御制数理精蕴下编卷十六

御制数理精蕴下编卷十六

面部割圜【割圜，八线，六宗，三要，二简法，八线相求，求象限内各线总法】

割圜八线圜周定为三百六十度，大而周天，小而寸许，皆如之。葢圜有大小，而度分随之，其为数则同。自圜心平分圜周为四分，名曰四象限。每一象限九十度，一象限之中设为正▯、余▯、正矢、余矢、正切、余切、正割、余割，名之曰割圜八线。设如甲乙丙丁之圜，自圜心戊平分全圜为甲乙、乙丙、丙丁、丁甲四象限，其每一象限皆九十度。乃自圜心戊任作一戊己半径，则将甲丁九十度之弧分为甲己、己丁二▯己丁为己戊丁角所对之弧，甲己为甲戊己角所对之弧。如命己戊丁为正角，则甲戊己为余角；甲戊己为正角，则己戊丁为余角。正角所对为正弧，余角所对为余弧。今以己丁为正弧，故甲己为余弧。又自己与甲丙全径平行，作己辛线，谓之通▯其对己丁正弧而立于戊丁半径者，曰正▯又与戊丁半径平行，作壬己线，谓之余▯以其为甲己余弧之所对也。于戊丁半径内减戊庚余庚丁，谓之正矢；于甲戊半径内减壬戊余甲壬，谓之余矢。自圜界与甲戊半径平行，立于戊丁半径之末作垂线，仍与己戊丁角相对者，曰正切。将己戊半径引长与正切相遇于癸，成戊癸线，谓之正割。又自圜界与戊丁半径平行，作甲子线，谓之余切。戊癸正割被甲子余切截于子，所分戊子谓之余割。每一角一弧，即有正▯余▯正矢、余矢己成四线。于圜界之内复引出半径于圜界之外，而成正切、余切、正割、余割之四线，内外共为八线，故曰割圜八线。逐度逐分正弧之余，即为余弧之正；余弧之正，即为正弧之余。是以前四十五度之八线正余互相对待为用，不必复求后四十五度之八线也。凡此八线，皆九十度以内鋭角之所成。若直角九十度者，则不能成八线，葢因半径即九十度之正▯甲戊半径即甲丁弧之▯而切线割线为平行，终无相遇之处也。若钝角过九十度以外者，则于半周一百八十度内减其角度，用其余度之八线，即如己庚为己丁弧之正▯亦即乙己弧之正▯也要之，八线以正▯为本，有正▯则诸线皆由此生，故六宗三要皆系正▯之法。

六宗三要【二简法附】西洋厯算家作割圜八线表，始自圜内容六边、四边、十边、三边、五边、十五边，名曰六宗。葢用圜径求各等边形之一边，为相当弧之通▯，以为立表之原，故谓之宗。然六者实本于三，如六边形之一边，即圜之半径，不借他求数，无零余，而理最易见，此其一也。四边形之一边，则为半径所作正方形之对角斜▯，此又其一也。十边形之一边，则为半径所作连比例三率之中率，西法谓之理分中末线，此又其一也。至于三边形，则出于六边；五边形，则出于十边；十五边形，则又出于三边及五边，非别自立一法也。既得此六种形之一边，各半之，即得六种弧之各正▯。爰命此六种弧为本弧，按法可求本弧之余▯，可求倍本弧之正▯、余▯，亦可求半本弧之正▯、余▯，是为三要。又以不等两弧之正▯、余▯，求相加、相减弧之正▯。又两弧距六十度前后之度等，得其两正▯之较，即得距弧之正▯，是又名为二简法。由此错综之，可得正▯一百二十，其中最小者为四十五分之▯，其次一度三十分，又次为二度十五分，又次为三度，如此每越四十五分而得一▯。其自一分至四十四分之▯，则以比例求之。因弧分甚微，与直线所差无几，故以▯求▯而得之。此西法立割圜八线表之大纲也。尔来西法对数表内，有设连比例四率以求圜内容七边、九边二法，因推广其理于六宗之外，增求圜内容十八边形、十四边形之法，俱以半径为首率，求连比例四率之第二率，即十八边形、十四边形之每一边，而七邉又因之以生，亦犹三边之出于六边，五边之出于十边也。有此二形与六宗相叅伍，可得正▯三百六十，其中最小者为十五分之正▯。又增一法，求十五分之三分之一、五分之正▯，所少者止一分至四分之正▯，较之四十五分为尤密可知矣。今以六宗、三要、二简法理分中末线，并新增数法，皆按类具例于左。

六宗【圜内容六边形，四边形，三边形，十边形，五边形，十五边形】设如圜径二十万，求内容六边形之一边几何？法以圜径二十万折半，得半径十万，即圜内容六边形之每一边也。如甲圜内容六边形，每边之弧得圜周六分之一，皆六十度。试自圜心甲至圜界乙、丙二处作甲乙、甲丙二半径线，成甲乙丙三角形，则甲角所对之弧为六十度，而甲乙、甲丙两腰俱为半径，既相等，则乙角、丙角亦必相等，而各为六十度矣。三角既等，则三边亦必相等，故乙丙边即与甲乙、甲丙半径相等也。乙丙弧既为六十度，则乙丙边十万为六十度之通▯，折半得乙丁五万，即乙戊弧三十度之正▯也。此即六边起算之理。前设圜径为二兆者，所以求其密合；今设圜径为二十万，所以取其便于用也。设如圜径二十万，求内容三边形之一边几何？法以圜径二十万为▯，自乗得四百亿。又以半径十万为勾，自乗得一百亿，相减余三百亿，开方得股一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】即圜内容三边形之每一边也。如甲圜内容三边形毎边之弧得圜周三分之一，皆一百二十度，为六边形每边弧之一倍。试自乙角过圜心至对界作乙丁全径线，又自丁依半径度至丙作丁丙线，则成六边形之每一边。其丙丁弧即为三边形之每边弧之一半，而丙角立于圜界之一半，必为直角。故半径为勾，全径为▯，求得股即三边形之每一边也。乙丙弧既为一百二十度，则乙丙边一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】为一百二十度之通▯，折半得乙戊八万六千六百零二【小余五四○三七八四】即乙己弧六十度之正▯也。设如圜径二十万，求内容四边形之一边几何。法以圜径二十万折半，得半径十万，自乗得一百亿，倍之得二百亿，开方得一十四万一千四百二十一【小余三五六二三七三】即圜内容四边形之每一边也。如甲圜内容四边形每边之弧，得圜周四分之一，皆九十度。试自圜心甲至圜界乙丙二处，作甲乙、甲丙二半径线，成甲乙丙勾股形。若命甲乙半径为股，则甲丙半径为勾；若命甲丙半径为股，则甲乙半径为勾。因勾股皆为半径，故以半径自乗倍之开方而得▯，即如勾股各自乗并之开方而得▯也。乙丙弧既为九十度，则乙丙边一十四万一千四百二十一【小余三五六二三七三】为九十度之通▯，折半得乙丁七万零七百一十【小余六七八一一八六】即乙戊弧四十五度之正▯也。理分中末线【此西法名也。因命一线为首率，将此首率分为大小两分，大分为中率，小分为末率，与原线共为相连比例三率，故谓之理分中末线也】设如以十万为首率，作相连比例三率，使中率、末率相加与首率等，求中率、末率各几何？

