数度衍卷二十三

数度衍卷二十三

桐城　方中通　撰九章外法约分法式四十二数，在九十八数内，得防分之防，曰七分之三。术约以分子也，数多为母，数少为子。今以四十二为子，九十八为母，视母数内满几囘子数尽，减去。今减两回四十二，余母十四。又于子数内减余母，今减两回十四，余子十四。此谓之子母同余，如不同余，则不可约矣。以同余之十四为法，除母得七，除子得三。乃知四十二在九十八内，为七分中之三分也。

通分法式物四十五件，每件价三分两之二，该银若干？曰三十两。术：通以分母也。以三之二命，三为母，二为子。乃以子二乗四十五，得九十两为实，以母三为法除之，得三十两。通曰：「此零算则无尽，而总算则无零也。」

异乗同除法式钱四贯，得货十二斤。今钱二十贯，该货若干？曰：六十斤。术：此即三率准测法也，又名三累。先定三率之位，以四贯为一率，以十二斤为二率，以二十贯为三率。乃以二率、三率相乗，得二百四十，以一率除之，得六十为第四率。又术：先防纽数。如用四为纽数，一率四有，一回四；二率十二有，三回四。则以一代四为一率，三代十二为二率，仍用二十为三率，所求四率亦同。更以五代二十为三率，亦用一为一率，二率仍用十二，亦可。又术：以一率除二率，乗三率，亦合。又术：以一率除三率，乗二率，亦合。通曰：「后二术皆先除后乗，恐有零不尽，不如先乗后除也。」若以二率、三率相乗，以四率除之，即得第一率之数。若移三率作一率，移四率作二率，移一率作三率，即得第二率之数。

定位诸式通曰：「二率、三率可以相换，一率则不可易矣。」式买绢五十二疋，银四十四两。今买二百六十疋，该银几何？曰：二百二十两。术：此所问在二百六十疋，则以二百六十为第三率，以原绢五十二为第一率，相当而以四十四为第二率，以当所测之第四率也。式二▯每石价一两七钱五分，米每石价二两五钱。今有谷三百九十六石，照价折米该若干？曰：二百七十七石二斗。术：以谷价为二率，米价为一率，今有糓为三率。若问米照价准糓，则以米价为二率，糓价为一率，米数为三率。

式三八成金五十两价二百两今有九成金四十两该价若干曰一百八十两术此有成色当折足色之后用本法推之以八成金折足四十两为一率二百两为二率九成金折足三十六两为三率式四蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一共银二两六钱。今有银九钱买蜡若干？曰：三斤十二两一钱九分又六十五之四。术：此为三不同类之率。取原银二两六钱化为二十六钱为一率。取原蜡二起共化为一千七百三十九钱为二率。以今银九钱为三率。求得六百钱零一钱九分零。归得斤两数。式五炼矿求银，初火每三两得二两，再火每七两得五两，三火毎五两得四两，凡三次共得足银十六两，问原矿若干？曰：四十二两。术：此当并子并母求之，以三子相乗，炼得二两乗五两得十两，又乗四两得四十两，为首率；以三母相乗，每三两乗七两得二十一两，又乗五两得一百○五两，为次率；以足银为三率。式六驿使先发三十七里，别一骑追一百四十五里，尚不及二十三里，再追几何里可及？曰：二百三十八里又十四分里之三。术先推知一百四十五里只追上十四里，即以十四里为首率，一百四十五里为次率，不及二十三里为三率。式七：二人同步，甲疾，乙迟。甲百步，乙才六十步。假使乙先行百步，甲该几何步可及？曰：二百五十步。术：以甲百步与乙六十步相减，得较四十步，为首率。以甲百步为次率，以乙先行百步为三率。式：八籴米三千五百石，毎石价六钱五分，外用脚价五分，就籴处以米准折。问脚米、存米各若干？曰：脚米二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五【约为十三之九】存米三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十【约为十三之四】术：以每石籴价为首率，总米为次率，脚价为三率，求得脚米，以减总米，得存米。若已运至仓，则并籴价脚价共七钱为首率，依法求之。只该脚米二百五十石。通曰：「数以四分用三，故三率为数之枢也。乗除亦三率，而人不知者，因其首率为除之法，一次率为乗之法，一法数遇一则不用三率耳。前后诸式，有各章己见者，此则专以三率名也。」

同乗异除法式借布长四丈濶二尺，今还布止濶一尺八寸，该长若干？曰：四丈四尺四寸零。术此变测法也。如一率多于三率，而二率反少于四率；或一率少于三率，而二率反多于四率者，当审其不相准之数而变法测之。则以第一率乗第二率，以第三率除之也。今以原濶二尺为一率，以原长四丈为二率，以今濶一尺八寸为三率。若用异乗同除法，则移三率为一率，移一率为二率，移二率为三率，亦可。

定位诸式式借九成金五十四两，今以八成金抵还，该若干？曰：六十两七钱五分。术：以九成为首率，五十四两为次率，八成为三率。式二，原母四千两，生息三年，今母七千四百八十两，须几年可当其三年之息？曰：一年七月十日六时四刻，又三百七十四分刻之八十六。术：以原母为首，率三年为次率，今母为三率。式三：原麦半石，价六百文，作饼，每饼重十两，值十文。今麦价每石八百文，而每饼仍是十文，该重若干？曰：十五两。术：以原价为首率，十两为次率，今价折半为三率。式四：二百四十步为一亩，系濶八步，长三十步。今濶六步，该长几何？曰：四十步。术：八步为首率，三十步为次率，六步为三率。式：五原仓贮米三百八十四石，髙八尺，濶一丈二尺，深一丈。今仓照前米数，亦髙八尺，深八尺，该濶几何？曰：一丈五尺。术：深一丈为首率，濶一丈二尺为次率，深八尺为三率。式六筑台，每日用夫三十四，年而成。今每日用夫五十，该几时成？曰：八百六十四日。术：以三十为首率，以四年化作一千四百四十日为次率，以五十为三率。式：七守兵八千五百，其粮仅能支十一月。若待运粮至，尚须二十五月。计当撤兵几何？留兵几何？而后足食二十五月？曰：留三千七百四十，撤四千七百六十。术：以十一月为首率，八千五百为次率，二十五月为三率，求出四率为留数，减总得撤数。式八每日空车行七十里，若重载只行五十里。今载粮到仓，五日三返，路逺若干？曰：四十八里，又三十六之二十二。术：以五日为首，率以七十乗五十，得三千五百里，为次率，并七十五十，得一百二十里，以乗三返，得三百六十，为三率。

异乗同乗法通曰：「定率之后，仍用异乗同除法求之。」式毎人每月织绢六疋，若八人四年该织几何？曰：二千三百○四疋。术：以四年化作四十八月，乗八人得三百八十四，又以六疋乗之，即得。又术：用并法，以一人乗一月得一，为首率；以六疋为次率；以八人乗四十八月得三百八十四为三率。通曰：「首率是一，故前术为捷耳。若非一者，必用此术及后术也。又术用重准测法，又名夹三累。先以人数测绢数，以一人为首率，六疋为次率，八人为三率，求得四率四十八疋。又以月数测绢数，以一月为首率，以前四率为次率，四十八月为三率。」

用并诸式式原买大布一疋，长二丈五尺，濶一尺六寸，价二钱。今买小布一疋，长一丈八尺，濶一尺三寸，用价一钱二分。其贵贱若何？曰：只该一钱一分七厘，今贵三厘。术以大长乗大濶，得四丈，为首率；以二钱为次率；以小长乗小濶，得二丈三尺四寸，为三率。式：二三人用米五石，值银三两，计食五旬，每人每日银米各几何？曰：银二分，米三升三合又三之一。术：以三人乗五十日，得一百五十，为首率。以三两化作三百分，为求银之次率。五石化作五百升，为求米之次率。皆以一人乗一日得一，为三率。式三母银三百两，四年得子银一百两。今母银一千五百八十两，七年该子银若干？曰九百二十一两又三之二。术：以三百乗四年，得一千二百为首率；以一百为次率；以一千五百八十乗七年，得一万一千○六十为三率。式：四兵每名每月给银四两，今兵一万三千名，九月该给若干？曰：四十六万八千两。术：以一名乗一月，得一为首率；以四两为次率；以九月乗一万三千，得十一万七千为三率。

重测诸式式母银十两，三月得子银四两。母银百两，欲得子银二千两，须几时？曰：一百五十月。术：此须先知，百两、三月所得，以十两为首率，四两为次率，一百两为三率，求出四十两为四率。后以四十两为首率，三月为次率，二千两为三率，式：二夏布四十五疋，换绵布、夏布三疋，共价二钱；绵布七疋，共价七钱五分。该换若干？曰：二十八疋。术：先求夏布四十五疋之共价，以三疋为首率，二钱为次率，四十五疋为三率，求出三两为四率。后以七钱五分为首率，七疋为次率，以先四率为三率。式三银二十三两买布七十五疋，毎疋长四丈，濶二尺。今另买布濶一尺六寸，长与前等，该减前价若干？曰四两六钱。术：先求每尺之价，以四丈乗七十五疋，得三百丈，又乗二尺，得六千尺，为首率；以二十三两为次率，另立一尺为三率，求出三厘八毫三丝又三之一为四率。再求应减之价，以先三率为后一率，先四率为后二率，以两濶相减，余四寸乗三千尺【即四丈乗七十五所得之数】得一千二百尺为三率。式：四重舟，日行八十里；轻舟，日行百里。重舟先去十五日，轻舟几日追及？曰：六十日。术：先求重舟十五日所行，以一日为首率，八十里为次率，十五日为三率，求出一千二百里为四率。后以轻舟每日多行二十里为首率，以先首率为后二率，先四率为后三率。式五车轮半径一尺九寸五分，一日转二万周，为里几何？曰：一百三十里。术：倍半径，得三尺九寸，为全径。推得周一百一十七寸。以一周为首率，一百一十七寸为次率，二万周为三率，求得二十三万四千尺为四率。再以里法三百六十步化作一千八百尺为首率，一里为次率，前四率为后三率。式六十二人九日刈麦二十亩，今三十人刈麦四十五亩，该几日？曰八日又十之一。术：先以人较日，以十二人为首率，九日为次率，三十人为三率。此系一率小于三率，而四率少于二率者，当用变准测。一二相乗，以三率除，求出三日又五之三为四率。后以日较亩，以二十亩为首率，前四率为后次率，四十五亩为三率，仍用本法。式七炼铜，每次十斤得八斤，三次得七十五斤十三两四钱四分，原生铜若干？曰一百四十八斤二两。术：化八斤作一万二千八百分为首率，化十斤作一万六千分为次率，化总铜作十二万一千三百四十四分为三率，求出十五万一千六百分为二火铜数。以此数为三率，一率、二率如故，求出十八万九千六百分为一火铜数。又以此数为三率，一率、二率如故，又求出二十三万七千分，用斤法十六除之，即得。又术：以八斤自乗再乗，得五百一十二为法，除三火铜化分，得二三七。因有再乗，当升二位，作二千三百七十两，以斤法除之，亦得。通曰：此用三回三率，故又名大夹三累。式八：雇匠采石，每六十丈价七两七钱，船价三钱，总用鍜铁炭火银二百两，是六十分之二，问总银、石数、石价、船价各若干？曰：总银六千两，石四万三千五百丈，石价五千五百八十二两五钱，船价二百一十七两五钱。术：二百两为六十分之二，即知总银是六千两矣。内减二百两，只以五千八百起算为三率，以六十丈为二率，以两价并得八两为首率，求出石四万三千五百丈为四率。又以四率为三率，以六十丈为首率，七两七钱为次率，求出石价，减五千八百余船价，加二百两，合总银。式九：母银百两，货每斤卖二钱，已得息三十两，今若每斤卖至二钱四分，其息几何？曰：五十六两。术：先求每斤二钱内母银若干，以母并原息得一百三十两为首率，以一百两为次率，以二钱作二十分为三率，求出十五分又十三之五为四率。后以四率为首率，以二钱四分内减十五分又十三之五，余八分又十三之八为次率，一百两为三率。式：十布每疋长四十尺，内抽税二尺。客布三百疋，税司抽布十五疋半，反贴客钱六百文。其布价毎疋几何？曰：一千二百文。术：此已知税为二十取一也。先求三百疋应抽之数，以二十疋为首率，一疋为次率，三百为三率，求出十五疋为四率。以减十五疋半，余半疋，系二十尺为首率，六百文为次率，四十尺为三率。通曰：「二尺乗三百疋，得六百尺；以四十尺除之，亦得应抽之数。」

