几何论约卷四

几何论约卷四

柘城杜知耕撰一题有圜求作合圜线与所设线等法曰：甲乙丙圜，求作合圜线，与所设丁线等。先作丙乙圜径，若与丁等，即是合线。若丁小于径【若大于径，即不可合】即于乙丙截。乙戊与丁等次，以乙为心，戊为界，作甲戊圜，交甲乙丙圜于甲末，作甲乙线为所求【耕日当任指乙为心，丁为度，向圜界作短界线为甲，即作甲乙线】

二题有圜，求作圜内三角切形，与所设三角形等。法曰：甲乙丙圜，求作圜内三角切形，其三角与所设丁戊己形之三角各等，先作庚辛切圜线，次作庚甲乙角与所设己角等，次作辛甲丙角与所设戊角等，末作乙丙线为所求。论曰：甲丙乙与庚甲乙两角，甲乙丙与辛甲丙两角各交互相等【三巻三一】两角既等，余一角必亦等。三题。有圜，求作圜外三角切形，与所设三角形等。法曰：甲乙丙圜，求作圜外三角切形。其三角与所设丁戊己形之三角各等。先引长戊己邉为庚辛，次自圜界抵心作甲壬线，次作甲壬乙角与丁戊庚等，次作乙壬丙角与丁己辛等，末于三线各作垂线，成三角形，为所求。论曰：甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一巻三二】而壬甲子、壬乙子皆直角，即甲壬乙、甲子乙两角并等两直角。彼丁戊庚、丁戊己亦等两直角【一巻十三】毎减一相等之丁戊庚、甲壬乙，则所存丁戊己与甲子乙必等。依显五与己癸与丁角俱等【一巻三二】四题。

三角形求作形内切圜法曰：甲乙丙角形，求作形内切圜。先于乙丙两角各平分之，作乙丁、丙丁两线，相遇于丁。次自丁至各邉作垂线，为丁己、丁庚、丁戊。其戊丁乙角形之丁戊、乙丁、乙戊两角，与乙丁己角形之丁己、乙丁、乙己两角各等。乙丁同边即丁戊、丁己两边亦等【一巻二六】依显丁己、丁庚两邉亦等。夫三线俱等，丁必圜心。即以丁为心，戊为界，在己、戊、庚圜为所求【耕曰：两分角线相遇处即圜心，任作一垂线便可作圜，不必更作余两线，余两线为论理而设，非作法所需也】

五题三角形求作形外切圜法曰甲乙丙角形求作形外切圜，先平分两邉【若直角、钝角则分直钝两旁之邉】于丁于戊作。丁己戊己为两邉之垂线相遇于己，其己防或在形内，或在形外，俱作己甲、己乙、己丙三线；或在乙丙边上，止作己甲线。其甲丁己角形之甲丁与乙丁己形之乙丁两腰等，丁己同腰，丁之两旁俱直角，即甲己、己乙两底必等【一巻四】依显甲己、己丙两底亦等，夫三线俱等，己必圜心。即以己为心，甲为界，作乙甲丙圜，为所求。耕曰：「两垂线相遇处为心，即可作圜，不必更作余线。」一糸若圜心在三角形内，必鋭角形；在一邉，必直角形；在形外，必钝角形。二糸若鋭角形，圜心必在形内；直角形，必在一邉；钝角形，必在形外。増任设三防不在一直线，可作过三防之圜。其法于三防各作直线相聨成三角形，依前法作圜。用法：甲乙丙三防，先以甲乙各自为心，相向作圜，分相交于丁，于戊。次于甲丙亦如之，相交于己，于庚。末作丁戊、己庚两线引。

长相交于辛即辛为圜心六题有圜求内切圜直角方形法曰：甲乙丙丁，圜其心，戊求作内切方形。先作甲丙、乙丁两径线，以直角相交于戊。

次作甲乙乙丙等四线为所求论曰：四角皆负半圜分，故皆直角【三巻三一】

七题有圜求作外切圜直角方形法曰：甲乙丙丁，圜其心，戊求作外切方形。先作甲丙、乙丁两径线，以直角相交于戊。次作庚、己、己、辛等四线，各与两径平行，为所求八题。

直角方形求作形内切圜法曰：辛庚方形，求作内切圜。先平分四邉，作甲丙、乙丁两线，相交于戊。即以戊为心，甲为界，作甲乙丙丁圜，为所求。

九题直角方形求作形外切圜法曰：甲丙方形，求作外切圜。先作甲丙乙丁对角线，相交于戊。即以戊为心，甲为界。

作圜为所求十题求作两邉等三角形，底上两角各倍大于腰间角法曰：先任作甲乙线，次分于丙，令甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等【二巻十一】次以甲为心，乙为界，作乙丁圜。次作乙丁合圜线与甲丙等【本巻一】末作甲丁线相聨，即两边等三角形，而乙丁两角倍大于甲角。论曰：试作丙丁线，成甲丙丁角形，外作甲丙丁切圜【本巻五】其甲乙偕丙乙矩内形，与甲丙上方形等，亦与乙丁上方形等。而丁乙必甲丙丁圜之切线【三巻二七】即乙丁丙角与甲角交互相等【三巻三二】于两角毎加一丙丁甲角，即甲丁乙全角与丙甲丁、丙丁甲两角并等。又乙丙丁外角，亦与丙甲丁、丙丁甲两内角并等【一巻三二】即乙丙丁角与甲丁乙角等，而与相等之甲乙丁角亦等。乙丙丁、丙乙丁两角既等，则丙丁、乙丁两线必等。又乙丁元与甲丙等，是丙丁与甲丙亦等。两线既等，则甲与甲丁丙两角亦等。夫乙丁丙、丙丁甲既俱等于甲角，是甲丁乙倍大于甲角，而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角。十一题。有圜，求作圜内五邉切形，其形等边等角。法曰：甲丙戊圜，求作等邉等角五邉内切形。先作己庚辛两邉等角形，而庚辛两角俱倍大于己角【本巻十】次于圜内作甲丙丁角形，与己庚辛等。次平分甲丙丁、甲丁丙两角，作丙戊、丁乙两线。末作甲乙、乙丙等四线为所求。论曰：甲丙丁、甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角。今平分两角，即甲丁乙、乙丁丙、丙甲丁、丁丙戊、戊丙甲五角皆等。五角所乗之五圜分亦等，五圜分等则五邉等矣。又甲乙丙丁圜分与乙丙丁戊圜分等，则乗两圜分之甲戊丁与乙甲戊两角亦等。依显余三角俱等，而五角等矣。

十二题有圜，求圜外五邉切形，其形等邉等角。法曰：甲乙丙丁戊圜，求作五邉外切形，等邉等角。先作圜内五邉切形，次从巳心作已甲、巳乙等五线，次从此五线作庚辛、辛壬。

等五垂线为所求十三题五边形求作形内切圜法曰：甲乙丙丁戊五边形，求作内切圜。先平分甲戊邉于庚，平分乙丙边于辛。次作庚丙、辛戊两垂线，相交于己。末以己为心。

庚为界作圜为所求十四题五边形求作形外切圜法曰：甲乙丙丁戊五边形，求作外切圜。先平分乙丙丁、丙丁戊两角，作庚丙、辛丁两线，相交于己。末以己为心，丙为界，作圜，为所求。

十五题有圜，求作圜内六邉切形，其形等邉等角。法曰：甲丙戊，圜其心，庚求作六邉内切形，等邉等角。先作甲丁径线，次以丁为心庚为界，作圜。两圜相交于丙，于戊。次从庚心作庚丙、庚戊，各引长为丙己、戊乙。末以甲乙、乙丙等六线聨之，为所求。耕曰：两圜既等，其庚丙丁角形之庚丁、庚丙同为上圜之半径，必等；而庚丁、丙丁同为下圜之半径，亦等【六三角形俱依此推显】三邉等，故三角亦等也；分角等，故全角亦等也。一糸凡圜之半径为六分圜之一之分，▯何者？庚丁与丁丙等，故也。二糸依前十二、十三、十四题，可作六邉形在圜外，又六邉形内外俱可作切圜。

十六题有圜，求作圜内十五邉切形，其形等边等角。法曰：甲乙丙圜，求作十五邉内切形，等邉等角。先作甲乙丙内切圜平邉三角形【本巻二】毎一邉当圜三分之一，即当十五分之五。次从甲作甲戊己。庚辛五邉形毎一邉当圜五分之一，即当十五分之三。平分戊乙于壬，则壬乙得十五分之一。即依壬乙作十五合圜线，为所求。一糸依前十二、十三、十四题可作外切圜，十五邉形又十五邉形内外俱可作切圜。増题：若圜内，从一防设不等两内切形之各一邉，此两邉各为若干分圜之一，其两若干分相乗之数，即后作形之分数，其两若干分之较数，即两邉相距之圜分。如甲丙戊圜，从甲防作甲乙为六邉形之一邉，甲丙为五邉形之一邉甲丁，为四邉形之一邉甲戊，为三邉形之一邉甲乙。命六，甲丙命五，较数一。即乙丙圜分为三十邉形之一邉。何者？五六相乗得三十，故当为三十边也。较数一，故当为一邉也。又甲乙圜分为六分圜之一，即三十分之五。甲丙为五分圜之一，即三十分之六则乙丙得三十分之一也。依显乙丁为二十四邉形之二邉。何者？甲乙命六，甲丁命四，四六相乗得二十四，又较数二也。因推乙戊为十八邉形之三邉，丙戊为十五邉形之二邉，丁戊为十二邉形之一邉也。二糸凡作形于圜之内等邉则等角。何者？形之邉所乗之圜分皆等故【二巻二七】凡作形于圜之外，从圜心至角各作直线，依本巻十二题可推各角等。三糸凡等邉形可作在圜内，即可作在圜外，又形内外俱可作圜。

四糸凡圜内有一形欲作他形其邉倍于此邉即分此一邉所合之圜分为两平分而毎分各作一线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷又补题：圜内有同心圜，求作一多邉形，切大圜不至小圜，其多邉为偶数而等。如甲乙丙丁戊两圜，同以己为心，先作甲丙径线，截丁戊圜于戊，次从戊作庚辛为甲戊之垂线，次平分甲乙丙于乙。再平分丙乙于壬，再平分丙壬于癸。丙癸小于丙庚，作丙癸合线，即所求多邉形之一邉也。

