庄氏算学卷五
庄氏算学卷五
淮徐海道庄亨阳撰中西笔算度量权衡度法丈、尺、寸、分、厘、毫、丝、忽、微、纎、沙、尘、埃、▯、漠、模糊、逡巡、须防、瞬息、弹指、刹那、六徳、虚空、清浄【俱逓以十析】
量法石，斗，升，合，勺，撮，抄，圭【俱逓以十析】粟【六粟为圭】
权衡两钱分厘毫丝忽【俱逓以十析，忽以下并与度法同】凡丈石两以上则为十百千万【逓増十倍】亿兆京垓秭穰沟涧正载极恒河沙，阿僧秖那由他【不可思议，无量数亿以下俱逓増万倍】
田法顷【百畆为顷】畆【二百四十步为一畆】分【二十四步为分】步【方五尺为步】
斤法斤【十六两为一斤】两【以下俱与权衡同】
里法里【三百六十步为一里，计一百八十丈】
厯法周天【十二宫为周】宫【三十度为宫】度【六十分为度】分，秒，微，纎，忽，芒，尘【俱逓以六十析】
日时日【十二时，又为二十四小时】时【八刻，又为二小时】刻【十五分】分以下俱与前同。
石法石【积二千五百寸，即正方一尺，髙二尺五寸，此系旧法。如以尺度较仓积，先将现用斗较准，然后用为比例，方得宻合也】
命位凡数视所命单位为本，如度法命丈为单位，则尺寸分厘皆为竒零；命尺为单位，则寸以下为竒零，而丈则进而为十；若命寸为单位，则分以下为竒零，而尺则进而为十，丈则进而为百。量法命石为单位，则斗升合勺皆为竒零；命斗为单位，则升以下为竒零，而石则进而为十；若命升为单位，则合以下为竒零，而斗则进而为十，石则进而为百。衡法命两为单位，则钱分厘毫皆为竒零；命钱为单位，则分以下为竒零，而两则进而为十；若命分为单位，则厘以下为竒零，而钱则进而为十，两则进而为百。故凡列数，单为一位，十为二位，百为三位，千为四位，万为五位。如有数一万二千三百四十五，则以单位为末，向前列之，共有五位，即知此数首位是万矣。至于厯法宫度分秒日时刻分之定位，则每项命两位，如宫曰几十几宫，度曰几十几度，分曰几十几分之类。葢因秒以六十而进分，分以六十而进度，度以三十而进宫，故常列一位即命一等者，宫度时刻则两位命为一等，而每一等有十单之列焉。此又命位之最要者也。
加法加者，命众数而总成也。葢数始于一，终于九，至十又复为一，等而上之，十、百、千万，以至亿、兆、京、垓，皆得名之为一，即皆自一而加者也。今自一位言之，有自一至九之数；合前后之位言之，有单、十、千万之等。先自单数加起，成十则进前一位，仍为一，以单数纪本位，下挨次并之，即得总数。若夫宫、度、时刻、斤两之数，则不以十进，必足所命之分，始进一位。
减法减者，较众数而得余也。凡以少减多，以小减大，原有之数书于上，应减之数书于下，横列必对其位，相减必从其类【如千减千，百减百之类】如或下数大于上数，不足减，则借前之一以减本位【加法由后而进前，减法则借前而退后，其理一也】前位作一防以志之，既得本位，则前位所借之一并于前数而为减数。然数相减，必先辩其多寡，首位必大于减数始可，其定位亦然。原列之次为减余位。
因乗因乗者生数也，以数生数，有生生不已之义焉。凡有几数，彼此按次加之为得总数，然所加之次数多，则必至于繁而无统，此因乗之所以立也。因者，一位相因而得，如二因三而成六，四因二而成八也。乗者，多位相乗而得，如两位以上，则各以每位所因之数，而又层累以积之也。其法以原数为实，乗数为法，实列于上，法列于下，必使法实相当【如千对千，百对百，十对十，单对单之类】按法乗实，合而加之为所得数。定位之法，视其法实所命之单位后有竒零与否，如无竒零，则实中所命之单位相对即法尾之数；若有竒零，则法实相乗者，法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位，则截得数之二位；竒零有二位，则截得数之四位，向前为单位纪之】法实相乗，再以法乗者【即自乗、再乗也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位，则截得数之三；竒零有二位，则截得数之六位，向前为单位纪之】是故得数以一位论者，则为单、十、百、千之类；以两位论者，则为自乗之类；以三位论者，则为自乗再乗之类。错综交互用法不一，必须临题详审，求其无误，始为得之。具见设如于左。