式十一贩参每六斤价七两七钱脚价三钱又用牙银二百是原母三十之一其母银参数两价各若干曰原母六千两参四千三百五十斤价五千五百八十二两五钱脚价二百一十七两五钱术与八式同式十二饭僧，初日每五十人米八斗，次日每九十人米七斗，共用米三十二石一斗，米僧各若干？曰：僧一千三百五十，初日用米二十一石六斗，次日用米十石○五斗。术：先将两子母互乗【五十九】【十】□【八七】左得三百五十，右得七百二十，并得一千○七十为首率，两母相乗得四千五百为次率，以共米为三率，求出一千三百五十为僧数。又以五十人为首率，八斗为次率，僧数为三率，求出初日米数。再以九十人为首率，七斗为次率，僧数为三率，求出次日米数。式十三银六钱五分换大小钱钱数相等，每银一钱换大钱七十五文，银一钱换小钱一百二十文，问各若干？曰：大钱三百文，小钱三百文。术：以七十五文为首率，换大银一钱为次率，一百二十文为三率，求出一钱六分为大，一百二十之银。再以一钱六分并换小银一钱，共二钱六分为首率，并大一百二十，小一百二十，共二百四十文为次率，以六钱五分为三率，求得六百文，平分大小各三百。式十四，一百二十里，物重八十斤，工银六分。今一百八十里，物重一百二十斤，该工银若干？日一钱三分五厘。术：先以八十斤为首率，六分为次率，一百二十斤为三率，求出银九分。后以一百二十里为首率，九分为次率，一百八十里为三率。又术通曰：视一百二十斤多八十斤二之一，则将六分多二之一为九分。又视一百八十里多一百二十里二之一，则又将九分多二之一为一钱三分五厘，亦合【以先里重乗为首率，工为次率，以后里重乗为三率，亦可】附式：夫百名筑城二百丈，八月完工。今夫百名筑城二万丈，几月完工？曰：八百月。术：此因前后皆是一百名，不必重测。以二百丈为首率，八月为次率，二万丈为三率。式：二货百斤卖银六十四两，母每百两得子六两又三之二。问各若干？曰：母六十两，子四两。术：并母子共一百○六两又三之二为首率，母一百两为次率，卖银为三率。此除货不用也。式三货卖银二百两，云每百两折银十两，其原买母银若干？曰二百二十二两又九之二，术此因百两内折十两，当以九十两为首率，一百两为次率，二百两为三率。

异除同除法式：十五客，十二日，用米三石六斗。一客一日用米若干？日二升。术：以用米为实，以十二日为法，除之，得每日米三斗。又以十五客为法，除三斗，得每人二升。

同乗同除法式：鹅八换鸡二十，鸡三十换鸭九十，鸭六十换羊二。今有五羊，换鹅若干？日二十。术：以鹅八乗鸡三十，得二百四十；又乗鸭六十，得一万四千四百；又乗羊五，得七万二千，为实。以换鸡二十乗换鸭九十，得一千八百；又乗换羊二，得三千六百，为法。以法除实，得换鹅数【已上诸法式中，凡遇奇零者，法详三卷】

杂収式一银八百八十二两，分甲、乙、丙三等人，共一百四十四名。云甲每人七两，则乙每人五两，丙每人三两。问人银各若干？通曰：以总人暂作三分，每等四十八人。以七两乗甲四十八人，得三百三十六；以五两乗乙四十八人，得二百四十；以三两乗丙四十八人，得一百四十四。并得七百二十两，较总银尚少一百六十二两。须益一甲，损一丙，则多四两。乃以四两除一百六十二，得四十人。计多一百六十两，尚少二两。又须益一甲，损一乙，则多银二两也。甲初四十八人，加丙移四十人，乙移一人，共八十九人，分银六百二十三两；乙初四十八人，减移甲一人，止四十七人，分银二百三十五两；丙初四十八人，减移甲四十人，止八人，分银二十四两。又甲八十二人，乙六十一人，丙一人，亦可。式：二甲、乙、丙三物共百枚，钱百文。云：甲一枚钱二文，乙三枚钱一文，丙五枚钱一文。问各若干？通曰：暂以甲作三十二，钱六十四；乙作三十三，钱十一；丙作三十五，钱七文。并得钱八十二文，较之百文尚少十八文。须益十甲，损十丙，则多十八文也。甲四十二，钱八十四；乙三十三，钱十一；丙二十五，钱五文。又甲四十四，乙六，丙五十亦可。通日：「右二式无准，不可立通数。差分不可盈朒，亦不可姑存此。」式三有积于此，以三数之余二，以五数之余三，以七数之余二，为积几何？其法：三数每余一作七十，今当作一百四十五；数每余一作二十一，今当作六十三；七数每余一作十五，今当作三十。并得二百三十三，满百则减去，并带去五。今于并数内减二百，又带去一十余二十三，为积也。通曰：「五用二十一者，三七相乗数也；七用十五者，三五相乗数也；三用七十者，五七相乗而倍之之数也。减百零五者，并七十与二十一及十五得一百零六，减百零五而余一也。」式四四正四隅各置三枚，截南三方共成九枚，截西三方亦成九枚，四面皆然。今四正各加一枚，四隅各移一枚入正，截南三方仍是九枚，四面皆然，何也？通曰：四隅一枚当二枚用，四正一枚止是一枚也。式五环二十子，内有二黑子相连，以九数之止处，即除一子，除毕，二黑不动，宜从何起？通曰：五为九之中，左右各四，离黑子四位起可也。大凡以九数者，不拘多寡，中必有相连二子不动，七亦如之，惟起处当临时测耳。式六十位，九子隔三而投，务从空起，可越而不可曲。其投若何？通曰：「甲、丙、戊、庚、壬，五阳位也；乙、丁、己、辛、癸，五隂位也。阳起，隂止；隂起，阳止。一隂一阳，而九子毕投矣。」式七酒十斤，贮甲器。外有乙器可容七斤，丙器可容三斤。而无秤，欲两平分，其术若何？通曰：有二术。就甲器贮酒，用丙盛三斤入乙，又盛三斤入乙，又盛三斤内以一斤足乙七斤，丙余二斤。乃将乙七斤复入甲，以丙余二斤入乙，又盛三斤入乙，则甲乙各得五斤矣。若将乙丙二器贮酒，以丙三斤入甲，又盛三斤入甲，又盛三斤入甲，甲受九斤，乙余一斤。乃以丙盛此一斤，以甲九斤内七斤入乙，甲余二斤，以乙七斤内二斤足丙，三斤入甲，则甲乙亦平分也。

附録式一借银二百六十两，每年加三息，至十个月二十四日，共息若干？通曰：先用通日为月率之法，以所零二十四日，用三为法除，得八，于十月下空一位列之。又用通月为年率之法，以实零八为实用，十二为法除，得九。乃以九乗借银，得二百三十四两为实用，加三息乗之，得七十两零二钱。葢三十日为一月，故用三为法；十二月为一年，故用十二为法也。

式二四商共贩赵于甲子年正月初九日出本三十两钱于乙丑年四月十五日出本五十两孙于丙寅年八月十八日出本七十两李于丁夘年十月二十七日出本九十两至戊辰年终共得利银一百二十两各该利若干通曰先用月率年率之法赵计四年十一个月二十一日以三除二十一日得七并月为十一七以十二除之得九七五并年为四九七五以原本三十乗之得一百四十九两二钱五分为赵通本钱计三年八个月十五日以三除十五日得五并月为八五以十二除之得七零八三三三并年为三七零八三三三以原本五十乗之得一百八十五两四钱一分六厘六毫【不尽数去之】为钱通本孙计二年四个月十二日如法得一百六十五两六钱六分六厘六毫为孙通本李计一年二个月零三日如法得一百零五两七钱五分为李通本并四通本得六百零六两零八分三厘二毫为法以除共利一百二十两得一钱九分八厘【收零】此乃是每年每两之利也然后以此为通法乗赵通本得利二十九两五钱五分一厘【去五毫】以通法乗钱通本得利三十六两七钱一分一厘【去一厘四毫零】以通法乗孙通本得利三十二两八钱【去零数】以通法乗李通本得利二十两零九钱三分八厘【去五毫】式三借银，每年每两加利二钱七分。今有一年三个月二十日，收还本利和银三百六十二两四钱七分，其本利各若干？通曰：先用月率年率之法，用三除二十日，得六六六六，并月为三六六六六，以十二除之，得三零五五五，并年为一三零五五五。又以利二钱七分乗之，得三钱五分二厘五毫【收零为五毫】此乃是毎两之利也。加毎本一两，得一两三钱五分二厘五毫为法，以除本利和，得二百六十八两为本。再以每两利三钱五分二厘五毫乗本，得利九十四两四钱七分。通曰：「右第二、第三式应属差分。但前差分章内之式有整月而无零日，此三式俱有零日。用通日为月率，通月为年率之法，又有零尾，或去或收，故附于此。」

数度衍卷二十三<子部,天文算法类,算书之属,数度衍》>钦定四库全书数度衍附录桐城方中通　撰几何约名目一【名目二】

【名目三】

名目四【名目五】

【名目六】

度说设有多度，彼此俱与他等，则彼与此自相等。有多度等，若所加之度等，则合并之度亦等。有多度等，若所减之度等，则所存之度亦等。有多度不等，若所加之度等，则合并之度不等。有多度不等，若所减之度等，则所存之度不等。有多度，俱倍于此；度则彼多，度俱等。有多度，俱半于此度，则彼多度亦等。有二度自相合，则二度必等。以一度加一度之上也。全大于其分，如一尺大于一寸。寸乃全尺十之一也。

有几何度？等若所加之度各不等，则合并之差与所加之差等。有几何度不等？若所加之度等，则合并所赢之度与原所赢之度等。有几何？度等？若所减之度不等，则余度所赢之度与减去所赢之度等。有几何？度不等。若所减之度等，则余度所赢之度与原所赢之度等。

全与诸分之并等有二全，度此全倍于彼全。若此全所减之度倍于彼全所减之度，则此较亦倍于彼较。如此度二十，彼度十；于二十减六，于十减三，则此较十四，彼较七。度各形之髙，皆以垂线之亘为度。两形同在两平行线内，其髙必等。凡度物髙，以顶底为界，以垂线为度，不论物之偏正也。盖物之定度，有一无二，自顶至底，垂线一而已，偏线无数也。

线说有二横直线，任加一纵线，或正或偏，若三线之间同方两角小于两直角，则此二横直线愈长愈相近，必至相遇。如甲乙丙丁二横直线，任意作戊巳线交于二横直线之上，而戊巳线或正或偏，若戊巳线旁同方两角俱小于直角，或并之小于两直角，则甲乙丙丁二线必有相遇之处。

两直线不能为有界之形两直线止能于一防相遇凡圜内直线，从心下垂线，其垂线大小之度，即直线距心逺近之度。如甲乙丙丁圜内，甲乙线，丙丁线，其去戊心逺近等，因己戊、戊庚两垂线等故也。若辛壬线去戊心近矣，因戊癸垂线小故也。

凡一防至直线上，惟垂线至近，垂线之两旁渐逺，平行方形不满一线为形，小于线；若形有余线不足，为形大于线。

角说凡直角俱相等直线上立垂线，则两旁皆直角；若立偏线，则一为钝角。其一，必为锐角，如子丑线上，甲乙。

垂线也丙丁偏线也比例说比例者，两几何以几何相比之理。几两几何相比，以此几何比他几何，则此几何为前率，所比之他几何为后率。如以六尺之线比三尺之线，则六尺为前率，三尺为后率也。反用之，以三尺之线比六尺之线，则三尺为前率，六尺为后率也。凡比例有二种，有大合，有小合。以数可明者为大合，如二十尺之线比十尺之线是也。其非数可明者为小合，如直角方形之两边与其对角线可以相比，而非数可明者是也。其大合线为有两度之线，其小合线为无两度之线。凡大合有二种，有等者，如二十比二十，十比十是也。有不等者，如二十比十八，比四十是也。凡等者，为相同之比例。其不等者，又有二种：有以大不等者，如二十比十是也；有以小不等者，如十比二十是也。大合比例之，以大不等者，又有五种：一为几倍大，二为等带一分，三为等带几分，四为几倍大带一分，五为几倍大带几分。其一为几倍大者，如二十与四，是二十内为四者五，如三十尺与五尺，是三十尺内为五尺者六，则二十与四名为五倍大之比例也，三十尺与五尺名为六倍大之比例也。其二为等带一分者，如三与二，是三内既有二，别带一以为二之半，如十二与九，是十二内既有九，别带三以为九之三分之一，则三与二名为等带半也，十二与九名为等带三分之一也。其三为等带几分者，如八与五，是八内既有五，别带三一，每一各为五之分，而三一不能合而为五之分也。他如十与八，其十内既有八，别带二一，虽每一各为八之分，与前例相似，而二一却能为八之四分之一，是为带一分属在第二，不属三也，则八与五名为等带三分也。又如二十二与十六，即名为等带六分也。其四为几倍大带一分者，如九与四，是九内既有二四，别带一一为四之四分之一，则九与四名为二倍大带四分之一也。其五为几倍大带几分者，如十一与三，是十一内既有三三，别带二一，每一各为三之分，而二一不能合而为三之分也，则十一与三名为三倍大带二分也。大合比例之，以小不等者，亦有五种，俱与右相反为名。一为反几倍大，二为反等带一分，三为反等带几分，四为反几倍大带一分，五为反几倍大带几分。凡诸数俱有书法，有全数，有分数。全数依本数书之，分数有二，一为命分数，一为得分数。如分一以三而取其二，则书为三分之二，三为命分数，二为得分数也。其一几倍大，以全数书之，如二十与四为五倍大之比例，即书五是也。若反几倍大，则用分数书之，而以大比例之数为命分之数，以一为得分之数。如大为五倍大之比例，则此书五之一是也。其二等带一分之比例，有全数，有分数。

