御制数理精蕴下编卷二十五

御制数理精蕴下编卷二十五

体部三各体形总论直线体各体形总论体之为形成于面，面之相合为厚角。故凡体形皆自厚角所合而生。面之所合不能成厚角，则体亦不能成形。惟浑圆则无角，然求积之法亦合众尖体而成浑圆。是虽无角而实赖于角也。方体有正方、斜方、尖方、方环、阳马、堑堵之异；圆体则有浑圆、长圆、尖圆之殊。至于各等面体，惟成于三角、四角、五角之面，而兼尽乎方圆之理。函于圆者，其角切于球之外面，函圆。者【为】球之外面，切于各面之中心，而各体又有互相容之妙。因其各面皆等，故其中心至每边之线皆同。就其各形而分视之，则成各等边面形；因其各形而细剖之，则成各同底尖体形。然求积，总以勾股为准则。葢体成于面，面生于线，理固然也。有积求边，则必以方圆为比例，是以边线等者，体积不等。如【七】圆球径与各等面体之一边俱设为一○○○，则正方体积为一○○○○○○○○【六】○圆球体积为五二三五九八七七五四，面体积为一一七八五一一二九八，面体积为四七一四○四五二一，十二面体积六三一一八九○三，二十面体积为二一八一六九四九六九，此各形之体积皆以方积比例者也。或以圆球体积设为一○○○○○○○○○，则圆球径得一二四○，小余七○○九八，如圆【十】球径与各等面体之一边俱设为一二四○，小余七○○九八，则【面】圆球体积为一○○○○○○○○○，正方体积为一九○九八五九三一七，四面体积为二二五○七九○七七，八面体积为九○○三一六三一七，十二面体积为一四六三五四七九○五一，二十面体。积为四一六六七三○四六三，此各形之体积【体】皆以球积比例者也。葢因各形之边线相等，体积不同。故皆定为体与体之比例也。体积等者，边线不【之】等。如圆球体积与各等面体积俱设为一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○则正方体之每边为一○○○○○○【每】○○而圆球径为一二四○七○○九八，四面体之每边为二○三九六四八九，○八面体之每边为一二八四八九八二九，十二面体之每边为五○七二二二○七，二边为七七一○二五三四，此各形之边线皆以方边比例者也，或以圆【算】球径设为一○○○○○○○○，则圆球体积为五二三五九八七七五五九八二。九八八七三○七一九二三如【之】圆球体积与各等面体积俱设为五二三五九八七七五五九八二九。八八七三○七一九二三【本】则圆球径为一○○○○○○○○，正方体之每边为八○五九九五九七，四面体之每边为一六四三九四八八，一八面体之每边为一○三五六二二八五，十二面体之每边为四○八八一八九五，二十面体之每边为六二一四。四三三二，此各形之边【也】线皆以球径比例者也。葢因各形之体积相等，边线不同，故皆定为线与线之比例也。要之，边求积者，亦皆本于勾股；而积求边者，一皆归之正方。此方所以为立法之原入。

直线体设如正方体，每边二尺，今将其积倍之，问得方边几何？法以每边二尺自乘再乘得八尺，倍之得一十六尺，开立方得二尺五寸一分有余，即所求之方边数也。如图，甲乙丙丁正方体，每边二尺，其体积八尺，倍之得一十六尺，即如戊己庚辛正方体积，每边得二尺五寸一分有余。试于戊己庚辛正方体形内作甲乙丙丁正方体形，则其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折体形，即与甲乙丙丁正方体积相等也。设如正方体，每边二尺，今将其积八倍之，问得方边几何？法以每边二尺，倍之得四尺，即所求之方边数也。如图，甲乙丙丁正方体，每边二尺，其体积八尺，八倍之得六十四尺，即如戊己庚辛正方体积，其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍，是故不用八倍其积，开立方止以毎边二尺倍之而即得也。此法葢因两体积之比例比之两界之比例为连比例隔二位相加之比例【见几何原本十巻第四节】故戊己庚辛正方体积六十四尺与甲乙丙丁正方体积之八尺相比为八分之一，而戊己庚辛正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一。