御制数理精蕴下编卷二十四

御制数理精蕴下编卷二十四

体部二带纵较数立方带纵和数立方【勾股法四条附】

带纵较数立方带纵立方者，两两等边长方体积也。高与阔相等，惟长不同者，为带一纵立方。长与阔相等，而皆比高多者，则为带两纵相同之立方。至于长与阔与髙皆不等者，则为带两纵不同之立方。开之之法，大防与立方同，祗有带纵之异耳。其带一纵之法，如以髙与阔相等，惟长不同为问者，则以初商为髙与阔，以之自乘，又以初商加纵数为长，以之再乘，得初商积。至次商以后，亦有三方亷、三长亷、一小隅。但其一方亷附于初商积之方面者，即初商数；其二方亷附于初商积之长面者，则带纵也；其二长亷附于初商积之方边者，即初商数；其一长亷附于初商积之长边者，则带纵也。其带两纵相同之法，如以长与阔相等，皆比髙多为问者，则以初商加纵数为长与阔，以之自乘，又以初商为髙以之再乘，得初商积。至次商以后，其一方亷附于初商积之正面者，则带两纵；其二方亷附于初商积之旁面者，则各带一纵也；其一长亷附于初商积之髙邉者，即初商数；其二长亷附于初商积之长阔两边者，则各带一纵也。其▯两纵不同之法，如以阔比髙多，长比阔又多为问者，则以初商为髙又以初商加阔纵为阔，与髙相乘，又加长纵为长，以之再乘，得初商积。至次商以后，其一方亷附于初商积之正面者，则▯两纵；其二方亷附于初商积之旁面者，则一▯阔纵，一▯长纵也；其一长亷附于初商积之髙边者，即初商数；其二长亷附于初商积之长阔两边者，则各▯一纵也。惟小隅则无论▯一纵、两纵，皆各以所商之数自乘再乘，成一小正方。其每边之数，即三方亷之厚，亦即三长亷之阔与厚焉。凡有几层亷隅，皆依次商之。例递析推之法，虽不一，要皆本于正方而后加▯纵，故凡商出之数，皆为小边方体，共十二边。若▯一纵或▯两纵相同者，则八边相等，四边相等，若▯两纵不同者，则每四边各相等。是故得其一边，加入纵多，即得各边也。设如▯一纵立方积一百一十二尺，其髙与阔相等，长比髙阔多三尺，问髙、阔、长各几何？法列积如开立方法商之，其积一百一十二尺，止可商四尺，乃以四尺书于原积二尺之上，而以所商四尺为髙与阔【因髙与阔等，故四尺即方之髙与阔也】加纵多三尺得七尺为长，即以髙与阔四尺自乗得一十六尺，又以长七尺再乗得一百一十二尺，书于原积之下相减恰尽，是知立方之髙与阔俱四尺，加纵多三尺得七尺，即立方之长也。如图甲乙丙丁戊己长方体，形容积一百一十二尺，其甲乙为髙，甲已为阔，己戊为长，甲乙、甲已俱四尺，己戊为七尺，己戊比己庚多三尺，即所▯之纵。甲乙壬辛庚己正方形，即初商之正方积；庚辛壬丙丁戊扁方形，即带纵所多之扁方积也。

葢因此法髙与阔俱止一位，其积止一位之积，故初商所得即髙与阔之边，加入纵多即为长边也。凡有带一纵无次商者，依此法开之。设如▯一纵立方积二千四百四十八尺，其髙与阔相等，长比髙阔多五尺，问髙阔长各几何？法列积如开立方法，商之其二千尺为初商积，可商十尺，乃以十尺书于原积二千尺之上，而以所商十尺为初商之髙与阔，加纵多五尺得十五尺为初商之长，即以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺，又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺，书于原积之下相减，余九百四十八尺为次商亷隅之共积，乃以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺【此一方亷初商数也】又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺，倍之得三百尺【加倍为▯纵两方亷即初商加纵多也】两数相并得四百尺为次商三方亷面积，以除次商亷隅之共积九百四十八尺，足二尺，则以二尺书于原积八尺之上，而以初商之髙与阔十尺倍之得二十尺【此两长亷初商数也】与初商之长十五尺相并【此▯纵一长亷也】得三十五尺，以次商之二尺乘之得七十尺为次商三长亷面积，又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积，合三方亷三长亷一小隅面积共得四百七十四尺为亷隅共法，以次商之二尺乘之得九百四十八尺，书于余积之下相减恰尽，是知立方之髙与阔俱一十二尺，加纵多五尺得一十七尺，即立方之长也，如图甲乙丙丁长方体形容积二千四百四十八尺，其甲乙髙，甲戊阔皆十二尺，甲己长十七尺，甲已比庚已所多甲庚五尺即纵多之数，其从一角所分辛乙癸壬长方体形，壬癸与辛乙皆十尺即初商数，壬辛十五尺即初商加纵多之数，辛乙癸壬长方积一千五百尺即初商自乗，又以初商加纵多再乘之数，所余子形丑形寅形为三方廉，其中寅形为一正方廉，每边十尺即初商数，子形丑形为二长方廉，每阔十尺，长十五尺，其长比阔多五尺即纵多之数，其厚皆二尺即次商数，卯形辰形巳形为三长廉，其辰形、巳形皆长十尺，即初商数。夘形比辰形、巳形皆长五尺，即纵多之数。其阔与厚皆二尺，亦即次商数。其巳形一小正方体为隅，其长、阔与高皆二尺，亦即次商数。合子、丑、寅三方廉，夘、辰、巳三长廉，巳一小方隅，共成一磬折体形，附于初商长方体之三面，而成甲、乙、丙、丁之总长方体积也。三商以后皆仿此，递析开之。又法，以初商积二千尺，商十尺，书于原积二千尺之上，而以所商十尺为初商之高与阔，加纵多五尺，得十五尺，为初商之长。即以初商之高与阔十尺自乘，得一百尺，又以初商之长十五尺再乘，得一千五百尺，书于原积之下，相减余九百四十八尺，为次商积。

