九章録要卷五

九章録要卷五

松江屠文漪撰差分法古九章三曰：差分，亦曰衰分，以御贵贱廪税。一分递加，减衰分【以最少者一分之数递加成多，若从多者递减，则减至最少者而减尽也】法以一为首衰【从少者起算】自一而二，而三，四递加为各等衰，并之为总衰，以为一率，总实为二率，各等衰为三率，求得四率，即各等数。假如有银七十二两，甲、乙、丙、丁、戊五人，以一分递加减分之问，各几何？

一率　一十五【总衰　衰分章三率法独有宜先以一率除二率者】二率　七十二【总实　一率除二率得四两八钱】三率，五【甲衰】四【乙】三【丙】二【丁】一【戊】四率【二十，一十九，一十四，九两，四两，四两，两二钱，两四钱，六钱，八钱】右各等中，倘复各自有数不齐者，先以各衰乗之，为各总衰，然后并为大总衰。假如有粮二千四百石，甲、乙、丙、丁四等户依前例输之。甲等二十户，乙等三十户，丙等四十户，丁等五十户。则以甲衰四，乙衰三，丙衰二，丁衰一，各乗本等户数，为各总衰。甲得八十，乙九十，丙八十，丁五十，并三百为大总衰。列一二率如前。若以各总衰为三率，即得各等总数；以各衰为三率，即得各等每户数【以下诸法仿此】减半衰分【乙当甲之半，丙又当乙之半也】法以一为首衰，自一而二乗之，又二乗之为各等衰【以一二乗得二，以二二乗得四，并之得七，余仿此】列率乗除如前二八衰分【甲视乙为八与二，乙视丙又为八与二也】法以二为首，衰自二而四乗之，又四乗之为各等衰【以二四乗得八，以八四乗得三十二，并之得四十二，余仿此】列率乗除如前四六衰分【同上】法以四为首，衰自四而六乗之，四除之，又六乗，四除之，或以一又二之一乗之，亦同为各等衰【以四六乗四除得六，以六六乗四除得九，并之得一十九，余仿此】乗除如前。三七衰分【同上】法以三为首，衰自三而七乗之，三除之，又七乗，三除之，为各等衰【以三七乗三除得七，以七七乗三除得一十六又三分之一，并之得二十六又三之一，余仿此】乗除如前，或厌零分多者，就首衰之数以三乗之法通之。如甲乙二等衰分，不必言。如甲乙丙三等衰，则三乗首衰之三得九为首衰。甲乙丙丁四等衰，则又三乗九得二十七为首衰。甲乙丙丁戊五等衰，则又三乗二十七得八十一为首衰【每多一等则首衰多三乗一番】既增广其首衰，然后用七乗三除以求各等之衰，可以省零分矣。十分之六递减衰分，法以一为首衰【此从多者起算，所谓首衰之一，亦与前一为首衰者不同，前一只是一数，此则无定之数也】遇二等衰则为一，十三等衰则为一百，四等衰则为一千，以为首衰，乃自一而六乗之，十除之，又六乗十除之，为各等衰【以一百六乗十除得六十，以六十六乗十除得三十六，并之得一百九十六，余仿此】乗除如前，凡十分之七或八九诸数递减衰分，俱准此推之，不别为法，以滋繁琐。减半、二八、四六、三七、十分之六各衰分，以首尾二数求总实。减半衰分，亦名倍加衰分，葢言其自多而少，则曰减半；言其自少而多，则曰倍加，亦曰二乗加。

