御制数理精蕴下编卷三十五

御制数理精蕴下编卷三十五

末部五借根方比例【面类】

面类设如大小两正方面积共二百一十八尺，其大方面积比小方面积多一百二十尺，问大小方面积各几何？法借一根为小方面，毎边之数自乘得一平方为小方面积，则大方面积为一平方多一百二十尺，两数相加得二平方多一百二十尺，与共积二百一十八尺相等，一百二十尺与二百一十八尺各减去一百二十尺，余二平方与九十八尺相等，二平方旣与九十八尺相等，则一平方必与四十九尺相等，卽小方面积加一百二十尺得一百六十九尺，卽大方面积也【此卽减法因面类之首，故设此最易者焉】设如甲乙二长方面积共三百尺，甲长八尺，乙长二丈四尺，其甲阔比乙阔为二倍，问二长方阔数、积数各几何？法借一根为乙之阔数，则甲之阔为二根。以一根与一丈四尺相乘，得十四根为乙之面积。以二根与八尺相乘，得十六根为甲之面积。相加得三十根与三百尺相等。三十根旣与三百尺相等，则一根必与十尺相等。卽乙之阔数与长一丈四尺相乘，得一百四十尺为乙之面积。于共积三百尺内减之，余一百六十尺为甲之面积。或倍乙之阔十尺，得二十尺为甲之阔，与长八尺相乘，亦得一百六十尺为甲之面积也【此归除法】设如，有甲、乙、丙三长方。甲方阔十尺，不知长；乙方阔十六尺，长与甲等；丙方阔四尺，面积与甲之长相等。又甲、乙二方之共面积，与丙方之长数相并，为三千一百五十尺。问三方各长若干？法借一根为甲方之长，数以阔十尺乘之，得十根为甲方之面积。乙方之长与甲等，亦为一根，以阔十六尺乘之，得十六根为乙方之面积。丙方之面积与甲之长相等，亦为一根，以阔四尺除之，得四分根之一为丙方之长数。以甲方之面积十根，乙方之面积十六根，丙方之长数四分根之一相并，共得二十六根又四分根之一，与三千一百五十尺相等。二十六根又四分根之一旣与三千一百五十尺相等，则一根必与一百二十尺相等。卽甲方之长数，亦卽乙方之长数，亦卽丙方之面积。以甲方阔十尺与长一百二十尺相乘，得一千二百尺，卽甲方之面积。以乙方阔十六尺与长一百二十尺相乘，得一千九百二十尺，卽乙方之面积。以丙方阔四尺除面积一百二十尺，得三十尺，卽丙方之长数也【此归除法】设如，有长方形，其长阔和五百零四丈，面积为阔自乘之七倍，问长阔各几何？法借一根为阔，数则长数为五百零四丈，少一根。以一根与五百零四丈少一根相乘，得五百零四根少一平方，为长方面积。又以一根自乘，得一平方，七因之，得七平方，亦为长方面积，而与五百零四根少一平方相等。两边各加一平方，得八平方与五百零四根相等。八平方与五百零四根各降一位，则为八根与五百零四丈相等。

八根旣与五百零四丈相等，则一根必与六十三丈相等，卽长方之阔数。与五百零四丈相减，余四百四十一丈，卽长数也。以阔六十三丈自乘，得三千九百六十九丈。以阔六十三丈与长四百四十一丈相乘，得二万七千七百八十三丈，为阔自乘之七倍也【此比例法】设如，有楼一座，不知髙数；正方池一面，不知边数。但云：以六丈与楼之髙数相乘，与池之边数等；以一百零八丈与楼之髙数相乘，与池之面积等。问楼髙及池边数各几何？法借一根为楼之髙，数以一根与六丈相乘，得六根为池之边数，自乘得三十六平方为池之面积。又以一根与一百零八丈相乘，得一百零八根亦为池之面积。是为三十六平方与一百零八根相等。三十六平方与一百零八根各降一位，则为三十六根与一百零八丈相等。三十六根旣与一百零八丈相等，则一根必与三丈相等。卽楼之髙数以六丈乘之，得一十八丈为池之边数，自乘得三百二十四丈为池之面积。又以一百零八丈与楼髙三丈相乘，亦得三百二十四丈与池之面积相等也【此面积相除法】设如甲乙二人有银，不言两数，但知其银之比例同于八与五。若以二人银相并，则与二人银相乘之数等。问二人银各若干？法借八根为甲，银数五根为乙，银数相乘得四十平方。又以八根与五根相加得一十三根，是为四十平方与十三根相等。四十平方与十三根各降一位，则为四十根与十三两相等。四十根旣与十三两相等，则八根必与二两六钱相等。卽甲银数五根必与一两六钱二分五厘相等。卽乙银数两数相加得四两二钱二分五厘。若以两数相乘，亦得四两二钱二分五厘也【此比例法】设如，有大小二正方池，小池毎边为大池毎边之三分之一，二池共边数为二池共面积之五十分之一，问二池边数、面积各几何？法借一根为小池毎边之数，则大池毎池之数为三根。两边数相加得四根。又以一根自乘得一平方，为小池面积。以三根自乘得九平方，为大池面积。两面积相加得十平方，为二池共边之五十倍。乃以共边四根以五十乘之，得二百根，是为十平方与二百根相等。十平方与二百根各降一位，则为十根与二百丈相等。十根旣与二百丈相等，则一根必与二十丈相等，卽小池毎边之数。三因之得六十丈，卽大池毎边之数也。两边数相加得八十丈。又以小池毎边二十丈自乘得四百丈，为小池面积。以大池毎边六十丈自乘得三千六百丈，为大池面积。两面积相加得四千丈，为共边之五十倍也【此二正方边线面积比例法】设如，有甲、乙、丙三正方，乙方毎边为甲方毎边之四分之一，丙方毎边为甲方毎边之八分之一，而乙、丙两方之共面积为甲方毎边之十倍，问三方边数、面积各几何？

