数度衍卷十一

数度衍卷十一

桐城　方中通　　撰递加【少广之四】

循次顺加一　二　三　四　五　六　七　八　九　十　十一超二位加一，三，五，七，九，十一，十三，此竒数超加也。二，四，六，八，十，十二，十四，此偶数超加也。

超三位四位五位加一，四，七，十，十三，十六，十九。此超三位加也。一，五，九，十三，十七，二十一。此超四位加也。一，六，十一，十六，二十一，二十六。此超五位加也。凡超位加，各审其母。如超二、超三、四、五，以至多位者，各以所超之数为母。其间少者易知，多者难定。大率以退位减之余数，即母也。

截三位较不论超与不超，凡截位较之，其前后二位数必倍于中。

位数如截一二三并一三为四即倍二也截一三五并一五为六即倍三也，截二、四、六，并二六为八，即倍四也，截二五八，并二八为十，即倍五也，截四八十二，并四与十二为十六，即倍八也，不拘前后，随意截较，无不▯合。

截四位较凡截四位，较之则前后二位数与中二位数等，如截一二三四并一四为五并二三亦五也截一三五七并一七为八，并三五亦八也。截二四六八，并二八为十，并四六亦十也。截二五八十一，并二与十一为十三，并五八亦十三也。截四八十二十六，并四与十六为二十，并八与十二亦二十也。通曰：「截竒位者，前后并必倍中位数；截偶位者，前后并必与中二位等。葢所截之位，自中向外，一损一益。中一位者，无可并而倍矣；中二位者，无可倍而并矣。」

截四位逓加逓减较通曰：凡截四位数，以中二位相加，减后一位数，余与前一位数等。如截一二三四，以二三相并得五，减后之一，余必前之四也。截一三五七，以三五相并得八，减后之一，余必前之七也。截二四六八，以四六相并得十，减后之二，余必前之八也。截二五八十一，以五八相并得十三，减后之二，余必前之十一也。截四八十二十六，以八与十二相并得二十，减后之四，余必前之十六也。若减前数，余必后数，可以互较。

超加求积法凡加数，不论超二、超三，但系逓加者，用此。式自一起至十三位得三十七问总积几何？曰：二百四。

十七术除首位一不用以次位四与末位三十七并得四十一自四至三十七系十二位即以十二乘四十一，得四百九十二，半之，得二百四十六，即十二位总积，再加首位一，得二百四十七，为十三位总积也。

顺加求积法式下行濶十五，问总积几何？曰：一百二十。术：取最下二位十四、十五相乘，得二百一十，半之得一百○五，即十。

四以至首位一之积也再并末位十五得一百二十为总积又术以末位十五与下位十六相乘得二百四十，半之得一百二十，亦合。

通曰相乘得其倍数者变三角为四角也半之则仍还三角矣如末位系七以六七相乘则末位七在外，成甲乙丙方形，折半止得六位之积。以末位七与下位八相乘，则末位七在内，成丁戊己方形，折半故得七位之积也。

顺加异首求积法首位不系一数，或二，或三，四为首者，用此。式首行四下，行十四，问总积几何？曰：九十九。术：以首位四并末位十四得十八为实以首位四减末位十四余一十加一得十一，此即位数也。以位数十一乘实十八，得一百九十八，半之得九十九，为总积。

四面顺加求积法式四面顺加，毎面底濶皆十二，问总积几何？曰六百五十。术：置底濶十二，另以十二加一为十三，乘之得一百五十六。又以十二加半为十二，五乘之得一千九百五十为实，以三除之得六百五十为总积。

长濶顺加求积法式长濶，顺加底濶八，长十三，问总积几何？曰：三百八十四。术：以底长十三减底濶八，余五，折半得二五，又加半得三，并长十三为十六，以濶八乘之得一百二十八，另以濶八加一为九乘之得一千一百五十二为实，以三除之得三百八十四为总积。通曰：四面顺加，自一面视之则为顺加以四面合视之则非顺加也。其加有二：一曰竒数之加，一曰自乘之加。如顶一加三得四，为第二层之积；四加五得九，为第三层之积；九加七得十六，为第四层之积。总以竒数逐渐加于毎层积上，故至十一层应加二十三得一百四十四，为第十二层之积。此竒数之加也。又如一至十二层，毎层以自乘数推之：首层一自乘仍是一；二层二自乘得四；三层三自乘得九；四层四自乘得十六；至十二层十二自乘得一百四十四，亦合各层之积。此自乘之加也。长濶顺加，自濶面视之则为顺加，自长面视之则为顺加，异首而四面合视之，其加亦有二：一曰逓四加周，一曰竒偶加积。如异首之首层为五，此层加法稍不同，先倍五为十，又加二得十二，为第二层之周。此后毎层加四：以十二加四得十六，为第三层之周；十六加四得二十，为第四层之周；二十加四得二十四，为第五层之周。如法加至第八层濶八长十二得周三十六，此逓四加周也。又如首层五加七得十二，为第二层之积；十二加九得二十一，为第三层之积；二十一加十一得三十二，为第四层之积。总以竒数渐加于毎层积上，加至第八层得积九十六，此竒数加积也。若前式濶八长十三，首层系六者，则偶数加积矣。