二八衰分是四乗加也，四六衰分是一又二之一乗加也【零分法，一又二之一化为二之三，乃用子乗母除，则当三乗二除，犹之六乗四除也】三七衰分是二又三之一乗加也【零分法，二又三之一化为三之七，乃用子乗母除，亦是七乗三除也】十分之六递减衰分是一又三之二乗加也【零分法，一又三之二化为三之五，乃用子乗母除，则当五乗三除，犹之十乗六除，以此递加与六乗十除递减同耳】以上所云几乗加者，但取衰分之数，以少除多，即得之【假如三七衰分，以三除七得二又三之一十分之六衰分，以六除十得一又三之二，即所云几乗加也】若各衰分止举首尾二等，最少、最多之数，问总实几何者，不必论其中间分作几等，但以首尾数多少相减，减余以原乗数减一数为法，而除之【假如原系四乗加者，以三除之；原系一又二之一乗加者，以二之一除之；原系二又三之一乗加者，以一又三之一除之；原系二乗加者，以一除之。一除固可不必除，然于法不容没此一除，恐似别为一法也】即得最少以至次多诸等之总实，以并最多数，即得全总实。右例以原乗数减一数为除法，亦不必求原乗数而减之，但以衰分之数多少相减，减余以少数除之，即得除法【假如三七衰分，三七相减余四，以三除四得一又三之一；十分之六衰分，十六相减余四，以六除四得三之二，与原乗数减一数同右一条新订】减半，二八四六三七，十分之六，各衰分，求隔等数，不论几乗，加但知首等最少之数，再知中间一等之数，即可隔等而求之。假如知首等数与第六等数者，第六等数已经五度加矣，则以此数自乗，以首等数除之，即得十度加之数【倍五为十也，凡自乗者以倍相求十度加乃是第十一等】若以六度加之数【第七等】自乗，以首等数除之，即得十二度加之数【第十三等】若以五度加、六度加之数相乗，以首等数除之，即得十一度加之数【五六并为十一也，凡二等数相乗者并而求之十一度加是第十二等】若以三度加【第四等】八度加【第九等】之数相乗，以首等数除之，亦得十一度加之数。此谓以少求多者，或以多求少。如以十六度加之数【第十七等】以首等数乗之，开方除之，即得八度加之数。亦可以十六度加之数，以首等数乗之，以十度加之数除之，得六度加之数。葢取以少求多之法而反用之，即是也【右一条新订】右求总实、求隔等数二法，凡三乗、加五乗、加及十分之七、之八、之九诸数递减，衰分准此推之，无不悉合。但必每等止一人者，乃可用耳。又如商贩获息，当母二之一，并入母银。又获息每度皆同，此亦一又二之一乗加也。但每度加之数俱合子母而言，则当以最后一度之数为总实，不得并诸度之数为总实。

且首一数即系原母，则一度自有一度之加。与甲乙分金十等人止须九度加者，亦微有辨也。合率衰分。率者，衰分多寡之大率也【与三率之率自不相涉，各有取义也】葢衰分各等之实数有所未知，而各等之大率已知，因合各率以与总实相权，而衰分得焉。不计其合，未有能分者也。然则以前诸法，无非合率衰分，而此独以合率名者，何也？前诸法若三七，若四六，皆有准则，固宜各有専名。而如左法各等多寡之率，初不以三七、四六为准，乃不可専名，而独名之合率也。各率为各衰，并之为总衰，乗除如前。假如有银二百四十两，甲乙丙丁四人分之，甲得九分，乙得七分，丙得五分，丁得四分，则甲衰九，乙衰七，丙衰五，丁衰四，并之为二十五，为总衰也。其各等中又各有数不齐者，亦依前法。兹仍具例于左，以备参观。假如有银七两零八分，欲买铜一停，锡二停，铅三停。其价，铜每斤一钱八分，锡一钱三分，铅五分。问三物各几何？一率，五十九【总衰一铜价，二锡价，三铅价，并】二率，七百零八【总价，一率除二率，得一十二】三率，一【铜衰】二【锡】三【铅】四率，一十二【铜斤数】二十四【锡】三十六【铅】右总衰、总价俱化两钱为分者，既得三物斤数，各以价乗之，得各总价数，或以铜总衰一十八分、锡总衰二十六分、铅总衰一十五分为三率，即先得各总价，乃各以价除之，亦得各斤数。又如，有银五百九十四两，籴米一停，麦二停，豆三停，共三百九十六石。其价，米一石抵麦一石六斗，抵豆二石。问三物及价各几何？此须用重测法。先以米衰一，麦衰二，豆衰三，并之得六，为总衰，为一率；三物共石数为二率；各衰为三率，求得三物各石数【米六十六，麦一百三十二，豆一百九十八】然后别求各价。其法，置三物停数，以三物相当抵之数乗除之，或益贵物以从贱，则用乗；或减贱物以从贵，则用除，以为各衰，仍并之为总衰，为一率；三物共价为二率；各衰为三率，求得三物各总价。乃以前所求三物各石数除之，即得每石价【米二两四钱，麦一两五钱，豆一两二钱】

