数度衍卷十三

数度衍卷十三

桐城　方中通　撰开立方【少广之九】

珠算开立方法式积一百九十五万三千一百二十五，问立方一面几何？曰：一百二十五。术：置积盘中，约初商一百，别立下法，亦置一百。以初商自乗，再乗得一百万，以减实，余九十五万三千一百二十五。以三乗下法一百，得三百为方。

法列右次商二十置下法一百之次共一百二十又以次商乗之得二千四百为亷法再以方法三百乗亷法得七十二万以减余实尚余二十三万三千一百二十五，又以次商自乗再乗得八千为隅法，以减余实，尚余二十二万五千一百二十五，以三乗下法一百二十得三百六十为方法，列右三商五，置下法一百二十之次共一百二十五，又以三商乗之得六百二十五为亷法，又以方法三百六十乗亷法得二十二万五千，以减余实，尚余一百二十五，又以三商自乗再乗得一百二十五为隅法，以减余实，实尽，得面一百二十五。归除开立方式积一亿○二百五十万○三千二百三十二，问立方一面几何？曰：四百六十八。术：置积为实，初商四百于左，亦置四百于右，自乗得一十六万，乃与左四百相呼，一四除实四千万，四六除实二千四百万余实三千八百五十万○三千二百三十二。以三乗右下一十六万得四十八万为方法，归除之曰四三七，余二实不足除，曰起一还四，则次商不可用七，止可用六也。乃呼六八除实四百八十万余实九百七十万○三千二百三十二。另以次商六十乗初商四百得二万四千，以三乗之得七万二千为亷法，次商自乗得三千六百为隅法，亷隅并得七万五千六百，却以次商呼除之，六七除实四百二十万，五六除实三十万，六六除实三万六千，余实五百一十六万七千二百三十二。以方法四十八万并入两回亷法十四万四千，三囬隅法一万○八百，共得六十三万四千八百为方法，归除之曰六五八，余二则三商为八也。乃呼三八除实二十四万，四八除实三万三千，八八除实六千四百，余实八万八千八百三十二。再置初次两商共四百六十，以三商八乗之得三千六百八十，以三乗之得一万一千○四十，并入三商自乗得六十四，共一万一千一百○四，却以三商呼除之，一八除实八万，一八除实八千，一八除实八百，四八除实三十二，实尽得靣四百六十八。

笔算开立方法式捌十叄亿陆千伍百肆十贰万防千问立方一面几何曰二千○三十术自末位○下作防隔二位一防共四防分为四叚知商有四位也寻原初商得二乃以二自乗再乗得八减首位实捌完首叚次叚实叄陆伍除防上之伍未用且作叄十陆开之乃三倍初商二为六作亷法另置右上以初商二加○作二十以乗六得一百二十当以此数商除二叚之实而叄十陆反小一百二十反大遇此则商有○矣竟于格右纪○当作次商完二叚三叚实叄陆伍肆贰防除防上之防未用且作叄万陆千伍百肆十贰开之亦三倍初次两商之二十为六十置右上亦以二○加○作二百以乗六十得一万二千用此数于实内商之三商当是三【实内有三回一万二千也】以亷六十乗三，得一百八十，并一万二千，共一万二千一百八十。又以三乗之，得三万六千五百四十，为亷。另以三商三，自乗再乗，得二十七，为隅。将亷隅减实，实尽，隅必注防下，故七在防下，二在贰下也。完三叚，尚余四叚未开，于右加○作四商，得靣二千○三十。用命分式，术通曰：实未尽者，欲再开之，须尾加三圏，则开一商，加六圏，増二商，他命分术无用矣。

