数度衍卷二

数度衍卷二

桐城　方中通　撰笔算上加法术曰：列散数各横置，以类相从【十从十，百从百】大左小右，自右并起。零数纪本位，下十进一位，百进二位。无零本位纪○。诸位至左并毕，即下纪数为所求总数也。进一位式有一万零六百五十四，又八千九百零七，又五万六千七百八十九，又八百八十，问共若干？曰：七万七千二百三十。术先并单数四七九为二十，此有十无零也本位纪，○进二于左次，并十数。五八八及单数所进之二为二十三。本位纪三，进二于左，次并百数六九。七八及十数，所进之二为三十二本。位，纪二，进三，于左次，并千数八六及。百数所进之三，为一十七，本位纪七，进一于左，次并万数一五，及千数所进之一，为七，本位纪七，合问。进二位式有散数如图所列，问共若干？曰：二万三千七百五十二。术：先并单数为一百零二，本位纪二，进一于左隔位此百进二位也次并十数为五本位纪五次并百数及单数所进之一为一十七本位纪七进一于左次，并千数及所进一为二十三本位纪三进二于左万无数，即纪所进二合。问通曰：多层者截作两段、三段为便，如右试截上六层，得总数一五六八一。即将此数及下六层求得总数，亦合。

试加差法术曰：有九减、七减、二法。九用见数而九减之，七用实积数而七减之。先减散数，余若干；次减总数，余若干。两余相比同，则无差。九减式试，第一式，先减散数，去○，与九不入减，并四七。

五八八六七八八六一五共为七十三，九减余一【减去八九七十】二列，乂左次，并总数三二七七，共为。一十九，九减，余一【减去二九一十八】列乂右。

左右相比数同无差通曰：「此以见数为主，不论千百位也。」七减式试，第一式散数，首行之左一○作一，十七减余。

七减余一【减二七一】【十四】次作一十四，七减无余，右下纪○。次行左八九作八十九，七减余五，次作五十七，减余一，次作一十七，七减余三，右下纪三。三行依法减余五，四行依法减余五，俱纪右下。再以各行纪余○三五五并为十三，七减余六，乃以总数依法减之余六，左右列比无差。

减法术曰：多者列上为原数，少者列下为减数，所求数为减余。从类列位，自右减起，下纪其余也。下数多于上数者，为不足减上○，而下有数者，为无可减，二者用借法。式有二千七百一十五，减四百零二，问余若干？曰：二千三百一十三。术：原数列上，减数列下，减数首百，从原数百下顺列单位。五内减二，余三，抹去原数五本位，纪三次。十位一遇○，无减，本位仍纪一次。百位七减四，余三，抹去原数七。本位纪三次，千位二遇无减数，本位仍纪一，合问用借式，有四千八百四十减二千五百九十二，问余若干？曰三千二百四十八。术列原数减数，单位○不能减二，须借左原数一，在本位作十，减二余八，下纪八；次十位原数四，因右借一，存三，不能减九，借左原数一，在本位作十，并存三为十三，减九余四，下纪四；次百位原数八，因右借一，存七，减五，余二，下纪二，次千位四，减二，余二，下纪二，合问。用借用还式，数如前式，术单位○，不能减二，借左原数一，在本位作十，减二余八，乃于十位减数九，加一作十，以还借数四，不能减十，借左原数一，在本位作十，并四为十四，减十余四，百位减数五，加一作六，以还借数八，内减六余二，千位四减二余二，亦合。左减式数如前式术通曰：旧法自右起，今易自左起。千位四内减二，余二，抹去原数四，减数二，而变为二次。百位八内减五，余三，八变为二次。十位四不能减九，于百位变三内退一，三又变为二十位四上加十，为十四，减九余五，四变为五次。单位○不能减二，于十位变五内退一，五又变为四，单位○上作十，减二余八○变为八，此法较便。

试减差法术曰：一用如法试之，以减数并减余，得原数。或以减余减其原数，应与所减数合。又有九减七减二法，如试加然。但以减数及减余合为一处，又如加之散数，首行次行耳。用加法式试，第一式以减数四百零二，并减余二千三百一十三，为二十七百一十五，合原数无差。用减法式试第一式，以减余二千三百一十三于原数二千七百一十五内减之，余四百零二，合减数无差。九减式试第一式，先并减数四二及减余二三一三共。

