数度衍卷六

数度衍卷六

桐城方中通撰勾股【勾股之一】

周髀勾股圆方图赵君乡注曰：勾股各自乗，并之为▯实，开方除之，即▯也【鸾曰：勾三，自乗得九；股四，自乗得十六；并得二十五，开方得五】按▯图，又可以勾股相乗为朱实，二倍之为朱实四，以勾股之差自相乗为中黄实【倍勾▯差二为四，自乗得一十六，为左图中黄实也。淳风曰：干率不通】加差实亦成▯实【加差实一，并外矩青八得九，又并中黄十六得二十五，亦成▯实也。淳风曰：于率不通。唐寅曰：加差实之一于前文所言朱实四之上，朱实之四为二十四，加一得二十五也】以差实减▯实，半其余，以差为从法，开方除之，复得勾矣【以差实九减▯实二十五，余十六，半之为八，加差一得九，开得勾三。淳风曰：以差实一减▯实二十五，余二十四，半为十二，以差一从，开得勾三。鸾言于率不通】加差于勾，即股【加差一于勾三得四】凡并勾股之实。

即成▯实【勾实九股实十六并得二十五▯实】或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩，以股▯差为广，股▯并为袤【以差一为广，股四并▯五得九为袤，左图外青】而股实方其里【左图中黄十六】减矩勾之实于▯实，开其余即股【减九于二十五余十六】倍股在两边为从法，开矩勾之角即股▯差【倍股四为八为从，开九得一也】加股为▯【加差一于股四得五】以差除勾实得股▯并【以一除九得九，即股四▯五并数】以并除勾实亦得股▯差【以九除九得一】令并自乗与勾实为实【九自乗得八十一，又加九得九十】倍并为法【倍九为十八】所得亦▯【以十八除九十得五】勾实减并自乗加法为股【以九减八十一余七十二，以十八除之得四】股实之矩，以勾▯差为广，勾▯并为袤【以差二为广，勾三并▯五得八为袤】而勾实方其里【右图中青九】减矩股之实于▯实，开其余即勾【减十六于二十五余九】倍勾在两边为从法，开矩股之角即勾▯差【倍勾三为六为从，开十六得二也】加勾为▯【加差二于勾三得五】以差除股实得勾▯并【以二除十六得八，即勾三▯五并数】以并除股实亦得勾▯差【以八除十六得二】令并自乗与股实为实【八自乗得六十四，又加十六得八十】倍并为法【倍八得十六】所得亦▯【以十六除八十得五】股实减并自乗如法为勾【以十六减六十四余四十八，以十六除之得三】两差相乗，倍而开之，所得以股▯差増之为勾【一与二乘得二，倍为四，开得二，増一为三】以勾▯差増之为股【以二増二得四】两差増之为▯【二之上又增一与二得五】倍▯实列勾股差实，见▯实者以图。考之倍▯实满外大方而多黄实，黄实之多即勾股差实【倍二十五为五十，满外大方之七七四十九而多一数，即勾股差实也】以差实减之，开其余得外大方，大方之面即勾股并【以差实一减五十余四十九，开得七，即勾三股四并数】令并自乗，倍▯实乃减之，开其余得中黄方，黄方之面即勾股差【七自乗得四十九，倍▯实二十五为五十，相减余一，开之得勾股差】以差减并而半之为勾【以差一减七余六，半得三】加差于并而半之为股【以差一加七得八，半得四也】其倍▯为广袤合【倍▯二十五得五十为广袤合，淳风曰：倍▯五得一十为广袤合，鸾言错也。唐寅曰：勾广一袤九，股广二袤八】而令勾股见者自乗为其实，四实以减之，开其余所得为差【以七七自乗得四十九，四实大方勾股之中有四方，一方之中有方十二，四实有四十八，减上四十九余一也，开之得一即勾股差一。淳风曰：十自乗得一百，四实者大方广袤之中有四方，若据勾实而言，一方之中有实九，四实有三十六，减上一百余六十四，开之得八即广袤差，此是股▯差减股▯并余数；若据股实而言，一方之中有实十六，四实有六十四，减上一百余三十六，开之得六即广袤差，此是勾股差减勾▯并余数。鸾言错也】以差减合，半其余为广【以差一减合七余六，半之得三广也。淳风曰：以差八六各减合十余二四，半之得一与二也，一即股▯差，二即勾▯差，以差减▯即各袤广也。鸾言错也】减广于▯即所求也【以广三减▯五即所求差二也。淳风曰：以广一与二各减▯五即所求股四勾三也。鸾言错也】观其迭相规矩，共为反覆，互与通分，各有所得，然则统叙羣伦，▯纪众理，贯幽入微，钩深致逺，故曰其裁制万物，唯所为之者也，通。曰：「君卿所注，乃其互见。」甄鸾重述李淳风言，其于率不通者有三，错者有四。鸾盖取其偶合耳。大衍之数五十，其用四十有九，即此积矩之数也。中黄太极一，藏四用蓍之挂防也。四十有八，四象具焉。蓍之用策也，故七者勾股和也。四十九者勾股和之自乗也。四十有八者，四其勾股之互乗也。互乗十二，勾股▯亦十二。以勾三除之得股，以股四除之得勾，以▯五除之得勾股▯之羃六。此即半其互乗也。四其二六，是为八羃。八羃有八卦之义焉。羃六有六爻之义焉。八其六爻，是为四十八耳。矩股之角，四分股之一，四角而成股羃。矩勾之角，四分勾之一，四角而成勾羃。▯羃去中黄羃，内外四角等，是矩勾之四角，三分损一而为▯羃之一角。▯羃之一角，三分损一而为矩股之一角也。