几何论约巻四钦定四库全书几何论约巻五之首柘城杜知耕撰界説十九则【前四巻所论皆独几何也，此下二巻所论皆自两以上多几何同例相比者也。此巻以虚例相比，絶不及线面体诸类。六巻则论线角圜界诸类及诸形之同类相比者也】一界分者，几何之几何也？小能度大，以小为大之分。小能度大者，谓小几何度大几何能尽大之分者也。如甲为乙三分之一，为丙七分之一，无赢不足也。若戊为丁之一，即赢；为二，即不足。己为丁之三，即赢；为四，即不足。是不尽大，则丁不能为戊、己之分也【本书所论，皆指能尽分者】

二界小几何能度大者？则大为小之几倍？三界比例者，两几何以几何相比之理。凡两几何相比，以此几何比他几何，则此为前率，他为后率；反用之，以他几何比此几何，则他为前率，此为后率。凡比例有二种，有大合，有小合。以数可明者为大合，非数可明者为小合。本篇所论皆大合也。凡大合有两种，有等者，有不等者。等者，谓相同之比例；其不等者，又有两种，有以大不等，如二十比十是也；有以小不等，如十比二十是也。大不等者，又有五种：一为几倍大，谓大几何内有小几何，或二，或三，或八，或十也；二为等▯一分，谓大几何内既有小之一，别▯一分，此一分或元一之半，或三分之一，四分之一也；三为等▯几分，谓大几何内既有小之一，别▯几分，不能合为一尽分者也；四为几倍大▯一分；五为几倍大▯几分。小不等者，亦有五种，俱与上五种相反为名。四界两比例之理相似，为同理之比例。如甲与乙两几何之比例，偕丙与丁两几何之比例，其理相似，为同理之比例。同理又有二种：一为连比例，谓相连不断，如后图戊与己比，己又与庚比，是也；二为断比例，谓居中两率，一取不再用，如前圗甲自与乙比，丙自与丁比是也五界两几何倍其身而能相胜者，为有比例之几何。如三尺之线与八尺之线，三尺之线三倍其身，即大于八尺之线，是为有比例之线也。又如方形之一边与其对角线，虽非大合之比例可以数明，而方边一倍之即大于对角线，是亦有小合比例之线也。又圜径四倍之即大于圜界，则径与界亦有小合比例之线也。又如初月形别作一方形与之等【末巻一増附】即曲直两线相视有大有小，亦有比例也。又方与圜虽不能为相等之形，然两形相视有大有小，亦不可谓无比例也。又直线角与曲线角亦有比例如丁乙戊角与甲乙丙直角等壬庚癸角与己庚辛钝角等，卯丑辰角与子丑寅鋭角等，此五者皆疑无比。例而实有比例者也。他若，有穷之线与无穷之线，虽为同类，实无比例。何者？有穷之线，毕世倍之，不能胜无穷之线，故也。又，线与面，面与体，各自为类，亦无比例。何者？毕世倍线不能及面，毕世倍面不能及体，故也。又，切圜角与直线鋭角，亦无比例。何者？毕世倍切圜角不能及至小之鋭角，故也。此后诸篇中，毎有倍此几何，令至胜彼几何者，故备着其理，以需后论也。六界四几何？若第一与二偕第三与四为同理之比例，则第一与第三之几倍偕第二与第四之几倍，其相视或等，或俱大，或俱小，恒如是。如第一为三，第二为二，第三为六，第四为四。今以第一之三，第三之六同加四倍，为十二为二十四。次以第二之二，第四之四同加七倍，为十四为二十八。其倍第一之十二既小于倍第二之十四，而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也。又以第一之三，第三之六同加六倍，为十八为三十六。次以第二之二，第四之四同加九倍为十八，为三十六。其倍第一之十八既等于倍第二之十八，而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也。又以第一之三，第三之六同加三倍为九，为十八。次以第二之二，第四之四同加二倍为四，为八。其倍第一之九既大于倍第二之四，而倍第三之十八亦大于倍第四之八也。或俱等，或俱大，或俱小，累试之皆合。则三与二偕六与四得为同理之比例【连比例仿此】七界同理之几何，为相称之几何。八界四几何，若第一之几倍大于第二之几倍，而第三之几倍不大于第四之几倍，则第一与二之比例大于第三与四之比例。此反上六界而释，不同理之比例。

九界同理之比例至少必三率十界四，几何为同理之连比例？则第一与三为再加之比例，第一与四为三加之比例，仿此以至无穷。十一界同理之几何，前与前相当，后与后相当。上文六界、八界，谓几何之几倍。常以一与三同倍，二与四同倍。以一与三为两前，二与四为两后，故也。十二界有属理，更前与前，更后与后，如甲与乙之比例，若丙与丁。今更推甲与丙，若乙与丁，为属理【下言属理皆省曰更证，见本巻十六】此理可施于四率。同类之比例，若两线与两面，或两面与两数，不为同类，即不得相更也【此下説比例六理，皆后论所需也】十三界有反理，取后为前，取前为后，如甲与乙之比例，若丙与丁，今反推乙与甲，若丁与丙，为反理【证见本巻四之糸】此理亦可施于异类。十四界有合理，合前与后为一，而比其后。如甲乙与乙丙之比例，若丁戊与戊己。今合甲丙为一而比乙丙，合丁己为一而比戊己，即推甲丙与乙丙，若丁己与戊己，是合两前两后率而比两后率也【证见本巻十八】十五界有分，理取前之较，而比其后。如甲乙与丙乙之比例，若丁戊与己戊。今分推甲乙之较。甲丙与丙乙，若丁戊之较；丁己与己戊【证见本巻十七】十六界有转理，以前为前，以前之较为后【图同前界】如甲乙与丙乙之比例，若丁戊与己戊。今转推甲乙与甲丙，若丁戊与丁己【证见本巻十九】十七界有平理，此甲乙丙三几何，彼丁戊己三几何，相为同理之连比例者，甲与乙若丁与戊，乙与丙若戊与己也。今平推首甲与尾丙，若首丁与尾己【平理之分又有二种，如后二界】十八界有平理之序者，甲与乙若丁与戊，而后乙与他率丙，若后戊与他率己，是序也。今平推甲与丙若丁与己也【此与十七界同，重宣序义以别后界也。证见本巻二二】十九界有平理之错者，甲与乙若戊与己，又此之后，乙与他率丙，若彼之他率丁，与前戊是错也。今平推甲与丙若丁与己也。

【戊证见本乙巻二三】増甲与乙为比例，即此丙必有彼丁相与为比例。若甲与乙也，丙与丁为比例，必有彼戊与此丙为比例。若丙与丁也。

钦定四库全书几何论约巻五柘城杜知耕撰一题此数几何？彼数几何？此之各率同几倍于彼之各率，则此之并率亦几倍于彼之并率。解曰：甲乙此二几何，大于丙丁彼二几何各若干倍，题言甲乙并大于丙丁并，亦若干倍。

二题六几何，其第一倍第二之数等于第三倍第四之数，而第五倍第二之数等于第六倍第四之数，则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数。解曰：一甲乙倍二丙之数，如三丁戊倍四巳之数；又五乙庚倍二丙之数，如六戊辛倍四巳之数。题言：一甲乙、五乙庚并倍二丙之数，若三丁戊、六戊辛并倍四巳之数。

三题四，几何第一之倍，第二；若第三之倍，第四；次倍第一，又倍第三，其数等；则第一所倍之与第二，若第三所倍之与第四。解曰：一甲所倍于二乙，若三丙所倍于四丁。次作戊、巳两几何，同若干倍于甲于丙。题言以平理推，戊倍乙，若巳倍丁。

四题四几何第一与二偕第三与四比例等，第一第三同任为若干倍，第二第四同任为若干倍，则第一所倍与第二所倍，第三所倍与第四所倍比例亦等。解曰：甲与乙偕丙与丁比例等，次作戊与巳同任若干倍于一甲三丙别。作庚与辛同任，若干倍于二乙、四丁。题言：一甲所倍之戊，与二乙所倍之庚，偕三丙所倍之巳，与四丁所倍之辛比例，亦等。

论曰试以戊巳同任倍之为壬为癸别以庚辛同任倍之为子为丑其戊之倍，甲既若己之倍丙，而壬之倍戊亦若癸之倍己，即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本巻三】依显子之倍乙，亦若丑之倍丁也。夫甲与乙偕丙与丁之比例既等，而壬癸所倍于甲丙，子丑所倍于乙丁各等，即三试之：若倍甲之壬小于倍乙之子，则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣；若壬子等，即癸丑亦等；若壬大于子，即癸亦大于丑【本巻界六】不论几许倍，其等大小恒如是也。则戊与庚偕巳与辛之比例必等。一糸凡四，几何？一与二偕，三与四比例等，即可反推二与一偕，四与三比例亦等。

二糸若甲与乙偕丙与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷五题大小两几何，此全所倍于彼全，若此全截分所倍于彼全截分，则此全之分余所倍于彼全之分余，亦如之。解曰：甲乙所倍于丙丁，若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己。题言：甲戊分余之戊乙所倍于丙己分余之己丁，亦如其数。

六题此两几何各倍于彼两几何，其数等于此两几何每减一分，其一分之各倍于所当彼几何，其数等，则其分余或各与彼几何等，或尚各倍于彼几何，其数亦等。解曰：甲乙丙丁各倍于戊己，其数等。毎减一倍，戊己相等之甲庚丙辛。题言分余庚乙辛丁，或与戊己等，或尚各倍于戊己，其数亦等。

七题此两几何等，则与彼几何各为比例必等；而彼几何与此相等之两几何各为比例，亦等。解曰：甲乙两几何等，彼几何丙，不论等大小于甲乙。题言甲与丙偕乙与丙各为比例，必等又反上言：丙与甲偕，丙与乙各为比例，亦等八题。大小两几何各与他几何为比例，则大与他之比例大于小与他之比例，而他与小之比例大于他与大之比例。解曰：不等两几何，甲大，乙小，又有他几何丙，不论等大小于甲，于乙。题言甲与丙大于乙。与丙之比例，又反言丙与乙大于丙与甲之比例。九题。两几何与一几何各为比例而等，则两几何必等；一几何与两几何各为比例而等，则两几何亦等。

十题彼此两几何，此几何与他几何之比例，大于彼与他之比例，则此几何大于彼。他几何与彼几何之比例，大于他与此之比例，则彼几何小于此。解曰：甲乙两几何，又有丙几何。甲与丙之比例，大于乙与丙。题言甲大于乙，又言丙与乙。之比例大于丙与甲，则乙小于甲。

十一题此两几何之比例与他两几何之比例等，而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等，则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等。解曰：甲乙偕丙丁之比例，各与戊己等。题言甲乙与丙丁之比例，亦等。