法借八根为甲方毎边之数，则乙方毎边之数为二根，丙方毎边之数为一根。以二根自乘，得四平方，为乙方面积。以一根自乘，得一平方，为丙方面积。两面积相加，得五平方，为甲方毎边之十倍。乃以甲方毎边八根十因之，得八十根，是为五平方与八十根相等。五平方与八十根各降一位，则为五根与八十尺相等。五根旣与八十尺相等，则一根必与十六尺相等。卽丙方毎边之数倍之，得三十二尺，卽乙方毎边之数。八因之，得一百二十八尺，卽甲方毎边之数也。以乙方每边三十二尺自乘，得一千零二十四尺，为乙方面积。以丙方毎边十六尺自乘，得二百五十六尺，为丙方面积。两面积相加，得一千二百八十尺，为甲方毎边之十倍也【此三正方边线面积比例法】设如，有甲乙二正方，甲方为乙方毎边之三倍。以甲方边四分之一与乙方面积相乘，则与甲方面积等。问二方边数、面积各几何？法借十二根为甲方毎边之数，则乙方毎边之数为四根。以十二根自乘得一百四十四平方，为甲方面积。以四根自乘得一十六平方，为乙方面积。取甲方边四分之一三根，与乙方面积一十六平方相乘，得四十八立方，是为四十八立方与一百四十四平方相等。四十八立方与一百四十四平方各降二位，则为四十八根与一百四十四尺相等。四十八根旣与一百四十四尺相等，则十二根必与三十六尺相等。卽甲方毎边之数三归之，得十二尺，卽乙方毎边之数也。以三十六尺自乘得一千二百九十六尺，卽甲方之面积。以十二尺自乘得一百四十四尺，卽乙方之面积。以甲方毎边四分之一九尺，与乙方面积相乘，得一千二百九十六尺，与甲方面积相等也【此二正方边线面积比例法】设如，有大小二正方，大方边与小方边之比例同于五与三，大方面积比小方面积多二千三百零四丈，问大小二方边各几何？法借三根为小方，毎边之数则大方毎边之数为五根。以三根自乘得九平方，为小方之面积。以五根自乘得二十五平方，为大方之面积。二面积相减，余一十六平方，与二千三百零四丈相等。一十六平方旣与二千三百零四丈相等，则一平方必与一百四十四丈相等。开平方得一十二丈，为一根之数。三因之得三十六丈，卽小方毎边之数。五因之得六十丈，卽大方毎边之数。以三十六丈自乘得一千二百九十六丈，为小方面积。以六十丈自乘得三千六百丈，为大方面积。两面积相减，余二千三百零四丈，以合原数也【此二正方比例开平方法】设如，有甲乙二正方，甲方毎边为乙方毎边之三倍，又有丙一长方，其长与甲方之毎边等，其阔与乙方之毎边等，三方面积共二万零八百丈，问三方边数、面积各若干？

法借一根为乙方毎边之数，则甲方毎边之数为三根。以一根自乘得一平方，为乙方之面积。以三根自乘得九平方，为甲方之面积。以一根与三根相乘得三平方，为丙方之面积。三面积相加得一十三平方，与二万零八百丈相等。十三平方旣与二万零八百丈相等，则一平方必与一千六百丈相等。卽乙方之面积开平方得四十丈，为一根之数。卽乙方毎边之数，三因之得一百二十丈，卽甲方毎边之数。以一百二十丈自乘得一万四千四百丈，卽甲方之面积。以四十丈与一百二十丈相乘得四千八百丈，卽丙方之面积。三面积相并共得二万零八百丈，以合原数也【此二正方比例开平方法】设如有兵二万九千四百八十四名，欲排作三军俱为正方。第二军每边比第一军每边为三倍，第三军每边比第二军每边亦为三倍。问三军兵数各若干？法借一根为第一军每边之数，则第二军每边之数为三根，第三军毎边之数为九根。以一根自乘得一平方，为第一军之总数。以三根自乘得九平方，为第二军之总数。以九根自乘得八十一平方，为第三军之总数。三总数相加得九十一平方，与二万九千四百八十四相等。九十一平方旣与二万九千四百八十四相等，则一平方必与三百二十四相等。卽第一军之总数开平方得十八，为一根之数，卽第一军每边之数也。以第一军毎边之数用三乘之得五十四，卽第二军毎边之数。以第一军之总数用九乘之得二千九百一十六，卽第二军之总数。又以第一军毎边之数用九乘之得一百六十二，卽第三军每边之数。以第一军之总数用八十一乘之得二万六千二百四十四，卽第三军之总数。三总数相加共二万九千四百八十四，以合原数也【此三正方比例开平方法】