▯容股股容勾图説通曰：方内之容，递差于二。九九之内容，八八余为十七；八八之内容，七七余为十五；七七之内容，六六余为十三；六六之内容，五五余为十一；五五之内容，四四余为九；四四之内容，三三余为七；三三之内容，二二余为五；二二之内容，一一余为三。是余之相降，莫不差于二也。则▯实之容，股实；股实之容，勾实。七九之余，所固然矣。自▯而推之，▯与勾股差并六实三十六，其容▯实之余，较▯容股实之余，必増二矣。▯与勾▯差并七实四十九，其容▯与勾股差并实之余，较其并实容▯之余，必増二矣。▯与勾并八实六十四，其容▯与勾▯差并实之余，较其并实容▯与勾股差之余，必増二矣。▯与股并九实八十一，其容▯与勾并实之余，较其并实容。

▯与勾▯差之余必増二矣。自勾而降之勾▯差，二实四容于勾实之中，其余较股之容，勾必损二矣。勾股差一实一容于勾▯差实之中，其余较勾之容，勾▯差必损二矣。容有大小，余无异同，受容者变，而容之者亦变，故耳。

勾股名义勾【横也】股【直也】▯【斜也】勾股较【勾股相减也】勾▯较【勾▯相减也】股▯较【股▯相减也】勾股和【勾与股并也】勾▯和【勾与▯和也】股▯和【股与▯并也】▯较和【▯与勾股较并也】▯和和【▯与勾股和并也】▯和较【▯与勾股和相减也】▯较较【▯与勾股较相减也】

勾股求▯法式：甲乙股四，乙丙勾三，问甲丙▯几何？曰：甲丙▯五。术：股四，自乘得十六；勾三，自乗得九。两自乗数并之，得二十五，为实积。用少广章。

开平方法除之得边五即▯也又式木长二丈，围之三尺，葛生其下，纒木七周，上与木齐。问葛长几何？曰：二丈九尺。术：以木长为勾，围七周共二十一尺为股，求葛长为▯也。通曰：「勾股可互换，然必以长者为股，短者为勾也。」

勾▯求股法式乙丙勾三，甲丙▯五，问甲乙股几何？曰：甲乙股四。术：勾三自乗得九，▯五自乗得二十五，相减余十六，平方开之得边四，即股也。又式圆木径二尺五寸，为板欲厚七寸，问阔得几何？曰：二尺四寸。术：以圆径为▯，板厚为勾，求阔为股也。

通曰圜内切中径成两勾股也股▯求勾法式甲乙股四，甲丙▯五，问乙丙勾几何？曰：乙丙勾三。术服四自乗得十六，▯五自乗得二十五，相减余九，平方开之得边三，即勾也。又式：台上方四丈，高四丈八尺，四隅袤叙五丈四尺四寸，问下方几何？曰：九丈一尺二寸。术：以台髙为股，袤斜为▯，求勾，以益上方，斯得下方也【一隅袤斜者，用此求之；若四隅袤斜，须于求勾倍之，且隅与边尚有不同也】又式圆池八分鱼吞钩，钩沉在正中水底，钩丝斜至岸，长五十尺。问水深几何？曰三十尺。术：以半池径为股，丝斜至岸为▯。先以亩法通池八分，为一百九十二步，四乗三除，得二百五十六步，平方开之，得圆径十六步，折半得八步，通作四十尺为股。次以股▯求勾，得水深也。

勾与股▯较求股▯法式乙丙勾二十七，甲乙股，甲丙▯之较为丙丁九。问甲乙股几何？甲丙▯几何？曰：甲乙股三十六，甲丙▯四十五。术：勾自乗得七百二十九，较九除之得八十一为股▯和。和内减较，余七十。二半之得三十六，为股。和外加较，得九十。半之得四十五，为▯。二术，勾自乗得七百二十九，较自乗得八十一，相减余六百四十八，为实。倍较得十八，为法。除实得三十六，为股。三术，勾自乗，较自乗，并得八百一十，为实。倍较，为法。除之得四十五，为▯。

第一术论曰勾羃为丙戊直角方形以较而一【即除也】为丙巳直角形即得丙庚边与甲乙甲丙股▯和等何者甲丙▯羃之甲辛直角方形内当函一股羃一勾幂试于甲辛形内，依丙丁较截作丁辛、丁癸、癸壬三直角形。即癸壬形与败羃等，而丁辛、丁癸两形并当与勾羃等，亦与丙巳直角形等。夫壬辛、甲癸、巳庚皆较也，而甲丁与股等，丙辛与▯等，即丙庚与股▯和等。第二术论曰：勾羃为乙巳直角方形，较羃为丙丑直角方形，与丙庚等，相减存乙庚巳磬折形为实。次倍丙丁较线为乙辛线，以为法除实，即得辛壬直角形与乙庚巳磬折形等，而乙壬边与甲乙股等。何者？甲丙▯羃之。甲癸直角方形内，当函一勾羃，一股。羃试于甲癸形内，截取丙丑，较羃之。外分作甲、五、丑、癸、丑、子三直角形，即丑子与股羃等，而丙丑、甲丑、丑癸三形并当与勾羃等，次各减一相等之丙丑、丙庚，即甲丑、丑癸并与乙庚巳磬折形等，亦与辛壬直角形等。辛乙与寅丑、丑丁并等，即乙壬与甲丁，或寅癸等，亦与甲乙等。通曰：第三术，勾羃为乙巳，直角方形较羃为丙壬，直角方形与丙庚等，并为巳辛庚。磬折形为实，次倍丙丁，较线为辛巳线，以为辛巳线以为法，除实即得甲丙线也。又，式池方一丈，正中生葭，出水一尺，引葭至岸，适与水面齐。问水深几何？曰：一丈二尺。术：半池为勾，出水一尺为股，▯较引葭至岸为▯，水深为股。又式开门去阃一尺，两门不合二寸，问门每扇广几何？曰：五尺零五分。术：去阃一尺为勾，不合二寸，半之为股，▯较门阃之半为股，门广为▯【门广并不合之半为▯】又式垣髙一丈，倚木齐垣，木脚去本以画记之。卧而过画一尺，问画去墙几何？曰：四丈九尺五寸。加过画一尺为木长术。垣高为勾，过画一尺为股，▯较木长为▯，画去墙为股。又式圆木锯深一寸道长一尺，问木径几何？曰：二尺六寸。术：木径为▯，锯道为勾，锯深为半股，▯较半勾自乗，得二尺五寸半，较除之，又加半较。

