御制数理精蕴下编卷二十八

御制数理精蕴下编卷二十八

体部六【面】球内容各等面【体】体球外切各等【庚】球内容各等面体设如【俱】圆球径一尺二寸，求内容四面体之每一边及体积。几何法【为】以圆球径一尺二寸，三归二。因得八【自】寸为圆球内容四面体，自尖至每面中心之立垂线自乘得六十四寸，二归三因得九十六寸，开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八防有余，即圆球内容四面体之每一边也。乃以四面体之每一边，用等边三角形求面积法求得每一面积四十一寸五十六分九十二厘一十九豪有余，与自尖至每面中心之立垂线八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十厘有余，三归之得一百一十寸八百五十一分二百五十厘【尖】有余，即圆球内容四面体之积也。如图，甲乙圆球，径一尺二寸，内容甲丙丁戊四面体。甲己与丙至每面中心之立垂线相交于辛，为四面体之中心亦即圆　　　　　　　　　　　　　　　　【故】球之中心甲辛与丙辛俱为圆球半径甲己壬勾股形与甲庚辛勾股形为同式【以甲乙圆甲己壬勾股形以甲己自尖至底中心立垂线为股己壬一面中垂线之三分之一为勾甲壬一面中垂线为▯甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂线之三分之二为股庚辛四面体中心至每面中心之垂线为勾甲辛四面体自尖至中心立垂线为▯故两勾股形同用一甲角而己角庚角同为直角其壬角与辛角亦必相等所以为】形己壬为丙壬一面中垂线之三分之一亦为甲壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为甲辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一而甲辛即【同】圆球之半径，故庚辛亦【式】为圆球半径。之三分之一，庚辛与辛已等，今命【形】甲。辛圆球半径为三分【也】则甲乙圆球全径为六分。以辛己一分与甲辛三分相加，则得甲巳四分。是甲巳立垂线为甲乙圆球全径之六分之四，即三分之二。【六】球径三，归二，因即得甲己为四面体。自尖至每面中心之立垂线也，又四面体之立垂线自乘方为每边自乘方之三分之【分之见前四面体求】二，故以甲己立垂线自乘二归三因，即得每一边自乘方积，开平方得甲丙为四面体之每一边也。既得一边，则用等边三角形求面积法求得丙丁戊三角形面积，与甲巳立垂线相乘三归之，即得甲丙丁戊四面体之积。也又求边捷法以【积】圆球径一尺二寸自乘，三归，二因，得九十六寸，开平方，亦得九寸七分九厘七豪九丝五忽八防有余，为内容四面体之每一边也，盖四面体之甲巳立垂线，既为甲【法】乙圆球径之三分之二，则甲己自乘方必为甲乙自乘方之九分之四；而甲己自乘方又为甲丙每边自乘方之三分之二，即四则甲丙每一边自乘方必为甲乙圆【○】球径自乘方之九分之六，即三分之二，故以圆球径自乘，三归，二因，开平方，亦得四面体之每一边也。

如有四面体，之一边求外切　　　　　　　　　　　　　　【○】圆球径则先求得自尖至每面中心之立垂线二归三因【○】即圆球径或以一边自乘二归三因开平方亦即得圆球径也【○】又用求球内各形之一边之定率比例以【○】定率之圆球径一○○。○○○○○【为】○为一率圆球内容四面体之一边，八一六四九六五八为二。【一】率今所设之圆球径一尺二寸，为三率求得四率九寸七分九厘七豪九丝。五【率】忽八防有余，即圆球内。容四面【圆】体之一边也。又用求球内各形之体积之定率比例，以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○。【尺】球内容四面体积六四一五○○二。九为二率，今所设之【二】圆球径一尺二寸，自乘再乘，得一千七百二十八寸，为三率，求得四率一百一十寸八百五十。一分二百五十厘有余【寸】即圆球内容四面体。之积也【自】又用圆球积之定率比例，以定率之圆球积一○○○○○○○○。○【乘】为一率，圆球内容四面体积一二。二五，一七五三○为二率【得】今所设之圆球径一【一】尺二寸，求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余，为三率，求得四率一百一十寸八。百五十一分二百四【百】十九厘有余，即圆球。内容四【四】面体之积也。设如圆球径一尺二寸，求内容正方体。之每一边及体积几何法，以圆球径一十四寸三归之，得四十八寸，开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余，即圆球内容正方体之每一边，以一边自乘再乘，得三百三十二寸五百五十三分七百四十四厘有余，即圆【积】球内。容正方体之积也，如图甲乙【也】圆球径一尺二寸，内容甲丙丁乙戊己庚正方体。试以丙丁一边为股，丁乙一边为勾，求得丙乙▯，即每一面之对角斜线。勾与股既相等，则丙乙每一面对角斜线自乘方，为丙丁或丁乙每边自乘方之二倍矣。又试以丙乙对角斜线为股，甲丙一边为勾求得甲乙▯【如】即圆球径。则【有】甲乙圆球径自乘方，又为甲丙类。每边自乘方之三倍【正】矣，故以圆球径。自乘三归，即得每边自乘之积，开【方】平方，即得圆球内容正方体之一边，以一边自乘，再乘，即得圆球内容正方体之体之一边求外切圆【圆】球径则以一边自乘三因之开平方即得【球】圆球径也，又用求球内各形之一边之定率。比例以定率【内】之圆球径一○○○○。○○○○为【容】一率圆球内容正方体之一边五七七三五○二六，为二率今。【正】所设之圆球径一尺二寸，为三率，求得四率六寸九分二厘八豪二丝零三。