一率　三又四之三【总衰】

二率　五百九十四【总价两数　一率除二率得一百五十八又五之二】三率　一【米衰】　一又四之一【麦】　一又二之一【豆】四率　【一百五十八　一百九十　二百三十七两四钱米　　八两麦　　两六钱豆】右以米为主而减麦与豆以从之米衰一得一麦衰二以一又五之三除之【即一六也米一抵麦一六故】得一又四之一豆衰三以二除之【米一抵豆二故】得一又二之一并之得三又四之三又式一率　七又二之一【总衰】二率，五百九十四【总价，一率除二率得七十九又五之一】三率，二【米衰】二又二之一【麦】三【豆】

四率右以豆为主，而益米与麦以从之。豆衰三，得三；米衰一，以二乗之，得二；麦衰二，以一又五之三除之【先除以从米】再以二乗之【次乗以从豆】得二又二之一，并之，得七又二之一。

又式一率　六【总衰】二率，五百九十四【总价，一率除二率得九十九】三率，一又五之三【米衰】二【麦】二又五之二【豆】四率。右以麦为主，而益米，减豆，以从之。麦衰二，得二；米衰一，以一又五之三乗之，得一又五之三；豆衰三，以二除之【先除以从米】次以一又五之三乗之【次乗以从麦】得二又五之二，并之得六。右例或不复用米一、麦二、豆三等衰，但就三物各石数而取一数为主，其余则益贵减贱以从之为总衰，以除总价，即得其物每石之价，依法复损益之，得余二物每石之价。如以米为主，米六十六，麦一百三十二，以一又五之三除之，得八十二又二之一；豆一百九十八，以二除之，得九十九，并之得二百四十七又二之一，以除总价，得二两四钱，即米每石价也。仍以一又五之三除之，得麦价；以二除之，得豆价。若以麦、豆为主，法并仿此【右一条新订】合率带分母子衰分。合率衰分，其间等差，各带母子分数者，自有带分之法。假如有银七百九十五两，甲、乙、丙、丁四人分之。乙得甲十之七，丙得乙十四之三，丁得丙十二之十一。问各实数几何？其法先并各衰分数，并各子以乗各母，从小数并起。惟丁衰十一无并，其丙衰系十二，又系三，则以十二并三，用三除十二得四，即以四乗乙之十四得五十六为乙衰。乙系五十六，又系七，则以五十六并七，用七除五十六得八，即以八乗甲之十得八十为甲衰。并之得一百五十九为总衰。

一率　一百五十九【总衰】二率，七百九十五【总银，一率除二率得五】三率，八十【甲衰】五十六【乙】十二【丙】十一【丁】四率，四百；二百八十，六十，五十五。右法或遇不可并者，如云丁得丙十三之十一，则丙衰系十三，又系三，欲以十三并三，用三除十三，除之不尽，即不用除，却以十三乗乙之十四，得一百八十二为乙衰，依法推得二百六十为甲衰，其丙之十三，丁之十一，转须用三乗之以为衰，丙得三十九，丁得三十三也。合率带分匿总实以较求衰分。假如四人分银，不知总实，但云乙得甲六之五，丙得甲四之三，丁得甲二十四之一十七。其丙与丁差四两，问各几何？此三母皆甲也。用并母法，累乗得五百七十六为甲衰。乃以乙、丙、丁之原子乗之，原母除之，以求其子，而得四百八十为乙衰，四百三十二为丙衰，四百零八为丁衰。以丙丁二衰之较为一率，丙丁之较为二率，各衰为三率【不用约法，览之易晓】