竒偶超加求积法竒数超加求积式末位十九，问总积几何？曰：一百。术：取末位十九外加一，得二十，半之得十，即一至十九之位。

数也以位数十自乘得一百为总积偶数超加求积式末位二十四问总积几何？曰：一百五。

十六术取末位二十四减半得十二即位数也以位数加一为十三，以乘位数十二，得一百五十六，为总积。

通曰用前超加求积法亦可超加求首尾数法若多中起，数超位逓加，但知位数及所超母数，或知首而不知尾，或知尾而不知首者，用此。超加求尾数，式超八逓加至十二位，首位三问尾位数。

几何曰尾位数九十一术于位数十二内减一存十一，与超母八相乘，得八十八，加首位三，得九十一，即尾位数。超加求首数，式超八逓加至十二位，尾位九十一，问首位数几何？曰：首位数三。术于位数十二内减一，存十一，与超母八相乘，得八十八，以减尾位九十一，余三，即首位数。

积和求位数及首尾二位数法若但举总数及超数及首尾和数，而不知系几位，不知首尾二位数者，用此。式超六逓加总积三百二十，首尾和一百六十，问位数。及首尾各几何？曰：四位，首位七十。一尾位，八十九术，以总积三百二。十为实，以首尾和一百六十，减半得八十，除实得四为位数。又以位数减一，余三，乘超母六，得十八为位母率。以位母率并首尾和一百六十，得一百七十八，半之得八十九为尾位数。以位母率减首尾和，余一百四十二，半之得七十一为首位数。

积较求首尾二位数法若但举总数及位数及首尾较数，而不知首尾二位数者，用此。

式超六逓加计六位总积四百九十八首尾之较三十问首尾各几何曰首位六十八尾位九十八术倍总积得九百九十六为实以位数六除之得一百六十六以较三十减之余一百三十六折半得六十八，为首位数。以首位数加较三十，得九十八，为尾位数。

超加求逐位细数法若但知位数总数及超母数，而不知毎位细数者，用此式。超三逓加计六位总积八十七，问逐位细数几何？曰：首位七，二位十三位十三，四位十六，五位十九，末位二十一。术：取位数六，除去第六数自一二三四至五，并得十五，以乘超母三，得四十五，以减总积八十七，余四十二为实，以位数六除之。得七为首位数，加超母三，得十为二位数，逓加超母得逐位数。通曰：「以位数减一位，如六位者止用五位，以超母三逓加之一位应三，二位应六，三位应九，四位应十二，五位应十五，乃并此五位应得之数为四十五，以减总积，余为实，亦可。」又式兄弟九人逓差三嵗，共二百○七嵗，问毎人嵗几何？曰：最小一人十一嵗，逐位加三得毎人嵗数。术：将九人除去一位，止作八人，自一至八并得三十六，乘逓差三得一百○八，以减共二百○七，余九十九为实，以九人除之，得一十一为最小一人之嵗数。又术通曰：以共二百○七嵗为实，以九人除之，得二十三为居中第五人之嵗数。凡竒数如九人者，可以用此；若系偶数如前式六位者，则以总积八十七为实，以六位除之，得十四五为居中二位率。又以超母三折半得一五为母率，以母率减中率，余十三为第三位之数；以母率并中率，得十六为第四位之数也。又式银九百九十六两，给八人，毎人逓差十七两，问毎人几何？曰：最少一人六十五两。术：将八人除去一人，止作七人，自一至七并得二十八，乘逓差十七得四百七十六，以减银九百九十六，余五百二十为实，以八人除之，得六十五为最少一人之银数。通曰：「九人、八人，皆位数也。差三、差十七，皆超母也。二百○七嵗、九百九十六两，皆总积也。」