【方】防有余即圆球内容正方体之【体】一边也。又用求球内各形之体积之定率【之】比例以定率之圆球径自乘，再乘之正方体积一○○○○○。【积】○○○○为一率，圆球内容正方体。积一九二四五○○八【也】六为二率，今所设之圆球径一尺二寸，自乘再乘得一千七百二十八寸，为三率，求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余，即又用圆【八】球积之定率比例以定率之。【寸】圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球内容正方体积三六七五五。二五九○为二率今所设【即】之圆球径。一尺二寸【圆】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余，为三率，求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余，即圆球内容正方。体之积【球】也。设如圆球径一尺二寸，求内容八面体之每一边。及体积【内】几何法，以圆球径一尺二寸自乘，得一尺四十四寸，折半得七十二寸，开平方得八寸四分八厘五豪二丝。八忽【容】一防有余即圆球内容八面体之每一边也，乃以八面体之每一边自乘，得七十二寸，以球径一尺二寸再乘，得八百六十四寸，三归之，得二百八十八面体之积也，如图甲乙圆【○】球径一尺二寸，内容甲丙乙丁戊己八面体，自正中对四角平分截之，则成甲丙己丁。戊、乙、丁、戊、丙、己、二尖方体、甲、乙【○】圆球径为二尖方体之共髙，即甲丙乙丁正方面之对角斜线，试以甲丙一边为股乙丙一边为勾则【○】甲乙球径为▯勾与股既相等则甲乙自乘方为甲丙自乘方之二倍，故【○】以甲乙球径自乘，折半开方，即得甲丙，为内容八面体之一边。以戊丙一边自乘，得戊丙己丁二尖方体之共底面积。以甲乙共髙，再乘，三归之，得二尖方体积，即八面体之总积。也如，有八面体之一边【○】求外切圆球径，则以一边自乘，加倍，开平方，得对【○】角斜。线即圆球径也。又用求球内各形之一边之定率比例，以定率之圆球径一○。○为一率，圆【二】球内容八面【寸】体之一边七○七一○六七八为二率，今所设之圆球径一尺二寸为三率，求得四率八寸四分八厘五豪二【求】丝八。忽【得】一防有余即圆球内容八面体」。之一边【圆】也又用求球内各形之体积之定率比例【球】以【积】定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○。【九】○○○○为【百】一率圆球内容八面。体积一六六六六六六【零】六六为二率，今所设之圆球径一尺二寸，自乘再乘得一千七百二十八寸，为三【四】率，求得四率二百八十八寸，即圆球内容八面【寸】体之积也。又【七】用圆球积之。【百】定率比例，以定率之圆球积一【七】○【十】○○○○○○○○为一率，圆球内容八面体积三一八三○九八八五为二率，今所设之圆球径一尺二八分六百八十四厘有余为三率，求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八厘有余，即圆球内容八面体之积也。设如圆【豪】球径一尺二寸，求内容十二面体之每一边及体积几？