筹算开立方法【见筹算】

立方不等开法通曰：立方有三面，三面俱等者，用前法开之；三面内有一靣不等，及三靣俱不等者，用纵方亷开之。三靣者，髙濶长也。

一长濶相等髙不等法式积一千二百九十六，长濶数等，惟髙不及三，问髙与长濶各几何？曰：髙九，长濶皆十二。术：列实，以髙不及三自乗得九为纵方，又以不及三倍作六为纵亷，有二防应约初。商一十，因有纵方，只商九，自乗得八十一，并纵方九，得九十。又以所商九乗纵亷六，得五十四。九十者，方法也；五十四者，亷法也。相并得一百四十四。列实下，呼所商九除实，一九除九百，四九除三百，六十四九除三十六，实尽。得髙九，加不及三，得十二为长濶数。减积式积一千七百八十七万五千，髙濶相等，惟长多三十六，问长髙濶各几何？曰：长二百八十六，髙濶皆二百五十。术：列实，初商二百，自乗再乗得八百万，次商五十，两商共二百五十，自乘再乘得一千五百六十二万五千，以减积，余二百二十五万为实。另以所商二百五十乘长多三十六，得九千，又乗二百五十，得二百二十五万，以减积实尽。所商之二百五十乃髙濶数也，加长多三十六，得二百八十六，乃长也。

二长濶髙三不等法式积一百二十，濶多于髙二，长又多于濶三，问长濶髙各几何？曰：髙三，濶五，长八。术通曰：濶多于髙二，髙濶较也；长多于濶三，长濶较也。列实两较，各自乘，二自之得四，三自之得九，相并得十三为纵方，两较相乘得六，为纵亷。约商当是四，因此有纵方只商三。以三自乘得九，并纵方十三得二十二，为方法。又以商三乗纵亷六得一十八，为亷法。二法相并得四十，列实下。呼商三，四除一百二十，实尽得髙三。加二得濶五，又加三得长八。

立方带纵诸变一带纵负隅开立方法式实一千三百八十二万四千，纵方八万六千四百，二为隅法，问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，自之得一万，以隅二乗之得二万，并纵得十万○六千四百，为下法，与初商一百相乗得一千○六十四万，列实下。减实余实三百一十八万四千，以三乗隅法，二万得六万，为方法，以三乗。初，商得三百，又以隅二乗之，得六百。为亷，次商二十乗亷，得一万二千，为。亷法以次商自之得四百，以隅二乗。得八百为隅法，乃并六万【方法】一万二千【亷法】八百【隅法】八万六千四百【纵方】共得一十五万九千二百为下法，与次商二十相乗，得三百一十八万四千，列实下减实尽，得方一百二十，末防未开，故知初商为百也。通曰：「下法乗商，即呼商也。竟列下法，则呼商除实；若列下法乗商之数，则减实也。」

二带纵亷开立方法式实二千一百六十万，纵亷一百三十五，问方几何？曰：二百四十。术：列实，初商二百，乗纵亷得二万七千，初商自之得四万，为隅法，相并得六万七千，为下法，乗初商二百得一千三百四十万，列下减实，余实八百二十万，倍纵亷乗数得五万四千，三乗隅法得十二。万相并得一十七万四千，为方法。三乗初商，得六百。又并纵亷得七百三十五，为亷。次商四十，乗亷得二万九千四百，为亷法。又以次商自之，得一千六百，为隅法。乃并十七万四千【方法】二万九千四百【亷法】一千六百【隅法】共得二十万○五千，为下法。乗次商四十，得八百二十万。列下减实尽。末防未开，得方二百四十。

三带纵减益亷开立方法式实五百三十七万六千，纵方一万七千六百，益亷六百四十，问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，乗益，亷得六万四千，初商自乗得一万，为隅法以隅法并纵方得二万七千六。百以减益亷乗数，余三万六千四百。为下法乗初商得三百六十四万列下减实，余实一百七十三万六千倍。益亷乗数得十二万八千，三乗隅法得三万，并纵方得四万七千六百，为方法。三乗初商得三百，为亷法。次商二十，乗益亷得一万二千八百，加入倍亷十二万八千，得十四万○八百。又以次商乗亷法三百，得六千。又以初商自乗得四百，为隅法。乃并四万七千六百【方法】六千【亷乗】四百【隅法】共得五万四千，以减十四万○八百，余八万六千八百，为下法。乗次商得一百七十三万六千，列下减实尽，得方一百二十。

