御制数理精蕴下编卷十七

御制数理精蕴下编卷十七

面部三角形边线角度相求

三角形边线角度相求三角形有直角者为勾股，无直角者作中垂线，分为两直角形，则亦成两勾股，是皆有其二而得其一，或有其三而分为二，防以边线相求者也。至于割圜之法，则凡三角形有一角，即有八线，皆成勾股，而可比例以相求，故三角形不论角之直与锐钝，要以角度为凖，而三角之度必与两直角之度等，角之大者所对之边亦大，角之小者所对之边亦小。凡三角三边，但知其三，而其余者悉可得，若直角则惟知其二，而其余者亦可得，此三角之法所由立，而测量之用所由广也。如知两角一边，求又一边者，以对所知之角与对所求之角为比，即如所知之边与所求之边为比也。知两边一角，求又一角者，以对所知之边与对所求之边为比，即如所知之角与所求之角为比也。或所知之一角在所知两边之间，而求又一角者，则角无所对之边，而边亦无所对之角，必用两边之和较与所知角之外角半弧之切线为比，而得所求两角与所知角之外角半弧之较，既得较而角度亦得矣。又如知三边而求三角者，则以三角形求中垂线法，分为两直角形，而三角自随之而得，或用三边之方面按法比例而得两直角形之各一角，既得一角而三角亦可得矣。若止有三角，则三边无所约束，故不成法，葢角度为虚率，而边线为实数，无实数而虚率可驭，总以比例四率展转用之，惟在分合有法，相度得宜耳。设如甲乙丙直角三角形，乙角为直角，九十度，知丙角五十七度，丙乙边五丈，求甲乙边几何？法以丙角五十七度与象限九十度相减，余三十三度为甲角。乃以甲角为对所知之角，其正▯五万四千四百六十四为一率；丙角为对所求之角，其正▯八万三千八百六十七为二率；丙乙边为所知之边，其数五丈为三率。求得四率七丈六尺九寸九分三厘有余，即甲乙为所求之边也。如丙丁戊一象限，己戊弧为丙角之正弧，己庚线为丙角之正▯；丁己弧为丙角之余弧，即甲角之正弧，辛己线为丙角之余▯，即甲角之正▯。是故丙角五十七度之余弧为三十三度，丙角五十七度之余▯为三十三度之正▯。己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形，故甲角正▯丙庚【即辛己】与丙角正▯己庚之比，同于丙乙边与甲乙边之比，为相当比例四率也。又法，以半径十万为一率，丙角五十七度之正切一十五万三千九百八十六为二率，丙乙边五丈为三率，求得四率七丈六尺九寸九分三厘，即甲乙边也。如丙丁戊一象限，切己戊弧，作庚戊线为丙角之正切，则丙戊为半径，庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形，故丙戊半径与庚戊正切之比，同于丙乙边与甲乙边之比，为相当比例四率也。设如甲乙丙直角三角形，乙角为直角，九十度，知丙角二十三度三十五分，甲乙边三十二丈，求丙乙边几何？

法以丙角二十三度三十五分与九十度相减，余六十六度二十五分，为甲角。乃以丙角为对所知之角，其正▯四万零八为一率；以甲角为对所求之角，其正▯九万一千六百四十八为二率；甲乙边为所知之边，其数三十二丈为三率，求得四率七十三丈三尺零三分有余，即丙乙为所求之边也。如丙丁戊一象限，己戊弧为丙角之正弧，己庚线为丙角之正▯；丁己弧为丙角之余弧，即甲角之正弧，辛己线为丙角之余▯，即甲角之正▯。故丙角二十三度三十五分之余弧为六十六度二十五分，丙角二十三度三十五分之余▯为六十六度二十五分之正▯。己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形，故丙角正▯己庚与甲角正▯丙庚之比，同于甲乙边与丙乙边之比，为相当比例四率也。又法以半径十万为一率，丙角二十三度三十五分之余切线二十二万九千零七十三为二率，甲乙边三十二丈为三率，求得四率七十三丈三尺零三分有余，即丙乙边也。如丙丁戊一象限，切丁己弧作丁庚线为丙角之余切，即甲角之正切，则丁丙为半径。丙丁庚与甲乙丙两勾股形为同式形，故丁丙半径与丁庚余切之比，同于甲乙边与丙乙边之比，为相当比例四率也。设如甲乙丙直角三角形，乙角为直角，九十度，知丙角四十三度三十七分，丙乙边二十一尺，求甲丙边几何？法以丙角四十三度三十七分与九十度相减，余四十六度二十三分，为甲角。乃以甲角为对所知之角，其正▯七万二千三百九十七为一率【甲角正▯即丙角余▯，或直用丙角余▯亦可】以乙角为对所求之角，其正▯即半径十万为二率，丙乙边为所知之边，其数二十一尺为三率，求得四率二十九尺零六厘有余，即甲丙为所求之边也。如丙丁戊一象限，己戊弧为丙角之正弧，丁己弧为丙角之余弧，即甲角之正弧，辛己线为丙角之余▯，即甲角之正▯【与丙庚等】己丙线为半径，即九十度之正▯，己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形，故甲角正▯丙庚与半径己丙之比，同于丙乙边与甲丙边之比，为相当比例四率也。又法，以半径十万为一率，丙角四十三度三十七分之正割一十三万八千一百二十七为二率，丙乙边二十一尺为三率，求得四率二十九尺零六厘有余，即甲丙边也。如丙丁戊一象限，切己戊弧，作庚戊线为丙角之正切，则丙戊为半径，庚丙为正割，庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形，故丙戊半径与庚丙正割之比，同于丙乙边与甲丙边之比，为相当比例四率也。设如甲乙丙直角三角形，乙角为直角，九十度，知丙角五十一度五十一分，甲丙边八十九丈零二寸二分，求甲乙边、丙乙边各几何？法以丙角五十一度五十一分与九十度相减，余三十八度零九分，为甲角。

