御制数理精蕴下编卷七

御制数理精蕴下编卷七

线部五和较比例

和较比例比例之中有和数、较数，而复有和较者。用和数相比，谓之和；用较数相比，谓之较。至于设问中两物相和，两价相和，或每色中防物相和，乃于和数中推求较数，因较数而成比例。是以和数为体，而较数为用，故谓之和较比例。在《九章》一名《贵贱差分》，一名《贵贱相和》。其立法，盖于縂物中求其相差之较，或于每物中求其相差之较【此《贵贱差分法】或用互乗以齐其数，然后于互乗数中求其相差之较，作为比例而得真数【此《贵贱相和法】按法立算，虽各不同，要之縂以和数推出较数为比，此和较之所以名也。设如，有银四百零五两七钱，共买米麦五百石。米每石价银八钱六分，麦每石价银七钱二分五厘。问米麦各该防何法以米麦共五百石，用米每石价银八钱六分乗之，得四百三十两，与縂银四百零五两七钱相较，则縂银少二十四两三钱。又以米麦共五百石，用麦每石价银七钱二分五厘乗之，得三百六十二两五钱，与縂银相较，则縂银多四十三两二钱。乃以多少两数相并，得六十七两五钱为一率，米麦共五百石为二率，少二十四两三钱为三率，得四率一百八十石，即麦数。于共五百石内减之，余三百二十石，即米数。如以多四十三两二钱为三率，得四率三百二十石，亦即米数也。此法盖以五百石俱为米计之，则价应四百三十两，与今縂银相较，则縂银少二十四两三钱。如以五百石俱为麦计之，则价应三百六十二两五钱，与今縂银相较，则縂银多四十三两二钱。是米五百石比麦五百石价多六十七两五钱，即麦五百石比米五百石价少六十七两五钱也。是知麦价比米价少六十七两五钱，而麦为五百石，今縂银比米价少二十四两三钱，则麦必为一百八十石也。又米价比麦价多六十七两五钱，而米为五百石，今縂银比麦价多四十三两二钱，则米必为三百二十石也。又法，以米麦每石价银相减，余一钱三分五厘为一率，一石为二率。以米麦共五百石，用米价乗之，得四百三十两，与縂银四百零五两七钱相减，余二十四两三钱为三率，得四率一百八十石，即麦数。于共五百石内减之，余三百二十石，即米数。如以米麦共五百石，用麦价乗之，得三百六十二两五钱，与縂银四百零五两七钱相减，余四十三两二钱为三率，得四率三百二十石，亦即米数也。此法盖因米一石比麦一石其价相差一钱三分五厘，是知少一钱三分五厘而麦为一石，今少二十四两三钱，则麦少为一百八十石也。又多一钱三分五厘而米为一石，今多四十三两二钱，则米必为三百二十石也。前法以五百石縂价之较与五百石为比，此法以每一石价之较与一石为比，其理同也。

设如，有银一百两，共买防绢一百疋。防每疋价银一两六钱，绢每疋价银八钱。问防绢各得防何法？以防绢共一百疋，用防价一两六钱乗之，得一百六十两，与共银一百两相较，则共银少六十两。又以防绢共一百疋，用绢价八钱乗之，得八十两，与共银一百两相较，则共银多二十两。乃以多少两数相并，得八十两为一率，防绢共一百疋为二率，少六十两为三率，得四率七十五疋，即绢数。于共一百疋内减之余二十五疋，即防数。如以多二十两为三率，得四率二十五疋，亦即防数也。此法盖以一百疋俱为防计之，则价应一百六十两，与共银相较，则共银少六十两。如以一百疋俱为绢计之，则价应八十两，与共银相较，则共银多二十两。是防一百疋比绢一百疋价多八十两，即绢一百疋比防一百疋价少八十两也。是知绢价比防价少八十两，而绢为一百疋，今共价比防价少六十两，则绢必为七十五疋也。又防价比绢价多八十两，而防为一百疋，今共价比绢价多二十两，则防必为二十五疋也。又法以防绢每疋价银相减余八钱为一率，防一疋为二率，以防绢共一百疋用防价乗之得一百六十两，与共银一百两相减余六十两为三率，得四率七十五疋，即绢数。于共一百疋内减之，余二十五疋，即防数。如以防绢共一百疋用绢价乗之得八十两，与共银一百两相减余二十两为三率，得四率二十五疋，亦即防数也。此法盖因防一疋比绢一疋其价相差八钱，是知少八钱而绢为一疋，今少六十两则绢必为七十五疋也。又多八钱而防为一疋，今多二十两则防必为二十五疋也。设如鸡▯同笼，但知头共三十六，足共一百，问鸡▯各防何？法以鸡▯共三十六头，用鸡二足乗之，得七十二足，与共足一百相较，则共足多二十八。又以鸡▯共三十六头，用▯四足乗之，得一百四十四足，与共足一百相较，则共足少四十四。乃以多少两数相并，得七十二足为一率，共三十六头为二率，少四十四足为三率，得四率二十二，即鸡数。于共三十六只内减之余十四，即▯数。如以多二十八足为三率，得四率十四，亦即▯数也。此法盖以三十六俱为鸡计之，则应七十二足，与今共足相较，则共足多二十八。若以三十六俱为▯计之，则应一百四十四足，与今共足相较，则共足少四十四。是▯三十六比鸡三十六多七十二足，即鸡三十六比▯三十六少七十二足。也是知鸡少于▯七十二足，而鸡为三十六只，今鸡少于▯四十四足，则鸡必为二十二只也。又▯多于鸡七十二足，而▯为三十六只，今▯多于鸡二十八足，则▯必为十四只也。又法，以鸡二足，▯四足相减，余二足为一率，一只为二率。