十二题数几何，所为比例皆等，则并前率与并后率之比例，若各前率与各后率之比例。解曰：「甲乙丙丁戊己数几何？甲与乙若丙与丁，丙与丁若戊与己。」题言：甲、丙、戊。诸前率并与乙，丁己诸后率并之比例，若甲与乙，丙与丁，戊与己各前与各后也。

十三题数几何，第一与二之比例若第三与四，而第三与四之比例大于第五与六，则第一与二之比例亦大于第五与六。解曰：一甲与二乙之比例，若三丙与四丁；而三丙与四丁之比例，大于五戊与六己题言：甲与乙之比例，亦大于戊与己。

十四题四、几何：第一与二之比例，若第三与四，而第一大于第三，则第二亦大于第四；第一或小或等于第三，则第二亦等、亦小于第四。解曰：甲与乙之比例，若内与丁。题言甲大于丙，则乙亦大于丁；若等，亦等；若小，亦小。

十五题两分之比例，与两多分并之比例等。解曰：甲与乙同任，倍之为丙，为丁。题言丙与丁之比例若甲与乙十六题【更理】四几何为两比例等？即更推前与前，后与后为比例，亦等。解曰：甲与乙之比例，若丙与丁。题言更推之，甲与丙之比例，亦若乙与丁。

十七题【分理】相合之两几何，为比例等，则分之为比例亦等。解曰：甲乙、丁乙与丙戊、己戊相合两几何。甲乙与丁乙，若丙戊与己戊，题言分之。甲丁与丁乙，若丙己与己戊也。

十八题【合理】两几何分之为比例等，则合之为比例亦等。解曰：「甲丁丁乙，与丙己己戊，两分几何其？」甲丁与丁乙，若丙己与己戊，题言合之，甲乙与丁乙，若丙戊与己戊也。

十九题【其糸为转理】两几何各截取一分，其所截取之比例与两全之比例等，则分余之比例与两全之比例亦等。解曰：甲乙丙丁，两几何？其甲乙全与丙丁？全之比例，若截取之甲戊与丙己。题言分余戊乙与己丁之比例，亦若甲乙与丙丁。糸从此题可推界説十六之转理，如上甲乙与戊乙，若丙丁与己丁，即转推甲乙与甲戊，若丙丁与丙己。

二十题有三几何，又有三几何，相为连比例。而第一几何大于第三，则第四亦大于第六；第一或等，或小于第三，则第四亦等，亦小于第六。解曰：甲、乙、丙三几何，丁、戊、己三几何。其甲与乙，若丁与戊；乙与丙，若戊与己。题言：若甲大于丙，丁亦大于己；若甲等于丙、丁亦等于己，若甲小于丙，丁亦小于己。

二十一题有三几何，又有三几何，相为连比例，而错以平理推之。若第一大于第三，则第四亦大于第六；若第一或等或小于第三，则第四亦等亦小于第六。解曰：甲、乙、丙三几何，丁、戊、己三几何，相为连比例。不序不序者，甲与乙若戊与己乙与丙，若丁与戊以平理推之，若甲大于丙，题言丁亦大于己。论曰：甲既大于丙，即甲与乙大于丙与乙【本巻八】而甲与乙若戊与己，即戊与己亦大于丙与乙也。又乙与丙既若丁与戊，反之，即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己大于戊与丁，是丁大于己也。次解曰：若甲等于丙，题言丁亦等于己。论曰：甲丙既等，即甲与乙若丙与乙【本巻】【七】而甲与乙，若戊与己，即丙与乙，亦若戊与己也。又乙与丙，既若丁与戊，反之，即丙与乙，亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己，若戊与丁，是丁己等也。后解曰：若甲小于丙，题言丁亦小于己。论曰：甲既小于丙，即甲与乙小于丙与乙【本巻八】而甲与乙若戊与己，即戊与己亦小于丙与乙也。又乙与丙既若丁与戊，反之，即丙与乙若戊与丁【本巻四】则戊与己小于戊与丁，是丁小于己也。

二十二题【平理之序】有若干几何，又有若干几何，其数等，相为连比例，则以平理推之。解曰：有若干几何，甲、乙、丙，又有若干几何，丁、戊、己，而甲与乙，若丁与戊，乙与丙若戊，与己题言，以平理推之，甲与丙若丁与己，如更有庚辛二几何，其丙与庚若己与辛，依显甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】

二十三题【平理之错】若干几何，又若干几何，其数等，相为连比例，而错，亦以平理推。解曰：甲乙丙若干几何，丁戊己若干几何，相为连比理而错者，其甲与乙。若戊与己，乙与丙，若丁与戊，题言以平理推之，甲与丙亦若丁与己。如更有庚、辛两几何，其戊与辛若甲与丙，丙与庚若丁与戊，即以甲、丙、庚作三几何，丁、戊、辛作三几何，相为连比例而错，则甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】耕曰：「以数明之。甲设十八，乙设九，丙设六，丁设四十八，戊设三十二，己设十六。甲与丙，若丁与己，其故何也？盖甲与乙，若六与三。」乙与丙若三与二，则甲与丙若六与二矣。又丁与戊若六与四，戊与己若四与二，则丁与己亦若六与二矣。两前两后俱若六与二，故比例等也。庚、辛两几何，亦依此推显。

二十四题凡第一与二之比例，若第三与四；而第五与二之比例，若第六与四。则第一、第五并与二之比例，若第三、第六并与四。解曰：一甲乙与二丙，若三丁戊与四己，而五乙庚与二丙，若六戊辛与四己。题言一。甲乙，五乙庚，并与二丙；若三丁戊，六戊辛，并与四己。

増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何毎截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等【此増与六题大同但六题言几倍此不言倍其意稍广矣】

二十五题四几何为断比例？则最大与最小两几何并大于余两几何并。解曰：「甲乙与丙丁，若戊与己。甲乙最大，己最小。题言甲乙己并大于丙丁戊并。」论曰：试于甲乙截取甲庚与戊等，于丙丁截取丙辛与己等。甲庚、丙辛既等于戊、己，其比例必若甲乙与丙丁也。夫甲乙与丙丁既若甲庚与丙辛，即亦若分余之庚乙与辛丁也【本巻十九】而甲乙最大，必大于丙丁，即庚乙亦大于辛丁矣。若于戊加等己之丙辛，于己加等戊之甲庚，两率必等，而又加不等之庚乙、辛丁，则甲乙己并岂不大于丙丁戊并？二十六题。

第一与二之比例大于第三与四反之则第二与一之比例小于第四与三解曰：一甲与二乙之比例，大于三丙与四丁。题言反之，二乙与一甲之比例，小于四。

丁与三丙二十七题第一与二之比例大于第三与四更之则第一与三之比例亦大于第二与四。解曰：一甲与二乙，大于三丙与四丁。题言之，则一甲与三丙，亦大于二乙与四丁。论曰：试作戊与乙之比例，若丙与丁。即甲与乙大于戊与乙，是甲大于戊。则甲与丙必大于戊与丙矣。夫戊与乙既若丙与丁，更之，则戊与丙亦若乙与丁。则甲与丙大于乙与丁。

二十八题第一与二之比例大于第三与四合之，则第一、第二并与二之比例亦大于第三、第四并与第四。解曰：一甲乙与二乙丙，大于三丁戊与四戊己。题言合之，则甲丙与乙丙，亦大于丁。

己与戊己论曰：「试作庚乙与乙丙之比例，若丁戊与戊己。即甲乙与乙丙大于庚乙与乙丙，是甲乙大于庚乙矣。此两率毎加一乙丙，即甲丙亦大于庚丙。甲丙与乙丙大于庚丙与乙丙，即大于丁己与戊己。」二十九题。第一合第二，与二之比例大于第三合第四，与四分之则，第一与第二之比例，亦大于第三与四。解曰：「甲丙与乙丙，大于丁己与戊己。」题言。分之则甲乙与乙丙亦大于丁戊与戊己【论同前】三十题。第一合第二与二之比例大于第三合第四与四转之，则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三。解曰：甲丙与乙丙，大于丁己与戊己。题言转之，则甲丙与甲乙，小于丁己与丁戊。耕曰：甲丙与乙丙，若四与一；丁己与戊己，若三与一。则四与一大于三与一矣。甲乙与乙丙，若三与一；丁戊与戊己，若二与一。则三与一大于二与一矣。甲丙与甲乙，若四与三；丁己与丁戊，若三与二。则四与三小于三与二矣。

三十一题此三几何，彼三几何？此第一与二之比例大于彼第一与二，此第二与三之比例大于彼第二与三。如是序者，以平理推，则此第一与三之比例亦大于彼第一与三。解曰：甲、乙、丙，此三几何？丁、戊、己，彼三几何？而甲与乙大于丁与戊，乙与丙大于戊与己。如是序者，题言以平理推，则甲与丙亦大。

于丁与己三十二题此三几何，彼三几何？此第一与二之比例，大于彼第二与三；此第二与三之比例，大于彼第一与二。如是错者，以平理推，则此第一与三之比例，亦大于彼第一与三。解曰：甲乙内此三几何，丁戊己彼三几何，而甲与乙大于戊与己，乙与丙大于丁与戊。如是错者，题言以平理推，则甲与丙亦大于丁与己。论曰：试作庚与丙之比例，若丁与戊，即乙与丙大于庚与丙，而乙几何大于庚【本巻十】是甲与小庚大于甲与大乙矣【本巻八】夫甲与乙既大于戊与己，即甲与庚更大于戊与己也。次作辛与庚之比例，若戊与己，即甲与庚亦大于辛与庚，而甲几何大于辛【本巻十】是大甲与丙大于小辛与丙矣【本巻八】夫辛与丙以平理推之，若丁与己也【本巻二三】则甲与丙大于丁与己。

三十三题此全与彼全之比例，大于此全截分与彼全截分之比例，则此全分余与彼全分余之比例，大于此全与彼全之比例。解曰：「甲乙全，与丙丁全，大于两截分甲戊。」与丙己题言，两分余戊乙，与己丁大于甲乙，与丙丁。论曰：甲乙与丙丁，既大于甲戊与丙己，更之，即甲乙与甲戊，亦大于丙丁与丙己也【本巻二七】又转之，甲乙与戊乙，小于丙丁与己丁也【本卷三十】又更之，甲乙与丙丁，小于戊乙与己丁也【本巻二七】若两全之比例小于截分，则分余之比例必小于两全。

三十四题若干几何，又有若干几何，其数等。而此第一与彼第一之比例，大于此第二与彼第二；此第二与彼第二之比例，大于此第三与彼第三。以后俱如是，则此并与彼并之比例，大于此末与彼末，亦大于此并减第一与彼并减第一，而小于此第一与彼第一。解曰：甲、乙、丙三几何，又丁、戊、己三几何。其甲与丁大于乙与戊，乙与戊大于丙与己。题先言甲、乙、丙并与丁、戊、己并大。于丙与己次言，亦大于乙；丙并与戊己并，后言小。