乃以初商之髙与阔十尺自乘，得一百尺，又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乘，得一百五十尺，倍之得三百尺，两数相并得四百尺，为次商三方亷面积，以除次商积九百四十八尺，足二尺，则以二尺书于原积八尺之上，合初商次商共一十二尺，为初商次商之髙与阔，加纵多五尺，得十七尺，为初商次商之长。乃以初商次商之髙与阔十二尺自乘，得一百四十四尺，又以初商次商之长十七尺再乗，得二千四百四十八尺，与原积相减，恰尽，即知立方之髙与阔俱十二尺，其长为十七尺也。设如带一纵立方，积一万九千零八寸，其髙与阔相等，长比髙阔多一百二十寸，问髙、阔、长各几何？法列积如开立方法商之，其一万九千寸为初商积，可商二十寸，则以二十寸为髙与阔，加纵多一百二十寸，得一百四十寸为长，即以髙与阔二十寸自乗，得四百寸，又以长一百四十寸再乘，得五万六千寸，大于原积二倍有余，乃退商十寸，书于原积九千寸之上，而以所商十寸为初商之高与阔，加纵多一百二十寸，得一百三十寸为初商之长，乃以初商之髙与阔十寸自乘，得一百寸，又以初商之长一百三十寸再乘，得一万三千寸，书于原积之下，相减余六千零八寸为次商廉隅之共积，乃以初商之髙与阔十寸自乘，得一百寸，又以初商之髙与阔十寸与初商之长一百三十寸相乘，得一千三百寸，倍之得二千六百寸，两数相并得二千七百寸为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积六千零八寸，足二寸，则以二寸书于原积八寸之上，而以初商之髙与阔十寸倍之得二十寸，又与初商之长一百三十寸相并得一百五十寸，以次商之二寸乘之得三百寸为次商三长廉面积，又以次商之二寸自乘得四寸为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得三千零四寸为廉隅共法，以次商之二寸乘之得六千零八寸，书于余积之下，相减恰尽，是知立方之髙与阔俱十二寸，加纵多一百二十寸，得一百三十二寸，即立方之长也。此法因带纵甚大，按立方例所得初商数并加纵多所得初商积必大于原积防倍，依次渐取小数开之，又至甚烦，故约略其分，退商之至商出之积比原积微小而后可，是则带纵立方立法之最难者也。设如带一纵立方积二丈零四十二尺四百一十五寸，其髙与阔相等，长比髙阔多一尺二寸，问髙、阔、长各防何？法列积如开立方法，商之其二丈为初商，积可商一丈，乃以一丈书于原积二丈之上，而以所商一丈为初商之高与阔，加纵多一尺二寸，得一丈一尺二寸为初商之长，即以初商之高与阔一丈自乘，仍得一丈，又以初商之长一丈一尺二寸再乘，得一丈一百二十尺，书于原积之下，相减余九百二十二尺四百一十五寸为次商廉隅之共积，乃以初商之高与阔一丈作一十尺自乘，得一百尺，又以初商之长一丈一尺二寸作一十一尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘，得一百一十二尺，倍之得二百二十四尺，两数相并得三百二十四尺为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积九百二十二尺足二尺，则以二尺书于原积二尺之上，而以初商之高与阔一十尺倍之得二十尺与初商之长一十一尺二寸相并得三十一尺二寸，以次商之二尺乘之得六十二尺四十寸为次商三长廉面积，又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积共得三百九十尺四十寸为廉隅共法，以次商之二尺乘之得七百八十尺八百寸，书于余积之下，相减仍余一百四十一尺六百一十五寸即一十四万一千六百一十五寸为三商廉隅之共积，其初商次商所得之一丈二尺为高与阔，加纵多一尺二寸得一丈三尺二寸为长，乃以初商次商之高与阔一丈二尺作一百二十寸自乘得一万四千四百寸，又以初商次商之长一丈三尺二寸作一百三十二寸与初商次商之高与阔一百二十寸相乘得一万五千八百四十寸，倍之得三万一千六百八十寸，两数相并得四万六千零八十寸为三商三方廉面积，以除三商廉隅之共积一十四万一千六百一十五寸足三寸，则以三寸书于原积五寸之上，而以初商次商之髙与阔一百二十寸，倍之得二百四十寸，与长一百三十二寸相并，得三百七十二寸，以三商之三寸乘之，得一千一百一十六寸，为三商三长廉面积。

又以三商之三寸自乘，得九寸，为三商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积，共得四万七千二百零五寸，为防隅共法。以三商之三寸乘之，得一十四万一千六百一十五寸，书于余积之下，相减恰尽。是知立方之高与阔俱一丈二尺三寸，加纵多一尺二寸，俱一丈三尺五寸，即立方之长也。又法，以初商积二丈，商一丈，书于原积二丈之上，而以所商一丈为初商之高与阔，加纵多一尺二寸，得一丈一尺二寸为初商之长，即以初商之高与阔一丈自乘，仍得一丈，又以初商之长一丈一尺二寸再乘，得一丈一百二十尺，书于原积之下，相减余九百二十二尺四百一十五寸为次商积，乃以初商之高与阔一丈作一十尺自乘，得一百尺，又以初商之长一丈一尺二寸作一十一尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘，得一百一十二尺，倍之得二百二十四尺，两数相并得三百二十四尺为次商三方廉面积，以除次商积九百二十二尺四百一十五寸，足二尺，则以二尺书于原积二尺之上，合初商次商共一丈二尺为初商次商之高与阔，加纵多一尺二寸，得一丈三尺二寸为初商次商之长，乃以初商次商之髙与阔一丈二尺自乘，得一丈四十四尺，又以初商次商之长一丈三尺二寸再乘，得一丈九百尺零八百寸，与原积相减，余一百四十一尺六百一十五寸，即一十四万一千六百一十五寸为三商积，乃以初商次商之高与阔一丈二尺作一百二十寸自乘，得一万四千四百寸，又以初商次商之长一丈三尺二寸作一百三十二寸与初商次商之高与阔一百二十寸相乘，得一万五千八百四十寸，倍之得三万一千六百八十寸，两数相并得四万六千零八十寸为三商三方防面积，以除三商积一十四万一千六百一十五寸，足三寸，则以三寸书于原积五寸之上，合初商次商三商共一丈二尺三寸为初商次商三商之髙与阔，加纵多一尺二寸，得一丈三尺五寸为初商次商三商之长，乃以初商次商三商之髙与阔一丈二尺三寸自乘，得一丈五十一尺二十九寸，又以初商次商三商之长一丈三尺五寸再乘，得二丈零四十二尺四百一十五寸，与原积相减恰尽，即知立方之高与阔俱一丈二尺三寸，其长为一丈三尺五寸也。设如带两纵相同，立方积五百六十七尺，其长与阔俱比髙多二尺，问长阔髙各防何？法列积如开立方法，商之共积五百六十七尺，可商八尺，因留两纵积，故取略小之数，商七尺，乃以七尺书于原积七尺之上，而以所商七尺为高，加纵多二尺，得九尺为长与阔，即以长与阔九尺自乘，得八十一尺，又以髙七尺再乘，得五百六十七尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之高为七尺，加纵多二尺得九尺，即立方之长与阔也。

如图，甲乙丙丁戊己扁方体，形容积五百六十七尺，其甲乙为高，甲子为阔，甲巳为长，甲乙七尺，甲子、甲己皆比甲乙多二尺，即所带之纵，其甲乙癸壬辛庚正方形，即初商之积，庚辛壬癸丙丁戊已磬折体形，即所带之纵积也。此法因长阔俱比高多，故初商所得为髙，于高加纵多即长与阔也。设如带两纵相同立方积三千四百六十八尺，其长与阔俱比高多五尺，问长阔高各防何？法列积如开立方法商之，其三千尺为初商积，可商十尺，乃以十尺书于原积三千尺之上，而以初商十尺为初商之髙，加纵多五尺，得十五尺为初商之长与阔，即以初商之长与阔十五尺自乘，得二百二十五尺，又以初商之髙十尺再乘，得二千二百五十尺，书于原积之下相减，余一千二百一十八尺为次商廉隅之共积，乃以初商之长与阔十五尺自乘，得二百二十五尺【此一方廉长阔皆带一纵也】又以初商之髙十尺与初商之长与阔十五尺相乘，得一百五十尺，倍之得三百尺【加倍为带纵两方廉即初商加纵多也】两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积一千二百一十八尺，足二尺，则以二尺书于原积八尺之上，而以初商之长与阔十五尺倍之得三十尺【此两长廉即长阔各带一纵也】与初商之髙十尺相并【此一长廉初商数也】得四十尺，以次商之二尺乘之，得八十尺为次商三长廉面积，又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积共得六百零九尺为廉隅共法，以次商之二尺乘之，得一千二百一十八尺，书于余积之下相减恰尽，是知立方之高为十二尺，加纵多五尺得十七尺为立方之长与阔也，如图甲乙丙丁扁方体形，容积三千四百六十八尺，其甲乙髙十二尺，甲戊长，甲已阔俱十七尺，甲戊比甲辛所多辛戊，甲已比庚己所多甲庚俱五尺，即纵多之数，其从一角所分壬乙子癸扁方体形，癸子与壬乙皆十尺，即初商数，壬癸与癸申皆十五尺，即初商加纵多之数，壬乙子癸扁方积二千二百五十尺，即初商加纵多自乘又以初商再乘之数，所余丑形寅形夘形为三方廉，其中寅形为一正方廉，每边十五尺，即初商加纵多。之数，丑形、夘形为二长方廉，每高十尺，长十五尺，其长比髙多五尺，即纵多之数，其厚皆二尺，即次商数。辰形、巳形、午形为三长廉，巳形长十尺，即初商数，辰形、午形比巳形俱长五尺，即纵多之数，其阔与厚皆一尺，亦即次商数。其巳形一小正方体，为隅，其长、阔、高皆二尺，亦即次商数。合丑、寅、夘三方廉，辰、巳、午三长廉，巳一小方隅，共成一磬折体形，附于初商长方体之三面而成甲、乙、丙、丁之总扁方体积也。