超加求超母及逐位细数法若超位逓加，但知系几位及前几位共数，后几位共数，而不知超母及逐位细数者，用此。式：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八位，超加甲、乙二位，共数七十。

七己庚辛三位共数六十六问超母几何逐位细数几何，曰：超母三，甲位四十，辛位十九。术以甲乙二位二乘己庚辛共数六十六，得一百三十二。以己庚辛三位三乘甲乙共数七十七，得二百三十一。相减余九十九为实。又并甲乙位二，己庚辛位三，为五，减半得二五，以减总位八，余五五。以甲乙位二，己庚辛位三相乘得六，乘之得三十三为法。以法除实得三为超母，并入甲乙共数七十七，得八十，减半得四十为甲位数。若求己庚辛，则三分其己庚辛共数六十六，得二十二为居中庚位数，减超母三，余十九为辛位数。自甲向乙推之，则逓减超母；自辛向庚推之，则逓加超母。八位细数尽得也。如戊己庚辛四位共数九十四，以二分之得四十七，即己庚共数，并入超母三，得五十，减半得二十五为己位数也。

外包【少广之五】通曰：方者以八包一，每层加八，即超八逓加也。圆者以六包一，毎层加六，即超六逓加也。三角以九包一，毎层加九，即超九逓加也。然其形不同，而法又异，故専衍之。

包方法外周求积式，外周三十二，问总积几何？曰：八十一。术：除中心一，在外，以二层八与外周三十二相并，得四十。又以四十与外周三十二相乘，得一千二百八十，为实。以三层十六为法，除之，得八十。加中心一，得八十一，为总。

积通曰：「方径一周四，今八包一，径三。」周八者，何也？葢四隅之甲、乙、丙、丁。各以两面为一数也。若以两面俱作二数，则仍是径三周十二矣。积求外周式总积八十一，问外周几何？曰：三十二。术：去中心一，在外余八十。以三层十六乘之，得一千二百八十，为实。以二层八【即超母】为纵，用带纵开平方除之【详十二卷】得三十二为外周。外周求层式，外周三十二问，层几何曰：除心四层，连心五层。术以超母八除外周三十二，得四，即除心之层数也。加心一层，共五层。外周及层数求积式，外周三十二，除心四层，问总积几何？曰：八十一。术：除中心一，在外以二层八并，外周三十二，得四十，以四层乘之，得一百六十，减半得八十，加中心一，得八十一，为总积。

包圆法外周求积式，外周三十六，问总积几何？曰：一百二十七。术：除中心一，在外，以二层六与外周三十六相并，得四十二。又以四十二与外周三十六相乘，得一千五百一十二，为实，以三层十二，为法除之，得一百二十六，加中心一，得一百二十七，为总积。通曰：「圆径一周三，今六包一，径三，周六者何也？」葢其数隐而不见，须从径三之外作一大圜，切各小圜之边，而于大圜之上作。甲乙丙丁戊己六段，毎段截大圜周与小圜径等，是己得周六矣。又测子丑寅卯辰午六空处，每一空处得小圜半径，应折为三段，合甲乙丙丁戊己六段而为九，则仍是径三周九也。但六包一，六角而非圆，以此为率，亦得其成数也。

积求外周式总积一百二十七问外周几何曰三十六术去中心一在外余一百二十六以三层十二乘之得一千五百一十三为实以超母六【即二层】为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周外周求层式，外周三十六问，层几何？曰：除心六层，连心七层。术以超母六除外周三十六，得六，即除心之层数也。加心一层，共七层。外周及层数求积式，外周三十六，除心六层，问总积几何？曰：一百二十七。术：除中心一，在外，以二层六并，外周三十六，得四十二，以六层乘之，得二百五十二，减半得一百二十六，加中心一，得一百二十七，为总积。

包三角法外周求积式，外周三十六，问总积几何？曰九十一。术：除中心一，在外，以二层九与外周三十六相并，得四十五。又以四十五与外周三十六相乘，得一千六百二十，为实。以三层十八为法，除之，得九十。加中心一，得九十一，为总积。

积求外周式总积九十一问外周几何曰三十六术除中心一在外余九十以三层十八乘之得一千六百二十为实以超母九为纵用带纵开平方法除之得三十六为外周外周求层式，外周三十六问，层几何？曰：除心四层，连心五层。术以超母九除外周三十六，得四，即除心之层数也。加心一层，共五层。外周及层数求积式，外周三十六，除心四层，问总积几何？曰：九十一。术：除中心一，在外以二层九并，外周三十六，得四十五，以四层乘之，得一百八十，减半得九十，加中心一，得九十一，为总积。通曰：「方圆三角皆一法也，但超母不同耳。用前超加求积法，亦可。」