其全数恒为一，其分数则以分率之数为命分数，恒以一为得分数。如三与二名为等带半，即书一又二之一也。若反等带一分，则全用分数，而以大比例之命分数为此之得分数，以大比例之命分数加一为此之命分数。如大为等带二之一，即此书三之二也。又如等带八分之一反书之，即书九之八也。其三等带几分之比例，亦有全数，有分数。其全数亦恒为一，其分数亦以分率之数为命分数，以所分之数为得分数。如十与七名为等带三分，即书一又七之三也。若反等带几分，亦全用分数，而以大比例之命分数为此之得分数，以大比例之命分数如大之得分数为此之命分数。如大为等带七之三，命数七，得数三，七加三为十，即书十之七也。又如等带二十之三反书之，二十加三即书二十三之二十也。其四几倍大带一分之比例，则以几倍大之数为全数，以分率之数为命分数，恒以一为得分数。如二十二与七，二十二内既有三七，别带一，一为七分之一，名为三倍大带七分之一，即以三为全数，七为命分数，一为得分数，书三又七之一也。若反几倍大带一分，则大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乗大之倍数加一为此之命分数，如大为三带七之一，即以七乗三得二十一，又加一为命分数，书二十二之七也。又如五带九之一，反书之，九乗五得四十五，加一为四十六，即书四十六之九也。其五几倍大带几分之比例，亦以几倍大之数为全数，以分率之数为命分数，以所分之数为得分数，如二十九与八，二十九内既有三八，别带五一，名为三倍大带五分，即以三为全数，八为命分数，五为得分数，书三又八之五也。若反几倍大带几分，则以大比例之命分数为此之得分数，以大比例之命分数乗大倍数加大之得分数为此之命分数，如大为三带八之五，即以八乗三得二十四，加五为二十九，书二十九之八也。又如四带五之二，即书二十二之五也。通曰，右皆化整为零之法也。法详竒零。两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何，如三尺之线与八尺之线，三尺之线三倍其身，即大于八尺之线，是为有比例之线也。又如直角方形之一边与其对角线，虽非大合之比例可以数明，而直角方形之一边一倍之，即大于对角线，是亦有小合比例之线也。又圜之径四倍之，即大于圜之界，则径与界亦有小合比例之线也。又曲线与直线亦有比例，如以大小两曲线相合为初月形，别作一直角方形与之等，即曲线、直线两视有大有小，亦有比例也。又方形与圜不能为等形，然相视有大有小，亦不可谓无比例也。又直线角与曲线角亦有比例如上图直角钝角锐角皆有与曲线角等者如甲乙丙直角在甲乙、乙丙两直线内，而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等，即于甲乙丁角加甲乙戊角，则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣。

因知壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也。又知卯丑辰曲线角与子丑寅锐角各减同用之子丑、丑辰内圜小分，即两角亦等也。他若有穷之线与无穷之线，虽则同类，实无比例。何者，有穷之线毕世倍之，不能胜无穷之线也。又线与面、面与体，及切圜角与直线锐角，皆无比例也。四几何，若第一与二偕第三与四为同理之比例，则第一、第三之几倍偕第二、第四之几倍，其相视或等，或俱为大，俱为小，恒如是。如有四几何，第一曰三，第二曰二，第三曰六，第四曰四。今以第一之三、第三之六同加四倍，为十二为二十四；次以第二之二、第四之四同加七倍，为十四为二十八。其倍第一之十二既小于倍第二之十四，则倍第三之二十四必小于倍第四之二十八也。又以第一之三、第三之六同加六倍，为十八为三十六；次以第二之二、第四之四同加四倍，为十八为三十六。其倍第一之十八既等于倍第二之十八，则倍第三之三十六必等于倍第四之三十六也。又以第一之三、第三之六同加三倍，为九为十八；次以第二之二、第四之四同加二倍，为四为八。其倍第一之九既大于倍第二之四，则倍第三之十八必大于倍第四之八也。乃知三与二偕六与四得为同理之比例也。此断比例之法，若连比例，则以中率两用之，既为第二，又为第三也。若第一之几倍大于第二之几倍，而第三之几倍不大于第四之几倍，则第一与二之比例大于第三与四之比例矣。三几何为同理之连比例，则第一与三为再加之比例。四几何为同理之连比例，则第一与四为三加之比例。仿此以至无穷。如甲与乙，若乙与丙；乙与丙，若丙与丁；丙与丁，若丁与戊。五几何为同理之连比例，其一甲与三丙为再加之比例，其一甲与四丁为三，加之比例，其一甲与五戊为四，加之比例，若反用之，以戊为首，则一戊与三丙为再加，与四乙为三加，与五甲为四加也。再以数明之：如此直角方形之边三尺，彼直角方形之边一尺，若九与一，夫九与一之间有三为同理之连比例，则此九、三、一之三数，既有三与一为比例，又以九比三、三比一为再加之比例也。故彼直角方形当为此形九分之一，不止为此形三分之一也。大约第一与二之比例，若线相比；第一与三，若平面相比；第一与四，若体相比；第一与五，若少广之三乗方与六，则若四乗方与七，则若五乗方也。同理之几何，前与前相当，后与后相当。比例以比例相结者，以多比例之命数相乗除，而结为一比例之命数。盖中率相结者，于不同理之中，求其同。

理也如十二倍之此比例则以彼二倍六倍两比例相结也二六相乗为十二，故也。或以彼三倍、四倍两比例相结，三、四相乗亦十二，故也。又如三十倍之此比例，则以彼二倍、三倍、五倍三比例相结也。二乗三为六，六乗五为三十，故也。大约以三率为始，三率则两比例相乗除而中。

率为纽也若四率则先以前三率之两比例相乗除而结为一比例又以此与第三比例相乗除而总结为一比例也。若五率，则先以前三率之两比例乗除相结，又以此与第三比例乘除相结，又以此与第四比例乗除相结而为一比例也。或如下图，亦可。

三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如第一图三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乗三为六也若以小不等戊己为第一甲乙为第三三乗二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也又如次图前以大不等，后以小不等者，中率小于前后两率也。其甲乙与丙丁为三倍大，丙丁与戊己为反二倍大，则甲乙与戊己为等带半。三乗半得等带半也。若以戊己为第一，甲乙为第三反。推之半除三为反等带半也。又如末图，前以小不等，后以大不等者，中率大于前后两率也。其甲乙与丙丁为反，二倍大；丙丁与戊己为等。带三分之一，即甲乙与戊己为反等。带半，何者？如甲乙二，即丙丁当四；丙丁四，即戊己当三。是甲乙二，戊己当三也。又法，以命数三，带得数一为四半，除得二。二比三为反等带半也。若戊己为首，则为等帯半矣。若多几何各带分而多寡不等者，当用通分法。如设前比例为反五倍带三之二，后比例为二倍大带八之一。即以前命数三通其五倍为十五，得分数从之为十七，是前比例为三与十七也。以后命数八通其二倍为十六，得分数从之为十七，是后比例为十七与八也。即首尾二几何之比例为三与八，得二倍大带三之二也。右说连比例之不同理者，用中率以结矣。若不同理之断比例，异中率而无可结者，当于其所设几何之外，别立三几何二比例而同中率者，乗除相结即得。如所设几何十六为首，十二为尾，却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例，八为前之前四为后，之后三为前，之后二为后。之前此二比例无可结，乃别立同中率之二比例。如其八与三，二与四之比例，如三其八得二十四为前之前，三其三得九为前之后。即以九为后之前，又求得十八为后之后。其二十四与九，若八与三也；九与十八，若二与四也。则十六与十二，若二十四与十八，俱为等带半之比例矣。通曰：「十六内去十二，余四，为十二三之一，当曰等带三之一也。」

论三角形一于有界直线上求立平边三角形。如甲乙线，先以甲为心，乙为界，作丙乙丁圜；次以乙为心，甲为界，作丙甲丁圜。两圜相交于丙，于丁。末自甲至丙，丙至乙，各作直线，即成甲乙丙平边三角形二一直线，线或内或外，有一防，求以防为界，作直线与元线等。如甲防，乙丙线，先以丙为心，乙为界，作丙乙圜。

次观甲防若在丙乙外则自甲至丙作线如上图或在丙乙内则截取甲至丙一分线如下图，俱以甲丙为底，作甲丁丙平边三角形。次引丁丙至丙乙圜界为丙戊，引丁甲出丙乙圜外至己，为甲己。乃以丁为心，戊为界，作丁戊圜。其甲己线与丁戊圜相交于庚，即甲庚线与乙丙线等。三两直线，一长一短，求于长线减去短线之度。如甲，短线；乙丙，长线。先引乙至别界，作乙丁线与甲等。乃以乙为心，丁为界，作圜，交乙丙线于戊。

则戊丙为余也四两三角形，若两腰线各等，各两腰间之角等，则底必等。五、三角形，若两腰等，则底线两端之两角等，而两腰引出之，其底外两角必等。六三角形，若底线两端之两角等，则两腰必等。七一线为底，出两腰线，其相遇止一防，不得别有腰线与元腰线等。如甲乙底，于甲、于乙各出一线至丙相遇，此一定之处也。若至丁，则不与元。

腰线甲丙等矣八两三角形，若两腰两底俱等，则两腰间角必等。九有直线角，求两平分，如乙甲丙角，先于甲乙线任截一分为甲丁，亦截甲戊与甲丁等，作丁戊直线，次以丁戊为底，倒立丁戊己平边三角形。

再作甲己直线即得通曰乙丙底作甲己垂线亦得十有界线，求两平分，如右图，乙丙线，以乙丙为底，作甲乙丙两边等三角形，两平分之，得甲己直线，即分乙丙线于己。

十一一直线任于一防上求作垂线如甲乙线上任指一防于丙先于丙之左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两边等角形再作己丙直线，即己丙为甲乙之垂线。若欲于甲防立垂线，则任取丙防，立丁丙垂线。乃以甲丙丁角平分，得丙己线。次以甲丙为度，截戊丙。又于戊上立垂线与己丙线相遇于庚，再作庚甲直线，即得。十二无界直线外有一防，求于防上作垂线至直线上。如甲乙线外有丙防，先以丙为心作圜，令两交于甲乙线为丁，为戊。次从丁、戊各作直线至丙。又两平分丁戊线于己，作丙己线，即甲乙之垂线也。又法，于甲乙线上，近甲、近乙任取一防为心，以丙为界作一圜，界于丙防及相望。处各稍引长之，次于甲乙线上，视前心或相望，如上图，或进或退，如下图，任移一防为心，以丙为界，作一圜界，交处得丁，乃作丙丁垂线。十三一直线至他直线上所作两角，非直角，即等于两直角。如甲线下至丙丁线，遇于乙，其甲乙丙钝角与甲乙丁锐角相并，必等于戊乙丙、戊乙丁。

两直角十四、一直线于线上一防出不同方两直线偕元线毎旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线如甲乙线于丙防左出丙丁线右出丙戊线，若甲丙戊、甲丙丁两角与两直角等，则丁丙、丙戊必成丁戊一直线。十五，凡两直线相交，作四角，每两交角必等。如甲乙与丙丁两线相交于戊，则甲戊丙角与丁戊乙角必等，甲戊丁角与丙戊乙角必等。十六、凡三角形之外角，必大于相对之各角。如甲乙丙角形，引乙甲至丁，则外角丁甲丙，必大于相对之内角甲乙丙、甲丙乙。引丙甲至戊，其外角戊甲乙，亦大通曰：「此不论乙、甲、丙、角也。葢有时丁、甲、丙、角反。」

小于乙甲丙角故不论十七，凡三角形之每两角必小于两直角。如甲乙丙角形，甲乙丙、甲丙乙两角并小于戊乙丁、戊乙丙两直角。丙甲乙、甲乙丙两角亦小甲丙乙、丙甲乙两角亦小十八、凡三角形，大边对大角，小边对小角。如甲乙丙角形，甲乙边大于甲丙、丙乙两边，则甲乙边所对之甲丙乙角必大；甲丙边所对之乙角，乙丙边所对之甲角皆小十九，凡三角形，大角对大边，小角对小边。二十，凡三角形之两边，并之，必大于一边。二十一，凡三角形于一边之两界出两线，作小三角形于内，则内形两腰并必小于外相对两腰，而内所作角必大于外相对角，如甲乙丙角形，于乙丙边之两界作丁乙丙小角形，则丁丙、丁乙两线并必小于甲乙、甲丙并，而乙丁丙角必大于乙甲丙。