得径为▯通曰：圆内截弧矢求圆径也。甲丙与甲巳、甲丁皆等，丁居丙巳之中，己乙为全较，故丁戊为半较也【按：此条图説有误处】

股与勾▯较求勾▯法式甲乙股三十六，乙丙勾，甲丙▯之较为甲丁十八，问乙丙勾几何？甲丙▯几何？曰：乙丙勾二十七，甲丙▯四十五。术：股自乗得一千，二百九十六，较除之，得七十二，为勾▯和。和内减较，余五十四，折半，二十七，为勾。和外加较，得九十，折半，四十五，为▯。通曰：「勾与股▯较，求股▯之第二术、第三术，此亦可用第一术。论曰：股羃为甲巳直角方形，以较而一为甲辛。」直角形，即得甲壬边与乙丙、丙甲勾▯。和等何者？甲丙▯羃之甲丑直角方形。内当函一股，羃一勾，羃试于甲丑形内。截取子、卯、丑、辰边，各与甲、丁较线等。即卯丑辰丙俱与等，乙丙勾之，丁丙线等，而作甲卯夘辰、辰丁三直角形。其辰丁形之四边皆与勾等，勾羃也。即甲夘、夘辰两形当与股羃等，亦当与甲辛形之甲壬边与勾▯和等。

第二术论曰股羃为甲戊直角方形较羃为丁庚直角方形与辛、癸等相减，存甲、壬、戊，磬折。形为实，次倍甲丁，较线为乙寅线以。为法除实，即得乙子直角形与甲壬。戊，磬折形等何者？乙，子直角形加一。等较羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形，即与股羃之甲戊直角方形等也。又何者？甲丙▯羃之甲辰直角方形内，当函一勾羃，一股羃。试于甲辰形内截取丁庚较羃之外，分作庚未、未午、午丁三直角形。其甲庚、申未、酉戌三线各与甲丁较线等；庚申、未戌、未辰、午酉四线各与等乙丙勾之丁丙线等。夫未酉、酉戌并与勾等，即申未、未酉并亦与勾等；而庚申、未辰各与勾等，即庚未、未午两形并为勾羃，而丁庚、午丁两形并为股羃矣。丁戌戍酉两较也，乙夘夘寅亦两较也。而丁丙与乙丙原等，即丁午、乙子两形等；丁庚与乙丑两形又等，即丁庚、午丁并与子卯癸磬折形等。而子夘癸磬折形与股羃之甲戊形等。此两率者各减一等较羃之辛癸乙丑形，即乙子直角形与甲壬戊磬折形等。通曰：甲乙股羃之甲戊直角方形，与甲丁较羃之丁庚直角方形，并为巳癸卯磬折形也。此第三术也。

▯与勾股较求勾股法式甲丙▯四十五，甲乙股，乙丙勾之较为甲丁九，问乙丙勾几何，甲乙股几何？曰：乙丙勾二十七，甲乙股三十六。术：▯自乗得二千零二十五倍之，得四千零五十。较自乗，得八十一。相减，余三千九百六十九，为实。平方开之，边得六十三，为勾股和。和外加较，得七十二。半之，得三十六，为股。和内减较，余五十四。半之，得二十七，为勾。二术较自乗，得八十一。折半，得四十零五。与▯自乗二千零二十五相减，余一千九百八十四五折半，得九百九十二二五。开平方，边得三十一五。减半较四五，余二十七，为勾。三十一五加半较四五，得三十六，为股。

第一术论曰▯羃为甲戊直角方形倍之，为己丙直角形，较羃为甲。庚直角方形与甲辛等相减，即得。减甲辛形之己辛丙磬折形也，今欲显己辛丙磬折形，开方而得勾股和者，试察甲丙上直角方形与甲乙、乙丙上两直角方形并等，即甲戊▯羃内有一甲乙股羃、一乙丙勾羃也，己丙两▯羃内有两甲乙羃、两乙丙羃也，故以己丙为实开方，即得丑辰直角方形，其丑寅与夘辰两形两股羃也，丙壬与癸子两形两勾羃也，而丑寅夘辰之间则重一等甲辛之夘寅形减之，即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣，乙丙为勾，丙丑与甲乙等，故乙丑边即勾股和也，若于乙丙勾加甲丁较，即与甲乙股等，故甲乙、乙丙、甲丁并半之为甲乙股，以甲丁较减甲乙股为乙丙勾。通曰：「第二术，较羃为甲辛直角方形。」半之，为甲戊直角形，与甲庚直角形。等▯羃为甲，壬直角方形减较羃半。甲庚形，得癸庚丙，磬折形，半之得癸。午未磬折形与辰子丙磬折形等，而子未直角方形与甲午直角方形等也。癸午未磬折形开方得丑寅直角方形，与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也。即得丑乙线与巳乙线等，而丑丙线与甲巳线等，即半较线也。乙丑线内减等半较之丑丙线，得乙丙勾；己乙线外加半较甲巳线，得甲乙股。何者？甲壬直角方形内函一丑寅直角方形、一夘乙直角方形，又一甲戊直角形。故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形，即得夘乙丑寅两直角方形也。