三商以后，皆仿此递析开之。又法，以初商积三千尺，商十尺，书于原积三千尺之上，而以所商十尺为初商之髙，加纵多五尺，得十五尺，为初商之长与阔。即以初商之长与阔十五尺自乘，得二百二十五尺，又以初商之髙十尺再乘，得二千二百五十尺，书于原积之下，相减余一千二百一十八尺，为次商积。乃以初商之长与阔十五尺自乘，得二百二十五尺，又以初商之高十尺与初商之长与阔十五尺相乘，得一百五十尺，倍之得三百尺，两数相并得五百二十五尺，为次商三方廉面积，以除次商积一千二百一十八尺，足二尺，则以二尺书于原积八尺之上，合初商次商共十二尺，为初商次商之髙，加纵多五尺，得十七尺，为初商次商之长与阔。乃以初商次商之长与阔十七尺自乘，得二百八十九尺，又以初商次商之高十二尺再乘，得三千四百六十八尺，与原积相减恰尽，即知立方之高为十二尺，其长与阔得十七尺也。设如带两纵相同，立方积一百零三万四千二百八十九寸，其长与阔俱比高多三百三十寸，问长、阔、髙各防何法列积如开立方法，商之其一百万寸为初商积，可商一百寸，乃以所商一百寸为高，加纵多三百三十寸，得四百三十寸为长与阔，即以长与阔四百三十寸自乘，得一十八万四千九百寸，又以高一百寸再乘，得一千八百四十九万寸，大于原积十倍有余，是初商不可商一百寸也，乃改商十寸为高【既大于原积十倍有余，故取十分之一商之为十寸】加纵多三百三十寸，得三百四十寸为长与阔，即以长与阔三百四十寸自乘，得一十一万五千六百寸，又以髙十寸再乘，得一百一十五万六千寸，仍大于原积，是亦不可商一十寸也，乃改商九寸，书于原积九寸之上，而以所商九寸为髙加纵多三百三十寸，得三百三十九寸为长与阔，即以长与阔三百三十九寸自乘，得一十一万四千九百二十一寸，又以髙九寸再乘，得一百零三万四千二百八十九寸，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之髙为九寸，加纵多三百三十寸，得三百三十九寸为立方之长与阔也。设如带两纵相同立方积一十一丈五百零九尺二百六十八寸，其长与阔俱比高多二尺一寸，问长阔髙各防何法列积如开立方法，商之其一十一丈为初商，积可商二丈，乃以二丈书于原积一丈之上，而以所商二丈为初商之髙，加纵多二尺一寸，得二丈二尺一寸为初商之长与阔，乃以初商之长与阔二丈二尺一寸自乘，得四丈八十八尺四十一寸，又以初商之髙二丈再乘，得九丈七百六十八尺二百寸，书于原积之下相减，余一丈七百四十一尺零六十八寸，即一千七百四十一尺零六十八寸为次商廉隅之共积，乃以初商之长与阔二丈二尺一寸作二十二尺一寸自乘，得四百八十八尺四十一寸，又以初商之髙二丈作二十尺与初商之长与阔二十二尺一寸相乘，得四百四十二尺，倍之得八百八十四尺，两数相并得一千三百七十二尺四十一寸为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积一千七百四十一尺零六十八寸，足一尺，则以一尺书于原积九尺之上，而以初商之长与阔二十二尺一寸倍之得四十四尺二寸，与初商之髙二十尺相并得六十四尺二寸，以次商之一尺乘之得六十四尺二十寸为次商三长廉面积，又以次商之一尺自乘仍得一尺为次商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积共得一千四百三十七尺六十一寸为廉隅共法，以次商之一尺乘之得一千四百三十七尺六百一十寸，书于余积之下相减，仍余三百零三尺四百五十八寸，即三十万三千四百五十八寸为三商廉隅之共积，其初商次商所得之二丈一尺为髙，加纵多二尺一寸，得二丈三尺一寸为长与阔，乃以初商次商之长与阔二丈三尺一寸作二百三十一寸自乘，得五万三千三百六十一寸，又以初商次商之髙二丈一尺作二百一十寸与初商次商之长与阔二百三十一寸相乘，得四万八千五百一十寸，倍之得九万七千零二十寸，两数相并得一十五万零三百八十一寸，为三商三方廉面积，以除三商廉隅之共积三十万零三千四百五十八寸，足二寸，则以二寸书于原积八寸之上，而以初商次商之长与阔二百三十一寸倍之，得四百六十二寸，与初商次商之髙二百一十寸相加，得六百七十二寸，以三商之二寸乘之，得一千三百四十四寸，为三商三长廉面积，又以三商之二寸自乘，得四寸，为三商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得一十五万一千七百二十九寸，为廉隅共法，以三商之二寸乘之，得三十万三千四百五十八寸，书于余积之下，相减恰尽，是知立方之高得二丈一尺二寸，加纵多二尺一寸，得二丈三尺三寸，即立方之长与阔也。

设如带两纵不同，立方积一百九十二尺，其阔比高多二尺，其长比阔又多二尺，问髙阔长各防何法列积如开立方法，商之，其积一百九十二尺，可商五尺，乃以所商五尺为髙加阔比髙多二尺，得七尺为阔，再加长比阔多二尺，得九尺为长，即以高五尺与阔七尺相乘，得三十五尺，又以长九尺再乘，得三百一十五尺，大于原积，乃改商四尺，书于原积二尺之上，而以所商四尺为髙加阔比髙多二尺，得六尺为阔，再加长比阔多二尺，得八尺为长，即以髙四尺与阔六尺相乘，得二十四尺，又以长八尺再乘，得一百九十二尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之髙为四尺，其阔为六尺，其长为八尺也。如图，甲乙丙丁戊己长方体，形容积一百九十二尺，其甲乙为髙四尺，甲已为阔六尺，己戊为长八尺，甲已比甲庚所多庚已二尺，即阔比髙所带之纵，己戊比己辛所多辛戊四尺，即长比髙所带之纵，甲乙子癸壬庚正方形，即初商之正方积，庚壬癸子丙丁戊辛已磬折体形，即长阔两纵所多之长方积也。此法因长比阔多，阔又比髙多，故初商所得即为髙于髙加阔纵为阔，于阔加长纵为长也。设如带两纵不同立方积三千零二十四尺，其阔比髙多二尺，其长比阔又多四尺，问髙阔长各防何？法列积如开立方法商之，其三千尺为初商积，可商十尺，乃以十尺书于原积三千尺之上，而以所商十尺为初商之髙，加阔比髙多二尺，得十二尺为初商之阔，再加长比阔多四尺，得十六尺为初商之长，乃以初商之高十尺与初商之阔十二尺相乘，得一百二十尺，又以初商之长十六尺再乘，得一千九百二十尺，书于原积之下，相减余一千一百零四尺，为次商廉隅之共积，乃以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘，得一百二十尺【此带阔纵一方廉也】又以初商之高十尺与初商之长十六尺相乘，得一百六十尺【此带长纵一方廉也】又以初商之阔十二尺与初商之长十六尺相乘，得一百九十二尺【此带长阔两纵一方廉也】三数相并得四百七十二尺，为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积一千一百零四尺，足二尺，则以二尺书于原积四尺之上，而以初商之髙十尺【此一长廉初商数也】与初商之阔十二尺相并【此带阔纵一长廉也】得二十二尺，又与初商之长十六尺相并【此带长纵一长廉也】得三十八尺，以次商之二尺乘之，得七十六尺，为次商三长廉面积，又以次商之二尺自乘，得四尺，为次商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积共得五百五十二尺，为廉隅共法，以次商之二尺乘之，得一千一百零四尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之高得十二尺，加阔比髙多二尺，得十四尺为阔，又加长比阔多四尺，得十八尺为长也。