何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得▯一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一为二率，今所设之【三】圆球径一尺二寸，为三率，求得四率四寸二分八厘一豪八。丝六忽五防有余【丝】即圆球内容十二面体之每一边也，乃以十二面体之每一边用五等边形求面积法，求得每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪有余。又用五等边形求外切圜径法求【即分角线】得半径三寸六分四厘二。七忽一防有余为勾，圆【圜】球半径六寸为▯，求得股四寸七分六厘七豪九丝二忽七防有余为自圆球中心至每一面中心之立垂线，与每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪相乘，得一百五十寸三百九十八分八百零七厘有余，三归之，得五十寸一百三十二分九百三十五厘，为一五角尖体积，十二因之，得六百零一寸五百九十五分二百二十厘有余，即【之】圆球内容十。二面体之总积也，如图甲【半】乙，圆球径一尺二寸，内容甲丙丁戊己十二面体，自正中平分截之，则成十等边面形，其所截之处，皆正当每边之一半，故其所截之庚辛等线，亦为甲丙两角相对斜线之一半，而为十等边形之一边，试自十二面体之甲卯一边正中至中心辰作庚辰垂线，即为所截十等边形外切。径与甲庚每边之半甲辰圆【既】球半径共成甲庚辰勾股形，庚辰为股，甲庚为勾，甲辰为▯。庚辰即如理分中末线之全分，甲庚即如理分中末线之小分。何以知之？盖十二面体每面之壬子两角相对斜【得与甲丙】线为全分，则子丑一【等与甲卯】边为大分。若以壬子两角相对斜线为大分，则子丑一边为小分。两角相对斜线之一半庚辛为大分，则每边之半甲庚即为小分矣。又庚辰中心至每边正中之垂线，既为十等边形外切圜之半径，而庚辛为十等边形之一边，则庚辛为大分，而庚辰必为全分矣。因庚辰全分为股，甲庚小分，为勾，而甲辰【等】圆球半径为▯，故以理分中末线之全分为股，小分为勾，求得▯与小分之比，同于甲辰半径与甲庚半边之比，即同于今所设之甲乙全径与甲卯全边之比也。一边则用五等边形求面积法，求得壬癸子丑寅五等边形面积，又求得巳癸五等边形外切圜半径【面体每一】乃以辰癸圆【面】球半径为【两角，即分】▯已癸分角线为。勾求得辰巳股，即【角】圆球中心至内容十二面体每面中心之立垂线，与壬癸子丑寅五等边形面积相乘，三归之，得辰壬癸子丑寅一五角尖体积，十二因。之即【线】得圆球内容十二面体之总积。也如，有十二面体之每一边，求【与】外切圆球径，则先求得自中心至每边正中。之垂线为股，半边为勾，求得▯【辰】倍之，即圆球全径也，又求【甲】边法，用求圆球内容正方体【等】之一边法，以圆球径一尺二寸自乘，得一百四十四寸，三归之，得四十八寸，开平方，得六寸九分二厘八豪二丝零三防有余，为圆球内容十二相对斜线。乃以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率，大分六一八○三三九九为二率，每一面两角相对斜线六寸九分二厘八豪二丝零三防为三率，求得四率四寸二分八厘一豪八丝六忽四防有余即圆【有】球内容十二面体之每一边也，如图甲乙【十】圆球径一尺二寸，内容甲丙丁戊己十二面体。试于每一面各作一斜线相连，则十二斜线之二十四端合为八角，遂成正方体形。其十二面之十二斜线，即正方体之十二边，其八角即正方体之八角皆切【二】于圆球之面【面】故用求球内容正方体法，求得正方体之一边，即十二面体每一面两角相对之斜线。既得斜线，则以理分中末线之全分与大分之比，即同于两角相对之斜线与每一边之比，而得十二面体之每一边也。如体之每一边求外切圆【四】球径则先求得每面两角相对斜线为正方体之一边，用正方体求外切圆球径之法，亦即得　　　　　　　　　【率】圆球径矣，又【六】用求球内各形之一边之定。率比例以定【百】率之圆球径一○○○。○○○○○【零】为一率，圆球内容十二面体之一边，三五六八二二○九为二率【一】今所设之圆球径一尺二寸，为三率，求得四率四寸二分八厘一豪八丝。六忽【寸】五防有余，即圆球内容十。二面体【五】之一边也。又用求球内各形。之体积之定【百】率比例以定率之圆球径，自乘再乘之正方体积，一○○○○。【九】○○○○○为一率，圆球内容十二。

