庄氏算学卷七
庄氏算学卷七
淮徐海道庄亨阳撰正方体边求积法以边数自乗得平方面积，再以边数乗之得立方体积。如系米糓，则用石法除之，得石斗各数【二千五百寸为一石，二百五十寸为】【一斗二十五寸为一升】凡筭积糓法，皆同。
倍积求边【设正边二尺】法以每边二尺自乗，再乗得八尺，倍之得十六尺，开立方得二尺五寸一分有余，即所求边数。
八倍积求边将边数加倍即得长方体边求积法以长边与濶边相乗得长方面积，再与髙数相乗得长方体积。○如系米糓，则用石法除之，得石斗各数。倍积求边【设长一尺二寸，濶八寸，髙四寸，今将其积倍之，仍与原形同式，问长濶髙】法用正立方比例，先以长一尺二寸自乗，再乗得立方积一尺七百二十八寸，倍之得三尺四百五十六寸，开立方得一尺五寸一分一厘有余，即所求之长。再用比例以求濶与髙，以原长一尺二寸为一率，原濶八寸为二率，今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率，求得四率一尺零七厘有余，即所求之濶。又以原长一尺二寸为一率，原髙四寸为二率，今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率，求得四率五寸零三厘有余，即所求之髙。
长圆体圆周及髙求积【设圆周二十四尺，髙十尺】法用圆周求面积，法求得圆径七尺六十三寸九十五分有余，又求得圆面积四十五尺八十三寸六十六分有余，为圆面积，再与髙十尺相乗，得四百五十八尺三百六十六寸有余，即所求之长圆体积。○如系米糓或米窖，问盛米几何，俱以石法除体积，得石斗各数，有径求积法同。积及髙求周径【设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径】法以石法二千五百寸与米数相乗，得四百尺为圆窖积，以髙十尺除之，得四十尺为圆窖面积，乃用圆面积求径法【用圆周三五五方周四五二比例开平方】求得圆径七尺一寸三分六厘有余，即所求之圆径，再用径求周法【径二三周三五五比例】求得二十二尺四寸一分九厘有余，即所求之圆周。
带纵较数立方带纵立方者，两两等边长方体积也。髙与濶相等，惟长不同者，为带一纵立方。长与濶相等，而皆比髙多者，则为带两纵相同之立方。至于长与濶与髙皆不同者，则为带两纵不同之立方。开之之法，大槩与立方同，止有带纵之异耳。其带一纵之法，如以髙与濶相等，惟长不同为问者，则以初商为髙与濶，以之自乗，又以初商加縦数为长，以之再乗，得初商积。至次商以后，亦有三方亷、三长亷、一小隅。但其一方亷附于初商积之方面者，即初商数；其二方亷附于初商积之长面者，则带纵也；其二长亷附于初商积之方边者，即商数；其一长亷附于初商积之长边者，则带纵也。其带两縦相同之法，如以长与濶相等，皆比髙多为问者，则以初商加纵数为长与阔，以之自乗，又以初商为髙，以之再乗，得初商积。至次商以后，其一方亷附于初商积之正面者，则带两纵；其二方亷附于初商积之旁面者，则各带一縦也；其一长亷附于初商积之髙边者，即初商数；其二长亷附于初商积之长濶两边者，即各带一纵也。其带两纵不同之法，如以濶比髙多，长比濶又多为问者，则以初商为髙，又以初商加濶纵为濶，与髙相乗，又加长縦为长，以之再乗，得初商积。至次商以后，其一方亷附于初商积之正面者，则带两縦；其二方亷附于初商积之旁面者，则一带濶纵，一带长纵也；其一长亷附于初商积之髙边者，即初商数；其二长亷附于初商积之长濶两边者，则各带一纵也。惟小隅则无论带一纵、两纵，皆各以所商之数自乗再乗，成一小正方，其每边之数，即三方亷之厚，亦即三长亷之濶与厚焉。凡有几层亷隅，皆依次商之。例逓析推之，法虽不一，要皆本于正方，而后加带纵，故商出之数，皆为小边方体，共十二面边。若带一縦或带两縦相同者，则八。边相等，四边相等。若带两縦不同者，则每四边各相等。是故得其一边，加入纵多，即得各边也。