法以十万自乗得一百亿为长方积，以十万为长阔之较，用带纵较数开方法算之，得阔六万一千八百零二，即相连比例之中率。以中率与首率十万相减，余三万八千一百九十七，即相连比例之末率也。此法葢因连比例三率之首率末率相乗之长方积与中率自乗之正方积等，而首率之中有一中率一末率之数，故首率自乗之一正方积中有首率中率相乗之一长方，又有首率末率相乗之一长方。即如甲乙为首率，丙乙为中率，甲丙为末率。丙乙中率自乗之正方为丁戊乙丙，甲丙末率与甲乙首率相乗之长方为甲丙庚辛【甲辛与甲乙等】此一正方一长方之积等，而甲乙首率自乗之正方为甲乙己辛，丙乙中率与甲乙首率相乗之长方为丙乙己庚【丙庚与甲乙等】夫甲丙庚辛之长方既与丁戊乙丙之正方等，则甲乙己辛之正方亦必与丁戊己庚之长方等。是以丁戊己庚长方形之阔即中率，其长比阔之较即首率。故以首率自乗为长方积，仍以首率为长比阔之较，用带纵平方法开之，得阔为中率也。又法以首率十万为股，首率十万折半得五万为勾，求得▯一十一万一千八百零三，内减勾五万，余六万一千八百零三，为相连比例之中率。以中率与首率相减，余三万八千一百九十七，即为相连比例之末率也。如图，甲乙与乙丙皆为首率，今以甲乙为股，乙丙折半得乙丁为勾，求得甲丁▯。试依甲丁▯度，将乙丁勾引长至戊，作丁乙戊线，仍自甲至戊作一圜界，则甲丁、戊丁同为半径，且皆为▯。于戊丁▯内减乙丁勾，所余乙戊与己乙等，即中率。于甲乙首率内减去与乙戊相等之己乙中率，所余甲己即末率也。此法与前法理实相同。带纵较数开方法，有以半较自乗与原积相加，开方得半和，于半和内减半较得阔者。今此法以首率为股，自乘得甲乙丙壬正方形，即与庚戊丙辛长方形积等。乙丙即长阔之较，乙丁即半较，戊丁即半和。今以乙丁为勾自乘，甲乙为股自乘，相加开方得甲丁▯，即如乙丁半较自乘与甲乙自乘原积相加，开方而得甲丁与戊丁等。戊丁内减乙丁，余戊乙，即半和内减半较得阔为中率也。设如圜径二十万，求内容十边形之一边几何？法用连比例三率，有首率求中率，末率使中率末率相加与首率等之法。以圜径二十万折半得十万为首率，自乘得一百亿为长方积，以十万为长阔之较，用带纵较数开方法算之，得六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为连比例之中率，即圜内容十边形之每一边也。如甲圜内容十边形每边之弧得圜周十分之一，皆三十六度，其通▯即圜内十边形之一边。试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙、甲丙二半径线，遂成甲乙丙三角形。

复自圜界乙至圜界戊作一乙戊线，则截甲丙线于丁，又成乙丙丁三角形，而乙戊遂为一百零八度之通▯。此乙丙丁三角形与甲乙丙三角形为同式形【乙丙丁三角形之乙角当戊丙弧为乙丙弧之倍，则乙丙丁三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等，又同用丙角，其余一角亦必等，故为同式形】其相当各边俱成相连比例，故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙丁之比，为相连比例三率，而甲乙为首率，乙丙为中率，丙丁为末率也。又甲乙丙三角形，其甲角既居全圜十分之一，为三十六度，则乙角必比甲角大一倍，为七十二度【三角形之三角共一百八十度，甲角既为三十六度，则乙丙两角必为一百四十四度，平分之各得七十二度，比甲角为大一倍也】而乙丙丁三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等，则甲丁乙三角形之乙角亦必与甲角等，是则甲丁乙三角形必两边相等之三角形，而乙丙丁三角形亦为两边相等之三角形也。夫甲丁既与丁乙等，而丁乙又与乙丙中率等，则甲丁亦必与中率等矣。是以甲丁中率与丁丙末率相加与甲丙首率等，故用连比例三率有首率求中率法算之，得中率为十边形之一边。也。又法以圜径二十万折半得半径十万为股，自乘得一百亿。又以半径十万折半得五万为勾，自乗得二十五亿。相加得一百二十五亿，开方得▯一十一万一千八百零三【小余三九八八七四九】于▯数内减去勾数，余六万一千八百零三【小余三九八八七四九】即圜内容十边形之每一边也。如甲圜内容十边形，每边之弧得圜周十分之一，皆三十六度。试自圜心甲至圜界乙作甲乙半径线为股，又自圜心甲取直角作甲丙半径线，折半得甲丁为勾，求得乙丁▯内减与甲丁相等之戊丁，余乙戊即与乙己等，为圜内容十边形之毎一边也。乙己弧既为三十六度，则乙己边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为三十六度之通▯，折半得乙庚三万零九百零一【小余六九九四三七四】即乙辛弧十八度之正▯也。设如圜径二十万，求内容五边形之一边几何？法以半径十万为底，仍以半径十万与圜内容十边形之一边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为两腰，用三角形求中垂线法算之，得中垂线五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也。如甲圜内容五边形每边之弧得圜周五分之一，皆七十二度。试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙、甲丙二半径线，遂成甲乙丙三角形，其乙丙边为七十二度之通▯。如以乙丙弧七十二度折半于丁，作乙丁线，即圜内容十边形之一边。仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线，又成甲乙丁三角形，而甲丁线平分乙丙线于戊，此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线，即五边形每边之一半。

