数度衍卷十七

数度衍卷十七

桐城　方中通　撰两分差【差分之一】通曰：「差分章多用三率法，即异乗同除也。」见《九章外法》。

四六差分法四之与六，加五而已。以五乗四，得二，并四即六。以五乗六，得三，并六即九。或以六乗四，除四亦得六，六亦得九。皆求裒法耳。既得各裒，始用三率法。戊裒四，丁裒六，丙裒九，乙裒十三，裒五分甲裒二十，裒二分五厘。右五位裒也，如六位则以已为首，而甲裒更增矣。若止四位，则以丁为首也。后仿此。二等户式派粮三百八十五石五斗二升，甲乙二等户，甲六分，乙四分，办纳甲二十六户，乙四十户。问各一户各共户若干？曰：甲一户纳七石三斗二升，共纳一百九十石○三斗二升；乙一户纳四石八斗八升，共纳一百九十五石二斗。术：甲裒六，乙裒四。以六乗甲户，得一百五十六；以四乗乙户，得一百六十，并得三百一十六，为首率。以总粮为次率，以甲裒六，乙裒四为各三率。以甲三率六乗次率，以首率除，得甲一户之数；以甲户乗，得共数。以乙三率四乗次率，以首率除，得乙一户之数；以乙户乗，得共数。四等户式徴银一千七百一十六两，甲乙丙丁四等户，甲六分，乙四分，乙六分，丙四分，丙六分，丁四分，办纳，问各若干？曰：甲七百一十二两八钱，乙四百七十五两二钱，丙三百一十六两八钱，丁二百一十一两二钱。术：丁裒四，丙裒六，乙裒九，甲裒十三，裒五分并得三十二，裒五分为首率，以总银为次率，以各裒为各三率。

三七差分法二位者，甲七，乙三。三位者，以三为首，三因得九为丙裒。九用七乗，三除得二十一为乙裒。二十一用七乗，三除得四十九为甲裒。四位者，以三为首，三因得九，又三因得二十七为丁裒。五位者，以三为首，三因得九，又三因得二十七，又三因得八十一为戊裒。俱用七乗，三除得各裒。

【二位】乙裒三　甲裒七【三位】丙裒九，乙裒二十七，甲裒四十九。【四位】丁裒二十七，丙裒六十三，乙裒一百四十七，甲裒三百四十三。【五位】戊裒八十一，丁裒一百八十九，丙裒四百四十一，乙裒一千○二十九，甲裒二千四百○一。三等戸式，派粮二百六十一石。甲、乙、丙三等户，甲七分，乙三分，乙七分，丙三分。办纳甲二十一户，乙三十二户，丙四十三户。问各一户各共戸若干？曰：甲一户六石一斗二升五合，共一百二十八石六斗二升五合；乙一户二石六斗二升五合，共八十四石；丙一户一石一斗二升五合，共四十八石三斗七升五合。术：甲裒四十九，乙裒二十一，丙裒九。以甲裒乗甲户，得一千○二十九；乙裒乗乙户，得六百七十二；丙裒乗丙户，得三百八十七。相并得二千○八十八，为首率。总粮为次率，各裒为各一户之三率。五等户式徴银八百二十八两二钱，甲乙丙丁戊五等戸。甲七分，乙三分；乙七分，丙三分；丙七分，丁三分；丁七分，戊三分。办纳问各若干？曰：甲四百八十两○二钱，乙二百○五两八钱，丙八十八两二钱，丁三十七两八钱，戊十六两二钱。术：戊裒八十一，丁裒一百八十九，丙裒四百四十一，乙裒一千○二十九，甲裒二千四百○一。相并得四千一百四十一，为首率；总银为次率；各裒为各三率。

二八差分法二八裒惟用四乗二位者，甲八，乙二，皆以二为首也。三位者，丙二，四乗二得八为乙裒，四乗八得三十二为甲裒。

戊裒二　　　丁裒八　　　丙裒三十二乙裒一百二十八，甲裒五百一十二。四等户式，派银二千六百三十五两。甲、乙、丙、丁四等户，甲八分，乙二分，乙八分，丙二分，丙八分，丁二分。办纳，问各若干？曰：甲一千九百八十四两，乙四百九十六两，丙一百二十四两，丁三十一两。术：丁裒二，丙裒八，乙裒三十二，甲裒一百二十八，并得一百七十为首率，总银为次率，各裒为各三率。五等户式徴粮二千六百五十五石九斗，甲乙丙丁戊五等户，甲八分，乙二分，乙八分，丙二分，丙八分，丁二分，丁八分，戊二分。办纳甲三十户，乙四十户，丙五十户，丁六十户，戊七十户。问各一户各共户若干？曰：甲一户五十九石九斗○四，合共一千七百九十七石一斗二升；乙一戸十四石九斗七升六，合共五百九十九石○四升；丙一户三石七斗四升四，合共一百八十七石二斗；丁一户九斗三升六，合共五十六石一斗六升；戊一户二斗三升四，合共十六石三斗八升。术：甲裒五百一十二，乗甲户，得一万五千三百六十；乙裒一百二十八，乗乙户，得五千一百二十；丙裒三十二，乗丙户，得一千六百；丁裒八，乗丁户，得四百八十；戊裒二，乗戊戸，得一百四十。相并得二万七千二百，为首率；总粮为次率；各裒为各一戸之三率。

