御制数理精蕴下编卷八

御制数理精蕴下编卷八

线部六盈朒【单法　双套】

盈朒盈有余也，朒不足也。设有余不足以求适中，亦为因较而得正数之法，此固比例法也。但比例以实数求实数，而盈朒则以虚数求实数。然虚数皆与实数相较而生，盈朒之差则虚数亦实数也。比例以所有之三率求所余之一率，而盈朒则所有为两数，且两数之中各藏一数，其实亦三率也。其间有一盈一朒者，则以两数相加为相较之率；有两盈或两朒者，则以两数相减为相较之率；有一盈一适足，或一朒一适足者，则无可加减，而或盈或朒之数即其较也。法不一致，惟在相较以得其差，理本一原，惟在互比以得其实，错综变幻，其用不穷。所谓以实御虚，和较互见者，庶防尽于此矣。

一盈一朒设如有人分银，不知人数，亦不知银数，只云每人七两分之，则余四两；每人九两分之，则少十二两。问人数及银数各若干？法以七两与九两相减，余二两为一率，一人为二率，盈四两与朒十二两相加，共十六两为三率，推得四率八，即为人数。以八人与每人七两相乗，得五十六两，加盈四两，得六十两，即为银数。或以八人与每人九两相乗，得七十二两，减朒十二两，余六十两，亦为银数也。此法盖因前设分七两，后设分九两，是每一人多分二两也。然每人分七两，则縂银盈四两；每人分九两，则縂银朒十二两，是盈朒相差共十六两矣。夫一人多分二两，而縂银差十六两，则二两为一人之所多，而十六两为八人之所多，可知矣。故二两与一人之比，同于十六两与八人之比，而为比例四率也。既得人数，以每人七两计之，则八人应得五十六两，因银尚余四两，故加四两，得六十两为银数也。若以每人九两计之，则八人应得七十二两，因银少十二两，故减十二两，余六十两为银数也。此先得人数之法也。又先得银数之法，用互乗以齐其分，以九两乗盈四两为加九倍，得盈三十六两；以七两乗朒十二两为加七倍，得朒八十四两。相加得一百二十两为二率，七倍与九倍相减余二倍为一率，一倍为三率，推得四率六十两，即为银数。既得银数，则于六十两内减盈四两，余五十六两，以每人七两除之，得八为人数；或于六十两加朒十二两，共七十二两，以每人九两除之，亦得八为人数也。此法以九两互乗盈四两者，将盈四两加九倍也。盈四两加九倍，则为盈三十六两。既以盈数加九倍，则縂银数与所分七两亦皆当加九倍，七两加九倍，则为六十三两。是则九倍之縂银，每人六十三两分之，盈三十六两也。以七两互乗朒十二两者，将朒十二两加七倍也。朒十二两加七倍，则为朒八十四两。既以朒数加七倍，则縂银数与所分九两亦皆当加七倍，九两加七倍，则亦为六十三两。是则七倍之縂银，每人六十三两分之，朒八十四两也。夫每人既皆分六十三两，则是所分之加倍共银数亦必相同。然九倍银数则盈，七倍银数则朒。因九倍比七倍多二倍，是盈朒相加之一百二十两，即此二倍之银数也。知二倍为一百二十两，即知一倍之为防何矣。故以二为一率，一百二十两为二率，一为三率，推得四率六十两为银数也。既得银数，则于六十两内减盈四两，余五十六两，即为分七两者之共数，而以七两除之，得八人；或于六十两加朒十二两，得七十二两，即为分九两者之共数，而以九两除之，亦得八人也。此先得银数之法也。又法，将盈四两与朒十二两相加，得十六两为一率；七两与九两相减，余二两为二率；盈四两为三率，得四率五钱。