求甲乙边，则以乙角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率；以丙角为对所求之角，其正▯七万八千六百四十为二率；甲丙边为所知之边，其数八十九丈零二寸二分为三率。求得四率七十丈零六分有余，即甲乙为所求之边也。求丙乙边，亦以乙角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率；而以甲角为对所求之角，其正▯六万一千七百七十二为二率；甲丙边为所知之边，其数八十九丈零二寸二分为三率。求得四率五十四丈九尺九寸有余，即丙乙为所求之边也。如丙丁戊一象限，己戊弧为丙角之正弧，己庚线为丙角之正▯，丁己弧为丙角之余弧，即甲角之正弧，辛己线为丙角之余▯，即甲角之正▯。己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形，故半径己丙与丙角正▯己庚之比，同于甲丙边与甲乙边之比，为相当比例四率。又半径巳丙与甲角正▯丙庚之比，同于甲丙边与丙乙边之比，为相当比例四率也。又法求甲乙边，以丙角五十一度五十一分之正割一十六万一千八百八十五为一率，其正切一十二万七千三百零六为二率，甲丙边八十九丈零二寸二分为三率，求得四率七十丈零六分有余，即甲乙边也。求丙乙边，则仍以丙角正割一十六万一千八百八十五为一率，而以半径十万为二率，仍以甲丙边八十九丈零二寸二分为三率，求得四率五十四丈九尺九寸有余，即丙乙边也。如丙丁戊一象限，己戊弧为丙角之正弧，庚戊线为丙角之正切，庚丙线为丙角之正割，庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形，故丙角正割庚丙与正切庚戊之比，同于甲丙边与甲乙边之比。又丙角正割庚丙与半径丙戊之比，同于甲丙边与丙乙边之比，皆为相当比例四率也。设如甲乙丙直角三角形，乙角为直角，九十度，知甲乙边二十丈，丙乙边三十四丈六尺四寸一分，求甲角、丙角各几何？法以甲乙边二十丈为一率，丙乙边三十四丈六尺四寸一分为二率，半径十万为三率，求得四率一十七万三千二百零五为甲角之正切，捡八线表得六十度，即甲角之度，与九十度相减，余三十度，即丙角之度也。如先求丙角，则以丙乙边三十四丈六尺四寸一分为一率，甲乙边二十丈为二率，半径十万为三率，求得四率五万七千七百三十五为丙角之正切，捡八线表得三十度，即丙角之度，与九十度相减，余六十度，即甲角之度也。如图，先求甲角，则如甲丁戊一象限，己戊弧为甲角六十度之弧，庚戊为甲角之正切，甲戊为半径，甲戊庚与甲乙丙两勾股形为同式形，故甲乙边与丙乙边之比同于甲戊半径与庚戊正切之比，为相当比例四率。先求丙角，则如丙丁戊一象限，己丁弧为丙角三十度之弧，辛丁为丙角之正切，丙丁为半径，丙丁辛与丙乙甲两勾股形为同式形，故丙乙边与甲乙边之比同于丙丁半径与辛丁正切之比，为相当比例四率也。

又法以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相加，得五十四丈六尺四寸一分，为两边之和，为一率。又以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相减，余一十四丈六尺四寸一分，为两边之较，为二率。以乙角之外角九十度折半，得四十五度，为半外角，其正切十万为三率【四十五度之正切与半径十万等】求得四率二十六万七千九百四十八，为半较角之正切。捡八线表得十五度，为半较角，与半外角四十五度相减，余三十度，即丙角之度。如以半较角十五度与半外角四十五度相加，得六十度，即甲角之度也。如图，甲乙丙直角三角形，以乙直角为心，甲乙小边为半径，作一甲戊丁圜，截丙乙大边于戊。将丙乙引长至圜界丁，则丁乙、戊乙俱为半径，与甲乙等。自丁至丙，即两边之和；自戊至丙，即两边之较。甲乙丁角，即乙角之外角。试自甲至戊作一甲戊线，则成甲乙戊直角三角形，其乙甲戊与乙戊甲二角相并与甲乙丁外角度等。今折半用其正切，即如用甲戊乙角之正切。又心角与边角度等，其切线亦等，故自甲至丁作一丁甲线，即甲戊丁角之正切。又戊甲丙角，即甲角大于甲戊乙角之较；又即丙角小于甲戊乙角之较。故于圜界戊至甲丙边己作己戊线，与甲丁线平行，即戊甲己角之正切。且丙丁甲三角形与丙戊己三角形为同式形，故两边之和丙丁与甲戊丁半外角切线甲丁之比，即同于两边之较丙戊与半较角切线己戊之比，为相当比例四率也。设如甲乙丙直角三角形，乙角为直角九十度，知甲乙边六十尺，丙乙边三十二尺，求甲丙边几何？法以甲乙边六十尺为一率，丙乙边三十二尺为二率，半径十万为三率，求得四率五万三千三百三十三，为甲角之正切，捡八线表得二十八度零四分，即甲角之度【如用丙乙边作一率，甲乙边作二率，即先得丙角度】乃以甲角为对所知之角，其正▯四万七千零五十为一率，乙角为对所求之角，其正▯即半径十万为二率，丙乙边为所知之边，其数三十二尺为三率，求得四率六十八尺零一分二厘有余，即甲丙为所求之边也。又既得甲角之后，用割线法则，以半径为一率，甲角之正割为二率，甲乙边为三率，求得四率即甲丙为所求之边也。或得丙角，则用丙角之正割为二率，丙乙边为三率，亦得甲丙边。若得丙角，仍用甲乙边为三率，则用丙角余割【即甲角之正割】为二率，而亦得甲丙边也。又法，用勾股求▯，以甲乙为股，丙乙为勾，求得▯，即甲丙边也。法已载于《勾股集》中。设如甲乙丙直角三角形，乙角为直角，九十度，知甲丙边一百零二丈二尺，丙乙边四十八丈，求甲角、丙角各几何？

