庄氏算学卷二

庄氏算学卷二

淮徐海道庄亨阳撰几何原本举要凡角度皆起于圆心而见于圆界。圆不论大小，俱有三百六十度之数。度有六十分，分有六十秒，秒有六十微，微有六十纎。自此以下，又有不尽之数。分之故，执有度之圆界。

为凡角大小之规也二平行线，若作一斜线交加于上，则二横线内外所成。

之二角俱为相等在平行线上作一斜直线，即成八角。此八角之庚戊、乙甲、戊己两相等角谓之对角。甲戊庚、庚戊乙两角同心谓之并角。庚戊乙、戊己丁二角相等角一边谓内外角。甲戊己、戊己丁二角相等角其尖错交谓相对错角。庚戊乙、丁己辛二角之等角一边谓之外角。乙戊己、丁己戊二角之相等角一边谓之内角。八角之中半钝半鋭各自相等，推之三平行线、四平行线皆然也。凡三角形之三角相并必与二直角等，而具半周之度。凡三角形自一界线引长成一外角，将三角形内所对二角并之，始与一外角等。凡三角有二形，两边线之度各等，二线所合之角俱等，则二形底线之度必等，式亦等，其下各二角皆等也。若二形三界线之度各相等，则三角度亦必等，而形内所函亦等也。若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角，又相等，则他线他角俱各等，而二形之度俱等也。三角形有二边等线者，其底线之两角度亦为相等也。盖作一长线上剖角，下剖底成两直角三角形，各相等也，则底线左右所成角必等可知。凡三角形之长界线，必对大角，最长对最大，次长对次大，短者对小者。凡三角形必有二鋭角，何也？凡三角形将三角并之，必与二直角等。故一钝，必两鋭；一直，亦两鋭。即三等角，亦皆鋭也。凡自一防至一横线作众线，众线内有一垂线，必短于他线；而他线之与垂线相离愈逺者，线愈长也。凡三角，无论直、鋭、钝，合并二界线，必长于所余之一界线。所以，凡自一防又至一、防画防线，其各线中，仅一线直而短，余必曲而长矣。四边形有五种：一、四方形，边角俱等也；一、长方形，角等而两边长，两边短也。若四边等而角两钝两鋭者，谓斜方形；又两边长，两边短，而角两钝两鋭者，谓长斜方形；若四边不等，四角又不等者，谓无法形。凡四边平行线形，其角之各两对角必俱相等。于对角作线，分为两三角形，是为对角线，必将平行线四边形分为两平分。凡平行线之四边，作两对角线，相交处为平分二线之正中。凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开，则将四边形为两平分。四边形若于对角线不拘何处交加，依两界作二平行线，即成四四边形。二形为对角线内之形，二形为对角线旁余之形。此两旁形，其积必等盖对角线原属平分而等，今交加线中所成两大三角、两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减，两大三角、两小三角则所旁余四边形，其积亦必等。两平行线内凡同底所成之四边形，其面积俱等，何也？如甲乙戊丁丙己两三角形，其甲丁戊己、二线之度，俱与乙、丙平行线为等，故互相等也。若于甲、丁、戊、己二线，每加一戊、丁线，即甲、戊、丁、己两线俱等。因甲、乙、丙、丁之四边形为平行线，则所各相对之线亦俱等也。再戊、甲、乙、己、丁、丙二角，为甲、乙、丁、丙平行线一边之内外角，两形为等。自此两三角形减去丁、戊、庚所存之甲、乙、庚、丁、戊、庚、丙、己二形，俱等于此所存之二形，每加一庚、乙、丙形，则成甲、乙、丙、丁、戊、己、丙、乙之相等积四边形矣。故凡两平行线内，凡同立于一底者，则线无论短长，所存之四边形俱等积也。两平行线内，若同立一底，凡所有各种三角形之面积，亦俱等也。盖三角为平行四边形之一半，四边既等，则三角亦等也。底度同，亦然。凡众角形，自角至心作线，有防界，即成防角形。若作六界，即成六三角形矣。欲知众边形角度之数，将边数加倍，于得总数内减四，其所余之数为直角数，即为众角。度也，如七边形是七个三角形。凡三角形并三角等两直角，则七三角形等十四直角。而圆心所有之七角当四直角矣。故将十四直角减四直角，余十直角之度为众角之总度也。凡一直线切于圆界，虽长过界，而不与圆界出入交加，此谓之切线。又两圆之圆界相过相切，而不相交加出入，谓之切圆。凡一直线横分圆界，谓之▯。如戊所分圆界之一段，谓之弧。如甲乙丙▯线与弧线相遇处，成两形。如甲乙丙，俱为圆。

之弧分之角凡自▯之两头作两线外向圆界相遇，此角名为圆分内角，又谓对弧立角。自圆心作二辐线至弧线，成三角形，谓之分圆面形。凡自与圆界相切辐线之末作垂线，必在圆外。凡在圆▯线，若自圆心作垂线，可以平分▯线，垂至圆界，便可平分弧线。盖自甲心作两半径至乙、丙二处，其线相等，则丙、乙二角相等。故自甲角至乙、丙底线之丁处作垂。

线便是平分也凡自圆外一防至圆界两边作二切线，此二线必相等。盖自圆心作二辐线与二切线相切，则二切线与二辐线互为垂线而两线相遇之角必俱为直角又于两直角作一对角线是谓▯线而成丁乙丙与甲乙丁两三角形，丙乙、丙丁系辐线原等，则底线两合角必等。减圆内两角数，则甲乙丁、甲丁乙二角乃两直角之所余也。二角既等，二切线亦必等矣。凡圆有两▯线，若等，其分圆弧面之积亦等。若自心至两▯各作一垂线，则二垂线度亦等。又自心至两▯线之各两头作四辐线，亦等，则所成之两三角形亦等。于甲乙辐线末作垂线者，切线也。甲辐线割圆于戊而至丁者，割线也。戊垂线至己者，正▯也。凡立于乙戊弧，之角者，欲求三角之度，三边之数，皆于是取也。三角俱抵圆边者，界角也。一角居心，二角抵边者，心角也。心角交与界角有三种，其圆心所生界角，或在二直线之一线者，或在二直线之外者，或在二直线之间者。此三种心角皆大于界角一倍。如第一图，心角在丁乙直线之内，则心角为甲丙丁钝角形之外角。外角则兼有本形丁甲二角之度，而丙丁、丙甲为一圆之辐线相等，则所合丁甲二角亦必相等。外角既兼有二角之度，则比丁角为大一倍，可知矣。第二图，心角在丁乙直线之外，则自丁过内心至戊作一直线，成甲丙戊一大心角，甲丁戊一大界角，乙丙戊一小心角，乙丁戊一小界角凖前论，大心角倍于大界角，小心角亦倍于小界角。今于大心角减去小心角，大界角减去小界角，则所减之心角倍于所减之界角，而所存之原心角亦倍于所存之原界角也。第三图，心角在丁乙、丁甲直线之间，自丁界过丙心至对界作一直线，亦如第一图论。将心角剖为二界角，亦剖为二，则分为两心角，各倍于两界角，仍合为一心角，则倍于一界角也。自圆之弧线凡一叚，任与圆界何处其尖相切所成之界角，有防何其度俱为等也。盖同立一弧者，心角皆大于界角一倍，如上节所云，则同弧之界角，不论何处皆小于心。角一倍也，因其俱为心角之半，则不拘何处作界角，皆相等也。圆内有一心角，一界角。若心角所对弧度得界角所对弧度之一半，此两角度必相等也。盖同弧之心角大于界角一倍，今于心角弧度去一半，则两角必相等也。凡圆之界角，若立于圆界之半，必为直角。盖心角所对弧线若是界角所对弧线之一半，则二角之度必等。今界角对弧为半周，将半周弧剖作二心角，则二角皆为直角。既为直角，则界角对弧乃兼两心角对弧者，安得不为直角乎？凡圆之界角，若在半圆分之小分内，必为钝角也。如图，甲乙丙为小半圆，则所余甲丁丙为大半圆。

若将甲丁丙弧线于丁处平分，又自圆心作戊丁、戊甲两线，丁甲弧大于圆周四分之一，为钝角也。又心角对弧，若为界角对弧，之一半，则二角度为相等。今甲丁正，得甲丁丙之半，则戊为钝角，乙亦为钝角也。凡圆之界角，若在半圆分之大分内，必为鋭角也。如图，甲乙丙为大半圆，所余甲戊丙为小半圆。若将甲丙为弧线两分于戊，又自丁作丁甲、丁戊两线，成甲丁戊心角形，此心角形所对既不足圆界四分之一，则为鋭角也。既为鋭角，则甲乙丙角必为鋭角，可知矣。函圆形者，有函圆切三角形，函圆切四方形，有函圆切多边形。圆内切形者，有圆内切三角形，圆内切四方形，圆内切多边形。函圆众界形之度，大于函于圆之界；其函众界形之圆界度，亦大于所函之众界形。在外者大，在内者小也。故函形界必大于函于形界也。有一函圆众界形，又一直角三角形。此三角形一直角所生二直线内，一直线度若与所函圆之辐线度等，又一直线度与函圆众界形之各界共度等，则三角形面积与众界形面积俱等也。如自几边形之心至角作几线，分为几三角。求三角之中长线，即辐线也。底等髙等所作三角形俱等，即所云二平行线内同底所作三角形俱等也。合众三角形之底为一大三角形之底，其面积当无不等也。一圆所函之众界形，一，直角三角形。此三角形之一直角所生二直线，内一直线度与彼圆自心至众界形界所作垂线度若等，再一直线度与彼众界形之共界度若等，则两形之面积俱等也。有一圆形，有一勾股形。若股如半径，勾若全周，则两形之面积必等也。盖比前函圆之众界形，则为小；比前函于圆之众界形，则为大。就中间取之，恰合无疑也。夫函于圆之众界形，辐线及界而不及弧，是比圆为小也。函圆之众界形，辐线虽及弧，而众界度共线又长，是比圆为大也。今以圆周及辐线取直角三角形而合之，相等无疑，则可得圆之面积也。盖圆线式异于直线式，难于符合。然苟将圆线作万万段，亦与直线近也。众界形或函圆，或函于圆，其界数愈多，愈与圆界度相近。如自函三边而为六边，六边而为十二边，十二边而为廿四边，无论内外，愈近圆界度数也。试设一函于圆九十六边形，又设一函圆九十六边形而作一圆。若将函圆形作一千五百六十二分，又将他形照此所分之度分之，则函于圆形仅得一千五百六十一分矣。而圆界度大于所函之众界，小于函圆之众界，必得一千五百六十一分余。其圆界中心径线必得四百九十七分。若即小数算之，将圆界作二十二分，则中心径线必得七分余。故在圆界可得直线之度，在直线亦可得圆界之度也。有一圆形，又一众界形。