递分差【差分之二】

递减差分法二位者，甲裒二，乙裒一；三位者，甲裒三，乙裒二，丙裒一之类。四位式银九十二两，甲、乙、丙、丁四人递减分之，问各若干？曰：甲三十六两八钱，乙二十七两六钱，丙十八两四钱，丁九两二钱。术：甲裒四，乙裒三，丙裒二，丁裒一，并得一十为首率，总银为次率，各裒为各三率。五位式金八十一两，造杯一套五个，问各重若干？曰：甲二十七两，乙二十一两六钱，丙十六两二钱，丁十两○八钱，戊五两四钱。术：甲裒五，乙裒四，丙裒三，丁裒二，戊裒一，并得一十五为首率，总金为次率，各裒为各三率。又式派粮一千一百三十四石，甲、乙、丙、丁、戊五等户递减办纳，甲二十四户，乙三十三户，丙四十二户，丁五十一户，戊六十户，问各一户各共户若干？曰：甲一户十石○五斗，共二百五十二石；乙一户八石四斗，共二百七十七石二斗；丙一户六石三斗，共二百六十四石六斗；丁一户四石二斗，共二百一十四石二斗；戊一户二石一斗，共一百二十六石。术：甲裒五乗甲户，得一百二十；乙裒四乗乙户，得一百三十二；丙裒三乗丙户，得一百二十六；丁裒二乗丁户，得一百○二；戊裒一乗戊户，得六十，并得五百四十为首率，总粮为次率，各裒为各一户之三率。

隔位递减差分法以六减者，甲裒一百，乙裒六十，丙裒三十六；以七减者，甲裒一百，乙裒七十，丙裒四十九之类。用六减式，派绢四百七十丈○一尺八寸四分。甲、乙、丙三等户，以一十分之六递减办纳。甲二十五户，乙三十户，丙四十八户。问各一户各共户若干？曰：甲一户七丈八尺，共一百九十五丈；乙一户四丈六尺八寸，共一百四十丈○四寸；丙一户二丈八尺○八分，共一百三十四丈七尺八寸四分。术：甲裒一百，乗甲户，得二千五百；乙裒六十，乗乙户，得一千八百；丙裒三十六，乗丙户，得一千七百二十八。并得六千○二十八，为首率；总绢为次率；各裒为各一户之三率。用七减式，派粮一百六十八石四斗八升八合。甲、乙、丙、丁四等户，以一十分之七递减办纳。甲二十二户，乙三十六户，丙四十二户，丁四十八户。问各一户各共户若干？曰：甲一户二石，共四十四石；乙一户一石四斗，共五十石○四斗；丙一户九斗八升，共四十一石一斗六升；丁一户六斗八升六合，共三十二石九斗二升八合。术：甲裒一千，乗甲户，得二万二千；乙裒七百，乗乙户，得二万五千二百；丙裒四百九十，乗丙户，得二万○五百八十；丁裒三百四十三，乗丁户，得一万六千四百六十四。并得八万四千二百四十四，为首率；总粮为次率；各裒为各一户之三率。

互和减半差分法三位者，曰三，曰五，曰七，并一十五为裒。四位者，曰二，曰四，曰六，曰八，并二十为裒。五位者，曰一，曰三，曰五，曰七，曰九，并二十五为裒。奇用奇，偶用偶也。三位式粮一百八十石，给甲、乙、丙三人。云甲多丙三十六石，令互和减半分之，问各若干？曰：甲七十八石，乙六十石，丙四十二石。术：以粮数为实，以三位并裒一五【一十五作一五】为法，除实得一百二十。乃甲、丙二人首尾和数，内减甲多三十六，余八十四，折半得丙数，加甲多三十六得甲数，和甲、丙二数得一百二十，折半得乙数。通曰：「此递减十八也。」后式皆系递减。四位式银二百四十两，分甲、乙、丙、丁四人。云甲多丁十八两，今互和减半分之，问各若干？曰：甲六十九两，乙六十三两，丙五十七两，丁五十一两。术：以银数为实，以四位并裒二【二十作二】为法，除实得一百二十，乃甲、丁二人和数内减甲多十八，余一百○二，折半得丁数，加甲多十八得甲数。乙、丙二人不可并折，乃以甲多十八用三除之，得六，加入丁数得丙数，又加六得乙数。通曰：以首尾较数，三位用二除，四位用三除，五位用四除，得各位较数也。并较减实，余均分，加各较，亦合如前。三位式总实一百八十，甲丙较三十六，用二除得十八，为乙丙较，并得五十四，减实余一百二十六，三位均分各得四十二，甲加较三十六得七十八，乙加较十八得六十，丙即得均分数。五位式钞二百三十八贯分，甲、乙、丙、丁、戊五人。云戊不及甲三十三贯六百文，令互和减半分之，问各若干？曰：甲六十四贯四百文，乙五十六贯，丙四十七贯六百文，丁三十九贯二百文，戊三十贯八百文。术：以钞数为实，以五位并裒二贯五百文【即二十五】为法，除实得九十五贯二百文，乃甲、戊二人和数。内减戊不及三十三贯六百文，余六十一贯六百文，折半得戊数，加戊不及数得甲数。互和甲、戊二数得九十五贯二百文，折半得丙数。又和甲、丙二数得一百一十二贯，折半得乙数。又和丙、戊二数得七十八贯四百文，折半得丁数。