面体积三四八一四五四　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】八二为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得五分三百九十二厘有余，即圆【一】球内容十二面体之积。也，又用圆球积之定率，比例以定率之。【尺】圆球积一○○○○○○○○○为一【二】率圆球内容十二面体积六六四。九○八八九一为二率今所【寸】设之圆。球径一尺二【为】寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余，为三率，求得四率六百零一寸五百。九十五分三百九十一【三】厘有余，即圆球内容十。二面体【率】之积也。设如圆球径一尺二寸，求内容二十面体之每一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得▯一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之圆球径求得四率六寸三分零八豪七丝七忽三防有余即圆【径】球内容二十面体之每一边也，乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法，求得每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余。又用三等边形求外切圜径法，求得半【一即分角】径三寸六分四厘二豪三丝七忽一防有余，为勾；圆球半径六寸为▯，求得股四寸七分六厘七豪九丝二。忽七防有余为自【线】圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四厘有余，三归之得二十七寸三百九十分四百二十一厘有余，为一三角尖体积，二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十厘有余，即圆球内容二十面体之总积也。如图，甲乙圆球尺二寸，内容甲丙丁戊己二十面体，自正中平分截之，则成十等边面形，其所截之处皆正当每边之一半，故其所截之庚辛等线亦为甲丙每边之一半，而为十等边形之一边。试自二十面体之甲癸一边正中至中心壬作庚壬垂线，即为所截十等边形外切圜之半径，与甲庚每边之半、甲壬圆球半径共成甲庚壬勾股形，庚壬为股，甲庚为勾，甲壬为▯。庚壬即如理分中末线之全分，甲庚即如理分中末线之大分。何以知之？盖庚壬中心至每边正中之斜线既为十等边形外切圜之半径，庚辛既为十等边形之一边，则庚辛为大分，庚壬必为全分。庚辛为每边之半，甲庚亦为每边之半，则甲庚亦即为大分矣。因庚壬全分为股，甲庚大分为勾，甲壬圆球半径为▯，故以理分中末线之全分为股，大分为勾，求得▯与大分之比同于甲壬半径与甲庚半边之比，即同于今所设之甲乙圆球全径与甲癸全边之比。也又图子丑圆【得】球内容子丙寅丑卯已二十面体，自丙已二处横截之，则所截之面成圆。内容甲丙丁戊己五等边面形，试自二十面体之巳角至寅角作已寅全径线，则成巳丙寅勾股形。巳丙为股，丙寅为勾，已寅为▯。以甲丙丁戊己五等边面形言之，则巳丙股为两角相对斜线，即如理分中末线之全分。丙寅勾与丙丁一边同，即如理分中末线之大分。今己丙全分既为股，丙寅大分既为勾巳寅与子丑同为　　　　　　　　　　　　　　　　　　【辰】圆球径既为▯故以理分中末线之全分为股大分为勾求得▯与大分之比即同于今所设之子丑全径与丙寅一边之比也既得一边则用三等边形求面积法求已午三等边形面积又求得未巳三等边形外切圜半径即分角线乃以壬巳圆球半径【二十面体】为▯未巳分角线为勾求得壬未股，即圆【之】球中心至内容二十面体每面中心之立垂线，与辰巳午三等边形面积相乘，三归之，得壬辰巳。午一三角尖体积二十，因之即得【一】圆球内容二十面体之积也，如有二十面。体之一边求外【边】切圆球径，则先求得自中心至每边正中之垂线为股，半边。

为勾求得▯倍　　　　　　　　　　　　　　【也】之即圆球全径【与】也。又用求球内各形之一边。之定率比例【甲】以定率之圆球径一○。○○○○○【壬】○○为一率圆球内容二十面体之一边五二五七三一一一为【等】二率，今所设之圆球径一尺二寸，为三率，求得四率六寸三分零八豪七丝七忽三防有余，即圆球内容。又用求【内】球内各形之体积之定率比。例以定率之【容】圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一。【二】率圆球内容二十面体积三一七○。