于甲与丁论曰：甲与丁既大于乙与戊，更之，即甲与乙大于丁与戊也【本巻二七】又合之，甲乙并与乙大于丁戊并与戊也【本巻二八】又更之，甲乙并与丁戊并大于乙与戊也【本巻二七】是甲乙全与丁戊。全大于减并乙与减并戊也，既尔即减余甲与减余丁大于甲乙全与丁戊全也【本巻三三】依显乙与戊亦大于乙丙全与戊己全，即甲与丁更大于乙丙全与戊己全也。又更之，甲与乙丙并大于丁与戊己并也【本巻二七】又合之，甲乙丙全与乙丙并大于丁戊己全与戊己并也【本巻二八】又更之，甲乙丙全与丁戊己全大于乙丙并与戊己并也【本巻二七】则得次解也。又甲乙丙全与丁戊己全既大于减并乙丙与减并戊己，即减余甲与减余丁大于甲乙丙全与丁戊己全也【本巻三三】则得后解也。又乙与戊既大于丙与己，更之即乙与丙大于戊与己也【本巻二七】又合之，乙丙全与丙大于戊己全与己也【本巻二八】又更之，乙丙并与戊己并大于丙与己也【本巻二七】而甲乙丙并与丁戊己并既大于乙丙并与戊己并，即更大于末丙与末己也，则得先解也。若两率各有四几何，而丙与己亦大于庚与辛，即与前论同理。依上论，乙与戊大于乙丙庚并与戊己辛并，即甲与丁更大于乙丙庚并与戊己辛并也。更之即甲与乙丙庚并大于丁与戊巴辛并也【本巻十八】又合之，甲乙丙庚全与乙丙庚并大于丁戊己辛全与戊己、辛并也。又更之甲、乙、丙、庚全与丁、戊、己、辛全大于乙、丙、庚并与戊、己、辛并也【本巻二七】则得次解也。又甲、乙、丙、庚全与丁、戊、己、辛全既大于减并乙、丙、庚与减并戊、己、辛，即减余甲与减余丁大于甲、乙、丙、庚全与丁、戊、己、辛全也【本巻三二】则得后解也。又依前论，显乙、丙、庚并与戊、己、辛并既大于庚与辛，而甲、乙、丙、庚全与丁、戊、己、辛全大于乙、丙、庚并与戊、己、辛并，即更大于末庚与末辛也。则得先解也。自五以上俱仿此。

几何论约巻五钦定四库全书几何论约巻六之首柘城杜知耕撰界説六则一界凡形，相当之各角等，而各等角旁两线之比例俱等，为相似之形。如两角形之甲乙丙三角与丁戊己三角俱等，其甲角旁之甲乙与甲丙，若丁角旁之丁戊与丁己，余两等角旁之各两线，其比例俱等，则两角形为相似之形。依显平边角形，皆相似之形。二界两形之各两邉线互为前后率，相与为比例而等，为互相视之形。如两方形之甲乙与戊己，若己庚与乙丙，而彼此互为前后率，则此两形为互相视之形。依显两角形之壬子与丑寅，若丑卯与壬癸，则两形亦为互相视之形三界理分中末线，一线两分之，其全与大分之比例，若大分与小分【此线为用甚广，至量体尤所必需，古人目为神分线也】四界度各形之髙，皆以垂线之亘为度。如甲乙丙角形，作甲丁垂线，即甲丁为甲乙丙角形之髙度。五界比例，以比例相结，以各比例不同理而相聚为一比例，则用相结之法，借象之术，合各比例之命数，求首尾一比例之命数也。曷为相结？如甲乙丙三几何，甲二倍于乙，乙三倍于丙，而求甲与丙之比例，则以二倍乗三倍，得甲六倍于丙也，若丙为第一，甲为第三，亦以二乗三得丙，反六倍于甲也。若四率，则先以前三率之两比例结为一比例，复与第三比例相结也。若五率，则以第一第二第三率之两比例相结，以第三第四第五率之两比例相结，又以此所结之两比例乗除相结而为一比例也。自六以上，仿此。曷谓借象？如前所説，三几何二比例皆以中率为关纽，畧如连比例之同用一中率也。有不同理二比例而异中率者，是不同理之断比例也，无法可结，当别立三几何二比例而同中率【以中率当第二又当第三】乗除相结，依仿求之。如所设几何十六为首，十二为尾，却云十六与十二之比例若八与三，及二与四之比例，八为前之前，四为后之后，三与二为前之后后之前，所谓异中率也，欲乗除相结，无法可通矣。用是别立三几何，则三其八得二十四为前，三其三得九为前之后，即以九为后之前，以求九与何数若二与四得十八为后，其二十四与九若八与三也，九与十八若二与四也，则十六与十二若二十四与十八也。三比例以上，仿此逓结之。六界平行，方形不满一线为形，小于线。若形有余线，不足为形，大于线。如甲丁形，不满甲乙线，而丙乙半线上无形，即作甲己满甲乙线上方。形则甲丁为依甲乙线之有阙方形，而丙己为甲丁之阙形。又甲丙线上作甲己形，其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙，而甲己形大于甲丙线上之甲丁形，则甲己为依甲丙线之▯余方形，而丙己形为甲己之余形。

钦定四库全书几何论约巻六柘城杜知耕撰一题等髙之角形、方形自相为比例，与其底之比例等。解曰：甲乙丙丁戊己两角形，乙辛、戊庚两方形等髙，其底乙丙、戊己。题言：甲乙丙与丁戊己，乙辛与戊庚皆若乙丙与戊己之比例。増题：凡两角形、两方形等底，自相为比例，与其髙之比例等。耕曰：「即前圗，以髙为底，以底为髙，其理自明。」二题。三角形任依一邉作平行线，即此线分两余邉为比例，必等。三角形内有一线分两邉为比例而等，即此线与余邉为平行。解曰：甲乙丙角形内，作丁戊与乙丙平行。题言：丁戊分甲乙于丁，分甲丙于戊。其甲丁与丁乙之比例，若甲戊与戊丙也。又言甲丁与丁乙，甲戊与戊丙为比例而等，则丁戊乙丙必平行。论曰：试作丁丙、戊乙两线，其丁戊乙、丁戊丙两形同丁戊底，又在平行线内，即等【一巻三七】而甲戊丁与丁戊乙两形之比例，若甲戊丁与丁戊丙矣【五巻七】夫甲戊丁与丁戊乙亦同在平行线内，则甲戊丁与丁戊乙两形之比例，必若甲丁、丁乙两底也【本巻一】依显甲戊与戊丙两底之比例，亦若甲戊丁与丁戊丙两形也。是甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙矣【五巻十】

三题三角形以一直线任分一角为两平分，分对角边为两分，则两分之比例若余两邉。三角形分角线所分对角邉之比例若余两邉，则所分角为两平分。解曰：甲乙丙角形，以甲丁线平分乙甲丙角。题言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙，又言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙，则甲丁线分乙甲丙角必。

为两平分论曰：试作乙戊与甲丁平行，次引长丙甲线至戊，其甲乙戊与乙甲丁相对两角必等，外角丁甲丙与内角戊亦等【一巻二九】今乙甲丁与丁甲丙又等，即甲乙戊角与戊角亦等，而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一巻六】则戊甲与甲丙必若乙甲与甲丙，夫戊甲与甲丙又若乙丁与丁丙【本巻二】是乙甲与甲丙若乙丁与丁丙矣。

四题凡等角三角形，其在等角旁之各两腰，相与为比例，必等；而对等角之邉为相似邉。解曰：甲乙丙丁、丙戊两形相当之各角俱等。题言甲乙与乙丙之比例，若丁丙与丙戊；甲乙与甲丙若丁丙与丁戊；甲丙与乙丙若丁。戊与丙戊而毎对等角之邉各相似，相似者谓各前各后率各对本形之相当角。论曰：试并置两形，令两底成一直线。次引长乙甲、戊丁两线，相遇于己，成乙己戊形。其甲丙与己戊平行，则戊丙与丙乙，若己甲与甲乙。即若等己甲之丁丙与甲乙也。更之，甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也，又丁丙与己乙平行，则乙丙与丙戊若己丁与丁戊，即若等己丁之甲丙与丁戊也，更之，即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也，依显，甲乙与甲丙亦若丁丙与丁戊也。

糸凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊形必与甲乙丙全形相似増题：凡角形之内，任依乙丙邉作丁戊平行线，于乙丙邉任取己防，向甲角作甲己直线，分丁戊于庚，则乙己与己丙之比例，必若丁庚与庚戊论曰：甲巳、乙甲、庚丁两角形既相似，即甲己与己乙若甲庚与庚丁也。更之，即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五巻十六】依显，甲己与甲庚若己丙与庚戊，则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五巻十一】更之，即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五巻十六】

五题两三角形，其各两邉之比例等，即两形为等角形，而对各相似邉之角各等。解曰：甲乙丙丁戊己两角形，其甲乙与乙丙，若丁戊与戊己；乙丙与甲丙，若戊。己与丁，己甲丙与甲乙，若丁己与丁戊，题言此两形为等角形，而对各相似邉之角，甲与丁，乙与戊，丙与己各等【论同前题】

六题两三角形之一角等，而等角旁之各两邉比例等，即两形为等角形，而对各相似邉之角各等。解曰：甲乙丙丁戊己两角形，其乙与戊两角等，而甲乙与乙丙若丁戊与戊己。题言：余角丙与己，甲与丁俱等【论同四题】

七题两三角形，第一角等，第二相当角各两旁之邉比例等，第三相当角或俱小于直角，或俱不小于直角，即两形为等角形，而对各相似邉之角各等。解曰：甲乙丙丁戊己两角形，其第一甲角与丁角等，第二丙角两旁之甲丙、乙丙两邉偕相当，己角两旁之丁己、戊己两邉比例。等其第三相当角乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角，题言两形之丙与己、乙与戊角俱等，八题。直角三邉形，从直角向对邉作一垂线，分本形为两直角三邉形，即两形皆与全形相似，亦自相似。解曰：甲乙丙直角三邉形，从直角作甲丁垂线，题言所分甲丁丙、甲丁乙两形，皆与全形相似亦自相似论曰：甲乙丙、甲丁丙两形，既各以乙甲丙、甲丁丙为直角，而丙角又同，其余一角必等，而两形为等角形。等角旁之各两邉比例必等，依显甲丁乙与甲乙丙全形亦相似。夫两形既各与全形相似，即两形亦自相似。糸从直角作垂线，即此线为两分对邉线比例之中率，而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率。何者？丙丁与甲丁若甲丁与乙丁也，故甲丁为丙丁、乙丁之中率。又乙丙与丙甲若丙甲与丙丁也，故丙甲为乙丙、丙丁之中率。又乙丙与乙甲若乙甲与乙丁也，故乙甲为乙丙、乙丁之中率。