法以甲丙边为对所知之边，其数一百零二丈二尺为一率，丙乙边为对所求之边，其数四十八丈为二率，乙角为所知之角，其正▯即半径十万为三率，求得四率四万六千九百六十六为甲角之正▯捡八线表得二十八度零一分，即甲角之度也。甲角之余▯即丙角之正▯如捡八线表余▯数得六十一度五十九分，即丙角之度也。如甲丁戊一象限，己庚爲甲角正▯辛己与甲庚等为甲角之余▯即丙角之正▯甲庚己与甲乙丙両勾股形为同式形，故甲丙边与丙乙边之比同于甲己半径与己庚正▯之比，为相当比例四率也。又法以丙乙边四十八丈为一率，甲丙边一百零二丈二尺为二率，半径十万为三率，求得四率二十一万二千九百一十六为丙角之正割。捡八线表得六十一度五十九分，即丙角之度也。其丙角之余割即甲角之正割，如捡余割数得二十八度零一分，即甲角之度也。如丙丁戊一象限，丙戊为半径，己戊为丙角之正切，己丙为丙角之正割，甲乙丙与己戊丙两勾股形为同式形，故丙乙边与甲丙边之比同与丙戊半径与己丙正割之比，为相当比例四率也。设如甲乙丙锐角三角形，知乙丙边三十二丈，乙角六十度，丙角四十六度，求甲乙边、甲丙边各几何？法以乙角六十度与丙角四十六度相加得一百零六度，与半圜一百八十度相减，余七十四度为甲角。求甲丙边，则以甲角为对所知之角，其正▯九万六千一百二十六为一率，以乙角为对所求之角，其正▯八万六千六百零三为二率，乙丙边为所知之边，其数三十二丈为三率，求得四率二十八丈八尺二寸九分有余，即甲丙为所求之一边也。求甲乙边，则仍以甲角为对所知之角，其正▯九万六千一百二十六为一率，而以丙角为对所求之角，其正▯七万一千九百三十四为二率，仍以乙丙边为所知之边，其数三十二丈为三率，求得四率二十三丈九尺四寸六分有余，即甲乙为所求之又一边也。如图甲乙丙三角形，作含三角形之圜，则每界角各对一弧，试自圜心丁作三角形各边之垂线，即将每角所对之弧平分一半，各成两心角，其每一心角与相当各界角之度等【见几何原本四卷第十三节】是以乙角所对甲丙弧原系一百二十度，今为丁庚癸垂线所平分，各为六十度，一为甲丁癸，一为癸丁丙，皆与乙角原度等。丙角所对甲乙弧原系九十二度，今为丁戊辛垂线所平分，各为四十六度，一为甲丁辛，一为辛丁乙，皆与丙角原度等。甲角所对乙丙弧原系一百四十八度，今为丁己壬垂线所平分，各为七十四度，一为乙丁壬，一为壬丁丙，皆与甲角原度等。乙己为乙丁壬角之正▯，己丙为壬丁丙角之正▯，亦即甲角之正▯。甲庚为甲丁癸角之正▯，庚丙为癸丁丙角之正▯，亦即乙角之正▯。

甲戊为甲丁辛角之正▯，戊乙为辛丁乙角之正▯，亦即丙角之正▯。故求甲丙边者，以乙己与甲庚之比，或己丙与庚丙之比皆同于乙，丙与甲丙之比，又如求甲乙边者，以己丙与甲戊之比，或乙己与戊乙之比，皆同于乙丙与甲乙之比，俱是半与半、全与全之比例，而各为相当比例四率也。又图求甲丙边者，则用甲丙为半径，自丙角至甲乙界作丙丁垂线，为甲角正▯，又依甲丙度截丙乙于戊，使戊乙与甲丙等【凡用正▯比例，因在圜内皆同半径，今使戊乙与甲丙相同，而后正▯之大小乃见】乃自戊至甲乙界，又作戊己垂线，为乙角正▯，观戊己小于丙丁，则知甲丙【同戊乙】亦小于乙丙，故甲角正▯丙丁与乙角正▯戊己之比，同于乙丙边与甲丙边之比，为相当比例四率也。又如求甲乙边者，则用甲乙为半径，自乙角至甲丙界作乙丁垂线，为甲角正▯，又依甲乙度截乙丙于戊，使戊丙与甲乙等，乃自戊至甲丙界，又作戊己垂线，为丙角正▯，观戊己小于乙丁，则知甲乙【同戊丙】亦小于乙丙，故甲角正▯乙丁与丙角正▯戊己之比，同于乙丙边与甲乙边之比，为相当比例四率也。又法求甲乙边，以乙角六十度之余切五万七千七百三十五，与丙角四十六度之余切九万六千五百六十九相加，得一十五万四千三百零四为一率，乙角之余割一十一万五千四百七十为二率，乙丙边三十二丈为三率，求得四率二十三丈九尺四寸六分有余，即甲乙边。求甲丙边，则仍以两角余切相加之一十五万四千三百零四为一率，而以丙角余割一十三万九千零一十六为二率，仍以乙丙边三十二丈为三率，求得四率二十八丈八尺二寸九分有余，即甲丙边也。此法葢以甲乙丙一鋭角三角形分为甲丁乙、甲丁丙两直角三角形，即如乙角六十度与象限九十度相减，余三十度为甲丁乙三角形之甲角，又丙角四十六度与象限九十度相减，余四十四度为甲丁丙三角形之甲角。乙角之余切戊己，即甲丁乙三角形之甲角之正切，如壬癸；乙角之余割己乙，即甲丁乙三角形之甲角之正割，如甲壬；而丙角之余切庚辛，即甲丁丙三角形之甲角之正切，如癸子；丙角之余割庚丙，即甲丁丙三角形之甲角之正割，如甲子。若乙角、丙角两余切相加，即两甲角正切相加之和，如壬子。甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形，甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形，故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形。是故求甲乙边者，以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比；求甲丙边者，以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比，皆为相当比例四率也。设如甲乙丙鋭角三角形，知甲角五十度，乙角七十度，乙丙边九丈七尺八寸，求丙角，甲乙边，甲丙边各几何？