夫六十四与三十二，三十二与十六，十六与八，八与四，四与二，皆为二分之一之连比例，而六十四与八之比其间隔三十二与十六之两位，故为连比例隔二位相加之比例也。设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸，今将其积倍之，仍与原形为同式形，问得长阔高各几何？法以长一尺二寸自乘再乘，得一尺七百二十八寸，倍之得三尺四百五十六寸，开立方得一尺五寸一分一厘有余，即所求之长。既得长，乃以原长一尺二寸为一率，原阔八寸为二率，今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率，求得四率一尺零七厘有余，即所求之阔也。又以原长一尺二寸为一率，原高四寸为二率，今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率，求得四率五寸零三厘有余，即所求之高也。或以阔八寸自乘再乘，倍之开立方，亦得一尺零七厘有余，为所求之阔；以高四寸自乘再乘，倍之开立方，亦得五寸零三厘有余，为所求之高也。如图甲乙丙丁长方体，甲乙高四寸，丁戊阔八寸，甲戊长一尺二寸，将其积倍之，即如己庚辛壬长方体。此两长方体积之比例，即同于其相当二界各作两正方体积之比例【见几何原本十巻第五节】故依甲乙丙丁长方体之甲戊长界作甲戊丑子正方体，将其积倍之，即如己庚辛壬长方体之己癸长界所作之己癸卯寅正方体。故开立方得己癸为所求之长也。既得己癸之长，则以甲戊与丁戊之比，即同于己癸与壬癸之比，得壬癸为所求之阔；又甲戊与甲乙之比同于己癸与己庚之比，得己庚为所求之高也。若以原阔自乘再乘，倍之开立方，亦得一尺零七厘有余，为今所求之阔；原高自乘再乘，倍之开立方，亦得五寸零三厘有余，为今所求之高，皆如以其相当二界各作正方体互相为比之理也。

设如长方体，长一尺二寸，阔八寸，高四寸。今将其积八倍之，仍与原形为同式形，问得长阔高各几何？法以长一尺二寸倍之，得二尺四寸，即所求之长。又以原阔八寸倍之，得一尺六寸，即所求之阔。又以原高四寸倍之，得八寸，即所求之高也。如图甲乙丙丁长方体，甲乙高四寸，丁戊阔八寸，甲戊长一尺二寸。将其积八倍之，即如巳庚辛壬长方体，其每边得甲乙丙丁长方体毎边之二倍，是故不用八倍其积，开立方止以各边之数倍之而即得也。此法盖因两长方体之比例，既同于其相当二界各作正方体之比例，而两正方体之比例比之二界之比例为连比例隔二位相加之比例，故两长方体积之比例较之两体各界之比例，亦为连比例隔二位相加之比例也。设如堑堵体，形阔五尺，长十二尺，高七尺，问积几何？法以阔五尺与长十二尺相乘，得六十尺，又以高七尺再乘，得四百二十尺，折半得二百一十尺，即堑堵体形之积也。葢堑堵体形，即平行二勾股面之三棱长体，如甲乙丙丁戊己堑堵体形，其两端之二面皆为勾股形，一为甲乙丙，一为丁戊己，俱平行。以乙丙阔与丙丁长相乘，成乙丙丁己长方面形，又以甲乙高再乘，成甲乙丙丁庚戊长方体形。凡平行面之长方体，自其一面之对角线平分为两三棱体，此两三棱体之积相等【见几何原本五卷第十七节】夫一长方体所分两三棱体之积既相等，则三棱体积必为长方体积之一半，故将所得之甲乙丙丁庚戊长方体积折半，即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也。又法，以阔五尺与高七尺相乘，得三十五尺，折半得一十七尺五寸，与长十二尺相乘，得二百一十尺，即堑堵体形之积也。如甲乙丙丁戊己堑堵体形，以甲乙高与乙丙阔相乘，折半得甲乙丙一勾股面积，又与丙丁长相乘，即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也。设如刍荛体形，阔四尺，长十二尺，高四尺，问积几何？