故以甲丁半径为底，甲乙半径为大腰，乙丁十边形之一边为小腰，求得乙戊中垂线，倍之为五边形之毎一边也。又法，以半径十万为股，自乘得一百亿，圜内容十边形之一边六万一千八百零三【小余三九八八七四九】为勾，自乘得三十八亿一千九百六十六万零一百一十二【小余四八九九九○五八五八五○○一】相加得一百三十八亿一千九百六十六万零一百一十二【小余四八九九九○五八五八五○○一】开方得▯一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也。此法葢因半径自乘，十边形之一边自乘，两自乘方积相并，即与五边形之一边自乘之方积等，故用勾股求▯之法算之。如甲圜内容五边形，将乙丙弧折半于丁，作乙丁线，即圜内容十边形之一边，仍自圜心甲至丁作甲丁半径线，遂成甲乙丁三角形。又依乙丁线度截甲丁半径于己，作乙己线，成乙己丁三角形，与甲乙丁三角形为同式形，故甲乙为首率，乙丁为中率，己丁为末率，甲己亦与乙丁等为中率，而乙丙边平分己丁末率于戊，又成乙戊丁勾股形，乙戊五边形每边之半为股，丁戊末率之半为勾，乙丁中率为▯。试依甲丁半径度作甲庚辛丁正方形，又依乙丙五边形之一边度作乙丙癸壬正方形，其甲庚辛丁正方形内甲子丑已为乙丁▯自乘之一正方【甲已既与乙丁▯等，故甲子丑已为▯自乘之正方】已寅辛丁长方形亦与乙丁▯自乘之一正方等【丁辛原与甲丁首率等，己丁末率与丁辛首率相乘，自与乙丁中率自乘之正方等】而子庚寅丑长方形为乙丁▯自乘之一正方内少勾自乘之四正方【葢子庚辛夘长方形为首率与末率相乘之长方，与乙丁中率自乘之正方等，内却少丑寅辛夘正方形，而丑寅辛夘正方形实为戊丁勾自乘之四正方，故子庚寅丑长方形为乙丁▯自乘之一正方，少勾自乘之四正方也】是则甲丁半径自乘之甲庚辛丁正方形内，有▯自乘之三正方，而少勾自乘之四正方，再加乙丁▯自乘之一正方，共得▯自乘之四正方，而少勾自乘之四正方。大凡▯自乘之正方内，原有勾自乘之一正方，股自乘之一正方。今▯自乘之四正方内，少勾自乘之四正方，即与股自乘之四正方等。而乙丙一边自乘之乙丙癸壬正方形，实为乙戊股自乘之四正方。然则甲丁半径自乘方与乙丁十边形之一边自乘方相并，既与乙戊股自乘之四正方等，而乙丙一边自乘之正方，岂不与甲丁半径自乘、乙丁十边形之一边自乘之两正方等乎？故以甲丁半径为股，乙丁十边形之一边为勾，求得▯而为五边形之一边也。又法，以半径十万自乘，得一百亿为长方积，仍以半径十万为长阔之较，用带纵较数开方【折半得八万】法算之，得长一十六万，一【小余三九八八七四九】千八百零三，零九百零一【小余六九九四三七四】为自圜心至五边形每边之垂线。

乃以半径十万为▯，圜心至五边形每边之垂线为股，求得勾五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】即圜内容五边形之每一边也。如甲圜内容五边形，将乙丙弧折半于丁，作乙丁线，即圜内容十边形之一边。仍自圜心甲至丁作甲丁半径线，成甲乙丁三角形。又依乙丁线度截甲丁半径于己，作乙己线，成乙己丁三角形，与甲乙丁三角形为同式形。故甲乙为首率，乙丁为中率，己丁为末率。甲己亦与乙丁等为中率，而乙丙边平分己丁末率于戊，是以己戊与戊丁俱为半末率。而甲戊自圜心至边之垂线则为一中率半末率之共数。今以半径首率自乘为长方积，开带纵平方得长，乃首率与中率之和，其内有两中率一末率，折半得一中率半末率，即甲戊自圜心至边之垂线。既得甲戊垂线，乃以甲乙半径为▯，甲戊垂线为股，求得乙戊勾，倍之得乙丙，即圜内容五边形之一边也。或以乙丁中率为▯，戊丁半末率为勾，求得乙戊股，倍之亦即圜内容五边形之一边也。乙丙弧既为七十二度，则乙丙边一十一万七千五百五十七【次以圜内容小余○五】为七十二度之通▯，折半得乙戊五万八千七百七十八【○四五八四小余五二】即乙丁弧三十六度之正▯也。设如圜径二十万，求内容十五边形之一边几何？法以半径十万为▯，圜内容五边形之半，五万八千七百七十八【五二二九二小余五二】为勾，求得股八万零九百零一【五二二九二小余六九】内　　　　　　　　　　　　　　　【九四三七五】减半径之半五万余三万【小余六九九四三七五】零九百零一为股三边形之一边一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】内减圜内容五边形之一边一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】余五万五千六百四十八【小余○三○二九八四】折半得二万七千八百二十四【小余○一五一四九二】为勾求得▯四万一千五百八十二【小余三三八一六三五】即圜内容十五边形之每一边也如甲圜内容十五边形每边之弧得圜周十五分之一皆二十四度试从圜界乙作圜内容三边形又作圜内容五边形将三边形之每一边弧分五段五边形之每一边弧分三▯即得十五边形之每一边弧如戊庚与己丁二段皆为十五边形之弧故以甲丁半径为▯丁丙五边之半为勾求得甲丙股内减甲辛自圜心至三角底边之垂线为半径之半余辛丙与癸丁或壬庚等复于三边形之戊己边内减五边形之庚丁边即如戊己线内减壬癸余戊壬与癸己二▯折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚为股癸己或戊壬为勾求得己丁▯或戊庚▯即圜内容十五边形之每一边也己丁弧既为二十四度则己丁边四万一千五百八十二【小余三三八一六三五】为二十四度之通▯折半得己子二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即己丑弧十二度之正▯也