勾与股▯和求股▯法式乙丙勾二十七，丙甲甲乙股▯和八十一。问甲乙股几何？甲丙▯几何？曰：甲乙股三十六，甲丙▯四十五。术：勾自乗得七百二十九，股▯和八十一除之得九为股▯较，较加和八十一得九十，半之得四十五为▯，较减和八十一余七十二，半之得三十六为股。二术勾自乗与和自乗六千五百六十一相减，余五千八百三十二为实，倍和得一百六十二为法，除之得三十六为股。三术勾和各自乗相并得七千二百九十为实，倍和为法，除之得四十五为▯。通曰：第二术减余，第三术并后，若俱折半为实，即以和为法可也，不必倍和矣。又勾自乗倍得一千四百五十八，与和自乗相减，余五千一百零三为实，以和八十一除之，得六十三为勾，股和减勾余股，以股减八十一余▯。

第一术形论同勾与股▯较求股▯第一术通曰：第二术，以股▯和作庚乙，一直线自之为乙丁直角方形。次用股▯度相减，取辛甲两点，从辛从甲作辛壬、甲癸两平行线。依此法作戊子、丑巳两平行线，即丁乙一形内截成丑壬、甲子、庚寅、辰卯股羃四；戊午、未巳、甲寅、辰壬较股矩内直角形四；寅辰较羃一也。今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃，则于庚辰▯羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形，即勾羃矣？何者？庚辰▯羃内当函一股羃一勾羃也。又戊午与午癸等，即辛癸形亦勾羃也。以辛癸形代丑寅甲磬折形，于丁乙全形内减之，余庚壬甲夘两形并，又半得甲夘形为实【倍法不如折实】以等股▯和之乙夘线为法除之，得甲乙股。通曰第三术勾羃和羃并者，即丁乙形外加一甲壬形也。又，式竹髙一丈，折梢柱地，去根三尺，问折处髙几何？曰：四尺又二十分尺之十一。术：竹高为股▯和，去根三尺为勾，折处为股。

股与勾▯和求勾▯法式：甲乙股三十六，乙丙丙甲勾▯和七十二。问：乙丙勾几何？甲丙▯几何？曰：乙丙勾二十七，甲丙▯四十五。术：股自乗得一千二百九十六和七十二，除之得十八，为勾▯较。较减和，余五十四，半之得二十七，为勾较。加和得九十，半之得四十五，为▯。通曰：「勾与股▯和，求股▯之第二术，第三术，此亦可用第一术，形论同。股与勾▯较，求勾▯第一术，第二术，形论同。勾与股▯和，求股▯第二术。」

▯与勾股和求勾股法式甲丙▯四十五，甲乙乙丙勾股和六十三。问：甲乙股几何？乙丙勾几何？曰：甲乙股三十六，乙丙勾二十七。术：▯自乗得二千零二十五，倍。之得四千零五十，与和自乗得三千九百六十九，相减余八十一，为实，平方开得九，为勾股较。较减和，余五十四，半之得二十七，为勾。较加和，得七十二，半之得三十六，为股。通曰：▯和各自乗相减，又减▯自乗，余开方得较，亦合。论曰：以勾股和作甲丁一直线，自之为甲巳直角方形。此形内函甲辛、癸巳两股羃，乙寅、庚壬两勾羃，而甲辛、癸巳之间重一癸辛直。角方形，夫甲丙▯之羃既与勾股两羃并等，以减甲巳形内之甲辛、乙寅两形，即所存戊辛寅磬折形，少于▯羃者，为癸辛形矣。乙辛，股也；乙丑，勾也；则丑辛，较也。