又以共三十六只用，▯四足乗之，得一百四十四足，与共足一百相减，余四十四为三率，得四率二十二，即鸡数。于共三十六只内减之，余十四，即▯数。如以共三十六只用，鸡二足乗之，得七十二足，与共足一百相减，余二十八为三率，得四率十四，亦即▯数也。此法盖因鸡一只比▯一只差二足，是知鸡少于▯二足，而鸡为一只，今少于▯四十四足，则鸡必为二十二只也。又▯多于鸡二足，而▯为一只，今多于鸡二十八足，则▯必为十四只也。设如，有羊一百四十只，大小不防，共剪毛一百五十斤。大羊每只剪毛一斤二两，小羊每只剪毛十二两。问：大小羊各防何？法以共羊一百四十只，用大羊剪毛十八两乗之【一斤作十六两，加二两即十八两也】得二千五百二十两，与共剪毛二千四百两相较【一百五十斤变为两得二千四百两】则共剪毛数少一百二十两。又以共羊一百四十只，用小羊剪毛十二两乗之，得一千六百八十两，与共剪毛二千四百两相较，则共剪毛数多七百二十两。乃以多少两数相并，得八百四十两为一率，共羊一百四十只为二率，多七百二十两为三率，得四率一百二十只，即大羊数。于共一百四十只内减之，余二十只，即小羊数。如以少一百二十两为三率，得四率二十只，亦即小羊数也。此法盖以一百四十只俱为大羊计之，则应剪毛二千五百二十两，与共剪毛数相较，则共剪毛数少一百二十两。若以一百四十只俱为小羊计之，则应剪毛一千六百八十两，与共剪毛数相较，则共剪毛数多七百二十两。是大羊一百四十只比小羊一百四十只多八百四十两，即小羊一百四十只比大羊一百四十只少八百四十两。也是知多八百四十两而大羊为一百四十只，今少七百二十两，则大羊必为一百二十只也。又少八百四十两而小羊为一百四十只，今少一百二十两，则小羊必为二十只也。又法，以大羊剪毛十八两，小羊剪毛十二两，相减余六两为一率，一只为二率，以共羊一百四十只用小羊剪毛数乗之，得一千六百八十两，与共剪毛二千四百两相减，余七百二十两为三率，得四率一百二十只，即大羊数，于共一百四十只内减之，余二十只，即小羊数。如以共羊一百四十只用大羊剪毛数乗之，得二千五百二十两，与共剪毛二千四百两相减，余一百二十两为三率，得四率二十只，亦即小羊数也。此法盖以大羊一只比小羊一只所剪毛差六两，是知多六两而大羊为一只，今多七百二十两，则大羊必为一百二十只也。又少六两而小羊为一只，今少一百二十两，则小羊必为二十只也。设如有玉在石中，但知正方每邉四寸，共重一百六十两八钱问玉有防何？

法以方邉四寸自乗再乗得六十四寸为正方体积，乃以六十四寸用玉寸方定率二两六钱乗之，得一百六十六两四钱，与共重一百六十两八钱相较，则共重少五两六钱。又以六十四寸用石寸方定率二两五钱乗之，得一百六十两，与共重一百六十两八钱相较，则共重多八钱。乃以多少两数相并，得六两四钱为一率，玉六十四寸为二率，多八钱为三率，得四率八寸，即玉数，于共六十四寸内减之余五十六寸，即石数。如以少五两六钱为三率，得四率五十六寸，亦即石数也。既得玉八寸，则以玉寸方定率二两六钱乗之，得二十两八钱，即玉之重数，于共重一百六十两八钱内减之余一百四十两，即石之重数。如以石五十六寸用石寸方定率二两五钱乗之，得一百四十两，亦即石之重数也。此法盖以六十四寸俱为玉计之，则应重一百六十六两四钱，与共重数相较，则共重数少五两六钱。若以六十四寸俱为石计之，则应重一百六十两，与共重数相较，则共重数多八钱。是石六十四寸比玉六十四寸少六两四钱，即玉六十四寸比石六十四寸多六两四钱。也是知多六两四钱而玉为六十四寸，今多八钱，则玉必为八寸也。又少六两四钱而石为六十四寸，今少五两六钱，则石必为五十六寸也。又法，以玉寸方定率二两六钱，与石寸方定率二两五钱相减，余一钱为一率，一寸为二率，以共积六十四寸用石寸方定率二两五钱乗之，得一百六十两，与共重一百六十两八钱相减，余八钱为三率，得四率八寸，即玉数，于共六十四寸内减之余五十六寸，即石数。如以共积六十四寸用玉寸方定率二两六钱乗之，得一百六十六两四钱，与共重一百六十两八钱相减，余五两六钱为三率，得四率五十六寸，亦即石数也。此法盖以玉一寸比石一寸，其重差一钱，是知多一钱而玉为一寸，今多八钱则玉必为八寸也。又少一钱而石为一寸，今少五两六钱则石必为五十六寸也。设如，有金银共重三百二十一两，镕于一处，作成一正方体，每邉三寸，问金银各重防何？法以方边三寸自乗再乗得二十七寸为正方体积，乃以二十七寸俱作金算，用金寸方定率十六两八钱乗之，得四百五十三两六钱，与共重三百二十一两相较，则共重少一百三十二两六钱。又以二十七寸俱作银算，用银寸方定率九两乗之，得二百四十三两，与共重三百二十一两相较，则共重多七十八两。乃以多少两数相并，得二百一十两六钱为一率，金二十七寸重四百五十三两六钱为二率，多七十八两为三率，得四率一百六十八两，即金数。于共重三百二十一两内减之，余一百五十三两，即银数。如以银二十七寸重二百四十三两为二率，少一百三十二两六钱为三率，得四率一百五十三两，亦即银数也。

