数学钥卷五上之上
数学钥卷五上之上
柘城杜知耕撰商功一则修筑计积设修堤七千二百尺，上濶八尺，下濶三十尺，髙四十尺。求积法曰：并两濶折半【得一十九尺】为实，以髙乗之【得七百六十尺】再以长【七千二百尺】乗之，得五百四十七万二千尺，即所求。解曰：此等广锐靣体求积法也【详四巻十七则】
二则以积计工设筑堤一座，积五百四十七万二千尺，每夫日筑八尺，求用夫数。法曰：置积为实，以八尺除之，得六十八万四千名，即所求。
解曰此求一日筑完三则以工计日一法设修堤，同前欲一年筑完，求用夫数。法曰：置积为实，以每夫日筑八尺乗三百六十日【得二千八百八十尺】为法，除之，得一千九百名，即所求。解曰：二千八百八十尺，乃一夫一年所筑者，故以之除实，得夫数。
四则以工计日二法设原议用夫一千九百名，一年筑完，今欲速成，增夫九百五十名，求用日数法曰：以一千九百名乗三百六十日【得六十八万四千日】为实，并原夫增夫【共二千八百五十名】为法，除之，得二百四十日，即所求。解曰：六十八万四千日，乃一夫筑完所用之日数，故并原夫增夫除之，得二千八百五十名。所用之日数五则。
坚土壤土之较设凿池，土筑堤。堤积五百四十七万二千尺，池长七千五百尺，濶三十五尺。求池深法曰：置堤积四因三归【得七百二十九万六千尺】为实，以池濶乗长【得二十六万二千五百尺】为法，除之，得二十七尺七寸九分四厘有竒，即所求。解曰：凡阙地四尺为壤五尺，筑坚三尺，故于堤积四因三归为池积，以濶乗长，池靣平积也，以平积除池积，所得非池深而何？
六则迟疾求齐一法设甲日筑九尺，乙日筑六尺。乙先筑十日，方令甲筑，求防日工齐。法曰：以乙日筑六尺乗先筑十日【得六十尺】为实，以甲日筑九尺，乙日筑六尺相减【余三尺】为法，除之，得二十日，即所求。解曰：乙先筑十日，必多甲六十尺。甲日筑多乙三尺，二十日必亦多六十尺。故同筑二十日而齐。
七则迟疾求齐二法设一台，甲约五日筑完，乙约七日筑完，丙约九日筑完，令甲乙丙同筑，求防日完。法曰：以七乗五【得三十五日】再以九乗之【得三百一十五日】为实。另以七乗五【得三十五】以五乗九【得四十五】以九乗七【得六十三】三。数并【共一百四十三】为法，除之得二。
日又一百四十三分日之二十九即所求解曰以乙乗甲又以丙乗之者求三率之齐数也【三百一十五日是六十三个五日，四十五个七日，三十五个九日也】甲五日筑一台，则三百一十五日必能筑六十三台；乙七日筑一台，则三百一十五日必能筑四十五台；丙九日筑一台，则三百一十五日必能筑三十五台。是三人三百一十五日共筑一百四十三台也。故以一百四十三台除三百一十五日，得三人共筑一台之日数。
八则迟疾求齐三法设一夫一日阙土可成五十尺，一日运土可成三十尺，一日筑土可成二十尺。令一夫自阙、自运、自筑，求日成防何法？曰：以二十尺乗三十尺【得六百尺】再以五十尺乗之【得三万只】为实。另以二十尺乗三十尺【得六百日】五十尺乗二十尺【得一千日】三十尺乗五十尺【得一千五百日】三数并【共三千一百日】为法除之，得九尺又三十。
一分尺之二十一即所求解曰以二十尺乗三十尺再以五十尺乗之，亦取三率之齐数也【三万尺是一千五百个二十尺，一千个三十尺，六百个五十尺也】一日阙土成五十尺，必六百日成三万尺；一日运土成三十尺，必一千日成三万尺；一日筑土成二十尺，必一千五百日成三万尺。是一夫六百日阙土，一千日运土，一千五百日筑土，共计三千一百日乃成三万尺也。故以三千一百日除三万尺，得一日所成之数。
数学钥巻五上之上钦定四库全书数学钥巻五上之下柘城杜知耕撰均输一则田地之多寡设甲、乙、丙三人，以田地多寡应一年差役。甲田八十畆，乙田六十畆，丙田四十畆。求各值日数，法曰：分置三人田数，各以三百六十日乗之【甲得二万八千八百，乙得二万一千六百，丙得一万四千四百】并三人田数【共一百八十畆】为法，除甲得一百六十日，除乙得一百二十日，除丙得八十日，即所求二则。
方物之贵贱设米九百石，令甲乙二处，以米价之贵贱均纳之。甲处米价每石五钱，乙处米价毎石七钱。求各应纳米数：法曰，置米为实，并两价【共一两二钱】除之，得七十五。以七钱乗七十五，得五百二十五石，价二百六十二两五钱，为甲数；以五钱乗七十五，得三百七十五石，价亦二百六十二两五钱，为乙数。解曰：甲乙米价既为五与七，则甲乙纳数必若七与五矣。甲纳数与共米必若乙价七钱与两价并之一两二钱也。此借五钱与一两二钱之比例，因元米以求甲数也。乙同此论。