与所分七两相加，得七两五钱为每人应得之数。又以五钱除盈四两，得八为人数。或仍以十六两为一率，二两为二率，以朒十二两为三率，得四率一两五钱。与所分九两相减，亦得七两五钱为每人应得之数。又以一两五钱除朒十二两，亦得八为人数。以八人与每人七两五钱相乗，得六十两为银数也。此法盖因九两与七两相较差二两，盈四两与朒十二两相并为十六两，是縂银盈朒共差十六两，由于每人之多二两也。今银尚盈四两，则每人分七两者，其每一分应多五钱而为七两五钱矣。故十六两与二两之比，同于四两与五钱之比，而为比例四率也。且一人多五钱而共多四两，则其为八人可知矣。故五钱与一人之比，同于四两与八人之比，亦为比例四率也。若以朒数论之，则縂银共差十六两者，由于每人少二两。今银朒十二两，则每人分九两者，其每一分应少一两五钱而为七两五钱矣。且一人少一两五钱而共少十二两，则其为八人又可知矣。既得人数，则以八人与每人七两五钱相乗，得六十两而为縂银数也。此先得每一人所得银数之法也。要之，第一法先求人数，第二法先求物价，第三法先求适足之数，立法虽各不同，而各先得其一，一得而无不得者，实由于理之一贯者也。设如众人共出银买物，不知人数，亦不知物价。只云每人出银四两，则不足四两；每人出银六两，则多六两。问人数及物价各若干？法以出四两与出六两相减，余二两为一率，一人为二率，朒四两与盈六两相加，共十两为三率，推得四率五，即为人数。以五人与每人四两相乗，得二十两，加朒四两，共得二十四两，即为物价。或以五人与每人六两相乗，得三十两，减盈六两，亦得二十四两为物价也。此法盖因前设出四两，后设出六两，是每一人多出二两也。然出四两则朒四两，出六两则盈六两，是盈朒相差共多十两矣。夫一人多出二两，而縂价即多十两，则二两为一人之所多，而十两为防人之所多，可知矣。故以比例四率求之，而得五人也。既得人数，以每人出四两计之，则五人应出二十两，因于物价朒四两，故加四两，得二十四两为物价。若以每人出六两计之，则五人应出三十两，因于物价盈六两，故减六两，亦得二十四两为物价也。此法与首题第一法盈朒之加减不同者，首题以共人所分共银为问，故分少则縂银必盈，分多则縂银必朒，其所谓盈朒者，乃银数之盈朒，故得人数与分银数相乗，加盈减朒而得银数也。此以共人所出共银为问，故出少则比物价为朒，出多则比物价为盈，其所谓盈朒者，乃出数之盈朒，故得人数与出银数相乗，减盈加朒而得物价也。法縂一理，但加减盈朒之间少不同耳。

又先得银数之法，以六两乗朒四两为加六倍，得朒二十四两；以四两乗盈六两为加四倍，得盈二十四两。相加得四十八两为二率，四倍与六倍相减余二倍为一率，一倍为三率。推得四率二十四两，即为物价。既得物价，则于二十四两内减朒四两，余二十两，以每人四两除之，得五，即为人数；或于二十四两加盈六两，共三十两，以每人六两除之，亦得五为人数也。此法盖将朒四两加六倍为二十四两，则物价亦当加六倍而出，四两者亦必加六倍而为出二十四两矣。将盈六两加四倍为二十四两，则物价亦当加四倍而出，六两者亦必加四倍而为出二十四两矣。夫每人同出二十四两，则其加倍共出之数亦必相同，然比六倍物价则朒，比四倍物价则盈者，因六倍比四倍多二倍，是盈朒相差之四十八两即二倍物价也。故以二为一率，四十八两为二率，一为三率，推得四率二十四两为物价也。既得物价，则于二十四两减朒四两，余二十两，即为出四两者所共出之数，而以四两除之，得五人；或于二十四两加盈六两，共三十两，即为出六两者所共出之数，而以六两除之，亦得五人也。又法将朒四两与盈六两相加共十两为一率，将出四两与出六两相减，余二两为二率，朒四两为三率，得四率八钱，与出四两相加得四两八钱，为每人应出之数。又以八钱除朒四两，得五为人数。或仍以十两为一率，二两为二率，盈六两为三率，得四率一两二钱，于出六两内减之，余四两八钱，亦为每人应出之数。又以一两二钱除盈六两，亦得五为人数。以五人与四两八钱相乗得二十四两为物价也。此法盖因盈朒之相差十两，由于每人之多二两，今欲补足所朒之四两，则每人应多八钱；若欲损所盈之六两，则每人应少一两二钱。故十两与二两之比，同于四两与八钱之比，亦同于六两与一两二钱之比也。且一人多八钱，即益所朒之四两；一人减一两二钱，即损所盈之六两，则其为五人也可知矣。既得人数，则以五人与每人四两八钱相乗得二十四两而为物价之縂银也。设如众人乗船渡河，每一船载十三人，则余十二人；若每一船载十八人，则余一船。问共人数及船数各若干？法以余十二人为盈，十二人余一船为朒，十八人乃以每船所载十三人与每船所载十八人相减，余五人为一率，一船为二率，盈十二人与朒十八人相加，共三十人为三率，推得四率六，即为船数。以六船与每船载十三人相乗，得七十八人，加盈十二人，得九十为人数。或以六船与每船十八人相乗，得一百零八人，减朒十八人，亦余九十为人数也。盖每一船多载五人，而盈朒相差为三十人，故五人与一船之比，同于三十人与六船之比也。