此法盖因金二十七寸比银二十七寸多二百一十两六钱，即银二十七寸比金二十七寸少二百一十两六钱，也是知金比银多二百一十两六钱，而金为四百五十三两六钱，今多七十八两，则金必为一百六十八两也。又银比金少二百一十两六钱，而银为二百四十三两，今少一百三十二两六钱，则银必为一百五十三两也。又法，以银寸方定率九两，与金寸方定率十六两八钱相减，余七两八钱为一率；金一寸重十六两八钱为二率；以共积二十七寸，用银寸方定率九两乗之，得二百四十三两，与共重三百二十一两相减，余七十八两为三率，得四率一百六十八两，即金数；于共重三百二十一两内减之，余一百五十三两，即银数。如以银一寸重九两为二率，以共积二十七寸，用金寸方定率十六两八钱乗之，得四百五十三两六钱，与共重三百二十一两相减，余一百三十二两六钱为三率，得四率一百五十三两，亦即银数也。此法盖以金一寸比银一寸，其重相差七两八钱，是知多七两八钱而金为十六两八钱，今多七十八两，则金必为一百六十八两也；又少七两八钱而银为九两，今少一百三十二两六钱，则银必为一百五十三两也。设如，有金器一件，内有银相参合，共重一百七十两四钱，问金银各重若干？法用一桶盛水令满，将金器入内，看溢出之水得正方寸数。防何？假如得十二寸，即为金银共积。以金寸方定率十六两八钱乗之，得二百零一两六钱，与共重一百七十两四钱相较，则共重少三十一两二钱。又以银寸方定率九两乗之，得一百零八两，与共重一百七十两四钱相较，则共重多六十二两四钱。乃以多少两数相并，得九十三两六钱为一率，金十二寸重二百零一两六钱为二率，多六十二两四钱为三率，得四率一百三十四两四钱，即金数。于共重一百七十两四钱内减之，余三十六两，即银数。如以银十二寸重一百零八两为二率，少三十一两二钱为三率，得四率三十六两，亦即银数也。又法，以金寸方定率十六两八钱与银寸方定率九两相减，余七两八钱为一率；金一寸重十六两八钱为二率；以共积十二寸用银寸方定率九两乗之，得一百零八两，与共重一百七十两四钱相减，余六十二两四钱为三率，得四率一百三十四两四钱，即金数。于共重一百七十两四钱内减之，余三十六两，即银数。如以银一寸重九两为二率，以共积十二寸用金寸方定率十六两八钱乗之，得二百零一两六钱，与共重一百七十两四钱相减，余三十一两二钱为三率，得四率三十六两，亦即银数也。设如，有金铸一器，重三百两，俱系九六成色。今用九九成色及九一成色二防金替换，问各得防何法？

以九六成色与三百两相乗，得二百八十八两，为原金数。乃以九九成色与三百两相乗，得二百九十七两，与原金二百八十八两相较，则原金少九两。又以九一成色与三百两相乗，得二百七十三两，与原金二百八十八两相较，则原金多十五两。爰以多少两数相并，得二十四两为一率，三百两为二率，原金比九一成色多十五两为三率，得四率一百八十七两五钱，即九九成色金数。于共重三百两内减之余，一百一十二两五钱，即九一成色金数。如以原金比九九成色少九两为三率，得四率一百一十二两五钱，亦即九一成色金数也。盖九六成色金三百两为十成金二百八十八两，而九九成色金三百两为十成金二百九十七两，九一成色金三百两为十成金二百七十三两。是知九九比九一多二十四两，而九九成色金为三百两。今九六比九一多十五两，则九九成色金必为一百八十七两五钱也。又九一比九九少二十四两，而九一成色金为三百两。今九六比九九少九两，则九一成色金必为一百一十二两五钱也。又法以九九与九一相减，余八分，为一率；金三百两为二率。以九一与九六相减，余五分，为三率，得四率一百八十七两五钱，即九九成色金数。于共重三百两内减之，余一百一十二两五钱，即九一成色金数。如以九九与九六相减，余三分为三率，得四率一百一十二两五钱，亦即九一成色金数也。盖九九比九一多八分，而九九成色金为三百两；今九六比九一多五分，则九九成色金必为一百八十七两五钱也。又九一比九九少八分，而九一成色金为三百两；今九六比九九少三分，则九一成色金必为一百一十二两五钱也。设如甲乙二人有金，成色不防。甲金一两可凖银一十二两，乙金一两可凖银八两。今欲镕为一处，令金一两凖银九两。问甲乙二人于一两金中，各出金防何？法以凖银九两为中数，与甲金凖银十二两相较少三两，与乙金凖银八两相较多一两，乃以多少两数并之得四两为一率，金一两为二率，比甲少三两为三率，得四率七钱五分，即乙所出金数。如以比乙多一两为三率，得四率二钱五分，即甲所出金数也。此法因银十二两与八两皆金一两所凖之数，虽相乗其数不动，故直以十二与八相减作一率【以十二与九、八与九之两较相并得四，即十二与八相减之余数也】盖乙比甲银少四两而乙金为一两，今比甲银少三两，则乙金必为七钱五分也。又甲比乙银多四两而甲金为一两，今比乙银多一两，则甲金必为二钱五分也。设如，有钱四千九百九十五文，买栗枣共五千枚。只云，栗九枚，钱一十一文；枣七枚，钱四文。问：二色与价各得若干？法先用互乗以齐其分，以栗九与枣七相乗，得六十三，为乗出之縂物分。