一率　二十四二率　四三率，五百七十六【甲】四百八十乙，四百三十二【丙】四百八【丁】四率九十六，八十，七十二，六十八。右例带分，与前例母子不同，其法互见而可相通。前亦可以较求分，此亦可以总实求分也。又凡以前诸衰分法，若匿其总实，任举一等所得之数，或两等所差之数，皆可仿二例而求之。合率带分匿总实以余实求分。假如四人分银，不知总实，但云甲得八之三，乙得四之一，丙得五之一，丁得六之一，尚余五两。问各几何？此四母皆银也。用并母法，得九百六十为总衰。乃以甲乙丙丁之原子乗之，原母除之，而得三百六十为甲衰，二百四十为乙衰，一百九十二为丙衰，一百六十为丁衰。以四衰减总衰，余八为余银之衰为一率，余银为二率，各衰为三率【率式不赘，但求得总实即得各分数矣】右例四母皆据总实言之，故可以余实求总实，求分。若以前诸衰分法，不可以余实求也。右例亦可任举两等所得之较以求之【又右二例俱可用借征法，葢用并分法亦借衰也】一数递加减衰分，以等求总实【与一分递加减相类而不同者，一分为不定之数，一数则一而已。又自此以下及同较衰分，共十法，皆谓每等只一人者，与以前诸法自别】凡一数递加，自一而二，而三，四，此不难于衰分，须求总实防法耳。假如欲分十五等，问总实几何？法以首等一【以少者为首】并末等十五【等十五则末等所得数亦十五也】得十六，以等数乗之，折半得一百二十为总实。又如有物倚墙一面，尖堆，下广二十四枚，以首层一，并下层二十四，得二十五，以层数【即下广数】乗之，折半得三百为总积【前一分递加法，若每等只一人者，亦可用此以求总实，但依法所得数须更以较数乗之，方得总实。若未经较数相乗，止得总衰而非总实也。假如每一分银四两递加分十五等，依法得一百二十为总衰，更以每等之较四乗之，得四百八十为总实也】一数递加减衰分以总实求等。假如总实一百二十，以一数递加分之，得几等？法：倍实开方除之，得十五，而余实亦十五，即十五是等数。又如总积物三百，欲作倚墙一面尖堆，倍积开方得二十四，而余实亦二十四，即二十四是下广数【前一分递加法，若每等只一人者，亦可用此以求等数，但须先以每等之较数为法除实，而后依上法求之。假如银四百八十两，每一分四两递加分之，则先以较四除实得一百二十，乃依法求得十五为等数也】右二法，谓首等数起于一者，故比之倚墙一面尖堆。若不从一数起，即各等俱以一数递加，但谓之同较衰分，不在此例。如倚墙一面平堆，每层亦俱较一，而当依同较衰分法也【前一分递加衰分，亦谓首等所得之一分，同于各等所差之一分也。

如其不然，即是同较衰分矣】又右二法不可用之同较衰分而下同较诸法【凡七法】则可用之，一数递加衰分也【亦可用之，一分递加之，每等只一人者右一条新增】同较衰分【不论较数几何，但甲乙之较，乙丙之较，丙丁之较各等俱同者是也】假如总实九十九，作十一等分之各等俱较一数，问各几何？法以等数减一，存十，与等数相乗，折半得五十五，以较一乗之，仍得五十五【较一则乗犹不乗也，而于法不可无此一乗者，为较不止于一者而设也】以减总实，余四十四，以等数除之，得四为首等数；或以并总实得一百五十四，以等数除之，得十四为末等数，余以次推之。同较衰分以等及较与首数求尾数，与尾数求首数，求总实。如前例，十一等，每等各较一。法以等数减一，存十，以较一乗之，仍得十，并首数四，得尾数。减尾数十四，得首数。并首尾数，以等数乗之，折半得总实。同较衰分，以较与首尾数求等，求总实。法：以首尾数相减，得首尾较，以较除之，加一数，得等数。如前法求总实。同较衰分以总实及较与首尾和求等求分。法以首尾和折半为法，除总实得等数。即以等数减一，乗较数得首尾较和。较相减半之得首数，相并半之得尾数。同较衰分以总实及等与首尾较求较求分。法倍总实以等数除之，得首尾和，如前法求之。再以等数减一除首尾较，得各较。同较衰分以总实及等与首几等和或尾几等和求较求分【言或者首尾不必并举】法以带和之等数乗总实，以全等数除之【所得数乃首尾几等应得均平之数也，因衰分而多少不均，近尾者必盈，近首者必不足，而此盈彼不足其数必相当，故下但云与和相减而不必问其首尾也】与和数相减，减余以带和之等数折半为法除之，再以全等数减带和等数为法除之，得各较【右一条新增】同较衰分以等与首几等和尾几等和求较求分求总实。假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分银，甲乙丙三人共一百一十一两，庚辛二人共四十一两，问各较几何？各分几何？总实几何？法：以三互乗四十一，得一百二十三；以二互乗一百一十一，得二百二十二；相减余九十九。又以二三相并得五，折半为二又二之一，以减人数总八，余五又二之一。又以二三相乗得六，以乗五又二之一，得三十三为法，以除九十九，得三为各较数。乃以甲乙丙和三除之，得乙数，加较得甲数，减较得丙数；或以庚辛和并较半之，得庚数，减较半之得辛数。次求丁戊已数，并八数为总实【右例但取首尾并举，而或举首尾各二人，或各三人，或各四人，或首三人尾五人，或首七人尾一人，任意多寡于法皆通。即总数满百人，而但举首尾两三人，亦无不可也】同较衰分令多寡齐数法。