为一十五九减余六次并原数二七一五为一十五九减余六左右列比无差通曰：「九减用实积数，亦可。盖九数无往。」

不合故也七减式试第一式，先以减数之左四○作四十七，减余五次作五十二，七减余三，又以减余之左二三作二十三，七减余二次作二十一，七减无余，次三不足减，仍余三，俱纪右下，乃以各数纪余之三二并为六，不足减，仍作六再以原数之左二七作二十七七减余六次作六十一七减，余五次作五十五七。

减余六左右列比无差乘法术曰：乘即因也。用九因法，上列原数【即实数】下列乘数【即法】数齐于右尾，算即始。右将下一位遍乘上诸位，向左逐位纪所乘数于下，尽下数乃止。诸所纪为散数，用加法得所求总数。若定总首何数，从乘数左首推至总数左首，即知通。曰：凡以下乘上一数，有二位，左十右零，右即本位也。遇十有数而零亦有数者，曰平【三四一十二，四四一十六之类】本位纪零数，左位纪十数。遇十有数而零无数者，曰足【五四得二十五，八得四十之类】本位纪○，而其数纪左位也。遇十无数而零有数者，曰如【一三如三，二三如六之类】左位纪○，而其数纪本位也。旧法纪数，每并为一，令人难晓。凡原尾有○而乘尾无○者，虽○亦乘之，以存其位。乘尾有○而原尾无○者，即自乘数之有数位乘起。若上下尾与中或俱有○者，亦须乘之，以存位。下数乘上○，下○乘上数，皆曰某○如○。下○乘上○，曰○○如○，则本位左位俱纪○也。

十因式乘上下数不等，少数尚未满十，乘数而少数不及于乘上下数。如以八乘九，何以得七十二？术：九在十内少一，纪一于九右；八在十内少二，纪二于八右。是八九为乘上下数，一二为少数也。上九下八，上下数不等也。一不及九，二不及八，少数不及也。以少数一二相乘得二，纪下二未满十，故曰未满十乘数也。又以右一斜减左八，右二斜减左九，俱余七数，同下纪七，故得七十二。又式乘上下数等，少数未满十，乘数而少数不及于乘上下数。如以八乘八，何以得六十四？术，上下俱八，故曰上下数等。八在十内，少二，右俱纪二相。乘得四下纪四，左右上下斜减，俱余六下纪六，故得六十四。又式乘上下数等，少数已满十，乘数而少数反过于乘上下数。如以三乘三，何以得九？术上下俱三，三在十内，少七，右俱纪七，相乘得四十九，已有四十，故曰已满十乘数也。下纪九，寄四于左，左上下三各加所寄四，俱变为七，然后左右上下斜减，俱无余下，纪○故得九。又式乘上下数不等，少数满十，乘数而少数不及于乘上下数。如以六乘七，何以得四十二？术：七在十内，少三；六在十内，少四。俱纪右相乘得一十二，下纪二，寄一于左。左上七加一变为八，下六加一变为七。然后左右上下斜减，俱余四，下纪四，故得四十二。又术：三、四乘，得一十二。将一悬于左，待左右上下斜减，俱余三，乃并所悬之一为四，亦合。通曰：「一二之乘，得八九之乘，是以小乘而得大乘也。七七之乘，得三三之乘，是以大乘而得小乘也。九因本乎十因，即洛书之无十而藏十也。」

诸式一位乘式有一百五十二人，每人六两，问共若干？曰九百一十二两。术：列定自右乘起，先以六乘二，曰二六一十二，此平也。左位纪一，本位纪二。次以六乘五，曰五六三十，此足也。左位纪三，本位纪○。次以六乘一，曰一六如六，此如也。左位纪○本位纪六，所纪散数用加法，合问乘数六是两推至总数，首为百。多位乘而原数中有○，式有四千六百零八人，每人三百二十五两，问共若干？曰：一百四十九万七千六百两。术：列数，以五乘八，曰五八四十；以五乘○，曰五○，如○；以五乘六，曰五六三十；以五乘四，曰五四二十，如法纪。

之此五之徧乘也次以二乘八曰二八一十六以二乘○曰二○如○以二乘六曰二六一十二以二乘四曰二四如八如法进位纪之此二之徧乘也次以三乘八曰三八二十四以三乘○曰三○如○以三乘六曰三六一十八，以三乘四，曰三四一十二，如法又进位纪之，此三之徧乘也，用加法合问。原数尾有○，式有六百人，每人六两，问共若干？曰：三千六百两。术：以六乘尾○，曰六○，如○次；以六乘次○，曰六○，如○次；以六乘六，曰六六三十六，此乘○以存位也。推至总首为。