如图甲乙丙丁长方体形容积三千零二十四尺，其甲乙髙十二尺，甲戊阔十四尺，甲已长十八尺，甲戊比甲庚所多二尺，即阔比髙所多之数，甲已比辛己所多六尺，即长比髙所多之数。其从一角所分壬乙子癸长方体形，壬乙与癸子皆十尺，即初商之数。壬未与癸申皆十二尺，即初商之髙加阔多之数。壬癸与未申皆十六尺，即初商之髙加阔多又加长多之数。壬乙子癸长方体形所容一千九百二十尺，即初商积。所余丑形、寅形、夘形为三方廉。其夘形之髙十尺，即初商之数。其带阔纵二尺，如酉，即阔多之数。其丑形之髙十尺，亦即初商之数。其带长纵六尺，如戌，即长多之数。其寅形之阔十尺，又带阔多二尺，如亥，即初商之髙加阔多之数。其带长纵六尺，如干，即初商之髙加阔多又加长多之数。其厚皆二尺，即次商之数。辰形、巳形、午形为三长廉。其辰形之长十尺，即初商之数。巳形比辰形所多二尺，如坎，即阔多之数。其午形比辰形所多六尺，如艮，即长多之数。其阔与厚皆二尺，亦即次商之数。其已形一小正方体，为隅，其长阔与髙俱二尺，亦即次商之数。合三方廉、三长廉、一小隅，共成一磬折体形，附于初商长方体之三面，而成甲乙丙丁之总长方体积也。三商以后皆仿此，递析开之。又法，以初商积三千尺，商十尺，书于原积三千尺之上，而以所商十尺为初商之髙，加阔比髙多二尺，得十二尺，为初商之阔，再加长比阔多四尺，得十六尺，为初商之长，即以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘，得一百二十尺，又以初商之长十六尺再乘，得一千九百二十尺，书于原积之下，相减余一千一百零四尺，为次商积，乃以初商之阔十二尺与初商之长十六尺相乘，得一百九十二尺，又以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘，得一百二十尺，又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘，得一百六十尺，三数相并得四百七十二尺，为次商三方廉面积，以除次商积一千一百零四尺，足二尺，则以二尺书于原积四尺之上，合初商次商共十二尺，为初商次商之髙，加阔比髙多二尺，得十四尺，为初商次商之阔，再加长比阔多四尺，得十八尺，为初商次商之长，乃以初商次商之高十二尺与初商次商之阔十四尺相乘，得一百六十八尺，又以初商次商之长十八尺再乘，得三千零二十四尺，与原积相减恰尽，即知立方之髙为十二尺，其阔为十四尺，其长为十八尺也。设如带两纵不同立方积三十万零一百六十寸，其阔比髙多九十二寸，其长比髙多一百一十四寸，问髙阔长各防何？法列积如开立方法，商之其三十万寸为初商，积可商六十寸，乃以所商六十寸为髙，加阔比髙多九十二寸，得一百五十二寸为阔，再加长比髙多一百一十四寸，得一百七十四寸为长，即以高六十寸与阔一百五十二寸相乘，得九千一百二十寸，又以长一百七十四寸再乘，得一百五十八万六千八百八十寸，大于原积五倍有余，是初商不可商六十寸也，乃改商二十寸，书于原积空千寸之上，而以所商二十寸为高加阔比髙多九十二寸，得一百一十二寸为阔，又以高二十寸加长比高多一百一十四寸，得一百三十四寸为长，乃以高二十寸与阔一百一十二寸相乘，得二千二百四十寸，又以长一百三十四寸再乘，得三十万零一百六十寸，书于原积之下，相减恰尽，是知次商为空位，而立方之髙为二十寸，其阔为一百一十二寸，其长为一百三十四寸也。

设如带两纵不同立方积一万三千二百八十四寸，其阔比髙多三寸，其长比阔多一百一十一寸，问髙阔长各防何？法列积如开立方法，商之其一万三千寸为初商积，可商二十寸，乃以所商二十寸为高，加阔比髙多三寸，得二十三寸为阔，再加长比阔多一百一十一寸，得一百三十四寸为长，即以髙与阔与长按法相乘，得六万一千六百四十寸，大于原积四倍有余，是初商不可商二十寸也，乃退商十寸，而以所商十寸为髙，加阔比高多三寸，得十三寸为阔，再加长比阔多一百一十一寸，得一百二十四寸为长，即以髙与阔与长按法相乘，得一万六千一百二十寸，仍大于原积，乃复退商九寸，书于原积四寸之上，而以所商九寸为髙，加阔比髙多三寸，得十二寸为阔，再加长比阔多一百一十一寸，共一百二十三寸为长，即以高九寸与阔十二寸相乘，得一百零八寸，又以长一百二十三寸再乘，得一万三千二百八十四寸，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之髙为九寸，其阔为十二寸，其长为一百二十三寸也。设如带两纵不同立方积一十三丈二百四十九尺五百四十五寸，其阔比髙多一尺，其长比阔又多二尺二寸，问髙阔长防何？法列积如开立方法，商之其一十三丈为初商，积可商二丈，乃以二丈书于原积三丈之上，而以所商二丈为初商之髙，加阔比髙多一尺，得二丈一尺为初商之阔，再加长比阔多二尺二寸，得二丈三尺二寸为初商之长，即以初商之髙二丈与初商之阔二丈一尺相乘，得四丈二十尺，又以初商之长二丈三尺二寸再乘，得九丈七百四十四尺，书于原积之下，相减余三丈五百零五尺五百四十五寸，即三千五百零五尺五百四十五寸为次商廉隅之共积，乃以初商之髙二丈作二十尺，初商之阔二丈一尺作二十一尺，相乘得四百二十尺，又以初商之长二丈三尺二寸作二十三尺二寸与初商之髙二十尺相乘，得四百六十四尺，又以初商之阔二十一尺与初商之长二十三尺二寸相乘，得四百八十七尺二十寸，三数相并得一千三百七十一尺二十寸为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积三千五百零五尺五百四十五寸，足二尺，则以二尺书于原积九尺之上，而以初商之髙二十尺与初商之阔二十一尺，初商之长二十三尺二寸相并得六十四尺二寸，以次商之二尺乘之，得一百二十八尺四十寸为次商三长廉面积，又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积共得一千五百零三尺六十寸为廉隅共法，以次商之二尺乘之，得三千零七尺二百寸，书于余积之下，相减仍余四百九十八尺三百四十五寸，即四十九万八千三百四十五寸为三商廉隅之共积，其初商次商所得之二丈二尺为髙，加阔比髙多一尺，得二丈三尺为阔，又加长比阔多二尺二寸，得二丈五尺二寸为长，乃以初商次商之髙二丈二尺作二百二十寸，初商次商之阔二丈三尺作二百三十寸，相乘得五万零六百寸，又以初商次商之长二丈五尺二寸，作二百五十二寸，与初商次商之髙二百二十寸相乘，得五万五千四百四十寸。