假如有银二百七十两，作甲乙丙丁戊五等分之。甲乙二人数与丙丁戊三人数齐，问各几何？法如一分递加减列衰：甲五，乙四，丙三，丁二，戊一。乃并甲乙衰得九，并丙丁戊衰得六，相减较三。以二人三人相减之较一为法，除之仍得三【较一则亦不必除，而言除者为较有不止于一者也】却于五等衰各加三数为各衰，并之为总衰，列三率求之。

一率　三十【总衰】二率，二百七十【总实，一率除二率得九】三率，八【甲衰】七【乙】六【丙】五【丁】四【戊】四率七十二六十三五十四四十五三十六。又如，有银七十两，作甲、乙、丙、丁、戊、已、庚七人分之。甲、乙二人数与丙、丁、戊、已、庚五人数齐，问各几何？法列衰：甲七，乙六，丙五，丁四，戊三，已二，庚一。并甲乙衰得十三，并丙丁戊已庚衰得十五。相减较二，而此乃五人之数多于二人，与前二人之数多于三人者不同，亦以二人、五人相减之较三为法除之，得三之二。却于五等衰各减三之二为各衰，并为总衰，如前求之。一率二十三又三之一【总衰】二率，七十【总实，一率除二率得三】

按：一数递加，一分递加，衰分只三人。甲数与乙、丙数齐，而余皆不能，故此法独不可以相通也。

同较衰分又法　前同较衰分八法皆谓每等只一人者据实与等与较及首尾数更互相求于法止可每等一人耳▯但欲衰分则虽每等之中复有人数多寡不齐非无法以分之　假如银三百二十四两甲乙丙丁四等人分之每等较三两甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人问各几何法以较三乗乙四人得十二倍较为六乗丙六人得三十六三乗较为九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并总实得四百六十二以甲乙丙丁总二十二人除之得二十一为甲等一人所得数递减较得各等数【右一条新增或以较三乗丙六人较六乗乙四人较九乗甲二人并得六十减总实得二百六十四除得十二为丁等数】母子差分【此谓商贾以母银得息，非带分之母子也】假如三商共得子银四百两，甲母三百两，经十个月；乙母六百两，丙母八百两，俱不知月。其子银则甲得二百两，乙得一百二十两，丙得八十两。问乙、丙出母银经几月？

一率　二百【甲子】

二率　三千【甲母乗月数】三率，一百二十【乙子】八十【丙子】四率，一千八百【乙母兼月数】一千二百【丙母兼月数】各再以母除，得月数：乙得三，丙得一又二之一。又如三商共得子银一百三十八两，甲出母二百两，经十二月；乙母二百四十两，不知月；丙经十个月，不知母。其子银则甲得六十，乙得四十八，丙得三十。问乙月、丙母。

一率　六十【甲子】二率，二千四百【甲母乗月数】三率，四十八【乙子】三十【丙子】四率，一千九百二十【乙母兼月数】一千二百【丙母兼月数】。乙再以母除，丙再以月除，得得八月，一百二十两】又如三商共得子银一千五百二十两，甲母一千八十两，乙母三百六十两，丙不知母，其子银则丙得二百四十两，问甲乙各子及丙母。一率，一千四百四十【甲乙共母】二率，一千二百八十【总子减丙子，得甲乙共子】三率，一千八十【甲母】三百六十【乙母】四率，九百六十【甲子】三百二十【乙子】