法以阔四尺与长十二尺相乘，得四十八尺，又与高四尺相乘，得一百九十二尺，折半得九十六尺，即刍荛体形之积也。葢刍荛体形即平行两三角面之三棱长体【有直角为堑堵体，无直角为刍荛体】如甲乙丙丁戊己刍荛体形，其两端之二面皆为三角形，一为甲乙丙，一为丁戊巳，俱平行。以乙丙阔与丙丁长相乘，成乙丙丁已长方面形。又以甲庚高再乘，成辛乙丙丁壬癸长方体形。凡平行面之三棱体积为平行面方体积之一半【见几何原本五卷第二十节】故将所得之辛乙丙丁壬癸长方体积折半，即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也。又法，以阔四尺与高四尺相乘，得一十六尺，折半得八尺，与长十二尺相乘，得九十六尺，即刍荛体形之积也。如甲乙丙丁戊己刍荛体形，以乙丙阔与甲庚高相乘，折半得甲乙丙三角形面积，又与丙丁长相乘，即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也。

设如方底尖体形，底方毎边五尺，自尖至四角之斜线皆六尺，问自尖至底中立垂线之高几何？法以底方每边五尺求对角斜线，法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余，折半得三尺五寸三分五厘五豪三丝有余为勾，以自尖至四角之斜线六尺为▯，用勾▯求股法，求得股四尺八寸四分七厘六豪八丝有余，即自尖至底中立垂线之高数也。如图甲乙丙丁戊方底尖体形，先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线，折半于己，得乙巳为勾，以自尖至角之甲乙斜线为▯，求得甲己股，即自尖至底中立垂线之高也。又法以底方每边五尺为平面三角形之底，以自尖至四角之斜线六尺为两腰，用平面三角形求中垂线法，求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三豪五丝为▯，以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾，求得股四尺八寸四分七厘六豪七丝有余，即自尖至底中立垂线之高数也。如图甲乙丙丁戊尖方体，其四面皆为平面三角形，一为甲乙丙，一为甲丙丁，一为甲丁戊，一为甲戊乙。任以甲乙丙三角形之乙丙为底，以甲乙、甲丙为两腰，求得甲庚中垂线，而以此甲庚为▯，底邉折半得庚己为勾，求得甲己股，即自尖至底中立垂线之高也。设如方底尖体形，底方每边六尺，高三尺，问积几何？法以下方每边六尺自乘，得三十六尺，又以高三尺再乘，得一百零八尺，三归之，得三十六尺，即方底尖体形之积也。如甲乙丙丁戊方底尖体形，以乙丙一边自乘，得乙丙丁戊正方面形，又以甲己高再乘，得庚乙丁辛扁方体形，此扁方体与尖方体之底面积等，其高又等，故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等【见几何原本五卷第二十三节】试将甲己高倍之，得壬己，与乙丙丁戊底面积相乘，得癸乙丁子正方体形，此正方体之乙丙丁戊子寅癸丑、癸乙丙丑、戊丁子寅、乙戊寅癸、丙丁子丑六方面，皆与尖方体之底面积等，又自甲心依各棱至各角剖之，则成甲乙丙丁戊、甲子寅癸丑、甲癸乙丙丑、甲戊丁子寅、甲乙戊寅癸、甲丙丁子丑六尖方体，此每一尖方体俱为倍高正方体之六分之一，既为倍高正方体之六分之一，则必为同高扁方体之三分之一，故将所得庚乙丁辛之同高方体积三分之，而得甲乙丙丁戊尖方体之积也。设如阳马体形，底方毎边六尺，高亦六尺，问积几何？法以底方毎边六尺自乘，得三十六尺，又以高六尺再乘，得二百一十六尺，三归之，得七十二尺，即阳马体形之积也。如甲乙丙丁戊阳马体形，以乙丙一边自乘，得乙丙丁戊正方面形，又以甲丁高再乘，得己乙丁甲正方体形。此己乙丁甲一正方体之积，与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等，故三分之，即得阳马体之积也。

