数度衍卷十五

数度衍卷十五

桐城　方中通　撰丈量【方田之一】

定亩通曰：「弓步丈尺，虽二法，一理也。横一步，纵二百四十步；横一丈，纵六十丈，皆亩也。方五尺为步，是为一弓。五寸为分，五分为厘。二十五尺为弓，羃四其弓。羃则方面一丈，故知二百四」。十其弓羃，即六十其方面一丈也。每一弓得亩四毫一丝六忽六微六无尽，亩至百则曰顷。

积步求亩法长弓几何？广弓几何？相乗为积步。二广者，并数用二折；三广用三折；四广用四折。长亦若是折为一，长一广，然后相乗。非折而少之，折而方之也。既得积步，用除法求亩，详后式【按三折四折语有误】用二十四除式，术直田一坵，长四十弓，广十四弓四分，相乗得五百七十六步，用二十四除之，得二亩四分。折广式，术长四十弓，四广一曰十三弓，一曰十九弓四尺，一曰十二弓一尺，一曰十二弓三尺，先并诸广得五十六弓八尺，每尺作二分归整，得五十七弓六分，四广当用四除折之，折得十四弓四分，始与长弓相乗得五百七十六步，用二十四除见亩。

珠算飞归法诀曰一加三隔四　　　　二加六隔八进一除二，四，一曰二十四，子一方归。进二，除四八。一曰：四十八子，进二枚。进三除七二，一曰七十二子进三枚。进四，除九六。一曰：九十六子，进四枚。独三进一位二五【下位无子曰独】独九进三位七五。一、二身作五，一曰见一，作五下除二。六退一进二，一曰六十进二五，一曰六除留五上。

添二　　　　　　　　　一四四作六一六八作七　　　　　　一九二作八一八作七五　　　　　　三六进一五二一六作九通曰：「飞归者，二十四除之捷法也。进在左位，作加皆在本位，隔在右位之下位也。」式术直广皆六百六十六弓相乗得四十四万三千五百五十六步，用飞归丑寅二位，作四十四，曰进一除二四，进一在子位，丑除二十，存二，寅除四空，曰二加六隔八，丑存二加六为八，卯三加八寅得一，卯存一，曰一加三隔四，寅一加三为四，辰五加四为九，曰一二身作五，卯一竟改作五辰九内去二存七，曰进三除七二，卯五加三为八。辰去七空，巳除二，存三，曰进一，除二，四进一，在辰位，巳除二，存一，午除四，存二，曰一，二身作五，巳一改作五，午除二，实尽而止，得一千八百四十八亩一分五厘，原积千位为亩也。用三除八除式，术积二百四十步，先用三除得八，后用八除得一，乃一亩也。先用八除，后用三除，亦可用四除六除式。术积二百四十步，先用四除得六，后用六除得一亩，先用六除，后用四除，亦可。用两次五因，又六除式。术，积二百四十步。用五因，得一百二十；再用五因，得六十。又用六除，见亩。通曰：「用二十四除者，二百四十步为一亩也。三八乗得二十四，四六亦乗得二十四，故皆可用。五因即二除折半法也。两次五因即四除也，犹如先用四除，后用六除耳。」

积尺求亩法用六除式，术直八十尺，广七十五尺，相乗得六千尺，用六除之，得一亩。通曰：「广一弓，直二百四十弓，即广五尺，直一千二百尺也。以五乗一千二百，得六千尺，故用六除。」用倍尺，又二十四除式。术直八十尺，倍为一百六十尺；广七十五尺，倍为一百五十尺。然后相乗，得二万四千尺。再用二十四除，见亩。通曰：「此通尺为步也，五尺为步，宜用五除。然二因即五除，倍即二因也。尺之一百，即步之一十，此倍虚尺而求实积也。」

合积求亩法或直步广尺，或直尺广步。其积步法则化尺为步，其积尺法则化步为尺。凡步下有零尺寸者，皆化之。化尺式，术直十六步，广七十五尺，以二因广尺，得一百五十尺，作十五弓，然后相乗，得二百四十为积步，如法见亩。化步式，术直十六步，广七十五尺，以五因直步，得八十尺，然后相乗，得六千尺，为积尺，如法见亩。