一八八三三为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球内容二十面体之积【面】也。又用圆球积之定率比例。【体】以定率之圆球积一○○○○○○○【之】○○为一率，圆球内容二十面体。积六○五四六一三七二为【积】二率今所设之圆球【也】径一尺二寸，求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余，为三率，求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余，即圆球。

【至】球外切各等面体设如【每】圆球径一尺二寸，求外切四面体之每一边及体积。几何法【面】以圆球径一尺二寸，倍之得二尺四【中】寸，为圆球外切四面体，自尖至每面中心之立垂线，自乘得五尺七十六寸，二归三因得八尺六十四寸，开平方得二尺九寸三分九厘三豪八丝。七忽六防【心】有余即圆球外切四面体之每一边也，乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积三尺七十四寸一十二分二十九厘七十二豪有余，与自尖至每面中心之立垂线二尺四寸相乘，三归之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十。六【之】厘有余，即圆球外切四面体之积也。如图，甲乙圆球径一尺二寸，外切丙丁戊己四面体。丙乙与丁庚俱为自尖立垂线，相交于辛，为四面体之中心，亦即圆【自】球之中心辛乙与辛庚俱为【乘】圆球半径，丙乙壬勾股形与丙庚辛勾股形为同【二归丙乙壬勾股形，以丙乙自尖至底中心立垂线为股，乙壬一面中垂线之三分之一为勾，丙壬一面中垂线为▯；丙庚辛勾股形，以丙庚一面中垂线之三分之二为股，庚辛圆球半径为勾，丙辛四面体自尖至中心立垂线为▯。故两勾股形同用一丙角，而乙角庚角同为直角，其壬角与辛角亦必相等，所以为同】式形。乙壬为丁壬一面中垂线之三分之一，亦为丙壬一面中垂线之三分之一，故庚辛亦必为丙辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一。而庚辛【式】为圆球半径与甲辛等，甲辛既为丙辛之三分之一，则丙甲即为丙辛之三分之二，与甲乙全径等，故以【形】甲乙圆球径倍之得丙乙，为四面体自尖至每面中心之立垂线也。又四面体之立垂线自乘方为每一边自乘方之【见前四面体求积法】三分之二，故以丙乙立垂线三因得每一边自乘方积，开平方得丙丁，为四面体之每一边也。既得一边，则用等边三角形求面积法求得丁戊己三角形面积，与丙乙立垂线相乘，三归之，即得丙丁戊己四面体之积也。如有四面体之一边求内容圆【○】球径则先求得自尖至每面中心之立垂线，折半即内容圆球径。也，又用【○】求球外各形之一边之定率。比例以定率【○】之圆球径一○○○○。○○○○【为】为一率，球外切四面体之一边，二四四九四八九七四为二率，今【一】所设之圆球径一尺二寸，为三率，求得四率，二尺九寸三分九厘三豪八丝。七忽六【率】防有余，即圆球外切四面体之【球】一边也，又用求球外各形之体积之定率比例，以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○，外切四面体积一七三二○五○八○。七为二率，今所设之圆【二】球径一尺二寸，自乘再乘，得一尺七百二十八寸，为三率，求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四厘有余，即【寸】圆球外切四面体之积也又【即】用圆球积之定率，比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○。