角二十二三，直线求作三角形，其每两线并大于一线。如甲乙丙三边，先任作丁戊线，长于三线并。次以甲为度，截丁己；以乙为度，截己庚；以丙为度，截庚辛。乃以己为心，丁为界，作丁壬癸圜。以庚为心，辛为界，作辛、壬、癸圜。两圜相遇于壬，于癸。再以庚、己为底，作癸、庚，癸、己两直线，即得己、癸、庚三角形。若两线并与其一线，或等或小，即不能成三角形也。通曰：「若庚防在丁壬圜内，及庚防虽在」丁壬圜外，而两圜不交，皆不能成三角形也。二十三，一直线任于一防上，求作一角与所设角等，如甲乙线与设丁戊己角，先于戊丁任。取庚防于戊己，任取辛防作庚辛线。次将甲乙线依庚戊、戊辛、辛庚度，用右法作壬丙癸角形，与丁戊角等。通曰：「壬丙等，庚戊丙癸等，戊辛癸壬等，辛庚，即右之甲乙丙三线也。」二十四两三角形，相当两腰各等，若一形腰间角大，则底亦大，如甲乙、甲丙两腰与丁戊、丁己两腰左右各等，若甲角大于丁角，其乙丙底必大于戊己底。二十五两，三角形，相当两腰各等。若一形底大，则腰间角亦大。二十六，两三角形相当之两角等，及相当之一边等，则余两边必等，余一角亦等。其一边不论在两角之内，及一角之对。二十七，两直线有他直线交加其上，若相对内两角等，则两直线必平行。如甲乙丙丁两线加戊己线交于庚辛，而甲庚辛角与丁辛庚角等，则甲乙丙丁两线必平行。二十八，两直线有他直线交加其上，若外角与同方相对之内角等，或同方两内角与两直角等，其两直线必平行。如甲乙丙丁两线加戊己线。交于庚辛，其戊庚甲外角与庚辛丙内角等，或甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等，则甲乙丙丁两线必平行。二十九，两平行线有他直线交加其上，则内相对两角必等，外角与同方相对之内角亦等，同方两内角亦与两直角等。

三十两直线与他直线平行则元两线亦平行【此论同面不同面线后别有论】如甲乙丙丁两线与戊己平行则甲乙与丙丁亦平行三十一，一防上求作直线与所设直线平行，如甲防与乙丙线，先从甲向乙丙线任指丁防，作甲丁线，成甲丁乙角，次于甲作戊甲丁角与甲丁乙角。等再引戊甲至己，则己戊线与乙丙平行。又法，作甲丁线，以丁为心，任作戊己圜界；次用元度，以甲为心作庚辛圜界，稍长于戊己，乃取戊己为度，截取庚辛。再作甲辛线，各引长之，即得。用法，设丙角、甲乙两线，求作有法四边形。先作丁己庚角与丙角等；次截己庚与甲等，丁己与乙等；再依丁己平行作戊庚，己庚平，行作丁戊，即得。三十二，凡三角形之外角与相对之内两角并等。三角形之内三角并与两直角等。如甲乙丙角形，引乙丙至丁，则甲丙丁外角与内甲乙两角并等。又甲乙丙三角并如甲丙丁角，既等于甲乙两角，又加丙甲，岂不与戊丙乙、戊丙丁两直角等乎？从此推之，如后图：甲当两直角，乙当四直角，丙当六直角。丁当八直角，自此可至无穷其多。边求当几直角者，以其所有之边内减二倍，其余即得。如丁形六边，减二存四，倍八，故知当八直角也。凡诸种角形之三角并俱相等。凡两腰等角形，若腰间直角，则余两角每当直角之半；腰间钝角，则余两角俱小于半直角；腰间锐角，则余两角俱大于半直角。平边角形，每角当直角三分之二。平边角形，若从一角向对边作垂线，分为两角形，此分形各有一直角在垂线下两旁，则垂线上两旁角毎当直角三分之一，其余两角每当直角三分之二。三十三两平行相等线之界，有两线聫之，其两线亦平行，亦相等。如甲丙乙丁两平行相等线，有甲乙、丙丁两线聫之，则甲乙、丙丁亦平行相等线。三十四，凡平行线方形，毎相对两边线各等，每相对两角各等，对角线分本形两平分。三十五，两平行方形，若同在平行线内，又同底，则两形等。如甲乙丙丁两平行线内，有丙丁戊甲丙。丁乙、己两平行方形同丙丁底，则此二形等。或戊己同防，其甲戊丁丙、戊乙丁丙两形亦等。或己在戊外，其丙丁戊甲、丙丁乙己两。形亦等，此言形等者，非腰等、角等，乃所函之地等也。后言形等者，仿此。三十六，两平行线内有两平行方形，若底等，则形亦等。三十七，两平行线内有两三角形，若同底，则两形必等。如甲乙丙丁两平行线内，有甲丙丁、乙丙丁两三角形。

同丙丁底则两形等三十八两平行线内有两三角形，若底等，则两形必等。又凡角形，任于一边，任作一防，求从防分本形为两平分。如取丁防，先向甲角作直线，次平分。乙丙于戊作戊己线，与甲丁平行。末作己丁直线，即分本形为两平分。三十九两，三角形，其底同，其形等，必在两平行线内。如甲乙丙形与丁丙乙形同，乙丙底，而两形复等，则自丁至甲作直线必与乙丙平行四十两，三角形其底等，其形等，必在两平行线内。四十一，两平行线内有一平行方形，一三角形同底，则方形倍大于三角形。如甲乙丙丁两平行线内，有甲丙戊丁方形，乙丁丙三角形，同丙丁底，则方形必倍大于角形四十二，有三角形，求作平行方形与之等，而方形角与所设角等。如甲乙丙角形，先两平分乙丙边于戊，作丙戊己角与所设丁角等。次自甲作直线与乙丙平行，而遇戊己线于己。末自丙作直线与戊己平行为丙庚，得己戊，丙庚平行，方形与甲乙丙角形等。四十三，凡方形对角线旁两余方形自相等。如甲乙丙丁方形，有甲丙对角线，则两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两形必等。四十四，一直线上求作平行方形与所设三角形等，而方形角有与所设角等。如甲线乙角形丙角，先作丁戊己庚平行方形与乙角形等，而戊己庚角与丙角等。次引庚己至辛，作己辛线与甲线等。次作辛壬线与戊己平行，又引丁戊至壬。次自壬至己作对角线，引出至癸。又引丁庚至癸相遇，再作癸子线，与庚辛平行。又引壬辛至子，引戊己至丑，得巳丑子辛平行方形。如求与乙角形等，四十五有多边直线形，求作一平行方形与之等，而方形角有与所设角等。如甲乙丙五边形，丁角，先分五边形为甲乙丙三，其三角形。次作戊己庚辛平行方形，与甲等，而有丁角。次于戊辛己庚两平行线，引长之作庚辛壬癸平行方形，与乙等。又引前线，作壬癸子丑平行方形，与丙等，并为戊己子丑平行方形，与五边形等，而有丁角。又，甲与乙两直线形不等，甲大，乙小，以乙减甲，求较几何？先任作丁丙、己戊平行方。形与甲等，次于丙丁线上，依丁角作丁丙辛庚平行方形，与乙等，得辛庚戊己平行方形，为相减之较矣。四十六，一直线上求立直角方形，如丙丁线上，两界各立垂线，甲丙乙丁与丙丁等，再作甲乙线，即得。四十七，凡三边直角形，对直角边上所作直角方形，与余两边上所作两直角方形并等。如甲乙丙角形，甲为直角，对甲之乙丙边上作子直角，方形与甲丙、甲乙两边所作丑寅两直角方形并等，通曰此▯幂内有勾股二幂也。乙丙，▯也。又凡直角方形之对角线，如甲丙，则甲丙线上，所作直角方形，必倍大于甲乙丙丁形。又设不等两直角方形，一以甲为边，一以乙为边，求别作两直角方形，自相等，并之，又与元设两形并等，先作丙戊线与甲等，次作戊丙丁直角，而丙丁与乙等，作戊丁线相聫，再于丁戊两角各作一角，皆半于直角者，为己戊，己丁相等，而遇于己，则己戊、己丁两线上所作两直角方形自相等，而并之，又与丙戊、丙丁两线上所作两直角方形并等。其曰半直角者，己戊丁半于庚戊丁，己丁戊半于辛丁戊也。又多直角方形，求并作一直角方形。与之等如五直角方形，以甲乙丙丁。戊为边，先作己庚辛直角，而己庚线与甲等庚辛线，与乙等次作己辛线，即作己辛壬直角，而壬辛与丙等，次作壬己线，即作己壬癸直角，而壬癸与丁等，次作己癸线，即作己癸子直角，而癸子与戊等，末作己子线，于此线上作直角方形，如求。四十八，凡三角形之一边上所作直角方形，与余边所作两直角方形并等，则对一边之角必直角。

论线一两直线，任以一线任分为若干分，其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等。如甲乙、乙丙两线，以乙丙三分之为乙庚、庚戊、戊丙，则甲乙偕乙丙之矩线内直角形，与甲乙偕乙庚、甲、乙偕庚、戊、甲、乙偕戊、丙三矩线内直角形并等。二一直线任两分之，其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并必等。如甲乙线任两分于丙，则甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙、甲乙偕丙乙两矩线内直角形并等三一直线，任两分之，其元线任偕一分线，矩内直角形与分余线偕一分线，矩内直角形及一分线上直角方形并等。如甲乙线分于丙，甲乙偕甲丙矩内直角形与分余丙乙偕甲丙矩内直角形及甲丙上直角方形并，必等。或如后图，甲乙偕丙乙矩内直角形与分余甲丙偕丙乙矩内直角形及丙乙上直角方形并亦等四一直线任两分之，其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内直角形并等。如甲乙线分于丙，甲乙线上直角方形与甲丙丙乙线上，两直角方形及甲丙偕丙乙，丙乙偕甲丙。<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,附録几何约》：>甲丙上及分内线丙丁上两直角方形相并，成庚辛丁磬折形。盖子与子等，丑寅与丑寅等，卯辰与卯辰等，故也。

十一直线两平分之，又任引增一线，共为一全线。其全线上及引増线上两直角方形并，倍大于平分半线上及分余半线偕引增线上两直角方形并。通曰：「如甲乙线平分于丙，又任引增为乙丁，则甲丁线上直角方形如丁戊者，与乙丁线上直角方形如乙己者，相并成戊己乙磬折形，倍大于甲丙线上直角方形如甲庚者；与丙丁线上直角方形如辛丙者，相并成辛庚甲磬折形。盖子丑与子丑等，寅卯与寅卯等，故也。」

十一　一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分余线上直角方形等如甲乙线先作甲丙直角方形次以甲丁平分于戊作戊乙线从戊甲引至己，令戊己与戊乙等，乃于甲乙线截取甲庚与甲己等，则甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等。十二三边钝角形之对钝角边上直角方形大于余边上两直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二，如甲乙丙形，乙为钝角，从余角如甲下一垂线，与钝角旁一边如丙乙引长之，遇于丁，为直角，则对钝角之甲丙边上直角方形大于甲乙、乙丙边上两直角方形并之，较为丙乙偕乙丁矩内直角形二，反说之，则甲乙、乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二相并与甲丙上直角方形等。十三、三边锐角形之对锐角边上直角方形，小于余边上两直角方形并之较。为锐角旁任用一边，偕其对角所下垂线旁之近锐角分线矩内直角形二。如甲乙丙三边锐角形，从一角如甲，向对边乙丙下「一垂线」，分乙丙于丁，则甲丙乙锐角。之相对甲乙边上直角方形小于乙丙、甲丙边上两直角方形并之，较为乙丙偕丁丙矩线内直角形二。反说之，则乙丙、甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并等。十四有直线形求作直角方形与之等，如甲无法四边形，先作乙丁形与之等而直角，次任用一边引长之，如丁丙引至己，而丙己与乙丙等，次以丁己两平分于庚，其庚防若在丙，即乙丁是直角方形与甲等矣，若庚防在丙外则以庚为心，丁己为界，作丁辛己半圜。再从乙丙线引长之，遇圜界于辛。即丙辛上直角方形与甲等。又直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙，而求本形边，先于甲乙上作甲丙直角方形次作乙丁对角线，又引长之为丁戊线，而丁戊与甲丁等，即得乙戊线如求。