此圆界度若与彼众界度等，则圆形之面积必大于众界形之面积也。试凖前半径作股，界度作勾之法求之，则方周圆周之界度虽同，而圆之垂线长，方之垂线短。则方所成之三角不及圆所成之三角，而所函之面积，方亦不及圆矣。凡平面上所立之线，若无偏斜，犹平阶立直柱，其各边所生之角，若俱直，是谓平面上之垂线。相对两平面之角，各垂线度若俱等，此相对二平面谓之平行面。平面上所立之平面，若无偏斜，犹平地上作直壁，是谓平面上之直平面。自三面四面以上，其各瓣相并所存之角，谓之厚角。成厚角之平面，各角度不足于四直角度也。何也？试将五面厚角尖使其平伸，共为一平面，则五瓣各相离而有空处。不能成圆面，故不足四直角也。若欲将四直角显尖作厚角，其瓣大而不能成平面厚角矣。平面三棱厚角，其三面内，若将两面角并之，必大于所余之一角度也。试将三平面使之平伸，而两角相并，一角孤行，则可见矣。凡平面上二直线相交处作一垂线，莫偏斜，则此线于平面上在在俱为垂线也。盖若有偏，则自平面上视之，或成钝角，或成鋭角。既无偏斜，则为直角；既为直角，则移向平面上，处处俱为垂线矣。众线相交处，立一垂线，其角若俱直，此所交之各线必在平面一也。平面上作二垂线，正直立之，此二线必互为平行也。盖于平面上作一直线，而正直作二垂线，则所交直线之角皆为直角。所谓二直线一边成内外之二角也。凡平行二线之间，任意自此一线至彼一线，随处作直线、斜线、交线、三角形线俱同。原平行线在平面上，二线与他一线平行，虽在别面，此二线亦互相为平行也。相对二平面间，若横一线正垂在二平面上，俱生直角，此相对二面互相为平行面也。盖于二平面上各作对角斜线，两相交处为两平面之中，而垂线正当两线相交之处，而俱成直角，则两平面上之两对角四边俱系平行，则两平面亦必为平行者也。二平行而上，凡相当之各二线，俱为平行也。二平行面横穿一平面，而皆成直角，则中间缝线亦必平行也。如以木版穿木版之状。各种面内积之处，谓体，依面之端名之也。设如全身无角，只有一圆面，此谓圆体。全身各面俱平而有角，此谓平体，立方是也。其身有曲平两相襍，谓之襍体，如半截橄防是也。全身相对之各二面俱平行，此谓平行面体，长立方、长斜立方是也。全身相对之面不平行，而独两底面平行，此谓底平行面体，三角柱是也。周围圆形而底与面平，谓长圆体，圆柱是也。一平面底而立，几平面俱合于一角而成大，此总谓尖瓣体也。底三角者，为三瓣尖体；底四角者，谓四瓣尖体；底众角者，谓众瓣尖体。

若在平面上立圆面而成鋭尖，此谓尖圆体也。所云圆体、长圆体、尖圆体，此三种面俱生于一动之间耳。以甲乙为枢心，将甲乙丙作转式，旋转一周，即成为圆体也。于甲乙丙丁平面形，以甲乙为枢心，以丙丁线界作转式，旋转一周，即为长圆体也。于甲乙丙三角形，以甲乙为枢心，以丙界作转式，旋转一周，即尖圆体也。枢心正，则为正体；枢心偏，则偏体矣。凡体若面平行相当，所对两边面积俱为等也。如正方体六面相当，则六面面积俱等；如长方体各底面相当，则底面之面积俱等也。凡体苟面积形式一同俱等，谓全等；体形不等而积等，谓等积；体积不等而式等，谓等式。体平行面三，凡体形自对角线分为两段，此两段为全等体也。平行平面之间，若同在一底，立各平行体形，其积俱为等。如面例。平行平面之间有在等积底所立之各平行体形，其积必俱等。盖所立之处不同，而其度同也，故等也。平行平面之间有在等积三角形两底所立各三面体形，此所立各体之积必俱等也。理如前节。平行平面之间，同在一底，作一平行体形，作一三面体形，则三面体形必为平行体形之一半。各种体形，难以发明，必作图以明。然有空实二端，空者，宗其空；实者，宗其实，乃可耳。凡等式体，苟立于等积之底，其体之髙若等，则其积俱为等。凡尖圆、尖瓣，皆然也。盖将大体截分为众小体，其小体底度亦等也。有各种平行底之平面体与各种平面尖体，两底积若等，其髙数又等，则此一平行底之平面体与彼平面尖体三形之积等。推之，平行面体与四瓣尖体三形之积等，平行底之圆面体与圆面尖体三形之积等。盖三面尖体为三平面平行底平面体三分之一，四面尖体为平行面体三分之一，尖圆体为圆柱体三分之一也。若将实形作空形，以水注之作比例可见。凡相等界度之体内，其圆体所函之积数，强于他种体所函之积也。如一圆，一方，一十二瓣体，论积皆不及圆。盖如论面，函于圆界之积，大于各等边平形所函之积也。六面俱为等面，八角俱为直角，是谓正方体。厚角正体有五种，观于各面数而名之也。一为四瓣面之体，此四面每面有三角，各三角各三界度，若俱等，是谓四瓣体。二为六瓣面之体，即正方体也。三为八瓣面之体，共八面，面各三角，各三界度，若俱等，是为八瓣面体。四为十二瓣面之体，此每面有五角，各五界度，若俱等，是谓十二瓣体。五为二十瓣面之体，此每面有三角，每面各三角，各三界度，若俱等，是谓二十瓣体。此正体五种外，不生他形，总不外三角、四角、五角之平面合而成也。盖将三角平面形三瓣形合成一厚角，余一面求角合角，界合界，必取等角等界之平面三角形也。

四瓣体是也，将三角平面四形合之，复加四形，八瓣体是也，将三角平面五形合之，复加十五形，二十瓣体是也。然欲以三角六形合之，不能成厚角矣。盖六三角平面形界于界，角于角而对合之，成六角之平面形，能为平尖，不能显也。是故三角形所生，只于四瓣、八瓣、二十瓣，自此而外无有也。四角所成，只于正方角，此外无有也。将五角平面形三形合之，所成厚角，即如十二瓣体是也，此外不能成他角也。至六角平面形，则将三角相合，已等于四直角，能为平而已，不成厚角也。六角如此，七八以上可知矣。凡比例，面比面，体比体，线比线，不同者不相谋也。凡将两物度数互相比之，此比出之度数为大为小，谓之比例。其比者与所比于物者，俱谓率，齐数之谓也。其比之物，谓前率；其所比于之物，谓后率也。如甲乙二线相比，此所比出之甲线，或为长，或为多；乙线或为短，或为少，谓之比例也。将此二线相比，故谓之二率，而所比之甲线谓之前率，其比于之乙线谓之后率矣。凡两两相比，谓之四率。如一率与二率之比，同于三率与四率之比，此为同理比例也。如一率甲，二率乙，三率丙，四率丁。乙线为甲线六分之五，丁线为丙线六分之五，则甲乙二线之比，同于丙丁二线之比，是谓同理比例。苟求得乙线有甲几倍之数，则可知丁线有丙几倍之数也。又凡四率，将一率与三率分作几分，将分数相等定凖，此两率分度虽不同，而分数为等，于是以二从一，以四从三，防几分为均，其一与二之比即如三与四之比，为同理比例也。有两不同之比例如，二率四率之分数相等，而一率于二率为四之六，三率于四率为四之五，则不同矣。而可相比例，谓一与二之比大于三与四之比也。前比例之数多，再比例之数少也。故又谓之两不相同之比例也。有相连比例率，如甲线一【一率】乙线二【二三率同】丙线四【四率】甲与乙之比同于乙与丁之比，是谓相连比例。仿此，于相连比例之内，将一率甲与三率丙比者，谓隔一位加一倍之比例也。将甲与丁比者，谓隔二位加二倍之比例也。将甲与戊比者，谓隔三位加三倍之比例也。比例难于讲觧，试作圆以明之。于大圆内作小圆，于圆之中心作二线割小圆弧抵大圆弧，则成大圆己甲庚，小圆辛甲壬之甲角。此甲角之对弧己庚，苟为大圆之六十度，则亦为辛壬小圆之六十度。盖圆之大小虽不同，而分数为等，故以大圆周为一率，庚己弧为二率，小圆周为三率，壬辛弧为四率，一与二之比同于三与四之比也。两圆周为比之之率为前率，两弧为比于之率为后率，两两相当，分数俱等，是为顺理比例也。