又一率，一千二百八十【甲乙共子】二率，一千四百四十【甲乙共母】

三率　二百四十【丙子】

四率　二百七十【丙母】又如，二商共得子银一百两，甲母倍于乙，外又一十五两，其子银则甲得六十八两，乙得三十二两，问甲乙母各几何？一率，四【甲子倍乙外，又盈此数】二率，十五【甲母倍乙，外又盈此数】三率，六十八【甲子】三十二【乙子】四率，二百五十五【甲母】一百二十【乙母】贵贱差分法以贵价乗总物数，与总价数相减，余以贵贱价较数为法除之，得贱物数；或以贱价乗总物数，与总价数相减，余以价较数为法除之，得贵物数。假如米每石价二两，麦每石价一两六钱，总银七十四两，买米麦共四十石，问各几何？法以米价乗总石数，得八十，减总价得六，以米麦价较五分两之二为法除之，得一十五，是麦石数，余为米石数；或先求米石数，亦可。又如上酒每斗价钱三百，次酒每斗价二百二十。今欲襍和二酒，立价二百五十。问一斗内上酒几何，次酒几何？法以上酒价减立价，余五十。以上次价较八十为法除之，得八分斗之五为次酒，余八分斗之三为上酒也。或以次酒价减立价算之，先得上酒数，亦同。匿价差分假如总银八百两买绫一百匹，罗二百匹，绢二百匹。其价绫比罗每匹多六钱，罗比绢每匹多八钱。问三物各价几何？法以罗二百匹乗罗绢价较，得一百六十两。以绫一百匹乗绫罗、罗绢二价较，得一百四十两。并之得三百两，以减总价得五百两。以总匹数五百除之，得一两为绢每匹价。以次推得绫、罗价。或以罗二百匹乗绫罗价较，得一百二十两。以绢二百匹乗绫罗、罗绢二价较，得二百八十两。并之得四百两，以并总价得一千二百两。以总匹数五百除之，得二两四钱为绫每匹价。又或先求罗价亦可。又如米十四石，麦十八石，两总价适等，但云米每石价多于麦三钱六分。问二物各价几何？法以米、麦石数较四除价较得九分。以麦数十八乗之得米每石价。以米数十四乗之得麦每石价。又如金九块，银十一块，其总重适等，交换一块，则金轻十三两，问金银各块重？法以轻重较十三两折半，得六两五钱，以金银块数较二除之，得三两二钱五分，以银数十一乗之，得金每块重，以金数九乗之，得银每块重【此与上米麦例同，惟折半不同耳，葢轻重交换较二，实止较一，故须折也】襍差分法。假如出兵，大小船数相等。大船每三只载五百名，小船每四只载三百名。共载兵四千三百五十名，问大小船各几只？各总载兵几何？一率，二千九百【三只五百名，四只三百名，互乗并得兵数为兵总衰】二率，一十二【三只，四只，相乗船数，为大小船各衰】三率，四千三百五十【总兵数】

四率　一十八【大小船各数】

次求大小船各总载兵数一率　三　　　　　四二率　五百　　　　三百三率　一十八　　　一十八四率，三千【大船总载兵数】一千三百五十【小船总载兵数】右例亦可先求大小船各总载兵数。一率，二千九百【三只五百名，四只三百名，互乗并得兵数为兵总衰】二率，四千三百五十【总兵数】三率，二千【四只互乗五百，名为大船兵衰】九百【三只互乗三百，名为小船兵衰】

四率　三千　　　　一千三百五十次求大小船各数一率　五百　　　　三百二率　三　　　　　四三率　三千　　　　一千三百五十四率　一十八　　　一十八又如出兵，左右营兵数相等。左营用大船，每三只载五百名；右营用小船，每四只载三百名。共用船一百七十四只，问左右营兵各几何？各总用船几只？一率二千九百【三只五百名，四只三百名，互乗并得船数约为二十九】二率一十五万【五百，三百相乗，兵数约为一千五百以百为通数】

三率　一百七十四【总船数】

四率　九千【左右营各兵数】

次求各总用船数一率　五百　　　　　三百二率　三　　　　　　四三率　九千　　　　　九千四率，五十四【左营用大船数】一百二十【右营用小船数】

右例亦可先求大小船各总数一率二千九百【三只五百四只三百互乗并得船数为船总衰约为二十九】二率一百七十四【总船数】三率，九百【三百互乗，三只为大船，衰约为九】二千【五百互乘，四只为小船，衰约为二十】