新增按分作相连比例四率法设如以十万为一率，作相连比例四率，使一率与四率相加，与二率三倍等，问二率、三率、四率各几何？法以一率十万自乘再乘，得一千兆【成一立方积】为实，又以一率十万自乘三因之，得三百亿【成三平面积】为法，以除原实一千兆，得三万。乃以三万自乘再乘，得二十七兆，益于原实一千兆内，得一千零二十七兆为共实。按除法，以所得三万与法三百亿相因，得九百兆，与共实相减，余一百二十七兆为第二位实，以法之三百亿除之，得四千。乃以首位所得三万合次位所得四千，共三万四千，自乘再乘，得三十九兆三千零四十亿，仍益于原实一千兆内，得一千零三十九兆三千零四十亿为共实。按除法，减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆，又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆，余一十九兆三千零四十亿为第三位实，以法之三百亿除之，得六百。所余太多，因益积，故取畧大之数为七百，合前两位所得三万四千，共三万四千七百，自乘再乘，得四十一兆七千八百一十九亿二千三百万，仍益于原实一千兆内，得一千零四十一兆七千八百一十九亿二千三百万为共实。按除法，减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆，又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆，又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆，余七千八百一十九亿二千三百万为第四位实，以法之三百亿除之，得二十。合前三位所得三万四千七百，共三万四千七百二十，自乘再乘，得四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千，仍益于原实一千兆内，得一千零四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千为共实。按除法，减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆，又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆，又减三位，所得七百，与法三百亿相因之二十一兆，又减四位，所得二十，与法三百亿相因之六千亿，余二千五百四十二亿一千零四万八千，为末位实。以法之三百亿除之，得八，所余亦太多，因益积，仍取畧大之数为九，合前四位所得三万四千七百二十，共三万四千七百二十九。自乘再乘，得四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万零二千四百八十九，仍益于原实一千兆内，得一千零四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九，为共实。按除法，以五次所得之数与法相因之数递减之，仍余一百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九不尽，是共除得三万四千七百二十九为相连比例之二率也。以二率之三万四千七百二十九自乘，得一十二亿零六百一十万三千四百四十一，以一率之十万除之，得一万二千零六十一为三率。

以二率之三万四千七百二十九三倍之，得十万四千一百八十七，内减去一率之十万，余四千一百八十七为四率。如以三率之一万二千零六十一自乘，以二率之三万四千七百二十九除之，亦得四千一百八十七为四率也。此为益实归除之法，葢因此法止有一率之数作相连比例四率，使一率与四率之共数与二率三倍等，而连比例四率之理，一率自乘用四率再乘，与二率自乘再乘之数等。今立法以一率自乘再乘为原实，较之三倍二率与一率自乘之面积相乘之数却少一二率自乘再乘之数，故以累除所得之数屡次自乘再乘益入原实，然后按法除之，始足二率三倍之数也。如图，甲乙为一率，庚子、子辰、辰乙皆为二率，庚甲为四率，庚乙为一率四率之共数，又为二率之三倍。甲乙丙丁戊己为一率自乘再乘之正方体，庚乙丙丁。壬癸为三倍二率与一率自乘面积相乘之长方体【一率自乘三因之得三平面如以二率乘之成三扁方体合之即成三倍二率乘一率自乘面积之一长方体】比一率自乘再乘之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体。此扁方体即一率自乘用四率再乘之数，与二率自乘再乘之积等。若于一率自乘再乘之正方体内加入二率自乘再乘之正方体，即如于甲乙丙丁戊己正方体上加一庚甲酉戊壬癸之扁方体，成庚乙丙丁壬癸之长方体，而以一率自乘之乙丙丁申方面除之，必得庚乙为二率之三倍。苟合乙丙丁申与辰己午未及子丑寅夘三方面除之，必得庚子或子辰或辰乙为二率。若不加积，止以三方面除之，则所得仍为一率之三分之一，比二率数必小。故以屡除所得之数屡次自乘再乘益入原积，则积渐增而得数亦渐大，递及末位，则所少之积已足，而除得之数即为二率之全数焉。设如圜径二十万，求内容十八边形之一边几何。法用连比例四率，有一率求二率，使一率与四率相加与二率三倍等之法。以圜径二十万折半得十万为一率，自乘再乘得一千兆为实，又以半径十万自乘三因之得三百亿为法，按益实归除之法，除实得三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为二率，即圜内十八边形之每一边也。如甲圜内容十八边形，每边之弧得圜周十八分之一，皆二十度，其通▯即圜内十八边形之一边。试自圜心至圜界乙丙作甲乙、甲丙二半径线，遂成甲乙丙三角形。复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线，则截甲丙线于戊，又成乙丙戊三角形，而乙庚为六十度之通▯。复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线，则又成丙丁戊三角形。此三三角形皆为同式形【乙丙戊三角形之乙角当庚丙弧为乙丙弧之倍，则乙丙戊三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等，又与甲乙丙三角形同用丙角；丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行，则丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角，亦必等，又与乙丙戊三角形同用戊角。

是此三三角形之各角互相等，而为同式形也】其相当各边俱成相连比例，故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比，乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比，为相连比例四率，而甲乙为一率，乙丙为二率，丙戊为三率，戊丁为四率也。又乙庚为六十度之通▯，与甲乙一率等，而乙戊、丁己、己庚三段皆与乙丙二率等，是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也。必以乙庚一率与丁戊四率相加，方与乙丙二率之三倍等，故用连比例四率有一率求二率法算之，得二率为十八边形之一边也。乙丙弧既为二十度，乙丙边三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为二十度之通▯，折半得一万七千三百六十四【小余八一七七六六七】即十度之正▯也。设如圜径二十万，求内容九边形之一边几何？法以半径十万为底，仍以半径十万与圜内容十八边形之一边三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为两腰，用三角形求中垂线法算之，得中垂线三万四千二百零二【小余○一四三三二六】倍之得六万八千四百零四【小余○二八六六五二】即圜内容九边形之每一边也。如甲圜容九边形每边之弧得圜周九分之一，皆四十度，试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙、甲丙二半径线，遂成甲乙丙三角形，其乙丙边为四十度之通▯。如以乙丙弧四十度折半于丁，作乙丁线，即圜内容十八边形之一边，仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线，又成甲乙丁三角形，而甲丁线平分乙丙线于戊，此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线，即九边形每边之一半，故以甲丁半径为底，甲乙半径为大腰，乙丁十八边形之一边为小腰，求得中垂线，倍之为九边形之每一边也。乙丙弧既为四十度，乙丙边为四十度之通▯，其乙戊中垂线三万四千二百零二【小余○一四三三二六】即乙丁弧二十度之正▯也。

