庄氏算学卷三

庄氏算学卷三

淮徐海道庄亨阳撰勾股测量立表杆测法【凡立表杆，必用垂线取直，并量所立地距人立尺寸，以取凖】测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲知其髙立表杆测之】法以距旗杆三丈处立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】乃以五尺为一率，前表八尺内减后表四尺，余四尺【如图戊庚】为二率，距旗杆三丈【如图丁辛】为三率，求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表四尺，得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙也。

测逺【设有一树欲知其逺，用表杆测之】法先立一表杆，对树【如图甲乙】次于表杆处取直角横量十五丈，立一表杆【如丙】再依次表立一表杆，对树参直【如丁】乃于丁表处作垂线至丙乙线界【如图丁己】量得五丈，复量丙己度得三丈，爰以三丈为一率，五丈为二率，十五丈【丙乙】为三率，求得四率二十五丈【如图甲乙】即树之逺也。比例【比例者，以原有之两数为例，以今有之一数与之比较，而得所求之数也。凡比例皆列四率，以二率、三率相乗，以一】

【率归除得四率为所求】

正比例【一名异乗同除】法以原有之两数为一率，二率，今有之一数为三率，得四率为所求。凡一率与三率为类，二率与四率为类。设如每三人赏银一两八钱，今应赏二百四十人，共该银若干？法以原有之三人为一率，一两八钱为二率，今有之二百四十人为三率，求得四率一百四十四两，即赏银总数。

转比例【一名同乗异除】法以今有之一数为一率，原有之两数为二率，三率得四率为所求。假如有田一畆，原濶八步，长三十步，今要濶十二步，该长若干？法以今濶十二步为一率，原长三十步为二率，原濶八步为三率，求得四率二十步，即今所求之长数【葢乗除之数逓増逓减者为正比例，总数相同，分者多则得数转少，分者少则得数转多，为转比例】

正比例带分设如每铜二斤六两，换锡三斤九两。今有铜七斤十二两，该换锡若干？法以原铜二斤六两，通为三十八两，为一率；原锡三斤九两，通为五十七两，为二率；今铜七斤十二两，通为一百二十四两，为三率。求得四率一百八十六两，即今所换锡数。以每十六两为一斤除之，得十一斤零十两。

转比例带分设如营造，每日用五十六人，计一月又九分月之三，可以完工。今每日用六十四人，完工该几何日？法以今用六十四人为一率，因分母为九【即命一月为九分也】加入分子三，共十二为二率，原用五十六人为三率，求得四率十分半，满分母九分收为一月，余一分半，即命为一月又九分月之一分半为完工之日数。若欲知一分半之日数，则以九分为一率，以一月通为三十日为二率，以一分半为三率，求得四率五日，是为分子日数。合率比例【系合两比例或合三比例用一次除乗而得】设如以夏布换绵布，但知每夏布三丈价银二钱，每绵布七丈价银七钱五分，今有夏布四十五丈，应换绵布若干。法以夏布三丈与绵布价银七钱五分相乗得二两二钱五分为一率，夏布价银二钱与绵布七丈相乗得一两四钱为二率，夏布四十五丈为三率，求得四率二十八丈，即夏布四十五丈所换绵布之数【此两比例合为一比例法】如分两比例算之，则先以夏布三丈为一率，价银二钱为二率，今夏布四十五丈为三率，求得四率为价银三两，即夏布四十五丈所值银数；再以绵布价银七钱五分为一率，绵布七丈为二率，夏布所值银三两为三率，求得四率二十八丈，即为夏布所换绵布之数。设如原有鹅八只，换鸡二十只；鸡三十只，换鸭九十只；鸭六十只，换羊二只。今有羊五只，问换鵞几何？法以羊二只与所换鸭九十只相乗得一百八十只，再以所换鸡二十只乗之得三千六百只，为一率；以原鸭六十只与原鸡三十只相乗得一千八百只，再以原鹅八只乗之得一万四千四百只，为二率；今羊五只为三率，求得四率二十只，即羊五只所换鵞数【此三比例合为一比例法】如欲分三比例算之，则先求羊五只所换鸭数，以羊二只为一率，鸭六十只为二率，今羊五只为三率，求得四率得鸭一百五十只，即羊五只所换鸭数。次求鸭一百五十只所换鸡数，以鸭九十只为一率，鸡三十只为二率，今羊五只所值之鸭一百五十只为三率，求得四率得鸡五十只，即羊五只所值鸡数。然后求鸡五十只所换鵞数，以鸡二十只为一率，鵞八只为二率，今羊五只所值之鸡五十只为三率，求得四率得鹅二十只，即羊五只所换鵞数也。测髙【设有一旗杆不知其逺，今欲求其髙，用表杆两测求之】法先立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】记之。再退后三丈，对凖前表立一表杆髙四尺【如图壬癸】向前又立一表杆髙八尺【如图子丑】看两表端与旗杆顶齐【如图甲壬】量两表间相距一丈【如图壬夘】乃以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减，余五尺【如图壬寅】为一率；前表八尺与后表四尺相减，余四尺【如图子夘】为二率；先测与再测相距之三丈【如图壬丁】为三率，求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表髙四尺，得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙。如欲求其逺，则以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减，余五尺【如图壬寅】为一率；再测之距度一丈【如图壬夘】