千乘数尾有○，式有四十五人，每人六十两，问共若干？曰：二千七百两。术：乘数尾有○，虽不必乘，然一○为十，二○为百，不可不列。位列后，从六乘起可耳。以六乘五，曰：五六三十；以六乘四，曰：四六二十四。推至总首为千。原数乘数尾俱有○，式有六百人，每人三百四十两，问？共若干？曰：二十万零四千两。术，列定。先以四徧乘，次以三徧乘，得总数尾。

三○便于定位通曰加减乘除皆可易横为直而乘用直觉便故附于此至于诸○立法不得不存熟则不用矣试乘差法术曰：九减七减，如前，但左右列数多一，互乘得数，又减之，余列上总数减余列下，上下相比也，不用散数。九减式，试第二式，除○九外，并原数四六八为一十八。

九减无余列○于乂左并乘数三二五为一十九减余一列乂右以左右一与○乘，曰一○如○无数，列○于乂上，并总数一四七六，为一十八九，减无余，列○于乂下，上下相比，无。

差七减式试第四式，原数如法减之余三，列乂左；乘数如法减之余四，列乂右。以左右三四乘，得一十二，七减余。

五列上总数如法减之余五列下上下相比无差通曰：九减用，见数可去。○九不用，七减用，实积数必存。○九之位与数，以便逐。

位减至右末而止也除法术曰：有实，有法，有用数。实即原数列上，法即除数列下，用即所求分数也。上下齐，左从左起算，下首少于上首者齐列；下首多于上首者退位列之于右界格。以法除实，视法首于实内有防回，即用防除之，而纪其防除之数于格外为用数也。原实变后，即为余实，存上次法乘用数除实尽，法位而止。又将法数退一位列下【一徧用数，一徧退位，与初列退位不同】再视法首于余实内有防回，当用防除，而又纪其防除之数于第一次用数之右，次法又乘第二次用数除实也。以法尾退至实尾齐右而止，格外所纪为分数，有余实亦当存之。再除实尾数，即用尾数推而知用数之首也。通曰：以下除上，凡除亦有二位，左除十，右除零。右即本位，本位上左有实者，将左右两实作为防十防也。左有实而右无实者，作防十也。左无实而右有实者，为零数也。若遇实数可以除此一徧而不足以除下徧者，则知用数中当有零矣。详后式。

定列位通曰：其法有五，不退者二，退位者三。与珠算无除説同。盖不退者，有可除之数也；退者，无可除之数也。

诸式退位式有三百四十二两，九人分之，问各若干？曰：三十。

八两术法首九多于实首三当退位列法实首三四作三十四【退位故作防十防也】视三十四内有三回九当以三为用数纪格右以九乘三得二十七于三十四内除之抹去三变四为七次以法九退列余实七二作七十二内有八回九当以八为次用数纪首用数三右于余实内除八九七十二实尽俱抹去格右所纪三八即所求分数法尾齐实，尾两数，则知用数尾八为两也。不退位及减用数式有八百五十五两，四十五人分之，问各若干？曰：一十九两。术法：首四少于实首八，不退位，实八即作八，视八内有二回四，当以二为用数。但二四除实首八，而次法二五除一十，则无实可除。遇此则减用数一，止以一为用数。一四除四，一五除五。次以法退列，余实四○作四十，视有九回四，当以九为次用数四九除三十六，五九除四十五，实尽合问。用数中当有○式，有七万六千零四十八两，八人分之，问各若干？曰：九千五百零六两。术退位列法，首用数该九八九除七十二，又退位列法，次用数该五五八除四十，又退位列法，八适至实之四下，左无余，实四不足除，遇此则纪○以当一徧，用数又退位列法，次用数该六六八除四十八，实尽合问。通曰：「前式格外用数，用横列，今易为直，盖横」。