为【外】一率圆球外切四面体积三三○。七九七三三七二为二率今【切】所设之。圆球径一尺【正】二寸，求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余，为三率，求得四率二尺九百九十。二寸九百八十三分七百九十【方】四厘有余，即圆球外。切四面【体】体之积也。设如圆球，径一尺二寸，求外切正方体之每一边及体积几何法，因圆球径一尺之每一边自乘再乘，得一尺七百二十八寸，即外切正方体积，故他法皆不设，止存此题以备一体焉。设如圆【有】球径一尺二寸，求外切八面体之每一边及体积几？何法以【余】圆球径一尺二寸，折半得六。寸【即】为圆球外切八面体中心至每面中心之立垂线自乘得三十六寸，六因之得二百一十六寸，开平方得一尺四寸六分九厘六豪九丝三忽八防有【圆】余，即圆球外切八面体之每一边也。乃以八面体之每一边，用等边三角形求面积法求得每一面积九十三寸五十三分零七厘四十三豪【球】有余与圆球半径六寸相乘，三归之，得一百八十七寸零六十一分四百八十六厘有余，为一三角尖体积，八因之，得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八厘，外切八面体之总积也。如图，甲乙圆【癸】球径一尺二寸，外切丙丁戊己庚辛八面体，自丁辛己庚四角平分之，则成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方体，将二尖方体自尖依各棱直剖之，则又得子丙丁庚类，八三角尖体【壬】圆球之外面。皆切于各面之中【自】心圆球之半径即外切八面体中心至每一面中心之立垂线，试自丙角至丁庚边正中壬作丙壬一面中垂线，又自八面体中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂线，复自八面体中心子至丁庚边正中壬作子壬线，遂成壬癸子勾股形。此形以子癸【即圆球半径】立垂线为股，丙壬一面中垂线之三分之一，癸壬为勾，八面体中心至每边正中斜线子【子壬即八面体每边之一半，盖壬丑与庚己平行，其度相等，折半于子，故为每边之半】壬为▯。夫癸壬既为丙壬一面中垂线之三分之一，则乘方必为丙壬一面中垂线自乘方之九分之一，而丙壬一面中垂线自乘方原为丙丁每边自乘方之十二分之九，则癸壬自乘方必为丙丁每边自乘方之十二分之一。又子壬既为每边之半，则其自乘方必为每边自乘方之四分之一，今命为十二分之三。癸壬勾自乘方既为每边自乘方十二分之一，子壬▯自乘方又为每边自乘方十二分之三，则子癸股自乘方必为每边自乘方十二分之二，即六分之一。故以子癸圆【圆】球半径自乘，六因之，得每边自乘方。积开平方，得八面体之每一边也。既得每一边，则用等边三角形求面积法，求。得丙丁庚一面积与子癸【球】圆球半径相乘，三归之，得子丙丁庚一三角尖体积，八因之，即得丙丁戊己庚辛八面体之总积也。

如有八面体之一边，求内容径，则求得自中心至每一面中心之立垂线即内容圆【球】球之半径。也，又用求球外各形之一边之定率比。例以定率之【外】圆球径一○○○○○。○○○为一【切】率圆球外切八面体之一边一二二四七四四八七为二率，今所【八】设之圆球径一尺二寸，为三率，求得四率一尺四寸六分九厘六豪九丝。三忽八防【面】有余，即圆球外切八面。体之一【体】边也。又用求球外各形之体。积之定率比【之】例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○【积】○○○为一率，圆球外切八面体积。八六六○二五四○三【也】为二率，今所设之圆球径一尺二寸，自乘再乘，得一尺七百二十八寸，为三率，求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六厘有余，即圆又用圆【○】球积之定率，比例以定率之。【○】圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切八面体积一六五三九。八六六八六为二率，今所设【○】之圆球。径一尺二寸【○】求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余，为三率，求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七厘有余，即圆球外切八面。体之积【○】也，设如圆球径一尺二寸，求外切十二面体之每一边。及体积几何法，以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率，大分六。一八○三、三九九为二率【○】今所设之圆球径一尺二寸，折半得六寸为三率，求得四率三寸七分零八豪二丝零【为】三防有余，为圆球外切十二面体，每一面中心至边之垂线。又以全分一○○一率，倍小分七六三九三二○二为二率今所设之圆【球】球半径六寸，为三率，求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二防有余，为每一面中心至角之分角线。乃以每一面之分角线为▯，每一面中心至边之垂线为股，求得勾二寸六分九厘四豪一丝六忽八防有余，倍之得五寸三分八厘八豪三丝三忽六。防有余即【外】圆球外切十二面体之每一边也，乃以十二面体之每一边与每一面中心至边之垂线相乘，得数折半，五因之，得四十九寸九十五分二十六厘零九豪有余【切】为圆球外切十二面。体之每一面之【十】积与圆球半径六寸相乘，三归之，得九十九寸九百零五分二百一十八厘有余，为每一五角尖体积。十二因之，得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六厘有余，即圆二面体之总积也，盖圆【之】球外切十二面体其【分】圆球之外面皆切于各面之中心，圆球之半径即外切十二面体中。心至每一面中心之立垂线【角】以圆球半径为理分中末线之全分。则外切十二面体之每一面中心至边【即五等边形内容圜半径】之垂线为大分。