法以甲角五十度与乙角七十度相加得一百二十度与半圜一百八十度相减余六十度为丙角。求甲乙边，则以甲角为对所知之角，其正▯七万六千六百零四为一率；以丙角为对所求之角，其正▯八万六千六百零三为二率；乙丙边为所知之边，其数九丈七尺八寸为三率。求得四率一十一丈零五寸六分有余，即甲乙为所求之一边也。求甲丙边，则仍以甲角为对所知之角，其正▯七万六千六百零四为一率；而以乙角为对所求之角，其正▯九万三千九百六十九为二率；仍以乙丙边为所知之边，其数九丈七尺八寸为三率。求得四率一十一丈九尺九寸六分有余，即甲丙为所求之又一边也。此法所知之角与边虽与前法少异，然总是有两角一边得其所，余一角则仍与前法同矣。设如甲乙丙钝角三角形，知乙角二十四度，丙角三十六度三十分，乙丙边七十九丈零一寸，求甲乙边、甲丙边各几何？法以乙角二十四度与丙角三十六度三十分相加得六十度三十分与半圜一百八十度相减余一百一十九度三十分为甲钝角。求甲乙边，则以甲钝角为对所知之角。夫甲角既为钝角，过九十度，乃用其外角。将甲角一百一十九度三十分与半圜一百八十度相减余六十度三十分为甲角之外角，其正▯八万七千零三十六为一率【凡钝角之外角，其正▯即钝角之正▯解见割圜集内】丙角为对所求之角，其正▯五万九千四百八十二为二率。乙丙边为所知之边，其数七十九丈零一寸为三率。求得四率五十三丈九尺九寸七分，即甲乙为所求之一边也。如求甲丙边，则仍以甲角为对所知之角，用其外角正▯八万七千零三十六为一率，而以乙角为对所求之角，其正▯四万零六百七十四为二率，仍以乙丙边七十九丈零一寸为三率，求得四率三十六丈九尺二寸三分有余【如既得甲乙边，而以丙角为对所知之角，其正▯为一率，甲乙边为所知之边，其数为三率，所得亦同】即甲丙为所求之又一边也。此法亦有两角一边，但甲为钝角，故用外角正▯求法畧异。试以求甲乙边言之，则甲乙边为半径，于甲角之外作乙丁垂线，则成乙甲丁之外角。其乙丁垂线即乙甲丁外角之正▯又按甲乙边度截乙丙边于戊，使戊丙与甲乙半径等，作戊己垂线，即丙角之正▯夫戊己丙与乙丁丙两勾股形为同式形，故乙甲丁外角之正▯乙丁与丙角之正▯戊己之比，即同于乙丙边与等甲乙边之戊丙之比，为相当比例四率也。其求甲丙边用外角正▯其理亦同。又法求甲乙边，以乙角二十四度之余切二十二万四千六百零四，与丙角三十六度三十分之余切一十三万五千一百四十二相加，得三十五万九千七百四十六为一率，乙角之余割二十四万五千八百五十九为二率，乙丙边七十九丈零一寸为三率，求得四率五十三丈九尺九寸七分有余，即甲乙边。

求甲丙边，则仍以两角余切相加之三十五万九千七百四十六为一率，而以丙角之余割一十六万八千一百一十七为二率，乙丙边七十九丈零一寸为三率，求得四率三十六丈九尺二寸三分有余，即甲丙边也。此法葢以甲乙丙一钝角三角形分为甲丁乙、甲丁丙两直角三角形，其乙角之余切戊己，即甲丁乙三角形之甲角之正切，如壬癸；乙角之余割己乙，即甲丁乙三角形之甲角之正割，如甲壬；而丙角之余切庚辛，即甲丁丙三角形之甲角之正切，如癸子；丙角之余割庚丙，即甲丁丙三角形之甲角之正割，如甲子；乙角、丙角两余切相加之数，即两甲角正切相加之和，如壬子；甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形，甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形，故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形，是以求甲乙边者，以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比；求甲丙边者，以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比，皆为相当比例四率也。设如甲乙丙钝角三角形，知乙角三十三度三十八分四十秒，丙外角五十五度五十三分，乙丙边一十六丈，求甲角、甲乙边、甲丙边各几何？法以乙角三十三度三十八分四十秒与丙外角五十五度五十三分相减，余二十二度一十四分二十秒，即甲角【取甲角当以丙外角与半圜一百八十度相减，余为丙钝角，仍以丙钝角与乙角相加，又与半圜一百八十度相减，余为甲角，今止以丙外角内减乙角，即得甲角者，葢因丙外角与乙甲二内角相倂之度等，又三角形三角相倂共为一百八十度，与半圜等，今于半圜内减去丙钝角所余为丙外角，而一百八十度内减丙钝角则余乙甲二角共度，是甲乙二角共度与丙外角之度等，故于丙外角内减去乙角即甲角也】求甲乙边，则以甲角为对所知之角，其正▯三万七千八百四十七为一率，以丙外角为对所求之角，其正▯八万二千七百九十为二率，乙丙边为所知之边，其数一十六丈为三率，求得四率三十五丈，即甲乙为所求之一边。求甲丙边，则仍以甲角为对所知之角，其正▯三万七千八百四十七为一率，而以乙角为对所求之角，其正▯五万五千四百零四为二率，仍以乙丙边为所知之边，其数一十六丈为三率，求得四率二十三丈四尺二寸二分有余【如既得甲乙边，而以丙外角为对所知之角，其正▯为一率，甲乙边为所知之边，其数为三率，所得亦同】即甲丙为所求之又一边也。此法亦有两角一边，与前法同，但先有外角少异耳。又法求甲乙边，以乙角三十三度三十八分四十秒之余切一十五万零二百五十九，与丙外角五十五度五十三分之余切六万七千七百四十八相减，余八万二千五百一十一为一率，乙角之余割一十八万零四百九十三为二率，乙丙边一十六丈为三率，求得四率三十五丈，即甲乙边。