以每船十三人计之，六船共载七十八人，加无船之十二人，共九十人。以每船十八人计之，六船应载一百零八人，因一船无人，则减去十八人，余九十人，或减一船余五船与十八人相乗，亦得九十人也。又先得人数之法，以每船载十八人，乗盈十二人为加十八倍，得盈二百一十六人。又以每船载十三人，乗朒十八人为加十三倍，得朒二百三十四人。二数相加得四百五十人为二率，以十三倍与十八倍相减，余五倍为一率，一倍为三率，推得四率九十，即为人数。减盈十二人，余七十八人，以每船十三人除之，得六为船数。或于九十人加朒十八人，共一百零八人，以每船十八人除之，亦得六为船数也。盖十八人与十三人互乗，皆得二百三十四人，而十二人加十八倍，则共人数之加十八倍者为每船二百三十四人，余二百一十六人也。若以十八人加十三倍，则共人数之加十三倍者为每船二百三十四人，又少二百三十四人也【二百三十四人为一船所载之人分】十八倍比十三倍多五倍，是盈朒相差之共四百五十人，即五倍人数，故五倍与四百五十人之比，即如一倍与九十人之比也。既得人数减去所余之十二人，以每船十三人除之，得船数，或加一船之十八人，以每船十八人除之，亦得船数焉。又法将盈十二人与朒十八人相加得三十人为一率，十三人与十八人相减余五人为二率，盈十二人为三率，得四率二人。与每船十三人相加得十五人为每船应载之数。又以二人除盈十二人，得六为船数。或仍以三十人为一率，五人为二率，以朒十八人为三率，得四率三人。与每船十八人相减余十五人为每船应载之数。又以三人除十八人，亦得六为船数。以六船与每船十五人相乗，得九十为人数也。盖盈朒之相差三十人，由每船多五人。今欲合载所盈之十二人，则每船十三人者应加二人而为十五人。欲分载所朒之十八人，则每船十八人者应减三人而为十五人也。且一船加二人，即合载十二人；一船减三人，即分载十八人。则其为六船，也可知矣。

两盈设如有人分果，不知人数，亦不知果数，只云：「每人十二枚，盈十二枚；每人十三枚，盈六枚。」问人数与果数各若干？法以每人十二枚与十三枚相减，余一枚为一率，一人为二率；以盈六枚与盈十二枚相减，余六枚为三率，推得四率六为人数。以六人与十二枚相乗，得七十二枚，加盈十二枚，得八十四枚为果数。若以六人与十三枚相乗，得七十八枚，加盈六枚，亦得八十四枚为果数也。盖一人多一枚，而两盈相差六枚，其为六人可知。故凡所分之数相减余一者，其盈朒之差即人数也。又先得果数之法，以十三枚乗盈十二枚，为加十三倍，得盈一百五十六枚；以十二枚乗盈六枚，为加十二倍，得盈七十二枚。相减余八十四枚为二率，十二倍与十三倍相减余一倍为一率。仍以一倍为三率，推得四率八十四枚为果数。内减盈十二枚，余七十二枚，以每人十二枚除之，得六为人数。若于八十四枚减盈六枚，余七十八枚，以每人十三枚除之，亦得六为人数也。盖十二倍比十三倍差一倍，则盈朒相差八十四枚，即一倍之果数。故凡互乗差一倍者，则互乗所得盈朒之差即为縂数。既得人数，又得縂数，则以人数除縂数，即得每人所分之数矣。又法，以两盈数相减为一率，互乗所得之两盈数相减为二率，一人为三率，得四率，即为每人所应得之数也。此题前二法，固以两盈相减即为人数，互乗所得两盈相减即为縂数，盖因十二与十三相减余一数故也。其或余防数者，亦即为防倍人数，或为防倍縂数，其以人数除縂数，即同于以防倍人数除防倍縂数也。设如，有缎一疋，欲作新帐幔一架，先折作六幅，每幅比旧制长一尺二寸；后折作七幅，每幅比旧制长二寸。问缎之长及旧帐之长各若干？法以长一尺二寸，用六幅，因之得盈七尺二寸；以长二寸，用七幅，因之得盈一尺四寸。乃以六幅与七幅相减，余一幅为一率；一尺四寸与七尺二寸相减，余五尺八寸为二率；一幅为三率，推得四率五尺八寸为旧帐之长，加盈一尺二寸，共七尺，以六幅乗之，得四十二尺为缎之长也【若于五尺八寸加二寸得六尺，以七幅乗之亦得四十二尺】盖折作六幅，每幅盈一尺二寸，是六幅共盈七尺二寸也；折作七幅，每幅盈二寸，是七幅共盈一尺四寸也。七幅比六幅多一幅，而两盈相差五尺八寸，且两盈之数皆比旧帐为盈，则五尺八寸为旧帐之长可知矣。既得旧帐之数，则加一尺二寸而以六幅乗之，即得缎之长数也；或以六幅与五尺八寸相乗，加盈七尺二寸，亦得缎之长数。盖七尺二寸者，原系六因一尺二寸所得之数，则加于旧帐而縂乗之，与各乗其数而后加之一也。若以七幅算之，其理亦同。又先得缎之长，法以七幅乗盈七尺二寸，为加七倍得盈五十尺零四寸；以六幅乗盈一尺四寸，为加六倍得盈八尺四寸，相减余四十二尺为二率；六倍与七倍相减余一倍为一率，仍以一倍为三率，推得四率四十二尺为缎之长，减盈七尺二寸，以六幅除之，得五尺八寸为旧帐之长也【若减盈一尺四寸，以七幅除之亦得五尺八寸】盖将六幅加七倍，七幅加六倍，皆得四十二幅，是七倍缎之长比旧帐四十二幅长五十尺零四寸，六倍缎之长比旧帐四十二幅长八尺四寸，是两盈相差四十二尺，即一倍缎之长也。既得缎之长，则减其共盈数而以幅数除之，即得旧帐之长；或先以幅数除之而减其每幅之盈，亦得旧帐之长也。