为二率，两测相距之三丈【如图壬丁】为三率，求得四率六丈【如图壬辛】即旗杆距退后表杆之逺。又法，设塔一座，欲知其髙，用相等两表测之。法先立一表杆，比人目髙四尺，人离表杆六尺，防塔顶与表端齐。又自前表退后六丈，复立一表杆，亦比人目髙四尺，人离表杆八尺，防塔顶与表端齐。乃以前表距分六尺与后表距分八尺相减，余二尺【如图己壬】为一率，表比人目髙四尺【如图辛庚】为二率，两表相距六丈【如图辛戊】为三率，求得四率十二丈【如图甲癸】加表比人目髙四尺【如图癸乙】共十二丈四尺【如图甲乙】即人目以上之髙。再加人目距地之尺寸，即塔顶距地平之髙。如求塔距前表之逺，则以两表距分相减之二尺【如图己壬】为一率，前表距分六尺【如图丙丁】为二率，两表相距之六尺【如图辛戊】为三率，求得四率十八丈【如图戊癸】即塔距前表之逺，再加六丈，即塔距后表之逺。又法，设楼一座，欲知其髙，以不等两表测之。法先立一长表，比人目髙六尺，人离表五尺四寸，防楼▯与表端齐。又退后二丈，立一短表，比人目髙四尺，人离表六尺四寸，防楼脊与表端齐。乃以前表比人目髙六尺【如图丙丁】为一率，前表距分五尺四寸【如图目丁】为二率，后表比人目髙四尺【如图戊己与庚辛同】为三率，求得四率三尺六寸【如图目辛】为前表与后表同髙所得之距分【庚目辛勾股形与戊壬己勾股形同】爰以三尺六寸【如图目辛与壬己同】与后表距分六尺四寸【如图目己】相减，余二尺八寸【如目】图壬为一率，后表比人目髙四尺【如图戊己】为二率，前表距分五尺四寸【如图目丁】内减三尺六寸，余一尺八寸【如图辛丁】与两表相距之二丈【如图己丁】相减，余一丈八尺二寸【如图戊庚】为三率，求得四率二丈六尺【如图甲癸】加表比人目之髙四尺【如图癸乙】共得三丈【如图甲乙】即人目以上之髙，再加人目距地尺寸，即楼脊距地之髙。

又日景测髙【设一旗杆量日景长十丈问髙防何】法于同时立一表杆，髙四尺，量表景长二尺，乃以表景二尺为一率，表髙四尺为二率，旗杆之景一丈为三率，求得四率二丈，即旗杆之髙。

矩度测量【矩度之制，必用正方，每边定一百分或二百分，横竖俱界线画成小方分，对中心所出线，两边安表，取中心安逰表，定凖坠线，以成勾股】测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲测其髙防何】法用矩度以定表看地平，逰表看旗杆顶，得距地平分四十分【此矩度系界画为一百分，自中心平分半矩为五十分】乃以半矩五十分【如图丁己】为一率，所得距分四十分【如图辛己】为二率，距旗杆三丈【如图丁庚】为三率，求得四率二丈四尺【如图甲庚】即矩度中心所对地平至旗杆顶之髙，再加矩度中心距地【如图庚乙】即所求旗杆之髙也。

测逺【设有一树欲求其逺，用矩度测之】

法须平安矩度以定表与逰表定凖正方直角定表对树随逰表所指立表杆二三处横量十五丈复安矩度定表对表杆逰表对树得矩中心距分三十分乃以距分三十分【如图戊丁】为一率，半矩五十分【如图戊丙】为二率，横量十五丈【如图丙乙】为三率，求得四率二十五丈【如图甲乙】即所求树之逺也。重矩测髙【设山一座，欲知其髙，以重矩测之】法用矩度以定表，看地平，逰表看山顶，得距地平分四十分。又向后量九丈，复安矩度以定表，仍看前矩定表所看原处，逰表看山顶，得距地平分三十二分。乃以前矩距分四十分【如图己庚】为一率，半矩五十分【如图丙庚】为二率，后矩距分三十二分【如图辛壬】为三率，求得四率四十分【如图丙子】乃以后矩之半矩五十分与四十分相减【后矩之辛壬丑勾股形与前矩之癸子丙勾股形相同】余十分【如图丁丑】为一率，后矩距分三十二分【如图辛壬】为二率，两矩相距九丈【如图丁丙】为三率，求得四率二十八丈八尺【如图甲戊】即矩度中心所对地平至山顶之髙，再加矩度中心矩，即所求山之髙。若求山距后矩之逺，则以相距矩分相减之十分【如图丁丑】为一率，半矩五十分【如图丁壬】为二率，两矩相距之九丈【如图丁丙】为三率，求得四率四十五丈【如图丁戊】即后矩距山之逺，减两矩相距九丈，即前矩距山之逺。

又法设有一石欲知其逺不取直角于左右两处测之。法先平安矩度于右，以定表对左矩，中心逰表看石，得距中心距分三十七分五厘，其逰表之斜矩分为六十二分五厘。次安矩度于左，以定表对右矩，中心逰表看石，得距中心距分十一分二厘五毫，其逰表之斜距分为五十一分二厘五毫。横量两矩相距三十九丈，乃以两矩中心距分相并，得四十八分七厘五毫【如图甲乙与丙丁两勾股相并】为一率，右矩逰表之斜距分六十二分五厘【如图右丁】为二率，横量三十九丈【如图右左】为三率，求得四率五十丈【如图石右】即右矩距石之逺。如求左矩距石，则仍以四十八分七厘五毫为一率，以左矩逰表之斜距分五十一分二厘五毫【如图甲左】为二率，仍以三十九丈为三率，求得四率四十一丈【如图石左】即左矩距石之逺也。

又法，设隔河一树，欲知其逺，不能定直角，斜对树两测求之。法先平安矩度于一处，复随定表所指，横量十七丈，安一矩度【如止用一矩度，则记凖一处亦可】以先安矩度定表看，后安矩度中心逰表看，树得距矩度中心距分四十九分，其逰表之斜距分为七十分。次以后安矩度定表看，先安矩度中心逰表看，树得距矩度中心距分十五分，其逰表之斜距分为五十二分二厘。乃以先安矩度之中心距分四十九分，与后安矩度之中心距分十五分相减，为三十四分【如图戊乙】为一率。先安矩度逰表之斜距分七十分【如图乙先】为二率。横量十七丈【如图先后】为三率。求得四率三十五丈【如图树先】即先安矩度距树之逺。如求后安矩度距树，则仍以三十四分为一率，以后安矩度逰表之斜距分五十二分二厘【如图丁后与戊先等】为二率，仍以十七丈为三率，求得四率二十六丈一尺【如图树后】即后安矩度距树之逺。