包立方立圆立三角法通曰：「立方、圆、三角之外包，非逓加也。立方以二十六包一，三层则九十八，四层则二百一十八。立圆以十四包一，三层则五十四，层则一百一十。立三角以三十四包一，三层则一百三十四，层则三百八十一。数不相等，故不可以超加论也。」立方面求层式，立方面九问层几何？曰：除心四层，连心五层。术通曰：以面九去中心一，存八，折半得四，即除心之层数也。加心一为五层，毎层一面加二，故二数为一层也。立方层求面式，立方除心四层，问面几何？曰：九术通曰：“以四层倍之为八，如中心一，得九，即方面。”立方面求外包式，立方面九问，外包几何？曰：三百八十。六术通曰：「用六方算之，先推前后以」面九自乘得八十一，倍之得一百六十二为前，后包数次推左右，以面九。减二【近前之边去一，近后之边去一】余七与面九相。乘得六十三，倍之得一百二十六，为左右包数。再推上下，以面九减二余七，自乘得四十九【左右止去前后之边一，故七九相乘；上下则左右前后之边各去一，故七自乘】倍之得九十八，为上下包数。并三包数得三百八十六，为外包数。又术通曰：以面九自乘得八十一，再乘得七百二十九，为全积。以面九减二余七，自乘得四十九，再乘得三百四十三，以减全积，余三百八十六，为外包。又术通曰：以面九减一余八，与面九相乘得七十二，四倍之得二百八十八。又以面九减二余七，自乘得四十九，倍之得九十八，相并得三百八十六，亦合。立圆径层相求式通曰：与立方同术，毎层一面亦加二，故也。中心亦作一层。<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷十一>三余六，为第三重之周包数；减三余三，为第二重之周包数；顶重止一数，并诸包数得三百六十一，为总腰包数；再并底包数得五百一十四，为外包数。若用前超加求积法，以第十六重之四十五为末位，求得积三百六十一，即总腰包数也。又术通曰：立三角，凡四面，一面为底，其三面皆腰，今分为左腰、右腰、后腰，以推之，如前术。既得底包数一百五十三之后，即以底十七减一，余十六，用顺加求积法，得积一百三十六，为左腰包数；又以底十七减二，余十五，用顺加求积法，得积一百二十，为右腰包数；又以底十七减三，余十四，用顺加求积法，得积一百○五，为后腰包数。并三腰包数得三百六十一，合总腰包数；再并底包数得五百一十四，亦合外包数也。

倍加【少广之六】

二因加一，二，四，八，十六，三十二，六十四，一百二十八。

三因加一，三，九，二十七，八十一，二百四十三。

求倍倍即母也，欲求其母者，则取挨身小数于本数中减之。以二减尽者，倍一也；以三减尽者，倍二也。如三十二，挨身小数为十六，以十六于三十二中减之，两回十六减尽矣，知是加一倍数。又如八十一，挨身小数为二十七，以二十七于八十一中减之，三回二十七减尽矣，知是加二倍数。

截三位较凡截取三位，以首尾二位相乘，其所得数与中一位之自乘数等如截二四八以二与八相乘得十六四自乘亦十六也如截三九二十七，以三与二十七相乘，得八十一。九自乘，亦八十一也。

截四位较以首尾二位相乘，其所得数与中二位相乘之数等，如截二四八十六，以二与十六相乘得三十二，四与八相乘亦三十二也。如截三九二十七八十一，以三与八十一相乘得二百四十三九与二十七相乘亦二百四十三也位数多者，凡偶位，歩歩首尾相乘，与挨身之中二位相乘等；凡竒位，歩歩首尾相乘，与中一位自乘等。一倍加求积法【一倍者，二因也】式自一、起加一倍、至末位得六十四，问总积几何？曰：一。

百二十七术取尾六十四倍之得一百二十八，于内减首一，余一百二十七，即七位总积也。用后式之术，亦可。二倍加求积法【二倍者，三因】也。式自一、起加二倍、至末位得八十一，问总积几何？曰：一。

百二十一术取尾八十一于内减首一余八十以倍母二【二倍，以二为倍母；三倍，以三为倍母】除之，得四十。再并尾八十一，得一百二十一，为总积。通曰：「倍母必减其因一数，故三因以二为倍母也。三倍、四倍，以至多倍，皆同此法，惟各用其倍母耳。」