求甲丙边，则仍以两角余切相减之八万二千五百一十一为一率，而以丙外角之余割一十二万零七百八十八为二率，仍以乙丙边一十六丈为三率，求得四率二十三丈四尺二寸二分有余，即甲丙边也。此法葢以乙丙边引长，自甲角作甲丁垂线，遂成甲丁乙、甲丁丙两直角三角形。甲丁丙三角形之丙角，即甲乙丙三角形之丙角之外角，其余切戊己，即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸。丙外角之余割己丙，即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬。甲乙丙三角形之乙角之余切庚辛，即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸。甲乙丙三角形之乙角之余割辛乙，即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子。甲丁丙三角形之丙角余切与甲丁乙三角形之乙角余切相减之数，即两甲角之正切相减之较如子壬。甲癸壬三角形与甲丁丙三角形为同式形，甲癸子三角形与甲丁乙三角形为同式形，故甲子壬三角形与甲乙丙三角形亦为同式形。是以子壬与甲子之比同于乙丙与甲乙之比，又子壬与甲壬之比同于乙丙与甲丙之比，皆为相当比例四率也。设如甲乙丙鋭角三角形，知甲角六十度，甲乙边四十丈，甲丙边二十六丈一尺零八分，求乙角、丙角及乙丙边各几何？法以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相加，得六十六丈一尺零八分，为两边之和，为一率。又以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相减，余一十三丈八尺九寸二分，为两边之较，为二率。以甲角六十度与半圜一百八十度相减，余一百二十度，为外角，折半得六十度，为半外角，其正切一十七万三千二百零五，为三率。求得四率三万六千三百九十七，为半较角之正切。捡八线表得二十度，为半较角。与半外角六十度相减，余四十度，即乙角之度。如以半较角二十度与半外角六十度相加，得八十度，即丙角之度也。既得乙丙两角，即以丙角为对所知之角，其正▯九万八千四百八十一，为一率。以甲角为对所求之角，其正▯八万六千六百零三，为二率。甲乙边为所知之边，其数四十丈，为三率。求得四率三十五丈一尺七寸五分有余，即乙丙为所求之边也。如图，甲乙丙鋭角三角形，以甲角为心，甲丙小边为半径，作一丙丁戊圜，截甲乙大边于戊。将甲乙引长至圜界丁，则甲丁、甲戊俱为半径，与甲丙等。自丁至乙，即两边之和；自戊至乙，即两边之较。丁甲丙角，即甲角之外角。试自丙至戊作一丙戊线，则成甲丙戊三角形，其甲丙戊与甲戊丙二角并之，与丁甲丙外角度等。今折半用其正切，即如用丁戊丙角之正切。又心角与边角度等，其切线亦等，故自丙至丁作一丙丁线，即丁戊丙角之正切。又戊丙乙角，即丙角大于甲戊丙角之较，亦即乙角小于甲戊丙角之较。

故自圜界戊至乙丙边己作己戊线，与丙丁平行，即戊丙己角之正切。且乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形，故两边之和丁乙与丁戊丙半外角切线丁丙之比，即同于两边之较戊乙与半较角切线戊己之比，为相当比例四率也。又法，自丙角作丙丁垂线，分为丙丁甲、丙丁乙两直角形，算之。先用丙丁甲直角形求丙丁垂线及甲丁分边。以丁角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率；以甲角为对所求之角，其正▯八万六千六百零三为二率；甲丙边为所知之边，其数二十六丈一尺零八分为三率，求得四率二十二丈六尺一寸有余，为丙丁垂线。又以丁角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率；以甲角六十度与九十度相减，余三十度，即甲丙丁角【即丙之分角】为对所求之角，其正▯五万为二率【直用甲角余▯亦可】甲丙边为所知之边，其数二十六丈一尺零八分为三率，求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边。既得甲丁分边，乃与甲乙边四十丈相减，余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边。于是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙边。以丁乙二十六丈九尺四寸六分为一率，丙丁二十二丈六尺一寸有余为二率，半径十万为三率，求得四率八万三千九百零八为乙角正切，捡八线表得四十度为乙角。以乙角四十度与甲角六十度相加，得一百度，与一百八十度相减，余八十度为丙角。既得乙丙两角，则用两角一边求又一边之法算之，即得乙丙边矣。或先求乙丙边，则以丁乙二十六丈九尺四寸六分为勾，丙丁二十二丈六尺一寸为股，求得▯三十五丈一尺七寸五分有余，即乙丙边也。又法先求甲丁分边比例而得乙角。以半径十万为一率【即丁直角之正▯】以甲角六十度之余▯五万为二率【即丙分角之正▯】以甲丙边二十六丈一尺零八分为三率，求得四率十三丈零五寸四分，为甲丁分边。乃以甲丁分边十三丈零五寸四分为一率，以甲丁分边与甲乙全边四十丈相减，余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边为二率，甲角六十度之余切五万七千七百三十五为三率，求得四率一十一万九千一百七十六为乙角余切，捡表得四十度，即乙角也。如甲角之戊庚一象限，其庚己为甲角之余切，而庚己甲与甲丁丙为同式形。又如乙角之辛癸一象限，其壬癸为乙角之余切，而壬癸乙与乙丁丙为同式形。故甲丁与丁乙之比，同于庚己与壬癸之比也。又法用甲角余割余切求乙角丙角，以甲丙边二十六丈一尺零八分为一率，甲乙边四十丈为二率，甲角六十度余割一十一万五千四百七十为三率，求得四率一十七万六千九百一十一为甲角余切与乙角余切之共数，即甲丙丁与乙丙丁两分角之共切。