三则道里之逺近一法设牛车已行七日，马车方行六日，行齐其程五百八十五里，求各日行里数。法曰：置五百八十五里为实，以六日除之，得九十七里半，为马车日行里数；以七日、六日相并【共一十三日】除实，得四十五里，为牛车日行里数。
四则道里之逺近二法设自甲至乙八百五十五里，牛车自甲反乙，日行四十五里；马车自乙往甲，日行九十七里半。同日行，求防日相遇。法曰：置八百五十五里为实，并牛马车日行里数【共一百四十二里半】除之，得六日，即所求。解曰：「此是彼来此往，两行相就，与以疾追迟者不同，故并两日行数为法也。」
五则任载之重轻一法设原车载重八百斤，行一千二百里，与僦值八两。今载重一千二百斤，行一千八百里，求僦值。法曰：置僦值八两为实，以今重一千二百斤乗今行一千八百里【得二百一十六万】为法乗实【得一千七百二十八万】另以原重八百斤乗原行一千二百里【得九十六万】为法除之，得一十八两，即所求。解曰：此同乗同除法也。任载半倍于原数，僦值已当半倍，八两为十二两。道里复半倍于原数，僦值故又半倍，十二两为十八两。
六则任载之重轻二法设重车日行五十里，轻车日行七十里。今载米至仓，五日三返，求至仓里数。法曰：置轻重车日行里数相乗【得三百五十里】又以五日乗之【得一千七百五十里】为实。另并轻重车日行里数，以三返乗之【得三百六十】为法除之，得四十八里又三十六分里之二十二，即所求。解曰：两车日行里数相乗，得三百五十里，是两车行之齐数也【三百五十里是七个五十里，亦五个七十里】乃轻车五日、重车七日所行之里数，并两车日行里数除之，即得一日重往轻来之里数。再以五日乗之，三返除之，即得至仓之里数。法变用五日乗实、三返乗法者，亦同乗同除法也。
七则合均田，地多寡，方物贵贱，道里逺近。设甲乙丙丁戊五处，定粟二千石，以田地之多寡，道里之逺近，粟价之贵贱，均输之。甲地二万零五百二十畆，粟价每石二两，自输本处；乙地一万二千三百一十二畆，粟价每石一两，至输所二百里；丙地七千一百八十二畆，粟价每石一两二钱，至输所一百五十里；丁地一万三千三百三十八畆，粟价每石一两七钱，至输所二百五十里；戊地五千一百三十畆，粟价每石一两三钱，至输所一百五十里。每石每里僦车银四厘，求各应输数。法曰：先置甲地为实，以粟价二两为法除之，得一千零二十六衰。次置乙地为实，以僦银四厘因至输所二百里【得八钱】并入粟价一两【共一两八钱】为法除实，得六百八十四衰。次置丙地为实，以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两二钱【共一两八钱】为法除实，得三百九十九衰。又次置丁地为实，以僦银四厘因至输所二百五十里【得一两】并入粟价一两七钱【共二两七钱】为法除实，得四百九十四衰。末置戊地为实，以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两三钱【共一两九钱】为法除实，得二百七十衰。合五数【共二千八百七十三衰】为总衰。置定粟二千石，以甲衰乘之【得二百零五万二千石】以总衰除之，得七百一十四石二斗三升五合九勺九抄为甲数。置二千石，以乙衰乗之【得一百三十六万八千石】以总衰除之，得四百七十六石一斗五升七合三勺三抄为乙数。置二千石，以丙衰乗之【得七十九万八千石】以总衰除之，得二百七十七石七斗五升八合四勺四抄为丙数。置二千石，以丁衰乗之【得九十八万八千石】以总衰除之，得三百四十三石八斗九升一合四勺为丁数。置二千石，以戊衰乗之【得五十四万石】以总衰除之，得一百八十七石九斗五升六合八勺四抄，为戊数。解曰：因地畆以定粟数，则输粟均矣。而价值有贵贱，犹未均也。故取粟价除地畆，以均贵贱。贵贱均矣，而道里有逺近，犹未均也。故又取僦值并入粟价，以均逺近。此衰分法也。