每一面中心至角之【即五等边形外切圆半径】分角线为倍小分。如甲乙圆球径一尺二寸。外切丙丁戊己庚十二面体。按其一面中垂线平分剖之。则成丙辛壬癸子丑不等边六角形。丙辛与子癸皆十二面体之每一边。辛壬壬癸子丑丑丙皆为十二面体之每一面。自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为十二面体中心至每边正中之垂线。寅辰为十二面体中心至每面中心之立垂线。即圆球半径。辰丑为每面中心至边之垂线。辰丙为每面中心至角线。今以寅辰为全分。则辰丑为大分。辰丙为倍小分。何以知之。寅卯既为十二面体中心至每边正中之垂线。平分丙辛边于卯。故丙卯为每边之半。寅卯为全分。则丙卯为小分【盖十二面体中心至每边正中之垂线为全分。则其每一面两角相对斜线之一半为大分。而毎边之半即为小分。见球内容十二面体法】试依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形。则丑巳与已卯亦皆为全分。巳卯既为全分。而丙卯又为小分。则巳丙即为大分。丑已丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形【寅辰丑勾股形之丑角与寅角并之共九十度。而寅长丑勾股形之丑角与丑已丙勾股形之丑角并之亦共九十度。故此二勾股形之已丑丙角与丑寅辰角为相等。辰角与巳角又同为直角。其余一角亦必等。故为同式形】丑已丙勾股形之丑巳股为全分。则己丙勾为大分。寅辰丑勾股形之寅辰股为全分。则辰丑勾亦即为大分。故以寅辰圆球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比。即同于理，分中末线之全分与大分之比也。又凡五等边形，自心至边之垂线为大分，则自心至角之分角线即为倍小分。如丙午未申酉五等边形，其辰丑垂线为大分，则辰申分角线为倍小分。何以知之？盖丙未两角相对斜线为全分，则未甲一边为大分。而酉未与丙申两两角相对斜线相交，所截戌申一段即为小分，成连比例三率。故丙戌与戌未亦皆为大分，与未申等。试自戌至亥作戌亥垂线，平分丙未两角相对斜线于亥，则成丙亥戌勾股形，与辰丑申勾股形为同式形【辰丑申勾股形之辰角，当丑申半边所对之弧，为未申边所对之弧之一半，故辰丑申勾股形之辰角，与丙戌亥勾股形之丙角等，丑角与亥角又同为直角，其余一角亦必等，故为同式形】夫丙未为全分，则丙戌为大分；丙未为大分，则丙戌为小分。若以丙未之半丙亥为大分，则丙戌即为倍小分。故以辰丑垂线为大分，则辰申分角线，亦即为倍小分。今圆【定】球半径与每面中心至边之垂线之比，既同于全分与大分之比，则圆球半径与每面分角线之比，亦即同于全分与倍小分之比也。既得辰丑垂线，又得辰申分角线，则用股▯求勾法，求得丑申勾倍。