两朒设如，有银买马，不知银数，亦不知马数。但云：每一匹十五两，不足八十两；每一匹十三两，仍不足十六两。问马数及银数各若干？法以十三两与十五两相减，余二两为一率，一马为二率。朒十六两与朒八十两相减，余六十四两为三率，推得四率三十二为马数。以三十二匹与每匹十五两相乗，得四百八十两，减朒八十两，得四百两为银数。若以三十二匹与每匹十三两相乗，得四百一十六两，减朒十六两，亦得四百两为银数也。盖一马差二两，则縂银差六十四两，二两与一马之比，即同于六十四两与三十二马之比也。既得马数，则与每匹之价相乗而减其所朒之数，即得银数矣。又先得银数之法，以十三两乗朒八十两，为加十三倍，得朒一千零四十两；以十五两乗朒十六两，为加十五倍，得朒二百四十两。相减余八百两，为二率，十三倍与十五倍相减余二倍，为一率，一倍为三率，推得四率四百两，为银数。加朒八十两，共四百八十两，以每匹十五两除之，得三十二，为马数。或于四百两加朒十六两，共四百一十六两，以每匹十三两除之，亦得三十二，为马数也。盖将十五两加十三倍，十三两加十五倍，皆得一百九十五两，马价齐同。祗十三倍银数则朒一千零四十两，十五倍银数则朒二百四十两，是两朒相差八百两，即二倍之银数，故以四率求之而得银数也。既得银数，则加其所朒之数，以每匹之价除之，即得马数矣。设如，有米易布，不知米数，亦不知布数。但云：易布二十疋，则米少一石；易布十六疋，则米仍少二斗。问米数及布数各若干？法以十六疋与二十疋相减，余四疋为一率，二斗与一石相减，余八斗为二率，一疋为三率，推得四率二斗为布每疋所值米数。以二斗与二十疋相乗，得四石，减朒一石，余三石为米数。若以二斗与十六疋相乗，得三石二斗，减朒二斗，亦余三石为米数。既得米数，以每疋二斗除之，得十五疋为布数也。又先得米数之法，以十六疋乗朒一石为加十六倍，得朒十六石；以二十疋乗朒二斗为加二十倍，得朒四石；相减余十二石为二率，十六倍与二十倍相减余四倍为一率，一倍为三率，推得四率三石为米数，加朒一石共四石为一率，二十疋为二率，三石为三率，得四率十五疋为布数。或于三石加朒二斗共三石二斗为一率，十六疋为二率，三石为三率，亦得四率十五疋为布数也。盖二十疋加十六倍，十六疋加二十倍，皆为易布三百二十疋；而十六倍其米数则朒十六石，二十倍其米数则朒四石，是两朒相差十二石，即相差四倍之米数，故以比例求之得米数也。既得米数，则加朒一石为四石，即足易布二十疋，故四石与二十疋之比同于三石与十五疋之比也。或加朒二斗得三石二斗，即足易布十六疋，故三石二斗与十六疋之比亦同于三石与十五疋之比也。又先得布数之法，以朒二斗与朒一石相减余八斗为一率，十六疋与十二疋相减余四疋为二率，朒一石为三率，得四率五疋与二十疋相减余十五疋为布数。又以五疋为一率，朒一石为二率，十五疋为三率，推得四率三石为米数也。若仍以八斗为一率，四疋为二率，朒二斗为三率，则得四率一疋与十六疋相减亦得十五疋为布数。又以一疋为一率，二斗为二率，十五疋为三率，亦得四率三石为米数也。此法即先求适足之理，盖十五疋即适足之数也。