带一纵立方设带一纵立方积一百一十二尺，其髙与濶相等，长比髙濶多三尺，问髙濶长各几何？
法列积如开立方法商之其积一百一十二尺止可商四尺乃以四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙与濶【因髙与濶等故四尺即方之髙与濶也】加纵多三尺得七尺为长，即以髙与濶四尺自乗得一十六尺，又以长七尺再乗得一百一十二尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之髙与濶俱四尺，加纵多三尺得七尺，即立方之长也。如图，甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺，其甲乙为髙，甲己为濶，己戊为长，甲乙、甲己俱四尺，己戊为七尺，己戊比己庚多三尺，即所带之縦。甲乙壬辛庚己正方形，即初商之正方积；庚辛壬丙丁戊扁方形，即带纵所多之扁方积也。
设如带一纵立方积二千四百四十八尺，其髙濶相等，长比髙濶多五尺，问髙濶长各几何？法以初商积二千尺，商十尺，书于原积二千尺之上，而以所商十尺为初商之髙濶，加縦多五尺，得十五尺，为初商之长。即以初商之髙濶十尺自乗，得一百尺，又以初商之长十五尺再乗，得一千五百尺，书于原积之下，相减余九百四十八尺，为初商积。乃以初商之髙濶十尺自乗，得一百尺，又以初商之髙濶十尺与初商之长十五尺相乗，得一百五十尺，倍之得三百尺，两数相并得四百尺，为次商三方亷面积，以除次商积九百四十八尺，足二尺，则以二尺书于原积八尺之上，合初商次商共一十二尺，为初商次商之髙濶加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙濶俱十二尺其长为十七尺也设带两纵相同立方积五百六十七尺其长濶俱比髙多二尺问长濶髙各几何法以共积五百六十七尺，可商八尺，因留两纵积，故取略小数商七尺，乃以七尺书于原积七尺之上，而以所商七尺为髙，加纵多二尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺，书于原积之下，相减恰尽，是知立方之髙为七尺，加纵多二尺得九尺，即立方之长与濶也。设如带两纵不同立方积三千零二十四尺，其濶比髙多二尺，其长比濶又多四尺，问髙濶长各几何？法以初商积三千尺，商十尺，书于原积三千尺之上，而以所商十尺为初商之髙，加濶比髙多二尺，得十二尺，为初商之濶，再加长比濶多四尺，得十六尺，为初商之长，即以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗，得一百二十尺，又以初商之长十六尺再乗，得一千九百二十尺，书于原积之下，相减余一千一百零四尺，为次商积，乃以初商之濶十二尺与初商之长十六尺相乗得一百九十二尺，又以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺，又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺，三数相并得四百七十二尺，为次商三方亷面积，以除次商积一千一百零四尺，足二尺，则以二尺书于原积四尺之上，合初商次商共十二尺，为初商次商之髙，加濶比髙多二尺，得十四尺，为初商次商之濶，再加长比濶多四尺，得十八尺，为初商次商之长。乃以初商次商之髙十二尺与初商之濶十四尺相乗，得一百六十八尺。又以初商次商之长十八尺再乗，得三千零二十四尺，与原积相减，恰尽。即知立方之髙十二尺，其濶为十四尺，其长为十八尺也。
