之平行线，即成所欲作之大形也。

第十四作分厘尺法，如甲戊尺三寸，每寸欲分为百厘，则将甲乙边平分作十分，将戊巳边亦平分为十分，对所分之分作诸横线，与乙戊平行。次将一寸之甲辛、乙丙两边俱分为十分，▯于甲辛边之第一分作斜线，至乙丙边之乙处。如此作十斜线，俱与第一分斜线平行，即分乙丙之一寸为一百厘也。何也？甲辛、乙丙皆为一寸之度，俱平分为十分矣。若将每分又分为十厘，即每寸亦得百厘。然度狭线多，必致相淆。今作斜线、横线各十，其横斜相交处共有百分，此百分即百厘也。如第一斜线与第一横线相交之防，即为一厘；与第二横线相交之防，即为二厘；以至第十横线相交之防为十厘，即甲辛边所分之第一分之十厘也。一斜线有十厘，则十斜线岂非百厘乎？由此推之，若作二十横线，则一斜线得二十厘，每寸即分为二百厘；作百横线，则一斜线得百厘，每寸即分为千厘。其法甚简，而其用尤甚便也。

第十五凡有三角形，知其一角之度及此一角之两傍界，或知其二角之度及此二角之间一界，或不知角度但知三界，欲求其余角余界，法如有一甲乙丙三角形，知丙角为三十八度四十四分及丙角两傍之丙甲界长十四丈，丙乙界长十三丈，而欲知其余角余界，则依十一卷第八节法，作与丙角相等之三十八度四十四分之丁角，将丁角两傍之丁戊界作十四分，丁巳界作十三分，乃自戊至巳作一戊巳线，成一丁戊巳小三角形，与甲乙丙大三角形同式，量其戊己边得九分，即大形之甲乙边为九丈也，再用有度之圜量取小形戊角得六十四度三十七分，即大形甲角之度也，小形巳角得七十六度三十九分，即大形乙角之度也？何也？夫甲乙丙戊已丁两三角形之式既同，其相当各角各界必俱相等，小形之丁角即与大形之丙角等，其余两角亦必等，小形之丁已边既以十三分当大形丙乙边之十三丈，则小形戊巳边之九分必当大形甲乙边之九丈矣。又或知甲乙丙三角形之乙角为七十六度三十九分，丙角为三十八度四十四分及乙丙界长十三丈，而欲知其余角余界，则作己丁界为十三分，照乙角丙角度作已角丁角，于是画巳戊丁戊二界相交于戊，即成戊巳丁同式之小三角形，此小形之戊角必与甲角等，而小形之丁戊界十四分与大形之甲丙界十四丈相当，小形之戊己界九分与大形之甲乙界九丈相当矣。若知甲乙丙三角形之甲乙、甲丙、乙丙三界而不知其角，则照前将三界之度作同式之小形，量其三角之度，即知大形之角度矣。

第十六作分数比例测量仪器法，以甲丙乙半圜界分为一百八十度，每度作六十分，将此半圜之丁甲、丁乙、丁丙三半径线照所容方界分截开，分为一百分，于每分上俱与三半径平行，作纵横线，于甲乙径线之甲乙两末作两定表，以圜丁心为枢，作一游表如丁巳，将此游表亦如前所分一百分度，作二百分，复于此仪器后面作一垂线记号，以挂坠线如庚，即成一全仪器，用以测髙深广逺，可知其各角各界之度矣。如有一辛壬旗杆，欲测其髙，则将仪器按坠线立准，看甲乙径线两末之定表与旗杆癸处相对，乃为地平，再将丁巳游表与旗杆顶尖辛处相对，次量仪器中心所对处至旗杆癸处得防何，如有四十丈，则看仪器丁乙线上自丁心至子得四十分，以当地平四十丈，即视与子相对垂线至游表相交处有防何，如丑子三十分，即为旗杆自辛至癸相当数为三十丈也，再加癸壬髙，即得旗杆辛壬之共髙度矣。盖仪器上之丁子丑小三角形与所测得丁癸辛大三角形原为同式，其相当各界之比例必俱相同，故以丁子四十分与子丑三十分之比，即同于丁癸四十丈与癸辛三十丈之比也。若欲知丁辛▯线数，即视游表自丁至丑相交之处得防何，如有五十分，其相当数即为五十丈也。若欲知丁癸辛三角形之各角度，则视圜界与游表相交处如巳，其乙巳弧度即丁角三十五度一十三分，其余巳丙弧五十度四十七分即辛角度，而癸辛线原与子丑垂线平行为平行线，故癸角必是直角，而为九十度也。