倍分差【差分之三】

倍减差分法二位者，甲裒二，乙裒一；三位者，甲裒四，乙裒二，丙裒一之类。三位式银一万八千○八十八两，甲、乙、丙三人倍减分之，问各若干？曰：甲一万○三百三十六两，乙五千一百六十八两，丙二千五百八十四两。术：甲裒四，乙裒二，丙裒一，并得七为首率，总银为次率，各裒为各三率。通曰：以银为实，以并裒除，得丙数，倍得乙数，再倍得甲数，亦可。五位式，派银一千一百○七两。甲、乙、丙、丁、戊五等户，倍减上纳。甲十六戸，乙二十五戸，丙三十一戸，丁四十八戸，戊六十二戸。问：各一户各共户若干？曰：甲一户二十四两，共三百八十四两；乙一户十二两，共三百两；丙一戸六两，共一百八十六两；丁一户三两，共一百四十四两；戊一戸一两五钱，共九十三两。术：甲裒十六，乗甲户得二百五十六；乙裒八，乗乙户得二百；丙裒四，乘丙户得一百二十四；丁裒二，乗丁户得九十六；戊裒一，乗戊戸，得六十二。并得七百三十八，为首率；总银为次率；各裒为各一户之三率。通曰：「两分、递分、倍分诸式，凡有户数者，以各一户数乗各戸，得各共数，然矣。若以各裒乗各户之数为三率，则先得各戸共数也，以各戸除之，得各一户数。」

子母差【差分之四】

求分子法共子各母求各子式四商共贩得子银六千两甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百问各分子银若干曰甲七百五十两乙一千二百五十两丙一千五百两丁二千五百两术四母相并得四百八十两为首率共子为次率各母为各三率共子各母各时求各子式三商共子银一千两母银多寡既不一而先后之时又不一甲母二百两满八个月乙母四百五十两满六个月丙母五百两满十个月问各分子银若干曰甲一百七十二两又九十三分两之四乙二百九十两又九十三分两之三十丙五百三十七两又九十三分两之五十九术先以各母乗各月甲母乗八得一千六百乙母乗六得二千七百丙母乗一十得五千并得九千三百两为首率共子为次率各母乗各月之数为各三率又式三商母银各等一年内共得子银一千两甲母阅七月乙母阅六月丙母满十二月问各分子银若干曰甲二百八十两乙二百四十两丙四百八十两术并各月得二十五为首率总子为次率各月为各三率共时共子各母各时加减求各子式四商居积二年得利一万两甲原母三千两至满八月取出一千两至满十九月又加一千二百两乙原母二千四百两至满六月取出八百两至满十五月又加一千四百两丙原母二千两满七月悉收回至满十七月别出母一千六百两丁初不出母六月后方出母一千八百两又过四月取出九百两至满十六月又加一千五百两问各分子银若干曰甲三千五百四十六两又一千七百四十八分两之一千五百九十二乙三千一百九十二两又一千七百四十八分两之三百八十四丙一千四百四十一两又一千七百四十八分两之一千一百三十二丁一千八百一十九两又一千七百四十八分两之三百八十八术以四母各乗其月甲作三段乗以原母三千乗八月得二万四千八月之后取去一千存母二千至十九月满计十一月以十一乗二千得二万二千十九月之后又加一千二百共母三千二百至二年满计五月以五乗三千二百得一万六千并三段乗数得六万二千为甲通乙作三段乗以原母二千四百乗六月得一万四千四百六月之后取去八百存母一千六百至十五月满计九月以九乗一千六百得一万四千四百十五月之后又加一千四百共母三千至二年满计九月以九乗三千得二万七千并三段乗数得五万五千八百为乙通丙作二段乗以原母二千乗七月得一万四千自满十七月以后别出母一千六百至二年满计七月以七乗一千六百得一万一千二百并二段乗数得二万五千二百为丙通，丁作三段乗自六月以后出母一千八百，满四月以四乗一千八百得七千二百，此后取去九百，存母九百至十六月满，计六月以六乗九百得五千四百，此后又加一千五百共母二千四百至二年满，计八月以八乗二千四百得一万九千二百，并三段乗数得三万一千八百为丁通，再并四通数得十七万四千八百为首率，总利为次率，各通数为各三率。