直线体设正方体每边二尺，今将其积倍之，问得方边几何？法以每边二尺自乗，再乗得八尺，倍之得十六尺，开立方得二尺五寸一分有余，即所求之方边数也。如图，甲乙丙丁正方体，每边二尺，其体积八尺，倍之得一十六。
尺即如戊己庚辛正方体积每边二尺五寸一分有余设长方体长一尺二寸，濶八寸，髙四寸。今将其积倍之，仍与原形为同式形，问得长、濶、髙各几何？法以长一尺二寸自乗，再乗得一尺七百二十八寸，倍之得三尺四百五十六寸，开立方得一尺五寸一分一厘有余，即所求之长。既得长，乃以原长一尺二寸为一率，原濶八寸为二率，今长一尺五寸一分一厘有余为三率，求得四率一尺零七厘有余，即所求之濶也。又以原长一尺二寸为一率，原高四寸为二率，今长一尺五寸一分一厘有余为三率，求得四率五寸零三厘有余，即所求之髙也。或以濶八寸自乗，再乗倍之，开立方亦得一尺零一厘有余，为所求之濶；以髙四寸自乗，再乗倍之，开立方亦得五寸零三厘有余，为所求之髙也。如图甲乙丙丁长方体，甲乙髙四寸，丁戊濶八寸，甲戊长一尺二寸，将其积倍之，即如己庚辛壬长方体，此两长方体积之比例，即如相当二界各作两正方体积之比例也。
设堑堵体，形濶五尺，长十二尺，髙七尺，问积几何？法以濶五尺与长十二尺相乗得六十尺。又以髙七尺，再乗得四百二十尺，折半得。二百一十尺，即堑堵体形之积也。又法以濶五尺与髙七尺相乗得三十五尺，折半得一十七尺五寸，与长十二尺相乗得二百一十尺，即堑堵体形之积也。如图，甲乙丙丁戊己堑堵体形，以甲乙髙与乙丙濶相乗，折半得甲乙丙一勾股面积，又与丙丁长相乗，即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也。设刍甍，体形濶四尺，长十二尺，髙四尺，问积几何？法以濶四尺与长十二尺相乗，得四十八尺，又与髙四尺相乗，得一百九十二尺，折半，得九十六尺，即刍甍体形之积也。又法，以濶四尺与髙四尺相乗，得一十六尺，折半得八尺，与长十二尺相乗，得九十六尺，即刍甍体形之积也。
如甲乙丙丁戊己刍甍体形，以乙丙濶与甲庚相乗，折半得甲乙丙三角形面积，又与丙丁长相乗，即得甲乙丙丁戊己刍甍体形之积也。设方底尖体，形底方，每边五尺，自尖至四角之斜线皆六尺，问尖至底中垂线之髙几何？法以底方每边五尺求对角斜线，法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余，折半得三尺五寸三分五厘五毫三丝有余为勾，以自尖至底四角斜线六尺为▯，用勾▯求股法，求得股四尺八寸四分七厘六毫八丝有余，即自尖至底中立垂线之髙数也。如图甲乙丙丁戊方底尖体形，先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线，折半于己，得乙己为勾，以自尖至角之甲乙斜线为▯，求得甲己股，即自尖至底中立垂线之髙也。
又法以底方每边五尺为平面三角形之底，以自尖至四角之斜线六尺为两腰，角平面三角形求中垂线法，求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三毫五丝为▯，以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾，求得股四尺八寸四分七厘六毫七丝有余，即自尖至底中立垂线之髙数也。如图甲乙丙丁戊尖方体，其四面皆为平面三角形，一为甲乙丙，一为甲丙丁，一为甲丁戊，一为甲戊乙。任以甲乙丙三角形之乙丙为底，以甲乙、甲丙为两腰，求得甲庚中垂线，以甲庚为▯，底边折半得庚己为勾，求得甲己股，即自尖至底中立垂线之髙也。