尖圆体【圆底尖，堆得长圆体三分之一，倚壁尖，堆二分之一，内角堆得圆底尖，堆四分之一，外角】。

堆得圆底尖堆四分之三】圆底尖堆设积米，一堆髙五尺，底周一十四尺，问该米数几何？法以底周十四尺，用圆周求面积法，求得圆面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二毫有余，为尖圆堆之防面积。再与髙五尺相乗，得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余【为长圆体积】三归之，得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余，为圆底尖堆之积数。然后以石率二千五百寸除之，得米一十石零三升九合八勺有余，即所求圆底尖堆之米数。倚壁尖堆设，倚壁积米一堆，高四尺，底周六尺，该米几何？法以底周六尺【此全圆周之半】倍之得一十二尺为全周，乃用圆周求面积法求得圆面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余【为全圆面积】折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余，为倚壁尖堆之底面积。再以髙四尺乗之，得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余【为半周长圆体积】三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余，为倚壁尖堆之积数。然后以石率二千五百寸除之，得三石零五升五合七勺有余，即所求倚壁尖堆之米数。倚壁内角，堆设倚壁内角，积米一堆，髙五尺，周一十二尺，该米几何？法以周一十二尺【此全圆周四分之一】四因之得四十八尺为全周，乃用圆周求面积法求得圆面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余【此全圆面积】四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余，为倚壁内角凖之底面积，再与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分【为长圆一角之体积】三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分，为倚壁内角堆之积数，然后以石率除之得三十石零五斗五升七合有余，即所求倚壁内角堆之米数。倚壁外角，堆设倚壁外角，积米一堆，髙六尺，底周三十三尺，该米几何？法以周三十三尺【此全圆周四分之三】三归四因，得四十四尺为全周，乃用圆周求面积法，求得圆面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二毫有余，四归三因，得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六厘四十四毫有余，为倚壁外堆之底面积，再以髙六尺乗之，得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余，三归之，得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余，为倚壁外角堆之积数，然后以石率除之，得九十二石三升七合有余，即所求倚壁外角堆之米数。

截积正方形从一边截积，设正方积二百二十五尺，今欲于一边截积四十五尺，问截濶几何？法以总积二百二十五尺，开平方得十五尺，为正方边。以十五尺除截积四十五尺，得三尺，即截积之濶。于十五尺内减三尺，余十二尺，即截剰余积之濶也。正方形从两边截积，设正方积三百六十一尺，今欲截积一百六十五尺，余积仍为正方形，问应得边数几何？法以总积三百六十一尺与截积一百六十五尺相减，余一百九十六尺，开平方得一十四尺，即截积所除之正方边。长方形截积，设长方形一万九千二百尺，长比濶多四十尺，今减积二千八百八十尺，问余积长濶各几何？法以总积一万九千二百尺，用带縦平方得长一百六十尺，濶一百二十尺。今如欲截濶，则以长一百六十尺除截积二千二百八十尺，得十八尺为截积之濶，于原濶一百二十尺内减十八尺，余一百零二尺，即截剰余积之濶。如欲截长，则以濶一百二十尺除截积二千二百八十尺，得二十四尺为截积之濶，于原长一百六十尺内减二十四尺，余一百三十六尺，即截剰余积之长。截积勾股形截上段积，设股三十六尺，勾二十七尺。今从上段截积五十四尺，问应截长濶各几何？

法以股三十六尺为一率，勾二十七尺为二率，截积五十四尺，倍之【即甲丁与丁戊相乗之长方】为三率，求得四率八十一尺，开方得九尺，即所截之濶【葢股与勾之比必同于甲丁丁戊相乗之长方与丁戊自乗之正方之比】再以勾二十七尺为一率，股三十六尺为二率，所截之濶九尺为三率，求得四率十二尺，即所截之长。勾股形截下段积，设股三十六尺，勾二十七尺。今从下段截斜方形积四百三十二尺，问截长及上濶各若干？法以股三十六尺为一率，勾二十七尺为二率，截积四百三十二尺，倍之得八百六十四尺为三率，求得四率六百四十八尺。乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺，内减所得四率六百四十八尺，余八十一尺，开方得九尺，为所截之濶。再以勾二十七尺为一率，股三十六尺为二率，濶九尺与勾二十七尺相减余十八尺【如图己丙】为三率，求得四率二十四尺【如图戊己与丁乙等】即所截之长。或用勾股形有边求积法，求得勾股积四百八十六尺，内减从下段所截之斜方积四百三十二尺，余五十四尺，即为从上段所截之勾股形积。依前法比例求之，所得之濶即上濶，上段之长与股三十六相减，即下段所截之长。三角形截积算法与勾股形同【底濶如勾，中长如股】

斜方形截上段积，设两直角斜方形，长二十四尺，下濶二十尺，上濶十二尺。今从上股截积一百六十八尺，该截长濶各几何？

法以长二十四尺为一率，下濶二十尺内减上濶十二尺，余八尺为二率，截积一百六十八尺，倍之得三百三十六尺为三率，求得四率一百一十二尺。再以上濶十二尺自乗，得一百四十四尺，与所得四率一百一十二尺相加，得二百五十六尺，开方得十六尺，即所截之濶。乃以上下两濶相较，减之八尺为一率，长二十四尺为二率，截濶与上濶相减余四尺为三率，求得四率十二尺，即所截之长。斜方形截下段积，设斜方形长二十四尺，上濶十二尺，下濶二十尺。今从下段截积二百一十六尺，求截长濶。法以长二十四尺为一率，下濶内减上濶，余八尺为二率，截积二百一十六尺，倍之得四百三十二尺为三率，求得四率一百四十四尺，乃以下濶二十尺自乗，得四百尺，内减所得四率一百四十四尺，余二百五十六尺，开方得一十六尺，即所截之濶，再以上下两濶较减所余之八尺为一率，长二十四尺为二率，下濶二十尺内减截濶十六尺，余四尺为三率，求得四率十二尺，即所截下段之长梯形梯形截上段积截下段积法俱与斜方形同上下两濶较比斜方形为二倍，截积比斜方形亦为二倍，故其比例皆同。梯形自一边截勾股积，设梯形长一百二十尺，上阔二十尺，下阔八十尺。今自一边截勾股积四百五十尺，求截长阔几何？