不积求亩法直广不须相乗积步，随意以直为主，以广为主，而算其不主之弓数也。主直则算广，主广则算直。

诸率二弓折半，六而一【而一者，归也】三弓用八归。

四弓用六归五弓用六、八归【或先六后八，或先八后六，皆可】

六弓用四归　　　　　　八弓用三归九弓用五，因又四归；十二弓用折半。十五弓用二八归，十六弓用三归又加倍，十八弓折半又五因。二十四弓十为亩【见十弓为一亩也】二十五弓折半，又六八归。三十二弓四因，又三归三十六弓，用五因。三十七弓半，用八八归【两次八归也】四十八弓加一倍，六十四弓三归又八，因七十二弓加倍又五因，七十五弓用四八归，九十六弓用四因。主直式，术如以直为主者，直或二弓，或二十弓，或二百弓，则以广弓之数在位折半，余用六归见亩。主广式，术如以广为主者，广或十五弓，或一百五十弓，则以直弓之数在位，先用二归，后用八归，见亩。

步带竒零法单分母子式，术直十五步，广三步五分步之四。置三步以分母五通之，为十五，加分子四，共十九。又置直十五步，以分母五通之，为七十五。乃以七十五与十九相乗，得一千四百二十五为实，另以分母五自乗，得二十五为法，除实得积步。双分母子式，术直九十七步四十九分步之四十七，广二步二十分步之九。置广二步，以分母二十乗之【乗即通也】得四十，加分子九，共四十九。又置直九十七步，以分母四十九乗之，得四千七百五十三，加分子四十七，共四千八百。乃以两共数相乗，得二十三万五千二百为实，另以分母二十与四十九相乗，得九百八十为法，除实得积步。又式术圆田径六步十三分步之十二，周二十步四十一分步之三十二。以径求积者，置径六步，以母十三通为七十八，加子十二，共九十，自乗得八千一百。又以母十三减子十二，余一，以乗子十二，得十二，并自乗数共八千一百一十二。先三乗后四除，得六千○八十四为实，另以母十三自乗得一百六十九为法，除实得积步。以周求积者，置周二十步，以母四十一通为八百二十，加子三十二，共八百五十二，自乗得七十二万五千九百○四。又以母四十一减子三十二，余九，以乗子三十二，得二百八十八，并自乗数共七十二万六千一百九十二，以十二除之，得六万○五百一十六为实，另以母四十一自乗得一千六百八十一为法，除实得积步。

还原法反亩为步式。术：田七亩五分，求积。以二十四乗七亩五分，得一千八百，是为积步。反步为直，广式：术，积步一千八百，求直广。其法定以二十四弓为广，以亩数为直。今系七亩五分，即以七十五弓为直也。须知一亩作一十弓，十亩作一百弓，倍直半广式：术，如七分五厘积一百八十步，以二十四弓为广，以七弓五分为直太少，乃半广为一十二弓，倍直为一十五弓，或广直相易，以二十四弓为直，以七弓五分为广。半直倍广式，术如七十五亩，积一万八千步，以二十四弓为广，以七百五十弓为直，太多乃倍广为四十八弓，半直为三百七十五弓，如云尚多，又倍广半直，亦可直田积反求直广式。术积步一千八百，云直增广一倍，求直广，以积步折半得九百为实，平方开之得三十步为广，倍得六十步为直。

飞归还原诀曰：退一加二四，退二加四八，退三加七二，退四加九六。五留一二，六留一四四，七留一六八，八留一九二，九留二一六。通曰：飞归自左向右，还原自右向左，退在本位，加在下位，留亦在本位起也。