半倍加求积法加一倍，又二之一者，即半倍加，即四六衰分也。如首位四，次位加首位四之半，为六也。式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九，问总积几何？曰：一百二十八又十六分之十一。术：取尾四十。

五又十六之九内减首四余四十一又十六之九以倍母半数除之【用竒零除法详笔算】得八十三又八之三，再并尾数，得一百二十八又十六之十一【用竒零加法】为总积。

倍加隔位合数法抽中一位，前与后合式，凡倍加数，不论共有几位，但就中抽取一位之数自乘，视所抽之位至首几位，则自乘之数必与此后几位相同也。如抽第五位，以十六自乘，得二百五十六，自首至十六，得五位，除第五本位，则前有四位也，其后四位之数必二百五十六矣。通曰：以前得四位，倍之得八，加所抽一位，得九，则所抽之位数自乘与第九位数同矣。抽中二位，前与后合式于多位之中，前抽一位，后抽一。

位相乘则视前抽之位去首几位后抽之位再去几位其数必与此相乘之数合也。如前抽第二位，其数二；后抽第四位，其数八。相乘得十六。前抽之位去首一位，则后抽之位再去一位，其数亦必十六也。倍抽减一，前合后式，不必算其前后之位，但视所抽为第几位倍其位数减一得后应合之位则所抽位数自乘必与后位数合也。如抽第三位，倍为六，减一得五，则第三位之四自乗得十六，必与第五位之数合也。减位倍抽，前合后式，先排倍数于右，次排位数于左，须除首位不算自次位作一位排之抽第几位倍之不必减一，即得应合之位，则所抽位之自乘，必与后位数合也。如抽第二位，倍为四，则第二位之四自乘得十六，必与第四位之数合也。减位并抽前合后式，抽两位之互乘，则并所抽之两位。

共为几位即知互乘之数必与其位数合也如抽第一位第三位二与八互乘得十六，以一位与三位并为四位，则第四位之数必十六也【互乘即相乘】以上皆首位起一者。异首减位倍抽及并抽式，若首位不自一、起，或二、或三、四起者，则抽一位，抽二位。其自乘互乘之数，皆先取首位之数除之，而后倍位并位，以求合数之位也。如抽第二位其数二十自乘得四百为实以首数五为法除之得八十，再倍第二位为四，则第四位之数必八十也。

又如抽第一位第三位其数十与四十互乘得四百为实，以首数五为法，除之，得八十。再并第一位、第三位为四，则第四位之数必八十也。截位合前积式，凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位。

以其所截位之数减一即合所截位以前各位之总积，凡自一起者，用之如截第七位，其数六十四，减一得六十三，即首位至六位之总积也。截位合前后积式，如右式，六十三为首至六位之总积。

若以此六位为主，加一得六十四，自乘得四千○九十六，减一得四千○九十五，即首至十二位之总积矣。葢以六位为主，以前管六位，以后亦管六位也。即以六加一倍，亦得十二位。通曰：凡倍一加者，随抽一位于其数内，减一，余必为以前诸位之总积也。如抽第三位四，减一余三，必为以前一位、二位之积三也。又如抽第四位八，减一余七，必为以前一位、二位、三位之积七也。故抽第十三位四千○九十六，减一余四千○九十五，必为以前首至十二位之总积也。又式借银一两，毎日加息一倍，至第六十四日，问共银几何？曰：一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十五两。术：试截四位，曰一，曰二，曰四，曰八，共积十五，加一为十六，自乘得二百五十六，内减一，余二百五十五，即系第八位之积。再加一，自乘得六万五千五百三十六，内减一，余六万五千五百三十五，即系第十六位之积。再加一，自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六，减一，余四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五，即系第三十二位之积。再加一，自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万○七百三十七亿○九百五十五万一千六百一十六，减一，即系第六十四位之积也。六十四位即六十四日也。通曰：「不必加减，以第五日之数自乘，得第九日之数；又自乘，得第十七日之数；又自乘，得第三十三日之数；又自乘，得第六十五日之数，减半为第六十四日之积也。葢五日加四，而为九日，倍四为八，故九日加八日而为十七日；倍八为十六，故十七日加十六日而为三十三日；倍十六为三十二，故三十三日加三十二日而为六十五日也。仿此推之，可至无穷。」《均输章》有三术，更觉简易。

数度衍卷十一<子部,天文算法类,算书之属,数度衍》>钦定四库全书