又将甲角六十度与象限九十度相减，余三十度，即甲丙丁之分角，捡其正切五万七千七百三十五，与两分角之共切一十七万六千九百一十一相减，余一十一万九千一百七十六为丁丙乙分角之正切，即乙角之余切，捡表得四十度，即乙角之度也。以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度，又与半圜一百八十度相减，余八十度，即丙角之度也。如甲乙丙鋭角三角形，作丙丁垂线，分为甲丁丙与乙丁丙两直角形，以丙角为心作一戊己庚半圜，则丙丁垂线平分于己，两边各成一象限。试与甲乙边平行作一辛壬线，则辛己一段为甲丙丁分角之正切，即甲角之余切，己壬一段为乙丙丁分角之正切，又即乙角之余切，而辛丙为甲丙丁分角之正割，亦即甲角之余割。辛壬丙与甲乙丙两三角形为同式形，故甲丙边与甲乙边之比，即同于甲角余割辛丙【即甲丙丁分角之正割】与甲丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛壬之比，为相当比例四率也。既得辛壬两分角之共切，内减去甲丙丁分角三十度之正切辛己，所余己壬为乙丙丁分角之正切，即为乙角之余切，捡表即得乙角也。设如甲乙丙钝角三角形，知甲角一百一十九度三十四分，甲乙边五十四尺，甲丙边三十六尺九寸，求乙角、丙角及乙丙边各几何？法以甲乙边五十四尺与甲丙边三十六尺九寸相加得九十尺九寸为两边之和为一率，又以甲乙边与甲丙边相减余一十七尺一寸为两边之较为二率，以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分为外角，折半得三十度一十三分为半外角，其正切五万八千二百四十为三率，求得四率一万零九百五十六为半较角之正切，捡八线表得六度一十五分为半较角，与半外角三十度一十三分相减余二十三度五十八分，即乙角之度，如以半较角六度一十五分与半外角三十度一十三分相加得三十六度二十八分，即丙角之度也。既得乙丙二角，求乙丙边，则以丙角为对所知之角，其正▯五万九千四百三十五为一率，甲外角为对所求之角【甲角为钝角故用外角】其正▯八万六千九百七十八为二率，甲乙边为所知之边，其数五十四尺为三率，求得四率七十九尺零二分四厘有余，即乙丙边也。如图，甲乙丙钝角三角形，以甲角为心，甲丙为半径作一丙丁戊圜，其乙丁为两边之和，乙戊为两边之较，丙丁为半外角之正切，己戊为半较角之正切，乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形，故以两边之和乙丁与丁戊丙半外角切线丙丁之比，即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比，为相当比例四率也。又法，自丙角作丙丁垂线于形外，成丙丁乙与丙丁甲两直角形，先用丙丁乙直角形求丙丁垂线及甲丁虚边，以丁直角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率，以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分即甲外角为对所求之角，其正▯八万六千九百七十八为二率，甲丙边为所知之边，其数三十六尺九寸为三率，求得四率三十二尺零九分五厘为丙丁垂线，又以丁直角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率，又以甲外角六十度二十六分与九十度相减，余二十九度三十四分为甲丙丁角【即丙外分角】为对所求之角，其正▯四万九千三百四十四为二率【如直用甲外角之余▯为二率亦可】甲丙边为所知之边，其数三十六尺九寸为三率，求得四率十八尺二寸零八厘为甲丁虚边，与甲乙边五十四尺相加，得七十二尺二寸零八厘为乙丁全边。

又以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为一率，丙丁垂线三十二尺零九分五厘为二率，半径十万为三率，求得四率四万四千四百四十八为乙角正切，捡八线表得二十三度五十八分为乙角之度，与甲外角六十度二十六分相减，余三十六度二十八分即丙角之度【甲外角与乙丙二内角等，故减去乙角余即丙角】既得乙丙二角，则用两角一边求又一边之法算之，即得乙丙边，或先求乙丙边，则以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为股，丙丁垂线三十二尺零九分五厘为勾，求得▯七十九尺零二分，即乙丙边也。又法用甲角余割余切求乙角丙角，以甲丙边三十六尺九寸为一率，甲乙边五十四尺为二率，以甲外角六十度二十六分之余割一十一万四千九百七十一为三率，求得四率一十六万八千二百五十为甲外角余切与乙角余切之较数，乃以甲外角六十度二十六分之余切五万六千七百三十一与两余切之较相加，得二十二万四千九百八十一为乙角余切，捡表得二十三度五十八分即乙角之度，与甲角一百一十九度三十四分相加，得一百四十三度三十二分，与半圜一百八十度相减，余三十六度二十八分即丙角之度也。如甲乙丙钝角形，将甲乙边引长自丙角作丙丁垂线，遂成丙丁甲、丙丁乙两直角三角形。丙丁甲三角形之甲角，即甲乙丙三角形之甲角之外角。其余切戊己，即丙丁甲三角形之丙角之正切。如庚辛甲外角之余割，甲己即丙丁甲三角形之丙角之正割如庚丙。而丙丁乙三角形之乙角之余切壬癸，即丙丁乙三角形之丙角之正切如子辛。若丙丁乙三角形之乙角余切与丙丁甲三角形之甲角余切相减，即两丙角相差之较如子庚。丙辛庚三角形与丙丁甲三角形为同式形，丙辛子三角形与丙丁乙三角形为同式形，故丙庚子三角形与丙甲乙三角形亦为同式形。是以甲丙边与甲乙边之比，同于甲外角余割庚丙【即甲己】与两余切之较子庚之比，为相当比例四率也。既得子庚两余切之较与甲外角之余切庚辛【即戊己】相加，得子辛即乙角之余切。捡表得乙角度。既得乙角，则以乙角与甲角相并，与半圜相减，余即丙角矣。设如甲乙丙鋭角三角形，知乙角六十度，甲乙边八十丈，甲丙边七十丈三尺四寸，求甲角、丙角及乙丙边各几何？法以甲丙边为对所知之边，其数七十丈三尺四寸为一率，甲乙边为对所求之边，其数八十丈为二率，乙角为所知之角，其正▯八万六千六百零三为三率，求得四率九万八千四百九十六为丙角正▯，捡表得八十度零三分，即丙角度也。既得丙角度，则以乙角六十度与丙角八十度零三分相加，得一百四十度零三分，与一百八十度相减，余三十九度五十七分，即甲角度也。