按分作相连比例四率又法设如以十万为一率，作相连比例四率，使一率与四率相加，与二率两倍再加一、三率之数等，问二率、三率、四率各几何？法以一率十万自乘再乘得一千兆【成一立方体】为实，又以一率十万自乘二因之得二百亿【成二平面积】为法，以除原实一千兆得五万为尽数，因减实大于益实，故取畧小之数为四万，乃以四万自乘再乘得六十四兆，益于原实一千兆内得一千零六十四兆为益实，复以所得四万自乘得一十六亿，以一率十万再乘得一百六十兆，于益实内减之余九百零四兆为正实，按除法以所得四万与法二百亿相因得八百兆，与正实相减余一百零四兆为第二位实，以法之二百亿除之得五千，仍取畧小之数为四千，乃以首位所得四万合次位所得四千共四万四千，自乘再乘得八十五兆一千八百四十亿，益于原实一千兆内得一千零八十五兆一千八百四十亿为益实，复以所得四万四千自乘得一十九亿三千六百万，以一率十万再乘得一百九十三兆六千亿，于益实内减之余八百九十一兆五千八百四十亿为正实，按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆，又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆，余一十一兆五千八百四十亿为第三位实，以法之二百亿除之得五百，合前两位所得四万四千共四万四千五百，自乗再乗得八十八兆一千二百一十一亿二千五百万，益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千二百一十一亿二千五百万为益实，复以所得四万四千五百自乗得一十九亿八千零二十五万，以一率十万再乗得一百九十八兆零二百五十亿，于益实内减之余八百九十兆零九百六十一亿二千五百万为正实，按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆，又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆，又减三位所得五百与法二百亿相因之一十兆，余九百。六十一亿二千五百万，为第四位实，以法之二百亿除之，实不足法，乃以第四位为空位，而第五位得四，故以四为末位，合前四位所得四万四千五百空十，共四万四千五百零四，自乗再乗得八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四，益于原实一千兆内，得一千零八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四为益实，复以所得四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六，以十万再乗得一百九十八兆零六百零六亿零一百六十万，于益实内减之余，八百九十兆零八百四十二亿八千八百五十二万六千零六十四为正实，按除法以五次所得之数于法相因之数递减之，仍余四十二亿八千八百五十三万六千零六十四不尽，是共除得四万四千五百零四为相连比例之二率也，以二率之四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六，以一率之十万除之得一万九千八百零六为三率，以二率之四万四千五百零四二因之与三率之一万九千八百零六相加得十万八千八百一十四，减去一率之十万余八千八百一十四为四率，如以三率之一万九千八百零六自乗以一率之四万四千五百零四除之，亦得八千八百一十四为四率也，此为益实兼减实归除之法，葢因此法止有一率之数作相连比例四率，使一率与四率之共数与二率两倍再加一三率之数等，而相连比例四率之理，一率自乗用四率再乗与二率自乘再乗之数等，又一率自乗用三率再乗与二率自乗用一率再乗之数等，今立法以一率自乘再乗为原实，较之二率加倍与一率自乗之面积相乗之数却少一，一率自乗四率再乗之数又多一，一率自乗三率再乗之数故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原实，又以屡除所得之数屡次自乗，以一率再乗与益实相减，然后按法除之，始足二率两倍之数也。

如图，甲乙为一率，庚子、子辰皆为二率，辰乙为三率，庚甲为四率。庚乙为一率四率之共数，又为二率两倍，再加一三率之共数。甲乙丙丁戊巳为一率自乗再乘之正方体，庚乙丙丁壬癸为两倍二率并一三率与一率自乗面积相乘之长方体，比一率自乗再乗之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体。此扁方体即一率自乗四率再乗之扁方体，与二率自乗再乗之积等。比两倍二率与一率自乗面积相乗之扁方体多一辰乙丙丁午未扁方体。此扁方体即一率自乗三率再乗之扁方体，与二率自乗一率再乗之积等。若于一率自乗再乗之正方体内加入二率自乗再乗之数，再减去二率自乗一率再乗之数，即如于甲乙丙丁戊己正方体内加入庚甲酉戊壬癸之扁方体，减去辰乙丙丁午未之扁方体，成一庚辰己午壬癸之扁方体，而以一率自乗之辰己午未方面除之，必得庚辰为二率之两倍。苟合辰巳午未子丑寅夘二方面除之，必得庚子或子辰为二率。若不益少减多，而以二方面除之，则所得仍为一率之二分之一，比二率数必大。故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原积，复以屡除所得之数自乗，用一率再乗逐层与原积相减，递及末位，则所少之积渐足，所多之积渐消，而除得之数即为二率之全数焉。设如圜径二十万，求内容十四边形之一边几何。法用连比例四率，有一率求第二率，使一率与四率相加，与二率两倍再加一三率等之法。以圜径二十万折半得十万为一率，自乗再乗得一千兆为实，又以半径十万自乗倍之得二百亿为法。按益实兼减实归除之法，除实得四万四千五百零四【小余一八六七九一三】为二率，即圜内十四边形之每一边也。如甲圜内容十四边形，每边之弧得圜周十四分之一，皆二十五度四十二分五十一秒有余，其通▯即圜内十四边形之一边。试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线，遂成甲乙丙三角形。复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线，则截甲丙线于戊，又成乙丙戊三角形。复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线，则又成丙丁戊三角形。此三三角形皆为同式形【乙戊丙三角形之乙角当丙庚弧为乙丙弧之倍，则乙戊丙三角形之乙角与乙甲丙三角形之甲角等，又与乙甲丙三角形同用丙角；而丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行，即丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角，亦必等，又与乙丙戊三角形同用戊角。是此三三角形之各角互相等，而为同式形也】其相当各边俱成相连比例，故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比，乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比，为相连比例四率，而甲乙为一率，乙丙为二率，丙戊为三率，戊丁为四率也。

又按乙戊度作壬戊线与丁丙平行，则截甲乙线于壬。乃自壬与乙丙平行作壬子线，复自壬与乙戊平行作壬癸线，则又成甲壬子与壬戊癸丙三角形与乙丙戊三角形等，成壬癸子一三角形与丙丁戊三角形等。其甲子癸戊皆与乙丙二率等，而癸子与丁戊四率等，是甲丙一率。内有两二率、一三率，而少一四率也。若以甲丙一率与癸子四率相加，方与二率之两倍再加一三率之数等，故用连比例四率有一率求二率法算之，得二率为十四边形之每一边也。设如圜径二十万，求内容七边形之一边几何？法以半径十万为底，仍以半径十万与圜内容十四边形之一边四万四千五百零四【小余一八六七九一三】为两腰，用三角形求中垂线法算之，得中垂线四万三千三百八十八【小余三七三九一一八】倍之得八万六千七百七十六【小余七四七八二三六】即圜内容七边形之每一边也。如甲圜容七边形每边之弧，得圜周七分之一，皆五十一度二十五分四十二秒有余。试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙、甲丙二半径线，遂成甲乙丙三角形，其乙丙边为五十一度二十五分四十二秒有余之通▯。如以乙丙弧五十一度二十五分四十二秒有余折半于丁，作乙丁线，即圜内容十四边形之一边。仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线，又成甲乙丁三角形，而甲丁线平分乙丙线于戊，此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线，即七边形每边之一半。故以甲丁半径为底，甲乙半径为大腰，乙丁十四边形之一边为小腰，求得乙戊中垂线，倍之为七边形之每一边也。