仿此，凡各率各度虽异，相当之数若等，一、二之比同于三、四之比，俱为顺理比例又有几种论，如左：一种反比例，反一为二，反三为四，仍相等也。如前，大圆周为一率，大弧界为二率，小圆周为三率，小弧界为四率；今以大弧界为一率，大圆周为二率，小弧界为三率，小圆周为四率，比例亦同也。一种转理比例，谓一与三比，二与四比也。以大圆周为一率，小圆周为二率，大弧界为三率，小弧界为四率，其比例亦无不同也。一种分理比例，谓于一率三率中各减与二率四率相等之一分，以比二率四率，仍为相当比例也。如二率四率原于一率三率为六之一，今各减一率三率之一分，则又为五之一。比例亦然也。一种合理比例，谓合原一率、二率之数以比二率，合原三率、四率之数以比四率。原各为六之一，今又各为七之一也。一种更理，比例谓换，却二率四率之原数，各更以他数。如原各为六之一，今又各为六之五也。一种隔位比例如有两项，四率原为相当比例，则以此四率中之一率与四率为比，又以彼四率中之一率与四率为比，合为一四率，仍为相当比例率也。一种错综比例，如此边有相连比例三率，彼边亦有相连比例三率。取此中末之比例，彼中末之比，固也。苟错综之，则取此中末之比例，彼另设一线置于彼第一线之比；又取此上末之比例，彼另设一线与彼中线之比。盖彼虽另设一线，仍是相连比例线。此相连之比同于彼相连之比，此隔位之比亦同于彼隔位之比也。一种相减比例，如甲丙、乙丁二线所有之三倍内减去丙戊、丁己二倍互相之比，同于原甲丙、乙丁二线之比。

也一种相加比例如，甲乙二线照本度各加三倍，为丙丁线，互相之比同于原甲乙二线之比也。得此比例线之法则，面之相当者为比例面，体之相当者为比例体也。且线亦可以例面，面亦可以例体也。如甲六分线与乙三分线相比，丙六分面与丁三分面相比，戊六分体与巳三分体相比，每每相当，分数相等，则互相为比例也。以二数相乗，所得两数为均。若以二线均为几度，每各线度作小方形，以此线小方乗彼线小方，即成两直角四界形。盖以一线为横，一线为纵，彼此互乗，形亦均也。又一线分为三度作小方形，一线分为四度有竒作小方形，一线横，一线纵，乗成函十二长方形，而竒数亦附于方末也。又将前线所作方形，取其半相乗，亦得四方形也。盖取三方之半，而为六小方；取四方之半，而为八小方。八六四十八，六八亦四十八，便成两函四十八之长方形，而其总度仍相等也。盖兼取其半，而无改于原度故也。四方直角平面形，凡在一线可以相乗也。如甲乙形欲乗丙丁线则将此形作四小方体又将丙丁依甲乙所分之厚，分比之，若得三分，则将甲乙形三层垜之，遂成函十二小方形之直角体也。凡六面平行直角体，必得垒一四边直角平面与一直线相乗而成也。凡两直角平面形，欲相比例，有两比例焉。如大形之长度与小形之长度几倍为均，大形之寛度与小形之寛度几倍为均，是也。然合【阙】比，两比例仍是一比例。如甲方之长与乙方之长三倍为均，甲方之寛与乙方之寛两倍为均，二三相乗为六，则甲方之形与乙方之形之比例为六倍为均也。若长四倍，为均；寛三倍，为均。三、四，一十二则大。形与小形之比例为十二倍，为均也。再若大形之横度比小形十二，为均；小形之直度比大横直度三倍，为均。则以三除十二，得四；大形比小形四倍，为均也。若四倍，则以四除十二，得三倍，为均。皆成一比例也。有两直角形，若此形之长倍于彼形之长，而彼形之寛反倍于此形之寛，则此两形之积为等也。或一倍，或三四五六倍，皆然。凡有相比例四率，其在中之二率、三率相乗所得数，必同于一率、四率相乗所得数也。如一率二，二率四，三率三，四率六，以中率三、四相乘为十二，首尾率二、六相乗亦一十二也。试将三度、四度之线相乗作长方形，又将二度、四度线相乗作长方形，形虽不同，而积等也。故一、二、三率已知者也，所求四率未知者也。既求得四率，则以一率与四率相乗所得数，与二率、三率相乗所得数无以异也。如东河之水流速三倍，西河之水流速六倍，东河之流一秒十缸，欲知西河之流一秒几何缸，则以东河之三倍为一率，西河之六倍为一率，东河之十缸为三率，求得西河之流二十缸。

试相乗之数为等也。又如三个兵，每月饷六两，今已五月，应饷几何？则以三兵为一率，六两为二率，五月为三率，求得饷银一十两。试相乗之数又等也。有两个直角面，苟此面之横界与他面之横界，此面之纵界与他面之纵界比例若等，则此两面相比之比例，即为两界相比之比例，隔一位加一倍之比例，即前相连比例一条所云也。盖两界之比例，第为一倍之比例，而两面之比例为加一倍之比例也。如甲之横界，大于乙一倍而为二，纵界亦大于乙一倍而为二则，甲之面大于乙之面三倍，而为四，为二倍，为均者二。若甲之横界、纵界各大于乙五倍，则甲之面内与乙之面内六倍为均者，有六矣。丙乙之边线为相连比例，丙乙之面于相连比例中为隔一位加一倍比例。今设一甲线为一分，乙线为二分，丙线为四分，为相连比例。则丙面与乙面之比，同于丙线与甲线之比。盖丙面大于乙面三倍，丙线长于甲线三倍，共为隔一位加一倍之比例也前数节所论直角面之纵横界比例等者，谓之同直角面。其两相比例之横界，俱谓之相当界也。在相同直角面纵横两相当界之比例必等也。在相同直角面于两面相当之一界，作为两方面，则所作两方面互相之比，即同于原面互相之比，亦为隔一位加一倍之比例也。直角体则有三比例，长也，寛也，厚也。如大形之长寛厚，各大于小形之长寛厚一倍，则先成长寛倍之平面形。于平面形上，又叠一相等之平面形，则亦倍厚矣。倍而成平面，则二倍为均者有二；倍而成体，则四倍为均者有二矣。有直角两体，苟此一体之底与他一体之底为大一倍，而他一体之厚与此一体之厚亦大一倍，则此二体之积等。盖即一体之竖起与放倒也。有两直角体，苟此体之长寛厚界与彼体之长寛厚界相比之比例若俱同，谓之同式体；而长寛厚各一边相比例之界俱谓相当界也。凡两直角同式体互相比之，比例为界比例之隔二位加二倍之比例也。如大体之长寛厚比小体各大一倍，则此两体相比之比为隔二位相加之比例也。盖界线为相连之比例者，倍而为平面，为隔一位相加之比例，又倍而为体，则为隔二位相加之比例也。苟作一相连比线之率，甲为一分，乙为二分，丙为四分，丁为八分。又作一直角体，与三界各加一倍之直角体，则小体与大体之比同于一率甲线与四率丁线之比。若知甲线比丁线为八分之一，即可知大体比小体为八分之一也。有直角同式两体，在此两体比例相当之二界立作两四方体，互相以比之，其比例仍同于原体之比也。盖原体为隔一位加一倍之比例，则于两相当界所作体亦为隔一位加一倍之比例，均是八分之一也。凡二平行线内，凡有直角面互相之比，同于与此两底互相之比也。

如甲己面之丙己底界，与戊丁面之己丁底界，若大三倍，则甲己面与戊丁面亦大三倍也。试将戊己相兼之纵界依此界分与丙己，己丁底界相乗，成甲己面，十二分戊丁面，四分总为大三倍也。凡二平行线内所有，凡平行四边面互相之比，同于其两底界互相之比也。盖同底所立之直面、斜面积俱同，则直面、斜面之比例俱等。故底若大三倍，则面亦大三倍也凡在二平行线之间，若有两三角形，以两形积互相之比，必同于两底界互相之比也。盖同底所作之三角形，为四边形之一半，四边形之比例等，则三角形之比例亦等。故三角底若大一倍，则三角形积亦大一倍；底若大三倍，则积亦大三倍也。凡三角几形之底俱在于一直线，又与各底相对之众角皆聚于一处，则其三角众形必在二平行线之间也。观图可见。凡三角形作与底线平行之线，不拘何处截断，则两旁之线皆成四比例线。如图，甲丁与丁乙之比，同于甲戊与戊丙之比，是二段互相比之比例同也。又甲丁一段与甲乙全线之比，同于甲戊一段与甲戊全线之比是分线之比例同也，故曰四相比例也。盖自乙至戊，自丙至丁，作乙戊、丙丁二线，分为几三角形。此内之乙戊丁、丙丁戊两三角形，既在二平行线之间，又同立于丁戊之底，则其积等也。又各増入甲戊丁三角形，其积亦等也。又甲丁戊、丙丁戊两三角形，其底线同在甲丙一直线，而两角又相遇于丁，即如前所云，二平行线之间有两三角形，则两形积互相之比必同于两形底界互相之比，则甲丁戊形积比丙戊丁形，亦同于底线甲戊比戊丙之比例。再彼甲丁戊、乙丁戊两形积之比，亦同于甲丁、丁乙两底线之比也。再甲乙戊、甲丁丙两形之积既等，则甲丁戊形积与乙丁戊形积之比，同于甲丁段与乙丁段之比，而又同于甲戊段与丙戊段之比，是以甲丁段与乙丁段之比，必同于甲戊段与丙戊段之比也。故以甲丁为一率，丁乙为二率，甲戊为三率，可以求戊丙之四率也。诚如是，以甲乙丙全形之三角，或与所分甲乙戊三角，或与所分甲丙丁三角之比例俱为同也。因其比例同，而此三角全形所分两形之积既为等，则甲丙丁所分形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相之比，其甲乙戊所分形之甲戊底与甲丙乙全形之甲丙底互相之比，俱为同也。则甲丁段之一分为一率，甲乙全线三分为二率，甲戊段一分为三率，甲丙全线四分为四率，亦为相比例率也。凡在三角形内，不论何处作与底平行直线，则以所作平行线与原底线之比，同于两边所截一段与各每边全线之比也。如图所截，若甲丁段二分，甲乙线六分，则丁戊线亦为二分，乙丙线亦为六分，可知也。