设如一正方一长方俱不知其边数但知长方之面积为八万一千尺其长为正方边之十五分之二其阔为正方边之二十五分之三问二方边各若干法借一根为正方，每边之数则长方之长为十五分根之二，长方之阔为二十五分根之三。以正方边一根自乘，得一平方，为正方之面积。以长方之长阔相乘，得三百七十五分平方之六【以两分母十五与二十五相乘得三百七十五，以两分子二与三相乘得六，故为三百七十五之六】为长方面积，是为三百七十五分平方之六与八万一千尺相等。乃以六分为一率，八万一千尺为二率，三百七十五分为三率，求得四率五百零六万二千五百尺与一平方相等【葢三百七十五分平方之六者，将一平方分为三百七十五分而得其六分也。六分旣为八万一千尺，则三百七十五分必为五百零六万二千五百尺也】开平方得二千二百五十尺，为一根之数，卽正方每边之数。其十五分之二为三百尺，卽长方之长；其二十五分之三为二百七十尺，卽长方之阔。相乘得八万一千尺，以合原数也【此带分比例开平方法】设如，有大小二正方，大、方比小方，毎边多六尺，面积多一千七百一十六尺，问二方边数、面积各几何？法：借一根为小方每边之数，则大方每边之数为一根多六尺。以一根自乘，得一平方，为小方之面积。以一根多六尺自乘，得一平方多十二根多三十六尺，为大方之面积。大方旣比小方面积多一千七百一十六尺，则以小方之面积一平方加一千七百一十六尺，与大方之面积一平方多十二根多三十六尺相等。两边各减去一平方，又各减三十六尺，得十二根与一千六百八十尺相等。十二根旣与一千六百八十尺相等，则一根必与一百四十尺相等，卽小方毎边之数。加六尺得一百四十六尺，卽大方每边之数。以一百四十尺自乘，得一万九千六百尺，卽小方之面积。以一百四十六尺自乘，得二万一千三百一十六尺，卽大方之面积。两面积相减，余一千七百一十六尺，以合原数也【此二正方有边较、积较，求边法】设如有大小二正方。大方比小方每边多二十四尺。面积共七千二百五十尺。问二方边数面积各几何？法借一根为小方，毎边之数则大方毎边之数为一根多二十四尺。以一根自乘得一平方，为小方之面积。以一根多二十四尺自乘得一平方多四十八根又多五百七十六尺，为大方之面积。两面积相加得二平方多四十八根又多五百七十六尺，与七千二百五十尺相等。两边各减五百七十六尺，得二平方多四十八根与六千六百七十四尺相等。二平方多四十八根旣与六千六百七十四尺相等，则一平方多二十四根必与三千三百三十七尺相等。乃以三千三百三十七尺为长方积，以二十四根作二【七千二百】【五十尺以合原】十四尺为长阔较，用带纵较。

数开平方法算之，得阔四十七尺，为一根之数，卽小方每边之数，加二十四尺，得七十一尺，卽大方每边之数。以四十七尺自乘，得二千二百零九尺，卽小方之面积。以七十一尺自乘，得五千零四十一尺，卽大方之面积。两面积相加，共七【数也，此二正方有边和，求边法】设如有大小二正方，边数共三十六尺，面积共六百六十六尺，问二方边数面积各几何？法借一根为小方，毎边之数，则大方每边之数为三十六尺少一根。以一根自乘，得一平方，为小方之面积。以三十六尺少一根自乘，得一千二百九十六尺少七十二根多一平方，为大方之面积。两面积相加，得一千二百九十六尺少七十二根多二平方，与六百六十六尺相等。两边各加七十二根，得一千二百九十六尺多二平方，与六百六十六尺多七十二根相等。两边各减六百六十六尺，得六百三十尺多二平方，与七十二根相等。六百三十尺多二平方，旣与七十二根相等，则三百一十五尺多一平方，必与三十六根相等。乃以三百一十五尺为长方积，以三十六根作三十六尺为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔一十五尺为一根之数，卽小方每边之数。与共边三十六尺相减，余二十一尺，卽大方毎边之数。以小方每边一十五尺自乘，得二百二十五尺，卽小方之面积。以大方每边二十一尺自乘，得四百四十一尺，卽大方之面积。两面积相加，共六百六十六尺，以合原数也【此二正方有边和积和求边法】设如，有大小二正方，边数共一百一十尺，大方比小方面积为五倍少四尺，问二方边数、面积各几何？法，借一根为小方毎边之数，则大方毎边之数为一百一十尺少一根。以一根自乘，得一平方，为小方之面积。以一百一十尺少一根自乘，得一万二千一百尺少二百二十根多一平方，为大方之面积。大方旣比小方面积为五倍少四尺，则将小方加五倍，将大方加四尺，是为五平方与一万二千一百零四尺少二百二十根多一平方相等。两边各减一平方，得四平方与一万二千一百零四尺少二百二十根相等。四平方旣与一万二千一百零四尺少二百二十根相等，则一平方必与三千零二十六尺少五十五根相等。乃以三千零二十六尺为长方积，以五十五根作五十五尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔三十四尺为一根之数，卽小方每边之数。与共边一百一十尺相减，余七十六尺，卽大方毎边之数。以三十四尺自乘，得一千一百五十六尺，卽小方之面积。以七十六尺自乘，得五千七百七十六尺，卽大方之面积。再加四尺，得五千七百八十尺，为小方面积一千一百五十六尺之五倍也【此亦二正方有边和积较法，但积较有倍分耳】设如有一长方，又有大小二正方，三面积共四百四十一丈。