即以六十三乗縂钱四千九百九十五文，得三十一万四千六百八十五文，为乗出之縂钱数。又以枣七乗栗价十一文，得七十七文，为乗出之栗价。以栗九乗枣价四文，得三十六文，为乗出之枣价。然后以栗枣共五千枚，用栗价七十七文乗之，得三十八万五千文，与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较，则縂钱少七万零三百一十五文。又以栗枣共五千枚，用枣价三十六文乗之，得一十八万文，与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较，则縂钱多一十三万四千六百八十五文。乃以栗价七十七文与枣价三十六文相减，余四十一文为一率，一枚为二率，多一十三万四千六百八十五文为三率，得四率三千二百八十五枚，即栗数。于共五千枚内减之，余一千七百一十五枚，即枣数。如以少七万零三百一十五文为三率，得四率一千七百一十五枚，亦即枣数也。既得栗数，则以九枚为一率，十一文为二率，三千二百八十五枚为三率，得四率四千零一十五文，即栗之共价。既得枣数，则以七枚为一率，四文为二率，一千七百一十五枚为三率，得四率九百八十文，即枣之共价也。如欲先得各价，则以四十一文为一率，栗价七十七文为二率，多一十三万四千六百八十五文为三率，得四率二十五万二千九百四十五文，以六十三除之，得四千零一十五文，即栗之共价。于共钱四千九百九十五文内减之，余九百八十文，即枣之共价。如以四十一文为一率，枣价三十六文为二率，少七万零三百一十五文为三率，得四率六万一千七百四十文，以六十三除之，得九百八十文，亦即枣之共价也。此法《九章》名为贵贱相和，盖因栗九枚枣七枚其数不同故用互乗以齐其分，得栗六十三枚，价七十七文；枣六十三枚，价三十六文。今以六十三枚当一枚，则为栗一枚价七十七文，枣一枚价三十六文。是其价各加六十三倍，故将縂钱亦加六十三倍，即为栗枣共五千枚，共价三十一万四千六百八十五文。而栗一枚比枣一枚其价相差四十一文，是知栗价比枣价多四十一文，而栗为一枚，今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文，则栗必为三千二百八十五枚也。又枣价比栗价少四十一文，而枣为一枚，今共价比栗价少七万零三百一十五文，则枣必为一千七百一十五枚也。其先求各价者，盖因栗价比枣价多四十一文，而栗价为七十七文，今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文，则栗价少为二十五万二千九百四十五文。因各价皆为加六十三倍，故以六十三除之，得四千零一十五文为栗之共价也。又枣价比栗价少四十一文，而枣价为三十六文，今共价比栗价少七万零三百一十五文，则枣价必为六万一千七百四十文，亦以六十三除之，得九百八十文为枣之共价也。

又法，以枣七枚，栗九枚，共五千枚，列于上。枣价四文，栗价十一文，共价四千九百九十五文，列于下。乃以下枣价四文，遍乗上枣七枚，栗九枚，共五千枚，得枣二十八枚，栗三十六枚，共二万枚。又以上枣七枚，遍乗下枣价四文，栗价十一文，共价四千九百九十五文，得枣价二十八文，栗价七十七文，共价三万四千九百六十五文。两下相较，则枣数与枣价同为二十八，彼此减尽。枣价比栗数多四十一，共价比共数多一万四千九百六十五。爰以多四十一为一率，栗九枚为二率，多一万四千九百六十五为三率，得四率三千二百八十五枚，即栗数。于五千枚内减之，余一千七百一十五枚，即枣数。如以栗价十一文为二率，得四率四千零一十五文，即栗之共价。于四千九百九十五文内减之，余九百八十文，即枣之共价也。若欲先得枣数，则以栗九枚价十一文移于前，枣七枚价四文移于后。乃以下栗价十一文，遍乗上栗九枚，枣七枚，共五千枚，得栗九十九枚，枣七十七枚，共五万五千枚。又以上栗九枚，遍乗下栗价十一文，枣价四文，共价四千九百九十五文，得栗价九十九文，枣价三十六文，共价四万四千九百五十五文。两下相较，则栗数与栗价同为九十九，彼此减尽。枣价比枣数少四十一，共价比共数少一万零四十五。爰以少四十一为一率，枣七枚为二率，少一万零四十五为三率，得四率一千七百一十五枚，即枣数。如以枣价四文为二率，得四率九百八十文，即枣之共价也。此法与方程互乗齐分之理同。其先求栗数而以枣数列于前者，盖将枣数栗数共数皆加四倍，枣价栗价共价皆加七倍，则枣数与枣价相同，是为每枣一枚价一文。夫枣数与枣价既相同而减尽无余，则枣栗共数内之共枣数与枣栗共价内之共枣价亦必相同而减尽无余，所余者即为共栗价多于共栗数之较，是比每栗一枚价一文所多之数。是知栗价比栗数多四十一文，而栗为九枚，栗价为十一文。今共栗价比共栗数多一万四千九百六十五文，则栗必为三千二百八十五枚，栗价必为四千零一十五文也。其先求枣数而以栗数列于前者，盖将栗数、枣数共数皆加十一倍，栗价、枣价共价皆加九倍，则栗数与栗价相同，是为每栗一枚价一文。夫栗数与栗价既相同而减尽无余，则栗枣共数内之共栗数与栗枣共价内之共栗价亦必相同而减尽无余，所余者即为共枣价少于共枣数之较，是比每枣一枚价一文所少之数。是知枣价比枣数少四十一文，而枣为七枚，枣价为四文。今共枣价比共枣数少一万零四十五文，则枣必为一千七百一十五枚，枣价必为九百八十文也。设如，有僧一百人，给馒首一百个，大僧一人给三个，小僧三人给一个，问大小僧数及各得馒首若干？