九则折亩率上上则三亩折一亩三分，乃二亩三分三厘零折一亩也。毛亩上定身三因三归。上中则三亩折一亩二分五厘，乃二亩四分折一亩也。毛亩上用飞归。上下则三亩折一亩二分，乃二亩五分折一亩也。毛亩上用四因，或积步上用六归。中上则三亩折一亩一分，乃二亩七分二厘零折一亩也。毛亩上定身一因三归。中中则三亩折一亩，毛亩上用三归。中下则二亩折九分，乃三亩三分三厘零折一亩也。毛亩上用三因。下上则三亩折八分，乃三亩七分五厘折一亩也。毛亩上八因三归，或积步上用九归。下中则三亩折七分五厘，乃四亩折一亩也。毛亩上用四归。下下则三亩折七分，乃四亩二分八厘零折一亩也。毛亩上七因三归。塘或六亩一分四厘折一亩。通曰：积步除得之亩，乃毛亩也。不折之处甚多，或用九则，折实率亦不一，大防如此。附録诀曰：毛田上上，定三因，因后三归实即真。只有上中飞，又用若逢上下，四因成定。身中上先加一，得数三归即便清。独是中中来折实，三归一徧即分明。毛当中下，三因得下上，三归又八因。若遇下中，归用四三归。下下七先因，或从积步来求实，九则中间两则行。上下六归，下上九不须。毛亩快如神。

田形【方田之二】

诸形量法方形术，以十二步自乗，得一百四十四，为积步。如法见亩。长形术，以直广相乗，得一百一十二，为积步。

圆形术以周折半为三十，径折半为一十，相乗得三百为积步。少广诸法皆可用。通曰：周自乗，四八九各除一徧见亩，径自乗。四八各除一徧，见亩不必积步矣。凡田非四方浑圆，不可量周。环形术，以外周折半为三十六，内周折半为一十八，相并得五十四，与径六步相乗，得三百二十四，为积步。凡田中有池有堆者，用此弧矢形术，以▯并矢得四十八，折半为二十四，与矢十二相乗，得二百八十八，为积步。通曰：已上五形，皆用少广法。四不等形术，东西并为五十六，此二广也。二折得二十八步，南北并为七十八，亦二直也。二折得三十九步，相乗得一千○九十二，为。积步【按此术内直广不取直角，非法以下求枫叶等形，亦多未合】五不等形术，并南北二西，得二十四步，以四折之，得六步，与东大角十步相乗，得六十，为积步【按误同上】

大角一边为长也勾股形术，以广折半为四步。圭形，同勾。与长相乗得八十为积步，股形术，枫叶形术，以口径四折得十步，上周折半得四十九，相并得五十九，与中直折半十五相。

乗得八百八十五为积步梳形术，以齿广三折，得二十，上周折半，得四十五，相并得六十五，与中十相乗，得六百五十。邱形术，周径相乗，得二十四万三千二百，以四折之，得六万○八百，为积步。尖锭形术，以长四十八，用四折得十二步，即于四十八内减十二，余三十六，三广并得四十二，三折得十四，与三十六相乗得五百○。

四为积步半环形术，并内外湾，得六十八，折半得三十四，与径八相乗，得二百七十二，为积步。新月形，同此。碗形术以口径折半，得十步，外周折半，得三十二，相乗，得三十二，为积步。菱形术，并内外湾得五十，折半得二十五，以径折半得五，相乗得一百二十五，为积步。长圆形术，以外周折半，得二十八，径折半，得一十，相乗，得二百八十，为积步。扇形术，并内外湾，得三十四，折半得十七，并两横得二十，折半得一十，相乘得一百七十，为积步。矩形同扇形术，内外曲即内外湾也。睂形术，以下▯二十三，并两径共三十三，折半为一百六十五【此即五因】再以下▯并虚径四为二十七，折半为一十三，五又乗虚径四得五十四，乃于一百六十五内减之，余一百一十一，为积步。梯形术，并二广为三十八，折半得十九，与长相乗得一千○二十六，为积步。不正形术，以中长折半为二十，东北与西南并为三十，相乗得六百，为积步。梭形术，以长折半，为十八，与濶相乗，得三百○六，为积步。半梭形同此。牛角形术，以广与长乗，得六千八百三十二半，之得三千四百一十六，为积步。

通曰：「先增虚形以求，后减虚形以得，此亦变法也。若形内可分为数形者，则有并法在。」

通曰：田形无穷，大约絶长补短，以取其形，可量耳。惟是下弓之处，务中其节，始得无差，不然则可任意大之、小之也。至或有计种数者，或有计税米之数者，随其则例求之可耳。他如北方之地，南方之洲，可用捆丈者，则又计绳而整量之。凡纵横皆七十七丈五尺为一顷也。

数度衍卷十五

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