又以初商次商之阔二百三十寸，与初商次商之长二百五十二寸相乘，得五万七千九百六十寸。三数相并，得一十六万四千寸，为三商三方廉面积，以除三商廉隅之共积四十九万八千三百四十五寸。足三寸，则以三寸书于原积五寸之上，而以初商次商之髙二百二十寸，与初商次商之阔二百三十寸，初商次商之长二百五十二寸相并，得七百零二寸，以三商之三寸乘之，得二千一百零六寸，为三商三长廉面积。又以三商之三寸自乘，得九寸，为三商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得一十六万六千一百一十五寸，为廉隅共法，以三商之三寸乘之，得四十九万八千三百四十五寸，书于余积之下，相减恰尽。是知立方之髙得二丈二尺三寸，加阔比髙多一尺，得二丈三尺三寸为阔，又加长比阔多二尺二寸，得二丈五尺五寸为长也。设如带两纵不同立方积一百三十二万八千二百五十尺，其阔比髙多五尺，其长比阔又多五尺，问髙阔长各防何？法列积如开立方法，商之其一百万尺为初商积，可商一百尺，乃以一百尺书于原积一百万尺之上，而以所商之一百尺为初商之髙，加阔比髙多五尺，得一百零五尺为初商之阔，再加长比阔多五尺，得一百一十尺为初商之长，乃以初商之髙一百尺与初商之阔一百零五尺相乘，得一万零五百尺，又以初商之长一百一十尺再乘，得一百一十五万五千尺，书于原积之下，相减余一十七万三千二百五十尺为次商廉隅之共积，乃以初商之髙一百尺与初商之阔一百零五尺相乘，得一万零五百尺，又以初商之髙一百尺与初商之长一百一十尺相乘，得一万一千尺，又以初商之阔一百零五尺与初商之长一百一十尺相乘，得一万一千五百五十尺，三数相并得三万三千零五十尺为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积一十七万三千二百五十尺，不足一十尺，仅足五尺，是次商为空位也，乃书一空于原积八千尺之上，以存次商之位，复以所商五尺书于原积空尺之上，而以初商次商之髙一百尺与初商次商之阔一百零五尺，初商次商之长一百一十尺相并，得三百一十五尺，以三商之五尺乘之，得一千五百七十五尺为三商三长廉面积，又以三商五尺自乘，得二十五尺为三商一小隅面积，合三方廉三长廉一小隅面积共得三万四千六百五十尺为廉隅共法，以三商之五尺乘之，得一十七万三千二百五十尺，书于余积之下，相减恰尽，是知立方之髙为一百零五尺，加阔比髙多五尺，得一百一十尺为阔，又加长比阔多五尺，得一百一十五尺为长也。设如一尺土方，三万九千六百八十八尺，筑堤一段，其髙与阔相等，其长比高阔多六十尺，问髙、阔、长各防何？

法列积用带一纵立方法开之。其三万九千尺为初商积，可商三十尺。乃以所商三十尺为髙与阔，加纵多六十尺，得九十尺为长。即以髙与阔三十尺自乘，得九百尺。又以长九十尺再乘，得八万一千尺，大于原积。乃改商二十尺，书于原积九千尺之上。而以所商二十尺为初商之髙与阔，加纵多六十尺，得八十尺为初商之长。即以初商之髙与阔二十尺自乘，得四百尺。又以初商之长八十尺再乘，得三万二千尺，书于原积之下，相减余七千六百八十八尺为次商廉隅之共积。乃以初商之高与阔二十尺自乘，得四百尺。又以初商之长八十尺与初商之高与阔二十尺相乘，得一千六百尺，倍之得三千二百尺。两数相并得三千六百尺，为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积七千六百八十八尺，足二尺。则以二尺书于原积八尺之上。而以初商之髙与阔二十尺倍之，得四十尺，与初商之长八十尺相并，得一百二十尺，以次商之二尺乘之，得二百四十尺为次商三长廉面积。又以次商之二尺自乘，得四尺为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得三千八百四十四尺为廉隅共法，以次商之二尺乘之，得七千六百八十八尺，书于余积之下，相减恰尽。是知堤之髙与阔俱二十二尺，加长比髙阔多六十尺，得八十二尺为堤一段之长也。设如，有仓一座，容米二千四百石。其仓之长与阔，俱比髙多五尺。问仓之长、阔、髙各防何？法将米二千四百石，用每石定法二尺五百寸乘之，得六千尺。乃以六千尺为带两纵相同立方积，用带两纵相同法开之。其六千尺为初商积，可商十尺，乃以十尺书于原积六千尺之上，而以所商十尺为初商之高，加纵多五尺，得十五尺为初商之长与阔。乃以初商之长与阔十五尺自乘，得二百二十五尺，又以初商之髙十尺再乘，得二千二百五十尺，书于原积之下，相减余三千七百五十尺为次商廉隅之共积。乃以初商之长与阔十五尺自乘，得二百二十五尺，又以初商之髙十尺与初商之长与阔十五尺相乘，得一百五十尺，倍之得三百尺，两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积三千七百五十尺，足七尺。乃按法算之，得廉隅共法八百五十四尺，以次商之七尺乘之，得五千九百七十八尺，大于次商廉隅之共积，乃改商六尺。按法算之，得廉隅共法八百零一尺，以次商之六尺乘之，仍大于次商廉隅之共积，又改商五尺，书于原积空尺之上，而以初商之长与阔十五尺倍之，得三十尺，与初商之高十尺相并，得四十尺，以次商之五尺乘之，得二百尺为次商三长廉面积。又以次商之五尺自乘，得二十五尺为次商一小隅面积，合三方廉、三长廉、一小隅面积共得七百五十尺为廉隅共法，以次商之五尺乘之，得三千七百五十尺，书于余积之下，相减恰尽。

是知仓之高为一十五尺，加纵多五尺，得二十尺为仓之长与阔也。设如挑河一段，但知挑出土方七万六千一百四十尺，其宽比深多三尺，其长比宽多二百六十四尺，问宽、长、深各防何？法列积用带两纵不同立方法开之。其七万六千尺为初商积，可商四十尺。因长纵甚多，故取小数商二十尺为深。加宽比深多三尺，得二十三尺为宽。再加长比宽多二百六十四尺，得二百八十七尺为长。以三数相乘，得十万三千二百零二十尺，大于原积。乃改商十尺，书于原积六千尺之上，而以所商十尺为初商之深。加宽比深多三尺，得十三尺为初商之宽。再加长比宽多二百六十四尺，得二百七十七尺为初商之长。乃以初商之深十尺与初商之宽十三尺相乘，得一百三十尺。又以初商之长二百七十七尺再乘，得三万六千零十尺，书于原积之下，相减余四万零一百三十尺，为次商亷隅之共积。乃以初商之深十尺与初商之宽十三尺相乘，得一百三十尺。又以初商之宽十三尺与初商之长二百七十七尺相乘，得三千六百零一尺。又以初商之深十尺与初商之长二百七十七尺相乘，得二千七百七十尺。三数相并，得六千五百零一尺，为次商三方廉面积，以除次商廉隅之共积四万零一百三十尺，足五尺。则以五尺书于原积空尺之上，而以初商之深十尺与初商之宽十三尺、初商之长二百七十七尺相并，得三百尺，以次商之五尺乘之，得一千五百尺，为次商三长亷面积。又以次商之五尺自乘，得二十五尺，为次商一小隅面积。合三方廉、三长廉、一小隅面积共得八千零二十六尺，为廉隅共法。以次商之五尺乘之，得四万零一百三十尺，书于余积之下，相减恰尽。是知挑河之深为十五尺，加宽比深多三尺，得十八尺为宽。再加长比寛多二百六十四尺，得二百八十二尺为河一段之长也。