九题一直线求截所取之分法曰：甲乙直线，或截取三分之一。先从甲任作甲丙线，为丙甲乙角。次从甲向丙任作所命分之平度，如甲丁、戊、己为三分。次作己乙直线，末作丁庚与己乙平行，即甲庚为甲乙三分之一。论曰：丁庚既与己乙平行，即己丁与丁甲，若乙庚与庚甲合之，己甲与甲丁，若乙甲与庚甲也。甲丁既为己甲三之一，则庚甲亦乙甲三之一矣。十题。一直线求截各分，如所设之截分。法曰：甲乙线求截各分，如所设甲丁、戊丙之比例。先以甲乙、甲丙相聨，成丙甲乙角。次作丙乙线相聨。末从丁、从戊作丁己、戊庚两线，皆与丙乙平行，即分甲乙线于己、于庚，若甲丙之甲丁、丁戊、戊丙也。从此题作一用法，甲乙直线求平分若干分，即从甲任作甲丙为若干平分，余同前。又简法如甲乙线求五平分，即从乙任作丙乙线，为丙乙甲角。次任作丁戊与甲乙平行。次从丁向戊任作五平分为丁己、庚、辛、壬、癸，令丁癸小于甲乙。次从甲过癸作甲子线。遇乙丙于子末，从子作子壬、子辛、子庚、子己四线，各引至甲乙线为丑、寅、卯、辰五平分。又简法如甲乙线求五平分，即从甲从乙作甲丁、乙丙两平行线，次从乙任作戊己庚辛四平分，即用元度从甲作壬癸子丑四平分，末作戊丑、己子、庚癸、辛壬四线，即分甲乙。

于己辰卯寅为五平分又用法，先作一器，如丙丁戊己，任平分为若干格。今欲分甲乙线为五平分，即取甲乙之度，一端抵戊丙线一端抵庚辛线，如甲乙大于戊庚，即渐移之，令合线。若至壬，即戊壬之分，为甲乙之分。増题：有直线，求两分之而两分之比例。若所设两线之比例【法同前】又増题甲乙丙丁两线各三分于戊己于庚辛，其甲戊与戊乙，若丙庚与庚丁；甲己与己乙，若丙辛与辛丁也。即中率戊己、庚辛各与前后率为比例，亦等。谓甲戊与戊己若丙庚与庚辛，己乙与戊己。

若辛丁与庚辛也论曰：试聨甲于丙，作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨，其甲戊与戊乙。既若丙庚与庚丁，即庚戊与丁乙平行，甲己与己乙，既若丙辛与辛丁，即辛己与丁乙平行，而庚戊与辛己亦平行，故甲戊与戊己若丙庚与庚辛也，己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也。

十一题两直线求别，作一线相与为连比例。法曰：甲乙、甲丙两线求别，作一线相与为连比例，谓甲乙与甲丙，若甲丙与所求线也。先合两线作丙甲乙角，以丙乙线聨之。次引长甲乙线至丁，令乙丁与甲丙等。次作丁戊线与丙乙平行。末引长甲丙线遇丁戊于戊，即丙戊为所求。论曰：丙乙既与戊丁平行，即甲乙与乙丁若甲丙与丙戊也。而乙丁、甲丙元等，即甲乙与甲丙若甲丙与丙戊也【五巻七】注曰：别有一法，以甲乙、乙丙两线列作甲乙丙直角，以甲丙聨之。次引长甲乙线末，从丙作丙丁，为甲丙之垂线，遇引长线于丁，即乙丁为。

所求论曰：甲丙丁既是直角，而丙乙垂线，即为甲乙、乙丁之中率，则甲乙与乙丙，若乙丙与乙丁也【本卷八之糸】

十二题三直线求别作一线相与为断比例。解曰：甲乙、乙丙、甲丁三线求别，作一线相与为断比例，谓甲丁与所求线，若甲乙与乙丙也。先以甲乙、乙丙为一直线，次以甲丁线合甲丙。任作甲角，次作丁乙，相聨；次作丙戊，与丁乙平行。末引长甲丁，遇丙戊于戊，即丁戊为所求。论曰：丁乙既与丙戊平行，即甲丁与丁戊，若甲乙与乙丙【本巻二】

十三题两直线求别，作一线为连比例之中率。法曰：甲乙、乙丙两线求别，作一线为中率，谓甲乙与所求线若所求线与乙丙也。先并两线成一直线，而平分于戊，即以戊为心，甲作界作。甲、丁、丙半圜，末从乙至界，作乙丁垂线，即乙丁为所求。论曰：试作甲丁、丁丙两线，成甲丁丙直角形【三巻三十】而丁乙垂线为对邉两分线之中率【本巻八之糸】注曰：依此题可推，凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率。何者？半圜之内，从垂线作角皆直角，故也【三巻三】増题有甲乙、甲丙两线，甲乙大于甲丙二倍以上，求两分甲乙，而以甲丙为中率先以甲乙、甲丙聨为直角，平分甲乙于丁，即以丁为心，甲为界作甲戊、乙半圜，次自丙作丙戊，与甲乙平行，遇圜界于戊。末从戊作戊己垂线，而分甲乙于己，即甲丙为甲己、己乙之中率。何者？戊己既半圜内垂线，即为两分径线之中率，而甲丙与戊己等，故为甲己、己乙之中率。

十四题两平行方形等一角，又等即等角旁之两邉为互相视之邉，两平行方形之一角等，而等角旁两邉为互相视之邉，即两形等。解曰：辛乙、乙己两方形等【谓其容等】甲乙、丙戊、乙庚两角又等。题言此两角旁之各两邉为互相视之邉，谓甲乙与乙庚，若戊乙与乙丙也。又言等角旁之各两邉为互相视。

则辛乙乙己两形必等论曰：试以两等角相聨于乙，令甲乙、乙庚成一直线，而戊乙、乙丙亦一直线【一巻十五増】次引长辛丙、己庚，遇于丁。辛乙、乙己两形既等，即辛乙与乙丁若乙己与乙丁也。而辛乙与乙丁两形等髙，即两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本巻一】依显乙己与乙丁等髙，两形亦若其底戊乙与乙丙也。则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也。

十五题相等两三角形之一角等，即等角旁之各两邉互相视。两三角形之一角等，而等角旁之各两邉互相视，即两三角形等。解曰：甲乙丙丁，乙戊两角形等，两乙角又等。题言等角旁之各两邉互相视，谓甲乙与乙戊，若乙丁与乙丙也。又言等角旁之各两邉为互相视，则甲乙丙丁、乙戊两角形必等。论曰：试以两等角相聨于乙，令甲乙、乙戊成一直线，而丁乙、乙丙亦一直线【一巻十五増】次作丙戊相聨，甲乙丙丁乙戊两形既等，即甲乙丙与丙乙戊之比例若丁乙戊与丙乙戊矣。夫甲乙丙与丙乙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也，而丁己戊与丙乙戊两等髙形之比例亦若其底丁乙与乙丙也，是甲乙与乙戊若丁乙与乙丙。

十六题四直线为断比例，即首尾两线矩内形与中两线矩内形等。首尾两线矩内形与中两线矩内形等，即四线为断比例。解曰：甲乙、己庚、戊己、乙丙四线为断。比例谓甲乙与己庚，若戊己与乙丙也。题言甲乙、乙丙矩内甲丙形，与己庚、戊己矩内戊庚形等。又言两矩内形等，则甲乙与己庚必若戊己与乙丙也论曰：两形之乙与己，两角既等，而等角旁之两邉又互相视，则两形必相等【本巻十四若平行斜方形而等角亦同此论】十七题三直线为连比例，即首尾两线矩内形与中线上直角方形等。首尾两线矩内形与中线上直角方形等，即三线为连比例。解曰：甲乙、戊己、乙丙三线为连比例，谓甲乙与戊己若戊己与乙丙也。题言甲乙、乙丙矩内，甲丙形与戊己上戊庚方形等。又言甲乙、乙丙矩内形与戊己上，方形等则甲乙与戊己必若戊己与乙丙也。论曰：试作己庚线与戊己等，即戊己、己庚两线矩内形与甲乙、乙丙两线矩内形等【本巻十六若平行斜方形而等角亦同此论】糸凡直线上方形与他两线矩内形等，即此线为他两线之中率。

十八题直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等，先于设形任从一角向对角作直线，分本形为若干角形。如上形即分为角形三次，于元线上作甲壬乙角形，与丙己丁角形等。次作乙壬辛、甲壬癸两角形，与丁己戊、丙己庚两角形等。则甲乙辛、壬癸与所设形相似而体势等。凡设多角形，俱仿此。増简法，如设甲乙丙丁戊直线形，求于癸线上作一形，与所设形相似而体势等。先于甲角旁之甲乙、甲戊引长之为甲己、甲壬。次从甲向各角作直线为甲庚、甲辛次。于甲乙线上截取甲己，与癸线等。末，从己作己庚，与乙丙平行。作庚辛、辛壬与丙丁、丁戊各平行，即所求。

十九题相似三角形之比例，为其相似邉再加之比例。解曰：甲乙丙丁戊己两角形，其相当之角各等，而甲乙与乙丙，若丁戊与戊己。题言两形之比例，为乙丙与戊己再加之比。

例论曰：若两形等，则为相同之比例。即再加，仍相同之比例。若乙丙大于戊己邉，即于乙丙截乙庚，令乙丙与戊己若戊己与乙庚也。次作甲庚线，其甲乙与乙丙若丁戊与戊己，更之，即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也，亦若戊己与乙庚也。夫甲乙庚与丁戊己两形，有乙戊两角等，而各两邉又互相视，即两形等【本巻十五】又甲乙丙与甲乙庚等髙，两形之比例若其底乙丙与乙庚，即甲乙丙与丁戊己两形之比例亦若乙丙与乙庚矣。乙丙、己戊、乙庚三线既为连比例，则乙丙与乙庚为乙丙与戊己再加之比例。糸依本题可显，凡三线为连比例，即第一甲线上角形与第二乙线上角形之比例，若第一甲线与第三丙线也；第二乙线上角形与第三丙线上角形之比例，亦若第一甲线与第三丙线也皆再加之比例故也二十题以三角形分相似多邉形，则分数必等，而相当各三角形各相似。其各相似两三角形之比例，若两元形。其元形之比例，为两相似邉再加之比例。先解曰：此甲乙丙丁戊，彼己庚辛壬癸，两多邉形，其相当各角俱等，而等。角旁各两邉之比例各等，题言各以角形分之，其角形之分数必等，而相当之各角各相似。次解曰：各相当角形之比例，若两元形。论曰：此角形之比例，既若彼角形，则此各角形并必若彼各角形，并是此全形若彼全形矣。后解曰：两元形之比例，为两相似邉再加之比例。论曰：两分形之比例，既若两元形，而两分形之比例为两相似邉再加之比例，则两元形亦为相似邉再加之比例。増题：甲直线倍大于乙直线，则甲直线上方形与乙直线上方形为四倍大之比例。若甲方形与乙方形为四倍大之比例，则甲线必倍大于乙线。何者？相似两形之比例为其邉再加之比例故也糸依此题可显三直线为连比例，则第一线上多邉形与第二线上相似多邉形，若第一线与第三线之比例。