论圜一有圜求防其心如甲乙丙丁，圜先于圜之两界，任作一甲丙直线，次两平分于戊，再于戊上作乙丁垂线，两平分于己，己即圜心，因显圜内有直线。分他线为两平分而作直角，即圜心在其内。二圜界任取二防，以直线相聨，则直线全在圜内。三直线过圜心，分他直线为两平分，其分处必为两直角。为两直角，必两平分。如乙丙丁圜，有丙戊线过甲心，分乙丁线为两平分，则己旁必两直角。

甲己为垂线故也四圜内不过心，两直线相交，不得俱为两平分。如甲丙乙丁，圜内有甲乙、丙丁两直线，俱不过己心，而交于戊。若甲乙为两平分，则丁丙不得两平分。若一过心，一不过心，即两线亦不得俱为两平分。五两圜相交，必有同心。

六两圜内相切必不同心七圜径离心任取一防，从防至圜界任出几线，其过心最大，不过心最小，余线愈近心者愈大，愈近不过心者愈小，诸线中止两线等。如甲丙丁戊乙圜，其径甲乙，其心己，离心任取一防为庚，从庚至圜界任出几线为庚丙，庚丁，庚戊，庚乙，庚甲。惟过心庚甲最大，不过心庚乙最小。庚丙大于庚丁，庚丁大于庚戊，而庚乙两旁止可出两线等，如庚辛等，庚戊，庚壬等，庚丁也。八圜外任取一防，从防任出几线，其至规内则过圜心线最大，余线愈离心愈小；其至规外则过圜心线为径之余者最小，余线愈近径余愈小，而诸线中止两线等。如乙己壬圜之外，从甲防任出几。线其一为过癸心之甲壬，其余为甲、辛、甲、庚、甲、己，皆至规内，则过心。之甲，壬最大；近心之甲，辛大于甲。庚甲己，最小规外之甲乙为乙壬，径余者最小，近径余之甲丙小于甲丁，甲戊为大矣。甲乙丙旁止可出两线，等如甲子等甲丙也。九圜内从一防至界作三线以上皆等，即此防必圜心。如从甲防至乙、丙、丁作三线，为甲乙、甲丙、甲丁，若三线等，则甲防必圜心。

十两圜相交止于两防十一两圜内相切作直线，聫两心，引出之必至切界。如甲乙丙，甲丁戊两圜内切于甲，己为甲乙丙之心，庚为甲丁戊之心，作己庚直线，聫两心，又引己至圜界必至相切之甲防十二两圜外相切，以直线聫两心，必过切界。如甲乙两圜外切于丁，甲心为丙，乙心为戊，作丙戊直线聫之，必过丁界。十三圜相切，不论内外，止于一防。十四、圜内两直线等，即距心之逺近等；距心逺近等，即两直线等。如甲乙丙丁，圜心戊，圜内甲乙、丁丙两线等，则庚戊、己戊逺近必等。十五径为圜内之大线，其余线近心大于逺心。十六圜径末之直角线，全在圜外，而直线偕圜界所作切边角，不得更作一直线入其内。其半圜分角大于各直线锐角，切边角小于各直线锐角。如甲丙径末之甲戊垂线，全在圜外。戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角，不得更作一直线入其内。丙甲线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角，大于各直线锐角；而戊甲线偕乙甲圜界所作切边角，小于各直线锐角。又有两种几何，一大一小。以小率半増之，递增至于无穷；以大率半减之，递减至于无穷。其元大者恒大，元小者恒小。如后图，直线切圜之戊、甲、乙，切边角。为小率，壬、庚、辛直线，锐角为大率。今别作甲丙、甲丁各圜，俱切戊己线于甲，其切边角愈增愈大，别以庚癸、庚子线作角，分壬庚辛角于庚，愈分愈小，恒大恒小，终不得相比。又甲丙，径甲不动，引丙线向己，渐移其所经乙丁戊中间无数，凡割圜皆为锐角，即小于半圜。分角才离，锐角便为直角，即大于半圜分角，是所经无数线终无有相等线也。又直线、锐角皆小于半圜分角，直角、钝角皆大于半圜分角，是大小终无等也。十七设一防，一圜，求从防作切线。如甲防与乙丙圜，其圜心丁。先从甲作甲丁直线，截圜于乙。次以丁为心，甲为界，作甲戊圜。乃作甲丁之垂线，为乙戊，遇甲戊圜于戊。又作戊丁直线，截乙丙圜于丙。再作甲丙直线，即切乙丙圜于丙也。十八、直线切圜，从圜心作直线至切界，必为切线之垂线。十九、直线切圜，圜内作切线之垂线，则圜心必在垂线之内。二十，负圜角与分圜角所负所分之圜分同，则分圜角必倍大于负圜角。如甲乙丙圜，其心丁，有乙丁丙分圜角，乙甲丙负圜角，同以乙丙圜分为底。

则乙丁丙角倍大于乙甲丙角又乙丁丁丙不作角于心，或如上图，为半圜；或如下图，为小半圜，则丁心外余。地为乙丁戊、戊丁丙两角倍大于同乙丁丙之底，负圜角为乙甲丙角也。二十一，凡同圜分内所作负圜角，俱等，如丁甲、乙丙圜。分内不论，此为大分，小分函心，不函。心但分内任作丁甲丙丁乙丙两角。

必等二十二，圜内切界四边形，每相对两角，并与两直角等。如圜心为戊，圜内有甲乙丙丁四边形，则甲乙丙、丙丁甲两角并，或乙丙丁、丁甲乙两角并与两直角必等二十三，一直线上作两圜分，不得相似而不相等。二十四，相等两直线上作相似两圜分，必等。如甲乙、丁戊两等直线上作甲丙、乙丁、己戊两相似。

圜分必等二十五有圜之分，求成圜，如甲乙丙圜分，先作甲丙线。次作乙丁，为甲丙之垂线，丁即分甲。丙为两平分，次作甲乙线，须视丁乙。甲角或大于丁甲乙角，或小或等。若大，则甲乙丙当为圜小分也。即作乙甲戊角与丁乙甲角等，次引乙丁至戊，戊即圜心。若丁乙甲角小于丁甲乙角，则甲乙丙当为圜大分也。即作乙甲戊角与丁乙甲角等，戊即圜心。若乙甲两角正等，则甲乙丙当为半圜分，丁即圜心矣。又法，于甲乙丙圜分任取三防，于甲，于乙，于丙，以两直线聫之，各两平分于丁，于戊，从丁，从戊作甲乙，乙丙之各垂线，为己丁，为己戊，而相遇于己，即己为圜心。又法，任取四防，为甲，为乙，为丙，为丁，每两防各自为心，相向各任作圜分，四圜分两相交于戊，于己，于庚，于辛，从戊己，从庚辛各作直线引长之，交于壬，即壬为圜心。二十六等圜之乗圜分角，或在心，或在界，等其所乗之圜分亦等。如在心者，为甲庚丙、丁辛己两角等；在界者，为甲乙丙、丁戊己两角。

等其甲丙丁己两圜分必等二十七等，圜之角所乗圜分等，则其角或在心，在界，俱等。此反前题也。如甲丁乙、丙两直线在一圜内而不相交，其相去之甲乙、丁丙两圜分等，则两线必平行二十八等，圜内之直线等，则其割本圜之分大与大小与小，各等。二十九，等圜之圜分等，则其割圜分之直线亦等。三十，有圜之分，求两平分之。如甲乙丙圜分，先作甲丙线，次两平分于丁，作乙丁线，为甲丙之垂线，即分甲乙丙圜为两平分。三十一，负半圜角，必直角。负大分角，小于直角。负小分角，大于直角。大圜分角，大于直角。小圜分角，小于直角。如甲乙戊丙圜，其心丁，径甲丙，于半圜分内，任作甲乙丙角，负半圜分，乙甲丙角，负乙甲丙大。分，又任作乙、戊、丙角，负乙、戊、丙小分，则负半圜之甲、乙、丙为直角，负大分之乙、甲、丙为锐角，负小分之乙、戊、丙为钝角。丙、乙、甲大圜分角大于直角，丙、乙、戊小圜分角小于直角。又凡角形之内，一角与两角并等，其一角必直角。何者？其外角与内相对之两角等，则与外角等之内交角，岂非直角？三十二，直线切圜，从切界任作直线割圜为两分，分内各任为负圜角，其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等。如甲乙线切圜于丙，从丙任作丙戊直线，不论过己心与不过己心。割圜两分，两分内任作丙丁戊、丙庚戊两负圜角，则甲丙戊角与丙庚戊角等，乙丙戊角与丙丁戊角等。通曰：割线正则左与左等，右与右等；割线偏则左与右等，右与左等。盖切线在外，割线在内，故也。三十三，一线上求作圜分，而负圜分角与所设直线角等，如甲乙线丙直角，先以甲乙两平分于丁，以丁为心，甲乙为界作半圜，圜分内作甲戊乙角。即负半圜角为直角而与丙等，若丙系锐角，先于甲防上作丁甲乙锐角与丙等，次作戊甲为甲丁之垂线，次作己乙甲角与己甲乙角等，乙己线遇甲戊线于己，即己乙、己甲两线等，以己为心甲为界，作圜则甲庚乙圜分内所作负圜角，必为锐角，而与丙等。若丙系钝角，如辛者，即作壬甲乙钝角，与辛等。又作戊甲为壬甲之垂线，余仿锐角法，而于甲乙线上作甲癸乙角，即与辛等。三十四，设圜求割一分，而负圜分角与所设直线角等。如甲乙丙圜，丁角。先作戊己线切圜于甲，次作己甲乙角与丁等，即割圜之甲乙线上所。作甲、丙、乙角，负甲、丙、乙圜分，而与丁等。三十五，圜内两直线交而相分，各两分线矩内直角形等。如甲乙丙丁两线圜内交于戊，若两线俱过心者，其各分四线等，则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等，或丙丁线过心。

而甲乙线不过心者或两线俱不过心者其甲戊偕戊，乙与丙戊偕戊，丁两矩内直角形亦等。三十六圜外任取一防，从防出两直线，一切圜一割圜，其割圜全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等。如甲乙丙圜外任取丁防，从丁作丁乙切圜线，而切于乙，作丁甲割线，毋论过心，不过心，而截圜界于丙，则甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等。又从圜外甲防作数线至规内，各全线偕各规外线，如甲戊偕甲丁，甲己偕甲丙，两矩内直角形必等。又从圜外甲防作两直线切圜，如甲乙，甲丙。必等亦止可作两线切圜，无三线也。三十七，圜外任于一防，出两直线，一至规外，一割圜。其割圜全线，偕割圜之规外线，矩内直角形与至规外之线上直角方形等，则至规外者必切圜线。此反前题也。

论圜内外形一有圜求作合圜线与所设线等，此设线不大于圜之径线。如甲乙丙圜与丁线，其丁线不大于径线，若大则不可合矣。先作圜径为乙丙，若乙丙与丁等者，即是合线。若丁小于径者，即乙丙上截取乙戊与丁等，次以乙为心，戊为界，作甲戊圜，交甲乙。丙圜于甲末作甲乙合线，即与丁等。通曰：「甲乙与乙戊等，凡两圜相交，毋论深浅，其一圜之半径必与合圜线等。」二、有圜，求作圜内三角切形，与所设三角形等角。如甲乙丙圜，与设角形，先作庚辛线，切圜于甲。次作庚甲乙角，与己角等。次作辛甲丙角，与戊角等，末作乙丙线，即圜内三角切形，与所设形之三角各等，甲等，丁乙等，戊丙等，己也。通曰：「凡三角形，并三角为一处，必成直线。盖圜外切线，自切界出，两线入规内，分切处为」三角，并此三角，必与设形三角相并等也。三有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角如图，先于戊己一边引长之为庚辛，次于圜界抵心作甲壬线，次作甲壬乙角与丁戊庚。角等次作乙、壬、丙角，与丁、己、辛角等次于甲、乙、丙上，作癸、子、子、丑、丑、癸三垂线切圜，而令角上相遇，则癸子丑三角与设形之丁戊己三角各等。四、三角形求作形内切圜。如图，先以甲乙丙角、甲丙乙角各两平分，作乙丁、丙丁两直线，遇于丁。自丁至角形之三边各作垂线，为丁己、丁庚、丁戊以丁为心，戊庚己为界，作圜，切甲乙丙角形之三边，五三角形，求作形外切圜。如图，先平分两边，分甲丙于戊甲乙于丁各作垂线为丁己戊己而遇于己其己防或在形内或在形外，或在乙丙边上，再作己甲、己丙、己乙三线等，以己为心，甲为界，作圜切三角。六有圜，求作内切圜直角方形。如图，作甲丙、乙丁两径线，直角相交于戊。次作甲乙、乙丙、丙丁、丁甲四线，即成甲乙丙丁内切圜直角方形。七、有圜求作外切圜直角方形。如图，作甲丙、乙丁两径线，直角交于戊。次于甲乙、丙丁作庚己、己辛、辛壬、壬庚四线，为两径之垂线，而相遇于己。辛、壬、庚即成，己、庚、壬、辛外切圜直角方形。八直角方形，求作形内切圜。如图，以四边各两平分之，于戊，于己，于庚，于辛。作辛己、戊庚两线，交于壬。以壬为心，戊为界，作圜，如所求。九直角方形求作形外切圜。如图，作甲丙丁乙对角两线，而交于戊。以戊为心，甲为界作圜，如所求。通曰：方外圆内，同径；圆外方内，方斜为圆径也。