求原母法共母共子及各子求各母式：三商共母一千五百二十两，得子一百九十两，甲分一百二十两，乙分四十两，丙分三十两。问各母若干？曰：甲九百六十两，乙三百二十两，丙二百四十两。术：共子为首率，共母为次率，各分子为各三率。共子、各子及出母率，求各母式二商，共得子二百两，甲分五十两，乙分一百五十两。其母则乙多甲一倍，又零八两。问各母若干？曰：甲八两，乙二十四两。术：以甲子五十为首率，以零八两为次率，各子为各三率。共时、各时及甲母均分子，求乙丙母式。三商共贩一年，甲先出母一千两，乙母后二月方出，丙母后四月方出，俱不知数。所得子银则均分，问乙丙母各若干？曰：乙一千二百两，丙一千五百两。术：以甲母乗甲月十二，得一万二千为实；以乙月十为法，除实得乙母；以丙月八为法，除实得丙母。

求出时法共子各母各子及甲时求乙丙时式三商共贩得子银一千两，甲母三百两，系满十月；乙母七百两，丙母八百两，俱不知月。其子银则甲分五百，乙分三百，丙分二百。问乙丙出母月若干？曰：乙二月又七分月之四，丙一月又二分月之一。术：以甲为凖，以甲子五百为首率，以甲月乗甲母，得三千为次率，以乙丙各子为各三率。如法次三两率相乗，首率除得四率：乙得一千八百，为乙母乗乙月之数；丙得一千二百，为丙母乘丙月之数。再以乙母除乙四率，得乙月数；丙母除丙四率，得丙月数。

和求法或知此子，而不知彼子；或知彼母，而不知此母。时亦如之。共子各子甲母与时及乙母丙时求乙时丙母式三商共得子银一百三十八两，甲母二百两，经十二月；乙母二百四十两，不知月；丙经十月，不知母。其子银则甲分六十，乙分四十八，丙分三十。问乙时丙母若干？曰：乙时八月，丙母一百二十两。术：以甲子为首率，甲母乗甲月，得二千四百为次率；乙丙各子为各三率，求得乙四率一千九百二十，为乙母乗月之数，以乙母除得乙月；求得丙四率一千二百，为丙月乗母之数，以丙月除得丙母。

共子各时分子率及甲母求乙丙母及各子式三商共得子银一百九十两其分数则乙比甲仅三之一丙比甲仅四之一甲出母八十两经十二月乙经八月丙经四月俱不知母问乙丙母及各子若干曰乙母四十两丙母六十两甲子一百二十两乙子四十两丙子三十两术以甲母乗甲月得九百六十为首率乙得三之一则三分首率得三百二十为乙次率丙得四之一则四分首率得二百四十为丙次率乃以乙月为法除乙次率得四十为乙母以丙月为法除丙次率得六十为丙母既知乙丙之母则以前首率与乙丙两次率相并得一千五百二十为后首率以共子为后次率以前首率为甲三率以乙次率为乙三率丙次率为丙三率共母共子及合和求各母子式三商共母一千五百二十两共得子母和银一千七百一十两甲分一千○八十两乙分三百六十两丙分二百七十两问各母各子若干曰甲母九百六十两子一百二十两乙母三百二十两子四十两丙母二百四十两子三十两术以共子为首率共母为次率各和为各三率求得各母以各母减各和余即各子共子甲乙母及丙子，求甲乙子及丙母，式三商共得子银一千五百二十两，甲母一千○八十，乙母三百六十，丙不知母而分子二百四十，问甲乙子及丙母各若干？曰：甲子九百六十两，乙子三百二十两，丙母二百七十两。术：先于共子内减去丙子，余一千二百八十，为甲乙和子，乃并甲乙母得一千四百四十，为首率，以甲乙和子为次率，用甲母为三率，求出甲子；用乙母为三率，求出乙子。既知甲乙子数，再并甲乙子得一千二百八十，为后首率，以前首率为后次率，以丙子为三率，求出丙母。

共子甲母及出母裒求各母各子式四商共得子银三百四十两其母以四递加如乙五则丙九丙七则丁十一丁九则甲十三之类甲母二百八十六问各母各子若干曰丁母一百九十八两丙母一百二十六两乙母七十两甲子一百四十三两乙子三十五两丙子六十三两丁子九十九两术由甲推丁以甲裒十三为首率甲母为次率丁裒九为三率求出丁母由丁推丙以丁裒十一为首率丁母为次率丙裒七为三率求出丙母由丙推乙以丙裒九为首率丙母为次率乙裒五为三率求出乙母乃并四母得六百八十为后首率共子为后次率各母为各后三率求出各子通曰：「与超四递加不同，此乃各有递四之加也。」附式：原借母十五两，每月每两加子二分五厘，满六月还过母子和九两，问母子各已还若干，仍留母若干？曰：还母七两八钱二分六厘，还子一两一钱七分四厘，仍留母七两一钱七分四厘。术：以还银九两为实，以六月用二分五厘通之，得一钱五分，得通子加母数一两，得一两一钱五分为法，除实得还母，以通子乗之得还子，原母内减还母得留母。通曰：此留母未还子也。若六月还，全母之子二两二钱五分，还母六两七钱五分，应留母八两二钱五分矣。附式三次为商，俱得合利，每次贮银三百两，三次恰尽。问原母若干？曰：二百六十二两五钱。术以贮银折半，得一百五十，加三百，得四百五十；又折半，得二百二十五，又加三百，得五百二十五；又折半，得原母三折者三次也。借裒互徴，另又一术。