数学钥巻五上之下钦定四库全书数学钥巻五下之上柘城杜知耕撰盈朒一则盈适足设和买一物，每人出银七两，盈六两；每人出银五两，适足。求物价人数法曰：列七两盈六两于右，列五两于左。以左上乗右下【得三十两】为物实，右下六两为人实。另以左上右上对减【余二两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除人实得三为人数解曰甲为七两乙为五两丙为五两，七两对减之，二两，各三倍之，为丁、戊、己。己即出七两，所盈之六两，己与戊或与丁之比例，必若丙与乙或与甲也。丁与甲，戊与乙之比例，必皆若己与丙也。法以五两乗盈六两，以对减所余之二两除之者借丙与己之比例因乙以求戊也戊即物价倍数则人数也二则朒适足设贵贱二物，贵价七两，贱价五两。以银买贵物，朒六两；买贱物，适足。求物数银数，法曰：列贵价。
七两朒六两于右列贱价五两于左以左上乗右下【得三十两】为银，实右下六两。
为物实另以左上右上对减【余二两】为法以法除银实得一十五两，为银数；以法除物，实得三，为物数。解曰：甲为贱价，乙为贵价，丙为两价之较，丁为贱物之共价，即银数也，戊为贵物之共价，己则两共价之较也丁与甲戊与乙之比例皆若己与丙此借丙与己之比例因甲以求丁也既得丁而戊不待言矣三则两盈设有银七人分之，盈二两；五人分之，盈八两。求共银及分银数法曰：列七人盈二两于右，列五人盈八两于左。先以右上乗左下【得五十六两】次以左上乗右下【得十两】两数对减【余四十六两】为共银实。又以左下、右下对减【余六两】为分银实。另以左上、右上对减【余二】为法。以法除。
共银实得二十三两为共银数以法除分银实得三两为每人分银数解曰七人分之盈二两是七倍三两朒于共银之数以五人乗之，则是三十五倍三两朒于五倍共银之数也。又五人分之盈八两，是五倍三两朒于共银之数。以七人乗之，则是三十五倍三两朒于七倍共银之数也。今以三十五倍三两朒于五倍共银之数【即一十两】减三十五倍三两朒于七倍共银之数【即五十六两】所余必二倍共银之数矣。故以五七对减之，二为法除之，即得共银也。以法除分银实，得分银数与前二则除人实物实得人数物数同。
四则两朒设有银每人分七两朒八两，每人分五两朒二两，求人及银数法曰：列分七两朒八两于右，列分五两朒二两于左。先以右上乗左下【得十四两】次以左上乗右下【得四十两】两数相减【余二十六两】为银实又以左下右下对减【余六两】为人实另以左上右。上对减【余二两】为法，以法除。
银实得一十三两为银数以法除人实得三为人数解曰：以五两乗朒八两，得四十两，为三十五倍三两，盈于五倍共银之数；以七两乘朒二两，得一十四两，为三十五倍三两，盈于七倍共银之数。相减之余，必为二倍共银之数，故以法除之，得银数，余同前解五则。
一盈一朒设木不知髙，以索五折比之，木朒二尺；七折比之，木盈三尺。求木髙及索长。法曰：以五折因朒二尺，得十尺以七折因盈三尺得二十一尺列五折朒十尺于右列七折盈二十一尺于左先以右上乘左下【得一百零。五尺】次以左上乗右下【得七十尺】两数并【共一百七十五尺】为索实，又并左下右下【共三十尺】为木实，另以左上右上对减【余二折】为法，以法除索实，得八十七尺五寸为索长，以法除木实，得一十五尺五寸为木髙。觧曰：同此一索，或为七折，或为五折，必五折长而七折短也。虽不知每折之度，而每五长折之盈于五短折者，必二短折；每七短折之朒于七长折者，必二长折。今长折盈于木髙二尺【木朒于索，是索盈于木也】五长折盈于五倍木髙，必十尺，以七乗十尺，则为三十五长折盈于三十五倍木髙之度；短折朒于木髙三尺【木盈于索，是索朒于木也】七短折朒于七倍木髙，必二十一尺，以五乘二十一尺，则为三十五短折朒于三十五倍木髙之度。两数并【即一百七十五尺为索实者】则三十五长折盈于三十五短折之度矣。然三十五长折盈于三十五短折者，即七倍五长折盈于七倍五短折之度，亦即五倍七短折朒于五倍七长折之度也。五倍七短折之朒于五倍七长折者，十长折之度也；七倍五长折之盈于七倍五短折者，十四短折之度也。十四短折为索之倍长，十长折亦索之倍长也，故以五七对减之，二除之，得索长，余同前解。