法以长一百二十尺为一率，上濶二十尺与下濶八十尺较，减余六十尺，折半得三十尺【如图乙戊】为二率，截积四百五十尺，倍之得九百尺为三率，求得四率二百二十五尺，开方得一十五尺为所截之濶【如图乙辛】乃以半较三十尺为一率，长一百二十尺为二率，截濶十五尺为三率，求得四率六十尺，即所截之长。梯形自一边截斜方形积，设梯形长一百二十尺，上濶四十尺，下濶八十尺。今自一边截斜方形积四千二百尺，求所截之上下濶。法以上濶四十尺，与下濶八十尺较，减余四十尺，折半得二十尺，为所截斜方形上濶与下濶之较，又以截积。

四千二百尺，倍之，得八千四百尺，以长一百二十尺除之，得七十尺，为所截斜方形上濶与下濶之和，加较二十尺，得九十尺，折半得四十五尺，即下濶；减较二十尺，得五十尺，折半得二十五尺，即上濶。

分积三角形平分面积，一半仍与原形同式。设三角形，小腰边二十丈，大腰边三十四丈，底边四十二丈，面积三百三十六丈。今分面积一半，与原形同式，问所截三边各长若干？

法以原面积三百三十六丈为一率，原面积折半得一百六十八丈为二率，底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率，求得四率八百八十二丈，开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八毫，为所截之底边。乃以原底边为一率，大腰边为二率，所截底边为三率，求得四率二十四丈零四寸一分六厘有余，即所截之大腰边。又以原底边为一率，小腰边为二率，所截底边为三率，求得四率十四丈一尺四寸二分有余，即所截之小腰边。○凡各形截积仍欲与原形同式者，算法仿此圆面截弧矢形有矢求圆，设圆形径一尺二寸，矢濶二寸四分，求▯长。

甲乙为全径，甲戊为矢，丙丁为▯甲丙丁为截弧矢形。法以矢濶二寸四分为首，率圆径一尺二寸，内减矢濶二寸四分，余九寸六分为末率。首末率相乗，得二十三寸零四分，开方得四寸八分为中率【即丙戊】倍之得九寸六分为弧矢形之▯。圆面截弧矢形有▯求矢。设圆形径一尺七寸，▯长一尺五寸，求矢濶。法以▯长一尺五寸，折半得七寸五分，自乗得五十六寸二十五分，为长方积。以圆径一尺七寸为长濶和，用带縦和数开方法算之，得濶四寸五分，即▯矢形之矢。弧矢形求圆径，设弧矢形▯长一尺一寸，矢濶四寸，求圆径。法以矢濶四寸为首，率▯长一尺二寸，折半得六寸为中率。以中率六寸自乗，首率四寸除之，得九寸为圆之截径，加矢濶四寸，即圆径。

圆面截弧矢形求积法用勾股八线表比例求截弧之度分，随比例得所截弧背之丈尺。乃自截弧至圆心作一弧背三角形，以半径数与弧背之丈尺相乗，得数折半为弧背三角形之面积。又自圆心至▯作一平三角形，用半径与矢相减余数为中垂线，以中垂线与▯相乗，得数折半为平三角形面积。两三角形面积相减，即弧矢形面积。又法，以矢与▯相加，以半矢乗之，得数为弧矢形面积。此法较前法微疎，如无八线表，则以此法算之，并积。两正方形并积，有边较，求分积及边。设大小两正方积共四百一十尺，大方边比小方边多六尺，问分积及各边几何？

法以共积四百一十尺，加倍得八百二十尺。又以两方边较六尺，自乗得三十六尺，与八百二十尺相减，余七百八十四尺。开方得二十八尺，为两方边之和。加较六尺，折半得十七尺，为大正方之边。减较六尺，折半得十一尺，为小正方之边。以方边各自乗，得积数。两正方形并积，有边总，求分积及边。设大小两正方形积共六百一十七尺，两正方边共三十五尺，求分积及各边之数几何？法以共积六百一十七尺，倍之得一千二百三十四尺。又以两边和三十五丈自乗，得一千二百二十五尺，与倍积相减，余九尺。开方得三尺，即两方边之较。两边和三十五尺与边较三尺相加，折半得十九尺，即大正方之边。减边较三尺，得十六尺，即小正方之边。次方边各自乗，得积数。两正方形相并，有边较、积较，求各边。设大方边比小方边多七尺，大方积比小方积多三百四十三尺，求各方边。

法以积较三百四十三尺，用边较七尺除之，得四十九尺，即两正方边之和，加较七尺，折半得二十八尺，为大正方之边，减较七尺，余二十一尺，为小正方之边。两正方形相并，有边总积较，求各边。设大小两正方边共三十一尺，大正方积比小正方积多一百五十五尺，求各边。法以积较一百五十五尺，用两边和三十九尺除之，得五尺，为两方边之较。与两边和三十一尺相加，折半得十八尺，即大正方之边。减较五尺，余十三尺，即小正方之边。两正方形并积，有积较，求各边。设大小两正方积共一百三十尺，大正方积比小正方积多二十二尺，求各边。法以积较三十二尺与共积一百三十尺相减，余九十八尺，折半得四十九尺，即小正方之积，开方得七尺，即小正方之边。小方积四十九尺与积较三十二尺相加，得八十一尺，即大正方之积，开方得九尺，即大正方之边。三正方形并积，有三边较，求各边。设三正方形共积三百八十一尺，大方边比次方边多六尺，次方边比小方边多三尺，求各方边。