第十七仿各种地形画图法，如有甲乙丙丁地形，欲画一图，则选能见各地之二处，立仪器为戊，为巳，将戊与巳对准定表。先自戊以游表视庚辛壬癸等处，得诸角之度，皆细记之。如庚戊巳角得八十一度，辛戊巳角得五十度三十分，壬戊巳角得四十五度八分，癸戊巳角得三十三度二十分。次自巳以游表照前视庚辛壬癸等处，得诸角之度，亦细记之。如庚已戊角得三十五度四十分，辛巳戊角得四十度十分，壬已戊角得四十七度二十五分，癸巳戊角得七十度。于是任意作一子丑线为戊己相当线，于此子丑线之两末作诸角与所记诸角相等，将所作诸角之各线俱引长，使相交于寅卯辰巳等处。乃以庚辛壬癸所有之诸地形，并其余各处凡目之所见，俱画于图之相当各界，即成一午未申酉之图，即甲乙丙丁地形之图也。葢午未申酉图内所作寅子丑卯子丑类诸三角形之角度，皆与甲乙丙丁地形之庚戊已辛戊巳类诸三角形之角度相等而作，故其相当各三角形俱为同式，此所以全图与全地形为同式也。

第十八画地理图，欲约为小图，或欲广为大图。法如：有甲乙丙丁一地理图，欲约为小图，为原图四分之一，则用甲乙丙丁形界之四分之一，画一戊已庚辛形。将甲乙丙丁原形任意分为数正方形，而将小形亦分为数正方形。视原图中所有山川、城郭、村墅、林园，函于大图之某正方分者，约而画入小图某正方形内。则此所画之戊巳庚辛小图，即与原有甲乙丙丁大图为同式矣。

第十九作比例尺平分线法，如此比例尺欲作平分线，则自甲枢心至乙丙二末，作甲乙、甲丙二线，用本卷第五节法分之，各平分为二，百分即为比例尺之平分线也。以用法明之，如有丁戊一直线，欲平分为十分，则将比例尺一百分之己庚二防，照丁戊线度展开，勿令移动，次取比例尺之第十分之辛壬二防相离之度，即是丁戊线之十分之一分也。何则，自乙至丙作一线，自己至庚作一线，自辛至壬复作一线，其甲乙丙三角形与甲己庚三角形为同式，而甲己庚三角形又与甲辛壬三角形为同式，是以所分甲己线与甲乙线之比，同于己庚线与乙丙线之比，而甲辛线与甲己线之比，亦同于辛壬线与己庚线之比也。然则十分之甲辛线，既为百分之甲己线之十分之一，其辛壬线亦必为己庚线之十分之一矣。丁戊线原与己庚线同度，则辛壬线亦为丁戊线之十分之一可知矣。

第二十作比例尺分圜线法。如于比例尺欲作分圜线，则自甲枢心至乙丙二末作甲乙、甲丙二线。乃平分甲乙线于未，以未为心，以甲乙二末为界作一半圜。于是分圜界为一百八十度。复以甲为圜心，至所分圜界戊、巳、庚、辛、壬、癸、子、丑等处作各▯线。又将诸▯线度移于尺之甲乙、甲丙二线，则此二线即成一圜之诸▯之总线也。以用法明之，如寅卯、寅辰二线所合寅角，欲知其度，则以寅为心作一辰卯弧。将比例尺六十度之丁未两防相距之度，照寅辰或寅卯度展开，勿令移动。次取卯辰相距之度于比例尺上寻至八十度之申酉处，恰符，即是寅角为八十度也。何则？若自丁至未，自申至酉作二线，成甲申酉、甲丁未两同式三角形，其相当各角各界俱为相当比例之率。故甲未线与甲酉线之比，同于丁未线与申酉线之比也。夫甲未线既为比例尺所作甲庚六十度之▯线，而甲酉线又为甲辛八十度之▯线。其丁未线既与小圜寅卯辐线等，而辐线原与六十度之▯线等，然则丁未线即小圜六十度之▯线，而申酉线亦为小圜八十度之▯线也。以此得知寅角之卯辰度为八十度也。