合率差【差分之五】

合率差分法式谷二百四十石，作五等分之。甲乙二人数与丙丁戊三人数等，问各若干？曰：甲六十四石，乙五十六石，丙四十八石，丁四十石，戊三十二石。术：甲裒五，乙裒四，并得九；丙裒三，丁裒二，戊裒一，并得六。以六减九，余三，乃于五等裒上各加三：甲得八，乙得七，丙得六，丁得五，戊得四。又并之，得三十，为首率；总谷为次率；各裒加三得数，为各三率。通曰：此递差八也。曰：三人分则甲数与乙丙数等，而七人分则甲乙丙数与丁戊己庚数不等。乃截庚入甲乙，截丙入丁戊巳，两数始等。此亦就裒而言，若裒上加有等数，俱不等矣。故用并减之法也。式二银七百六十两，甲十分，乙七分，丙二分，问各若干？曰：甲四百两，乙二百八十两，丙八十两。术：甲裒十，乙裒七，丙裒二，并得一十九为首率，总银为次率，各裒为各三率。式三田一百三十八亩，每亩徴米二斗，今徴七分本色，米三分折丝，每米一石折丝一斤，问各若干？曰：米十九石三斗二升，丝八斤四两四钱八分。术：以米二斗乘田，得二十七石六斗，为实；以七与三并，一十为法。用七乗实，得一百九十三石二斗，以法除得米。用三乗实，得八十二石八斗，以法除得八石二斗八升。以石变斤，得八斤，其二斗八升，用加六法，得四斗四斗八合，即四两四钱八分。式四米二十四石给甲乙丙丁四人，甲四分，乙五分，丙七分，丁九分，问各若干？曰：甲三石八斗四升，乙四石八斗，丙六石七斗二升，丁八石六斗四升。术：以米为实，并各裒得二十五为法，除实得九斗六升为一分之数，以各裒乗得各数。式：五徴粮七十三石二斗，三等户照分办纳。上二十五戸，每户五分；中四十户，每户三分；下六十户，每户一分。问各一户，各共户若干？曰：上一户一石二斗，共三十石；中一户七斗二升，共二十八石八斗；下一户二斗四升，共十四石四斗。术：以各裒乗各户，上得一百二十五，中得一百二十，下得六十，并得三百○五，为首率；总粮为次率；各裒为各一户之三率。式六，每芝蔴三斗换米五斗，每米五斗抵荳七斗。今有芝蔴四百五十石，换米荳共九百二十五石，问各用芝蔴及米荳各若干？曰：换米用芝蔴一百八十七石五斗，换荳用芝蔴二百六十二石五斗，米三百一十二石五斗，荳六百一十二石五斗。术：并米五，荳七，得十二为首率。以芝蔴总数为次率，米五，荳七为各三率，求出用芝蔴各数。再以换米用一百八十七石五斗，以三斗除之，得数以五斗乗之，得米数。以换荳用二百六十二石五斗，先求出米数，以三斗除之，得数以五斗乗之，得米四百三十七石五斗，乃再以三斗除之，得数以七斗乗之，得荳数。式七，银十一块，金九块等重。交换一块，则十银一金之重多于八金一银一十三两，问金银各块各共若干？曰：金一块重三十五两七钱五分，银一块重二十九两二钱五分。银十一块共重三百二十一两七钱五分，金九块共重等。术：以较十三两折半，得六两五钱，乗金九块，得五十八两五钱为实，以金九银十一相减，余二为法，除实，得二十九两二钱五分为银一块数。以十一乗得共数。以半较六两五钱乗十一，得七十一两五钱为实，仍以前二为法，除实，得三十五两七钱五分为金一块数，以九乗得共数。通曰：以盈朒法求之，亦得。式：八冰片每两价二两七钱五分，沉香每两价三钱五分，伽楠每两价八钱。有以沉香十七斤三两，有以伽楠十三斤十二两，问各换冰片若干？曰：沉香换得冰片三十五两，伽楠换得冰片六十四两。术：以冰片价为首率，用斤求两法【见乗布】化沉香、伽楠得两数为各次率，各价为各三率。式：九军二万五千二百名月粮，米、麦、荳兼支。米每四名支三石，麦每九名支五石，荳每七名支八石。问各若干？曰：荳二万八千八百石，麦一万四千石，米一万八千八百石。术：以七名、九名、四名为各首率，军数为次率，八石、五石、三石为各三率。式十刻漏一壶，贮水令开三孔，漏水大孔二时而尽，中孔三时而尽，小孔六时而尽。如三孔齐泄，则几时水尽？曰：一时漏尽术，以三孔与时相较，各时为各首率，一壶为次率，最小时为三率，求得大孔六时漏尽三壶，中孔六时漏尽二壶，小孔原系六时漏尽一壶，合计六时三孔共漏尽六壶，因知一时共漏尽一壶也。又术，以二时、三时、六时为各首率，一壶为次率，一时为三率，求得大孔一时漏水二之一，中孔一时漏水三之一，小孔一时漏水六之一，合计二之一、三之一、六之一，共十分，亦合右三数偶满一时。若并有竒零者，另法求之。如累台一座，甲六年完工，乙九年完工，丙十八年方完，今三人同累，须几时可完？必先知每人每年之工而总计之。六年者每年得六之一，九年者每年得九之一，十八年者每年得十八之一，并得每年共三分之一【竒零加法】约计三年始完。甲成二之一，乙成三之一，丙成六之一，共足十分之数也。