何也？试将甲乙丙三角形转，以乙甲线为底，于戊丁线之戊处至己处作与甲乙平行线，则己乙之度即戊丁之度。准前节全线与截段相比之例，则戊丁平行线与原为底乙丙全线之比，必同于甲戊与甲丙全线、甲丁与甲乙全线之比也。故以甲戊为一率，甲丙为二率，戊丁为三率，乙丙为四率，为四相比例；以甲丁为一率，甲乙为二率，戊丁为三率，乙丙为四率，亦四相比例。率也，大小三角形每每相当角若等，则其积虽异，而其形为同，谓同式三角形也。再有一三角形，自此形分之，出一庚子癸三角形，又出一子丑。壬三角形，此所分出两形与原形每每相当，角俱等，亦谓同式形也。三角众形内，相当各二角度若等，则余一角度必等，亦谓同式三角形也。盖三角相合，必与二直角等，足半周之度也。有众大小三角形，若同式，将众形相当界互相比之，比例为同，俱为相比例率也。如二勾股同式形，则此股与相当股之比，必同于勾与勾之比，股与股之比也。试将勾股如前截一小勾股，可騐矣。同式直角两形互相之比，同于在此各一面相当界所作方形相比之比例。盖三角积得方形之半，全与全之比，若半与半之比也。同式直角两形互相之比，即是各一面相当界相比之比例，为加一倍之比例也。如甲线一分，乙线二分，丙线四分，为相连比例线。今两形之三边线，若各大一倍，则亦如直角四边形积为大三倍矣。大三倍，则非相连比例线，而为甲线一分与丙线四分隔一位加一倍之比例也。同式钝角鋭角互相之比亦同于此各一面相当界所作方形互相比之比例而为在此各一边相当界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前节。有多边众形，其边数同而相当角度等，谓同式多边形。则大形甲边之比，与小形甲边之比同于乙边与乙边之比也。有众曲界形，在曲界形之或内或外，作相函之各种直。

界形其式若等亦谓同式曲界形也，两襍界形，二圆分形，亦于两中间各作三角形。若同式，即谓之同式襍界同式圆分也。大小各圆分之式，若同其分限，虽殊而分数必等，与其分相对所成之心角，必俱等也。将同式大小多边两形内为三角，以分此所分相当大小三角形之式俱同也。如两五边形各分为三三角形。

则甲乙丙与己庚辛相当为同式甲丙丁与己辛壬相当为同式己壬癸与甲丁戊相当为同式。盖两形相当角度等则相当界互相比之比例等也。乙丙庚辛二界相当之比同于甲丙己辛相当二界相比之比例。由是甲丙己辛之比同于丙丁辛壬之比，而丙丁辛壬之比亦犹甲丁己壬之比，而甲丁己壬之比亦犹丁戊壬癸之比。故曰相同式也。凡同式多边、大小、众形互相之比，同于在此相当界所作四方形互相比之比例，而与此各一。面相当界互相比之，比例为加一倍之比例也。理如前。凡大小同式，直界形互相之比同。于在其形内外相函之同式形各相当界立作平面方形，互相比之。比例如图，甲乙丙、庚辛壬相当，三角各二形之比，同于在甲丙庚壬所作方形相比之比例也。盖大形所函者，甲丙己丁之形；小形所函者，庚壬癸丑之形。故于甲丙庚壬相当二界立作方形，而得比例也。凡圆曲襍各种界形之内，将每每一类同式形互相之。

比同于在所比形之内外相函同式形之每每相当所作方形相比之比例也如图大小二圆，形内虽函六面，同式多边。两形函甲、己、丙、丁、庚、丑、壬、癸直角四边同式，两形函甲、丙、丁、庚、壬、癸三角同式，两形而但取所函四边形甲、丙、壬、庚相当界所作之方形，便得圆形比例也。盖众界之界愈多，则于圆界愈近，故将直角形分为千万界形，在圆界可以近用之；而圆曲形亦既可以为千万直界形以用之。故将此二圆为同式直界互相之比，同于在所函同式形之相当二界所作方形相比之比例也。然则二圆互相之比，同于或在辐线或在径线所作方形相比之比例可知矣。凡大小平面体之相当角度，若俱等，相当界互相比而比例若同，是谓同式体。正方体、四瓣面体皆然。若圆柱体，则论其中所函尖瓣等体，若同式，则谓之同式圆体。各种体之式若同，将每每一类体互相之比，同于在每每相当界作四方体相比之比。例如于两同式尖瓣体之相当，作四方体是也。同式各种体内将每每一类体互相比者，同于在此内外各所函者，函于者，同式体之每每相当界作方体互相比之比例也。如两球体函于两方体，以小球则大球则，以小方为一率，小球为二率，大方为三率，可以得大球之四率也。自直角三角形之直角至相对界作一垂线，分为两直角形，则此大小三三角形俱为同式也。盖中垂两傍所成俱为直角，而乙角又不变，两角相等，则一角亦等，而丁变为甲，甲变为丁矣。丙角亦不变，而与乙、甲、丁同为同式三三角形也。自直角三角形之直角至于对界，作一垂线，截相对界为两段，则所截之两段，长者为一率，短者为三率，而垂线为中率，为相连比例三率也。如甲乙丙、甲丁乙两角俱为同式，则比例必同。以乙丁比甲丁，同于甲丁比丁丙也。自直角作垂线至于对界，在此垂线作四方形，又将所分对界两段，一段为长，一段为髙，合作长方形，两积俱等也。盖三线既为相连比例线。凡相连比例三线，其中线自乗之积，同于一线三线相乗之积，故也。凡直角三角形，是谓勾股。勾股上两方合之，与▯上方等积。何也？如图，以甲乙丙全形分为甲乙庚、甲庚丙大小两形，是为同式形，而每每相当界互相比之，比例同也。于是以小形庚丙与全形甲丙之比，同于全形甲丙与全形乙丙之比，为相连比例率也。则在甲丙中率所作四方形，必同于一率庚丙为髙，与三率乙丙为长相乗所。作长方形之积等也。又大形乙庚与全形甲乙之比，同于全形甲乙与全形乙丙之比，亦为相连比例率。而在甲乙中率所作方形，同于一三合率所作方形之积等也。今庚丁乙壬所分之两形，与己丙戊乙两方形每等，则将所分两形相合，则乙丁方形自然与己丙戊乙两方形等，可知矣。在勾股▯三界作凡同式三形▯上积，兼有勾股之积也。在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圆，在二小界作甲庚乙两半圆，亦如前节为等也。而甲庚乙半圆之甲戊乙弧一段，甲己丙半圆之甲丁丙弧一段，若减之，则所余甲庚乙戊、甲己丙丁二段，又与甲乙丙原三角形之积等也。

一圆之内，二▯线不拘何处相交，以相交所截之段互相转比之，比例俱同，为四相比例率也。如图，二线于己处相交，以此戊己段与己丙段相比之比例，将己丁、己乙相比之位转之，为己乙、己丁，虽以后为前，以前为后比之，其比例仍同，而戊己、己丙、己乙、己丁四段为相比例率也。盖乙、戊、己、丁、己、丙两形。此两形之乙角、丁角，既俱切于圆界，而又同立于戊丙之弧，则此二角为等，而二角之己角为对尖之角，其角亦为等。二形之三角俱等，即为同式也。同式则戊己、己丙相当二线互相之比，即同于己乙、己丁相当二线互相比之比例。又戊己、己丙、己乙、己丁四段俱为相比例率也。于圆径线，不拘何处，作一垂线，将径线截为两段，则所截之两段为一率、三率，而垂线为中率，成相连比例也。即勾股垂线之理。自圆外之凡一防，出二线过圆界。之二处，至相对弧界，则此两全线互相之比，同于在圆界外所有之二段转位以比之比例而为四相比例率也。如圆自丙至丁，自戊至乙相交作二线，成甲丙丁、甲乙戊两三角形。则两形之丙戊二角既同切于圆界，同立于乙丁之弧，则丙戊等角也。再甲角既系公共，则亦等角也。二角既等，则同式矣。同式则甲丙、甲戊相当二界互相之比，同于甲丁、甲乙相当二界相比之比例。以甲丙为一率，甲戊为二率，转位甲丁为三率，转位甲乙为四率，俱为相比例率也。将函于圆之三角形，于甲角作平分角之甲戊直线，则甲乙傍线与甲丁段直线之比，即同于甲戊全直线与甲丙傍线之比也。盖甲乙戊、甲丁丙形之丙戊二角，同弧同切，其度为等；而甲乙戊之甲角，丁甲丙之甲角，既自一角。而平分为两角，其度亦必等，是为同式形也。则以两形之相当，甲乙小界与甲丁小界之比，同于又相当甲戊大界与甲丙大界之比也。将函于圆三角形之甲角为两平分，自甲角至底线作甲丁直线，分底线为两段，以乙丁与丁丙之比同于甲乙傍线与甲丙傍线之比也。盖自丁处作甲乙平行之丁戊线，成戊丁丙小三角形，则全形之乙角与小形之丁角为平行线一边之内外角为等，而丙角系公共角，亦为等，为同式形也。再甲丁戊之丁角，乙甲丁之甲角，为平行线间之尖错交角度为等，而甲丁戊、甲乙丁之甲角原系平分，亦为等，是甲丁戊角之丁角、甲角等可知。两角既等，则两等角所对甲戊、丁戊线亦必等也。是故全形甲乙线与甲丙线之比，同于相当丁戊线与戊丙之比，而甲戊线与丁戊线等，则甲乙比甲丙亦若甲戊比戊丙也。又丙乙、丙甲二线既为丁戊平行线所截，则乙丁比丁丙若甲戊比甲丙也。凡球体在长圆内，苟此球径线与长圆体之底径、髙度若俱等，则此球积。