第二十一作比例尺分面线法，如此比例尺欲作分面线，则以甲枢心处至乙丙二末，作甲乙、甲丙二线。自甲截甲丙线于丁，照所截甲丁度于甲心，作一甲戊垂线。自戊至丁，作一戊丁线。又照戊丁线度，自甲截甲丙线于已，自戊至已，作一戊已线。又照戊已线度，自甲截甲丙线于庚，自戊至庚，作一戊庚线。又照戊庚线度，自甲截甲丙线于辛，自戊至辛，作一戊辛线。又照戊辛线度，自甲截甲丙线于壬，自戊至壬，作一戊壬线。照此累累截之，至丙末。又将甲丙线所截各度移置甲乙线，即成比例尺之分面线也。何则？于甲丁戊直角三角形之三界，作卯丁辰、戊戊已三正方形。其甲丁、甲戊二线因为相等度所作，故卯丁辰、戊二形必等。再于戊甲丁直角相对之戊丁界所作之戊巳一方形，亦必与直角两旁界所作卯丁辰、戊二方形相等也【见九卷第四节】次于甲已界作未巳正方形，甲己界原与戊丁等，则甲已界所作未已方形即与戊丁界所作之戊巳方形相等矣。未巳方形既与戊巳方形等，则必与卯丁辰、戊二形相等，而亦与卯丁之倍数相等矣。夫甲巳界即大于卯丁形一倍，为未巳形之一界也。仿此论之，则甲庚界即为比卯丁形大二倍形之界，而甲辛、甲壬等界即为比卯丁形大三倍、四倍形之界可知矣。以用法明之，如有一癸子正方形，欲作大二倍之正方形，则将比例尺展开，使其丁丑相距之度与癸子界度等。次取比例尺寅庚相距之度，即是比癸子方形大二倍之方形之一面界度也。何则？自丁至丑，自庚至寅，作丁丑、庚寅二线，成甲丁丑、甲庚寅同式两三角形，则甲丁线与甲庚线之比，即同于丁丑线与庚寅线之比也。夫甲庚线所作方形原比甲丁线所作方形大二倍，则庚寅线所作方形必比丁丑线所作方形亦大二倍。矣，丁丑之度，原与子癸等，则寅庚线岂非比子癸方形大二倍方形之一界乎？

第二十二作比例尺分体线法，如于比例尺欲作分体线，则以甲枢心之甲乙、甲丙二线，任作丁已一正方体，取其戊己一界之度置于尺上，自甲截甲乙线于庚，次作比戊已界大一倍之辛壬线，又于戊巳、辛壬二线间，照本卷第十节法作相连比例之癸子丑寅二率，乃取癸子线度置于尺上，仍自甲截甲乙线于辰，则甲辰所作卯子正方体必比甲庚所作丁已正方体大一倍矣？何则？试将癸子线作卯子正方体，则与丁己正方体为同式，其二体相比之比例必同于戊已、癸子二界所生连比例加二倍之比例，今辛壬线既为戊巳相连比例之第四率，则丁已、卯子二体之比例必同于戊已、辛壬二线之比例矣。辛壬线既比戊己线大一倍，则卯子体亦比丁已体大一倍，可知矣。又作比戊已界大二倍之己未线，仍照本卷第十节法作戊已、巳未二线间相连比例之申酉戌亥二率，乃取申酉线度置于尺上，自甲截甲乙线于干，则甲干所作午酉正方体即比甲庚所作丁巳体大二倍矣。照此屡倍戊己界求相连比例之四线，取其第二线度置于尺之甲乙线上，又按甲乙线所截各度移置甲丙线，即成比例尺之分体线也。以用法明之，如有一坎庚正方体，欲作大二倍之体，则将比例尺展开，使其庚与庚【第一次所截之防】相距之度与艮庚界度等，次取比例尺干与干【第三次所截之防】相距之度，即是比坎庚正方体大二倍之正方体之一界度也？何则？自比例尺之庚、干二处作庚庚、干干二线，即成甲庚庚、甲干干同式两三角形，则甲庚线与甲干线之比同于庚庚线与干干线之比例矣。夫甲干线所作方体原大于甲庚线所作正方体之二倍，则干干线所作正方体必大于庚庚线所作正方体之二倍，可知矣。又防法设正方体界一百。厘其积数一百万厘，以二因之，成二百万厘，立方开之，得界一百二十五厘。又以三因之，成三百万厘，立方开之，得界一百四十四厘。照此屡倍积数开立方，将所得之数于分厘尺上取其度，截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成分体线，与前求连比例之法无异也。

御制数理精蕴上编卷四<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书