大正方边与长方之长等，小正方边与长方之阔等。但知小正方边为九丈，问大正方边若干？法借一根为大方，毎边之数自乘得一平方，为大方之面积。以九丈自乘得八十一丈，为小方之面积。以九丈与一根相乘得九根，为长方之面积。三面积相加得一平方多九根，又多八十一丈，与四百四十一丈相等。两边各减八十一丈，得一平方多九根，与三百六十丈相等。乃以三百六十丈为长方积，以九根作九丈为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔十五丈为一根之数，卽大方毎边之数。以十五丈自乘得二百二十五丈，卽大方之面积。以十五丈与九丈相乘得一百三十五丈，卽长方之面积。三面积相并共得四百四十一丈，以合原数也【此带纵较数开平方法】设如有一长方，又有大小二正方，三面积共四百五十七丈。长方之长与大正方边等，长方之阔与小正方边等，长阔共二十四丈。问长阔各几何？法：借一根为长方之阔，则长方之长为二十四丈少一根。以一根自乘，得一平方，为小正方之面积。以二十四丈少一根自乘，得五百七十六丈少四十八根多一平方，为大正方之面积。以一根与二十四丈少一根相乘，得二十四根少一平方，为长方之面积。三面积相加，得一平方多五百七十六丈少二十四根，与四百五十七丈相等。两边各加二十四根，得一平方多五百七十六丈，与二十四根多四百五十七丈相等。两边各减四百五十七丈，得一平方多一百一十九丈，与二十四根相等。乃以一百一十九丈为长方积，以二十四根作二十四丈为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔七丈，为一根之数，卽长方之阔。与二十四丈相减，余一十七丈，卽长方之长。以七丈自乘，得四十九丈，卽小正方之面积。以一十七丈自乘，得二百八十九丈，卽大正方之面积。以七丈与一十七丈相乘，得一百一十九丈，卽长方之面积。三面积相并，共得四百五十七丈，以合原数也【此带纵和数开平方法】设如有一长方，其面积八万三千二百三十二丈。又有一正方，其毎边与长方之阔等。若以正方面积自乘，则与两方之共面积等。问二方边数各若干？法：借一根为正方之面积，自乘得一平方，为正方面积自乘之数。又以一根与八万三千二百三十二丈相加，得一根多八万三千二百三十二丈，与一平方相等。乃以八万三千二百三十二丈为长方积，以一根作一丈为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得长二百八十九丈，为一根之数，卽正方之面积，亦卽长方之长。开平方得一十七丈，卽正方之边，亦卽长方之阔。以正方面积二百八十九丈与长方面积八万三千二百三十二丈相并，共得八万三千五百二十一丈。

又以正方面积二百八十九丈自乘，亦得八万三千五百二十一丈，是与两方之共面积相等也【此带纵较数开平方法】设如，有银买驼马，共六十一匹。驼毎匹之价与共驼数等，马毎匹之价与共马数等。今卖马一匹之价与共驼数等，卖驼一匹之价为共马数之二倍，共得利银七百一十九两。问驼数、马数及毎匹价各若干？法借一根为共马数，则六十一匹少一根为共驼数。以共马数一根自乘，得一平方，为买马之共价。以共驼数六十一匹少一根自乘，得三千七百二十一两少一百二十二根多一平方，为买驼之共价。两共价相加，得三千七百二十一两少一百二十二根多二平方，为买驼马之总银数。又以共马数一根与共驼数六十一匹少一根相乘，得六十一根少一平方，为卖马之共银数。以共驼数六十一匹少一根与二倍共马数二根相乘，得一百二十二根少二平方，为卖驼之共银数。两共银数相加，得一百八十三根少三平方，为卖驼马之总银数。内减买驼马总银数三千七百二十一两少一百二十二根多一平方，余三百零五根少五平方。又少三千七百二十一两，与利银七百一十九两相等。两边各加三千七百二十一两，得三百零五根少五平方与四千四百四十两相等。三百零五根少五平方旣与四千四百四十两相等，则六十一根少一平方必与八百八十八两相等。乃以八百八十八两为长方积，以六十一根作六十一为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔二十四为一根之数，卽共马数，亦卽马毎匹之价为二十四两也。以二十四匹与六十一匹相减，余三十七匹，卽共驼数，亦卽驼毎匹之价为三十七两也。以二十四匹与二十四两相乘，得五百七十六两，为买马之共银数。以三十七匹与三十七两相乘，得一千三百六十九两，为买驼之共银数。相加得一千九百四十五两，卽买驼马之总银数。以二十四匹与三十七两相乘，得八百八十八两，为卖马之共银数。以三十七匹与四十八两相乘，得一千七百七十六两，为卖驼之共银数。相加得二千六百六十四两，卽卖驼马之总银数。比买驼马之总银数多七百一十九两为利银数也【此带纵和数开平方法】设如，有木匠、瓦匠共三十名，又有匠头，不知名数，但知毎匠头一人得银三十六两。其木匠一人之银数与瓦匠之人数等，瓦匠一人之银数与木匠之人数等。而匠头之人数与木匠、瓦匠相差之数等。匠头之共银数与木匠之共银数等。问匠头与木匠、瓦匠之人数及毎人所得之银数各几何？法：借一根为木匠之人数，则瓦匠之人数为三十少一根。以一根与三十少一根相乘，得三十根少一平方，为木匠之共银数，亦为瓦匠之共银数。又以木匠之人数一根与瓦匠之人数三十少一根相减，得三十少二根，为匠头之人数，与毎人三十六两相乘，得一千零八十两少七十二根，为匠头之总银数，与木匠之共银数三十根少一平方相等。