设方底尖体形，底方每边六尺，髙三尺，问积几何？法以下方每边六尺，自乗得三十六尺，又以髙三尺再乗得一百零八尺，三归之得三十六尺，即方底尖体形之积也。如甲乙丙丁戊方底尖体形，以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形，又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方体形，此扁方体与尖方体之底面积等，其髙又等，故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等也。设阳马体，形底方，每边六尺，髙亦六尺，问积几何？法以底方，每边六尺，自乗得三十六尺，又以髙六尺再乗得二百一十六尺，三归之得七十二尺，即阳马体形之积也。如甲乙丙丁戊阳马体形，以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形，又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方体形。此己乙丁甲一正方体之积，与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等，故三分之即得阳马体之积也。此阳马体形与尖方体形虽不一，而法。则同也，葢尖方体，形尖在正中，阳。马体形尖，在一隅。凡体形，其底面。积等，髙度又等，其体积必相等也。设如鼈臑，体形长与濶俱四尺，髙九尺，问积几何？法以长与濶四尺自乗得十六尺，以髙九尺再乗得一百四十四尺，六归之得二十四尺，即鼈臑体形之积也。葢鼈臑体即勾股面之尖体，如甲丙乙丁鼈臑体形，以丁丙长与乙丙濶相乗，成乙丙丁戊正方面形，以甲丁髙再乗，成甲庚戊乙丙己长方体形。此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等，而甲乙丙丁鼈臑体之积，又为甲戊、乙丙、丁阳马体积。之，一半阳马体，为长方体三分之一。则鼈臑体，又为长方体六分之一矣。设上下不等正方体形，上方每边四尺，下方每边六尺，髙八尺，问积几何？法以上方每边四尺，自乗得一十六尺；下方每边六尺，自乗得三十六尺。又以上方每边四尺与下方每边六尺相乗，得二十四尺。三数相并得七十六尺，与髙八尺相乗，得六百零八尺。三归之，得三百零二尺六百六十六寸有余，即上下不等正方体形之积也。
又法以上方边四尺与下方边六尺相减，余二尺，折半得一尺为一率，髙八尺为二率，下方边六尺折半得三尺为三率，求得四率二十四尺，为上下不等正方体形上补成一尖方体形之共髙。乃以下方边六尺自乗，得三十六尺，与所得共髙二十四尺相乗，得八百六十四尺，三归之，得三百八十八尺，为大尖方体之积。又以髙八尺与共髙二十四尺相减，余十六尺，为上小尖方体之髙。以上方边四尺自乗，得十六尺，与上髙十六尺相乗，得二百五十六尺，三归之，得八十五尺三百三十三寸有余，为上小尖方体之积。与大尖方体积二百八十八尺相减，余三百零二尺六百六十六寸有余，即上下不等正方体形之积也。
设上下不等长方体形，上方长四尺，濶三尺，下方长八尺，濶六尺，髙十尺，问积几何？法以上长四尺，与上濶三尺相乗，得十二尺，倍之得二十四尺；下长八尺，与下濶六尺相乗，得四十八尺，倍之得九十六尺。又以上濶三尺，与下长八尺相乗，得二十四尺；以下濶六尺，与上长四尺相乗，得二十四尺。四数相并，得一百六十八尺，与髙十尺相乗，得一千六百八十尺，六归之，得二百八十尺，即上下不等长方体形之积也。