直俱可用也实尾有○式有三百两，六人分之，问各若干。曰五十两，退位列。法首用数五五，六除三十，纪五于格。右实数尽矣，尚有余○乃退位列法，次用数无数而纪○故知所得为五十两也通曰：「视实尽后，法尾去实尾，尚空防位，毎空一位，加一○于用数之右，亦合。」实不尽式有六百五十三两，五十八人分之，问各若干？曰：一十一两【余实一十五两未分】又各二钱五分【余实五钱未分】术不退位列首，用数该一一五除五一八除八，退位列法次，用数该一一五除五一八除八，法尾已齐，实尾当暂止，以察用尾为何数，既知为两数余。

实再除术：右式余实一十五两，法当退位列，用数该二二五，除一十二八，除一十六，退位列法，次用数该五五五，除二十五五，八除四十，此用数首根前式，用数尾下，当是钱数也，尚余实，俟再除。通曰：初列实时，先于实右加○。每加一○，作降实尾一数【两降钱，钱降分】即以○末为实尾，较便。

试除差法术曰：亦用九减七，减其除毕无余实者，将除数减余列左，用数减余列右，左右相乘，减余列上，原数减余列下，相比其未尽实者，于左右乘后并入余实，减余列上，原数减余列下，比之。若除实至半者，亦以除数减余列左，用数减余列右，相乘，又取本位【法尾止处】以前余实减余，以并左右乘数，再减余列上，以抺过原数减余列下，相比也。除无余，九减式，试第一式，除数九，九减无余，左列○并。

用数三八为一十一九减余二右列二乘无数列○于乂上并原数三、四、二为九，九减无余，列○于乂。上并原数，三、四、二为九，九减无余，列○于乂下，上、下相比无差。除有余九减式试第五式，并除数五八为一十三九减。

余四左列四并用数一一为二不足九减右即列二乘得八，又并余实一五为一十四。九减余五，列上，并原数六五三为一十四，九减余五，列下，上下相比无差。

除无余七减式试第一式除数九作九七减余二列左用数三八作三十八七减余三列右乘得六不足七减即列六于上原数三四作三十四七减余六次作六十二七减余六列下上下相比无差除有余七，减式试第五式，除数五八作五十八，七减余二，列左用数一一作一十一，七减余四，列右乘得八又。

以余实一五作一十五七减余一以此用一并左右所乘八，为九七减，余二，列上原数。六五作六十五，七减余二次作二十三，七减余二，列下上下相比无差。半除试差式除数六五，用数一三，原数八六六，三余实二一三。用九减，并除数六五为一十一，九减余二，列左。又并用数一三为四，不足九减，右即列四乘得八，乃并法尾止处，以前之余实二一为三，不足九减，即以此。

三并左右所乘八为一十一九减余二列上并原数抺去三位之八六六为二十九减余二列下上下相比无差用七减除数六五，作六十五，七减余二，列左。用数一三，作一十三，七减余六，列。右乘得一十二，乃以法尾止处以前之余实二一作二十一，七减无余，与左右所乘数相并，仍是一十二，七减余五，列上原数抺去之八六作八十六，七减余二，次作二十六，七减余五，列下，上下相比无差。通曰：「试差之法，独用九七，何也？盖十者，数之穷也。数穷则变，十复为一。故数始于一，终于九。九，阳数也。下九之阳数为七，故七与九同用。自七九而外，或有合者于率不通，不可立法。所以加减试差，用实积则无不可，用见数则七与五不可也。乘除试差，用实积则亦无不可，用见数则自九而外皆不可也。若夫论除之余，六与三之余同九，是用九而六三可无用矣。四与二之余同八，是用八而四二之余可无用矣。且八或可以试加减，而或不可以试乘除，亦不可用。然则试差之法，舍七与九，又何所取用哉！」

命分法术曰：「命分者，一大防。何已分？防何命？余者为防何？分之防何也？又曰：所余之小防何？再分防何？命此得者为防何？分之防何也？」通曰：「第一术，即防何原本之命比例法也。第二术，恰尽则可，否则终不能尽也。」式法数为母，余数为子。如实数八万七千二百四十八，法数三百七十四，法尾已齐，实尾用数已得二三三，尚有余实一○六，当命为三百七十四分之一百零六也。又式得数为子，得数前位为母，得数一位为十，二位为百，三位为千也。如右式，余实一○六，先于六右加一○，依法再除之得二，又加一○，再除之得八，又加一○，再除之得三，凡三位乃千也，当命为千分之二百八十三也。

数度衍巻二<子部,天文算法类,算书之属,数度衍》>钦定四库全书