两边各加七十二根，得一百零二根少一平方与一千零八十两相等。乃以一千零八十两为长方积，以一百零二根作一百零二为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔一十二为一根之数，卽木匠之人数。以一十二人与三十人相减，余一十八人，卽瓦匠之人数。以十二与十八相乘，得二百一十六两，卽木匠之共银数，亦卽瓦匠之共银数。以十二与十八相减，余六，卽匠头之人数，与三十六两相乘，亦得二十一十六两，卽匠头之共银数，与木匠之共银数等也【此带纵和数开平方法】设如，有马骡防物，不言马骡共数，亦不言马骡各数，但知马比骡多十匹，马共防一万二千斤，骡亦共防一万二千斤，而骡一匹所防之数比马一匹所防之数多四十斤，问马骡数及所防数各若干？法：借一根为骡数，则马数为一根多十匹，以一根除一万二千斤，得一根之一万二千斤为骡一匹所防之数，以一根多十匹除一万二千斤，得一根多十匹之一万二千斤为马一匹所防之数，因两分母不同，乃用互乘法以齐其分，将马分母一根多十匹与骡分子一万二千斤相乘，得一万二千根多一十二万斤，以骡分母一根与马分子一万二千斤相乘，得一万二千根，以互乘所得两分子相减，余一十二万斤为骡比马多防之数，又以马分母一根多十匹与骡分母一根相乘，得一平方多十根，又以四十斤乘之，得四十平方多四百根，亦为骡比马多防之数，是为四十平方多四百根与一十二万斤相等，四十平方多四百根旣与一十二万斤相等，则一平方多十根必与三千斤相等，乃以三千为长方积，以十根作一十为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔五十为一根之数，卽骡数，加十匹得六十匹，卽马数，以五十匹除一万二千斤，得二百四十斤，卽骡一匹所防之数，以六十匹除一万二千斤，得二百斤，卽马一匹所防之数也【此带纵较数开平方法】设如有数一十万，欲分为大小两分，与全分为相连比例三率，问大小两分各几何？法借一根为大分，则小分为十万少一根，是全分十万为首率，而一根为中率，十万少一根为末率矣。乃以首率十万与末率十万少一根相乘，得一百亿少十万根，而与中率一根自乘之一平方相等。乃以一百亿为长方积，十万根作十万为长阔数，用带纵较数开平方法算之，得阔六万一千八百零三，为一根之数，卽大分与全分十万相减，余三万八千一百九十七，卽小分也。葢十万与六万一千八百零三之比，卽同于六万一千八百零三与三万八千一百九十七之比，而为相连比例之三率也【此即求圜内容十边法】设如，有股二十尺，勾▯较十尺，问勾▯各几何？法：借一根为勾数，则一根多一十尺为▯数。

以一根自乘，得一平方，为勾自乘之数。以一根多一十尺自乘，得一平方多二十根又多一百尺，为▯自乘之数。两自乘之数相减，得二十根多一百尺，为股自乘之数，而与股二十尺自乘之四百尺为相等。两边各减一百尺，得二十根与三百尺相等。二十根旣与三百尺相等，则一根必与一十五尺相等，卽勾数。加勾▯较十尺，得二十五尺，卽▯数也。如圗，甲乙为▯，甲丙为勾【乙丁同】丙乙为勾▯较，甲丁为勾▯和，甲己戊乙为▯自乘方，庚己壬辛为勾自乘方，甲乙戊壬辛庚磬折形为股自乘数，与甲庚勾▯较【甲庚与丙乙等】乘甲丁勾▯和之甲庚癸丁长方积等。借一根为勾数者，卽庚己或庚辛也【庚己庚辛皆与甲丙等】一根多十尺为▯数者，卽庚己加庚甲也。一根自乘得一平方为勾自乘方者，卽庚己壬辛之正方也。一根多十尺自乘得一平方多二十根多一百尺为▯自乘方者，卽庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛壬戊子之二十根【甲庚较十尺乘甲丙一根得十根为甲庚辛丙长方，辛子较十尺乘子戊一根得十根为辛壬戊子长方，是共为二十根】又多丙辛子乙之一百尺，共为甲己戊乙之正方也。于甲己戊乙▯自乘方内减去庚己壬辛勾自乘之一平方，余二十根多一百尺，卽甲乙戊壬辛庚之磬折形，亦卽甲庚癸丁之长方形，而与股自乘之四百尺相等也。又甲庚癸丁长方内减去丙辛子乙一百尺，余甲庚辛丙及乙子癸丁，卽二十根之数为三百尺也。二十根之数为三百尺，则一根之数必为十五尺也【此勾股▯和较相求法】设如，有股二十四尺，勾▯和三十二尺，问勾▯各几何？法借一根为勾数，则三十二尺少一根为▯数。以一根自乘，得一平方，为勾自乘之数。以三十二尺少一根自乘，得一千零二十四尺少六十四根多一平方，为▯自乘之数。两自乘之数相减，得一千零二十四尺少六十四根，为股自乘之数，而与股二十四尺自乘之五百七十六尺为相等。两边各加六十四根，得一千零二十四尺与五百七十六尺多六十四根相等。两边各减五百七十六尺，得四百四十八尺与六十四根相等。四百四十八尺旣与六十四根相等，则七尺必与一根相等。卽勾数，以勾七尺与勾▯和三十二尺相减，余二十五尺，卽▯数也【此勾股▯和较相求法】设如，有▯五尺，勾股和七尺，问勾股各几何？法借一根为股数，则七尺少一根为勾数。以一根自乘，得一平方，为股自乘之数。以七尺少一根自乘，得四十九尺少一十四根多一平方，为勾自乘之数。两自乘数相加，得四十九尺少一十四根多二平方，为▯自乘之数，而与▯五尺自乘之二十五尺为相等。两边各加一十四根，得四十九尺多二平方与二十五尺多一十四根相等。