一盈一适足设如按户纳粮，不知户数，亦不知粮数，只云每户三升，盈六石；每户二升五，合适足？问人户及粮数各若干。法以二升五合与三升相减，余五合为一率，盈六石变为六千合为二率，一户为三率，推得四率一千二百为户数，与每户二升五合相乗，得三十石为粮数也。盖每户多五合而縂粮多六石，其为一千二百户可知，故五合与六石之比同于一与一千二百之比也【此以一户为三率者，二三率原可互易变之，以明比例之理也】既得户数，则与二升五合相乗，适足三十石之数矣。若以一千二百户与每户三升相乗，得三十六石，减盈六石，亦得三十石为粮数也。又先得粮数之法，以二升五合乗盈六石为加二十五倍【以合为单位】得盈一百五十石，以三升乗适足为加三十倍，仍得适足【盖全粮一分，每户二升五合而适足，若将全粮加三十倍为三十分，则二升五合亦当加三十倍为七斗五升，是全粮三十分，每户七斗五升，仍适足也】故即以一百五十石为二率，将二十五倍与三十倍相减，余五倍为一率，一倍为三率，推得四率三十石为粮数，以每户二升五合除之，得一千二百为户数，或加盈六石为三十六石，以每户三升除之，亦得一千二百为户数也。设如，有井不知其深，有绳不知其长。只云：将绳作三折入井，长八尺；将绳作五折入井，适足。问井深、绳长各若干？法以三折与五折相减，余二折为一率，长八尺，用三折因之，得盈二丈四尺为二率，一折为三率，推得四率一丈二尺为井深。以五折乗之，得六丈为绳长。或以三折乗之，加盈二丈四尺，亦得六丈为绳长也。盖折作三折，每折盈八尺，是三折共盈二丈四尺也。五折比三折多二折，而盈与适足，无可加减，则盈二丈四尺即为二折之数，其一折为一丈二尺矣。井深既为五折之一，故一折之数即为井深之数也。既得井深，则以五折乗之，得绳长之数，或以三折乗之，加盈二丈四尺，亦得绳长之数也。又先得绳长之法，以五折乗盈二丈四尺，为加五倍，得盈一十二丈；以三折乗适足，为加三倍，仍得适足。故即以一十二丈为二率，三倍与五倍相减，余二倍为一率，一倍为三率，推得四率六丈为绳长。以五折除之，得一丈二尺为井深；或减盈二丈四尺，余三丈六尺，以三折除之，亦得一丈二尺为井深也。

一朒一适足设如计日登程，不知日数，亦不知路程，只云每日行五十五里，则离所欲至之地，共差六十里，每日行六十里，适足。问日数及路程各若干？法以五十五里与六十里相减，余五里为一率，一日为二率，朒六十里为三率，推得四率十二为日数，与每日六十里相乗，得七百二十里为路数。若以日数十二与每日行五十五里相乗，得六百六十里，是不到六十里也，加朒六十里，亦得七百二十里也。又先得路程之法，以六十里乗朒，六十里为加，六十倍得朒三千六百里。以五十五里乗适足，为加五十五倍，仍得适足。故即以三千六百里为二率，五十五倍与六十倍相减，余五倍为一率，一倍为三率，推得四率七百二十里为路程。以每日六十里除之，得十二为日数。或于七百二十里内减朒六十里，余六百六十里，以每日五十五里除之，亦得十二为日数也。设如有直田一段，欲截一头作园，只云截长十步，不足三十二步；截长十二步，适足。问截积及原濶各若干？法以十步与十二步相减，余二步为一率，朒三十二步为二率，一步为三率，推得四率十六步为原濶，与十二步相乗，得一百九十二步为截积。或与十步相乗，加朒三十二步，亦得一百九十二步为截积也。盖长十步则少三十二步，长十二步则适足，是三十二步者，即长二步与原濶相乗之积，故以二步除之，得原濶也。既得原濶，则与截长十二步相乗，得截积；或与截长十步相乗，加朒三十二步，亦得截积也。又先得截积之法，以十二步乗朒三十二步为加十二倍，得朒三百八十四步。以十步乗适足为加十倍，仍得适足。故即以三百八十四步为二率，以十倍与十二倍相减，余二倍为一率，一倍为三率，推得四率一百九十二步为截积。以截长十二步除之，得十六步为原濶。或于一百九十二步内减朒三十二步，余一百六十步，以截长十步除之，亦得十六步为原濶也。

防套盈朒盈朒之法，皆以每人防何而盈，防何每人防何而朒，防何为问？其首数皆为一，故以一人之较与共较为比例，而得人数，即欲先求共数，不过用一互乗，以齐其分而已，故为单法。若防套，则以防人防何而盈，防何防人防何而朒，防何为问？其首数已不同，故必先用一互乗，以齐之，而后可以为比。若欲先求共数，则用两互乗，是以谓之防套。至于比例相求之理，则仍与单法同也。