二十一题两直线形各与他直线形相似，则两形自相似。

二十二题四直线为断比例，则两比例线上各任作自相似之直线形，亦为断比例。两比例线上各任作自相似之直线形为断比例，则四直线亦为断比例。解曰：甲乙丙丁戊己庚辛四线为断比例，谓甲乙与丙丁若戊己与庚辛也。于甲乙丙丁线上任作两角形，于戊己庚辛线上任作两方形。题言四形亦为断比例，谓甲乙壬与丙丁癸，若戊丑与庚卯。又言，若四形为断比例，则甲乙丙丁戊己庚辛四线亦为断例。何者？角形与角形，方形与方形，皆为其相似邉再加之比例故也。

二十三题等角两平行方形之比例，以两形之各两邉两比例相结。解曰：甲丙、丙己两平行方形，两丙角等。题言两形之比例，以各等角旁各两邉之比例相结者，谓两比例之前率在此形，两比例之后率在彼形。如甲丙与丙己之比例，以乙丙与丙庚、偕丁丙与丙戊相结也。或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结也论曰：试以两等角相聨，令乙丙、丙庚、丁丙、丙戊各成直线。次引长甲丁、己庚，遇于辛。次任作一壬线。次以乙丙、丙庚、壬三线求断比例之末率线为癸【本巻十二】末以丁丙、丙戊、癸三线求断比例之末率线为子。其甲丙、丙辛两形等髙，既若乙丙、丙庚两底，即若壬与癸也。依显丙辛、丙己两形亦若癸与子也。平之，即丙甲与丙己若壬与子也【五巻二十】若以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结，以乙丙、丙戊聨成一线，依上推显。注曰：乙丙与丙庚，丁丙与丙戊二比例，既不同理，又异中率，故借壬与癸、癸与子同中率而不同理之两比例以为象，令相象之丙庚、丁丙亦化两率为一率，为乙丙、丙戊首尾两率之枢纽，因以两比例相结，所以通比例之穷也。自三以上，仿此二十四题。平行方形之两角线形，自相似亦与全形相似。解曰：甲乙丙丁，平行方形，作甲丙对角线，任作戊己庚辛两线，与丁丙、乙丙平行，交角线于壬。题言：戊庚、己辛两角线方形，自相似亦与全形相似二十五题两直线形，求作他直线形与一形相似，与一形相等。法曰：甲乙两直线形，求作一形与甲相似，与乙相等。先于甲邉丙丁上作丙戊方形与甲等【一巻四四四五】次依丁戊邉作丁辛方形与乙等。次作一壬癸线为丙丁、丁庚之中率【本巻十二】末于壬癸作子形与甲。

相似即与乙相等论曰：丙丁、壬癸、丁庚三线，既为连比例，则一丙丁与三丁庚，若一丙丁上之甲与二壬癸之上之子，相似两形。之比例，又若丙戊与丁辛等髙两形之比例，则丙戊与丁辛若甲与子矣。夫丙戊、丁辛元若甲与乙，今又若甲与子，是乙与子等也。

二十六题平行方形之内，减去一平行方形，其减形与元形相似而体势等，又一角同，则减形必依元形之对角线。解曰：乙丁平行方形内减戊己平行方形，元形与减形相似而体势等，又同甲角，题。言：戊己形，必依乙丁形之对角线。

二十七题凡依直线之有阙平行方形不满线者，其阙形与半线之上阙形相似而体势等，则半线上似阙形之有阙，依形必大于此有阙依形。解曰：甲乙线平分于丙，于甲丙半线上，任作甲丁形，为甲丙半线上有阙。依形，次作甲戊满元线形，而丙戊为丙乙半线上阙形。次作丁乙角线，末任作己壬、癸子两线与甲乙、乙戊平行，交角线于庚，即得甲庚为甲乙。线上有阙，依形而癸壬为阙形。癸壬阙形既依乙丁角线，则与丙戊阙形相似，而体势等。题言甲丁有阙，依形必大于甲庚有阙依形。论曰：己丁、丁壬两形同髙等底，即两形等【一巻三六】而庚戊为丁壬之分，则丁壬大于庚戊，较余一庚丁形。其大于丙庚亦如之【丙庚、庚戊两余方相等故】即等丁壬之己丁形大于丙庚，亦较余一庚丁形也。次毎加一丙己形，则甲丁必大于甲庚矣。又解曰：若庚防在丙戊形之外，即引乙丁角线至庚，作辛丑与癸戊平行；次引甲癸、乙癸聨之末，作庚己与辛甲平行。得甲庚为甲乙线上，有阙依形而己。丑为阙形，与丙戊阙形相似，而体势等。题言甲丁有阙依形，亦大于甲庚有阙依形。论曰：试引丙丁线至子，即辛子、子丑两线等，而辛丁、丁丑两形亦等，其丁丑、己丁两余方亦等，即己丁与辛丁亦等。夫辛丁大于辛壬，既较余一庚丁形，则己丁之大于辛壬，亦较余一庚丁形也。此两率毎加一甲壬形，则甲丁大于甲庚者，亦较余一庚丁形矣。依显，不论庚防在丙戊形内、形外，凡依角线作阙形而与丙戊相似者，其有阙依形俱小于甲丁，以必有庚丁之较故也。

二十八题一直线求作，依线之有阙方形与所设直线形等，而其阙形与所设方形相似，其所设直线形不大于半线上所作方形与所设方形相似者。法曰：甲乙线求作，依线之有阙方形与丙等，而其阙形与丁相似。先平分甲乙于戊，次于戊乙半线上作戊庚形，与丁相似。次作甲庚满线形，若甲己形与丙等，即得所求矣。若甲己大于丙【若甲己小于丙即不可作】即等甲己之戊庚，亦大于丙也。则求戊庚大于丙之较为壬【一巻四五】増】即作癸丑形与壬等而与戊庚相似次，截取己巳、己卯与癸子、癸。寅等而作，己卯方形必与癸丑相等相似，而又与戊庚相似。次引己辰抵元线，又引卯辰两端作午未线，即甲辰为甲乙线上有阙，依形与丙等，而乙辰阙形与丁相似。论曰：辰庚与辰戊两余方既等，毎加一乙辰角线形，即乙己与戊午亦等，而与等戊午之戊未亦等。乙己与戊未既等，又毎加一戊辰形，即甲辰与申辰酉磬折形等矣。夫磬折形为戊庚之分，而戊庚与丙及癸丑并等。戊庚既截去等癸丑之卯己，则所余磬折形与丙等矣。即甲辰亦与丙等。

二十九题一直线求作，依线之▯余方形与所设形等，而其余形与所设方形相似。

法曰甲乙线求作依线▯余方形与丙等而其余形与丁相似先平分甲乙于戊于戊乙上作戊庚方形与丁相似次别作辛方形与丙及戊庚并等又别作癸丑方形，与辛等，又与丁相似。癸丑既与辛等，即大于戊庚。次引己戊至卯，与壬丑等；引己庚至寅，与壬癸等，而作寅卯方形。即卯寅与癸丑等，又与戊庚相似。次引甲乙至己，引庚乙至午，引午卯至未末，作甲未线与己卯平行，即得甲辰▯余方形。依甲乙线与丙等，而己午为余形，与戊庚相似，即与丁相似。论曰：甲卯、戊午既等，戊午与乙寅两余方又等，是甲卯与乙寅亦等矣。而毎加一卯己形，则甲辰与申乙酉磬折形必亦等。夫磬折形元与丙等【卯寅即癸丑元与丙及戊庚并等，毎减一戊庚，即磬折形与丙等】即甲辰亦与丙等。三十题。

一直线求理分中末线法曰：甲乙线求理分中末，先于元线作甲丙方形，次依丁甲邉作丁己▯余方形，与甲丙形等，而甲己为余形，又与甲丙相似，则戊己分甲乙于辛，即所求【本卷界三】论曰：丁己与甲丙两形既等，毎减一甲戊形，即甲己辛、丙两形亦等矣。此两形之两辛角既等，即等角旁之各两邉为互相视之线也【本巻十四】而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线，其比例若甲辛与辛乙也，是甲辛乙为理分中末也。

三十一题三邉直角形之对直角邉上一形与直角旁邉上两形，若相似而体势等，则一形与两形并等。解曰：甲乙丙三边直角形，甲为直角，各邉上任作直线形，相似而体势等。题言乙丁形与乙庚、丙辛两形并等。论曰：甲丙上方形与乙丙上方形之比例，若丙辛与乙丁；甲乙上方形与乙丙上方形之比例，若乙庚与乙丁。夫甲丙、甲乙上两方形并与乙丙上方形等【一巻四七】则丙辛、乙庚两形并亦必与乙丁等。増题：角形之一邉上形与余邉上相似两形并等，则对一邉角必直角。

三十二题两三角形，此形之两邉与彼形之两边相似，而平置两形成一外角。若相似之各两邉各平行，则其余各一邉相聨为一直线。解曰：甲乙丙丁丙戊两角形，其甲乙与甲丙，若丁丙与丁戊也。试平置两形，令相切，成一甲丙丁外角，而甲乙与丁丙，甲丙与丁戊，各相似之两邉，各平行。题言乙丙、丙戊为一直线。