为长圆体，三分之二也？何则？将球体，合长圆体于乙丁，平分之，又将半长圆体内减去半球体，余乙己庚丁申丙癸凹面体，为与己庚壬尖圆体等积等也。何以知之？将尖圆凹面二体俱与己庚底平行分为几段之面，则两体之面积每段各相等也。试将尖圆体分癸夘申一段之面积，必与分曲凹形午癸申戌一段周围之面积等矣。何也？以壬癸半径作正方，与壬子、子癸两线作两正方，并之为等也，又以壬癸半径线作一圆，与以壬子、子癸为两半径线作两圆，并之为等也。再，壬乙与壬癸俱是一圆之半径线必等，而壬乙与夘午俱为一长方之平行线，亦必等，则卯午。与壬癸亦必等也，是则以壬子子。癸为两半径作两圆，亦必等于卯午半径线所作一圆也。今将夘午所作圆内减去与壬子线相等之癸卯线所作之圆，即余癸午曲凹形一段周围之面，与癸子为半径线所作圆面等也。夫卯癸线与癸子线既为等线，而卯癸与癸子为半径作两圆，亦必等，则癸午曲凹形之面积必与卯癸为半径作圆之面积等矣。再将壬未半径作一圆，以壬辰、辰未为两半径作两圆，等亦如前所云以辰未为半径作一圆，与壬未相等。辰已线为半径作一圆之面积内，减去辰未作圆之面积，所余未巳曲凹形一段周围之面积，与壬辰为半径作圆之面积等。而壬辰与辰寅既为正方之等线，则以尖体内之辰寅为半径作圆之面积，与相对未巳曲凹形之面积等也。夫两体每段所分既俱相等，则全体亦必相等矣。前云一尖圆体与一长圆体，其底积髙数若等，则尖圆体与长圆体为三分之一也。所余曲凹形既与尖圆等积，则亦三分之一，而所减半球为半长圆体三分之二，而全球为全长圆体三分之二矣。有一尖圆体，又一半球体。苟尖圆体底径与半球体径度等，而尖圆体髙度与半球体半径又等，则此尖圆体为半球体积之一半也。盖尖圆为长圆三分之一，而半球为长圆体三分之二，则尖圆为半球之半也。又球体径度与尖圆体底径度若等，而球体半径与尖圆体髙又等，则此一球体之积当四尖圆体之积也。盖将尖圆加一倍，则与半球等；合四尖圆，则与全球等也。有一球体，又一尖圆体。苟尖圆体底面积与球体外面总积若等，而尖圆髙度与球体半径又等，则此两体之积为等也。何也？将球体从外面至心分为千万尖体，此所分千万尖体之底积必与原球外面之总积等，亦即与尖圆体之底面积等也。又原尖圆体之髙与所分千万尖体之髙旣等，则一尖圆体之积与所分千万尖体总积等也。如是其所分千万尖体之总积既与原球之积等，则此尖圆体之积必与此球体之积等，可知矣。凡有一球体，苟以此球体之半径作一圆，则所作圆之面积于此球体外面积为四分之一也。

如前节之言，既为相等，又作一小尖圆体，其底径与原球径等，其髙与原球体半径等，则于原球为四分之一，而于前大尖圆体亦为四分之一也。此大小两尖圆体之髙度既等，其两底面积之比同于两体积之比例，体积为四分之一，底面积亦为四分之一，而于球体外面之积亦为四分之一也。因其为四分之一，而小尖圆体之半径原与球体半径等，则以此球体半径作圆之面积，亦与球体外面积为四分之一，可知矣。有一球体，又一圆形。苟此圆形之半径与球体径度若等，则此一圆形之面积为与一球体外面积等也。盖以球之半径作圆之半径，则其面积为球四分之一；若以球之全径为圆之半径，则半径所作之圆视全径所作之圆面积又为四分之一矣。何则？凡圆互相之比，同于相当界所作方形互相比之比例；又为每相当界互相比之比例为加一倍之比例也。兹两半径之比为大一倍，而两圆面之比又加一倍，即是半径作圆为一分，全径作圆为四分。既为四分，则此圆面积与球体外面等积可知矣。有长圆体，又一长方体。苟此长方体底面积与长圆体周围面积若等，又此长方体髙度与长圆体半径之半又等，则此长方体之积为与一长圆体之积等也。何也？将长圆体从壬癸心线至外面分为千万长体，则此所分千万长体之共积为子己长方体积之一半也。盖子庚髙度与所分千万长体之壬丁髙度相等，又长方体之庚己底面积与所分千万长体之底共面积及长圆体甲丙周围面积等，如前所云，所分千万长体之共积与子己长方体为一半，亦如以子庚髙度分一半为戊庚，而戊己长体即与所分千万长体相等矣。如是则戊己长方体积与甲丙长圆体等积，可知也。有一球体，一长圆体，苟此长圆体之底径度、髙度与球体径度若等，则此球体外面之积为与长圆体周围之面积等也。盖将球体半径乙壬分为六分，用半径之半三分与戊己、庚、辛长圆体之面积相乗，得数照前节所云，为长圆体之积也。又用所分六分之二为乙壬，半径三分之一。与球体外面积相乗得数为球体之积也。夫球体比长圆体积为三分之二矣。然用三与长圆体周围之面积相乗者为得长圆体积，用二与球体外面积相乗者为得球体积。今以球体与长圆体相比之比例，同于为乗面积用三、二两数之比。例如是，则球体外面之积与长圆体周围之积等可知也。有一平面鸭卵形，其大径度与圆径若等，则鸭卵形之平面积与圆面积之比同于以鸭卵形之小径与大径相比之比例也何也？将与戊己径线平行，任分几线。此每线，假如庚辛与壬癸之比，同于戊己与乙丁之比，而为作鸭卵形之定理也。今每平行线俱依此之比例，即平行鸭蛋形之积与圆形之积相比，同于乙丁小径与戊己大径之比例也。

长方面内有平面，鸭卵形；正方面内有圆形。苟长方之寛与鸭蛋形小径度等，长与大径度等，而正方一边度又圆径度俱与鸭蛋形大径度等，则以长方面积与正方面积之比例，同于以鸭蛋形面积与圆形面积相比之比例也。又鸭蛋体大径与球体径度若等，则鸭蛋体外面积与球体外面积相比之比例，同于以鸭蛋体小径与大径相比之比例也？何则？将两体外面俱分几平行圆，此每圆假如以子丑圆界与寅卯圆界之比，同于以子丑圆径与寅卯圆径之比也。今照作鸭蛋形之定理，而子丑径与寅邜径之比，同于戊己径乙丁径相比之比例。诚如是，其每大圆界与相对小圆界俱依此为比例，则两外面积之相比同于两径之相比可知矣。有能函鸭蛋体之长圆体，则鸭蛋体外面之全积为与长圆体周围之积等也。则试以鸭蛋体之大径作球之径，又作一函球之长圆，则函球之长圆与函鸭蛋之长圆周围面积之比，同于两底圆界相比之比例，亦同于大径线与小径线相比之比例也。又球体之面积与函球体之周围面积既等，则以函球体周围面积与函鸭蛋体周圆面积之比，亦同于大径与小径之比也。则是鸭蛋体面积与函鸭蛋体周围面积二项，与球体面积相比，皆同于大径与小径之比，则鸭蛋与函蛋体两项面积相等可知矣。有一鸭蛋体函于一球体，则两积之比同于鸭蛋体小径线所作正方面与球体大径线所作正方面相比之比例也。有一鸭卵体，有一恰函鸭蛋体。此两体积之比，同于球体积与函球体积相比之比例也。有一鸭蛋体，恰函于长圆体内，则鸭蛋体积为得长圆体积三分之二也。盖蛋体与函卵体之比，同于球体与函球体之比，则彼为三分之二，此亦三分之二也。有一长方体，恰函鸭蛋体；有一见方体，恰函球体。则长方体积与鸭蛋体积之比，同于见方体积与球体积相比之比例也。又长方体积与见方体积之比，同于鸭蛋体积与球体积相比之比例也。有一球体恰函于长圆体内，若将此两体俱于寅邜处。分之，此所分球体子丙丑一段之凸面积与所分相对长圆体寅巳。庚卯一段之周围外面积为等也。何则？假如于癸子丑辰小长圆体内减去壬子丑小尖圆体，此所减小尖圆体积为小长圆体积三分之一，其所余者必是三分之二。而此所分寅子丑邜曲凹体之一段周围面积与子丑线为径作相对圆之面积等矣。如是则乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体与癸子丑辰小长圆体，此二体之底面积、髙度既等，其体积亦等。而乙寅子丑卯丁曲凹体之积与壬子丑小尖圆之积等矣。然因何为等？盖壬子丑小尖圆体所分每每圆之面积与所分相对每每曲凸体周圆之面积等也。壬子丑小尖圆体积既为癸子丑辰小长圆体积三分之一，又此小长圆体积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为相等，则是乙寅子丑卯丁曲凹体之积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为三分之一。