之得未申，即【率】圆球外切十二面体之每一边，既得每一边，又得每面中心至边之垂线，则以辰丑每面中心至边之垂线与未申一边相乘，折半，五因之得。丙午未申酉五等边形面积与寅【比】辰圆球半径相乘，三归之，得寅丙午未申酉一五角尖体积，十二因之，即得丙丁戊己庚十二面体之总积也。如有十二面体之一边求【例】内容圆球径，则求得十二面体中心至每面中心之立垂线，即内容圆球。之半径也，又用求球外各形之一边之以定率之圆【面】球径一○○○○○○。○○为一率【体】圆球外切十二面体之每一边，四四九○二七九七为二率，今所设【积】之圆球径一尺二寸，为三率，求得四率五寸三分八厘八豪三丝三忽。五防有【一】余即圆球外切十二面体。之一边【三】也，又用求球外各形之体积之定率比例，以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○。【二】○为一率，圆球外切十二面，体积六。九三七八六三六七为二【五】率今所设之圆球径一尺二寸，自乘再乘得一尺七百二十八寸，为三率，求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百【○】四十厘有余，即圆球外。切十二【三】面礼之积也。又用圆球积之定率比例，以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率，圆球外切十二。四三五八为二率，今所设之圆【豪】球径。一尺二寸，求得【零】圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余，为三率，求得四率一尺一百九十八寸八。百六十二分八百四十二厘有余【一】即圆球外切十二面体。之积也【忽】设如圆球径一尺二寸，求外切二十面体之每一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六，○一为二率，今【四】所设之圆球，径一尺二寸，折半得六寸，为三率，求得四率二寸二分九厘一豪七丝九忽。六【防】防有余为圆球外切二十面体，每一面中心至边之垂线，三因之得六寸八分七厘五豪三丝八忽八防有余，为每一面自一角至对边之中垂线，自乘三归四因，开平方得七寸九分三厘九。有余即圆【庚】球外切二十面体之每一边也。乃以二十面体之每一边，用等边三角形求面积法，求得每一面积。二十七寸二十九分一十九厘有余，与【二】圆球半径六寸相乘，三归之，得五十四寸五百八十三分八百厘有余，为一三角尖体积，二十因之，得一尺九十一寸六百七十六分有余，即圆球外切二十面。体之总积也【十】盖圆球外切二十面【面】体其圆球之外面皆切于各面【体】之中心圆球之半径即外切二十面体中心。至每一面中心之【按】立垂线，以圆球半径为理分中末线之全分，则外切二十面体之每一面中【即三等边形内容圜半径】心至边之垂线为小分，每一面中心【即三等边形外切圜半径】至角之分角线为倍小分，其每一面自一角至对边之中垂线为三小分，如甲乙圆球径一尺二寸，外切丙丁戊己，其一面中垂线平分剖之，则成丙辛壬癸子丑不等边六角形，丙辛与癸子皆二十面体之每一边，丑丙辛壬、壬癸子丑皆为二十面体之每一面自一角至对边之中垂线，寅丑与寅卯皆为二十面体中心至每边正中之垂线，寅辰为二十面体中心至每面中心之立垂线，即圆球半径，辰丑为每面中心至边之垂线，辰丙为每面中心至角之分角线，今以寅辰为全分，则辰丑为小分，辰丙为倍小分，丙丑即为三小分也，何以知之，寅卯既为二十面体中心至每边正中之垂线，平分丙辛边于卯，故丙卯为每边之半，寅卯为全分，则丙卯为大分【盖二十面体中心至毎边正中之垂线为全分，则每边之半为大分，见球内容二十面体法】试依寅卯全分度作已卯寅丑正方形，则丑巳与已卯亦皆为全分，已卯既为全分，而丙卯又为大分，则已丙即为小分，丑巳丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形，丑已丙勾股形之丑巳股为全分，则巳丙勾为小分，寅辰丑勾股形之寅辰股为全分，则辰丑勾为小分故以寅辰圆【得】球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与小分之比也。

既得辰丑每面中心至边之垂线，则以三因之，即得丙丑每面自一角至对边之中垂线；而每面自一角至对边之中垂线自乘方为每边自乘方之四分之三。故以所得丙丑每面自一角至对边之中垂线自乘，三归四因，开平方，即得午未为【丙】圆球外切二十面体之每一边。既得午未一边，与丙丑每面自一角至对边之中垂线相乘，折半得丙午未一三角形面积，与寅辰圆球半径相乘，三归之，得寅丙午未一三角尖体积。二十因之，即丁戊己庚二十面体之总积也。如有二十面体之每一边求内容圆【四】球径则求得二十面体中心至每面中心之立。

垂线即内容　　　　　　　　　　　　　【率】圆球之半径也，又【一】用求球外各形之一边之定。率比例以定【尺】率之圆球径○○○○○○○○【九】为一率，圆球外切二十面体之每一边，六六一五八四五三为二率【十】今所设之圆球径一尺二寸，为三率，求得四率七寸九分三厘九豪零。一忽【一】四防有余，即圆球外切二。十面体【寸】之一边也「，」又用求球外各形。之体积之定【六】率比例以定。率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○。【百】○○○○○为一率，圆球外切二十面体积六三一七五六九【七】九九为二率，今所设之圆球径一尺二寸，自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率，求得。十六分零九十四厘有余，即圆【下】球外切二十面体之积。也，又用圆球积之定率，比例以定率之。【编】圆球积一○○○○○○○○○为一【卷】率圆球外切二十面体积一二○。六五、六六、九九、一为二率，今所【二】设之。圆球径一尺二【十】寸，求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余，为三率，求得四率一尺零九十一。寸六百七十六分零九十四【八】厘有余，即圆球外切二十面体之积也御制数理精蕴钦定四库全书