法以大方边比小方边所多之较六尺，自乗得三十六尺。又以次方边比小方边所多之较三尺，自乗得九尺。两数相并得四十五尺，与共积三百八十一尺相减，余三百三十六尺。三因之得一千零八尺，为长方积【其濶为三小正方边，长为三小正方边两大方边较两次方边较】又以大方边较六尺倍之，得十二尺。次方边较三尺倍之，得六尺。两数相并得十八尺，为长濶较。用带纵较数开方法算之，得濶二十四尺。归之得八尺，即小正方边加次方边所多之较三尺，得十一尺，即次方边。再加大方边所多之较三尺，得十四尺，即大正方。

容面圆面容正方，设圆径十尺，问内容正方边几何？

法以圆径十尺自乗得一百尺，折半得五十尺，开平方得七尺零七分一厘有余，即圆面内所容正方边也。圆面容三角形，设圆径二十尺，问内容三角形之一边尺寸防何？

乙丙与半径等，甲乙丙为正勾股形，全径为▯，乙丙为勾，则甲丙为股。法以圆径二十尺为▯，折半十尺为勾，用勾▯求股法，得十七尺三寸二分有余，即圆面内所容三角形之一边。三角形容正方面，设三角形大腰三十七尺，小腰十五尺，底四十四尺，问内容正方边防何？

法先用三角形求中垂线法，求得十二尺为中垂线，与底四十四尺相加，得五十六尺为一率，中垂线十二尺为二率，原底边四十四尺为三率，求得四率九尺四寸二分八厘有余，即三角形内所容正方边也。

三角形容圆面，设三角形每边一尺二寸，问内容圆面径防何？乙丙丁勾股形与甲丙丁勾股形同式，丙丁勾为乙丁▯之半，则甲丙勾亦必为甲丁▯之半。甲丁与乙甲等，故甲丙圆面半径得乙丙中垂线三分之一倍之，即为全径。法先用三角形求中垂线法，求得一尺零三分九厘有余为中垂线，以三归之，得三寸四分六厘有余为圆面半径，倍之，得六寸九分二厘有余，即所求圆面径。勾股形容正方，设勾九尺，股十二尺，问内容正方边几何？法以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺为一率，勾九尺为二率，股十二尺为三率，求得四率五尺一寸四分二厘有余，即勾股形内所容正方面边也。勾股形容圆面，设勾九尺，股十二尺，问内容圆面径几何？

乙庚与乙戊等，庚丁与丁己等，于乙丙与丙丁勾股和内减乙丁▯，所余为戊丙及丙己二段，各为圆面之半径，相并即为全径。法以勾股求▯，法求得十五尺为▯，乃以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺，内减▯数十五尺，余六尺，即所容圆面径。

鋭角钝角三角形容圆面式法先用三角形有边求积法求得三角形积，倍之为长方积，并三边共数除之，得数为圆面半径，加倍即为全径。按分逓折比例，二八差分，三七差分，四六差分，逓折差分，加倍减半差分。设有人一千六百名，二分赏银，八分赏米，求赏银、赏米人数各几何？法以二分八分相并得十分为一率，人一千六百名为二率，二分为三率，求得四率三百二十名，即赏银人数。再以八分为三率，求得四率一千二百八十名，即赏米人数。设有米五百八十八石，令甲、乙、丙三人二八分之，求各得米数若干？法以二分为甲衰，八分为乙衰，二归八因，得三十二为丙衰。三数相并，得四十二分为一率，米数五百八十八石为二率。若以甲衰二分为三率，则求得四率二十八石，即甲应分米数。若以乙衰八分为三率，则求得四率百一十二石，即乙应分米数。或以丙衰三十二分为三率，则求得四率四百四十八石，为丙应分之米数。设有粮二千六百五十五石九斗，令甲、乙、丙、丁、戊五等人户照二八逓减纳之。甲户三十，乙戸四十，丙戸五十，丁户六十，戊户七十。问各户该纳若干？法以逓减最少之戊户为二衰，丁户为八衰，挨次二归八因，则丙户为三十二衰，乙户为一百二十八衰，甲户为五百一十二衰。再以甲户三十与甲衰五百一十二相乗，得一万五千三百六十为甲户共衰数；以乙户四十与乙衰一百二十八相乗，得五千一百二十为乙户共衰数；以丙戸五十与丙衰三十二相乗，得一千六百为丙户共衰数；以丁户六十与丁衰八相乗，得四百八十为丁户共衰数；以戊戸七十与戊衰二相乗，得一百四十为戊户共衰数。乃以五等衰数相并，得总衰二万二千七百为一率，粮数二千六百五十五石九斗为二率，以甲衰五百一十二为三率，求得四率五十九石九斗零四合为一甲户应纳粮数，以四户三十乗之，得一千七百九十七石一斗二升为甲户共纳粮数；以乙衰一百二十八为三率，求得四率十四石九斗七升六合为一乙戸应纳粮数，以乙户四十乗之，得五百九十九石零四升为乙户共纳粮数；以丙衰三十二为三率，求得四率为一丙户应纳粮数，以丙户五十乗之，得数为丙户共纳粮数。丁戊二等算法仿此。以上系二八差分之式。设有银五千两，令二县分支。东县支七分，西县支三分。问：各支若干？法以三分七分相并得十分为一率，银五千两为二率。若以东县七分为三率，求得四率三千五百两，即东县应支之数；以西县三分为三率，求得四率一千五百两，即西县应支之数。设以车载物，行十里限二十刻，今已行七里，该几刻方到？法以十里为一率，二十刻为二率，十里减去已行七里，余三里为三率，求得四率为六数，即再行六刻方到。设有熟丝四百九十七两七钱，按绢绫缎逓次三七分织，问各该若干？法将三数三因之，得九分，为绢衰；三归七因，得二十一分，为绫衰；七数七因之，得四十九分，为缎衰。三数相并，得总衰七十九分，为一率；总丝四百九十七两七钱，为二率。若以缎衰四十九分为三率，则求得四率三百零八两七钱，为织缎余数；以绫衰二十一分为三率，则求得四率一百三十二两三钱，为织绫线数；以绢衰九分为三率，则求得四率五十七两六钱，为织绢线数。设有田一百三十八亩，每畆徴米二斗，今欲七分徴米，三分折丝，每米一石折丝一斤，问各该若干。法以三分七分相并得十分为一率，以米二斗乗田一百三十八畆得总米二十七石六斗为二率，七分为三率，求得四率十九石三斗二升，即徴米之数。再以总米二十七石六斗减去徴米十九石三斗二升，余八石二斗八升为折丝之数。以米一石为一率，丝一斤通为十六两为二率，折丝米八石二斗八升为三率，求得四率一百三十二两四钱八分，以斤法收之得八斤四两四钱八分，即米三分折丝之数。