四纵亷减纵方翻法开立方法式实一千○八万，纵方二十一万三千六百，纵亷一千二百，问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，乗纵亷得十二万，以减纵方，余九万三千六百为方法。初商自乗得一万为隅法，以并方法，得十万○三千六百为下法，乗初商得一千○三十六万，当以此数减实，而实止一千○八万，不足减，遇此则反以一千○三十六万列上为实，而以一千○八万减之，余二十八万为负积，倍纵亷乗数得二十四万，三乗隅。法得三万，为方法，三乗初商得三百，为亷法，次商二十，乗纵亷一千二百，得二万四千，并入倍亷二十四万，得二十六万四千，以减纵方，而纵方止二十一万三千六百，不足减，遇此则反以二十六万四千为纵方，而以二十一万三千六百减之，余五万○四百为负纵，又以次商乗亷法三百，得六千，又以次商自乗得四百，为隅法，乃并得三万【方法】六千【亷乗】四百【隅法】以减负纵五万○四百，余一万四千，为下法，乗次商得二十八万，减实尽，得方一百二十。

五亷减纵开立方法式实一千三百○五万六千，纵方一十三万二千八百，纵亷三百二十，问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，乗纵亷得三万二千，以减纵方，余十万○八百，初商。自乗得一万，为隅法，并余纵得十一。万○八百为下法，乗初商得一千一。百○八万列下，减实余实一百九十。七万六千倍，纵亷乗数，得六万四千。三乗隅法，得三万，为方法，三乗初商。得三百，为亷法，次商二十，乗纵亷三百二十，得六千四百，并入倍亷六万四千，共七万○四百，以减纵方，余六万二千四百，又以次商乗亷法三百，得六千，又以次商自乗，得四百，为隅法，乃并得三万【方法】六千【亷乗】四百【隅法】又并余纵六万二千四百，共九万八千八百，为下法，乗次商，得一百九十七万六千，减实尽，得方一百二十六带纵以亷益积开立方法式实二千五百八十万，○四千八百，纵方一十九万三。