三十三题等圜之乗圜分角，或在心，或在界，其各相当，两乗圜角之比例，皆若所乗两圜分之比例，而两分圜形之比例，亦若所乗两圜分之比例。解曰：甲、乙、丙、戊、己、庚，两圜等，其心。为丁为辛，两圜各任割一圜分为乙丙为己庚，其乗圜角之在心者为乙丁丙，己辛庚在界者为乙甲丙，己戊庚。题先言乙丙与己庚两圜分之比例，若乙丁丙与己辛庚两角；次言乙甲丙与己戊庚两角之比例，若乙丙与己庚两圜分；后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分，乙丁丙分圜形，与己辛辛庚两腰偕己庚圜分，己辛庚分圜形之比例，亦若乙丙与己庚两圜分。一系在圜心两角之比例，皆若两分圜形。二系在圜心角与四直角之比例，若圜心角所乗之圜分与全圜界；四直角与在圜心角之比例，若全圜界与圜心角所乗之圜分。

几何论约巻六钦定四库全书几何论约巻末柘城杜知耕撰増题【利氏曰：丁先生言，欧几里得六巻中，多研察有比例之线，竟不及有比例之面，故因其义类，増益数题，补其未备。窦复増一题，窃弁于首，仍以题防从先生旧题，随类附演，以广其用，俱称今者，以别于先生旧増也】今増题「圜与圜，为其径与径再加之比例」。解曰：甲乙丙丁戊己两圜，其径甲丙、丁己。题言两圜为甲丙、丁己，再加之。

比例一糸全圜与全圜，半圜与半圜，圜分与相当圜分，相为比例，皆等，皆两径再加之比例故也。二糸三邉直角形，对直角边为径所作圜，与余两邉为径所作圜并等；半圜与两半圜并等；圜分与相似两圜分并等。三糸三线为连比例，以为径所作三圜，亦为连比例。推此可求各圜之相与为比例者，又可以圜求各圜之相与为比例者。一増题，直线形求减所命分，其所减所存各作形，与所设形相似而体势等。法曰：甲形求减三分之一，所减所存各作形，与乙相似。先作丙丁形，与甲等，与乙相似。次依丙戊邉作丙己戊半圜。次截丙戊三分之一为戊庚。次作己庚为丙戊之垂线。次作己丙、己戊两线，末于己丙、己戊。上作己辛、己壬两形，各与丙丁相似，为所求耕。曰：丙丁、己辛、己壬三形既相似，其比例必若其底与底再加之比例。三底线负半圜，为三邉直角形。其己庚丙、己庚戊两分形，又与全形相似，则丙戊与己丙必若己丙与丙庚。是丙戊与丙庚为再加之比例，而丙丁、己辛两形必若丙戊、丙庚两线矣。夫丙庚既为丙戊三分之二，则辛己亦必丙丁三分之二。依显己壬为丙戊三分之一。若所存所减，不论何形，其法更易。如甲形求减三分之一，先作乙丙形与甲等。次截乙丁，三分之一为丁戊，末作己戊，即戊丙形为甲，三分之一。今附有大圜，求减小圜，则以圜径当形邉，余同前。又附依此法，可作一方形与初月形等。如甲乙丙丁圜有初月戊形附圜界四分之一，先作甲乙丙丁内切方形，而四平分之，其一分即与初月形等。何者？甲乙丙半圜与甲乙、乙丙上两半圜等，即戊己半圜为半大圜之半，而己庚分圜形亦为半大圜之半，是己庚分圜形与戊己半圜等矣。此两率各减一，同用之。己形所存，戊庚两形不亦等乎？庚为甲乙丙丁方形四之一，故甲乙丙丁方形四分之一之方形与初月形等。二増题，两直线形，求别作一直线形为连比例。法曰：甲与乙丙丁两形，求别作一形为连比例。先作戊己庚形与甲等，与乙丙丁相似。次以戊己为前率，乙丙为中率，而求连比例之末率为辛壬【本巻十一】末于辛壬上作辛壬癸形，与两形相似，为所求。论曰：三线既为连比例，即其上相似三形亦为连比例【本巻二二】今附有两圜，求别作一圜为连比例，即以圜径当形邉，法同前。三増题，三直线形，求别作一直线形为断比例。法曰：一甲，二乙丁，三己庚辛，求别。作一形，为断比例。先作壬子形，与甲等与乙丁相似，次以壬癸、乙丙。己、庚为三率，求断比例之末率为。寅卯【本巻十二】末，于寅卯上作寅卯辰形，与己庚辛相似，为所求。论曰：四线既为断比例，其线上相似形亦为断比例【本巻二三】今附有三圜，求别作一圜为断，比例法同前。

四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次求戊己乙丙两线连比例之中率为辛壬，于辛壬上作辛壬癸形，与乙丙丁相似，为所求。又法曰：甲乙两形，求别作一形，为连比例之中率。先作丁巳形，与甲等。次作庚壬形，与乙等。与丁巳相似，令两形戊角相聨，而丁壬巳、庚各成直线，末引各邉作子癸直角形，其子戊、戊癸两余方，皆为甲乙之中率。论曰：丁己与戊癸，若子戊与庚壬，何者？两比例皆若丁戊与戊壬也。故两余方皆为等。甲乙两角线形之中率，今附两圜，求别作一圜为连比例之中率，法同前。五増题一，直线形求分作两直线形，俱与所设形相似而体势等，其比例若所设两几何之比例。法曰：一甲形，求分为两形，俱与丁相似，与乙丙比例等。先作戊庚形，与甲等，与丁相似。次分戊辛邉于壬，令戊壬与壬辛若乙与丙。次于戊辛上作。戊癸辛，半圜次从壬作癸，壬为戊辛之垂线，次作戊癸、癸辛两线，末于戊癸、癸辛上作戊子、癸寅两形，俱与戊庚形相似，为所求。今附一圜，求分作两圜，与所设比例等，法同前。六増题一直线形求分作两直线形，俱与所设形相似而体势等，其两分形两相似邉之比例，若所设两几何之比例。法曰：一甲形，求分作两形，俱与丁相似其两分形，两相似邉之比例若乙。与丙先以乙丙两线求连比例之末。率为戊，次作己、庚、辛形，与甲等，与丁。相似次分己辛于壬，令己壬与壬辛若乙与戊。次于己辛线上作巳癸辛半圜。次从壬作壬癸，为巳辛之垂线。次作巳癸、癸辛两线。末于己癸、癸辛上作己子、癸癸、丑辛，俱与丁相似，为所求。今附一圜，求分作两圜，两径若所设之比例，法同前。七増题，两直线形，求并作一直线形，与所设形相似而体势等。法曰：甲乙两形，求并作一形，与丙相似。先作戊丁己形，与甲等；作己庚辛形，与乙等。次以两形相似邉聨为直角。次以戊辛聨之末，于戊辛线作戊辛壬形，与丙相似，为所求。又法曰：「先作一方形，与甲乙两形并等；次作角形，与方形等，与丙相似。」

今附两圜求并作一圜法同前八增题：圜丙两合线交而相分，其分线彼此互相视。解曰：甲乙丙丁圜内，有甲丙、乙丁两线交而相分于戊。题言：甲戊与戊丁若乙戊与戊丙，又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也。论曰：甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内形等【三巻三五】即等角旁之两邉为互相视之邉【本巻十四】九増题：圜外任取一防，从防出两直线，皆割圜至规内。其两全线与两规外线，彼此互相视。若从防作一切圜线，则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率。解曰：甲乙丙丁圜外，任取戊防，作戊丙、戊丁两线，割圜界于甲，于乙。题言戊丙与戊丁，若戊甲与戊乙；又戊丙与戊甲，若戊丁与戊乙也。又言己戊切线，为各割圜全线与规外线之各中率，谓丙戊与己戊，若己戊与戊乙又丁戊，与己戊亦若己戊与甲戊也。论曰：丙戊偕乙戊，矩内形与己戊上方形等【三卷三六】又丁戊偕甲戊，矩内形与己戊上方形亦等。即两矩内形自相等，而等角旁之两邉为互相视之邉【本巻十四】又两矩内形各与戊己上方形等，即戊丙、戊己、戊乙三线，戊丁、戊己、戊甲三线，俱为连比例，而己戊为各中率。十増题，两直线相遇，作角，从两线之各一界互下垂线，而毎方为两线，一自界至相遇处，一自界至垂线，则各相对之两线皆彼此互相视。解曰：甲乙丙乙两线相遇于乙，作甲乙丙角。从甲作丙乙之垂线，从丙作甲乙之垂线。若甲乙丙为钝角，如上圗，两垂线当至甲乙丙乙之各引出线上，为甲丁，为丙戊。其甲戊、丙丁交而相分于乙也。若甲乙丙为鋭角，如下圗，甲丁、丙戊两垂线当在甲乙、丙乙之内，交而相分于己也。题言：甲乙与乙丙若丁乙与乙戊，又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也。论曰：甲乙丁形之甲乙丁、甲丁乙两角，与丙乙戊形之丙乙戊、丙戊乙两角皆等【两为直角，两于上圗为交角，于下圗为同角，故】即两形为等角形，故各相对之两线为彼此互相视。十一増题：平行线形内，两直线与两邉平行，分元形为四平行线形。此四形任相与为比例，皆等。解曰：甲丙形内作戊己庚辛两线，与甲丁、丙丁平行，而交于壬。题言所分之戊庚、庚己、乙。壬、壬、丙、四形，任相与为比例，皆等。论曰：戊壬与壬己两线之比例，既若戊庚与庚己两形，又若乙壬与壬丙两形。即戊庚与庚己，亦若乙壬与壬丙也。依显，乙壬与戊庚，亦若壬丙与庚己也。十二増题，凡四邉形之对角两线交而相分，其所分四三角形，任相与为比例，皆等。解曰：甲乙丙丁四邉形，有甲丙、乙丁两对角线交而相分于戊。题言所分甲戊、丁乙、戊丙。甲戊、乙丁、戊丙四三角形，任相与为比例，皆等。论曰：甲戊与戊丙两线之比例，若甲戊丁与丁戊丙两形，又若甲戊乙与乙戊丙两形。即甲戊丁与丁戊丙两形，亦若甲戊乙与乙戊丙也。依显，甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也。十三増题：三角形，任于一邉，任取一防，从防求作一线，分本形为两形，其两形之比例若所设两几何。