四率　五十四　　　　一百二十次求各总载兵数一率　三　　　　四二率　五百　　　三百三率　五十四　　一百二十四率　九千　　　九千又如犒师，每二十四名给牛一头，每五名给羊一头，共用牛羊一千七百四十头，问兵几何？牛羊各几何？一率二十九【二十四名一头，五名一头，互乗并得牛羊数】二率，一百二十【二十四名，五名相乗，兵数】三率，一千七百四十【牛羊总数】

四率　七千二百【兵数】

次求牛羊各总数一率　二十四　　　五二率　一　　　　　一三率　七千二百　　七千二百四率，三百【牛数】一千四百四十【羊数】右例初测，第一率不必互乗，直以五与二十四并，得二十九。再测不必列第二率，直以二十四与五除兵数，即得牛与羊各总数。而立法必如是者，葢此例与前二例本同一法，若从简省，乃似别为一法，而学者反▯惑也。

右例亦可先求牛羊各数一率，二十九【如前互乗，并得牛羊数，为牛羊总衰】二率，一千七百四十【牛羊总数】三率，五【五名互乗一头为牛衰】二十四【二十四名互乗一头为羊衰】

四率　三百　　　　一千四百四十次求兵数如前二例，不复赘。又按右例，谓兵既给牛，又给羊者，不然则给牛之兵与给羊之兵数等者，若两营兵一给牛，一给羊，牛羊数等，而两营兵数不等，乃举两营兵总数问两营各数及牛羊数【依上以一千七百四十为兵总数，余并同】则以二十九为一率，以一为二率【一与一相乗仍得一也】以一千七百四十为三率，求得六十为四率，为牛羊各数。又或先求两营兵各数，则以二十九为兵总衰为一率，一千七百四十为二率，二十四为给牛兵衰，五为给羊兵衰为三率，求得一千四百四十与三百为四率，为给牛与给羊兵各数也。防观前诸例，其法自备，不复详列。又如赏军，毎马兵五名给防三匹，毎歩兵四名给布六匹，总计马歩兵共八千一百名，给防布共九千匹，问马歩兵各几何，防布各几何？此与前例不同，葢马兵与步兵数既不等，防与布数又不等也。法以马兵五名防三匹，歩兵四名布六匹互乗，得数相减，余一十八为法；别以马兵五名防三匹，马步总八千一百名防布总九千匹互乗，得数相减，余二万零七百，以法除之，得一千一百五十为步兵及布衰。乃以步兵四名乗之，得步兵总四千六百名；以布六匹乗之，得布总六千九百匹，其余则马兵及防总数也。或以步兵四名布六匹，马步总八千一百名防布总九千匹互乗，得数相减，余一万二千六百，以法除之，得七百为马兵及防衰。乃以马兵五名乗之，得马兵总三千五百名；以防三匹乗之，得防总二千一百匹，其余则步兵及布总数。又如大船四橹四桨，小船二橹八桨。今但见总作橹一百张，桨二百零八张。问大小船各几何？法以四橹四桨、二橹八桨互乗，得数相减，余二十四为法。别以大船四橹四桨总一百橹二百零八桨互乗，得数相减，余四百三十二，以法除之，得一十八为小船数。或以小船二橹八桨总一百橹二百零八桨互乗，得数相减，余三百八十四，以法除之，得一十六为大船数。右例与前赏马步兵、防布例同。前马兵及防衰、步兵及布衰，在此即大小船各数也【右一条新订】又如漏壶一具，上有渇乌注水，三时而满；下有天池泄水，八时而尽。今且注且泄，问几时可满一壶【法先求一时所注所泄之数】

一率　三时　　　　　　八时二率　一壶　　　　　　一壶三率　一时　　　　　　一时四率，三分壶之一【注】八分壶之一【泄】次以一时所注所泄相减，余为一时所注之数，而求全壶满时。

一率　二十四分壶之五二率　一时三率　一壶四率　四时又五分时之四又如依前三时注水满一壶，八时泄水尽一壶，且注且泄，问五时又三分时之一可满几何？法先求一时所注所泄之数，置率如前，次以一时所注所泄相减，余为一时所注之数，而求五时又三分时之一所注之数。

一率　一时二率　二十四分壶之五三率　五时又三分时之一四率　一壶又九分壶之一又如漏壶一具，下开三孔，泄水。大孔四时尽一壶，次六时而尽，又次十二时而尽。若三孔俱开，则一壶须几时尽？法以三孔一时所泄之数并而计之，知一时泄二分壶之一，则二时尽一壶。