六则带分子母盈适足【朒适足同】设物以银三分之二买之，盈五两；以银二分之一买之，适足。求物价银数法曰：列母三，子二，盈五两于右；列母二，子一于左。先以右上乘左中，得三两，即以三两乘右下【得一十五两】为物实。又以两母相乗，得六两，即以六两乗右下【得三十两】为银实又以左上乗右中【得四两】与左中得数相减【余一两】为法以法除物实仍得一十五两，为物价；以法除银，实仍得三十两，为银数。解曰：以两母相乗得六两，取两母之齐数也【六两为二倍三两，亦三倍二两也】右母乗左子得三两，即六两二分之一也；左母乗右子得四两，即六两三分之二也。以六两三分之二之四两与六两二分之一之三两较，相差止一两。今三分之二盈五两，二分之一适足，是元银三分之二与元银二分之一较，则相差五两矣。以相差之五两与相差之一两较为五倍之比例，因知元银之与六两，物价之与三两，必皆为五倍之比例法。以六两乗五两，以一两除之者，是借一两与五两之比例，因六两以求元银也；以三两乗五两，以一两除之者，亦借一两与五两之比例，因三两以求物价也。七则带分子母两盈【两朒同】设物以银四分之三买之，盈七两五钱；以银六分之四买之，盈五两。求物价银数。法曰：列母四，子三，盈七两五钱于右；列母六，子四，盈五两于左。先以右上乘左中得一十六两即以一十六两乗右下【得一百二十两】次以左上乗右中得一十八两即以一十八两乗左下【得九十两】两数相减【余三十两】为物实。又以两母相乗得二十四两，以二十四两乗右下【得一百八十两】以二十四两乗左下【得一百二十两】两数相减【余六十两】为银实。另以左中右中两得数相减【余二两】为法。以法除物实得一十五两，为物价。以法除银实得三十两，为银数。解曰：二十四两为两母之齐数，左中得十六两为二十四两六分之四，右中得十八两为二十四两四分之三，两数相差二两。今盈五两与盈七两五钱较，则差二两五钱。是二十四两与元银之比例，必若二两与二两五钱矣。以二十四两乗两下对减为银实，以法除之，亦借比例法也【先乗后相减与先减后乗得数同】又求物实，本当以元银六分之四乗右下四分之三乗左下，然尚未得两率之数，不得不借与两率比例等者用之。与两率之比例等者，乃二十四两六分之四之十六与四分之三之十八也。故以之互乗两下，左得九十两为一十八倍元银六分之四盈于一十八倍物价之数，右得一百二十两为一十六倍元银四分之三盈于一十六倍物价之数，而一十六倍四分之三与一十八倍六分之四两数实等，是以对减之余即为二倍物价也。故以十六十八对减之二除之得物价八则带分子母一盈一朒设物以银十二分之七买之，盈二两五钱；以银六分之二买之，朒五两。求物价银数。法曰：列母十二，子七，盈二两五钱于右；列母六，子二，朒五两于左。先以右上乗左中，得二十四两，即以二十四两乗右下【得六十两】
次以左上乗右中得四十二两即以四十二两乗左下【得二百一十两】两数并【共二百七十两】为物实又以两母相乗得七十二两，以七十二两乗左下【得三百六十两】以七十二两乗右下【得一百八十两】两数并【共五百四十两】为银实。另以左中、右中两得数相减【余一十八两】为法。以法除物实，得一十五两为物价；以法除银实，得三十两为银数。解曰：七十二两为两母之齐数，二十四两为七十二两六分之二，四十二两为七十二两十二分之七，两数相差十八两，并盈朒两数共七两五钱【一盈一朒相并，犹两盈两朒相减也】为元银十二分之七与六分之二相差之数，是七十二两与元银之比例，必若十八两之与七两五钱矣。以七十二两乗两下相并为银实，以十八除之，亦借比例法也【解同前】又求物实，以四十二两乗左下得二百一十两，为四十二倍六分之二朒于四十二倍物价之数；以二十四两乗右下得六十两，为二十四倍十二分之七盈于二十四倍物价之数。然四十二倍六分之二实与二十四倍十二分之七等，今并六十两与二百一十两共二百七十两，必四十二倍物价盈于二十四倍物价之数也。四十二倍物价之盈于二十四倍物价者，即十八倍物价，故以十八为法除之，得物价○。又法，以左中得数二十四两乗左下得数二百一十两，得五千零四十两；以右中得数四十二两乗右下得数六十两，得二千五百二十两，并两数共七千五百六十两。另以两子二七相乗得一十四两，除之得五百四十两为银实，以前法十八除之得数同○。左下先以四十二乗之，又以二十四乗之；右下先以二十四乗之，又以四十二乗之，犹以二十四与四十二相乗得一千零八以乗之也。以一千零八乗之，又以两中相乗得一十四除之，犹以一十四除一千零八得七十二以乗之也。前法元以两母相乗得七十二，以乗两下得数相并为银实，与后法无异，故得数同也。
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