苟于乙子丑丁球段内减去壬子丑一小尖圆体，余乙子壬丑丁球体一段之积与乙寅卯丁一长圆体积为三分之二也。若于乙寅卯丁长圆体内减去壬寅卯尖圆体，为此乙寅卯丁长圆体三分之一，余乙寅壬卯丁长圆体一段之积与乙子壬丑丁球体一段之积等也。今将乙寅壬卯丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体之共底面积相乗得数为乙寅壬卯丁一段之体积数也。又以此乙子壬丑丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体，若以乙壬半径为髙度，用三分之一与所分千万尖体之共底面积相乗得数为乙子壬丑丁一段之体积数也。如前所云，此乙寅壬卯丁一段体积与乙子壬丑丁一段体积既等，则此两体面积亦必等，而此乙丙丁半球体凸面积与乙己庚丁半长圆体周围外面积亦等。若于半长圆内减去乙寅邜丁一段外面积，于半球体内减去乙子丑丁一段外面积，此所减之乙子丑丁一段面积与彼所减之乙寅邜丁一段面积为相等，此所余子丙丑球体一段面积与彼所余寅己庚邜长圆体一段面积相等。可知也有鸭蛋体一半有球体一半。若全球体径度与全蛋体大径度等，而半鸭蛋体髙度与半球体髙度亦等，则此半蛋体外面之积与半球体外面积同于以蛋体小径度与球体径度相比之比例也。理同前。有大小半鸭蛋体有大小半，长圆体。若全体之小径与全体之底径等，而大小半体之髙度又等，则此大小半鸭蛋体外面之积与大小半长圆体周围外面之积等也。何则？试作一鸭蛋体，外函以球体，又外函以长圆体，照甲己髙度截于寅丑为长。三分之一则全与全半与半之比亦若三分之一与三分之一之比也。是小半蛋体之外面积与小半球体外面之积之比，亦若函小半蛋体外面之积与函小半球体长圆之外面积相比之比例。而小半球之外面积，既与函球小半长圆之外面积等，则小半蛋体之外面积，安得不与函蛋体小半长圆之外面积等乎？有一鸭蛋体，恰函于一球体内。则以鸭蛋每段之积，与相对球体每段积之比，同于以鸭蛋体小径之所作正方面积，与球体径度所作正方面积之比也。如图，甲寅邜一段与相对球体甲子丑一段，俱与乙丁、戊己大小径线平行，分为几圆面。此所分蛋体每圆之面积，与所分相对球体之每圆面积之比，同于以乙丁小径度所作正方面积，与戊己大径度所作正方面积相比之比。例如是，则以甲寅邜之体积与甲子丑之体积之比，同于乙丁径之方面积与戊己径方面积相比之比例，可知矣。在一直线一边立垂线法，如乙丁线，欲于乙边作垂线，则将规矩一股任意立于甲丁线上，或丙处为心，又以一股自乙处转作一圆，则于丁乙线之甲处相交；自相交丁处，过丙心至相对圆界作一直线，此线于戊处与圆界合。

自戊处至乙处作一戊乙直线，即垂线也。分圆界为三百六十度，法则照圆之辐线，度分此界为六段，六段分为十二段，十二段各平分为三段，则为三十六段，三十六段各平分为五段，则为一百八十段，一百八十段，又各平分为二段，则成三百六十段矣。一直线上欲作一三十度角，则将甲乙线照分度圆之丙丁辐线度截于戊处，又以规矩一股立于甲，一股自戊处旋转作一弧线，乃以规矩取圆界。之丙庚度，将弧线截于己处，自己至甲作一直线，即为三十度角也。有丁戊直线，欲于丙处作平行线，则以规立于丙，向丁戊线作弧线如甲。又以规取丙甲度，立于乙，向丙防平行作一弧线。又照甲乙度，以规立于丙，向第二次所作弧线处再作一弧线。则二线于己处相交。自丙至乙作一直线，则成平行线也。如甲乙线上作一四方形，则以规矩立于甲，作丙乙弧线；又立于乙，作甲丁弧线；又于甲乙两头如法立甲丙、乙丁垂线，于丙丁二处相切，又作丙丁一直线，即成为四方形矣。如乙圆之外，有甲防，欲于此防作切圆线，则于甲防至圆心作一直线，又以乙为心。以甲为界，作甲丙弧线。又自甲乙线所割丁处，作丁己垂线，截外圆界于丙。又自丙至乙作一直线。又于丙乙线所割戊处，作甲戊线，则所求之切线也。欲知圆界内等角之角度，则三角形各六十度，四界形角各九十度，五界形角各一百○八度，六界形角各一百二十度，七界形角各一百二十八度三十四分十七秒【度各六十分，分各六十秒】八界形角各一百三十五度，九界形角各一百四十度，十界形角各一百四十四度，十一界形角各一百四十七度十六分二十二秒，十二界形角各一百五十度。作函圆多界等度之各种形法则自圆心作几辐线【三边作三线，四边作四线，余仿此】于辐线末各作切界线，引至合角，则成函圆多界形也。作函多界俱等各种形，圆法则照平分直线法作垂线，引二垂线相交处为心，以角为界，即成函多界之圆形也。各形作内切圆，亦照分直线法，以交合处为心，以边为界，即是也。一三角形，一圆形，欲于此圆外作切界三角形，与原有之三角形同式，如图，将乙丙底线引长，作辛壬线，即成乙丙两外角，即于图作与辛、乙、甲等之子癸、戊角作，与壬、丙、甲等之己、癸、子角于癸、己、子三辐线末作垂线，引而合之，即成同式形也。何也？盖三角形之三角相并，必与两直角等。今丑、戊、癸、子四边形，作戊、子线分为两形，此四边形之四角相并，必与四直角等。就中减戊子原作之两直角，所余癸丑两角相并，亦与两直角等也。又直线上内外并，必与二直角等，则辛乙甲外角，甲乙丙内角并之，必为两直角。

今戊癸子角，既为效辛乙甲所作，则戊丑子角，必等甲乙丙角，可知矣。凖此而论，则丙角必等于卯角，甲角必等于寅角，又可知矣。若欲于圆内作切界同式三角形，如图，任意作与甲角等度之辛角，将角逐线引至圆界，作辛庚、辛戊二线，再自戊至庚作一直线，又于戊处仿乙角作戊角，引线至壬，切圆界。再自壬至庚作直线，即成同式形。何也？盖戊壬庚、庚辛戊两形同立于戊庚之弧，而壬、辛两角同切于圆界，则两角为等。因其为等，此辛角原仿甲角而为比，壬等于辛，则亦必等于甲也。又戊角乃仿乙角而为比，亦必等也。二角既等，则庚角之等丙角可知矣。勾股形作容方，则以直角为心，勾末为界，规作一象限，将弧线两平分处作直线至直角，分▯线为两，于▯线分处作一勾垂线，又作一股垂线。

即成两直角也有甲乙直线，欲将此直线为正方对角线，与正方边相较之所余，求作一正方。则以甲乙线为一边线，作一小正方。作甲丙小对角线，又以丙为心，乙为界，作一圆。又引甲丙线至戊，作甲戊为大正方一边线，作大正方，即是所求之正方也。何也？引甲乙线至己为对角线，乙己之线与戊己之线等。盖丙乙、丙戊同为小圆之辐线，则戊乙两角为等也。若于丙乙己、丙戊己二直角内减去乙丙戊，则所余乙戊两角又等也。两角既等，则两边亦等，而甲乙为戊己相较之余也。有一直线，将此线为底，作一两边等度，而两边各一角为上一角之倍，则将两头各作七十二度角，两线引长，相交则上角必三十六度也。若以一直线为两边等度线，则作一三十六度角，两边如线之长而止，又作一底线，则下两角各七十二度也。若欲以一直线为五边形之一边，则如前于此线之两头各作七十二度之两边等形，于此形外作切角圆形，再于两长边弧线度各平分。之则成五边形也？何则？丙乙弧之界角为三十六度，若为心角，则七十二度。则丙乙弧乃得圆分之七十二度，于圆分为五分之一也。则于甲丙弧及甲乙弧各两分之合成五分，故为五边形也。理分中末线，将全线求大小分，则将全线为一边，线作一两边等度，两底角与上一角各大一倍之三角形，又作五边形，乃自甲至乙作直线截于丙处，则丁戊为全，丁丙为大分，戊丙为小分，得相连比例也。盖丁甲乙、戊两弧线度等，则甲戊、丁乙、甲戊两角度必等。又戊甲乙角与戊丁乙角共立于乙戊弧，则角度亦等也。再甲戊乙与戊甲丁两角本相等，若以等角内减去甲丙戊形，则所余丁甲乙、丁戊乙两角必等矣。然则丁戊乙角原系与乙丁戊角为大一倍作者，则丁戊乙角比甲戊丙、戊甲丙两角为等矣。其丁丙甲角因为甲丙戊之一外角，与丙甲戊、丙戊甲两内角为等，而丁丙甲与丁甲丙两角为等矣。因其等，则丁甲、丁丙两线为等也。又丁甲、甲戊两线原等，其甲丁戊角必与甲乙丁角等，而丁戊甲、甲戊丙、大小两三角形内，小三角形之丙甲戊角与大三角形之甲丁戊角亦等。又丙戊甲之戊角与丁戊甲之戊角原系共角，亦必等。因大小两三角形既等，是为同式，则以戊丁线与甲丁线相比之比，同于以戊甲线与丙戊线相比之比例，而丁甲与丁丙等，戊甲与丁甲等，亦与丁丙等，则以丁戊全线与大分丁丙相比之比，同于丁丙大分与丙戊小分相比之比例，为相连比例也。欲平分甲乙一直线为数段，则于甲乙末各作一直线，如丙丁。将丙丁各为平分，作线割甲乙。线则甲乙线亦为平分也。于是甲乙线与乙壬线之比，同于甲丁线与丁己线相比之比例矣。