▯纵和数立方▯纵较数立方，其法已难，而「▯纵和数立方」立法尤难，故古无传。而以理推之，则法有与较数相对待者。其「▯一纵立方」高与阔相等，惟长不同，如以长与高和，或长与阔和为问者，则以初商为高与阔，而与和数相减，余为长。乃以高与阔自乗，以长再乗为初商积。其或和数甚多，而积甚少，按立方法商之，必至大于原积者，则以和数除原积，得数约开平方，可得几数，取略大数以定初商。初商减积有余实者，其初商方积外有二方亷、一长亷，成两面磬折体形。而初商之高与阔少一次商，初商之长多一次商，故内少一方亷积，商除之法则以初商之高与阔与初商之长相乗，倍之为二方亷面积，视余实足方亷面积几倍，取略大数以定次商。而以初商自乗，次商再乗得一方亷积，与余实相加始足次商二方亷、一长亷之共积，故以次商与初商之长相减，余为初商次商之共长，与初商相乗，倍之为二方亷面积，又以初商次商之共长与次商相乗为一长亷面积，合二方亷、一长亷面积以次商乗之，为二方亷、一长亷之共积，所谓初商方积外成两面磬折体形是也。其「▯两纵相同立方」长与阔相等，惟高不同，如以高与阔和，或高与长和为问者，则以初商为高，与和数相减，余为长与阔。乃以长与阔自乗，以高再乗为初商积。其或和数甚多，而积甚少，按立方法商之，必至大于原积者，则以和数自乗除原积，约足几倍，取略大数以定初商。初商减积有余实者，初商方积外止一方亷，成一扁方体形。而初商之高少一次商，初商之长与阔各多一次商，故内少二方亷、一长亷积，商除之法则以初商之长与阔自乗为一方亷面积，视余实足方亷面积几倍，取略大数以定次商，以次商与初商之长与阔相减，余为初商次商之长与阔，而与初商相」乗次商，再乗倍之，为二方亷积。又以次商自乗，初商再乗，为一长亷积。合二方亷、一长亷积与余实相加，始足次商一方亷积。故以初商、次商之长与阔自乗，次商再乗，为一方亷积。所谓初商方积外，成一扁方体形是也。其▯两纵不同立方，与▯两纵相同立方同，但带两纵相同者，其次商积为一正方廉；带两纵不同者，其次商积为一长方廉耳。要之，定商皆以小于半和为准。有时退商而反不足，进商而反有余，须合初商、次商以斟酌之。至次商以后，因有益积之法，故廉法亦不足凭，则又须较量而増损之，可也。设如带一纵立方积七百六十八尺，其高与阔等，长与阔和二十尺，问高、阔长各防何？法列积如开立方法，商之其积七百六十八尺，可商九尺，则以九尺为高与阔与长阔和二十尺相减，余十一尺为长，即以高与阔九尺自乘，得八十一尺，又以长十一尺再乘，得八百九十一尺，大于原积，乃退商八尺，书于原积八尺之上，而以所商八尺为高与阔与长阔和二十尺相减，余十二尺为长，即以髙与阔八尺自乘，得六十四尺，又以长十二尺再乘，得七百六十八尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之高与阔俱八尺，长十二尺也。

如图《甲乙丙丁戊己长方体》，形容积七百六十八尺，其甲乙为高，乙丙为阔，丙丁为长，甲乙、乙丙俱八尺，丙丁为十二尺，乙丙与丙丁共二十尺，即长阔之和，初商所得即高与阔，于长阔和内减去，初商所余即长也。此法与《较数带纵立方》有加减之异，彼以所商之数与较数相加，此则以所商之数与和数相减也。设如带一纵立方积二千四百四十八尺，其高与阔相等，长与阔和二十九尺，问髙、阔、长各防何？法列积如开立方法商之，其二千尺为初商积，可商十尺，乃以十尺书于原积二千尺之上，而以所商十尺为初商之高与阔，与长阔和二十九尺相减，余十九尺为初商之长，即以初商之高与阔十尺自乘，得一百尺，又以初商之长十九尺再乘，得一千九百尺，书于原积之下，相减余五百四十八尺，乃以初商之髙与阔十尺与初商之长十九尺相乘，得一百九十尺，倍之得三百八十尺，以除余积五百四十八尺，足一尺，因仍益积，且初商之长尚减去次商数，故取大数为二尺，则以二尺书于原积八尺之上，而以初商十尺自乘，又以次商二尺再乘，得二百尺，与余积五百四十八尺相加，得七百四十八尺，为次商二方廉、一长廉之共积，乃以次商二尺与初高之长十九尺相减，余十七尺，为初商次商之长，与初商之高与阔十尺相乘，得一百七十尺，倍之得三百四十尺，为二方廉面积，又以次商二尺与初商次商之长十七尺相乘，得三十四尺，为一长廉面积，合二方廉、一长廉面积共三百七十四尺，以次商二尺乘之，得七百四十八尺，书于余积之下，相减恰尽，是知立方之高与阔俱十二尺，长十七尺也。如图甲乙丙丁长方体形，甲乙高，乙戊阔，皆十二尺，戊丙长十七尺，乙戊与戊丙共二十九尺，即长阔之和，其从一角所分己乙壬癸长方体形，己乙与乙庚皆十尺，即初商数，壬庚十九尺，即长阔和内减初商所余之数，比戊丙多子壬一段，即次商数，己乙壬癸长方积一千九百尺，即初商自乘又以初商与长阔和相减之余再乘之数，比初商原体积多丑寅壬癸一扁方体形，因初商积内多减去此积，故以初商自乗、次商再乗而得丑寅壬癸。扁方体积与余积相加，即得甲己辛庚丙丁两面磬折体形。其辰形、巳形为两方廉，其阔十尺，即初商数；其长十七尺，即长阔和内减初商次商之数；其厚皆二尺，即次商数。午形为一长廉，其长十七尺，与方廉同；其阔与厚皆二尺，亦即次商数。合二方廉、一长廉共成一磬折体形，附于长方体之两面，而成甲乙丙丁之总长方体积也。设如带一纵立方积九万九千九百五十四尺，其高与阔相等，长与阔和一千二百四十三尺，问高、阔、长各防何法列积如开立方法，商之其九万九千尺为初商积，可商四十尺，而长阔和为一千二百四十三尺。

按法相乘，过大于原积，爰以长阔和一千二百四十三尺除原积九万九千九百五十四尺，足八十尺有余。以八十尺开平方，约足九尺，乃以九尺书于原积四尺之上，而以所商九尺为髙与阔，与长阔和一千二百四十三尺相减，余一千二百三十四尺为长。即以髙与阔九尺自乘，得八十一尺，又以长一千二百三十四尺再乘，得九万九千九百五十四尺，书于原积之下，相减恰尽。是知立方之髙与阔俱九尺，长一千二百三十四尺也。此法葢因带一纵甚多，高与阔甚少，其长阔和比长所多无防，故以长阔和除原积，即得髙与阔自乘之一面积，而开平方所得，即髙与阔，与长阔和相减，所余即长也。设如带两纵相同，立方积三百八十四尺，其长与阔相等，高与阔和十四尺，问髙阔长各防何？法列积如开立方法，商之其积三百八十四尺，可商七尺，因欲得小于半和之数，乃退商六尺，书于原积四尺之上，而以所商六尺为高，与高阔和十四尺相减，余八尺为长与阔，即以长与阔八尺自乘，得六十四尺，又以高六尺再乘，得三百八十四尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之高为六尺，长与阔皆八尺也。如图，甲乙丙丁戊己扁方体，形容积三百八十四尺，其甲乙为高，乙丙为阔，丙丁为长，甲乙六尺，乙丙与丙丁皆八尺，甲乙与乙丙共十四尺，即高与阔之和，初商所得为高，于高阔和内减去，初商所余为阔，亦即长也。设如带两纵相同立方积六千九百一十二尺，其长与阔相等，高与阔和三十六尺，问高阔长各防何？法列积如开立方法商之，其六千尺为初商积，可商十尺，乃以十尺书于原积六千尺之上，而以所商十尺为初商之高，与高阔和三十六尺相减，余二十六尺为初商之长与阔，即以初商之长与阔二十六尺自乘，得六百七十六尺，又以初商之高十尺再乘，得六千七百六十尺，书于原积之下，相减余一百五十二尺，乃以初商之长与阔二十六尺自乘，得六百七十六尺，以除余积一百五十二尺，不足一尺，因仍益积，且初商之长与阔内尚减去次商数，故取大数为二尺，书于原积二尺之上，而以次商二尺与初商之长与阔二十六尺相减，余二十四尺为初商次商之长与阔，与初商十尺相乘，得二百四十尺，以次商二尺再乘，得四百八十尺，倍之得九百六十尺为二方廉积，又以次商二尺自乘，以初商十尺再乘，得四十尺为一长廉积，合二方廉一长廉积共一千尺，与余积一百五十二尺相加，得一千一百五十二尺为次商一方廉积，乃以初商次商之长二十四尺自乘，得五百七十六尺，以次商二尺再乘，得一千一百五十二尺，书于余积之下，相减恰尽，是知立方之高十二尺，长与阔皆二十四尺也。