法先用互乗，以齐其分。以大僧一人与小僧三人相乗，得三人为乗出之縂僧数，即以三人乗馒首一百个，得三百个，为乗出之共馒首数。又以小僧三人乗大僧馒首三个，得九个，为乗出之大僧馒首数。以大僧一人乗小僧馒首一个，仍得一个，为乗出之小僧馒首数。然后以共僧一百人与大僧馒首九个相乗，得九百个，与乗出之共馒首三百个相较，则共馒首少六百个。又以共僧一百人与小僧馒首一个相乗，得一百个，与乗出之共馒首三百个相较，则共馒首多二百个。乃以大僧馒首九个与小僧馒首一个相减，余八个为一率，一人为二率，多二百个为三率，得四率二十五人，即大僧数。于共僧一百人内减之，余七十五人，即小僧数。如以少六百个为三率，得四率七十五人，亦即小僧数也。既得僧数，则以一人为一率，三个为二率，大僧二十五人为三率，得四率七十五个，即大僧馒首数。又以三人为一率，一个为二率，小僧七十五人为三率，得四率二十五个，即小僧馒首数也。如欲先得馒首数，则仍以八个为一率，大僧馒首九个为二率，今多二百个为三率，得四率二百二十五个，三归之得七十五个，即大僧馒首数。于共馒首一百个内减之，余二十五个，即小僧馒首数。如以八个为一率，小僧馒首一个为二率，今少六百个为三率，得四率七十五个，三归之得二十五个，亦即小僧馒首数也。此法用互乗，得大僧三人馒首九个，小僧三人馒首一个。今以三人当一人，则为大僧一人馒首九个，小僧一人馒首一个。是馒首为加三倍，故将共馒首亦加三倍，即为共僧一百人，共馒首三百个。而大僧一人比小僧一人馒首差八个，是知多八个而大僧为一人，今多二百个，则大僧必为二十五人也。又少八个而小僧为一人，今少六百个，则小僧必为七十五人也。其先求馒首者，因多八个而大僧馒首为九个，今多二百个，则大僧馒首必为二百二十五个，因馒首为加三倍，故以三归之，得七十五个为大僧馒首数。又少八个而小僧馒首为一个，今少六百个，则小僧馒首必为七十五个，亦以三归之，得二十五个为小僧馒首数也。

又法以小僧三人大僧一人共僧一百人列于上小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个列于下乃以下小僧馒首一个遍乗上小僧三人大僧一人共僧一百人仍得原数又以上小僧三人遍乗下小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个得小僧馒首三个大僧馒首九个共馒首三百个两下相较则小僧人数与馒首数同为三彼此减尽大僧馒首数比人数多八共馒首数比共人数多二百爰以多八为一率大僧一人为二率多二百为三率得四率二十五人即大僧数于共一百人内减之余七十五人即小僧数如以大僧馒首三个为二率得四率七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数也若欲先得小僧数则以大僧一人馒首三个移于前小僧三人馒首一个移于后乃以下大僧馒首三个遍乗上大僧一人小僧三人共僧一百人得大僧三人小僧九人共僧三百人又以上大僧一人遍乗下大僧馒首三个小僧馒首一个共馒首一百个仍得原数两下相较则大僧与大僧馒首同为三彼此减尽小僧馒首数比人数少八共僧馒首数比共人数少二百爰以少八为一率小僧三人为二率少二百为三率得四率七十五即小僧人数如以小僧馒首一个为二率得四率二十五个即小僧馒首数也此法先求大僧数而以小僧列于前者盖将小僧馒首大僧馒首共僧馒首数皆加三倍则小僧人数与馒首数相同是为每小僧一人馒首一个夫小僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共小僧数与共馒首数内之共小僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为大僧共馒首数多于共人数之较是比每大僧一人馒首一个所多之数是知馒首比人数多八个而大僧为一人，大僧馒首为三个。今馒首比人数多二百个，则大僧必为二十五人，大僧馒首必为七十五个也。其先求小僧数，而以大僧列于前者，盖将大僧小僧共僧数皆加三倍，则大僧数与馒首数相同，是为每大僧一人，馒首一个。夫大僧数与馒首数既相同而减尽无余，则共僧数内之共大僧数与共馒首数内之共大僧馒首数亦必相同而减尽无余，所余者即为小僧馒首数少于小僧数之较，是比每小僧一人，馒首一个所少之数。是知少八个，而小僧为三人，小僧馒首为一个。今少二百个，则小僧必为七十五人，小僧馒首必为二十五个也。设如，有豆三十三石，共换黄米、京米一十九石。止云每黄米三石值豆一石，每京米一石值豆三石。问二色米各得防何法先用互乗以齐其分，以黄米三石与京米一石相乗，得三石为乗出之共米数，即以三石乗共豆三十三石，得九十九石为乗出之共豆数，以京米一石乗豆一石，仍得一石为乗出黄米所值之豆数，以黄米三石乗豆三石，得九石为乗出京米所值之豆数，然后以共米一十九石用黄米值豆一石乗之，仍得一十九石，与乗出之共豆九十九石相较，则共豆多八十石，又以共米一十九石用京米值豆九石乗之，得一百七十一石，与乗出之共豆九十九石相较，则共豆多七十二石，乃以黄米值豆一石与京米值豆九石相减，余八石为一率，一石为二率，少七十二石为三率，得四率九石，即黄米数，于共米十九石内减之余十石，即京米数，如以多八十石为三率，得四率十石，亦即京米数也，此法用互乗得黄米三石值豆一石，京米三石值豆九石，今以米三石当一石，则为黄米一石值豆一石，京米一石值豆九石，是豆为加三倍，故将共豆亦加三倍，即为共米一十九石，共豆九十九石，而黄米一石比京米一石所值豆差八石，是知豆少八石而黄米为一石，今少七十二石，则黄米必为九石也，又豆多八石而京米为一石，今多八十石，则京米必为十石也。