三要【八余▯八万零九百零一有本弧之正▯求本弧之余▯，有本弧之正▯余▯，求倍弧之正▯余▯，有本弧之正▯】设如本弧三十六度之正▯五万八千七百七十八【余▯求半弧之正▯余】求余弧五十四度之正▯几何？法以三十六度之正▯五万八千七百七十八【▯小余五二五二二九】为勾，半径十万为▯，求得股八万零九百零一【二小余五二五二二九】为五十四度之正▯，即三十六度之余▯也。如甲乙丙九十度之一象限，其甲乙正弧三十六度，乙丙余弧五十四度，乙丁为三十六度之正▯，试自乙至象限中心戊作乙戊半径线，遂成乙丁戊勾股形，乙戊为▯，乙丁为勾，求得丁戊股与乙己等，为乙丙余弧五十四度之正▯，即甲乙正弧三十六度之余▯也。设【二小余六九】如本弧三十六度之正【九四三七五小余五二五二二九二】▯五万八千七百七十【小余六九九四三七五】求倍弧七十二度之正▯，余▯各几何？法以半径十万为一率，本弧之正▯五万八千七百七十八【六度之余▯与戊辛等】为二率，本弧之余▯八万零九百零一【小余五二五二二九二】为三率，求得四率四万七千五百五十二【小余六九九四三七五】倍之得九万五千一百零五【小余八二五八一四七】即倍弧七十二度之正▯也。求余▯则以三十六度之正▯五万八千七百七十八【小余六五一六二九四】自乘，以半径十万除之，得三万四千五百四十九【小余五二五二二九二】倍之得六万九千零九十八【小余一五○二八一二】与半径十万相减，余三万零九百零一【小余三○○五六二四】即倍弧七十二度之余▯也。如甲乙丙九十度之一象限，其甲乙弧三十六度，倍之为甲丁弧七十二度，乙己为三十六度之正【小余六九九四三七六】▯，庚乙为三十【葢辛甲与乙己等，则戊辛必与戊己等，戊己即庚乙也】丁壬为七十二度之正▯，试与乙己平行作辛癸线，遂成戊乙己、戊辛癸同式两勾股形，其戊乙己勾股形之戊乙▯与乙己勾之比，同于戊辛癸勾股形之戊辛▯与辛癸勾之比，为相当比例四率，而辛癸与子壬等为丁壬之半【葢辛甲为丁甲之半，则辛癸亦为丁壬之半】故倍之得丁壬为甲丁七十二度之正▯也。又如求余▯，其甲辛戊、甲癸辛为同式两勾股形，其甲辛戊勾股形之甲戊▯与甲辛勾之比，同于甲癸辛勾股形之甲辛▯与甲癸勾之比，为相连比例三率，既得甲癸，倍之得甲壬【葢甲丁为甲辛之倍，则甲壬亦为甲癸之倍】与甲戊半径相减，余壬戊与丁丑等，即甲丁七十二度之余▯也。设如本弧四十五度之正▯七万零七百一十【小余六七八一一八六】余▯亦七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之正▯几何？

法以本弧之正▯七万零七百一十【八十九小余六七八一】为股，本弧之余▯七万零七百一十【一八六小余六七八一】与半径十万相减，余二万九千二百八十九【一八六小余三二一八】为勾，求得▯七万六千五百三十六【八一四小余六八六四】折半得三万八千二百六十八【七三○小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正▯也。如甲乙丙九十度之一象限，其甲乙弧四十五度，折半为丁乙弧二十二度三十分，乙己为四十五度之正▯，戊己与庚乙等为四十五度之余▯，于戊甲半径内减去戊己，余己甲为勾，乙己为股，求▯得乙甲为四十五度之通▯，折半得乙辛，即丁乙二十二度三十分之正▯也。又捷法，以本弧四十五度之余▯七万零七百一十【三六五小余六七八一】与半【一八六】径十万相减，余二万九千二百【小余三二一八▯几何】折半得一万四千六百四十四【八一四小余六六○九】与半径十万相乘，开方得三万八千二百六十八【四○七小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正▯也。葢乙己为四十五度之正▯，甲己为四十五度之正矢，乙辛、辛甲皆二十二度三十分之正▯。如与乙己平行，作一辛壬线，平分甲己于壬，成甲辛戊、甲壬辛同式两勾股形。其甲辛戊勾股形之甲戊▯与甲辛勾之比，同于甲壬辛勾股形之甲辛▯与甲壬勾之比，为连比例三率。故首率甲戊与末率甲壬相乘【三六五首率甲戊与末率甲壬相乘与中率甲辛自乘之】开方得甲辛为二十二度三十分之正▯也。新增有本弧之余▯，求倍弧之余▯及半弧之余▯。设【积相等】如本弧三十六度之余，▯八万零九【小余六九九四三七五】百零一，求倍弧七十二度之余。法以本弧三十六度之余▯八万零九百零一【小余六九九四三七五】自乘，以半径十万除之，得六万五千四百五十【小余八四九七一八七】与半径十万相减，余三万四千五百四十九【小余一五○二八一三】倍之得六万九千零九十八【小余三○○五六二六】仍与半径十万相减，余三万零九百零一【小余六九九四三七四】即倍弧七十二度之余▯也。如甲乙丙九十度之一象限，其甲乙弧三十六度，倍之为甲丁弧七十二度，丁己为三十六度之正▯，戊己为三十六度之余▯，丁庚为七十二度之正▯，辛丁为七十二度之余▯，与戊庚等。试自己至壬作己壬垂线，遂成甲己戊、己壬戊同式两勾股形。其甲己戊勾股形之戊甲▯与戊己股之比，同于己壬戊勾股形之戊己▯与戊壬股之比，为连比例三率，故中率戊己自乘，以首率戊甲除之，得末率戊壬。既得戊壬与戊甲半径相减，余壬甲，倍之得庚甲，仍与戊甲半径相减，余戊庚与辛丁等，即甲丁弧七十二度之余▯也。