又如，有甲乙线于己辛两处分为三分，又有丙丁一线，亦欲分为三分为相比例三率，则以甲乙线、丙丁线为平行线，自甲乙之末各分直线，切丙丁线末至。戊相防，又自辛己两处各作两线，亦合于戊，则丙丁线即分为三分，而为甲乙线之相比例三率矣。有直线二率，作与此相连比例三率线法，如有八分。甲乙四分甲丙之二线，求作一二分。之相连线，则将甲丙、甲乙二线合成。甲角又于乙末増甲丙线度为甲戊。线自乙至丙作一直线，又于戊作乙。丙之平行线如戊己，将甲丙线引至己处，则所引丙己线度即为二分之分，而为甲乙、甲丙相连比例第三率也【甲乙、甲丙、乙戊、丙己为比例四率，乙戊同甲丙，除去不用，则甲乙与甲丙之比同扵甲丙与丙己之比也】有直线三率，欲作相比例第四率线，再为相比例数率线，则照様作甲丙线，而以甲乙线度截于乙处，乃用规矩以甲为心，以乙为界作一弧线，而取乙丁线度一股立于乙，一股交于弧线，得相交之丁处，遂作乙丁线，又作甲戊线切丁。末如甲丙度长，又作与乙丁平行之戊丙线，其戊丙线即为第四率也。盖甲丙全与甲乙段之比，同于丁乙平行线与戊丙底之比，比例同也。若欲作相比例数率，则将甲戊、甲丙线引长，如癸子中作平行数线，分为五叚，即得十相比例率也。故以甲乙与甲丙之比，同于丁乙与戊丙之比例；甲丙与甲己之比，同于戊丙与庚己之比例；甲己与甲辛之比，同于庚己与壬、辛之比例，甲、辛与甲、癸之比，同于壬、辛与子、癸之比例也。比例尺二股各有平分线分为二百余分，假如有丁戊一线，欲分为十分，则以规矩取丁戊线度，立于尺各二百分之，乙丙二防，将尺乙丙二处照丁戊线度开之，使不移动，次以规矩立于尺之第二十分之己庚二防，取己庚之间度，此间度即是平分丁戊线为十分之度也，何也？如甲乙丙三角形为己庚平行线所截，则甲己与甲乙之比同于己庚与乙丙之比例。甲己二十分，甲乙二百分，为十分之一；乙丙十分，己庚一分，亦为十分之一也。于比例尺作圆之诸▯线之总线法则，自甲之合处至乙丙二末作二线，于甲乙之丁处为心，以甲乙两末为界作半圆，而分半圆界为百八十度，自甲处至所分圆界各作▯线，而立规矩，一股于甲处，又以一股于戊二十度、己四十度、庚六十度、辛八十度、壬百度、癸百二十度、子百四十度、丑百六十度等处取▯线度，各作于甲乙、甲丙两线上，即为诸▯线度之总线也。其取用之法，若欲知寅角之度，则以规矩一股立寅处，一股任意作夘辰弧线，随取寅夘辐线之度，立于尺之六十度之丁未处，将尺之丁未照辐线度开之勿动，乃将规矩取夘辰弧线之度，放于尺两股所容中间何处，恰好？

若恰容在八十度之申酉处，则是现原有寅角八十度之▯线也。何则？若作丁未申酉二直线，则甲申酉之三角形为平行之丁未线所截，则甲丁与甲酉之比同于丁未与申酉之比也。然则甲丁为六十度▯线，甲酉为八十度▯线，其与底平行之丁未线既与小圆辐线等，所以丁未线为小圆六十度之▯线，申酉线亦为小圆八十度之▯线。以此知寅角夘辰度之为八十度也。如此凡大小圆之辐线度，安于尺之六十度处，照此开之，其大小圆之诸▯线之度俱现于两股间也【以六十度通▯即半径故】于比例作分平面线法，自甲之合处至乙丙二末作直线，截甲丙线于丁处，照甲丁度于甲末作甲戊垂线，自戊处至所截丁处作戊丁线，照戊丁线度将甲丙线截于己处，自戊至己作戊己线，又照戊己线度将甲丙线截于庚处，自戊至庚作戊庚线，照此不止作至。丙末，又将甲乙线亦照甲丙所截截之，即成分平面线也。何则？于甲丁戊直角三角形之三界作三正方形：甲丁、甲戊上方相等者也；丁戊上方兼甲丁、甲戊两方者也。至甲己之界，即丁戊之界，是甲己上方比甲丁上方为大一倍，甲庚方大甲丁方为二倍也。由是推之，甲庚方大甲己方一倍，甲辛方又大甲庚方一倍。如此，则甲辛、甲壬等界上方俱是大于甲丁界上方三倍、四倍可知也。苟有一癸子平面四方形，欲大于此形二倍之四方形，则以规矩取癸子界度，立于丁处，将尺照此度开之，勿动。次将规矩取尺庚寅处度作方，即大于癸子方二倍也。盖于丁丑、庚寅作二线，而甲庚寅之三角为丑丁平行线所分，则以甲丁比甲庚，若丑丁比寅庚也。甲庚既大于甲丁二倍，则寅庚亦大于丑丁二倍矣。有二直线，欲以此二线作中比例线法，则将二直线相连为圆径，以平分处为心，以两末为界作圆形，然后于二线连接处作垂线切圆界，则为中比例线也。有二直线作中二率比例线，如图，将二线合为直角，又引作十字线，如丁与丙，取矩尺庚癸二角，正跨两引线上，使矩尺壬辛股二处正切于甲戊之末，遂作甲癸、癸庚、庚戊三线，其所现乙癸、乙庚，则为中二率线。也盖以戊癸之丑为心，戊末为界，作半圆；以甲庚之寅为心，甲末为界，作半圆。则乙癸线者，甲庚半圆径上之垂线，为甲乙、乙庚之中率也。乙庚线者，戊癸半圆径上之垂线。为乙戊、乙癸之中率也。则以甲乙线比乙癸线，同于以乙癸线比乙庚线也。以乙癸线比乙庚线，同于以乙庚线比乙戊线也。故曰中二率也。于比例尺作分体线法，则于甲之合处至二股之乙、丙二末，作甲乙、甲丙二线，以规矩取丁己方体之戊己界度，立于甲而截于甲乙线之庚处。次作大于戊己界一倍之辛壬线，依前法求得中二率为癸子、丑寅二线，将癸子界作见方体，则此体大于丁己，见方体一倍也。

盖四线为相连比例率，而戊己与辛壬为加二倍之比例，则丁己卯子二体为同式，而以戊己癸子各一界相比之比例为加二倍之比例也。戊己辛壬二线之比，因同于丁己卯子二体之比例，若辛壬第四线大于戊己一倍，则卯子体亦大于丁己体一倍矣。次将规矩取癸子界度，一股立于甲，一股照此度截于甲乙线之辰处，则此度所作方体大于原丁己体一倍矣。再作比原丁己体之戊己界长二倍之己未线，照前求中二率之申酉戌亥二线，将申酉第二率线度取于规矩，一股立于甲，一股截甲乙线之干处，则甲干界度所作方体比原丁己体为二倍可知也。照此不止作大于丁己体之戊己界，或三四倍，或五六倍之长线如前求得中二率，将所求第二率度截于尺线上，即成比例尺之分体线也。若有一坎庚见方体，欲作一大于此二倍之体，则以规矩取坎庚体之艮庚界度，将比例尺之所截庚处照此开之，勿动。次将比例尺第三所截干处之开度取于规矩，即是大于坎庚体二倍之形界。盖甲庚线与甲干线之比，同于以庚庚与干干线之比例。甲干上方大于甲庚上方二倍，则干干上方必大于庚庚上方二倍，可知矣。又有易分之法，如一面之界度长一百厘，则以此界一百厘自乘再乘，则此体积共乙百万厘大。此一倍之体数为二百万厘，其二百万厘体之一面界度为一百二十五厘。又大二倍之体数为三百万厘，其三百万厘体之一面界度为一百四十四厘。如此累加，将外界之厘数书明，又将厘度分于尺寸，欲书入比例尺，则将所书之数以规矩取所分之度。初照一百厘界度截比例尺之庚处，次照一百二十五厘界度截于辰处，三照一百四十四厘界度截于干处，不止。至末与前法所分俱为同也。有一直角四界形，作为与此等积之正方形，如图，将甲乙、乙丙合为一直线，求得中率之丁乙线，作丁戊正方形，为与甲丙等积也。盖相连比例三率，其中率自乘之积，与首率末率相乗之积等，故丁己上方，与甲乙乗乙丙之方等积也。凡有三角形，知其一角之度，及角两旁之界，度或知其二角之度及一界之度，或知三界度而不知角度，欲求全知法。如甲乙丙三角形，知丙角为三十七度，角两旁丙甲界长十四丈，丙乙界长十三丈。则作与丙角为等之丁角，亦三十七度，角傍丁戊界作为十四分长，丁己界作为十三分长。自戊至己作直线，相防与甲乙丙大形同式。将戊角之度取于规矩，安于分度圆界，看容多少，便知戊角度若干。若容七十度，则大形甲角之度亦为七十度矣。又小形己角可知为七十三度，则大形乙角亦七十三度矣。再因小形戊己界分作九分，可知大形甲乙界之为九丈矣。余皆如此，盖即小以知大，举一以例余也。