又法以黄米三石，京米一石，共米一十九石，列于上；黄米值豆一石，京米值豆三石，共豆三十三石，列于下。乃以下黄米值豆一石，遍乗上黄米三石，京米一石，共米一十九石，仍得原数。又以上黄米三石，遍乘下黄米值豆一石，京米值豆三石，共豆三十三石，得黄米值豆三石，京米值豆九石，共豆九十九石。两下相较，则黄米与所值豆同为三石，彼此减尽；京米所值豆比京米多八石，共豆比共米多八十石。爰以多八石为一率，京米一石为二率，多八十石为三率，得四率十石，即京米数。于共米一十九石内减之，余九石，即黄米数也。如先求黄米数，则以京米一石值豆三石，移于前；黄米三石值豆一石，移于后。乃以京米值豆三石，遍乗上京米一石，黄米三石，共米一十九石，得京米三石，黄米九石，共米五十七石。又以上京米一石，遍乗下京米值豆三石，黄米值豆一石，共豆三十三石，仍得原数。两下相较，则京米与所值豆俱为三石，彼此减尽；黄米所值豆比黄米少八石，共豆比共米少二十四石。爰以少八石为一率，黄米三石为二率，少二十四石为三率，得四率九石，即黄米数也。此法先求京米数而以黄米列于前者，盖将京米所值豆数，黄米所值豆数，共米所值豆数，皆加三倍，则黄米数与所值豆数相同，是为每黄米一石值豆一石。夫黄米数与所值豆数既相同而减尽无余，则共米数内之共黄米数，与共豆数内之共黄米所值豆数，亦必相同而减尽无余，所余者即为共京米所值豆数多于共京米之较，是比每京米一石值豆一石所多之数。是知豆比米多八石而京米为一石，今豆比米多八十石，则京米必为十石也。其先求黄米数而以京米列于前者，盖将京米、黄米、共米皆加三倍，则京米数与所值豆数相同，是为每京米一石值豆一石，夫京米数与所值豆数既相同，而减尽无余，则共米数内之共京米数与共豆数内之共京米所值豆数亦必相同，而减尽无余。所余者，即为黄米所值豆数，比黄米所少之较，是比每黄米一石值豆一石所少之数。是知豆比米少八石，而黄米为三石。今豆比米少二十四石，则黄米必为九石也。设如，有船桅共五十七，桨共二百零四。但知大船毎只三桅六桨，小船每只一桅八桨。问大小船数各若干？法先用互乗以齐其分，以大船三桅与小船一桅相乗，得三桅为乗出之共桅数，即以三桅乗共桨二百零四，得六百一十二为乗出之共桨数，以小船一桅乗大船六桨，仍得六桨为乗出大船之桨数，以大船三桅乗小船八桨，得二十四桨为乗出小船之桨数，然后以共桅五十七用大船六桨乗之，得三百四十二，与乗出之共桨六百一十二相较，则共桨多二百七十，又以共桅五十七用小船二十四桨乘之，得一千三百六十八，与乗出之共桨六百一十二相较，则共桨少七百五十六，乃以大船六桨与小船二十四桨相减，余十八桨为一率，一桅为二率，少七百五十六桨为三率，得四率四十二，即大船桅数，三归之得十四，即大船数也，于共桅五十七内减大船桅数，余十五，即小船桅数，亦即小船数，如以得二百七十桨为三率，得四率十五，亦即小船桅数也，此法用互乗得大船三桅六桨，小船三桅二十四桨，今以三桅当一桅，则为大船一桅六桨，小船一桅二十四桨，是桨为加三倍，故将共桨亦加三倍，即为共五十七桅，共六百一十二桨，而大船一桅比小船一桅差十八桨，是知少十八桨而大船为一桅，今少七百五十六桨，则大船必为四十二桅也，多十八桨而小船为一桅，今多二百七十桨，则小船必为十五桅也。