设如本弧四十五度之余▯七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之余▯几何？法以本弧四十五度之余▯七万零七百一十【小余六七八一一八六】与半径十万相减，余二万九千二百八十九【小余三二一八八一四】折半得一万四千六百四十四【小余六六○九四○七】与本弧四十五度之余▯七万零七百一十【小余六七八一一八六】相加，得八万五千三百五十五【小余三三九○五九三】与半径十万相乘开方，得九万二千三百八十七【小余九五三二五一一】即半弧二十二度三十分之余▯也。如甲乙丙九十度之一象限，其甲乙弧四十五度，折半为丁乙弧二十二度三十分，乙己为四十五度之正▯，戊己与庚乙等为四十五度之余▯，乙辛为二十二度三十分之正▯，戊辛为二十二度三十分之余▯。戊己四十五度之余▯与戊甲半径相减，余己甲，折半得己壬，再与戊己相加，得戊壬。试自辛至壬作辛壬垂线，遂成甲辛戊、辛壬戊同式两勾股形。其甲辛戊勾股形之戊甲▯与戊辛股之比，同于辛壬戊勾股形之戊辛▯与戊壬股之比，为连比例三率，故首率戊甲与末率戊壬相乘开方，得戊辛为二十二度三十分之余▯也。新增有本弧之正▯求其三分之一弧之正▯设如三十六度之正▯五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】求其三分之一十二度之正▯几何？法用连比例四率，有一率求二率，使一率与四率相加与二率三倍等之法。以三十六度之正▯五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之，得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】为七十二度之通▯乃以半径十万自乘，得一百亿；用七十二度之通▯再乘，得一千一百七十五兆五千七百零五亿零四百五十八万四千为实。又以半径十万自乘三因之，得三百亿为法。按益实归除之法，除实得四万一千五百八十二【小余三三八一六三四】为二十四度之通▯折半得二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即十二度之正▯也。如甲乙丙九十度之一象限，其甲乙弧三十六度，甲丁为其正▯倍之得甲己，即甲乙己七十二度弧之通▯试以七十二度取其三分之一二十四度为甲庚弧，其通▯甲庚与甲戊庚戊两半径成一戊甲庚三角形。又庚戊半径截甲己通▯于辛，成一庚甲辛三角形。又依庚辛度向辛甲边作庚壬线，成一庚辛壬三角形。此两三角形俱与戊甲庚三角形为同式形，其相当各边俱成相连比例。故戊甲为一率，甲庚为二率，庚辛为三率，辛壬为四率也。今甲己七十二度之通▯内有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率【葢己癸癸壬辛甲三段皆与甲庚二率等，而癸壬辛甲二段内却重辛壬一小段，是甲己通▯内有己癸癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也】若以甲己通▯为髙与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体，则比三倍二率为高，与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体必少一四率为高，与一率半径自乘之方面相乘所成之扁方体，此扁方体与二率自乘再乘之正方体等，故以一率半径自乘之三方面为法，除实，每次所得二率之数自乘再乘，益入原积，则积渐增，与三倍二率与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体合，而除得之数即为二率。

既得甲庚二率为二十四度之通▯半之得甲子，即甲丑弧十二度之正▯也。

二简法【以两四率相有两弧之正▯余▯求两弧相加相减之正▯有距六十度前后相等弧之正▯求】设如四十五度之正▯七万零七百一十【距弧之正▯小余六七】余▯亦七万零七百一十【八一一八六小余六七】又有二十四度之正▯四万零六百七十三【八一一八六小余六六】余▯九万一千三百五十四【四三○七五小余五四】求两弧相加六十九度之正▯及两弧相减二十一度之正▯各几何？法以半径十万为一率，四十五度之正▯七万零七百一十【五七六四二小余六七】为二率，二十四度之余▯九万一千三百五十四【八一一八六小余五四】为三率，求得四率六万四千五百九十七【五七六四二小余四一】又以半径十万为一率，四十五度之余▯七万零七百一十【八八○二○小余六七】为二率，二十四度之正▯四万零六百七十三【八一一八六小余六六】【四三○七五】为三率求得四率二万八【小余六二三八四七六】千七百六十，乃加得九万三千三百五十八【小余○四二六四九六】即两弧相加所得六十九度之正▯。如以两四率相减，余三万五千八百三十六【小余七九四九五四五】即两弧相减所余二十一度之正▯也。如甲乙丙丁，九十度之一象限，其乙甲弧四十五度，乙己为四十五度之正▯，己戊为四十五度之余▯。于乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度，得丙甲弧六十九度。又于乙甲弧四十五度减乙子弧二十四度，余子甲弧二十一度。试自丙至子作丙子线，则丙乙弧、乙子弧皆为二十四度，丙庚与庚子皆为二十四度之正▯，庚戊则为二十四度之余▯。今以乙戊半径为一率，乙己四十五度之正▯为二率，庚戊二十四度之余▯为三率，求得四率庚辛与壬癸等。又以乙戊半径为一率，己戊四十五度之余▯为二率，丙庚二十四度之正▯为三率，求得四率丙壬。故以丙壬加于庚辛【庚辛原与壬癸等】共得丙癸，即丙甲弧六十九度之正▯。如于庚辛内减与丙壬相等之庚夘，余夘辛与子丑等，即子甲弧二十一度之正▯也。葢乙己戊与庚辛戊为同式勾股形，故乙戊与乙己之比同于庚戊与庚辛之比，为相当比例四率。又寅癸戊与乙己戊亦为同式勾股形，而寅癸戊勾股形之寅角与丙庚寅勾股形之寅角为两尖相对角，其度等。癸角与庚角俱为直角，其度又等，则戊角必与丙角等。如作庚壬线成丙壬庚勾股形，则此形之丙角既与乙己戊勾股形之戊角等，而壬角又为直角与乙己戊勾股形之己角等，故亦为同式勾股形，而乙戊与己戊之比同于丙庚与丙壬之比，为相当，比例四率也。设如八十四度之弧，距六十度，二十四度，其正▯九万九千四百五十二【相加得九万小余一八】又有三十六度之弧，距六十度，亦二十四度，其正▯五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】求距弧二十四度之正▯几何？法以八十四度之正▯九万九千四百五十二【五二二九二小余一八】内减三十六度之正▯五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】余四万零六百七十三【五二二九二小余六六】即距弧二十四度之正▯也。如有距六十度前二十四度为三十六度，其正▯五万八千七百七十八【四三○七六小余五二】距弧二十四度之正▯四万零六百七十三【五二二九二小余六六】求距六十度后二十四度为八十四度之正▯则以三十六度之正▯五万八千七百七十八【四三○七六小余五二】与距弧【五二二九二】二十四度之正▯四万零【小余六六四三○七六】六百七十三九千四百五十二【小余一八九五三六八】即八十四度之正▯也。又如，有距六十度后二十四度为八十四度，其正▯九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】距弧二十四度之正▯四万零六百七十三【小余六六四三○七六】求距六十度前二十四度为三十六度之正▯，则以八十四度之正▯九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】与距弧二十四度之正▯四万零六百七十三【小余六六四三○七六】相减，余五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】即三十六度之正▯也。如甲乙丙丁九十度之一象限，其己甲弧六十度，丙甲弧八十四度，丙距己二十四度，乙甲弧三十六度，乙距己亦二十四度。丙庚为八十四度之正▯，乙辛为三十六度之正▯，与壬庚等。丙壬为两正▯之较。试自巳至象限中心戊作己戊线，又自丙至乙作丙乙线，则丙癸、癸乙皆为距弧二十四度之正▯，与丙壬两正▯之较相等。葢己戊甲角六十度，则己戊丁角为三十度。丙庚与丁戊平行，则丙子己角与丁戊己角为二平行线上所成之内外角，必相等，皆为三十度。丙癸子角为直角，则子丙癸角必为六十度矣。又自乙至子作乙子线，则乙癸子与丙癸子为同形勾股形，癸乙子角亦必为六十度，癸子乙角亦必为三十度。两勾股形合之，共成一丙乙子三角形，而丙子乙角亦必为六十度矣。三角度既等，则三边必相等。今丙壬为丙子之半，丙癸为丙乙之半，丙子既与丙乙等，故丙壬亦必与丙癸等也。有此法，凡有六十度以前各弧之正▯，则以各距弧之正▯与之相加可得六十度，以后三十度各弧之正▯。若有六十度以后各弧之正▯，则以各距弧之正▯与之相减，可得六十度以前三十度各弧之正▯。六十度前后三十度之正▯，用加减而即得，较之勾股比例诸法，甚为简便也。