两边各减四十九尺，得二平方与一十四根少二十四尺相等。二平方旣与十四根少二十四尺相等，则一平方必与七根少十二尺相等。乃以十二尺为长方积，七根作七尺为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得长四尺为一根之数，卽股数。以股四尺与勾股和七尺相减，余三尺卽勾数也。如圗甲乙丙勾股形，甲乙股四尺，乙丙勾三尺，甲丙▯五尺，甲丁勾股和七尺，甲丁戊己为勾股和自乘方，辛丙庚己为股自乘方，乙丁壬丙为勾自乘方。借一根为股数者，卽甲乙也【壬戊己庚皆与甲乙等为一根数】一根自乘得一平方为股自乘方者，卽辛丙庚己也。七尺少一根自乘得四十九尺少十四根多一平方为勾自乘方者，卽甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙庚己之七根及辛壬戊己之七根共为十四根【甲乙一根乘甲己和七尺得七根为甲乙庚己长方，辛己一根乘己戊和得七根为辛壬戊己长方，共十四根】又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙勾自乘方也【于甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙丙壬戊己磬折形，余乙丁壬丙为勾自乘数，今减去十四根乃减去甲乙庚己一长方，又减去辛壬戊己一长方，是比磬折形多减去辛丙庚己一平方，故必加一平方以补多减之数始为乙丁壬丙勾自乘方也】辛丙庚己股自乘数，乙丁壬丙勾自乘数相加，与▯自乘之数相等，两边各加各减，得一平方与七根少十二尺相等者，卽辛丙庚己。一平方与甲乙庚己七根数相较而少甲乙丙辛之长方十二尺也。今不知七根之数，又不知一平方之数，但知一平方与七根相较之甲乙丙辛长方为十二尺，故卽以十二尺为长方积，以甲己为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得甲乙长而为股数也【此勾股▯和较相求法】设如有勾▯和五十尺，股▯和八十一尺，问勾股▯各几何？法借一根为勾数，则五十尺少一根为▯数，一根多三十一尺为股数【以五十尺与八十一尺相减，余三十一尺为勾股较，故一根多三十一尺为股数】以一根自乘，得一平方，为勾自乘之数；以五十尺少一根自乘，得二千五百尺少一百根多一平方，为▯自乘之数；以一根多三十一尺自乘，得一平方多六十二根又多九百六十一尺，为股自乘之数。以股自乘之数与▯自乘之数相减，得一千五百三十九尺少一百六十二根，亦为勾自乘之数，而与勾数一根自乘之一平方为相等。乃以一千五百三十九尺为长方积，以一百六十二根作一百六十二尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔九尺为一根之数，卽勾数。以勾九尺与勾▯和五十尺相减，余四十一尺，卽▯数；以勾九尺与勾股较三十一尺相加，得四十尺，卽股数也【此勾股▯和较相求法】设如，有勾股和二十三尺，勾▯和二十五尺，问勾、股、▯各几何？