式十一漏壶上注下泄塞下窍注水四时而满开下窍泄水六时而尽若上注下泄相并则几时可满曰十二时术用三次测法先以四时为首率一壶为二率一时为三率求得一时之所法乃四分壶之一次以六时为首率一壶为二率一时为三率求得一时之所泄乃六分壶之一以四之一与六之一相减余十二之一【竒零减法】乃以十二之一为首率一时为次率一壶为三率求得十二时通曰：「以四时较六时，则有二时不泄，欲得六时俱不泄，必须三回注四时矣，亦合十二时之数也。」问：上注下泄，四时满几分？曰：六时尽者，四时泄三分之二，以除全壶，余三分之一为水满数。又问：如塞下窍，三时而满；开下窍，八时而尽。若上注下泄，须几时可满？曰：以三时满者，一时之率三之一；以八时尽者，一时之率八之一。就三之一减八之一，余二十四之五为一时之率，则全壶得四时零五分时之四也。又问：一壶既以三时而满，如四时又五分时之四可满几壶？曰：满一壶又十五分壶之八。又问：八时尽一壶，若四时又五分时之四该几何？曰：此五分壶之三，即于前数一时满一壶者除之便得。问：八时尽一壶，三时得几何？曰：三时泄得八分之三，以除全壶，余八五之五是三时满八分之五。又问：三时满八分之五，则全壶几时满？曰：四时零五分时之四也。式：十二兵，百人领队，四人旗牌，六人器械，七万二千四百件。犒军旗牌比领队得八分之五，兵比旗牌得五分之三。问各得若干？曰：兵得六万，每人六百；旗牌得六千，每人一千；领队得六千四百，每人一千六百。术：以兵裒三乗一百得三百，以旗牌裒五乗六得三十，以领队裒八乗四得三十二，并得三百六十二为首率，器械为次率，各裒乗数为各三率，求出各共得数，再以各人数除之，得每人数。式：十三大船，三桅六桨；小船一桅八桨。今桅五十九，桨二百○二。问：大小船各若干？曰：大船十五，小船十四。术：并大小船每只桅桨各九，共一十八，为首率；大小二只为次率；并桅桨全数为三率。推得二十九只，乃大小和数；减小之一，补大得各数。