一盈一朒设如有人分银，不知人数，亦不知银数，只云每四人分银三两，则盈六两；每六人分银九两，则朒三两。问人数与银数各若干？法以四人互乗九两得三十六两，以六人互乗三两得十八两，相减余十八两为一率，四人六人互乗得二十四人为二率，盈六两与朒三两相加得九两为三率，推得四率十二，即为人数。既得人数，乃以四人为一率，三两为二率，十二人为三率，推得四率九两，加盈六两得十五两，即为银数。或以六人为一率，九两为二率，十二人为三率，推得四率十八两，减朒三两亦余十五两，为银数也。此法必用互乗以齐其数者，盖单法以所分数相减为一率，一人为二率，盈朒相加为三率，今三两为四人之所分，九两为六人之所分，不可以相减而为一率也。四人与六人人数不同，不可以为二率也，所以必用互乗以齐之。一则为二十四人分十八两，虽为加六倍，其比例仍同于四人分三两也。一则为二十四人分三十六两，虽为加四倍，其比例仍同于六人分九两也。是以十八两与三十六两相减，余十八两为二十四人之所差，而盈朒差九两，即知为防人之所差，故十八两与二十四人之比，即同于九两与十二人之比也。既得人数之后，而仍用比例四率者何也？盖单法所分之银数为一人之所分，故以人数与所分之银数相乗，加盈减朒而即得縂银。今则所分之银数为四人或六人之所分，故每防人与所分防何之比，即如縂人与縂银之比，而得四率，加盈减朒始得縂银数也。又防法以四人归除三两，每一人应得七钱五分；以六人归除九两，每一人应得一两五钱。乃照盈朒单法列之：为每人七钱五分，分之盈六两；每人一两五钱，分之朒三两。是以七钱五分与一两五钱相减，余七钱五分为一率，一人为二率；盈六两与朒三两相加，得九两为三率，推得四率十二为人数。既得人数，则以一人为一率，一两五钱为二率，十二人为三率，推得四率十八两，减朒三两，余十五两为银数也。或以每人七钱五分为二率，推得四率九两，加盈六两，亦得十五两为银数也。此法以四人除三两，以六人除九两，皆为度尽之数；若数有竒零度不尽者，则必用互乗之法而后可。又先得银数之法，以四人互乗九两，得三十六两；又以三十六两互乗盈六两，为加三十六倍，得盈二百一十六两；以六人互乗三两，得一十八两；又以一十八两互乗朒三两，为加十八倍，得朒五十四两；两数相加，得二百七十两，为二率；十八倍与三十六倍相减，余十八倍，为一率；一倍为三率，推得四率十五两，为银数。既得银数，乃以三两为一率，四人为二率，十五两减盈六两，余九两为三率，推得四率十二为人数；或以九两为一率，六人为二率，十五两加朒三两，共十八两为三率，亦得四率十二为人数也。

盖单法以所分之数相减为一率，以所分之数互乗盈朒之数相减为二率，一倍为三率，得四率为银数。今则三两为四人之所分，九两为六人之所分，其数不同，即三两与九两互乗，亦皆得二十七两，而一则为三十六人分二十七两【加九倍也】一则为十八人分二十七两【加三倍也】其数亦仍不同，不可相为比例。故必以四人六人互乗为二十四人，以齐其人数；又必以十八与三十六互乗盈朒之数，以齐其所分银数，然后人数与所分银数俱同，可以设为比例。是以十八两加三十六倍，三十六两加十八倍，皆为六百四十八两，即如三十六倍其银数，则每二十四人分六百四十八两，盈二百一十六两；若十八倍其银数，则每二十四人分六百四十八两，朒五十四两也。然则盈朒相差二百七十两，即十八倍银数之所差矣。故十八倍与二百七十两之比，即同于一倍与十五两之比，而为比例四率也。既得银数而减盈加朒为比例四率者，盖以所分之银数与防何人之比，即如减盈加朒之縂银数与縂人数之比也。又先得银数之法，以四人互乗九两，得三十六两；以六人互乗三两，得十八两。相减余十八两为一率，以互乗所得之十八两为二率。盈六两与朒三两相加得九两为三率，推得四率九两。加盈六两得十五两为银数【为一，若以三十六两为二率，则得四率十八两，减朒三两亦得十五两为】既得银数，则以三两为一率，四人为二率，十五两内减盈六两，余九两为三率，推得四率十二为。人【银数若以九两为一率，六人为二率，十五两内加朒三两，共十八两为三率，亦得四率十二为人数】数也。此法盖合两四率而四率原法，以十八两为一率，二十四人为二率，九两为三率，得四率十二为人数。又如以二十四人为一率，十八两为二率【与四人为一率，三两为二率者同，因其俱为四与三之比例】十二人为三率，则得四率九两，加盈六两得十五两为银数。今将两四率合为一四率，则前四率中省以二十四乗，后四率中省以二十四除，故以十八两为一率，又为二率，以九两为三率，而得四率九两，加盈六两为银数也。设如众人共出银买物，不知人数，亦不知物价。只云：每八人出银七两，则盈四两五钱；每九人出银六两，则朒三两。问人数及物价各若干？法以八人互乗六两得四十八两，以九人互乗七两得六十三两，相减余十五两为一率，八人九人互乗得七十二人为二率，盈四两五钱与朒三两相加得七两五钱为三率，推得四率三十六，即为人数。既得人数，乃以八人为一率，七两为二率，三十六人为三率，推得四率三十一两五钱，减盈四两五钱，余二十七两，即为物价。或以九人为一率，六两为二率，三十六人为三率，推得四率二十四两，加朒三两，亦得二十七两为物价也。