勾▯较与股▯较求勾股▯法式：甲乙勾▯较十八，戊丙股▯较九。问：乙丙勾，甲乙股，甲丙▯各几何？曰：乙丙勾二十七，甲乙股三十六，甲丙▯四十五。术：勾▯较十。八与股▯较九相乗得一百六十二，倍之得三百二十四为实，开平方得十八为▯。和较加勾▯较十八得三十六为股，▯和较加股▯较九得二十七为勾。用勾股求▯法得四十五为▯，或以勾▯较十八并勾得▯，或以股▯较九并股得▯。论曰：股▯较甲丁九，自之得八十一，为己庚直角方形；勾▯较乙戊十八，自之得三百二十四，为辛壬直角方。形两羃并得四百零五，以九减十。八余九，即勾股较，自之，得八十一。为干兑直角方形，元设两较互乗。为癸戊子丑两直角形并得三百。二十四以减四百零五，亦得八十。一，何以知之？癸、戊、子、丑，三百二十。四为实，开方得十八之寅夘，直角方形边则▯和较也。凡直角三边形之▯羃，必与勾股两羃并等。甲乙丙既直角形，则甲乙、乙丙两羃并，必与甲丙羃等。今于甲乙股加甲辰▯，丙乙勾加乙午▯，甲丙▯加丙未勾未申股各作一直线，以此三和线作一三边形，即甲申上之甲酉，直角方形，必不等于丙午上。之丙戌，直角方形乙辰上之乙亥。直角方形并，而此不相等之较必。勾股较羃之八十一也？何者？若于甲酉丙戌乙亥三直角方形各以元设勾股，勾股▯分之，即甲酉形。内有▯羃一股，羃一勾，羃一股，▯矩内形二，勾，▯矩内形二，勾股矩内形二，而乙亥形内有▯羃一，股羃一，股，▯矩内形二，丙戌形内有▯羃一，勾羃一，勾，▯矩内形二次，以甲酉内诸形与乙亥、丙戍内诸形相当相抵，则甲酉内存勾股矩内形二，丙戍或乙亥内存▯羃一次，以此两存形相当相抵，则一▯羃之大于两勾股矩内形，必勾股较羃之八十一也？何者？一▯羃内函一勾羃，一股羃。今试如上图，任作一甲乙▯羃，其乙丙为勾羃，则丁丙戊磬折形必与股羃等；乙巳为股羃，则丁巳戊磬折形必与勾羃等。次以乙庚辛壬两勾股矩内形辏一角，依角旁两边纵横交加于▯羃之上，即得勾股之较羃丙巳。而乙丙上重一勾羃，次以所重之勾羃补其等勾羃之丁己戊磬折形，则甲乙▯羃之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙巳勾股较羃矣。故知第二图乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较羃之八十一也，则乙亥丙戍两形并其大于甲酉形亦勾股较羃之八十一也。今于第一图辛壬较羃内减勾股较羃八十一之干兊直角方形，其所存干离震兑两余方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等。次以癸戊子丑两形开方为寅夘形，则减寅夘之甲酉形与减辛壬之丙戌形，减巳庚之乙亥形并必等。而减寅夘之甲酉形内元有▯羃如甲寅者四，有▯偕寅卯形边矩内形如寅未者四；减辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四，有勾偕勾▯较矩内形如辛坎者四；减巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四，有股偕股▯较矩内形如甲己者四。今以四▯羃当四勾羃，四股羃，则甲己辛坎两形并必与寅未形等，甲丙与未申等▯也，丙申勾股和也，则两▯间等寅卯形边之丙未不得不为▯和较矣。既得丙未十八为▯和较，即以元设丙较相加可得勾股▯各数也？何者？未申▯也，未艮勾▯较也，艮申勾也，丙申勾股和也。于丙申勾股和减艮申勾，则丙未加未艮之丙艮股也。丙甲▯也，丙坤股▯较也，坤甲股也，未甲勾股和也。于未甲勾股和减坤甲股，则未丙加丙坤之未坤勾也。次以未艮加艮申，或丙坤加坤甲，则▯也。又式户不知髙广，竿不知长。短横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适岀。问髙广斜各几何？曰：髙八尺，广六尺，斜一丈。术：横不出四尺，为勾▯较；纵不出二尺，为股▯较。

股▯和与勾▯和求勾股▯法式：乙甲甲丙股▯和八十一，乙丙丙甲勾▯和七十二。问：乙丙勾，甲乙股，甲丙▯各几何？曰：乙丙勾二十七，甲乙股三十六，甲丙▯四十五。术：股▯和八十一与勾▯和七十二相乗，得五千。八百三十二，倍之，得一万一千六百六十四，为实。开平方，边得一百零八，为▯。和和减勾，▯和余三十六，为股。▯和和减股，▯和余二十七，为勾。用勾股求▯法，得四十五，为▯。

论曰两和相乗为乙巳直角形倍之为丁戊直角形以为实平方开之得己庚直角方形与丁戊等即其边为▯和和者何也？丁、戊全形内有▯羃二股，▯矩内形勾，▯矩内形勾股，矩内形各二，与己庚全形内诸形比各等。独丁戊形内余一▯羃，己庚形内余一勾羃，一股羃并二，较一亦等。即己庚方形之各边皆▯和和。勾与▯较和求股▯法【▯较和者▯与勾股较和也】式勾二十七，▯与勾股较和五十四，问股、▯各几何？曰：股三十六，▯四十五。术：勾自乗得七百二十九，为实；勾和并得八十一，为股、▯和，除实得九，为股、▯较。加股、▯和得九十，半之得四十五，为▯；股较减股、▯和得七十二，半之得三十六，为股。勾与股较和，求股▯法【股较和者，股与勾▯较和也】式勾二十七，股与勾▯较和五十四，问股、▯各几何？曰：股三十六，▯四十五。术通曰：同勾与▯较和法。葢▯与勾股较和为五十四，股与勾▯较和亦五十四也。股与▯较和求勾▯法【▯较和者▯与勾股较和也】式股三十六，▯与勾股较和五十四。问勾、▯各几何？曰：勾二十七，▯四十五。术：股自乗得一千二百九十六，为实。股减和，余十八，为勾、▯较。除实得七十二，为勾、▯和。加勾、▯较得九十，半之得▯。勾、▯和减勾、▯较，余五十四，半之得勾。股与勾较和，求勾▯法【勾较和者，勾与股▯较和也】式股三十六，勾与股▯较和三十六，问勾▯各几何？曰：勾二十七，▯四十五。术通曰：股自乗得一千二百九十六，为实；股与和并得七十二，为勾▯和，除实得十八，为勾▯较。加勾▯和得九十，半之得▯；勾▯较减勾▯和，余五十四，半之得勾。▯与勾较和求勾股法【勾较和者勾与股▯较和也】式▯四十五，勾与股▯较和三十六，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术通曰：▯自乗得二千零二十五，倍之得四千零五十，为实。▯与和并得八十一，与实相减，余三千九百六十九，开平方得六十三，为勾股和。又以▯和并八十一，开平方得九，为勾股较。加勾股和得七十二，半之得股。勾股较减勾股和，余五十四，半之得勾【按此法当取勾股较，今用▯和并，盖数偶合，非法也】▯与股较和求勾股法【股较和者，股与勾▯较和也】式▯四十五股与勾▯较和五十四，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术通曰：▯自乗倍之，得四千零五十，为实。▯与和相减，余九，又自乗得八十一，与实相减，余三千九百六十九，下同。▯与勾较和求勾股法，勾与▯和和求股▯法【▯和和者，▯与勾股和和也】式勾二十七，▯与勾股和，和一百零八，问股、▯各几何？