此阳马体与尖方体形虽不同，而法则一。葢尖方体形尖在正中，阳马体形尖在一隅。然大凡体形，其底面积等，高度又等，则其体积亦必相等【见几何原本二巻第二十二节】故今阳马体之乙丙丁戊底面积，即如尖方体之底，其甲丁高度，即如尖方体之高度，故形虽不同，而积则一也。设如鼈臑体形，长与阔俱四尺，高九尺，问积几何？法以长与阔四尺自乘，得十六尺，以高九尺再乘，得一百四十四尺，六归之，得二十四尺，即鼈臑体形之积也。葢鼈臑体即勾股面之尖体，如甲乙丙丁鼈臑体形，以丁丙长与乙丙阔相乘，成乙丙丁戊正方面形，以甲丁高再乘，成甲庚戊乙丙己长方体形。此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等，而甲乙丙丁鼈臑体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积之一半。葢各类尖体，其底面积等，其高又等，则其体积亦等【见几何原本二卷第二十二节】今甲乙丙丁鼈臑体之乙丙丁底积，为甲戊乙丙丁阳马体之乙丙丁戊底面积之一半，则甲乙丙丁鼈臑体积亦必为甲戊乙丙丁阳马体积之一半。鼈臑体既为阳马体之一半，而阳马体又为长方体之三分之一，则鼈臑体必为长方体之六分之一，故将所得甲庚戊乙丙己长方体积六分之，即得甲乙丙丁鼈臑体之积也。又凡正方体或长方体按法剖之，即成堑堵、阳马、鼈臑各体，而自得其相比之率也。如图，甲乙丙丁戊己正方体，自其庚乙一面对角线至对面戊辛对角斜线平分之，即得甲乙辛戊己与庚乙丙丁戊二堑堵体。又将庚乙丙丁戊堑堵体，自其上棱戊角至乙对角，依乙丙下棱斜剖之，则得戊乙丙丁辛一阳马体，乙丙戊庚一鼈臑体。又将戊乙丙丁辛阳马体，自其戊乙相对斜棱平分之，则得戊乙丁辛与戊乙丙丁二鼈臑体。夫一正方体剖之得二堑堵体，是堑堵体为正方体二分之一也。一堑堵体剖之得一阳马体、一鼈臑体，而一阳马体剖之又得二鼈臑体，是阳马体为堑堵体之三分之二，即为正方体之三分之一，而鼈臑体为堑堵体之三分之一，即为正方体之六分之一也。设如上下不等正方体形，上方毎边四尺，下方毎边六尺，高八尺，问积几何？法以上方每边四尺，自乘得一十六尺；下方每边六尺，自乘得三十六尺。又以上方毎边四尺与下方毎边六尺相乘，得二十四尺。三数相并，得七十六尺，与高八尺相乘，得六百零八尺。三归之，得二百零二尺六百六十六寸有余，即上下不等正方体形之积也。如甲乙丙丁上下不等正方体形，戊丁上方边自乘，得甲戊丁己正方面形；庚丙下方边自乘，得乙庚丙辛正方面形；戊丁上方边与庚丙下方边相乘，得壬癸子丑长方面形。将此三方面形相并，与高八尺相乘，得三长方体形。

其一上下方面俱如甲戊丁己，其一上下方面俱如乙庚丙辛，其一上下方面俱如壬癸子丑。葢乙庚丙辛长方体比甲戊丁己长方体多壬癸戊甲、戊寅卯丁、己丁子丑、辰甲已巳四方廉体，又多乙壬甲辰、癸庚寅戊、丁卯丙子、已已丑辛四长廉体；而壬癸子丑长方体比甲戊丁巳长方体多壬癸戊甲、巳丁子丑二方廉体。若将共多之六方廉体、四长廉体俱截去，则此三长方体之上下方面必皆如甲戊丁己。乃以每一方廉体变为二堑堵体，每一长廉体变为三阳马体，共得十二堑堵体、十二阳马体。将甲戊丁已类三长方体各加四堑堵体、四阳马体，则皆成上下不等三正方体。故三归之，而得甲乙丙丁上下不等一正方体形之积也。又法，以上方边四尺与下方边六尺相减，余二尺，折半得一尺为一率；高八尺为二率；下方边六尺折半得三尺为三率，求得四率二十四尺，为上下不等正方体形上补成一尖方体之共高。乃以下方边六尺自乘，得三十六尺，与所得共高二十四尺相乘，得八百六十四尺，三归之，得二百八十八尺，为大尖方体之积。又以高八尺与共高二十四尺相减，余十六尺，为上小尖方体之高。以上方边四尺自乘，得十六尺，与上高十六尺相乘得二百五十六尺，三归之得八十五尺三百三十三寸有余，为上小尖方体之积。