八线相求设如四十八度之正▯七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余▯六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求正矢、正切、正割各几何？法以半径十万内减四十八度之余▯六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】余三万三千零八十六【小余九三九三六四二】为正矢。以余▯六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率，正▯七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为二率，半径十万为三率，求得四率一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】为正切。以余▯六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率，半径十万为二率，仍以半径十万为三率，求得四率一十四万九千四百四十七【小余六五四九八六六】为正割也。如图，甲乙弧四十八度，甲丙为正▯，甲丁为余▯，与丙戊等，乙丙为正矢。故乙戊半径内减与甲丁余▯相等之丙戊，余乙丙即为正矢。己乙为正切，巳戊为正割。甲丙戊、己乙戊两勾股形为同式形，故丙戊余▯与甲丙正▯之比，同于乙戊半径与己乙正切之比，为相当比例四率。又丙戊余▯与甲戊半径之比，同于乙戊半径与己戊正割之比，亦为相当比例四率也。又正切求正割捷法，以余弧折半得二十一度，乃以二十一度之正切三万八千三百八十六【小余四○三三五○三六】与本弧之正切一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】相加，得一十四万九千四百四十七【小余六五四八三三三】即为本弧之正割也。如图，甲乙弧四十八度，己乙为正切，己戊为正割。试将甲庚余弧四十二度折半，得庚辛二十一度，移于乙壬，又作乙癸为乙壬弧二十一度之正切，与己乙相加，得己癸，与己戊正割相等。葢甲戊乙角四十八度，己乙戊角为直角九十度，二角并之为一百三十八度，于一百八十度内减之余四十二度，为戊己乙角。今于甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度，遂成己戊癸角为六十九度，仍与戊己乙角四十二度相加，于一百八十度内减之所余亦六十九度，即为戊癸己角。戊癸己角既与己戊癸角相等，则己戊与己癸边亦必相等也。有此法则，凡有逐度逐分之切线求割线，可止用加法，不用四率矣。又凡有本弧之正切正割相减，即得半余弧之正切；若有本弧之正割及半余弧之正切相减，即得本弧之正切也。设如四十八度之正弧七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余▯六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求余矢、余切、余割各几何？法以半径十万内减四十八度之正▯七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余二万五千六百八十五【小余五一七四五二三】为余矢。以正▯七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率，余▯六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为二率，半径十万为三率，求得四率九万零四十【小余四○四四二九七】为余切。以正▯七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率，半径十万为二率，仍以半径十万为三率，求得四率一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】为余割也。如图，甲乙弧四十八度，甲丙为正▯与丁戊等，甲丁为余▯巳丁为余矢，故已戊半径内减与甲丙正▯相等之丁戊，余己丁即为余矢，庚己为余切，庚戊为余割。甲丁、戊庚、己戊两勾股形为同式形，故丁戊正▯与甲丁余▯之比，同于己戊半径与庚己余切之比，为相当比例四率。又丁戊正▯与甲戊半径之比，同于己戊半径与庚戊余割之比，亦为相当比例四率也。又余切求余割捷法，以本弧折半得二十四度，乃以二十四度之正切四万四千五百二十二【小余六八六五三一○】与本弧之余切九万零四十【小余四○四四二九七】相加，得一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】即为本弧之余割也。如图，甲乙弧四十八度，庚己为其余切，庚戊为其余割。试将甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度，移于壬己，又作癸己为壬己弧二十四度之正切，与庚己相加，得庚癸与庚戊余割相等。葢甲戊己角四十二度，庚己戊角为直角九十度，二角相并为一百三十二度，于一百八十度内减之余四十八度，为戊庚己角。今于甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度，遂成庚戊癸角为六十六度，仍与戊庚己角四十八度相加，于一百八十度内减之所余亦为六十六度，即为戊癸庚角。戊癸庚角既与庚戊癸角相等，则庚戊与庚癸边亦必相等也。有此法则，凡有逐度逐分之切线，求余割亦可止用加法，不用四率矣。又凡有本弧之余切余割相减，即得半本弧之正切；若有本弧之余割及半本弧之正切相减，即得本弧之余切矣。

求象限内各线总法六宗倂新增十八边形及九边形之每边各半之得八弧之正▯用要法之一各求其余▯次取十二度【十五边之半】用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正▯复用新增法求其三分之一得十五分之正▯复求其三分之一即得五分之正▯既得五分之正▯乃用简法之一求六十度以内之正▯每越五分而得一▯可得七百二十又用简法之二求六十度以外之正▯亦越五分而得一▯又得三百六十【如以一度之▯与五十九度之▯相加即六十一度之▯以二度之▯与五十八度之▯相加即六十二度之▯以至二十九度之▯与三十一度之▯相加即得八十九度之▯也】总而计之一象限中共得正▯一千零八十己居全表五分之一【象限中逐分计之共正▯五千四百故一千零八十为五分之一也】再以五分之▯用要法之三得二分三十秒之▯复用新增法求其三分之一得五十秒之▯乃以五十秒之弧为一率五十秒之▯为二率一分之弧化六十秒为三率得四率为一分之▯既得一分之▯即用简法之一简法之二错综加减之则一象限中每度每分之正▯悉得矣既得每度每分之正▯则用前八线相求之法即得每度每分之切割诸线矣如于一分之中欲析为六十秒则以比例四率求之即得每秒之八线也御制数理精蕴下编卷十六<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书