作不用比筭测髙深广逺各种三角形之仪器法，先作甲乙丙半圆界，分为百八十度，将此半圆之丁甲、丁乙、丁丙三半径线，每每分为一百分，各作直线纵横相交，防如碁局，再于径线之两末作两立表，安住不动，又于丁心处如图作一逰表，如戊己，将逰表亦如半径度分为二百分，再于此仪器后面挂一坠线为庚，即可按线而测矣。如欲测旗杆之髙，则将仪器之丁心安于所立之处，定准坠线。以甲乙径线两末之立表与旗杆癸处对准，为地平穏住不动。再将戊己逰表与旗杆尖之辛处相对准。次量所立之丁处至旗杆癸处得若干，若得四十丈，则看仪器地平线上自丁心起，用四十分当四十丈如子。再防子处垂线与上逰表相交处得若干，若得三十分如丑，则旗杆之髙为三十丈也。若欲测丁辛▯线数，则防自丁至丑相交处得若干分，若得五十分则相当数为五十丈也。若欲测丁癸辛三角形之各角度，则癸角既为直角，再防圆界自乙至游表相交处得若干度，为丁角度，与九十度相减所余者为辛角度也。画地图者，选戊己两处，可以尽见诸形。先于戊处立仪器，指诸要▯数处，看所成之数角各得几何度，记之。次移仪器到己处，将不动表与己对准为地平，亦指于诸要▯数处，看所成之数角亦各几何度，亦记之。然后取一幅纸，任意作一线为戊己相当线，将前所测角度仿而作之，一一与前相当，成数三角形，其中边所有之形一一画上，即成图也。若将大图蹲入小图，则将大图分为数正方形，小图亦分为数正方形，与大图相当。将大图中某方形内所函之山河城渠村林依蹲而入于小图，即与原大图同也。凡有多界形，仿此或为大或为小之同式形方。如甲乙丙丁一无法形，欲减各界之半作同式形，则任意自一壬处作诸对角线，又任意将甲乙界之度取其半为甲乙平行线，作于甲壬乙。壬、二线之间，恰容癸、子处。照此，于对角线间作诸界之平行线，则所成癸、子、卯、己之形，即是原有形每界减一半之同式小形也。苟欲作大于原有之形，则将对角线任意引长，而照前任意加为界度，与原界作平行线，即成所欲作之大形也。或自一角发线，亦可。凡两数相乗者，平行方数也。如二三相乗为六，是也。三数连乗者，立方数也。如二三乗得六，又乗以四，则为四六二十四也【以上为几何原本】凡一与三之比，同于四与十二之比；一与五之比，同于十二与六十之比。二之比三，亦犹四之比六也；六之比九也。盖凡可以倍计者，皆可为比例。二其二而为四，二其三而为六；三其二而为六，三其三而为九。故三与九之比，同于六与三十六之比【按：末句有误数】凡可以度尽大数之众，小数相合于此，加数根之一，所得之总数与所度之大数等也。

如大数有六，可以小数二、三度尽，若加数根一则亦六也。大数二十八，可以小数二四七十四度尽。若将二四七十四与数根之一并之，则亦二十八也。有一比例数，求与此比例相等之相连比例数法。如三与五之比例，求与此比例相等之相连比例几？将三自因得九，又三与五因得十五，又五自因得二十五，则此九与十五及二十五之三数，为三与五比例相等之相连比例三数也。三与五之比，同于九与十五之比例；九与十五之比，同于十五与二十五之比，为相连比例也。又将三因九，因十五，因二十五，得二十七及四十五与七十五，又将五因二十五得一百二十五，此所得二十七、四十五、七十五、一百二十五之四数，为三与五比例相等之相连比例四数，同于三与五之比例也。凡一数除众数所除得数之比，同于原众数之比也。如以三归十二而得四，以三归十五而得五，则四与五之比，若十二与十五之比也。而四与十二之比，同于五与十五之比也。有同相比例四数，其首末相乗所得数与中两数相乗之得数等也。有相等两方数，则此纵与彼纵之比，同于以彼横与此横之比也。如四六相乗与三八相乗，皆为二十四，则以此之六比彼之八，以彼之三比此之四，比例为等也。凡以两数除一数而尽，此得之两数相比，若所用以归除两数之比也。如四除三十六而得九，六除三十六而得六，则九六两数之比若六四之比也。凡有平加众数，此众数内之凡一数，若作为原数，将此数以上有几位平加几次，相差之数与首数并之，得数为与原数等也。如上所列之数，若将十五作原数，此十五以上有四位，而众数原平加之数系三，若将三之四次数而与首数三相并，得十五与所作原数之数等也。由此推之，若于平加众数内凡减一位，将所余之位数与原平加之数相乗，得数与众小数内至小数相并，与众数内至大数为等也。假如上六数内减一数，余五数，将此五与平加之三相因，得十五与至小数三相并，得【三六九二五八一一一】十八，为与至大数相等矣。凡平加众数，若将此数内之两数相并所得数，与两傍相等隔位之他两数相并得数等也。如十二与九为廿一，十五与六亦廿一，十八与三亦廿一也。盖升愈升，降愈降，合降与升，则但见平也。又将此内凡一数之两傍数相加折半，即与中间数等也。如十五加九为廿四，折半斯得十二矣。十二加六为十八，折半斯得九矣。十八加十二为三十，折半斯得十五矣。其理则前节可推也。又此平加众数，若将首末两数相加，以所有几位之位数相乗，得数折半，则与原有众数之总数等也。如十八加三为廿一，以位数六乗之，得乙百二十六，折半得六十三，与众数之总数等也。

盖照前节推六数相加合成三十三，今以六乗故必折半也。若五位或七位之竒数理，亦相同。凡平加之位，若是竒数，则以中一位之数与位数几相乗，即得众数之总数也。如所列，以中一位一○乗位数五，得五十，即为众数之总数也。盖首尾相加乗位数折半而得总数，今中位乃首尾相加之一半，故以乗位数【四七○三六一一一】总数【○五】即为总数也。凡有自一每位平加二比例众竒数之总与位数自乗之得数等也。如所列总数得四十九，以位数七七自乗亦四十九也。若一三五七九五位总数二十五，以位数五自乗亦二十五也。理如前节，以中一位数乗位数同，盖七位则七为中，五位则五为中，故也。亦如首乗相并【一三五七九一三一一】折半乗位数之理也。

凡有自二每位平加二之比例众偶数以位数加一以与位数相乗即与众数之总数等也如所列位数是七加一为八以与位数七相乗为五十六即总数之数也亦即首末相加折半乗中一位之理也若位数是偶则【二四六八○二四一一一】　以位数自乗可得众数之总数也凡平加比例之众数，如所列，以小数一与大数十一相减，余十，以平加数根二除之，得五，再加入小数一，得六【一、三、五、七、九、一一】即原有之位数也。凡平加比例知小数及位数与平加数根而求大数法，如所列知小数三，知位数六，知平加数根四，将位数六减一，余五，与平加数四相因，得二十，加十入小数三，即大数为廿三也。若欲知小数，则亦以位数六减一，余五，与平加数四相因，得二十，以与大数十三相减，余三，则此三即为至小数也。若知小数及位数及平加数根而求知总数，则先察得大数为二十三，加入小数三为二十六，以与位数六相乗，得一百五十六，折半得七十八，为所求之总数也。若知大数及平加数根及位数而求知总数，法亦如之。若知大小两数及位数，求平加数根法，则将三与廿三相减，余二十，又将位数六减一为五，除之得四，则此四为平加数之根也。若知大小两数及平加数根而求位数法则，将大数与小数相减，余二十，以平加数四除之，得五，加一为六，即是所求之位数也。

若知平加之数根与位数及众位之总数而求至大至小之两数法则将总数七十八以位数六除之得十三为首末两数相加之一半又将十三加倍作廿六为首末两数相加之总数乃将位数六减一余五与平加数根四相乗得二十为至大数又将前所得之二十六与此二十相减余六为小数之加一倍数此数折半为三是所求之至小数也将三加入二十得二十三为所求之至大数也此法之理备于前矣凡不等两数求一数可以度尽之法，如二十与廿四相减，余四，又将四与二十相减，余十六，以十六与四相减，余八，以四减八则无余，则此四为度尽两数之数也，谓之转减，亦谓之纽数。三边无角，不可以相比例，则必先求中长线以为正▯，然后角可求也。然中长线之数为正▯，而仅有半径无角无余▯，则其数又不可知。故以勾▯求股之术求之，除一边为▯，则总较之术所求者勾也。盖两▯之总之较既具于上两边矣，所求者欲破下边以为两勾而得其较耳。两▯之总乗▯之较，以两勾之总除之，必得较矣【钝角则以较除而得总】以勾较之余取其半，以益较，必得大勾矣。存其半，必得小勾矣。如此则中长线之数可明，而勾股▯相求之术可施。既得勾股之数，则用以与半径正余▯相比例，而角可得矣。一角有角无对，边数两边有边无对，角数则皆不可以互求矣。然此两边所对之角乃与得角合成半周度，是此角之外之弧度即两角之度也。但未知两角之大小何如剖分耳。惟外角有平行之对角与两角之一角等度，则虽其数未可知，而其形可剖。欲知其数者，必以两角之较求之。欲知两角之较者，又必以两边之较例之。两边有总、有较，半外角又有切线，则可因是以求半较角矣。以半较角减半外角，则小边对角之度得矣。其余一角则可以三隅反矣。三较连乗者，求三角容圆之半径也。○三较者，三边与半总相较之余也。三较连乗所得之数，乃容员半径自乗又乗半总之数也。故以三较连乗为中率，而以半总除之，则得容员半径之积数矣。以积数开方，则得半径矣。○两数所以相合者，何也？盖引伸三较于一边，则半总也。从两边之角直剖为长线，于第一较处横断作小勾，即容员半径也。至末总断作大勾，而以容员半径乗之，即二较、三较相乗之数也。小勾自乗比乗大勾，如第一较与半总之比例，则二较相乗以小勾自乗乗之，亦如第一较与半总之比例。

【阙】钱百文，买果百颗。梨一颗，钱三文。柑一颗，钱二文。橄榄七颗，钱一文。算得梨四颗，钱十二文。柑四十颗，钱八十文。橄榄五十六颗，钱八文【按：此条前后皆有阙文】

庄氏算学卷二<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学》>钦定四库全书