又法，以上长四尺，倍之得八尺，加下长八尺，共十六尺，与上濶三尺相乗，得四十八尺。又以下长八尺，倍之得十六尺，加上长四尺，得二十尺，与下濶六尺相乗，得一百二十尺。两数相并，得一百六十八尺，与髙十尺相乗，得一千六百八十尺。六归之，得二百八十尺，即上下不等长方体形之积也。设上下不等刍甍，体形上长十尺，下长十四尺，下濶五尺，髙十二尺，问积几何？
法以上长十尺，与下濶五尺相乗，得五十尺，以髙十二尺再乗，得六百尺，折半得三百尺，为上下相等刍甍体积。又以上长十尺，与下长十四尺相减，余四尺，与下濶五尺相乗，得二十尺，以髙十二尺再乗，得二百四十尺，三归之得八十尺，与先所得上下相等刍甍体积三百尺相并，得三百八十尺，即上下不等刍甍体之积也。如甲乙丙丁戊上下不等刍甍体形，自其上棱之甲戊两端直剖之，则分为甲己辛壬戊一刍甍体，甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体。故以与上长相等之己庚与己辛濶相乗，即得己辛壬庚刍甍体之面积，与甲癸髙相乗，折半得甲己辛壬戊刍甍体积。又以甲戊上长与丙丁下长相减，所余丙辛壬丁二叚，即二尖方体之共长，与乙丙濶相乗得乙辛与庚辛二尖方体之底面积与髙相乗，三归之，即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积。与一甲己辛壬戊一刍甍积相加，即得甲乙丙丁戊一上下不等刍甍体之总积也。设两两平行边斜长方体形，长二尺四寸，濶八寸，髙二尺七寸，问积几何？
法以长二尺四寸与濶八寸相乗，得一尺九十二寸，又以髙三尺七寸再乗，得七尺一百零四寸，即两两平行边斜长方体形之积也。如图甲乙丙丁戊己斜长方体形，以乙丙濶与丙丁长相乗，得乙丙丁庚长方面积，以戊丙髙再乗，成己乙丙丁辛壬长方体。凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体，其积俱相等，故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体，必与己乙丙丁辛壬正立长方之体积为相等也。设空心正方体积一千二百一十六寸，厚二寸，问内外方边各几何？法以厚二寸自乗，再乗得八寸，八因之得六十四寸，与共积一千二百一十六寸相减，余一千一百五十二寸，六归之得一百九十二寸，用厚二寸除之，得九十六寸。
为内方边与外方边相乗长方面积，乃以厚二寸倍之，得四寸，为长濶之较，用带纵较数开平方法算之，得濶八寸，即内方边，得长一尺二寸，即外方边也。如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体，其甲丑即空心正方体之厚，以之自乗再乗八，因之得壬辛子癸类八小隅体，与空心正方体相减，则余空心正方体之六面，丑寅巳子类六长方扁体，六归之，得丑寅己子一长方扁体，用厚二寸除之，得丑寅夘辰一长方面积，其丑寅濶与戊己等，即内方边，其丑辰长与甲乙等，即外方边，其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等，丑戊辛辰并之，即长濶之较，故以厚二寸倍之，为带纵，求得濶为内方边，长为外方边也。