如图甲乙丙丁扁方体形，容积六千九百一十二尺，甲乙高十二尺，甲戊长，甲己阔，俱二十四尺，甲己与甲乙共三十六尺，即高与阔之和，其从一面所分庚乙癸子扁方体形，庚乙十尺，即初商数，庚丑与庚寅皆二十六尺，即高阔和内减初商之数，庚丑比甲戊多庚夘一段，庚寅比甲己多辰寅一段，即次商数，庚乙癸子长方积六千七百六十尺，即初商与高阔和相减之余数自乘，又以初商再乘之数，比初商原体积多巳午二方廉积未。一长廉积，因初商积内多减去此积，故以初商、次商之长与阔与初商相乘，以次商再乘，倍之，即得巳午二方廉积。又以次商自乘，以初商再乘，即得未一长廉积，与余积相加，即得甲庚辛壬丁戊扁方体形。其甲戊长，甲己阔，皆二十四尺，即高阔和内减初商、次商之数。甲庚厚二尺，即次商数，附于初商扁方体之一面，而成甲乙丙丁之总扁方体积也。三商以后，皆仿此递析推之。设如带两纵相同，立方积三百九十六万八千零六十四尺，其长与阔相等，高与阔和一千尺，问高、阔、长各防何法列积如开立方法，商之其三百万尺为初商积，可商一百尺，而高阔和为一千尺。按法相乘，过大于原积，爰以髙阔和一千尺自乘，得一百万尺，以除原积三百九十六万八千零六十四尺，足三尺，取略大数为四尺，乃以四尺书于原积四尺之上，而以所商四尺为髙，与高阔和一千尺相减，余九百九十六尺为长与阔，即以长与阔九百九十六尺自乘，得九十九万二千零一十六尺，又以髙四尺再乘，得三百九十六万八千零六十四尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之髙为四尺，长与阔俱九百九十六尺也。此法葢因带两纵甚多，而高数甚少，其高阔和比原长原阔所多无防，故以高阔和自乘得一面积，以除原积，即得高，与高阔和相减所余为阔，亦即长边也。设如带两纵不同立方积四百八十尺，高与阔和十四尺，高与长和十六尺，问高、阔长各防何？法列积如开立方法，商之其积四百八十尺，可商七尺，因欲得小于半和之数，乃退商六尺，书于原积空尺之上，而以所商六尺为高，与高与阔和十四尺相减，余八尺为阔，又以高六尺与高与长和十六尺相减，余十尺为长，即以高六尺与阔八尺相乘，得四十八尺，又以长十尺再乘，得四百八十尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之高为六尺，其阔为八尺，其长为十尺也。如图甲乙丙丁戊己长方体，形容积四百八十尺，其甲乙为高六尺，乙丙为阔八尺，甲己为长十尺，甲己与甲乙共十六尺，即高与长之和，甲乙与乙丙共十四尺，即高与阔之和，初商所得为高，与高阔和相减所余为阔，以高与高长和相减所余即长也，设如带两纵不同，立方积八千零六十四尺，高与阔和三十六尺，高与长和四十尺，问高、阔、长各防何？

法列积如开立方法，商之其八千尺为初商积，可商二十尺，因欲得小于半和之数，乃退商十尺，书于原积八千尺之上，而以所商十尺为初商之高，与高阔和三十六尺相减，余二十六尺为初商之阔，又以初商之高十尺与高长和四十尺相减，余三十尺为初商之长，即以初商之高十尺与初商之阔二十六尺相乘，得二百六十尺，以初商之长三十尺再乘，得七千八百尺，书于原积之下，相减余二百六十四尺为一长方廉积，其厚即次商之数，其长与阔比初商之长与阔各少一次商之数，乃以初商之长三十尺与初商之阔二十六尺相乘，得七百八十尺，以除余积二百六十四尺，不足一尺，因仍益积，且初商之长阔尚减去次商数，故取大数为二尺，书于原积四尺之上，而以所商二尺与初商之阔二十六尺相减，余二十四尺为初商次商之阔，以所商二尺与初商之长三十尺相减，余二十八尺为初商次商之长，即以初商次商之阔二十四尺与初商之高十尺相乘，得二百四十尺，又以初商次商之长二十八尺与初商之高十尺相乘，得二百八十尺，两数相并得五百二十尺，以次商二尺乘之，得一十零四十尺为二方廉积，又以次商二尺自乘得四尺，以初商十尺再乘得四十尺为一长廉积，合二方廉一长廉积共一千零八十尺，与余积二百六十四尺相加，得一千三百四十四尺为次商一方廉积，乃以初商次商之阔二十四尺与长二十八尺相乘，得六百七十二尺，以次商二尺再乘，得一千三百四十四尺，书于余积之下，相减恰尽，是知立方之高十二尺，阔二十四尺，长二十八尺也。如圗甲乙丙丁扁长方体形容积。八千零六十四尺，甲乙高十二尺，甲戊长二十八尺，甲己阔二十四尺，甲乙与甲己共三十六尺，即高与阔之和，甲乙与甲戊共四十尺，即高与长之和。其从一面所分庚乙癸子扁长方体形，庚乙十尺，即初商数，庚丑三十尺，即高与长和内减初商之数，庚寅二十六尺，即高与阔和内减初商之数。庚丑比甲戊多庚夘一段，庚寅比甲己多辰寅一段，即次商数。庚乙癸子长方积七千八百尺，即初商之长与初商之阔相乘，又以初商之高再乘之。数比原长原阔多巳午二方廉积，未一长廉积，因初商积内多减去此积，故以初商次商之长与初商之髙相乘，以初商次商之阔与初商之髙相乘，两数相并，以次商再乘，即得巳午二方廉积。又以次商自乘，以初商之髙再乘，即得未一长廉积，与余积相加，即得甲庚辛壬丁戊一扁长方体形。其甲巳阔二十四尺，即髙阔和内减初商次商之数，甲戊长二十八尺，即髙长和内减初商次啇之数，甲庚厚二尺，即次啇数，附于初啇扁长方体之一面而成甲乙丙丁之总扁长方体积也。

三商以后皆仿此逓折推之。设如带两纵不同立方积一十七万二千六百九十二尺，髙与阔和一百二十九尺，髙与长和二百四十尺，问髙、阔、长各几何？法列积如开立方法商之，其一十七万二千尺为初商积，可啇五十尺，而长即为一百九十尺，阔即为七十九尺。按法相乘，过大于原积，爰以髙与阔和一百二十九尺与髙与长和二百四十尺相乘，得三万零八百六十尺，以除原积一十七万二千六百九十二尺，足五尺，取略大之数为六尺，乃以六尺书于原积二尺之上，而以所商六尺为髙，与髙与阔和一百二十九尺相减，余一百二十三尺为阔，又以髙六尺与髙与长和二百四十尺相减，余二百三十四尺为长，即以阔一百二十三尺与长二百三十四尺相乘，得二万八千七百八十二尺，又以髙六尺再乘，得一十七万二千六百九十二尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之髙为六尺，阔为一百二十三尺，长为二百三十四尺也。此法盖因带两纵甚多而髙数甚少，其髙与阔和比原阔所多无几，髙与长和比原长所多亦无防，故以高与阔和与高与长和相乘得一面积，以除原积，即得高，与高阔和相减所余为阔，与高与长和相减所余即长也。