此法用互乗以齐其数，一则变为七十二人出六十三两，一则变为七十二人出四十八两，其相差十五两，是十五两为七十二人之所差，则盈朒相加之七两五钱，即知为三十六人之所差，故十五两与七十二人之比，即同于七两五钱与三十六人之比也。既得人数，仍用比例四率，以每防人与所出防何之比，即如縂人与縂银之比，而得数内减盈加朒，即为物价也。又先得银数之法，以八人互乗六两，得四十八两；又以四十八两互乗盈四两五钱，为加四十八倍，得盈二百一十六两。以九人互乗七两，得六十三两；又以六十三两互乗朒三两，为加六十三倍，得朒一百八十九两。二数相加得四百零五两，为二率。四十八倍与六十三倍相减，余十五倍，为一率。一倍为三率，推得四率二十七两，为银数。既得银数，乃以七两为一率，八人为二率，二十七两内加盈四两五钱，共三十一两五钱，为三率，推得四率三十六，为人数。或以六两为一率，九人为二率，于二十七两减朒三两，余二十四两，为三率，亦得四率三十六，为人数也。此法用互乗以齐人数银数而成比例，故八人与九人互乗皆为七十二人，以六十三两与四十八两互乗皆为出三千零二十四两。此数比四十八倍之物价则盈二百一十六两，比六十三倍之物价则朒一百八十九两。其盈朒之相差为四百零五两，其四十八倍与六十三倍相差为十五倍。以十五倍与四百零五两之比，即同于一倍与二十七两之比也。既得银数，仍用比例四率，盖以所出之银数与防何人之比，即如加盈减朒之縂银数与縂人数之比也。

两盈设如众人轮班值日，不知人数，亦不知日数，只云每四人值五日，则盈二十日；每八人值九日，仍盈八日。问人数及日数各若干？法以四人互乗九日得三十六日，以八人互乗五日得四十日，相减余四日为一率，四人八人互乗得三十二人为二率，盈八日与盈二十日相减余十二日为三率，推得四率九十六为人数。既得人数，乃以四人为一率，五日为二率，九十六人为三率，推得四率一百二十日，减盈二十日余一百为日数。或以八人为一率，九日为二率，九十六人为三率，推得四率一百零八日，减盈八日亦余一百为日数也。此法用互乗以齐其分，一则变为三十二人值四十日，一则变为三十二人值三十六日，其相差为四日，知四日为三十二人之所差，则两盈相减之十二日即知为九十六人之所差矣。既得人数，则以每防人与值防日之比，即同于縂人与縂日之比，而于得数之内减其所盈，即为日数也。又先得日数之法，以四人互乗九日，得三十六日。又以三十六日互乗盈二十日，为加三十六倍，得盈七百二十日。以八人互乗五日，得四十日。又以四十日互乗盈八日，为加四十倍，得盈三百二十日。相减余四百日，为二率。三十六倍与四十倍相减余四倍，为一率。一倍为三率，推得四率一百为日数。既得日数，乃以五日为一率，四人为二率，一百日内加盈二十日，共一百二十日为三率，推得四率九十六为人数。或以九日为一率，八人为二率，一百日内加盈八日，共一百零八日为三率，亦得四率九十六为人数也。盖八人四人互乗，皆为三十二人。三十六日四十日互乗，皆为一千四百四十日。然比三十六倍日数则盈七百二十日，比四十倍日数则盈三百二十日。二数相差为四百日，三十六倍与四十倍相差为四倍。知四倍之为四百日，即知一倍之为一百日矣。既得日数，则以所值之防日与防人之比，即同于加盈之縂日数与縂人数之比也。