法借一根为勾数，则二十三尺少一根为股数，二十五尺少一根为▯数。以一根自乘，得一平方，为勾自乘之数。以二十三尺少一根自乘，得五百二十九尺少四十六根多一平方，为股自乘之数。以二十五尺少一根自乘，得六百二十五尺少五十根多一平方，为▯自乘之数。以股自乘之数与▯自乘之数相减，得九十六尺少四根，亦为勾自乘之数，而与勾数一根自乘之一平方为相等。乃以九十六尺为长方积，四根作四尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔八尺为一根之数，卽勾数。以勾八尺与勾股和二十三尺相减，余十五尺，卽股数。以勾八尺与勾▯和二十五尺相减，余十七尺，卽▯数也【此勾股▯和较相求法】设如，有股▯和二十五尺，勾▯较八尺，问勾、股、▯各几何？法借一根为股数，则二十五尺少一根为▯数，十七尺少一根为勾数【股▯和二十五尺内减勾▯较八尺，得一十七尺为勾股和，故勾为十七尺少一根】以一根自乘，得一平方，为股自乘之数；以一十七尺少一根自乘，得二百八十九尺少三十四根多一平方，为勾自乘之数；以二十五尺少一根自乘，得六百二十五尺少五十根多一平方，为▯自乘之数。以勾自乘之数与▯自乘之数相减，得三百三十六尺少一十六根，亦为股自乘之数，而与股数一根自乘之一平方为相等。乃以三百三十六尺为长方积，十六根作十六尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔十二尺为一根之数，卽股数。以股十二尺与股▯和二十五尺相减，余一十三尺，卽▯数；内减勾▯较八尺，余五尺，卽勾数也【此勾股▯和较相求法】设如，有股▯较一尺，勾▯较三十二尺，问勾、股、▯各几何？法借一根为勾数，则一根多三十二尺为▯数，一根多三十一尺为股数【股▯较与勾▯较相减，余三十一尺为勾股较，故股为一根多三十一尺也】以一根自乘，得一平方，为勾自乘之数；以一根多三十二尺自乘，得一平方多六十四根，又多一千零二十四尺，为▯自乘之数；以一根多三十一尺自乘，得一平方多六十二根，又多九百六十一尺，为股自乘之数。以股自乘之数与▯自乘之数相减，得二根多六十三尺，亦为勾自乘之数，而与勾数一根自乘之一平方为相等。乃以六十三尺为长方积，以二根作二尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得长九尺为一根之数，卽勾数。以勾九尺与勾▯较三十二尺相加，得四十一尺，卽▯数；内减股▯较一尺，余四十尺，卽股数也【此勾股▯和较相求法】设如，有勾股和七十三尺，勾▯较与股▯较之和三十三尺，问勾股▯各几何？法借一根为勾数，则七十三尺少一根为股数，五十三尺为▯数【以勾股和七十三尺加勾▯较与股▯较之和三十三尺得一百零六尺，卽二▯数，故半之得五十三尺为▯数也】以一根自乘得一平方，为勾自乘之数；以七十三尺少一根自乘得五千三百二十九尺少一百四十六根多一平方，为股自乘之数；以五十三尺自乘得二千八百零九尺，为▯自乘之数。

以股自乘之数与▯自乘之数相减，得一百四十六根少二千五百二十尺又少一平方，亦为勾自乘之数，而与勾数一根自乘之一平方为相等。两边各加一平方，得一百四十六根少二千五百二十尺与二平方相等。一百四十六根少二千五百二十尺旣与二平方相等，则七十三根少一千二百六十尺必与一平方相等。乃以一千二百六十尺为长方积，七十三根作七十三尺为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔二十八尺为一根之数，卽勾数。以勾二十八尺与勾股和七十三尺相减，余四十五尺卽股数也【此勾股▯和较相求法】设如有勾股▯总和一百五十尺，勾股较股▯较勾▯较共八十尺。问勾股▯各几何？法借一根为勾数，则一根多四十尺为▯数【将三较共八十尺折半得四十尺，卽勾▯较】一百一十尺少二根为股数【总和一百五十尺内减去勾数一根，又减去▯数一根多四十尺，得一百一十尺少二根为股数】以一根自乘得一平方，为勾自乘之数；以一根多四十尺自乘得一平方多八十根，又多一千六百尺，为▯自乘之数；以一百一十尺少二根自乘得一万二千一百尺少四百四十根，多四平方，为股自乘之数。以股自乘之数与▯自乘之数相减，得五百二十根少三平方，又少一万零五百尺，亦为勾自乘之数，而与勾数一根自乘之一平方为相等。两边各加三平方，得五百二十根少一万零五百尺，与四平方相等。五百二十根少一万零五百尺旣与四平方相等，则一百三十根少二千六百二十五尺，必与一平方相等。乃以二千六百二十五尺为长方积，以一百三十根作一百三十尺为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔二十五尺为一根之数，卽勾数。以勾二十五尺与勾▯较四十尺相加，得六十五尺，卽▯数。以勾▯和九十尺与勾股▯总和一百五十尺相减，余六十尺，卽股数也【此勾股▯和较相求法】设如有勾股和二十三尺，▯与勾股较之较十尺，问勾股▯各几何？法借一根为勾股较数，则一根多十尺为▯数。以一根自乘，得一平方，为勾股较自乘之数。以一根多十尺自乘，得一平方多二十根又多一百尺，为▯自乘之数。倍之，得二平方多四十根又多二百尺。内减去勾股较自乘之一平方，余一平方多四十根多二百尺，为勾股和自乘之数，而与勾股和二十三尺自乘之五百二十九尺为相等。两边各减去二百尺，得一平方多四十根与三百二十九尺相等。乃以三百二十九尺为长方积，以多四十根作四十尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔七尺为一根之数，卽勾股较。与勾股和二十三尺相加得三十尺，折半得十五尺为股。内减较七尺，余八尺为勾。又以勾股较七尺与▯与勾股较之较十尺相加，得十七尺为▯也【此勾股▯和较相求法】设如，有勾股积一千零八十尺，勾股▯总和一百八十尺，问勾股▯各几何？