又法，以厚二寸，倍之得四寸，为内方边与外方边之较。自乗再乗，得六十四寸，与空心正方体积一千二百一十六寸相减，余一千一百五十二寸。三归之，得三百八十四寸。以内外方边之较四寸除之，得九十六寸，为长方面积。以内外方边之较四寸为长濶之较，用带纵较数开平方法算之，得濶八寸。即内方边加较四寸，得一尺一寸，即外方边也。设大小两正方体，大正方体比小正方体每边多四寸，积多二千三百六十八寸，问大小两正方边多几何？法以大正方边比小正方边所多之较，四寸，自乗再乗，得六十四寸，与大正方体比小正方体所多之积，二千三百六十八寸，相减余二千三百零四寸，三归之得七百六十八寸，以边较四寸除之得一百九十二寸，为长方。面积乃以边较四寸为长濶之较，用带纵较数开平方法算之，得濶十二寸，即小正方之边数，加较四寸得十六寸，即大正方之数也。如甲乙丙丁一大正方体，戊己庚辛一小正方体，试于甲乙丙丁大正方体减出戊己庚辛一小正方体，余壬申戊辛庚丙丁三面磬折体形，即大正方积比小正方积所多之较。甲戊为磬折体之厚，即大正方边比小正方边所多之较。此三面磬折体形依开立方次商法分之，则得癸子丑三方亷体，寅夘辰三长亷体，己一小隅体。以甲戊边较自乗再乗得己一小隅体，与磬折体积相减，余三方亷体三长亷体三。
归之则得癸一方亷体寅一长亷体共成午甲已未庚甲乙扁方体，其午甲厚与甲戊等，以午甲厚除之，则得甲乙庚未之长方面形。甲戊即长濶之较，故用带纵开平方法算之，得乙庚濶与戊乙等，即小正方之边数。以甲戊与戊乙相加，得甲乙，即大正方之边数也。
设大小二正方体共边二十四尺，共积四千六百零八尺，问两体之每边及体积各几何？法以共边二十四尺自乗，再乗，得一万三千八百二十四尺，内减共积四千六百零八尺，余九千二百十六尺，三归之，得三千零七十二尺，以共边二十四尺除之，得。
一百二十八尺为长方，面积乃以共边二十四尺为长濶和，用▯纵和数开平方法算之，得濶八尺，即小正方之边数，与共濶二十四尺相减，余十六尺，即大正方之边数也。如图，甲乙丙丁一大正方体，戊己庚辛一小正方体，以共边二十四尺自乗再乗，则成壬乙癸子一总。
正方体内减甲乙丙丁戊己庚辛大小两正方体之共积，余丑寅夘三方亷体，辰已午三长亷体，三归之，则得丑一方亷体，辰一长亷体，共成未壬乙丙戊甲一扁方体，用壬乙共边除之，则得未壬戊甲之长方面形。其未壬濶与壬申等，其壬戊长与甲乙等，故以壬乙共边为长濶和，用带縦和数开平方法算之，得未壬濶即小正方之边数，与长濶和相减，余壬戊长即大正方之边数也。设人立河坡平处，欲知水边低于平地之数，用重表之法测之。法于河坡平处立四尺表杆测之，稍前再立二尺表杆，防两表端参对水边低处，量得距分六尺，向前直量三丈，复立四尺表杆，重测，稍前仍立二尺表杆，防两表端参对水边低处，量得距分四尺八寸，乃以前测之距分六尺与后测之距分四尺八寸相减，余一尺二寸为一率，表杆四尺与二尺相减，余二尺为二率，前测与后测相距三丈为三率，求得四率五丈为水边低于表尖之数，内减去表髙四尺，余四丈六尺，即水边低于河坡平处之数也。
设人在山上，欲知山涧之深，用重表测之。法于山边立二尺表杆，稍后立四尺表杆测之，看两表端参对涧底，量得两杆相距得三尺，再退量五尺，复立四尺表杆重测，稍前仍立二尺表杆，防两表端参对涧底，量得两杆相距得三尺四寸，乃以后测之距分三尺四寸与前测之距分三尺相减，余四寸为一率，表杆四尺与二尺相减，余二尺为二率，两表相距五尺为三率，求得四率二丈五尺为山涧距表尖之深，内减去表髙四尺，余二丈一尺，即所求山涧之深也。
设东西二树，欲知其相距之逺，测距东树七十丈，距西树五十丈，问二树相距？法用同式形比例，先以距东树七十丈，取其五十分之一，得一丈四尺，即对东树直量一丈四尺作记。又以距西树五十丈，亦取其五十分之一，得一丈，即对西树直量一丈作记。乃于两作记处斜量，如得四尺五寸，是为同式形之相距数，然后以所得之四尺五寸，用五十求之，得二十二丈五尺【因两作记处为二树测处五十分之一，则所得同式形之相距数，亦必为二树相距数五十分之一】即二树相距之逺也。设东西二树欲知其相距之逺，用重表或取同式形测之，问二树相距？法先用不取直角测逺法【如测石测树之法】求得二树距测处之逺，再用知两逺求相距之法求之。