法曰甲乙丙角形任于乙丙邉任取丁防求从丁作一线分本形为两形其两形之比例若戊与己先分乙丙于庚，令乙庚与庚丙。若戊与己如庚丁同防【一圗】即作丁甲线为所求。如庚在丁丙之内【二圗】亦作丁甲线，从庚作辛庚线与丁甲平行，末作丁辛线，即分乙丁辛甲无法四邉形与丁丙辛角形，其比例若戊与己也。如庚在乙丁之内【三圗】亦作丁甲线，次从庚作庚辛线与丁甲平行，末作辛丁线，即分乙丁辛角形与丁丙辛甲无法四邉形，其比例若戊与己也【详一巻三十八题第二増】十四増题，一直线形求别作一直线形，相似而体势等，其比例若所设两几何。法曰：甲直线形，求别作一形与甲相似，令甲与所作形之比例若乙与丙。先以乙、丙及丁、戊三线求断比例之末率为己，次求丁戊及己之中率为庚辛【本卷十二、十三】末于庚辛上作壬形，与甲相似，为所求。若先设大甲，求作小壬，若丙与乙，仿此。论曰：丁戊、庚辛、己三线为连比例，即一丁戊与三己之比例，若一丁戊上之甲与二庚辛上之壬，有用法作各形之相加相减者。如乙丁方形，求别作五倍大方形，先引长甲乙至戊，令乙戊五倍于乙甲，次平分甲戊于己，即以己为心，甲为界，作甲庚戊半圜，次引长乙丙，抵圜界于庚，即依乙庚线作乙辛方形，为所求。耕曰：甲乙偕戊乙矩内形与乙庚上方形等【三巻三五】矩内形既五倍于乙丁，则乙辛方形亦必五倍于乙丁。又丁乙直线形，求别作二倍大相似形。先引长甲乙至戊，令乙戊二倍于甲乙。次平分甲戊于己，即以己为心，甲为界，作甲庚戊半圜。次引长丙乙抵圜界于庚。次于甲戊线截取甲辛，与乙庚等。从辛作辛壬，与乙丙平。行次作甲丙对角线，引长之，遇辛壬于壬次。自壬作壬癸，与丙丁平行。末引甲丁线聨之，成癸辛形，即二倍于丁乙而相似。用此法，不论何形，但两形相似，其在庚乙上形皆二倍于在甲乙上形。今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减，仿此。十五，増题：诸三角形，求作内切直角方形。法曰：甲乙丙角形，求作内切方形。先从甲角作甲丁，为乙丙之垂线。次分甲丁于戊。令甲戊与戊丁，若甲丁与乙丙【本巻十増】次从戊作己庚，与乙丙平行，末自庚自己作庚壬、己辛两线，各与甲丁平行，即得己壬形为所求【若直角钝角，则从直角钝角作垂线】耕曰：己庚既与底线平行，则甲丁与乙丙若甲戊与己庚。今又若甲戊与戊丁，是戊丁与己庚等矣。而庚壬、己辛又各与戊丁等，即庚辛为方形。又甲乙丙直角三邉形，求依乙角作内切方形。先分甲乙于丁，令甲丁与丁乙若甲乙与乙丙末，从丁作丁戊，与乙丙平行；从戊作戊己，与甲乙平行，即得丁己形，为所求。耕曰：「丁戊既与底线平行，则甲乙与乙丙若甲丁与丁戊。今又若甲丁与丁乙，是丁乙与丁戊等矣。即乙戊为方形。」今附如上三邉直角形，依乙角作内切方形，其方邉必为甲丁、己丙两分余邉之中率。何者？甲丁与丁戊，若戊己与己丙，故也【本巻四之糸】后附【耕自为圗，论附之巻末，其法似为本书所无，其理实函各题之内，非能于本书之外别生新义也。称后附者，以别于丁氏、利氏之増题也，计十条】一、附直角三邉形，以直角旁两邉求对直角邉，一巻四十七题，第四増言直角三邉形，先得两邉可求余一邉，皆用筭数相求，然亦可比量得之。按直角三邉形，即算家所谓勾股也，乙丙即▯，甲乙即勾，甲丙即股。乙丙之大于甲丙为丁丙，曰股▯较；乙丙之大于甲乙为乙戊，曰勾▯较；甲丙之大于甲乙为丙己，曰勾股较。凡六线，先得两线皆可求余线。今先得甲乙、甲丙两邉，求乙丙。先作庚辛壬直角，令辛壬与甲乙等，辛庚与甲丙等。末作庚壬，即得乙丙邉之度。二、附以对直角邉及直角旁一邉，求余邉。先得甲乙、乙丙两邉，求甲丙。先作庚壬与乙丙等，平分于癸，即以癸为心，庚为界，作半圜。次以壬为心，甲乙为度向圜作短界，为辛末，作庚辛线，为所求【若先得甲丙、乙丙两邉，求甲乙法同上】三、附以对直角邉与一邉之较及一邉，求全邉。

先得甲乙邉及甲丙乙丙之较丙丁求余邉先作庚辛与丙丁等次作辛壬垂线，与甲乙等次，作庚壬次，引长庚辛至癸次，作庚壬子直角，而壬子截庚癸于子末，平分庚子于丑，即庚丑线与乙丙等，辛丑线与甲丙等，何也？庚癸线既以庚壬子直角线截之，则庚辛偕辛子矩内形必与辛壬上方形等【三巻三五】按勾股法，依股▯较为濶，作直形而与勾羃等，其长必一▯一股之度，故加辛庚折半得乙丙▯【若先得甲丙及甲乙乙丙之较乙戊，求乙丙法同上】四、附以直角旁两邉之较及对直角邉，求全邉。

先得乙丙及甲乙甲丙之较己丙先作庚辛与乙丙等次平分于寅即以寅为心庚为界向上作短界线，次以庚为心，己丙为度，向上作短界线，相交处为丑。自丑作辛丑线，次作庚辛壬直角，令辛壬与辛丑等。次作庚壬线，末截庚壬于癸，令壬癸与丙己等。余庚癸平分于子，即庚子与甲乙等，子壬与甲丙等。按勾股法，一勾一股并作方形，当▯上方形二，而朒一勾股较上方形。今庚辛上方形即▯羃等，辛丑之辛壬上方形当一▯羃而朒一勾股较上方形。又庚壬上方形与庚辛、辛壬上两方形并等，则庚壬一线必为一勾一股之度。五附以直角旁两邉与对直角邉之两较线求各邉，先得甲丙乙丙之较丁丙，及甲乙乙丙之较乙戊。先倍乙戊，加丁丙为庚辛壬癸线，平分于子，即以子为心，庚为界，作庚丑癸半圜。次自壬作垂线，抵圜界于丑。即壬丑线加壬癸，即与甲乙等；加辛壬，即与甲丙等；加辛癸，即与乙丙等。按勾股法，丁丙偕乙戊矩内形二，与戊丁上方形等。夫庚壬偕壬癸矩内形，即两较矩内形二也，而又与壬丑上方形等，则壬丑垂线不与戊丁亦等乎？故逓加之，得勾股▯也【若倍丙丁，加乙戊，所求亦同】六附又法，以方邉角线之较求方邉。

先得方邉角线之较甲乙三倍之为甲乙丙丁线平分于戊即以戊为心甲为界作甲己丁半圜自丙作垂线抵圜界于己，即己丙线，加丙丁为方邉，加甲丙为角线。试作庚辛为角线上方形，次作庚癸壬辛皆为元方形【详二巻十四之増】其子丑与丑壬两线之比例，若丑壬与子丑寅卯两线并，则丑壬为子丑及子丑寅卯两线并之中率。今甲丙倍丙丁，而己丙为中率，其丙丁与己丙若己丙与甲丙也，则己丙丑壬两线必等。故加等子丑之丙丁得方邉，加等子丑寅卯两线并之甲丙得角线。

七附等角两平行方形【不同理】不必借象即以相结如甲丙丙己两平行方形两丙角等即以两角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线【六巻二三】次引丙庚至壬令丙庚与丙壬若丁丙与丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙与丙己两形之比例若乙丙与丙壬？何者丙庚丙壬丁丙丙戊四线既为断比例前后两率矩内形与中两率矩内形必等【六巻十六】即丙己与丁壬等。又丁壬与甲丙同丁丙邉即两形等髙两形之比例必若两底乙丙之与丙壬也。故甲丙与丙己亦若乙丙与丙壬。此以丁丙丙庚为前率之后复为后率之前化二为一作首尾两率之枢纽不必假借他象即以相结。若以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结仿此。

八附又法求理分中末线设甲乙线，求理分中末【详六巻三十】即以甲乙当股，次作乙丙勾，令勾半于股，次以甲丙▯聨之，次截甲丙于丁，令丙丁与乙丙等，末截甲乙于戊，令甲戊与甲丁等，即甲戊乙为理分中末。也何者？勾股上两方形并与▯上。方形等【一巻四七】于▯方内减去等勾。

方之己形所余庚辛壬磬折形，必与股方等。又甲丁甲戊两线等，即辛癸两形亦等。再减辛癸两形所余庚壬两形，与子丑寅磬折形必亦等。又甲乙既倍于内，乙即甲卯亦倍于甲辰。甲丁甲戊又等，则癸子两形并【当甲戊偕丙乙矩内形二】与庚壬两形并【即甲丁偕丙乙矩内形二】亦等矣。即癸子两形并与子丑寅磬折形亦等。此二率毎减一同用之子形，则所余癸与丑寅并，安得不等？夫癸即甲戊上方形也，丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也，故甲戊乙为理分中末也。九附求于三角形内作一线抵两腰与底线平行又与所设线等。甲乙丙三角形，求作一线抵两腰，与乙丙平行，而与丁线等。先作甲戊线，次分于己令甲戊与甲己，若乙丙底与丁线末，从己作庚辛线与乙丙平行为所求【若设线大于乙丙，即不可作】

十附有多线求理分中末设甲乙丙丁戊己庚辛多线各求理分中末，先依前法【八附】分甲乙于壬，次任作甲癸乙角形，次从壬作癸壬线，次作丙丁戊己庚辛多线，令两界各抵腰线，而与底线平行【九附】末依癸壬线分丙丁于子，分戊己于丑，分庚辛于寅，各为理分中末也。

几何论约巻末<子部,天文算法类,算书之属,数学钥》>钦定四库全书　　　　　子部六数学钥》天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案数学钥六巻国朝杜知耕撰。其书列古方、田、粟、布、裒分、少广、商功、均输、盈朒、方程、勾股九章，取今线、面、体三部之法，▯之载其图解，并摘其要语以为之注。与方中通所撰《数度衍》用今法以合九章者，体例相同。而每章设例，必标其凡；于章首，每问答有所旁通者，必附其术于条下。所引证之文，必着其所出，搜辑尤详。梅文鼎《勿庵歴算书》记曰：“近代作者如李长茂《算海详説》，亦有发明，然不能具九章。惟方位伯《数度衍》于九章之外，搜罗甚富。杜端伯《数学钥》图注九章，颇中肯綮，可为筭家程式。”其説固不诬矣。世有二本，其一为妄人窜乱，殊失本真。此本犹当日初刋，今据以校正，以复知耕之旧焉。乾隆四十六年四月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官【臣】陆费墀钦定四库全书