千九百二十纵亷四百八十半为隅算问方几何曰二百四十术列实初商二百乗纵亷得九万六千以乗初商得一千九百二十万为益实，加入原实，共得实四千五百万○四千八百。又以初商自乗，得四万，以隅算乗之，得二万，为隅法。以并纵方，得二十一万三千九百二十，为下法。乗初商，得四千二百七十八万四千，列下减实，余实二百二十二万○八百。倍纵亷乗数，得十九万二千。三乘隅法，得六万，为方法。三乗初商，得六百，以隅算半乗之，得三百，为亷法。次商四十，乘纵亷四百八十，得一万九千二百，并入倍亷十九万二千，得二十一万一千二百，以乘次商，得八百四十四万八千，为益实。加入余实，共实一千○六十六万八千八百。以次商乗亷法三百，得一万二千。又以次商自乗，得一千六百，以隅算半乗之，得八百，为隅法。乃并六万【方法】一万二千【亷乗】八百【隅法】及纵方十九万三千九百二十，共得二十六万六千七百二十，为下法。乘次商，得一千○六十六万八千八百，减实尽，得方二百四十。七负隅，减纵以亷，益纵开立方法。式实一亿○五百八十四万，纵方五十三万六千四百，纵亷三千六百，隅算六。问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，乘纵亷得三十六万，初商自乘得一万，以隅算六乗之得六万，为隅法，以减纵方，余四十七万六千四百，并纵亷乗数得八十三万六千四百，为下法，乗初商得八千三百六十四万，减实余实二千二百二十万，倍纵亷乗数得七十二万三乗隅法，得十八万为方法。三乗初商，得三百。以隅算六乗之，得一千八百为亷法。次商二十乗纵亷三千六百，得七万二千，加入倍亷七十二万，得七十九万二千为纵亷。以次商乗亷法一千六百，得三万六千。又以次商自乗，得四百。以隅算六乗之，得二千四百为隅法。乃并十八万【方法】三万六千【亷乘】二千四百【隅法】共二十一万八千四百，以减纵方，余三十一万八千。又并纵亷七十九万二千，共一百一十一万为下法，乗次商得二千二百二十万，减实尽，得方一百二十。八带纵，负隅以亷减；纵开立方法。式实七千三百四十四万，纵方八十四万二千四百，纵亷二千四百，隅算四，问方几何？曰：一百二十。术通曰：列实初商一百乗纵亷得二十四万减。纵方余六十万○二千四百，初商自乗得一万，以隅四乘之，得四万，为隅。法并余纵共六十四万二千四百为。下法乗初商得六千四百二十四万。减实，余实九百二十万。倍纵亷乗数，得四十八万。以三乗隅法，得十二万，为方法。三乗初商，得三百。以隅算四乗之，得一千二百，为亷法。次商二十，乗纵亷二千四百，得四万八千，并入倍亷四十八万，得五十二万八千，以减纵方，余三十一万四千四百。又以次商乗亷法一千二百，得二万四千。又以次商自乗，得四百，以隅算四乗之，得一千六百，为隅法。乃并十二万【方法】二万四千【亷乘】一千六百【隅法】及余纵三十一万四千四百，共四十六万，为下法，乗次商，得九百二十万，减实尽。得方一百二十九，带纵负隅，以亷减纵，翻法开立方法。式实二千○八十八万九千六百，纵方二十七万○八十，纵亷一千二百八十，隅算四。问方几何？曰：一百二十。术通曰：列实，初商一百，乗纵亷得十二万八千，减纵方，余十四万二千○八十。初商自乗得一万，乗隅算四得四万，为隅法。并余纵得十八万二千○八十，为下法。乗初商得一千八百二十万○八千，减实余实二百六十八万一千六百。倍纵亷乗数得二十五万六千，以三乗隅法，得十二万，为方法。三乗初商，得三百，乗隅算四，得一千二百，为亷法。次商二十，乗纵亷，得二万五千六百，并入倍亷，得二十八万一千六百，以减纵方，不足减，反以纵方二十七万○八十减之余，一万一千五百二十，为负纵。又以次商乗亷法，一千二百，得二万四千。又以次商自乗，得四百，乗隅算四，得一千六百，为隅法。乃并十二万【方法】二万四千【亷乗】一千六百【隅法】共十四万五千六百，以减负纵，余十三万四千○八十，为下法，乗次商，得二百六十八万一千六百，减实尽，得方一百二十。

十带纵方亷开立方法式实一千○二十万，纵方四万，纵亷二百五十五，问方几何？曰：一百二十。术：列实，初商一百，乗纵亷得二万五。千五百，初商自乗得一万，为隅法，并纵亷乗数得三万五千五百，又并纵。方得七万五千五百，为下法，乗初商。得七百五十五万，减实余实二百六。十五万倍，纵亷乗数，得五万一千三。乗隅法得三万，相并得八万一千，为方法。三乗初商得三百，并纵亷得五百五十五，为亷法。次商二十，乗亷法得一万一千一百，又以次商自乗得四百，为隅法。乃并八万一千【方法】一万一千一百【亷乗】四百【隅法】及纵方，共十三万二千五百，为下法。乗次商得二百六十五万，减实尽，得方一百二十。通曰：诸式皆三防，因末防皆○未开，故初商皆为百也。开立圆【少广之十】

积求外周法式积六万二千二百○八，问立圆外周几何？曰：一百四十四。术：置积，以四十八乗之，得二百九十八万五千九百八十四，用立方开之，得方面一百四十四，即立圆周也。

积求内径法式积六万二千二百○八，问立圆内径几何？曰：四十八。术：置积，以十六乗之，得九十九万五千三百二十八，以九除之，得十一万○五百九十二，用立方开之，得方面四十八，即立圆径也。

数度衍卷十三

钦定四库全书