曰：股三十六，▯四十五。术：勾自乗，得七百二十九，为实；勾减和，余八十一，为股、▯和；除实，得九，为股、▯较；减股、▯和，余七十二，半之，得股；股、▯较加股、▯和，得九十，半之，得▯。勾与股和，和求股▯法【股和和者，股与勾▯和和也】式勾二十七，股与勾▯和和一百零八，问股▯各几何？曰：股三十六，▯四十五。术通曰：同勾与▯和和法，葢和皆一百零八也。股与▯和和求勾▯法【▯和和者▯与勾股和和也】式股三十六，▯与勾股和，和一百零八，问勾、▯各几何？曰：勾二十七，▯四十五。术：股自乗，得一千二百九十六，为实；股减和，得七十二，为勾、▯和；除实，得十八，为勾、▯较；减勾、▯和，余五十四，半之得勾；勾、▯较加勾、▯和，得九十，半之得▯。股与勾和和，求勾▯法【勾和和者，勾股▯和和也】与式股三十六，勾与股▯和和一百零八，问勾▯各几何？曰：勾二十七，▯四十五。术通曰：同股与▯和和法，葢和数相同也。▯与勾和和求勾股法【勾和和者，勾与股▯和和也】式▯四十五，勾与股▯和和一百零八，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术通曰：▯自乗得二千零二十五，倍之得四千零五十，为实。▯减和，余六十三，为勾股和，又自乗得三千九百六十九，与实相减，余八十一，开平方得九，为勾股较。减勾股和，余五十四，半之得勾。勾股较加勾股和，得七十二，半之得股。▯与股和和求勾股法【股和和者，股与勾▯和和也】式▯四十五股与勾▯和和一百零八，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术通曰：同▯与勾和和法，盖和数相同也。勾与▯和较求股▯法【▯和较者，▯与勾股和较也】式勾二十七▯与勾股和较十八，问股▯各几何？曰：股三十六，▯四十五。术：勾自乗得七百二十九，为实；勾减较余九，为股▯较；除实得八十一，为股▯和；加股▯较得九十，半之得▯；股▯和减股▯较余七十二，半之得股。又式勾股田一段内容，圆池一口，径六步，只云勾八步，问股▯各几何？曰：股十五步，▯十七步。术：容圆径即▯和较，勾与股和较求股▯法【股和较者，股与勾▯和较也】式勾二十七股与勾▯和较三十六，问股▯各几何？曰：股三十六，▯四十五。术通曰：同勾与▯和较法。葢以勾减▯与勾股和较十八，余九；以勾减股与勾▯和较三十六，余亦九也。股与▯和较求勾▯法【▯和较者，▯与勾股和较也】式股三十六，▯与勾股和较十八，问勾▯各几何？曰：勾二十七，▯四十五。术：股自乗得一千二百九十六，为实；股减较余十八，为勾▯较，除实得七十二，为勾▯和，加勾▯较得九十，半之得▯；勾▯和减勾▯较余五十四，半之得勾。

股与勾和较求勾▯法【勾和较者，勾与股▯和较也】式股三十六，勾与股▯和较五十四，问勾▯各几何？曰：勾二十七，▯四十五。术通曰：同股与▯和较法。葢以股减▯，与勾股和较十八，余十八；以股减勾，与股▯和较五十四，余亦十八也。▯与勾和较求勾股法【勾和较者，勾与股▯和较也】式▯四十五，勾与股▯和较五十四，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术通曰：▯自乗得二千零二十五，倍之得四千零五十，为实。▯减较余九，为勾股较，又自乗得八十一，与实相减，余三千九百六十九，开平方得六十三，为勾股和。加勾股较得七十二，半之得股；勾股和减勾股较余五十四，半之得勾。▯与股和较求勾股法【股和较者，股与勾▯和较也】式▯四十五股与勾▯和较三十六，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术通曰：同▯与勾和较法，葢以▯减勾与股▯和较五十四，余九；以▯减股与勾▯较三十六，余亦九也。勾与▯较较求股▯法【▯较较者，▯与勾股较较也】式勾二十七，▯与勾股较较三十六，问股、▯各几何？曰：股三十六，▯四十五。术：勾自乗得七百二十九，为实；勾减▯较较余九，为股、▯较；除实得八十一，为股、▯和；减股、▯较余七十二，半之得股；股、▯和加股、▯较得九十，半之得▯。勾与股较，较求股▯法【股较较者，股与勾▯较较也】式勾二十七，股与勾▯较较十八，问股▯各几何？曰：股三十六，▯四十五。术通曰：同勾与▯较较法，葢以勾减▯较较三十六，余九；以勾减股较较十八，余亦九也。股与▯较较求勾▯法【▯较较者▯与勾股较较也】式股三十六，▯与勾股较较三十六，问勾▯各几何？曰：勾二十七，▯四十五。术：股自乗得一千二百九十六，为实；股并▯较较得七十二，为勾▯和。除实得十八，为勾▯较。加勾▯和得九十，半之得▯。勾▯较减勾▯和，余五十四，半之得勾。股与勾较较，求勾▯法【勾较较者，勾与股▯较较也】式股三十六，勾与股▯较较十八，问勾▯各几何？曰勾二十七，▯四十五。术通曰：股自乗得一千二百九十六为实，股减勾较较余十八为勾▯较，除实得七十二为勾▯和（下同），股与▯较较法。▯与勾较较求勾股法【勾较较者勾与股▯较较也】式▯四十五，勾与股▯较较十八，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术通曰：▯自乗得二千零二十五，倍之得四千零五十，为实。▯并勾较较得六十三，为勾股和。又自乗得三千九百六十九，与实相减，余八十一，开平方得九，为勾股较。加勾股和得七十二，半之得股。勾股较减勾股和，余五十四，半之得勾。