又法以小船一桅，大船三桅，共五十七桅，列于上；小船八桨，大船六桨，共二百零四桨，列于下。乃以下小船八桨遍乗上小船一桅，大船三桅，共五十七桅，得小船八桅，大船二十四桅，共四百五十六桅。又以上小船一桅遍乗下小船八桨，大船六桨，共二百零四桨，仍得原数。两下相较，则小船桅与桨同为八，彼此减尽；大船桅比桨多十八，共桅比共桨多二百五十二。爰以多十八为一率，大船三桅为二率，多二百五十二为三率，得四率四十二桅，即大船桅数。三归之，得十四，即大船数。于五十七桅内减去大船四十二桅，余十五桅，即小船桅数，亦即小船数也。如欲先得小船数，则以大船三桅六桨移于前，小船一桅八桨移于后。乃以下大船六桨遍乗上大船三桅，小船一桅，共五十七桅，得大船十八桅，小船六桅，共三百四十二桅。又以上大船三桅遍乗下大船六桨，小船八桨，共二百零四桨，得大船十八桨，小船二十四桨，共六百一十二桨。两下相较，则大船桅与桨同为十八，彼此减尽；小船桅比桨少十八，共桅比共桨少二百七十。爰以少十八为一率，小船一桅为二率，少二百七十为三率，得四率十五桅，即小船桅数，亦即小船数也。此法先求大船桅数而以小船列于前者，盖将小船桅数、大船桅数、共船桅数皆加八倍，则小船桅数与桨数相同，是为毎小船一桅一桨。夫小船桅数与桨数既相同而减尽无余，则共桅数内之小船共桅数与共桨数内之小船共桨数亦必相同而减尽无余，所余者即为大船共桅数多于大船共桨数之较，是比每大船一桅一桨所多之数。是知多十八桅而大船为三桅，今多二百五十二桅，则大船必为四十二桅也。其先求小船桅数而以大船桅数列于前者，盖将大船桅数、小船桅数、共船桅数皆加六。倍桨数皆加三倍，则大船桅数与桨数相同，是为大船一桅一桨。夫大船桅数与桨数既相同而减尽无余，则共桅数内之大船共桅数与共桨数内之大船共桨数亦必相同而减尽无余，所余者即为小船共桅数少于小船共桨数之较。是比每小船一桅一桨所少之数，是知少十八桅而小船为一桅，今少二百七十桅，则小船必为十五桅也。设如，有银八十七两，按饭银、马银二项分给众人。但知三人共给二两饭银，七人共给五两马银，问人数及二项银数各若干？法以三人与七人相乗得二十一人，又以三人乗马银五两得一十五两，七人乗饭银二两得一十四两，爰以十四两与十五两相并得二十九两为一率，二十一人为二率，共银八十七两为三率，得四率六十三人，即共人数也。既得其人数，则以三人为一率，饭银二两为二率，共六十三人为三率，得四率四十二两为饭银数，于共银八十七两内减之余四十五两，即马银数。

如以七人为一率，马银五两为二率，共六十三人为三率，得四率四十五两，亦即马银数也。盖三人给饭银二两，则二十一人必给饭银十四两，七人给马银五两，则二十一人必给马银十五两。夫二十一人既给饭银十四两，马银十五两，是二十一人共给银二十九两矣。是知有二十九两为二十一人，今有八十七两，则必为六十三人也。又三人共给饭银二两，则六十三人必共给饭银四十二两，七人共给马银五两，则六十三人必共给马银四十五两也。设如赏人饭肉共用碗一百，但知二人共饭一碗，三人共肉一碗，问共人数及二项各用碗若干？法以二人与三人相乗，得六人。又以二人乗肉一碗，得二碗；三人乗饭一碗，得三碗。爰以三碗、二碗相并，得五碗为一率，六人为二率，共碗一百为三率，得四率一百二十人，即共人数也。既得共人数，则以二人为一率，饭碗一为二率，共一百二十人为三率，得四率六十为饭碗数，于共碗一百内减之余四十，即肉碗数。如以三人为一率，得四率四十，亦即肉碗数也。此法因二人共饭、三人共肉其数不同，故用互乗以齐其分。盖二人共饭一碗，则六人必共饭三碗；三人共肉一碗，则六人必共肉二碗。夫六人既共饭三碗、共肉二碗，是六人共用五碗矣。是知有五碗为六人，今有一百碗，则必为一百二十人也。又二人共饭一碗，则一百二十人必共饭六十碗；三人共肉一碗，则一百二十人必共肉四十碗也。设如，有兵三千四百七十四名，每三人给衫绢七十尺，每四人给裤绢五十尺，问縂绢若干？法以三人与四人相乗得十二人，又以三人乗裤绢五十尺得一百五十尺，四人乗衫绢七十尺得二百八十尺。爰以十二人为一率，二百八十尺与一百五十尺相并得四百三十尺为二率，兵三千四百七十四名为三率，得四率一十二万四千四百八十五尺为共绢数也。此法与前同，但前法以共银数求共人数，故以银数为一率，人数为二率；此法以共人数求共绢数，故以人数为一率，绢数为二率，其比例之理一也。设如赏人茶饭酒共用碗一千三百三十八，但知三人共茶二碗，五人共酒三碗，七人共饭六碗，问共人数及三项各用碗若干？法先以三人茶二碗，五人酒三碗，互乗。以三人与五人相乗，得一十五人。又以三人乗酒三碗，得九碗；五人乗茶二碗，得十碗。是为十五人共用茶酒十九碗。复与七人饭六碗互乗。以十五人与七人相乗，得一百零五人。又以十五人乗饭六碗，得九十碗；七人乗茶酒共十九碗，得一百三十三碗。爰以一百三十三碗与九十碗相并，得二百二十三碗为一率，一百零五人为二率，共碗一千三百三十八为三率，得四率六百三十人，即共人数也。