既得甲角，求乙丙边，则以乙角为对所知之角，其正▯八万六千六百零三为一率，甲角为对所求之角，其正▯六万四千二百一十二为二率，甲丙边为所知之边，其数七十丈三尺四寸为三率，求得四率五十二丈一尺五寸三分有余，即乙丙为所求之边也。又法用余割求丙角，以甲乙边八十丈为一率，甲丙边七十丈三尺四寸为二率，乙角六十度之余割十一万五千四百七十为三率，求得四率十万一千五百二十六为丙角余割，捡表得八十度零三分，即丙角度也。如甲乙丙鋭角三角形，作甲丁垂线，分为甲丁乙、甲丁丙两直角三角形，其乙角之余割戊乙，即甲丁乙三角形之甲角之正割；如甲庚，丙角之余割己丙，即甲丁丙三角形之甲角之正割；如甲辛。甲庚、辛与甲乙丙两三角形为同式形，故甲乙边与甲丙边之比，同于乙角余割甲庚【即戊乙】与丙角余割甲辛【即己丙】之比，为相当比例四率也。设如甲乙丙钝角三角形，知丙角一百一十度，甲乙边二十二丈五尺五寸，甲丙边十二丈，求甲角、乙角及乙丙边各几何？法以甲乙边为对所知之边，其数二十二丈五尺五寸，为一率；甲丙边为对所求之边，其数十二丈，为二率；丙角为所知之角，其外角七十度之正▯九万三千九百六十九，为三率。求得四率五万，为乙角正▯捡表得三十度，即乙角度也。既得乙角度，则以乙角三十度与丙角一百一十度相加，得一百四十度，与一百八十度相减，余四十度，即甲角度也。既得甲角，求乙丙边，则以乙角为对所知之角，其正▯五万为一率；甲角为对所求之角，其正▯六万四千二百七十九为二率；甲丙边为所知之边，其数十二丈为三率。求得四率十五丈四尺二寸七分，即乙丙为所求之边也。又法用余割求乙角，以甲丙边十二丈为一率；甲乙边二十二丈五尺五寸为二率；丙外角七十度之余割十万六千四百一十八为三率。求得四率一十九万九千九百七十七，为乙角之余割。捡表得三十度，即乙角度也。如甲乙丙钝角三角形，将乙丙边引长，自甲角作甲丁垂线，遂成甲丁丙、甲丁乙两直角三角形。甲丁丙三角形之丙角，即甲乙丙三角形之丙角之外角；其余割己丙，即甲丁丙三角形之甲角之正割；如甲辛；甲丁乙三角形之乙角之余割戊乙，即甲丁乙三角形之甲角之正割；如甲庚。甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形，故甲丙边与甲乙边之比，同于丙外角余割甲辛【即己丙】与乙角余割甲庚【即戊乙】之比，为相当比例四率也。设如甲乙丙鋭角三角形，知甲乙边一百二十二尺，甲丙边一百一十二尺，乙丙边一百五十尺，求甲乙丙三角各几何？法求丙角，以甲丙边一百一十二尺与乙丙边一百五十尺相乗，得一万六千八百尺，倍之得三万三千六百尺，为一率。

以甲丙边一百一十二尺自乘，得一万二千五百四十四尺；乙丙边一百五十尺自乘，得二万二千五百尺。以两边各自乘数相加，得三万五千零四十四尺。又以甲乙边一百二十二尺自乘，得一万四千八百八十四尺，与两边各自乘相加数三万五千零四十四尺相减，余二万零一尺六十尺，为二率。半径十万为三率，求得四率六万，为甲分角之正▯即丙角之余▯捡表得五十三度零八分，即丙角之度也。求乙角，则以甲乙边与乙丙边相乘得数倍之为一率，以甲乙边、乙丙边各自乘相加内减去甲丙边自乘之数余为二率，半径十万为三率，求得四率为甲分角之正▯即乙角之余▯捡表即得乙角之度也。或既得丙角，用两边一角比例之法，即得甲乙二角矣。此法葢以三边之面积互相加减，使面与面比而得线与线之比也。如甲乙丙三角形，自甲角至乙丙边作一甲丁垂线，分为甲丁丙、甲丁乙两勾股形。又作三边之各正方，复作两边相乘之长方。其甲丙戊己为甲丙边自乘之一正方，庚辛乙甲为甲乙边自乘之一正方，乙壬癸丙为乙丙边自乘之一正方，丙癸丑子为甲丙边与乙丙边相乘之一长方，倍之为丙癸卯寅一大长方。今于甲丙戊己与乙壬癸丙两正方相并数内减庚辛乙甲一正方，则是减去辰己午甲一正方，即如甲丙戊己之一正方，又减去庚辛乙午己辰一磬折形，即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊己之正方所多之较，其积与乙壬申未一长方等【寅之长方与未申癸甲丁丙、甲丁乙两勾股形同用一甲丁股，是以甲丙▯方内有甲丁一股方、丁丙一勾方，而甲乙▯方内有甲丁一股方乙丁一勾，方因两三角形同用一股，故其两▯较与两▯和相乘之数，两勾较与两勾和相乗之数必然相等。午乙即两▯之较，辰己与辛乙相并即两▯之和。庚辛乙午己辰磬折形，即两▯较与两▯和相乗之积，而乙未为两勾之较，乙丙为两勾之和。乙壬申未即两勾较与两勾和相乗之】所余为未申癸丙一长方。试以甲丁垂线引长，则平分未申癸丙一长方为未申酉丁与丁酉癸丙二长方。此二长方与丙癸丑子、子丑夘寅二长方同用一边，为二平行线内所有二方面互相为比，同于其底互相为比之例。故丙癸夘寅之长方与未申癸丙之长方之比，即同于丙寅边与未丙边之比也。又比例之理全与全半【积所以知其相等也】与半之比例相同【为甲丙边与乙丙边相乗又加一倍之积】故丙癸夘丙之长方【即甲丙边乙丙边两正方相并内减甲乙边一正方所余之积】相比同于丙子边【与甲丙边同】与丁丙边之比也。又甲丙边即如甲丁垂线所分丁直角之正▯，而甲丁垂线所分之丁丙边即如甲分角之正▯，是以甲丙边与乙丙边相乘加倍之丙癸夘寅长方积为一率，甲丙边乙丙边两正方相并积内减甲乙边一正方所余未申癸丙长方积为二率，对丁直角之正▯半径十万为三率，求得四率为甲分角之正▯，即丙角之余▯也。