▯与股较较，求勾股法【股较较者，股与勾▯较较也】式▯四十五股与勾▯较较十八，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术通曰：同▯与勾较较法，葢较数相同也。通曰：和较变穷，而勾股之用无穷。形同法异，形异法同，非精义不能入神也。

有积【勾股之二】

有积勾股较求勾股▯法式有积九百七十二，勾股较为甲戊九。问勾股▯各几何？曰：勾二十七，股三十六，▯四十五。术：较自乗得八十一，积四因得三千八百八十八，相并得三千九百六十九，开平方得六十三，为勾股和加较九，得七十二，半之得股。勾股和减较九，余五十四，半之得勾。求得▯。二术积较为从，方开之得勾，较为减，从方开之得股【俱详少广】又以积二因得一千九百四十四，加较自乘八十一，得二千零二十五，开方得▯。通曰：「子较羃也，丑。」通曰：「子较羃也。」寅、卯、辰四，因积也。丑寅并与卯等。

各边皆勾股和　　　　　二因积也合之为▯羃通曰：「较为从方者，九回二十七，得二。」百四十三，为较勾矩，以减积九百七。十二，余七百二十九，为勾羃，较为减。从方者九，回三十六，得三百二十四，为较。股矩以并积九百七十二，得一千二百九十六，为股羃。

有积勾股和求勾股▯法式有积九百七十二，勾股和为丙乙，乙甲六十三。问勾股▯各几何？曰：勾二十七，股三十六，▯四十五。术：积四因，得三千八百八十八。和自乗得三千九百六十九，相减余八十一，开平方得九，为勾股较。加和得七十二，半之得股；勾股较减和，余五十四，半之得勾。勾股求得▯，二术积二，因得一千九百四十四。和自乗得三千九百六十九，相减余二千零二十五，开平方得▯。

有积▯求勾股法式有积四百八十六▯，为甲丙四十五，问勾股各几何？曰：勾二十七，股三十六。术：积四因，得一千九百四十四，▯自乗，得二千零二十。五相减，余八十一，开平方得九，为勾股较。又以积倍之，得九百七十二，以较九为从，方开之得勾，勾▯求得股。通曰：以较为减，从方开之，亦得股。

有率【勾股之三】

勾与股率勾▯和率求股▯法式勾十股率三勾▯和率七问股▯各几何曰股一十零五▯一十四五术以勾▯和率自乗得四十九为勾▯和准以股率自乗得九并勾▯和准得五十八折半得二十九为▯准二率相乗得二十一为股准以▯准二十九减勾▯和准四十九余二十为勾准以▯准二十九乗勾一十得二百九十以勾准二十除之得一十四五为▯以股准二十一乗勾一十得二百一十以勾准二十除之得一十零五为股通曰：「此迟速相较也。速巳七，迟止三，为率。速者于乙至丙，又于丙至申；迟者于」乙至甲，同在乙起，同至甲，防也【按：此图应在又式后】又式：甲善走，乙次之。甲行七，乙行三。今乙东行，甲南行十步，斜向东行。防乙问：“各行几何？”曰：“甲南行，斜行共二十四步半；乙东行十步半。”术：甲南行勾也，斜行▯也，又东行股也。甲行七，勾▯和率也；乙行三，股率也。

容方与勾股率求勾股▯法式容方径一千五百，股率三，勾▯和率五。问勾股▯各几何？曰：勾二千三百，股四千三百一十二，五▯四千八百八十七五。术：以勾▯和率自乗，得二十五，为勾▯和准。股率自乗，得九，并勾▯和准，得三十四，半之得十七，为▯准。二率相乗，得十五，为股准。以▯准十七减勾▯和准二十五，余八，为勾准。以勾准乗容方径，得一万二千，以股准十五除之，得余勾八百，加容方径，得二千三百，为勾。以▯准十七乗勾二千三百，得三万九千一百，以勾准八除之，得四千八百八十七五，为▯。以股准十五乗勾二千三百，得三万四千五百，以勾准八除之，得四千三百一十二，五为股。通曰：「此亦迟速相较也，速五，迟三，速。」于乙过丙，至甲迟于乙，至甲同在乙。起同至甲防乙戊乙巳皆容方径方。也，乙过戊至丙勾也。戊丙余勾也。乙过丙至甲勾▯和也。乙过巳至甲股也。己甲余股也。丁乙直角方，形容方也。丁庚直角方形，即又式邑也【按此图应在又式后】又式邑方十里，每里三百步，甲乙二人同立邑中，乙东行率三，甲南行率五，乃斜磨邑东南角与乙防，问各行几何？曰：甲南行二千三百步【邑中一千五百步，南门外八百步】斜行四千八百八十七步半；乙东行四千三百十二步半【邑中一千五百步，东门外二千八百十二步半】术：南行勾也，南门外余勾也，斜行▯也，东行股也，东门外余股也。邑中至门皆容方径也，甲行五勾▯和率也，乙行三股率也。