与大尖方体积二百八十八尺相减，余二百零二尺六百六十六寸有余，即上下不等正方体形之积也。如甲乙丙丁上下不等正方体形，加戊甲丁小尖方体形，遂成戊乙丙大尖方体形。先以上方边与丁方边相减，折半如巳庚；下方边折半如己辛。依勾股比例，巳庚与壬庚之比，即同于己辛与戊辛之比。以戊辛与乙丙下方面相乘，三归之得戊乙丙大尖方体积。以戊癸与甲丁上方面相乘，三归之得戊甲丁小尖方体积。于戊乙丙大尖方体积内减去戊甲丁小尖方体积，所余必甲乙丙丁上下不等正方体形之积也。设如上下不等长方体形，上方长四尺，阔三尺，下方长八尺，阔六尺，高十尺，问积几何？法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺，倍之得二十四尺；下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺，倍之得九十六尺；又以上阔三尺与下长八尺相乘得二十四尺，以下阔六尺与上长四尺相乘得二十四尺，四数相并得一百六十八尺，与高十尺相乘得一千六百八十尺，六归之得二百八十尺，即上下不等长方体形之积也。如甲乙丙丁上下不等长方体形，戊丁上长与甲戊上阔相乘得一甲戊丁庚长方面形，倍之得二甲戊丁庚长方面形；已丙下长与乙己下阔相乘得一乙己丙辛长方面形，倍之得二乙己丙辛长方面形；甲戊上阔与已丙下长相乘得一壬癸子丑长方面形；乙己下阔与戊丁上长相乘得一寅卯辰巳长方面形。

将此六长方面形相并，与高十尺相乘得六长方体形，其二上下方面俱如甲戊丁庚，其二上下方面俱如乙己丙辛，其一上下方面俱如壬癸子丑，其一上下方面俱如寅卯辰巳。葢二乙己丙辛长方体比二甲戊丁庚长方体为多二壬癸戊甲、二戊卯辰丁、二庚丁子丑、二寅甲庚己八方廉体，又多二乙壬甲寅、二癸巳卯戊、二丁辰丙子、二巳庚丑辛八长廉体；而一壬癸子丑长方体比一甲戊丁庚长方体多一壬癸戊甲、一庚丁子丑二方廉体；而一寅卯辰巳长方体比一甲戊丁庚长方体多一寅甲庚巳、一戊卯辰丁二方廉体。若将共多之十二方廉体、八长廉体俱截去，则此六长方体之上下方面必皆如甲戊丁庚，乃以每一方廉体变为二堑堵体，每一长廉体变为三阳马体，共得二十四堑堵体、二十四阳马体。将六长方体各加四堑堵体、四阳马体，则皆成上下不等六长方体，故六归之而得甲乙丙丁上下不等长方体形之积也。

又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上阔三尺相乘得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下阔六尺相乘得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也此法与前法同此法之以上长倍之加下长与上阔相乘之数即前法之上长上阔相乘倍之又加上阔与下长相乘之数也又此法之以下长倍之加上长与下阔相乘之数即前法之下长下阔相乘倍之又加下阔与上长相乘之数也图解并同又法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺又以上长四尺与下阔六尺相乘下长八尺与上阔三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺与高十尺相乘得八百四十尺三归之得二百八十尺亦即上下不等长方体形之积也葢此法与上下不等正方体求积之法同但正方体上下俱系正方面故止用上下方边各自乘上方边与下方边相乘此则上下方面各有长阔既用上方长阔相乘下方长阔相乘又必以上长乘下阔下长乘上阔相加折半以取中数乃可相并而与高数相乘三归之而得体积也又法以上长四尺与下长八尺相减余四尺折半得二尺为一率高十尺为二率下长八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等长方体形上补成一尖长方体之共高乃以下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺与所得共高二十尺相乘得九百六十尺三归之得三百二十尺为大尖长方体之积又以高十尺与共高二十尺相减余十尺为上小尖长方体之高以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺与上高十尺相乘得一百二十尺，三归之得四十尺，为上小尖长方体之积。