设左右两峰，不知其髙逺，欲求两峰相距。法先用重表求髙逺法，各求得髙与逺【其髙为尖峰距地平之髙，其逺为山根距测处之逺】如求得左峰髙四十八丈，逺六十四丈；右峰髙六十五丈，逺七十二丈。乃用勾股求▯法，以左峰四十八丈为股，逺六十四丈为勾，求得▯八十丈，即左峰距人之逺。以右峰髙六十五丈为股，逺七十二丈为勾，求得▯九十七丈，即右峰距人之逺。然后用知两逺求相距法，各取其百分之一，对左峰直量八尺作记，对右峰直量九尺七寸作记。如于两作记处横量得一丈二尺，即加一百倍为一百二十丈，得两峰相距之逺。
左峰髙如左，甲逺如甲丙，右峰髙如右，乙逺如乙丙，两峰相距如设如，有井不知其深，于井沿取一直角横量一尺五寸测之，问水面距地之深？
设井口径濶九尺，法于井沿取直角，立表杆测之。人目对表端斜向井沿看水，以恰见水边为凖。如表髙四尺，量得表距井沿一尺五寸，则以一尺五寸为一率，表髙四尺为二率，井口濶九尺为三率，求得四率二丈四尺，即水面距井沿之深也。
方圆诸率径○七周二二径○五○周一五七径○三二周一○○径一一三周三五五径一○○○○○○周三一四一五九二凡径求周者，以周率乗，以径率除，得周；周求径者，以径率乗，以周率除，得径。
平方积四○○○○○○○○平圆积三一四一五九二六五平方积一○○○○○○○○平圆积○七八五三九八一六平方积四五二平圆积三五五平方积一四平圆积一一立方积 同平方率圆柱积同平圆率圆周自乗积八八圆周中占积○七方柱积三方锥积一圆柱积三圆尖积一圆柱积三圆球积二立方积六○○○○○○○○立圆积三一四一五九二六五立方积一○○○○○○○○浑圆积○五二三五九八七七立方积六八七浑圆积三五五立方积二一浑圆积一一立方积二一浑圆积一 一浑圆面积四平圆面积一撱圆求积两径相乗，数以十一乗之，十四除之，得所求。解曰：取撱圆两径之中率，作圆，其容与撱圆等。浑撱圆求积。小径自乗，再以大径乗之，以十一乗，二十一除，得所求。解曰：方体浑撱圆之比例，犹立方与浑圆也。
弧矢求径及离径半径置▯折半自乗，以矢除之，得所求。解曰：半▯股也，矢▯句较也，余径▯句和也。股之自乗积，以和除之，得较；以较除之，得和。故以矢除之，得余径。余径加矢，折半为半径。半径减矢，为离径也。弧矢求积【旧法以矢▯相并得弧背，径一围三之义也，疎甚不可法】置弧背以离径，并矢【即半径】乗之；别置▯以离径乗之，两数相减，余折半得所求。解曰：「弧背圆周分线也，离径并矢，圆半径也。于弧背两端作线，防于圆心，成杂线形。求积之法，当与圆同，故以半径乗背，折半得积也。」又杂线形内，除弧矢形，余一三角形，以▯为濶，以离径为高，高乘濶，折半得积，以减杂线形积，则所余者弧矢积矣。故以半径乗背，离径乗▯，相减折半得积也。
求中率法以两率相乗，得数平方开之，得中率。
截方锥体求积法置上方自乗，下方自乗，上下方相乗，三数并，以髙乗之，以三除之，得所求。右形得方体一，堑堵、方锥各四。今方体三，堑堵、方锥体各十二，故以三除也【凡堑堵二之一，方锥三之一】
截圆锥体求积法置上径自乗，下径自乗，上下径相乗，三数并，以髙乗之，再十一乗，四十二除，得所求【元当用三除之，又十一乗，十四除之，今用四十二除者，三因十四得四十二，合两次除为一次除也】
截直鋭体求积倍上长，加下长，以上广乗之；又倍下长，加上长，以下广乗之。两数并，以髙乗之，以六除之，得所求。右形具体如截方锥，今得直体六堑堵，锥体各二十四，故以六除也。
截撱圆鋭体求积倍面大径，加底大径，以面小径乗之；又倍底大径，加面大径，以底小径乗之。两数并，以髙乗之，再以十一乗，八十四除，得所求【此以六因十四得八十四也】
庄氏算学卷七
钦定四库全书