以上系三七差分法设有水田三百畆，令上下二戸四六分灌，问各灌若干畆？法以四分六分相并得十分为一率，田三百畆为二率，以六分为三率，求得四率一百八十畆，即上户应灌之田；以四分为三率，求得四率一百二十畆，即下户应灌之田。设有粮一千二百六十六石，令甲、乙、丙、丁、戊五舟按四六逓次应载，问各载若干？法以四分为戊衰，六分为丁衰，挨次六因四归，得九分为丙衰，十三分半为乙衰，二十分二五为甲衰。五数相并，得总衰五十二分七五为一率，粮一千二百六十六石为二率，以甲衰二十分二五为三率，求得四率四百八十六石，即甲舟应运粮数。以乙衰十三分半为三率，则求得四率三百二十四石；以丙衰九分为三率，则求得四率二百一十六石；以丁衰六分为三率，则求得四率一百四十四石；以戊衰四分为三率，则求得四率九十六石，为各舟应运粮之数。设有熟稻七百九十九畆六分八厘，令甲乙丙三人挨次以十分之六收获，问各分收若干？法以一百为甲衰，六十为乙衰，三十六为丙衰。三数相并，得总衰一百九十六为一率，稻七百九十九畆六分八厘为二率，甲衰一百为三率，求得四率四百零八畆。又以乙衰六十为三率，求得四率二百四十四畆八分。以丙衰三十六为三率，求得四率一百四十六畆八分八厘，即三人应收之米数。

以上系四六差分法设有银一千二百六十六两五钱，令四商以十分之七逓次贩货出卖，问每人该银若干？法以一千为第一人分数，七百为第二人分数，四百九十为第三人分数，三百四十三为第四人分数。合并得二千五百三十三分为一率，银一千二百六十六两五钱为二率。以四商分数各为二率，求得各四率：第一人五百两，第二人三百五十两，第三人二百四十五两，第四人一百七十一两五钱，为各贩货之数。设有生铜入炉三次，每次镕去渣十分之二，今得浄熟铜三百四十八两，问原铜防何？法以八分自乗再乗得五百十二分为一率，十分自乗再乗得一千分为二率，熟铜三百四十八两为三率，求得四率四百八十四两三钱七分五厘，即原铜之数。设有绢四百七十丈一尺八寸四分，令三等人戸挨次照十分之六出，之上户二十五，中戸三十，下戸四十八，问每戸出若干。法以一百为上等分数，以二十五戸乗之，得二千五百分。以六十为中等分数，以三十五户乗之，得一千八百分。以三十六为下等分数，以四十八户乗之，得一千七百二十八分。三数相并，得总衰六千零二十八分。为一率，绢四百七十丈一尺八寸四分，为二率。以三等各衰为三率，求得各四率：上户七丈八尺，中户四丈六尺八寸，下户二丈八尺零八分。即三等人应出之数。设一人织绢，日加一倍，四日而成六丈七尺五寸，问日织绢若干？法以一为初日分数，二为次日分数，四为三日分数，八为四日分数，合并得十五分为一率，绢六丈七尺五寸为二率，以一、二、四分各为三率，求得四率四尺五寸为初日所织，倍之得九尺为次日所织，又倍之得一丈八尺为次三日所织，又倍之得三丈六尺为第四日所织，合之共六丈七尺五寸也。设一人借银为商，三次，每次得利比本银加一倍，每次还银二百两，三次本利还尽，亦无余银，问原本若干？法以一为本，银分数二为本，利共分四为二次，本利共分八为三次，本利共分即以八分为一率，原本银一分为二率，又以一为第三次，还银分二为第二次，还银分四为第一次，还银分合并得七分，与二百两相乗，得一千四百两为三率，求得四率一百七十五两为原本银数。设有田一千二百畆，令甲、乙、丙、丁四人挨次逓减一半分种，问各种若干畆。法以八为甲，分四为乙，分二为丙，分一为丁，分合并得十五分为一率，田一千二百畆为二率，以甲八分为三率，求得四率六百四十畆，即甲所种田数，折半则乙得三百二十畆，又减半则丙得一百六十畆，又减半则丁得八十畆也。设有银三千一百六十两，令三等人逓次减半分用。一等二十名，二等二十四名，三等三十名。问：每等人得银防何？法以四为一等分数，以二十乗之，得八十分；二为二等分数，以二十四乗之，得四十八分；一为三等分数，以三十乗之，得三十分。合并得一百五十八分为一率，银三千一百六十两为二率，以各等人数各为三率，求得四率：一等银八十两，二等四十两，三等二十两，即各等每一人应得银数。