与大尖长方体积三百二十尺相减，余二百八十尺，即上下不等长方体形之积也。如甲乙丙丁上下不等长方体形，加戊甲丁小尖长方体形，遂成戊乙丙大尖长方体形。先以上长与下长相减，折半如己庚；以下长折半如己辛。依勾股比例，己庚与壬庚之比，即同于己辛与戊辛之比。以戊辛与乙丙下长方面相乘，三归之得戊乙丙大尖长方体积。以戊癸与甲丁上长方面相乘，三归之得戊甲丁小尖长方体积。于戊乙丙大尖体积内减去戊甲丁小尖体积，所余必甲乙丙丁上下不等长方体形之积也。设如上下不等刍荛，体形上长十尺，下长十四尺，下阔五尺，高十二尺，问积几何？法以上长十尺与下阔五尺相乘得五十尺，以高十二尺再乘得六百尺，折半得三百尺，为上下相等刍荛体积。又以上长十尺与下长十四尺相减，余四尺，与下阔五尺相乘得二十尺，以高十二尺再乘得二百四十尺，三归之得八十尺，与先所得上下相等刍荛体积三百尺相并，得三百八十尺，即上下不等刍荛体之积也。

如甲乙丙丁戊上下不等刍荛体形，自其上棱之甲戊两端直剖之，则分为甲己辛壬戊一刍荛体，甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体。故以与上长相等之己庚与己辛阔【与乙丙等】相乘，即得己辛壬庚刍荛体之底面积，与甲癸高相乘，折半得甲己辛壬戊刍荛体积。又以甲戊上长与丙丁下长相减，所余丙辛壬丁二叚，即二尖方体之共长，与乙丙阔相乘，得乙辛与庚丁二尖方体之底面积，与高相乘，三归之，即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积，与甲己辛壬戊一刍荛积相加，即得甲乙丙丁戊一上下不等刍荛体之总积也。设如两两平行边斜长方体形，长二尺四寸，阔八寸，高三尺七寸，问积几何？法以长二尺四寸与阔八寸相乘，得一尺九十二寸，又以高三尺七寸再乘，得七尺一百零四寸，即两两平行边斜长方体形之积也。如图，甲乙丙丁戊己斜长方体形，以乙丙阔与丙丁长相乘，得乙丙丁庚长方面积，以戊丙高再乘，成己乙丙丁辛壬长方体。凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体，其积必俱相等【见《几何原本》五巻第十九节】故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体，必与己乙丙丁辛壬正立之长方体为相等也。设如空心正方体积一千二百一十六寸，厚二寸，问内外方边各几何？法以厚二寸自乘再乘，得八寸，八因之，得六十四寸，与共积一千二百一十六寸相减，余一千一百五十二寸，六归之，得一百九十二寸，用厚二寸除之，得九十六寸，为内方边，与外方边相乘，长方面积，乃以厚二寸倍之，得四寸，为长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔八寸，即内方边，得长一尺二寸，即外方边也。如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体，其甲丑即空心正方体之厚，以之自乘再乘，八因之，得壬辛子癸类八小隅体，与空心正方体相减，则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体，六归之，得丑寅巳子一长方扁体，用厚二寸除之，得丑寅卯辰一长方面积，其丑寅阔与戊己等，即内方边，其丑辰长与甲乙等，即外方边，其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等，丑戊辛辰并之，即长阔之较，故以厚二寸倍之为带纵，求得阔为内方边，长为外方边也。