十求作两边等三角形而底上两角各倍大于腰间角如图先任作甲乙线次分之于丙其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等次以甲为心，乙为界，作乙丁圜；次作乙丁合圜线，与甲丙等；末作甲丁线相聨，其甲乙、甲丁等，成两边等三角形，底上乙丁两角各倍大于甲角。

十一有圜求作圜内五边切形其形等边等角如图先作己庚辛两边等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分为丙、戊、丁、乙两线末作甲、乙、乙、丙、丙、丁、丁、戊、戊、甲五线相聫即得。十二有圜，求作圜外五边切形，其形等边等角，如图，先用右法作圜内五边等边等角切形，乃从己心作己甲、己乙、己丙、己丁、己戊五线，再从此五线作庚、辛、辛、壬、壬、癸、癸、子、子、庚五垂线，各界相遇，即得十三、五边等边等角形，求作形内切圜。如图，先分乙甲、戊甲、乙丙两角各两平分为己甲、己乙两线，遇于己。又自己作己庚为甲乙之垂线，而平分甲。乙于庚，再以己为心，庚为界，作圜如求。十四、五边等边等角形求作形外切圜。如图，分乙甲戊、甲乙丙两角各两平分为己甲、己乙两线，遇于己。以己为心，甲为界，如求。十五有圜，求作圜内六边切形，其形等边等角，如图，先作甲丁径线，庚为心，次以丁为心，庚为界作圜，两圜相交于丙，于戊，次从庚心作丙庚戊庚各引长之，为丙己戊乙末，作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相聫即得。又凡圜之半径为六分圜之一之分，▯庚丁与丙丁等也。十六有圜，求作圜内十五边切形，其形等边等角，如图，先作甲乙丙内切圜平边三角形，与丁等角，三边等也。次作甲戊己庚辛内切圜五边形，等角甲乙圜分之圜界为十五分之五分甲戊圜分之圜界为十五分之三分，戊乙为十五分之二分，乙己为十五分之一分也。依度作十五合圜线，如求盖甲乙圜分为三分圜之一，即命三甲戊圜分为五分圜之一，即命五，三五相乗得十五，即知两分法可作十五边形也。又如甲乙命三，甲戊命五，三五相较得二，即知戊乙得十五分之二也。以此法为例。又从甲防作数形之各一边，如甲乙为六边形之一边，甲丙为五边形之一边，甲丁为四边形之一边，甲戊为三边形之一边，甲乙命六甲丙命五较数一乗数三十，即知乙丙圜分为所作三十边等边等角形之一边也。又如后图，甲乙丙与丁戊两圜同己心，求于甲乙丙大圜丙作多边切形，不至丁戊小圜，其多边为偶数而等，先从己心作甲丙径线，截丁戊圜于戊。从戊作庚辛切线而为甲戊之垂线，乃于甲庚丙圜分减半，存乙丙，又减半，存壬丙，又减半，存癸丙，小于庚丙而止，作癸丙合圜线，此即所求切圜形之一边也。

论比例一，此数几何？彼数几何？此之各率同，几倍于彼之各率，则此之并率亦几倍于彼之并率。如甲乙二几何，大于丙丁二几何，各三倍，则甲乙并亦大于丙丁并三倍二六几何，其第一倍第二之数等于第三倍第四之数，而第五倍第二之数等于第六倍第四之数，则第一、第五并倍第二之数等于第三、第六并倍第四之数。如甲乙【一】倍丙【二】之数，若丁戊【三】倍己【四】之数，又乙庚【五】倍丙之数。若戊辛【六】倍己之数，则甲乙、乙庚并倍丙之数。若丁戊、戊辛并倍己之数。三、四，几何？其第一之倍于第二，若第三之倍于第四？次倍第一，又倍第三，其数等，则第一所倍之与第二，若第三所倍之与第四。如甲【一】所倍于乙【二】若丙【三】所倍于丁【四】次作戊己两几何，同若干倍于甲于丙，则以平理推之，戊倍乙之数，若己倍丁。四四几何，其第一与二偕第三与四比例等。第一、第三同，任为若干倍；第二、第四同，任为若干倍。则第一所倍与第二所倍，第三所倍与第四所倍比例等。如甲【一】与乙【二】偕丙【三】与丁【四】比。例等作戊与己同任若干倍于甲丙，别作庚与辛同任若干倍于乙丁，则戊与庚，偕己与辛比例亦等。五大小两几何，此全所倍于彼全。若此全截取之分所倍于彼全截取之分，则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之。如甲乙大几何，倍于丙丁小几何。若所截之甲戊倍于丙己，则分余之戊。

乙亦倍于己丁六，此两几何各倍于彼两几何，其数等于此两几何每减一分，其一分之各倍于所当彼几何，其数等，则其分余或各与彼几何等，或尚各倍于彼几何，其数亦等。如甲乙丙丁两几何各倍。于戊、己两几何？其数等。减甲、庚、丙、辛，若所减之倍戊、己等，则所余之倍等戊、己亦等。七，此两几何等，则与彼几何各为比例必等；而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等。如甲乙两几何等，彼几何丙，不论其等大小于甲乙。则甲与丙偕，乙与丙各为比例，必等；即丙与甲偕，丙与乙各为比例，亦等。八、大小两几何各与他几何为比例？则大与他之比例大于小与他之比例，而他与小之比例大于他与大之比例。如甲大，乙小，又有丙，不论其等大小于甲乙，则甲与丙之比例大于乙与丙之比例。

丙与乙亦大于丙与甲九两几何与一几何各为比例而等，则两几何必等；一几何与两几何各为比例而等，则两几何亦等。如甲乙两几何各与丙为比例等，或丙几何与甲与乙各为比例等，则甲与乙必等。十、彼此两几何，此几何与他几何之比例大于彼与他之比例，则此几何大于彼；他几何与彼几何之比例大于他与此之比例，则彼几何小于此。如甲、乙两几何，又有他几何丙，若甲与丙之比例大于乙与丙，则甲大于乙。若丙与乙之比例大于丙与甲，则乙小于甲。十一，此两几何之比例与他两几何之比例等，而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等，则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等。如甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比例等，则甲乙与丙丁之比例亦等十二数几何所为比例皆等，则并前率与并后率之比例，若各前率与各后率之比例。如甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者，甲与乙若丙与丁，丙与丁若戊与己也。则甲、丙、戊诸前率并与乙、丁、己诸后率，并之比例，若甲与乙，丙与丁，戊与己各前各后之比例也。十三数几何第一与二之比例，若第三与四之比例，而第三与四之比例大于第五与六之比例，则第一与二之比例亦大于第五与六之比例如甲【一】与乙【二】之比例，若丙【三】与丁【四】而丙丁之比例大于戊【五】与己【六】则甲乙之比例亦大于戊己。十四四几何，第一与二之比例，若第三与四之比例，而第一大于三，则第二亦大于四。第一或等、小于三，则第二亦等、小于三十五两分之比例，与两多分并之比例等。如甲与乙，同任倍之，为丙丁，为戊己。则丙丁与戊己之比例，若甲与乙。十六、四几何为两比例等？即更推前与前后与后为比例，亦等。如甲乙丙丁四几何，甲与乙之比例若丙与丁，更推之，则甲与丙之比例亦若乙与丁十七相合之两几何为比例等则分之为比例亦等如甲乙合丁乙丙戊合己戊其甲乙与丁乙之比例若丙戊与己戊分之甲丁与丁乙亦若丙己与己戊十八两，几何分之为比例等？则合之为比例亦等。此即反前题之说也。十九两几何？各截取一分，其所截取之比例与两全之比例等，则分余之比例与两全之比例亦等。如甲乙全与丙丁全之比例，若截甲戊与丙己，则余戊乙与己丁之比例，亦若甲乙与丙丁。又甲乙与戊乙，若丙丁与己，丁即转推甲乙，与甲戊，若丙丁与丙己也。二十有三，几何？又有三几何，相为连比例。而第一几何大于第三，则第四亦大于第六；第一或等，小于第三，则第四亦等，小于第六。如甲乙丙三几何，丁戊己三几何。其甲与乙之比例，若丁与戊；乙与丙。之比例，若戊与己，如甲大于丙，丁亦。大于己，甲丙等；丁己亦等，甲小于丙。

丁亦小于己二十一有三，几何？又有三，几何？相为连比例，而错以平理推之。若第一几何大于第三，则第四亦大于第六，第一或等小于第三，则第四亦等小于。

第六如甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例？不序，不序者，甲与乙。若戊与己，乙与丙，若丁与戊也。以平理推之：若甲大于于丙，丁亦大于己；甲丙等，丁己亦等；甲小于丙，丁亦小于己。二十二，有若干几何？又有若干几何？其数等，相为连比例。则以平理推。如有甲、乙、丙，又有丁、戊、己，而甲与乙之比例，若丁与戊；乙与丙，若戊与己。以平理推，甲与丙之比例，若丁与己。二十三，若干几何，又若干几何，相为连比例而错，亦以平理推。如甲乙丙，又丁戊己，相为连比例而错者，甲与乙，若戊与己；乙与丙，若丁与戊。以平理推，甲与丙之比例，亦若丁与己。

二十四凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四如甲乙【一】与丙【二】若丁戊【三】与己【四】而乙庚【五】与丙若戊辛【六】与己则甲乙，乙庚并与丙，若丁戊，戊辛并与己。二十五四几何为断比例？则最大与最小两几何并大于余两几何并。如甲与乙若丙与丁，甲最大，丁最小，则甲与丁并大于丙与乙并也。二十六，第一与二之比例大于第三与四之比例，反之则第二与一之比例小于第四与三之比例。如甲【一】与乙【二】之比例大于丙【三】与丁【四】反。之则乙与甲之比例小于丁与丙。二十七，第一与二之比例大于第三与四之比例，更之，则第一与三之比例亦大于第二与四之比例。如甲【一】与乙【二】之比例大于丙【三】与丁【四】更之则甲与丙之比例亦大于乙与丁。二十八，第一与二之比例大于第三与四之比例，合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例。如甲乙【一】与乙丙【二】之比例大于丁戊三与戊己【四】合之则甲丙与乙丙之比例亦大。

于丁己与戊己二十九，第一合第二与二之比例，大于第三合第四与四之比例，分之则第一与二之比例，亦大于第三与四之比例，此反前题之说也。三十，第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例，转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例。如甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己，转之则甲丙与甲乙之比例小于丁己于丁戊三十一，此三几何，彼三几何？此第一与二之比例大于彼第一与二之比例，此第二与三之比例大于彼第二与三之比例。如是序者，以平理推，则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例如甲乙丙，此三几何？丁戊己，彼三几何？而甲与乙之比例大于丁与戊，乙与丙之比例大于戊与己。如是序者，以平理推，则甲与丙之比例亦大于丁与己。三十二，此三几何，彼三几何？此第一与二之比例大于彼第二与三之比例，此第二与三之比例大于彼第一与二之比例。如是错者，以平理推，则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例。如此，甲乙丙，彼丁戊己，而甲与乙之比例大于戊与己乙与丙之比例大于丁与戊，如是错者，以平理推，则甲与丙之比例亦大于丁与己。三十三，此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例，则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例。如甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己，则两分余戊乙与己丁之比例大于甲乙与丙丁三十四，若干几何，又有若干几何，其数等，而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例，此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例，以后俱如是，则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例，亦大于此并减第一与彼并减第一之比例，而小于此第一与彼第一之比例。如甲乙丙，又丁戊己，其甲与丁之比例大于乙与戊，乙与戊之比例大于丙与己，则甲乙丙并与丁戊己并之比例大于丙，与己亦大于乙；丙并与戊，己并但小于甲与丁也。通曰：「比称数等者，是数等也。凡称比例等者，非数等也。数不等，而比例等也。」

论线面之比例一等髙之三角形、方形自相与为比例，与其底之比例等。如甲乙丙、丁戊己两三角形等髙，其底乙丙、戊己；如庚丙、戊辛两方形等髙，其底乙丙、戊己。则甲乙丙与丁戊己之比例，庚丙与戊辛之比例，皆若。

乙丙与戊己又甲、乙、丙与丁、戊、己两角形，甲、庚、乙、丙与丁、戊、己、辛两方形，其底乙、丙与戊、己。等则甲乙丙与丁戊己两角形之比例，甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例，皆若甲壬与丁癸之髙之比例也。二、三角形，任依一边作平行线，即此线分两余边以为比例，必等。三角形内有一边分两边以为比例而等，即此线与余边为平行。如甲乙丙角形，作丁戊与乙丙平行线于形内，则甲丁与丁乙之比例，若甲戊与戊丙。反言之，甲丁与丁乙，甲戊与戊丙比例若。