附勾股法四条设如勾股积六尺，勾▯较二尺，求勾股▯各防何？法以勾股积六尺倍之，得十二尺，自乘得一百四十四尺，以勾▯较二尺除之，得七十二尺，折半得三十六尺，为长方体积。乃以勾▯较二尺折半得一尺，为长方体之长，比髙阔所多之较，用带一纵较数开立方法算之，得髙与阔三尺为勾。加勾▯较二尺得五尺为▯，以勾三尺除倍积十二尺，得四尺为股也。此法有勾股积、勾▯较，必得股自乘积，以勾▯较除之，始得勾▯和，而勾▯和为二勾一勾▯较之共数。将勾▯和半之，为一勾半勾▯较之共数，今作为带纵立方体算者，即如以勾为带纵立方之髙与阔，勾与半勾▯较之共数为带纵立方之长，半勾▯较为带纵之较，用带纵较数立方法开之，得髙与阔即勾也。如甲乙丙勾股积倍之，成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积，自乘得戊己庚辛正方面积，即如勾自乘、股自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积。试将此长方面积变为长方体积，其底为勾自乘之数，其长为股自乘之数，其勾自乘之底边即勾，而股自乘之长又为勾▯较与勾▯和相乘之数，是暗中已得股自乘之一数矣。其长方体即如寅卯辰巳长方体形。然又试作一申甲乙酉▯自乘之正方，内申戌乙丙为勾自乘之正方，则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等，引而长之成戌甲丙亥之长方，其戌甲阔即勾▯较，甲乙丙长即勾▯和。今以股自乘之数用勾▯较除之，得勾▯和，即如寅卯辰巳之长方体积用勾▯较除之，而得干坎辰巳之长方体积，其午未辰巳之髙阔相乘之面积未减，而坎未之长即为勾▯和矣。勾▯和既为二勾一勾▯较之共数，折半则得一勾半勾▯较之共数，故将所得之干坎辰巳长方体积折半为艮震辰巳长方体积，其巳辰髙未辰阔，仍皆为勾与巽未等。其震未长为勾与半勾，▯较之共数，震巽为半勾，▯较即长比髙阔所多之数。故以勾▯较折半，用带一纵较数，开立方法算之，得髙与阔为勾也。设如勾股积六尺，勾▯和八尺，求勾股▯各防何？法以勾股积六尺倍之，得十二尺，自乘得一百四十四尺，以勾▯和八尺除之，得十八尺，折半得九尺，为扁方体积。乃以勾▯和八尺折半得四尺，为扁方体之髙与长阔之和，用带两纵相同和数开立方法算之，得长与阔三尺为勾。于勾▯和八尺内减勾三尺，余五尺为▯。以勾三尺除倍积十二尺，得四尺为股也。此法有勾股积，勾▯和，必得股自乘积，以勾▯和除之，始得勾▯较半之为半勾▯较。今作为带纵立方体算者，即如以勾为带纵立方之长与阔，半勾▯较为带纵立方之髙。一勾半勾▯较之共数为带纵立方之髙与长阔之和，用带两纵相同和数立方法开之，得长与阔即勾也。

如甲乙丙勾股积倍之，成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积，自乘得戊己庚辛正方面积，即如勾自乘，股自乘，两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积。试将此长方面积变为长方体积，其底为勾自乘之数，其髙为股自乘之数，其勾自乘之底边即勾，而股自乘之髙又为勾▯较与勾▯和相乘之数，是暗中已得股自乘之一数矣。其长方体即如寅卯辰巳长方体形。然又试作一申甲乙酉▯自乘之正方，内申戊乙丙为勾自乘之正方，则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等，引而长之成戌甲丙亥之长方，其戌甲阔即勾▯较，甲乙丙长即勾▯和。今以股自乘之数用勾▯和除之，则得勾▯较，即如寅卯辰巳之长方体积用勾▯和除之，而得干卯辰坎扁方体积，其卯午辰未之长阔相乘之面积未减，而干卯之髙即为勾▯较矣。折半则得艮卯辰震扁方体积，其卯午长，午辰阔，仍皆为勾，而艮卯之髙为半勾▯较，其艮卯与卯午即髙与长阔之和，为一勾半勾▯较之共数，而勾▯和乃二勾一勾。▯较之共数，故以勾▯和折半，得一勾半勾。▯较用带两纵相同和数，开立方法算之，得长与阔为勾也。设如勾股积六尺，股▯较一尺，求勾股▯各防何？法以勾股积六尺倍之，得十二尺，自乘得一百四十四尺，以股▯较一尺除之，仍得一百四十四尺，折半得七十二尺，为长方体积。乃以股▯较一尺折半得五寸，为长方体之长，比髙阔所多之较。用带一纵较数开立方法算之，得髙与阔四尺为股，加股▯较一尺得五尺为▯。以股四尺除倍积十二尺，得三尺为勾也。此法有勾股积，有股▯较，必得勾自乘积以股▯较除之，始得股▯和。而股▯和为二股一股▯较之共数，将股▯和半之，为一股半股▯较之共数。今作为带纵立方体算者，即如以股为带纵立方之髙与阔，股与半股▯较之共数为带纵立方之长，半股▯较为带纵之较，用带纵较数立方法开之，得髙与阔即股也。如甲乙丙勾股积倍之，则成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积。自乘得戊己庚辛正方面积，即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积。试将此长方面积变为长方体积，其底为股自乘之数，其长为勾自乘之数，其股自乘之底边即股，而勾自乘之长又为股▯较与股▯和相乘之数，是暗中已得勾自乘之一数矣。其长方体即如寅卯辰巳之长方体形。然又试作一申乙甲酉▯自乘之正方内，申戌丙甲为股自乘之正方，则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等。引而长之成戌乙丙亥之长方，其戌乙阔即股▯较，乙甲丙长即股▯和。今以勾自乘之数用股▯较除之，得股▯和，即如寅卯辰巳之长方体积用股▯较除之，仍得寅卯辰巳之长方体积，其午未辰巳髙阔相乘之面积与卯未之长俱未减，而卯未之长即命为股▯和矣。

股▯和既为二股一股▯较之共数，折半则得一股半股▯较之共数，故将所得之寅卯辰已长方体积折半。为干、坎、辰、已长方体积，其未辰阔，已辰髙，仍皆为股与艮未等。其坎未长为股与半股▯较之共数，坎艮为半股▯较，即长比髙阔所多之数，故以股▯较折半用带一纵较数开立方法算之，得髙与阔为股也。设如勾股积六尺，股▯和九尺，求勾股▯各几何？法以勾股积六尺倍之，得十二尺，自乘得一百四十四尺，以股▯和九尺除之，得十六尺，折半得八尺，为扁方体积。乃以股▯和九尺折半得四尺五寸，为扁方体之髙与长阔之和，用带两纵相同和数开立方法算之，得长与阔四尺为股。于股▯和九尺内减股四尺，余五尺为▯，以股四尺除倍积十二尺，得三尺为勾也。此法有勾股积，股▯和，必得勾自乘积，以股▯和除之，始得股▯较，半之为半股▯较。今作为带纵立方体算者，即如以股为带纵立方之长与阔，半股▯较为带纵立方之髙，一股半股▯较之共数为带纵立方之髙与长阔之和，用带两纵相同和数立方法开之，得长与阔即股也。如甲乙丙勾股积倍之，成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积，自乘得戊己庚辛正方面积，即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积。试将此长方面积变为长方体积，其底为股自乘之数，其髙为勾自乘之数，其股自乘之底边即股，而勾自乘之髙又为股▯和与股▯较相乘之数，是暗中已得勾自乘之一数矣。其长方体即如寅卯辰巳长方体形。然又试作一申乙甲酉▯自乘之正方内，申戌丙甲为股自乘之正方，则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等，引而长之成戌乙丙亥之长方，其戌乙阔即股▯较，乙甲丙长即股▯和。今以勾自乘之数用股▯和除之，则得股▯较，即如寅夘辰巳之长方体积用股▯和除之而得干夘辰坎扁方体积，其夘午辰未长阔相乘之面积未减，而干夘之高即为股▯较矣。折半则得艮夘辰震扁方体积，其夘午长，午辰阔，仍皆为股，而艮夘之高为半股▯较，其艮夘与夘午即高与长阔之和，为一股半股▯较之共数，而股▯和乃二股一股▯较之共数，故以股▯和折半，得一股半股▯较，用带两纵相同和数开立方法算之，得长与阔为股也。

御制数理精蕴下编卷二十四

钦定四库全书