又求分边得角法，以乙丙边为底，其数一百五十尺，为一率，甲乙边大腰一百二十二尺，与甲丙边小腰一百一十二尺相加，得二百三十四尺，为二率，两边相减，余一十尺，为三率，求得四率一十五尺六寸，为分边之较，与乙丙边一百五十尺相减，余一百三十四尺四寸，折半得六十七尺二寸，为丁丙分边之数，乃以甲丙边为对所知之边，其数一百一十二尺，为一率，丁丙分边为对所求之边，其数六十七尺二寸，为二率，丁角为所知之角，其正▯半径十万，为三率，求得四率六万，为甲丁丙三角形之甲角正▯又即丙角之余▯捡表得五十三度零八分，为丙角之度，既得丙角，则用两边一角比例之法，遂得甲乙二角矣，如图，以甲角为心，甲丙小边为半径，作一戊丙己庚圜，截甲乙边于庚，截丙乙边于戊，将甲乙引长至圜界己，则甲己与甲丙等，自己至乙即两边之和，自庚至乙即两边之较，乙戊即乙丁、丁丙两分边之较，是故分边之和乙丙与两边之和己乙之比，即同于两边之较庚乙与分边之较乙戊之比，为转比例四率也。又法以甲乙边一百二十二尺，乙丙边一百五十尺，甲丙边一百一十二尺，三数相加得三百八十四尺，为三边之总，折半得一百九十二尺，为半总，以甲乙边一百二十二尺与半总一百九十二尺相减，余七十尺，为甲乙边与半总之较，以乙丙边一百五十尺与半总一百九十二尺相减，余四十二尺，为乙丙边与半总之较，以甲丙边一百一十二尺与半总一百九十二尺相减，余八十尺，为甲丙边与半总之较，乃以半总一百九十二尺为一率，甲丙边与半总之较八十尺为二率，甲乙边与半总之较七十尺与乙丙边与半总之较四十二尺相乗，得二千九百四十尺为三率，求得四率一千二百二十五尺，开方得三十五尺，为三角形自中心至三边之垂线，先求丙角，则用甲乙边与半总之较七十尺为一率，三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率，半径十万为三率，求得四率五万，为丙半角之正切，捡表得二十六度三十四分，倍之得五十三度零八分，即丙角之度也，如先求乙角，则用甲丙边与半总之较八十尺为一率，先求甲角，则用乙丙边与半总之较四十二尺为一率，俱用三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率，半径十万为三率，即各得各半角之正切焉，此法葢一率二率以线与线为比，三率四率以面与面为比也，如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线，又自中心丁至三角各作一分角线，即成六直角三角形，俱两两相等【辛为三边之半总即三较之和，丁己丙与丁庚丙等，丁己乙与】又按甲戊度引乙丙线至【丁戊乙等，丁戊甲与丁庚甲等】辛则乙【乙己与乙戊等，即甲丙边与半总之较，己丙与丙庚等，即甲乙之面边与半总之较，丙辛与甲戊甲庚等，即乙丙边与半总】试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形，则壬辛与丁己平行，乙辛壬形与乙己丁形遂为同式形。

其乙辛与乙己之比，即同于壬辛与丁己之比。然乙辛一率，乙己二率之数虽有，而壬辛之数却无。又但知己丙与丙辛相乘之数，即丁己与壬辛相乘之数，故以己丙与丙辛相乘之数为三率【之较何以知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数？试作壬丙线，壬癸线，使丙癸与丙辛等，癸角、辛角皆为直角。癸丙辛角与辛壬癸角相合，共成一百八十度。然庚丙己角为癸丙辛角之外角，相合亦共成一百八十度，是庚丙己角与辛壬癸角等，庚丁己角与癸丙辛角等，是以壬癸丙辛形与丙庚丁己形为同式形，而丙辛壬勾股形与丁巳丙勾股形亦为同式形，可互相比例矣。以丁己作一率，己丙作二率，丙辛作三率，即得四率壬辛，是以己丙二率与丙辛三率相乘之数，即与丁己一率壬辛四率相乘之数等，故直以己丙丙辛相乘之数作三】其所得四率即丁己自乘之数，是故乙辛与【率也】乙己之比，同于丁己与壬辛相乘【即己丙与丙辛相乗之面】与丁己自乘之面之比也。既得丁己自乘之面，故开方而得丁己为三角形自中心至三边之垂线，与丁戊与丁庚俱相等，又即三角形容圜之半径也。

制数理蕴下编卷十七<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书