等则丁戊与乙丙两线必平行三三角形，任以直线分一角为两平分，而分对角边为两分，则两分之比例，若余两边之比例。三角形分角之线所分对角边之比例，若余两边，则所分角为两平分。如甲乙丙角形，以甲丁线分乙甲丙角。为两平分，则乙丁与丁丙之比例，若乙甲与甲丙。反言亦可。四、凡等角三角形，其在等角旁之各两腰线相与为比例，必等；而对等角之边为相似之边。如甲乙丙、丁丙戊两角形，各角俱等，则甲乙与乙丙之比例，若丁丙与丙戊；甲乙与甲丙，若丁丙与丁戊；甲丙与丙乙、若丁戊与戊丙，而每对等角之边各相似。相似者，谓各前、各后率各对本形之相当等角也。又凡角形内之直线，如丁戊与乙丙平行，则截一分之甲丁戊角形，必与甲乙丙全角形相似。又甲乙丙角形内作丁戊线，与乙丙平行，于乙丙边任取己防，向甲角作线，则乙己与己丙之比例若丁庚与庚戊五两三角形，其各两边之比例等，即两形为等角形，而对各相似边之角各等，此反前题之说也。六两三角形之一角等，而等角旁之各两边比例等，即两形为等角形，而对各相似边之角各等。如两角形之乙与戊两角等，而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己，则余角丙与己，甲与丁俱等。七两三角形之第一角等，而第二相当角各两旁之边比例等，其第三相当角或俱小于直角，或俱不小于直角，即两形为等角形，而对各相似边之角各等。如两角形之甲与丁角等，而第二相当角如丙角两旁之甲丙、丙乙两边，偕己角两旁之丁己己戊两边比例等，其第三之相当角，如乙与戊，或俱小，俱不小于直角，则丙角与己等，乙角与戊等。八直角三边形，从直角向对边作一垂线，分本形为两直角三边形，即两形皆与全形相似，亦自相似。如甲乙丙直角三边形，从乙甲丙直角作丁垂线，则所分甲丁丙、甲丁乙两三边形，皆与全形相似，亦自相似同直角也又从直角作垂线，即此线为两分对边线比例之中率，而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例之中率也。九一直线求截所取之分，如甲乙线欲取三分之一，先从甲任作甲丙线，为丙甲乙角。次从甲向丙任作所命分之平度，如甲丁，丁戊，戊己为三分也。次作己乙直线，末作丁庚线与己乙平行，即甲庚为甲乙三分之一十有直线求截各分如所设之截分如甲乙线先任作甲丙线又作丙乙线相聨乃任分于丁于戊即从丁作丁己从戊作戊庚皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚，若甲丙之分于丁于戊。又法如后图，甲乙线求五平分，任作丙乙线，次于乙丙上任取一防，作丁戊线与甲乙平行，次从丁向戊任作五平分为丁己、己庚、庚辛、辛壬、壬癸，令小于甲乙，次作甲癸子线，再作子壬、子辛、子庚、子己四线，各引长之，即分甲乙于丑、于寅、于夘、于辰为五平分也。又法，从甲从乙作甲丁、乙丙两平行线，次从乙任作戊己、庚辛四平分，次用元度从甲作壬癸、子丑四平分，末作戊丑、己子、庚癸。辛壬四线，即分甲乙于午，于辰，于卯，于寅，为五平分。又法，先作丙丁戊己两平行线，任平分若干格。今欲分甲线为五平分，即观甲线之度。以一角抵戊，一角抵庚辛。线如长于庚，即渐移之至壬而合。即戊壬之分为甲线之分。十一、两直线求别作一线相与为连比例如甲乙、甲丙两线，而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也。先引甲乙为乙丁，与甲丙等；次作丙乙线；次作丁戊线与丙乙平行，次引甲丙至戊，即丙戊线为所求。又法，以甲乙、乙丙两线别作甲乙丙直角，次以甲丙线聨之，次作丙丁为甲丙之垂线，末引甲乙至丁即乙丁线为所求十二三直线求别作一线相与为断比例如甲乙乙丙甲丁三线而甲乙与乙丙之比例若甲丁与他线也先以甲乙乙丙作一直线为甲丙以甲丁线任作甲角次作丁乙线次作丙戊线与丁乙平行次引甲丁至戊即丁戊线为所求十三两直线求别作一线为连比例之中率。如甲乙、乙丙两线，求甲乙与他线之比例，若他线与乙丙也。先以两线作一直线为甲丙，次两平分于戊。次以戊为心，甲丙为界，作半圜。次从乙至圜界，作乙丁垂线，即乙丁线为中率也。又，凡半圜内之垂线，皆为两分径线之中率线也。又，甲乙线大于甲丙二倍以上，求两分甲乙，而以甲丙为中率者，先以甲乙、甲丙作丙甲乙直。角平分甲乙于丁，以丁为心，甲乙为界，作半圜。次作丙戊与甲乙平行，遇圜界于戊。次作戊己垂线，分甲乙于己，即戊己为甲己、己乙两分之中率。戊己与甲丙等也。通曰：凡半圜外之切线，自等半径以下者，皆为全径两分之中率也。

十四两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视之边两平行方形之一角等而等角旁两边为互相视之边即两形等如甲乙丙丁乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊己庚两角又等此两角各两旁之两边，甲乙与乙庚之比例，若戊乙与乙丙也。反言之，亦可。十五相等，两三角形之一角等，即等角旁之各两边互相视。两三角形之一角等，而等角旁之各两边互相视，即两三角形等。如甲乙丙、乙丁戊两角形等，两乙角又等，此等角旁之各两边甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙也，反言之亦可。十六、四直线为断比例，即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等，首尾两线与中两线两矩内直角形等，即四线为断比例。如甲乙丙丁四线为断比例，甲与乙若丙与丁，而戊形系甲丁首尾两线矩内直角形，己形系乙丙中两线矩内直角形，则戊己两形必等。反言之，亦可。十七三直线为连比例，即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等。首尾线矩内直角形与中线上直角方形等，即三线为连比例。如甲乙丙三线为连比例，甲与乙若乙与丙，而丁形系甲丙首尾两线矩内直角形，戊形系乙上直角方形，则丁戊两形必等。反言之，亦可。十八直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等如甲乙线，先设丙丁戊己庚形，任从一角向各对角各作直线，而分本形为若干角形，如作己丙、己丁，分为丙丁己、丁己戊、丙己庚。三三角形，次于甲乙上作甲壬乙角形，与丙己丁等；角次作乙壬辛，与丁己戊等；角又作甲壬癸，与丙己庚等。角则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚相似而体势等矣。凡设多角形，俱仿此。又法，如设甲、乙、丙、丁、戊、己形，求于庚。线上作相似而体势等形，先引甲乙。至辛、甲、丑，亦然。次从甲向角各作直线，为甲壬、甲癸、甲子。次于甲乙线上截取甲辛与庚线等，不论其在乙内外。末作辛壬与乙丙平行，作壬癸与丙丁平行，作癸子与丁戊平行，作子丑与戊己平行，即所求。十九、相似三角形之比例，为其相似边再加之比。例如甲乙丙、丁戊己两角形，等角，乙与戊、丙与己相当之角各等，而甲乙与乙丙之比例，若丁戊与戊己，则两形之比例为乙丙与戊己两边再加。

之比例也又，凡三直线为连比例，即第一线上角形与第二线上角形之比例，若第一线与第三线之比例也。二十以三角形分相似之多边直线形，则分数必等，而相当之各三角形各相似，其各相当两三角形之比例，若两元形之比例，为两相似边再加之比例如此。甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线形，其乙甲戊庚己癸两角等，余相当之各角俱等，而各等角旁各两边之比例各等，则各以角形分之，其分数必等，如题所云。又甲线倍大于乙线，则甲上方形与乙上方形为四倍大之比例。又凢三直线为连比例，其线上多边形一与二之比例，若一与三。二十一，两直线形各与他直线形相似，则自相似。二十二，四直线为断比例，则两比例线上各任作自相似之直线形，亦为断比例。两比例线上各任作自相似之直线形为断比例，则四直线为断比例。二十三，等角两平行方形之比例，以两形之各两边两比例相结。如甲丙、丙己两平行方形之乙丙、丁戊、丙庚两角等，则两比例之前率，在此形两比。例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例，以乙丙与丙庚、偕丁丙与丙戊相结也。或以乙丙与丙戊、偕丁丙与丙庚相结，此乃不同理之比例也。二十四平行线，方形之两角线，方形自相似，亦与全形相似。如甲乙丙丁平行方形，作甲丙对角线，任作戊己庚辛两线，与丁丙、乙丙平行，而与对角线交相遇于壬，则戊、庚、己、辛两角线方形自相似，亦与全形相似。二十五两直线形，求作他直线形，与一形相似，与一形相等。如甲乙两形，先于甲形任取一边，如丙丁，上作平行方形，与甲等，为丙戊。次于丁戊边上作平行方形，与乙等，而丙丁庚己戊辛。俱为直线也。次作壬癸线，为丙丁、丁庚之中率。次于壬癸上作子形，与甲相似，而与乙等。通曰：「似者，形似也；等者，容等也。体势等者，非容等也。二十六平行方形之内，减一平行方形，其减形与元形相似，而体势等。又一角同，则减形必依元形之对角线。如乙丁形内减戊庚形，元形减形相似，而体势等。又戊甲庚同角，则戊庚形必依乙丁形之对」。

角线二十七，凡依直线之有阙平行方形，不满线者，其阙形与半线上之阙形相似而体势等，则半线上似阙形之有阙，依形必大于此有阙依形。如甲乙线平分于丙，于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形。对角线乙丁，次作甲乙、戊辛满元线，平行方形，即甲丁为甲丙半线上之有阙依形。丙戊为丙乙半线上之阙形，此两形相似相等体势，又等则甲乙线上凡作有阙依形不满线者，其阙形与丙戊相似而体势等。即甲丙半线上之甲丁有阙依形，必大于此有阙依形。二十八，一直线求作，依线之有阙平行方形，与所设直线形等，而其阙形与所设平行方形相似，其所设直线形不大于半线上所作平行方形，与所设平行方形相似者，如甲乙线平分于戊，于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形，与丁相似，而体势等次作甲、辛、庚、乙满元线平行方形。若甲己平行方形与丙等者，即得所求。甲己依线之有阙平行方形也。戊庚阙形也。二十九，一直线求作，依线之带余平行方形，与所设直线形等，而其余形与所设平行方形相似。如甲乙线平分于戊，于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形，与丁相似。别作平行方形与丙及戊庚并相等，为辛形。又别作平行方形与辛等又与丁相似，为壬癸子丑形，乃引己戊至卯，与壬丑等；引己庚至寅，与壬癸等。作夘寅平行方形，与申等。又引甲乙至酉，引庚乙至午，引午卯至未。又作甲未与己卯平行，得甲辰带余平行方形。依甲乙线与丙等，而酉午为其余形，与戊庚形相似，即与丁相似也。三十有直线，求作理分中末线。如甲乙线上，作甲丙直角方形。次依丁甲边，作丁己带余平行方形，与甲丙形等。而甲己为其余形，又与甲丙形相似。则戊己线分甲乙于辛，为理分中末线也。谓甲乙与甲辛若甲辛与辛乙也。三十一、三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形，若相似而体势等，则一形与两形并等。如甲乙丙三边直角形，乙甲丙为直角，于乙丙。上任作直线形，为丁于甲乙，甲丙上亦作己戊两形，与丁相似，而体势等则丁形与戊乙两形并必等。通曰：「此勾股半幂相并与▯半幂等也。」三十二两三角形，此形之两边与彼形之两边相似，而平置两形成一外角。若各相似之各两边各平行，则其余各一边相聨为一直线。如甲乙丙丁、丙戊两角形，甲乙、甲丙边与丁丙、丁戊边相似，则甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也。试平置两形，令相切。成甲、丙、丁外角，而甲乙与丁丙，甲丙与丁戊各平行，则乙丙、丙戊必一直线。三十三等，圜之乗圜分角，或在心，或在界，其各相当，两乗圜角之比例，皆若所乗两圜分之比例。而两分圜形之比例，亦若所乗两圜分之比例。如两圜等，其心为丁，为辛，各任割一圜分为乙丙，为己庚，其乗圜角之在心者为乙丁丙，己辛庚；在界者为乙甲丙、己戊庚，则乙丙与己庚两圜分之比例，若乙丁丙与己辛庚两角；又乙甲丙与己戊庚两角之比例，若乙丙与己庚。又乙丁、丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形，与己辛、辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例，亦若乙丙与己庚。又凡在圜心两角之比例皆若两分圜形。又在圜心角与四直角之比例，若圜心角所乗圜分与全圜界。