以上皆各等差分之例按数加减比例，逓加逓减差分，超位加减差分互和，折半差分，首尾互凖差分。设有金六十两，令甲、乙、丙三人依次逓加五两分之，问各得若干？法以三人为一率，六十两为二率，一人为三率，求得四率二十两，为乙应得金数，加五两则为甲之数，减五两则为丙之数。设有银九百九十六两，分给八人，自末名以上逓加十七两，问首末二人各得若干？法以八人为一率，九百九十六两为二率，一人为三率，求得四率一百二十四两五钱。再以十七两折半得八两五钱，加之得一百三十三两，为第四人应得银数。再加十七两得一百五十两，为第三人。再加十七两得一百六十七两，为第二人。再加十七两得一百八十四两，为首二人应得银数。又将原数以八两五钱减之，得一百一十六两，为第五人应得银数。再以十七两逓减三次，余六十五两，即末一人应得银数。设有一百人，首名赏银一百两，以下逓减五钱，问该银若干？法以一分为一率，逓减五钱为二率，九十九分为三率，求得四率四十九两五钱，即第一名多于百名之数。于一百两内减之，得五十两零五钱，即第一名应赏之数。又与第一名赏银各得一百五十两零五钱，以百名乗之，得一万五千零五十两，折半得七千五百二十五两，即赏银总数。设一人行路，日增六里，共行三百二十里，但知初末两日所行共一百六十里，问该行防日？初末两日各该若干里？法以初末二日共行之一百六十里，折半得八十里，乃共日之中数为一率，一日为二率，共行三百二十里为三率，求得四率四日，即所行日数。又以日增六里，折半得三里，加于中数八十里，得八十三里，为第三日所行里数。再加六里，得八十九里，为第四日所行里数。第二日则减中数之三，为七十七里，初日更减六里，为七十一里。设有人十三日共织布一十三丈五尺三寸，因日渐长，每日加工六寸，问初末两日各织布若干？法以十三日为一率，布一千三百五十三寸为二率，一日为三率，求得四率一百零四寸，为第七日所织之数，亦即初末两日互相折半之中数。乃以第七日上计初日，下计末日，俱得六分，与逓加六寸相乗，得三十六寸，于一百零四寸内减之，余六十八寸，初日所织之数，加之得一百四十寸，为末日所织之数。设有田七百二十畆，令甲、乙、丙三人依次逓减分耕，问各该若干畆？法以三分为甲衰，二分为乙衰，一分为丙衰，合并得六分为一率，田七百二十畆为二率，一分为三率，求得四率一百二十畆为丙所耕之田，二因之乙得二百四十畆，三因之甲得三百六十畆，凡命法中不足所减分数者，以此为例。设有粮一千一百三十四石，令五等戸逓减纳之。

一等二十四户二等三十三戸，三等四十四，等五十一，五等六十。问：毎户纳若干？法以五、四、三、二、一为五等衰分，以五衰乗二十四户，得一百二十分；以四衰乗三十三户，得一百三十二分；以三衰乗四十二户，得一百二十六分；以二衰乗五十二戸，得一百零二分；以一衰乗六十户，得六十户。五数合并，得总衰五百四十分，为一率；粮一千一百三十四石，为二率；一分为三率，求得四率二石一斗，为第五率。一户应纳粮数，二分因之，得四石二斗，应第四等；三分因之，得六石三斗，属第三等；四分因之，得八石四斗，属第二等；五分因之，得十石五斗，属第一等。皆就一戸算之，以上逓加逓减例。设有米二十四石，分与甲四分，乙五分，丙七分，丁九分。问：各得若干？法以四五七九合并得二十五分为一率，米二十四石为二率，以甲乙丙丁各分数各为三率，求得四率：甲三石八斗四升，乙四石八斗，丙六石二斗二升，丁八石六斗四升，即各得分数。设有银五千两，买得马四匹，园一区，宅一所。其园价多马三倍，宅价又多园四倍。问：各价若干？法以一分为马衰，加三倍得四分为园衰。又将四分加四倍得二十分为宅衰。合并得二十五分为一率，价五千两为二率。以马衰为三率，求得四率二百两为马价。加三倍得八百两为园价。园价加四倍得四千两为宅价。设有银七十两买骆驼、马、驴各一匹，但知马比驼价为九分之四，驴比驼价为九分之一。问各价若干？法以一分为驴衰，四分为马衰，九分为驼衰，合并得十四分为一率，银七十两为二率，驼、马、驴各衰数各为三率，求得各四率，驴为五两，马为二十两，驼为四十五两，即各畜之价。设一人为商，三次初收获利比原银多二倍，二次获利比初次本利又多四倍，三次获利比二次本利又多三倍，共计利与原银得九百两，问原本银若干？法以一分为初次，本衰加二倍，得三分为初次本利共衰。又于三分加四倍，得十五分为二次本利共衰。又于十五分加三倍，得六十分为三次本利共衰。即以六十分为一率，三次本利共九百两为二率，一分为三率，求得四率十五，即原本银数。设有米五百三十五石，赏三等人。一等二十名，二等五十名，三等一百一十名。一等比二等，每名加七斗；二等比三等，每名加五斗。问各等每人得米若干？法以五斗米数与二等五十名人数相乗得米二十五石，一等多二等七斗，是多三等一石二斗，与一等二十名人数相乗得米二十四石，合并得四十九石，于总米五百三十五石内减去此数，余得四百八十六石，乃以三等人数相并得一百八十人为一率，四百八十六石为二率，一人为三率，求得四率二石七斗，即三等一人应得米数，加五斗为三石二斗，是二等人所得，再加七斗为三石九斗，是一等人所得。

以上系超位加减设有米一百八十石，令甲、乙、丙三人互相折半分之，但知甲多于丙三十六石，问各该米若干？法以三人为一率，米一百八十石为二率，一人为三率，求得四率六十石，即乙应得米数。再以甲多于丙之三十六石折半为十八石，加于乙数为七十八石，属甲；减于乙数为四十二石，属丙。设有银二百四十两，赵、钱、孙、李四人互相折半分之，但知赵多于李十八两，问各该银若干？法以四人为一率，银二百四十两为二率，一人为三率，求得四率六十两，为钱、孙二人相和折半之数。再以赵多于李之十八两，三归【四人用三归，若三人则用二归，五人则用四归也】得六两，即四人逓加之数。较折半得三两，加于六十两，即钱银数。再加六两，为六十九两，即赵银。较于六十两，减三两，为五十七两，属孙。再减六两，为五十一两，属李。以上互相折半。设甲、乙、丙、丁四人挨次分银，但知甲得六十九两，丁得五十一两，问乙、丙两人银数。