既得共人数，乃以三人为一率，茶碗二为二率，共六百三十人为三率，得四率四百二十为茶碗数。又以五人为一率，酒碗三为二率，共六百三十人为三率，得四率三百七十八为酒碗数。又以七人为一率，饭碗六为二率，共六百三十人为三率，得四率五百四十为饭碗数也。此法因用碗三项，故用两次互乗，以齐其分，得一百零五人应用三项碗共二百二十三，是知有二百二十三碗为一百零五人。今有一千三百三十八碗，则必为六百三十人也。既得共人数，则以各项分数比例求之，即得各项碗之共数矣。设如，有灯大小二防。大灯居小灯三分之二。但知大灯三盏用油四两，小灯四盏用油三两。共用油十八斤零七两。问大小灯数各若干？法以大灯三盏与小灯四盏相乗得十二盏，又以小灯四盏乗大灯用油四两，得大灯用油十六两；以大灯三盏乗小灯用油三两，得小灯用油九两。又将大灯用油十六两二因之【大灯二分故用二因】得三十二两；将小灯用油九两三因之【小灯三分故用三因】得二十七两。二数相并得五十九两为一率，十二盏为二率，共油十八斤七两通为二百九十五两为三率，得四率六十盏为灯一分之数。二因之得一百二十盏，即大灯数；三因之得一百八十盏，即小灯数也。此法因有▯分而互乗所得之十二盏为一分之衰数，又因共油数为大灯二分、小灯三分之共数，故亦二因十六两、三因九两，并之为五分之衰数。是知油五分之衰数五十九两与灯一分之衰数十二盏之比，即同于五分共油二百九十五两与一分灯数六十盏之比也。既得一分为六十盏，故二因之得大灯数，三因之得小灯数也。设如，有银二十五两三钱，买铜、鐡二色，其重相防。鐡三斤，价四钱；铜二斤，价五钱。问斤数及各价防？何法？以鐡三斤与铜二斤相乗，得六斤。又以铜二斤乗鐡价四钱，得八钱；以鐡三斤乗铜价五钱，得一两五钱。乃以八钱与一两五钱相并，得二两三钱为一率，六斤为二率，縂银二十五两三钱为三率，得四率六十六斤为铜鐡相防之斤数。又以鐡三斤为一率，价四钱为二率，今鐡六十六斤为三率，得四率八两八钱，即鐡价。于共银二十五两三钱内减之余，十六两五钱，即铜价。如以铜二斤为一率，价五钱为二率，今铜六十六斤为三率，得四率十六两五钱，亦即铜价也。盖鐡三斤价四钱，则六斤价八钱；铜二斤价五钱，则六斤价一两五钱。是铜鐡各六斤，而共价为二两三钱。故以二两三钱与各六斤之比，即同于共价二十五两三钱与各六十六斤之比也。既得各斤数，则以各价比例求之，即得各价数矣。设如，有米九百石，令甲乙二处各因米价贵贱纳之，其所纳之银适相等。

甲处米价，每石五钱；乙处米价，每石七钱。问各米数及共价数防何？法以乙七钱乗甲一石得七石，以甲五钱乗乙一石得五石。乃以七石与五石相并得十二石为一率，以甲七石为二率，縂米九百石为三率，得四率五百二十五石，即甲处纳米之数。于九百石内减之，余三百七十五石，即乙处纳米之数。如以乙五石为二率，得四率三百七十五石，亦即乙处纳米之数。以甲五百二十五石与每石价五钱相乗，得二百六十二两五钱；以乙三百七十五石与每石价七钱相乗，亦得二百六十二两五钱。是其所纳之银数适相防也。盖甲处每石价五钱，则七石之价为三两五钱；乙处每石价七钱，则五石之价亦为三两五钱，其价相防。是十二石之中，甲应七石，乙应五石。故以十二石与甲七石之比，即同于縂米九百石与甲五百二十五石之比；又十二石与乙五石之比，即同于縂米九百石与乙三百七十五石之比也。设如空车一日行三十里，重车一日行二十里。今载米至仓，徃返足一日，问距仓路逺防何？法以空车行三十里，与重车行二十里，相乗得六百里。又以重车行二十里，乗空车一日得二十日。以空车行三十里，乗重车一日得三十日。乃以二十日与三十日相并，得五十日为一率，六百里为二率，一日为三率，得四率一十二里，即距仓之里数也。盖空车一日行三十里，则二十日行六百里；重车一日行二十里，则三十日亦行六百里。一徃一返共五十日，是知五十日徃返六百里，则今一日必徃返十二里也。设如重车一日行五十里，轻车一日行七十五里。今载米至仓，五日徃返三次，问距仓里数？防何法？以重车行五十里与轻车行七十五里相乗，得三千七百五十里。又以轻车行七十五里乗重车一日，得七十五日。以重车行五十里乗轻车一日，得五十日。乃以七十五日与五十日相并，得一百二十五日为一率，三千七百五十里为二率，五日为三率，得四率一百五十里，即五日徃返之里数。以三次除之，得五十里，即距仓之里数也。此法与前法同，前法一日徃返一次，故所得即距仓之里数。此法五日徃返三次，故所得为徃返三次之里数，是以用三次除之而得距仓之里数也。

御制数理精蕴下编卷七

钦定四库全书