贵贱差分法式：硃砂每斤三两六钱，石青每斤二两四钱。有银一千二百两，买硃青二色。硃数增青一倍，问各若干？曰：硃二百五十斤，共价九百两；青一百二十五斤，共价三百两。术：因硃加倍，即倍其价为七两二钱，并青价得九两六钱，为首率。总银为次率，各一斤之价为各三率，求出各斤数。各以价乗，得各共价。式二银五十五两五钱，买铜锡铁共重八万三千○五十两。每银一钱，买铜一百三十两，锡一百五十两，铁一百七十两。问各若干？曰：铜二万四千七百两，共价十九两；锡二万七千七百五十两，共价十八两五钱；铁三万○六百两，共价十八两。术：以总银用三色除之，得十八两五钱为中间锡价。以每一钱买一百五十两乗之，得锡数。共重内减锡数，余五万五千三百两为铜铁和。总银内减锡价，余三十七两为铜铁和价。以每一钱买铜一百三十两乗和价，得四万八千一百两。以减铜铁和，余七千二百为实。以铜一百三十与铁一百七十相减，余四十除实，得一百八十钱为铁价十八两。以一百七十乗之，得铁数。又于和价内减铁价，余十九两为铜价。以一百三十乗之，得铜数。式三绫每尺九分二厘，罗每尺八分五厘，绢每尺三分六厘，有银一百二十一两一钱七分五厘，买绫一停，罗二停，绢三停，问各若干？曰：绫三十二丈七尺五寸，共价三十两○一钱三分；罗六十五丈五尺，共价五十五两六钱七分五厘；绢九十八丈二尺五寸，共价三十五两三钱七分。术：二停乗罗价，得一钱七分；三停乗绢价，得一钱○八厘，以并绫价，共三钱七分为首率，总银为次率，各每尺价为各三率，求出各数。各每尺价乗得各共价。式：四绫罗纱绢共一百六十疋，共价九十三两。绫每疋九钱，罗每疋七钱，纱每疋五钱，绢每疋三钱。问各若干？曰：绫三十五疋，价三十一两五钱；罗四十疋，价二十八两；纱四十疋，价二十两；绢四十五疋，价十三两五钱。术：以四色除总疋，得四十疋，即中间罗纱之数。罗四十疋，以每疋价推得银数；纱四十疋，以每疋价推得银数。总疋内减罗纱，余八十疋，为绫绢和；共价内减罗纱价，余四十五两，为绫绢价和。乃以绫九钱乗绫绢和，得七十二两，以减余银尚余二十七两，为实；以绫九钱减绢三钱，余六钱为法，除实得四十五为绢数。于绫绢和内减之，余三十五为绫数。各以每疋价乗得各价。式五银一千○八两买丝三停绵二停线一停共重三百六十两。其价线二两丝止一两，线一两六钱，绵止一两。问各若干？曰：丝重一百八十两，价二两二钱四分【得线价二之一】绵重一百二十两，价二两八钱【得线价十六之十】线重六十两，价四两四钱八分。术：并各裒丝三、绵二、线一，得六为首率；总重为次率；各裒为各三率，求出各重。丝一百八十，以二两【线二两也】除，得九十；绵一百二十，以一两六钱【线一两六钱也】除，得七十五；以并线六十，共二百二十五为法，除总银得线价；以一六除线价得绵价；以二除线价得丝价。式六银二千九百二十八两买绫一百五十疋，罗三百疋，绢四百五十疋。绫疋价多，罗疋价四钱七分。罗疋价多，绢疋价一两三钱五分。问各疋价若干？曰：绫每疋四两三钱二分，罗每疋三两八钱五分，绢每疋二两五钱。术：以多绢价一两三钱五分乗罗疋，得四百○五两。以两多价共一两八钱二分乗绫疋，得二百七十三两。并两乗数得六百七十八两，以减总银，余二千二百五十两为实，并三色共九百疋为法，除实得二两五钱为绢每疋价，加多一两三钱五分得罗每疋价，又加多四钱七分得绫每疋价。又术：以多罗价四钱七分乗罗疋，得一百四十一两。以两多价共一两八钱二分乗绢疋，得八百一十九两。相并得九百六十两，加入总银得三千八百八十八两为实，以三色并得九百疋为法，除实得绫疋价，依裒减之亦合。

通曰此又名匿价差分法式：七银一万○七百七十八两六钱○五厘，籴米、麦、荳三色均平。其每石价：米二两三钱五分，麦一两九钱五分，荳一两四钱五分。问各若干？曰：三色共一千八百七十四石五斗四升，米共价四千四百○五两一钱六分九厘，麦共价三千六百五十五两三钱五分三厘，荳共价二千七百一十八两○八分三厘。术：以总银为实，并三色每石价共五两七钱五分为法，除实得各石数，各以每石价乗得各共价。

带分母子差分法式四人共分金七百八十五两，乙得甲十之七，丙得乙十四之三，丁得丙十二之九，问各若干？曰：甲四百两，乙二百八十两，丙六十两，丁四十五两。术：先并各子乗各母，从小并起，除丁九无，并其丙裒十二，又系三，则以十二并三，依约法三四一十二，且作四，以乗乙之十四，得五十六为乙裒。乙系五十六，又系七，则以五十六并七，依约法七八五十六，且作八，以乗甲之十，得八十为甲裒。乃并丁九、丙十二、乙五十六、甲八，共一百五十七为首率，总银为次率，以各裒为各三率。式二三人共钱三千○四十二文，甲得二之一，乙得三之一，丙得四之一，问各若干？曰：甲一千四百○四，乙九百三十六，丙七百○二。术：先并母防其通，四分、三分、二分之一者为主，依法二三乗得六，又乗四得二十四，约之得十二，以甲乙丙分之，其数皆通。甲二之一，用六为裒；乙三之一，用四为裒；丙四之一，用三为裒。乃并三裒得十三为首率，总钱为次率，各裒为各三率。式三三县派粮共一千四百○七石，小县二分之一，中县五分之三，大县十一分之八，问各若干？曰：大县五百六十，中县四百六十二，小县三百八十五。术：以各母相乗，求通数。二乗五得一十，又乗十一得一百一十，为通数。小县裒五十五，中县裒六十六，大县裒八十，并三裒得二百○一，为首率；总粮为次率；各裒为各三率。此与右式同术。式：四四人共银三百九十六两，甲得二分之一外加十两，乙得五分之三内欠二十两，丙得三分之一外加八两，丁得四分之一内欠六两，问各若干？曰：甲一百二十，乙一百四十四，丙八十，丁六十。术：先于总银内除去加数，甲十，丙八，存三百七十八，加入欠数，乙二十，丁六，共四百○四两，乃依前法，并母二乗五得一十，又乗三得三十，又乗四得一百二十，约得六十为通数，甲裒三十，乙裒三十六，丙裒二十，丁裒十五，并得一百○一为首率，四百○四两为次率，各裒为各三率。式五兄弟三人，季歳得伯四之三，仲歳得伯六之五，仲多季只八嵗，问各嵗若干？曰：伯九十六，仲八十，季七十二。术：已知两母为伯裒，并其母四六相乗得二十四，为伯裒之实。乃用母子互乗，以求仲季之裒【四之三，六之五】以四乗五得二十，为仲裒；以六乗三得十八，为季裒。以仲季两裒较二，为首率；仲多季八，为次率；伯裒二十四，仲裒二十，季裒十八，为各三率。