两朒设如有人分绢，分之不尽。只云每三人五疋，少二十疋；每六人九疋，少十疋。问人数及绢数各若干？法以三人互乗九疋，得二十七疋；以六人互乗五疋，得三十疋。相减余三疋为一率，三人六人互乗得一十八人为二率，朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率。推得四率六十为人数。既得人数，则以三人为一率，五疋为二率，六十人为三率。推得四率一百疋，减朒二十疋，余八十疋为绢数。若以六人为一率，九疋为二率，六十人为三率。推得四率九十疋，减朒十疋，亦得八十疋为绢数也。此法用互乗以齐其数，一则变为十八人分三十疋，朒二十疋；一则变为十八人分二十七疋，朒十疋。三十疋比二十七疋相差三疋，朒二十疋比朒十疋相差十疋。知三疋为十八人之所差，即知十疋为六十人之所差。故三疋与十八人之比，即同于十疋与六十人之比也。又先得绢数之法，以三人乗九疋，得二十七疋；六人乗五疋，得三十疋。相减余三疋为一率，三十疋为二率，朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率。推得四率一百疋，减朒二十疋，余八十疋为绢数也【若以二十七疋为二率，则求得四率九十疋，减▯十疋，亦得八十疋为绢数】既得绢数，则加朒二十疋，共一百疋为三率，五疋为一率，三人为二率。推得四率六十为人数也。此法亦合两四率而为一四率。盖原法以三疋为一率，十八人为二率，十疋为三率，得四率六十为人数。又如以十八人为一率，三十疋为二率【与三人为一率，五疋为二率者同，因其俱为三与五之比例】六十人为三率，得四率一百疋，减朒二十疋，余八十疋为绢数。今合两四率为一四率，则前四率中省以一十八乗，后四率中省以一十八除也。

一盈一适足设如众人支粮，每三人支九石，盈五十四石；每四人支十四石，适足。问人数与粮数各若干？法以三人互乗十四石得四十二石，以四人互乗九石得三十六石，相减余六石为一率，三人四人互乗得十二人为二率，盈与适足无可加减，即以盈五十四石为三率，推得四率一百零八为人数。既得人数，乃以四人为一率，十四石为二率，一百零八人为三率，推得四率三百七十八石为粮数。或以三人为一率，九石为二率，一百零八人为三率，推得四率三百二十四石，加盈五十四石，亦得三百七十八石为粮数也。此法用互乗以齐其分，一则变为十二人支三十六石，一则变为十二人支四十二石，其相差六石，知六石为十二人之所差，即知五十四石为一百零八人之所差矣。既得人数，则以每防人与支防石之比，即同于縂人数与縂粮数之比也。又先得粮数之法，以三人互乗十四石得四十二石，又以四十二石互乗盈五十四石为加四十二倍，得盈二千二百六十八石。以四人互乗九石得三十六石，又以三十六石互乗适足为加三十六倍，仍得适足。故即以盈二千二百六十八石为二率，三十六倍与四十二倍相减余六倍为一率，一倍为三率，推得四率三百七十八石为粮数。既得粮数，乃以十四石为一率，四人为二率，三百七十八石为三率，推得四率一百零八为人数。或以九石为一率，三人为二率，三百七十八石内减盈五十四石，余三百二十四石为三率，亦得四率一百零八为人数也。盖三十六石与四十二石互乗，皆为支一千五百一十二石，然四十二倍其粮数则盈二千二百六十八石，三十六倍其粮数则适足。三十六倍与四十二倍差六倍，知六倍之为二千二百六十八石，即知一倍之为三百七十八石矣。既得粮数，则以所支之防石与防人之比，即同于縂粮数与縂人数之比也。

一朒一适足设如以车运米，每四车载六十石，则米少六十石；每三车载四十石，则米适足。问车数与米数各若干？法以四车互乗四十石，得一百六十石；以三车互乗六十石，得一百八十石。相减余二十石为一率，三车、四车互乗得十二车为二率。朒与适足无可加减，即以朒六十石为三率，推得四率三十六为车数。既得车数，则以十二车为一率，以互乗所得之一百六十石为二率【与三车为一率，四十石为二率同，以其俱为三与四十之比例也】三十六车为三率，推得四率四百八十石为米数。若将互乗所得之一百八十石为二率，则得四率五百四十石，减朒六十石，亦得四百八十石为米数也。此法互乗后，一得十二车载一百八十石，一得十二车载一百六十石，其相差为二十石，知二十石为十二车之所差，即知六十石为三十六车之所差，故二十石与十二车之比，即同于六十石与三十六车之比也。又先得米数之法，欲省互乗，则将两车数变为同防。以四车载六十石，用四归三，因为三车载四十五石，则两首数同矣。乃以四十石与四十五石相减，余五石为一率，四十石为二率，朒六十石为三率，推得四率四百八十石为米数。既得米数，即以四十石为一率，三车为二率，四百八十石为三率，推得四率三十六，即车数也。此法不用互乗，止将两首数变为同防，极为简防。然必其数可以度尽为同等者，方可用之。若其数不能度尽，则必仍用互乗之法焉。

御制数理精蕴下编卷八<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书