増题一圜与圜为其径与径再加之比例如甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己则甲乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例又全圜与全圜，半圜与半圜，相当分与相当分，任相与为比例，皆等。盖诸比例，皆两径再加之比例故也。又三边直角形，对直角边为径所作圜，与余两边为径所作两圜并等；半圜与两半圜并等，圜分与相似两圜分并等。又三线为连比例，以为径所作三圜，亦为连比例。推此，可求各圜之相与为比例者。又可以圜求各圜之相与为比例者。二直线形求减所命分，其所减所存各作形，与所设形相似而体势等。如甲形求减三分之一，先作丙丁形与甲等，与乙相似。次任于一边，如丙戊上作丙己戊半圜。次分丙戊为三分，而取其庚戊。一分从庚作己庚，为丙戊之垂线。次作己丙、己戊两线。次于己丙、己戊上作己辛、己壬两形，各与乙相似。又若于大圜求减所设小圜，以圜径当形边，法如右。又依此可作直角方形与初月形等，如甲乙丙丁圜，其界上有附圜四分之一为乙壬丙戊初。月形先从乙丙作甲乙丙丁，内切圜直角方形。次用方形法，四平分之，即其一为所求方形。

三两直线形求别作一直线形为连比例如甲子两形先作戊己庚直线形与甲等与子相似以相似两形之各一边如戊己乙丙为前率中率线而求其连比例之末率，线为辛壬，于辛壬上作辛壬癸形，与子丑两形相似，如求。

四三直线形求别作一直线形为断比例如甲丁辛三形先作戊形与甲等与丁相似次以三形之任各一边如壬癸乙丙己庚求其断比例之末，率线为寅卯。于寅卯上作寅卯辰形，与辛相似。如求五两直线形求别作一形为连比例之中率。如甲丁两形，先作戊己庚直线形与甲等，与丁相似。次求戊己乙丙两线之中率为辛壬，于辛壬上。作辛壬癸形，与戊己乙丙上两形相似，即为戊己乙丙两形之中率。又法，如后图，甲乙两形，先作丁丙戊己平行线形，与甲等；次作庚己辛壬平行线形，与乙等，与丁戊相似。以所作两形己角相聨，令丁、己、壬、戊、己、庚俱成直线，再引各边成丙子、辛癸平行线形，即两余方形俱为丁戊庚壬两形之中率。六一、直线形求分作两直线形，俱与所设形相似而体势等，其比例若所设两几何之比例，此与二题之法相同，但多乙丙两线之比例耳。如先取戊己边两分之于庚，令戊庚与庚己之比例若乙与丙也余用前法七一、直线形求分作两直线形，俱与所设形相似而体势等，其两分形两相似边之比例，若所设两几何之比。例如甲形，求分两形，俱与丁相似，其两分形，两相似之边，又与乙与丙之比例相若，先以乙丙两线求其连比例之末率为戊，次作己庚辛形与甲等，与丁相似，次分己辛于壬，令己壬与壬辛若乙与戊，余同二题之法。八两直线形求并一直线形与所设形相似而体势等如甲乙两形，先作戊丁己形与甲等，作己庚辛形与乙等，又各与所设丙相似，次令两形相似之戊己、己辛两边聨为直角，次作戊辛线聨之，于戊辛上作戊辛壬形，与丙相似，即与上两形并等也。又法，作一平行方形与甲乙两形并等，又作戊辛壬角形与平行方形等，又与丙相似，即所求。九圜内，两合线交而相分，其所分之线，彼此互相视。如圜内有甲丙、乙丁两合线交而相分于戊，则所分之甲戊、戊丙、乙戊、戊丁为互相视之线。谓甲戊与戊丁，若乙戊与戊丙也。又甲戊与乙戊，若戊丁与戊丙也。通曰：「两等线交，亦等；两不等线交，亦不等。」十圜外任取一防，从防出两直线，皆割圜至规内。其两全线与两规外线，彼此互相视。若从防作一切圜线，则必为各割圜全线与其规外线之各中率。如任取戊防，作戊丁、戊丙两割圜线，则戊丙与戊丁，若戊甲与戊乙；又戊丙与戊甲，若戊丁与戊乙也。或有戊己切圜线，则戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等，即戊丁偕戊甲亦然。十一、两直线相遇作角，从两腰之各一界互下垂线，而每方为两线，一自界至相遇处，一自界至垂线，则各相对之两线皆彼此互相视如甲乙丙、乙两线相遇于乙，作甲乙丙角，从甲作丙乙之垂线，从丙作甲乙之垂线。若甲乙丙为钝角，如甲丁丙、戊两垂线至甲乙丙乙之各引出线上，而甲戊、丙丁交而相分于乙也，若甲乙丙为锐角，如甲丁丙戊两垂线在甲乙丙乙之内交，而相分于己也，则两图之甲乙、乙戊、丙乙、乙丁皆互相视者，谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊，又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也。十二平行线形内，两直线与两边平行相交，而分元形为四平行线形。此四形任相与为比例，皆等。如甲丙平行线形内，戊己庚辛两线与甲丁、丁丙各平行，而交于壬，则所分之戊庚、庚己、乙壬、壬丙四形。

任相与为比例皆等十三、凡四边形之对角，两线交而相分，其所分四三角形，任相与为比例，皆等。如甲乙丙丁四边形之甲丙、乙丁两对角线交相分于戊，则所分甲戊丁、乙戊丙、甲戊乙、丁戊丙四三角形，任相与为比例，皆等十四、三角形，任于一边，任取一防，从防求作一线，分本形为两形，其两形之比例若所设两几何之比。例如，甲乙丙角形，任于一边，如乙丙上，任取一防，求丁，上作线，分本形为两形，其两形之比例若所设戊与己也。先两分乙丙于庚，令乙庚与庚丙之比例若戊与己，其庚与丁若同防，即作丁甲线，则乙丁甲与丁丙甲两角形之比例若戊与己也。假若庚防在丁丙之内，亦作丁甲线，从庚作庚辛线与丁甲平行，次作丁辛相聨，即丁辛线分本形为两形，其比例若戊与己也。又若庚防在乙丁之内，亦作丁甲线，从庚作庚辛线与丁甲平行，次作丁辛相聫即丁辛线分本形为两形，其比例若戊与己也。又凡角形任于一边，任取一防，从防求减命分之一，如前法作多倍大之比例，即得其所作倍数，每少于命分之一。如求减四分之一，即作三倍大之比例；减五分之一，即作四倍大之比例也。则全形与所减分之比例，其倍数若命分之数也。十五、一直线形求别作一直线形相似而体势等，其小大之比例如所设两几何之比例如，甲形先以所设乙丙及任用甲之一边如丁戊三线，求其断比例之末率为己，次求丁戊及己之中率线为庚辛，乃于庚辛上作壬形，与甲相似。甲与壬之比例，若乙与丙。用此法可依此直线形加作两倍大、三四五倍以至无穷之他形，亦可减作二分之一、三四五分之一以至无穷之他形。其此形与他形皆相似而体势等也。如甲乙丙丁直角方形，求别作五倍大之他形，先以甲乙线引长之，以甲乙为度截取五分至戊，令乙至戊五倍大于甲乙也。次以甲戊两平分于己次，以己为心，甲戊为界，作甲庚戊半圜。其乙丙线引之至圜界于庚，即乙庚为所求方形之一边也。再作庚辛壬乙直角方形，即五倍大于甲丙。又凡甲乙上不论何等与乙庚上形相似而体势等者，其乙庚上形皆五倍大于甲乙上形，相加相减俱仿此，以至无穷。十六，诸三角形，求作内切直角方形，如甲乙丙锐角形。先从甲角作甲丁，为乙丙之垂线，次以甲丁线两分于戊，令甲戊与戊丁。之比例若甲丁与乙丙，末从戊作己。庚线与乙丙平行，从己从庚作己辛、庚壬两线，皆与戊丁平行，即得己壬形，如所求。若直角、钝角，则从直角甲、钝角甲作垂线，余法同前。又若直角三边形，求依乙角作内切直角方形，则以垂线甲乙两分于丁，令甲丁与丁乙之比例若甲乙与乙丙次从丁作丁戊线与乙丙平行，从戊作戊己线与甲乙平行，即得丁己形如求。通曰：「西学莫精于象数，象数莫精于几何。余初读三过不解，忽秉烛玩之，竟夜而悟。明日质诸穆师，极▯许可。凡制器尚象，开物成务，以前民用以利出入，尽乎此矣。故约而记之于此。」

数度衍附录<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙》>钦定四库全书　　　　　子部六勾股引▯。天文算法类二【算书之属】提要。

【臣】等谨案勾股引▯五卷国朝陈訏撰。訏字言，杨海宁人，由贡生官淳安县教谕。是书成于康熈六十一年壬寅。首载加减乗除之法，杂引诸书。如加法则从同文算指，列位自左而右；减法则从梅文鼎笔算，列位自上而下，易横为直；乗法则用程大位算法统宗铺地锦法，画格为界；除法则用梅文鼎筹算，直书列位。至定位则又用西人横书之式。葢兼采诸法，故例不画一。至开带纵平方，但列较数而不列和数；开带纵立方，但列带一纵而不列带两纵相同及带两纵不同，皆为未备。所论勾股诸法，谓勾股和自乗方与弦积相减，所余之积转减▯积为股▯较，不知以勾股和自乗积与倍▯积相减，所余为勾股较积，不得为勾股较也。又谓勾股相乗，以勾股较除之，亦得容方，不知既用勾股容方本法，以勾股和除勾积股相乗矣，则用此一勾股相乗之积而勾股和与勾股较除之，皆得容方，无是理也。又谓勾股相乗之积为容方者四，斜▯内为容方者两，不知勾股形内以▯为界，止容一方。试以勾三股四之容方积较，尚不及勾股积四分之一，而股愈长则容方愈小者，更无论矣。又谓勾股▯之长恒两倍于容圆之周，不知平圆积以半周除之而得半径，勾股相乗积以总和除而得半径根，既不同，不得牵混为一也。如斯之类，亦多未协。其三角法则全録梅文鼎平三角举要畧，加诠释。所用八线小表，以余线可以正▯正切、正割三线加减得之，故不备列。其半径止用十万，亦测量全义所载泰西之旧表，无所发明。然算法精防，猝不易得其门径。此书由浅入深，循途开示于初学，亦不为无功。观其名以引▯宗防，可见録存其説，亦足为发轫之津梁也。乾隆四十六年十二月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总校官【臣】陆　费　墀钦定四库全书句股引▯海寜　陈訏　撰凡例六艺数居其一，句股又九章之一。古《周髀》积羃，今三角八线，皆句股法也。但不得其门，每多望洋。是编如「▯童初识之无」，渐至握管作文，或析其数，或明其理，为入门之始，故名《勾股引▯》。自筹算法行，珠算可废；至専用笔算，筹亦似可不用。宣城梅定九先生有《笔算》一书，备极诸用；然其要不过加减乘除四字。今止发其端，余不辞费，葢全帙中皆加减乗除故也。筹算剙自逺西，较珠算最为雅便。但定位置○殊费推▯，今有诀法，有假如简明易晓，庶无悮用。并列制筹之法，用时即不必▯筹，便楮可代。数学之有开方，为勾股之所必需。平方易，立方难。今不厌其详，务使开卷易明。至▯纵方，虽于勾股法不恒用，然法尤防奥，不可不知，故并载焉。勾股为测量诸法之原，变化神妙，不外叅互一定之数。今载唐荆川先生论，李凉庵《水部论》为注释数条，足以括其变化。有志之士，亦在熟之而已。测量法西刻备有成书，实与中法无异，但文义简奥。是编显浅明晰，且先列中法，后列西法。知中法自有勾股以来，未尝礼失而求诸野，但制器之巧，当推西法耳。三率，为西法比例所通用。凡三角法，皆三率法也。今附测量之末，三角法之前，一览了然，俾习者易如反掌。三角法，即测量全义中所载测三角直线法；至梅刻《三角举要》，尤明显矣。今备录梅本，而于取边取线之所以然，或附管见，或补图明之。三角八线必检表得度，虽弧三角【即西法三角曲线】与平三角防有不同，未可据平三角遽为步厯之准。然算三角若不得表，将何印证？但八线表未能备刻，今附八线小表，虽具体而微，然与八线全表无异。元李栾城测圆海镜，明顾箬溪为之注释。宣城梅定九先生谓：“止容圆一术，引而伸之，遂如五花八门。”想昔时视为絶学，今昌运作，人算学设馆肄习然。天府之书，无从窥见。即梅刻诸书，亦购觅甚难。是编不辞固陋，视李、顾二书，似各法具备，且由浅入深，人易晓悉。譬之江河滥觞之始，可涓涓不已，以至于海云尔。

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