式六四人分钱不知数云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七丁与丙差四文问各若干曰甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文术先并母四乗六得二十四又乗二十四得五百七十六为甲裒乃以乙母六除甲裒得九十六以乙子五乗得四百八十为乙裒以丙母四除甲裒得一百四十四以丙子三乗得四百三十二为丙裒以丁母二十四除甲裒得二十四以丁子一十七乗得四百○八为丁裒以丙丁二裒之较二十四为首率丙丁差四为次率各裒为各三率　此与右式同术但彼三位此四位也通曰右二式用后借裒互徴法亦可式：七七人分钱，甲乙共七十七文，戊己庚共七十五文，问丙丁及诸人各若干？曰：甲四十，乙三十七，丙三十四，丁三十一，戊二十八，己二十五，庚二十二。术：先令母子互乗，甲乙二人为母，七十七为子；戊己庚三人为母，七十五为子【二人，三人】□【七十七，七十五】以二乗七十五，得一百五十；以三乗七十七，得二百三十一。相减余八十一，为一差之实。并两母二三得五，折半得二人半，以减总七人，余四人半。以两母相乗得六，乗四人半得二十七，为一差之法。以法除实，得三文，为一差之数。乃知自甲而下递减三文也。以三加甲乙和，得八十，折半得甲数，递减三得各数。式八：大小船数相等，共载盐四千三百五十引。大船每三只盐五百，小船每四只盐三百。问船盐各共若干？曰：大小船俱十八只，大船共盐三千，小船共盐一千三百五十。术：先令子母互乗【大三小四】□【五百三百】以三乗三百得九百，以四乗五百得二十，并得二千九百为首率，两母相乗得十二为次率，总盐为三率，求出各船十八。再以两母三、四为各首率，两子五百、三百为各次率，以船数十八为三率，求得各盐数。式九鳌灯一座，大小灯毬，大每三盏，油四两；小每四盏，油三两。其小灯多大灯二之一，共用油十八斤七两。问大小灯及用油各若干？曰：大灯一百二十盏，用油十斤；小灯一百八十盏，用油八斤七两。术：因有二之一，立大母二，小母三【小多大二之一故作三】通斤为两【用粟布法】以十八斤七两通作二百九十五两。又通两为铢，每两二十四铢，通作七千○八十铢。先求大小每盏油数，以三盏、四盏为各首率，以二十四铢为次率，以四两、三两为各三率，求得大每盏用油三十二铢，小每盏用油十八铢。再求大小盏数，以母二乗三十二得六十四，以母三乗十八得五十四，并得一百一十八为首率，以总油七千○八十铢为次率，以母二、母三为各三率，求得各盏数。以各每盏铢数乗得，大共用三千八百四十铢，小共用三千二百四十铢，各归整得油数。

贵贱相和差分法式：甲乙物共一百斤，共价八钱七分五厘。甲二斤价四分，乙七斤价五分。问各若干？曰：甲一十二斤半，共价二钱五分；乙八十七斤半，共价六钱二分五厘。术：立长短。

法上中下三互求之以甲价四分乗乙七斤得二钱八分，以甲二斤乗乙价五分得一钱，相减余一钱八分为长法。以乙七斤乗总价得六两一钱二分五厘，以乙价五分乗总一百斤得五两，相减余一两一钱二分五厘为实，以长法除实得六分二厘五毫为短法。以甲二斤乗短法得十二斤半为甲数，以甲价四分乗短法得二钱五分为甲价，减总得乙。又术，以甲二斤乗总价得一两七钱五分，以甲价四分乗总一百斤得四两，相减余二两二钱五分为实，仍用前长法除之得一钱二分五厘为短法。以乙七斤乗之得八十七斤半为乙数，以乙价五分乗短法得六钱二分五厘为乙价，减总得甲。通曰：「合率诸式，凡有差，皆递加之差也。苟非递加，则须用盈朒法矣。」

数度衍卷十七<子部,天文算法类,算书之属,数度衍》>钦定四库全书