一率　四时　　　六时　　　十二时二率　一壶三率　一时四率【四分壶，六分壶，十二分之一，之一，壶之一】右例或以最小孔十二时为主，求余二孔所注之数，乃并而计之，知十二时尽几壶，则知几时尽一壶【或以中孔六时为主，亦同】

一率　四时　　　六时二率　一壶三率　十二时四率　三壶　　　二壶又如甲乙银各不知数，取乙九两与甲，即甲倍多于乙；取甲七两与乙，则甲乙正等。问各几何？法：以乙与甲九两，甲与乙七两并之，得十六两，倍之得三十二两，是倍多之数。即以三十二两为乙衰，幷未与甲九两，得乙数四十一两；以六十四两为甲衰，减未得乙九两，得甲数五十五两【右一条新订】又如甲乙银不知数，取乙四两与甲，即甲多于乙二之一，乙二而甲三也。取甲七两与乙，则甲乙等。问各几何？法如前，并而倍之，得二十二两，是二之一多数。即以四十四两为乙衰，六十六两为甲衰，依前求得乙数四十八，甲数六十二【右一条新订】又如商贩不知其母，但云每度俱获倍息【母一得子亦一】即于中用银三百两，如是三度，子母俱尽，问原母几何？凡倍上加倍者，率三倍而一得八【一两三倍之成八两也，四倍则一得十六，余准此推之】法以八除三百，得三十七两五钱，以减三百，得二百六十二两五钱，即原母数【若四度而尽者，即以十六除而减之】按右例立法之意，乍阅之或未解。葢原母倘系三百，则每度用其倍息，三度后仍存三百矣，何得子母俱尽？须知三倍后之三百，其母为三十七两五钱，故于三百内减之，而余即原母数也。一三倍而成八，故用八除三百，得母三十七两五钱，犹之三度折半尔【右一条新订】自贵贱差分至此，诸例亦可以借征法求之，别见数条于后。又如黄金百斤制一鑪，既成虑匠人盗金，和银销毁，验之则损工费，乃以器贮水令满，已知水几斤，即以纯金百斤入器内，溢出水六十斤，加水令满，复以银百斤入之，溢水九十斤，再贮满水，却以鑪入之，溢水六十五斤，问和银及实金几何？法以金银溢水之较三十斤，以百斤除之，得每斤溢水之较十分斤之三，为法以除鑪与金溢水之较五斤，得和银数一十六斤又三分斤之二，以除鑪与银溢水之较二十五斤，得实金数八十三斤又三分斤之一【补贵贱差分第三条】又如犒军，每八名给豕一头，每六名给羊一头，每三名给▯一头，共用豕羊▯一千一百二十五头，问兵几何？豕羊▯各几何？法以八名六名相乗为▯衰，八名三名相乗为羊衰，六名三名相乗为豕衰【此所谓三维乗也，或先求兵总衰而豕羊▯各以所给兵名数除之亦同】并之得九十为豕羊▯总衰为一率，以八名六名三名累乗得一百四十四为兵总衰为二率，豕羊▯总实为三率，求得四率一千八百为兵总数，豕羊▯各以所给兵名数除之得各数，或以豕羊▯总衰为一率，豕羊▯总实为二率，豕羊▯各衰为三率，即先得三物各数，乃各以所给兵名数乗之得兵总数【按此例亦谓兵既给豕又给羊▯者，下例同】又如赏军，每八名给防五匹，每六名给绢四匹，每四名给布三匹，共用防绢布三千六百七十五匹，问兵几何？防绢布各几何？法以八名六名相乗再以三匹乗之为布衰，八名四名相乗再以四匹乗之为绢衰，六名四名相乗再以五匹乗之为防衰【或先求兵总衰而防绢布各以匹数乗之以所给兵数除之亦同】并之得三百九十二为防绢布总衰，八名六名四名累乗得一百九十二为兵总衰，如前法求之得兵总数一千八百【右二例与零分章并分法相似】按此例与前例本同一法，前例豕羊▯俱以一头立算，故不须以头数与维乗数再相乗耳。但今算家相▯，仅知有前例而无后例，则法有所穷，故特出此条。其实前例亦暗寓头数一回乗也【补襍差分第六第七条右一条新增】

九章録要卷五<子部,天文算法类,算书之属,九章录要》>钦定四库全书