法借一根为▯，数则一百八十尺少一根为勾股和数。以一根自乘得一平方为▯自乘之数，以一百八十尺少一根自乘得三万二千四百尺少三百六十根多一平方为勾股和自乘之数。又以勾股积一千零八十尺四因之得四千三百二十尺，与▯自乘之一平方相加得一平方多四千三百二十尺，亦为勾股和自乘之数，而与勾股和自乘之三万二千四百尺少三百六十根多一平方为相等【勾股和自乘数内有一▯自乘方，有四勾股积，故四因勾股积与▯自乘之数相加，卽与勾股和自乘之数相等也】两边各减四千三百二十尺，得二万八千零八十尺少三百六十根多一平方与一平方相等。两边各加三百六十根，得二万八千零八十尺多一平方与一平方多三百六十根相等。两边再各减一平方，得三百六十根与二万八千零八十尺相等。三百六十根旣与二万八千零八十尺相等，则一根必与七十八尺相等。卽▯数。以▯七十八尺与一百八十尺相减，余一百零二尺卽勾股和。又以▯自乘得六千零八十四尺，与四勾股积四千三百二十尺相减，余一千七百六十四尺，平方开之得四十二尺卽勾股较。与勾股和一百零二尺相减，余六十尺，折半得三十尺卽勾数。加勾股较四十二尺得七十二尺卽股数也【此勾股积与勾股▯和较相求法】设如，有勾股积六十尺，▯与勾股和之较六尺，问勾股▯各几何？法借一根为▯，数则一根多六尺为勾股和数。以一根自乘得一平方为▯自乘之数，以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为勾股和自乘之数。又以勾股积六十尺四因之，得二百四十尺，与▯自乘之一平方相加，得一平方多二百四十尺，亦为勾股和自乘之数，而与勾股和自乘之一平方多十二根多三十六尺为相等。两边各减去一平方，得十二根多三十六尺与二百四十尺相等。两边又各减去三十六尺，得十二根与二百零四尺相等。十二根旣与二百零四尺相等，则一根必与十七尺相等。卽▯数加▯与勾股和之较六尺，得二十三尺为勾股和。用有▯有勾股和求勾股法算之，得股十五尺，勾八尺也【此勾股积与勾股▯和较相求法】设如，有三角形，大腰十七尺，小腰十尺，底二十一尺，求中垂线几何？法借一根为中垂线之面积，以小腰十尺自乘得一百尺，内减去一根，得一百尺少一根，为小分底之面积【中垂线为股，小腰为▯，小分底为勾，于▯积内减去股积，余为勾积也】又以大腰十七尺自乘得二百八十九尺，内减去一根，余二百八十九尺少一根，为大分底之面积【中垂线为股，大腰为▯，大分底为勾，于▯积内减去股积，余为勾积也】又以底二十一尺自乘得四百四十一尺，内减大小两分底之共面积三百八十九尺少二根，余五十二尺多二根，折半得二十六尺多一根，为小分底乘大分底之面积【底边自乘，内有大分底自乘之一正方，小分底自乘之一正方，小分底乘大分底之二长方，故减去二正方，余数折半卽为小分底乘大分底之一长方也】此数与小分底之面积及大分底之面积为相连比例三率，葢大分底之面积为首率，而小分底乘大分底之面积为中率，小分底之面积为末率也。

乃以首率大分底之面积二百八十九尺少一根与末率小分底之面积一百尺少一根相乘，得二万八千九百尺少三百八十九根多一平方。又以中率小分底乘大分底之面积二十六尺多一根自乘，得六百七十六尺多五十二根多一平方。此二数为相等，两边各加三百八十九根，得二万八千九百尺多一平方与六百七十六尺多四百四十一根多一平方相等。两边各减一平方，得二万八千九百尺与六百七十六尺多四百四十一根相等。两边再各减去六百七十六尺，得二万八千二百二十四尺与四百四十一根相等。二万八千二百二十四尺旣与四百四十一根相等，则六十四尺必与一根相等。卽中垂线之面积开平方得八尺，卽中垂线也【此三角形求中垂线法】设如，有三角形，底十四尺，大腰与中垂线之较三尺，小腰与中垂线之较一尺，求中垂线及两腰各几何？法借一根为中垂线，则大腰为一根多三尺，小腰为一根多一尺。以一根自乘，得一平方，为中垂线之面积。以一根多三尺自乘，得一平方多六根多九尺，为大腰之面积。内减去中垂线之面积一平方，余六根多九尺，为大分底之面积。以一根多一尺自乘，得一平方多二根多一尺，为小腰之面积。内减去中垂线之面积一平方，余二根多一尺，为小分底之面积。又以底十四尺自乘，得一百九十六尺。内减去大小两分底之共面积八根多十尺，余一百八十六尺少八根。折半得九十三尺少四根，为小分底乘大分底之面积。此数与大分底之面积及小分底之面积为相连比例三率。葢大分底之面积为首率，而小分底乘大分底之面积为中率，小分底之面积为末率也。乃以首率大分底之面积六根多九尺与末率小分底之面积二根多一尺相乘，得十二平方多二十四根多九尺。又以中率之小分底乘大分底之面积九十三尺少四根自乘，得八千六百四十九尺少七百四十四根多十六平方。此二数为相等，两边各加七百四十四根，得十二平方多七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多十六平方相等。两边各减十二平方，得七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多四平方相等。两边再各减八千六百四十九尺，得七百六十八根少八千六百四十尺与四平方相等。七百六十八根少八千六百四十尺旣与四平方相等，则一百九十二根少二千一百六十尺必与一平方相等。乃以二千一百六十尺为长方积，以一百九十二根作一百九十二尺为长阔和，用带纵和数开平方法算之，得阔十二尺为一根之数。卽中垂线加三尺得十五尺，卽大腰加一尺得十三尺，卽小腰也【此三角形和较相求法】

御制数理精蕴下编卷三十五

钦定四库全书