开平方法平方积者，两数相乗所得之数也。开之之法，每方积二位，得方边一位。法以自乗数与方根相商以相合者，即定为初商，书于积之上，而以自乗之数，书于初商积之下。爰以方边末位积数续书于下，为次商亷隅之共积。乃以初商之数倍之为亷法，以除余积，足几倍即定次商为几倍，书于方积之上。而以次商数为隅法，与亷法数相加得数，为亷隅共法，书于余积之左。以次商数乗之得数，与次商亷隅共积相减，减尽则已。如有余数，又为第三位以后积数，商开之法与次商同。
开带纵平方法较法法以縦方积四因以较自乗二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为濶也又法，以纵多折半，自乗与原积相加，以开平方法开之，得数为半和。于半和较减半较，得濶；于半和加半较，得长也。较数纵平方，有较无长濶和，故四因积数与较自乗数相加，得长濶和积，开方为长濶和。和数纵平方，有长濶和，无长濶较，故用和自乗，得和积与四因积相减，余数为较积，开平方为长濶较。总之，有长濶和有较者，于和内加较，折半为长，减较折半为濶，其理同也。
和法法以纵方积数四因，以和自乘得数，减去四因之数，以开平方法开之，即长濶相较之数。以较数与和数相加，折半为长，减较即濶也。又法，以和数折半为半和，自乗与原积相减，以开平方法开之，得数为半较。于半和减半较为濶，于半和加半较为长。
开立方法立方者，自乗再乗所得之数也。有正方体之积数而求其每一边之数也。每积数三位，得边数一位。其体形有初商之一大正方【此为自一至九自乗再乗数】为首位。用各数自乗再乗为首位积，以减通积，余数为次位。以后积数次位积形为磬折体，包大方之三面，故有三平亷。其边与大方等，其厚与次商数等。有三长亷，其长与大方等，其寛厚皆与次商数等。有一小隅，系次商自乗再乗之数。法以初商数自乗相因，为三平廉面积，与余积相商约得几倍【用为少之数】即定次位为几数。然后以次商数与初商数相乗三，因为三长亷面积。又以次商自乗为小隅面积。三数相并为平亷、长亷、小隅之共面积。再以次商数乗之为磬折形通积，以减余积，减尽则止。如有余数，又为第三位以后积数。开之之法与次商同。开平方者，有正方面之积数，而求其每一边之数也。每积二位，得方边一位，以纵横之积数能至十倍故也。法以各数自乗之数除首位积，其余数为第二位以后积数。次以首位数加倍为亷法，以商余积得几倍，即定次位为几数，并以此数为隅法。然后以第二位数与亷法、隅法相乗，以减余积，减尽则止。再有不尽之数，又为第三位积数，照前商除，其法皆同。
田地顷畆分法纵横方五尺为一步，二百四十步为一畆，一百畆为一顷。凡地纵横相乗得积步，得积步以二百四十步除之得畆数，再二十四步为一分，除不尽者为零若干步。凡得积丈，以六十除之得畆数【每边数一丈得积四步】再六丈为一分，除不尽者为零若干丈尺。
正比例以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也。其法以原有为两数为一率、二率，以现有之一数为三率。二率、三率相乗，一率除之，得四率为所求。三率与一率同类，四率与二率同类。
庄氏算学卷五
钦定四库全书