容方【勾股之四】

勾股容方法式勾二十七股三十六，问丁戊容方径几何？曰：丁戊容方径一十五四二八。术：勾股相乗，得九百七十二，为实；勾股相并，得六十三，为法除实得一十五、四二八为容方径，即丁至戊也。戊乙，乙己，己丁皆等。论曰：甲乙股，乙丙勾，相乗为实，即成甲乙丙丁直角形。次以甲乙、乙丙相并为法，即成甲戊线，除实得戊巳边。十五，四二八，即成甲戊己庚，直角。形等甲、乙、丙、丁、形而己、庚边截乙。丙勾于癸，截甲；丙▯于壬，成乙辛。壬癸满勾股之直角方形？何者？甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视，即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙分之，即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙。是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也。又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙，更之，即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也。而辛乙与壬癸等，乙癸与辛壬等，则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣。夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙，而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙，则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙。而乙辛、壬癸为满勾股之直角方形。通曰：「勾股稍近者，容方大；勾股悬逺者，容方小。」又简论曰：如前图，以甲乙戊为法，而除甲丙实，既得甲庚、戊己，各与方形边等。今以等甲乙戊之丙乙戊为法，而除甲丙实，得庚丙、戊己，亦各与方形边等，则辛乙、癸壬。

为直角方形容圆【勾股之五】

勾股容圆法式甲乙股六百，乙丙勾三百二十，问丁乙容圆径几何？曰：丁乙容圆径二百四十。术：勾股相乗，得一万九千二百，倍之，得三万八千四。百为实，别以勾股求▯，得六百八十，以并勾股和九百二十，得一千六百为法，除实，得二百四十为容，圆径即乙至丁也，子丑寅夘皆与乙丁等。通曰：「容圆径，即▯和较也。勾股和求▯，减和余，亦容圆径也。」

论曰甲乙股乙丙勾相乗即甲乙丙丁直角形倍之为实即丙丁戊巳直角形，求得甲丙▯，并勾股得一千六百。于甲乙线引长之，截乙庚与勾等，庚辛与▯等，得甲辛为▯和，和线以为法除实，得辛壬边二百四十，即成甲辛壬癸直角形，与丙丁戊己形等。而壬癸边截乙丙勾于子，次从子作子丑寅乙直角方形，即此形之各边皆为容圆径。何者？谓于甲乙丙三边直角形内作一圜，其甲丙▯截子丑寅乙直角方形之卯辰线，与乙子、子丑、丑寅、寅乙诸边皆为切圜线也。又何以显此五边之切圜线？试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形，交加其上，其午丙与乙丙等，未午与甲乙等，未丙与甲丙等，即两形必等。次依丙午未直角作午申酉戌直角方形，与乙子丑寅直角方形等。次于戍酉线引之至亥，又成甲戌亥直角三边形，以甲为同角交加于甲乙丙形之上，亦以午申酉戍为容圆径。次于亥戍寅丑两线引之，遇于干，又成干寅亥直角三边形，以亥为同角交加于甲乙丙形之上，亦以乙子丑寅为容圆径。次作丙兑线，遇诸形之交加线于离，于兑。次作甲震线，遇诸形之交加线于防，于震。次作亥辰线，遇诸形之交加线于坎，于辰。次作未干线，遇诸形之交加线于艮，于卯，而四线俱相遇于坤。夫午丙与乙丙两线等，而减相等之午戌、乙子，即戌丙与子丙必等。丙离同线，丙戍、离丙、子离又等为直角，戍离、丙子、离丙又俱小于直角，即丙离、戌丙、离子两三角形必等，而两形之各边各角俱等，则丙兑线必分甲丙未角为两平分矣。又子离与戍离两边既等，子离震、戌离卯两交角又等，夘戌离、震子离又等为直角，即卯离、戍离、震子之各边各角俱等，而两形亦等。又子离与离戍两边既等，离卯与离震两边又等，即子卯与戍震两边亦等。子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等，而各减相等之子卯。戍震其所存，卯丑震酉必等，丑卯辰坎震酉两角又各为离夘戌离震子相等，角之交角必等，辰丑卯震酉坎又等，为直角，即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等，而两形亦等，依显午防辰与坎艮乙之各边各角俱等，而两形亦等，防寅兑与兑艮申之各边各角俱等，而两形亦等，又子丙戌丙之数各八十，乙子戌午各二百四十，以诸率分数论之，则丑卯酉震各九十，丑辰坎酉各四十八，卯辰坎震各一百零二，则减丑卯之夘子必一百五十也，卯子股一百五十，丙子勾八十，以求卯丙▯则一百七十也，次减丙戌八十，即卯戌亦九十也，丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戍卯既等为直角，丑卯辰戍夘离两交角又等，丑卯与戌夘复等，即两形必等，而其各边各角俱等，依显子离震与震酉坎两形亦等，依显诸形之交角者皆相等，其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等，而子离离戌皆四十八也，则酉坎坎乙亦皆四十八也，亥酉亥乙皆八十也，子乙与戌酉等，子丙与酉亥复等，则乙丙与戌亥必等，而甲为同角，甲乙丙甲戌亥又等为直角，则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等，而两形亦等，甲亥与甲丙既等，各减相等之丙戌乙亥，又减相等之乙寅戌午，即甲寅与甲午必等，夫甲防午甲防寅两形之甲寅甲午既等，甲防同线，甲午防甲寅防又等为直角，即两形必等，而各边各角俱等，是甲震线必分丙甲亥角为两平分也，甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分，又以甲震线分丙甲乙角为两平分，而相遇于坤，则以坤为心，甲乙为界作圜，必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五边，而为甲乙丙直角三边形之内切圜，即乙丑直角方形之各边为容圆径，展转论之，则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分，皆遇于坤，而坤心圜为各形之内切圜，即两直角方形边为各勾股形内之容圆，径通曰容方，容圆勾股测算之枢机也。先衍其防于此，详后二卷。

数度衍卷六

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