法以三分为甲多于丁之衰数【四人故用三分若五人则用四分六人则用五分也】为一率于六十九两中减去五十一两余十八两为二率一分为三率求得四率六两为四人逓加之较于丁之五十一两内加六两得五十七两为丙再加六两得六十三两属乙如三色者则以首尾两数相和折半即得中数设七人运粮，不言总数，但知第一人、第二人共运二十三石七斗，第五、第六、第七共运二十六石一斗，其逓加之数俱相等，问每人运粮若干？法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升，为第一人、第二人相和折半之数。于二十六石一斗以三归之，得八石七斗，即第六人应运粮数。乃以第一分、第二分之中数一分半与第六分相减，余四分半为一率；第一、二人共运折半之中数十一石八斗五升与第六人之八石七斗相减，余三石一斗五升为二率；一分为三率，求得四率七斗，即每人逓加之数。由第一人而上逓加七斗，则第五得九石四斗，第四得十石一斗，第三得十石八斗，第二得十一石五斗，第一得十二石二斗。设八人分米，但知第一、二两人共得十一石九斗，第七、八两人共得八石三斗，其逓加之数俱相等，问每人应得米数若干？法以十一石九斗折半得五石九斗五升，为第一、二两人相和折半之数。再以八石三斗折半得四石一斗五升，为第七、八两人相和折半之数。乃以第一分、第二分之中数一分半，与第七分、第八分之中数七分半相减，余六分为一率。第一、第二相和折半之五石九斗九升，与第七、第八相和折半之四石一斗五升相减，余一石八斗为二率。一分为三率，求得四率三斗，即每人逓加之较，折半为一斗五升。加于五石九斗五升，得六石一斗，为第一人应得米数。以次逓减三斗，即以下诸人之数。设有竹九节，截为九筒，逓次长短不均，但知根底三节共盛米三升九合，梢上四节共盛米三升，问九筒各盛米数？法以三升九合，三归之，得一升三合，即第二节盛米之数。又以三升四归之，得七合五勺，即第七、八两节相和折半之数。乃以第二分与第七、第八折半之中数七分半相减，余二分半为一率；以一升三合与七合五勺相减，余五合五勺为二率；一分为三率，求得四率一合，即每节逓加之较。自第一节所盛一升三合而加一合，即第一节所盛米数逓减一合，即以下诸节之数也。设有米二百四十石，令甲、乙、丙、丁、戊五人逓减纳之，定甲、乙纳数与丙、丁、戊纳数相等，问各纳防何？法以四分为甲多于戊之衰【自甲至戊隔四位故以四分为衰数也】三分为乙多于戊之衰，合并得七分。以二分为丙多于戊之【次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数，合并得三十三分。十二分为第三次比第七次所多衰数，九分为第四次比第七次所多衰数，六分为第五次比第七次所多衰数，三分为第六次比第七次所多衰数，合并得三十分。乃以三十分同三十三分相减，余三分为前两次多于后五次之较，又以后五次同前二次相减，余三次为后五次多于前两次之较。夫前多三分，后多五次，而其数则相等，则三分即为三总分数合之得三十分为一率，米二百四十石为二率，每人衰数各为三率，求得四率：甲六十四石，乙五十六石，共一百二十石；丙四十八石，丁四十石，戊三十二石，亦共一百二十石。设有粮一千零九十二石，令七次逓减运送，定前二次与后五次运数相等，问每次运数若干？法以十八分为第一次，比第七次所多衰数【第一至第七隔六位，应以六为所多衰数，则每位逓加一分，但前后较归除不尽不可分法，故将六分用三因之为十八分，则每一次逓加三分，而各衰五、四、三、二、一俱用三因，其比例仍同】十五分为第二次，比第七次所多衰数，合并得三十三分，十二分为第三次，比第七次所多衰数，九分为第四次，比第七次所多衰数，六分为第五次，比第七次所多衰数，三分为第六次，比第七次所多衰数，合并得三十分，乃以三十分同三十三分相减，余三分为前两次多于后五次之较，又以后五次同前二次相减，余三次为后五次多于前两次之较，夫前多三分，后多五次，而其数则相等，则三分即为三次之数，乃以三次为一率，三分为二率，一次为三率，求得四率一分，即第七次之分数，每次逓加三分，则第六次四分，第五次七分，第四次十分，第三次十三分，合并得三十五分，第二次十六分，第一次十九分，合并亦三十五分，然后并两总数得七十分为一率，粮一千零九十二石为二率，一分为三率，求得四率十五石六斗，即第七次一分之运数，再以每次各分较乗之，则第一次得二百九十六石四斗，第二次得二百四十九石六斗，合之为五百四十六石，是前两次运数，第三次得二百零二石八斗，第四次得一百五十六石，第五次得一百零九石二斗，第六次得六十二石四斗，与第七次十五石六斗合之亦为五百四十六石，是后五次运数，以上首尾互凖。

边求积设三广田，南濶六十步，北濶八十步，中濶四十步，长一百二十步，中濶距南北边相等，问积几何？法宜截作两梯形田算之，以南濶六十步与中濶四十步合并，折半得五十步，与半长六十步相乗，得三十步为南半截梯形积。又以北濶八十步与中濶四十步合并，折半得六十步，与半长六十步相乗，得三千六百步为北半截梯形积。两形相合六千六百步，以畆法除之，得二十七畆五分，即三广积法。

积求边设三广田积二十七畆五分，南濶六十步，北濶八十步，中濶四十步，中濶距南北边相等，问长几何？法以二十七畆五分，用畆法化步，得步数四，因之，置南北濶，将中濶数倍之，三数相并为法，除之，得一百二十步，即三广田之长。如两距不必相等，必有距南北各数，或边求积，或积求边，皆截两梯形算之。

庄氏算学卷三<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学》>钦定四库全书