又法，以厚二寸，倍之得四寸，为内方边与外方边之较，自乘再乘，得六十四寸，与空心正方体积一千二百一十六寸相减，余一千一百五十二寸，三归之，得三百八十四寸，以内外方边之较四寸除之，得九十六寸，为长方面积，以内外方边之较四寸为长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔八寸，即内方边加较四寸，得一尺二寸，即外方边也。如图，甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体，以戊己庚辛空心小正方形移置乙角之一隅，则空心正方体变为甲戊辛庚丙丁壬磬折体形，其甲戊即磬折体之厚，为甲乙外方边与戊己内方边之较，依开立方次商法分之，得癸子丑三方廉体，寅卯辰三长廉体，巳一小隅体，以甲戊厚度自乘再乘，得巳一小隅体，与共积相减，余三方廉体三长廉体，三归之，则余癸一方廉体，寅一长廉体，共成午甲乙庚未申一扁方体，其午甲厚与甲戊等，以午甲厚除午甲乙庚未申扁方体，则得甲乙庚未之长方面形，甲戊即长阔之较，故用带纵较数开平方法算之，得乙庚阔，与戊乙等，即空心方体之内方边，以甲戊与戊乙相加，得甲乙，即空心方体之外方边也。

设如大小两正方体，大正方体比小正方体每边多四寸，积多二千三百六十八寸，问大小两正方边各几何？法以大正方边比小正方边所多之较四寸，自乘再乘得六十四寸，与大正方体比小正方体所多之积二千三百六十八寸相减，余二千三百零四寸，三归之得七百六十八寸，以边较四寸除之，得一百九十二寸为长方面积。乃以边较四尺为长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔十二尺，即小正方之边数，加较四尺得十六尺，即大正方之边数也。如图，甲乙丙丁一大正方体，戊己庚辛一小正方体。试于甲乙丙丁大正方体减去戊己庚辛小正方体，余壬甲戊辛庚丙丁三面磬折体形，即大正方积比小正方积所多之较，甲戊为磬折体之厚，即大正方边比小正方边所多之较。此三面磬折体形依开立方次商法分之，则得癸子丑三方廉体，寅卯辰三长廉体，巳一小隅体。以甲戊边较自乘再乘得巳一小隅体，与磬折体积相减，余三方廉体三长廉体，三归之则得癸一方廉体，寅一长廉体，共成午甲乙庚未申一扁方体。其午甲厚与甲戊等，以午甲厚除之，则得甲乙庚未之长方面形。甲戊即长阔之较，故用带纵开平方法算之，得乙庚阔，与戊乙等，即小正方之边数，以甲戊与戊乙相加得甲乙，即大正方之边数也。设如大小二正方体共边二十四尺，共积四千六百零八尺，问两体之每边及体积各几何？法以共边二十四尺自乘再乘，得一万三千八百二十四尺，内减共积四千六百零八尺，余九千二百一十六尺，三归之，得三千零七十二尺，以共边二十四尺除之，得一百二十八尺，为长方面积。乃以共边二十四尺为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔八尺，即小正方之边数，与共边二十四尺相减，余十六尺，即大正方之边数也。如图，甲乙丙丁一大正方体，戊己庚辛一小正方体，以共边二十四尺自乘再乘，则成壬乙癸子一总正方体，内减甲乙丙丁与戊己庚辛大小两正方体之共积，余丑寅卯三方廉体，辰巳午三长廉体，三归之，则得丑一方廉体，辰一长廉体，共成未壬乙丙戊申一扁方体，用壬乙共边除之，则得未壬戊申之长方面形，其未壬阔与壬甲等，其壬戊长与甲乙等，故以壬乙共边为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得未壬阔，即小正方之边数，与长阔和相减，余壬戊长，即大正方之边数也。

御制数理精蕴下编卷二十五<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书