几何论约卷二
几何论约卷二
柘城杜知耕撰一题两直线任于一直线分为若干分，其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等。解曰：甲与乙丙两线，任于乙丙三分之，为乙丁、戊丙。题言甲偕乙丙矩内形，与甲偕乙丁、甲偕丁戊、甲偕戊丙三矩内形并等。论曰：乙己全形，即甲偕乙；丙矩内形，乙辛丁壬戊己三分形，即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形。故三分形并与全形等。
二题一直线任两分之，其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内形并等。
三题一直线任两分之，其元线任偕一分线，矩内直角形与分余线偕一分线，矩内直角形及一分线上直角方形并等。解曰：甲乙线任分于丙，题言元线甲乙，任偕一分线甲丙，矩内形【不论甲丙为大分为小分】与分余丙乙偕甲丙。
矩内形及甲丙上方形并等论曰：甲己为元线，甲乙偕分线，甲丙矩内形，甲丁为分线，甲丙上方。形丙己为甲，丙偕分余线，丙乙矩内形是甲丁及丙己两分形，并与甲己全形等。
四题一直线任两分之，其元线上直角方形与各分线上两直角方形及两分线矩内形二并等。解曰：甲乙线任分于丙，题言甲乙线上方形与甲丙、丙乙线上两方形及甲丙偕丙乙、丙乙偕甲丙。
两矩内形并等论曰：甲丁为甲乙元线上方，形辛己为甲丙上方，形丙壬为丙乙上方，形甲庚。庚丁俱甲，丙偕丙乙，矩内形也。故四形并与甲乙元线上，甲丁方形等。糸凡直角方形之角线形，皆直角方形。
五题一直线两平分之，又任两分之，其任两分线矩内形及分内线上方形，并与平分半线上方形等。解曰：甲乙线平分于丙，又任分于丁，其丙丁为分内线【丙丁线者，丙乙所以大于丁乙之较，又甲丁所以大于甲丙之较，故曰分内线】题言：甲丁、丁乙矩内形，及分内线丙丁上方形，并与丙乙线上方形等。论曰：癸庚为丙丁上方形，丁壬为丁乙上方形丙辛，辛己为两余方，自相等。辛己加一丁壬，则与丙壬等，即与甲癸等。甲癸加一丙辛，即甲丁偕丁乙矩内形，岂不与卯寅丑磬折形等乎？故加一丙丁上癸庚方形，与丙乙线上方形等。
六题一直线两平分之，又任引増一直线，共为一全线。其全线偕引増线矩内形，及半元线上方形，并与半元线偕引増线上方形等。解曰：甲乙线平分于丙，又从乙引増乙丁，与甲乙通为一全线。题言：甲丁偕乙丁矩内形及半元线丙乙上方形，并与丙丁上方形等。论曰：甲癸与丙辛等，又丙辛与辛戊等【一卷】【四三】即辛戊与甲癸亦等，甲癸加一丙壬，即甲丁偕丁乙，矩内形与卯寅丑磬折形等矣。故加一乙丙上癸庚方形，与丁丙上丙戊方形等。
七题一直线，任两分之，其元线上及任用一分线上，两方形并与元线偕一分线矩内形二及分余线上方形并等。解曰：甲乙线，任分于丙。题言元线甲乙上，及任用。一分线甲丙上两方形并【不论甲丙】。为大分，为小分】与甲乙偕，甲丙矩内形。
二及分余线丙乙上方形并等论曰：甲丁为甲乙上方形，辛己为甲丙上方形，丙壬为丙乙上方形，甲己与辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也。两矩内形及丙壬方形，并与甲丁方形较多一辛己方形，故与甲乙及甲丙上两方形并等。八题。一直线任两分之，其元线偕初分线矩内形四，及分余线上方形，并与元线偕初分线上方形等。解曰：甲乙线任分于丙，题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内形四【不论丙乙为大分为小分】及分余线甲丙上方形，并与甲乙偕丙乙【通作一线】上方形等。论曰：丙己庚壬，壬丁丁乙，皆甲乙偕丙乙矩内形。甲子为甲丙上方形，此五形并与甲乙偕丙乙上方形。
等甲乙偕丙乙上方形即癸己全形也九题一直线两平分之，又任两分之，任分线上两方形并，倍大于平分半线上及分内线上两方形并。解曰：甲乙线平分于丙，又任分于丁。题言：甲丁、丁乙上两方形并，倍大于平分半线甲丙上分余线。
丙丁上两方形并论曰：自丙作丙戊垂线，与甲丙等；次作甲戊、戊乙两腰；次从丁作丁己垂线，遇戊乙于己；从己作己庚线，与甲乙平行，成戊庚、己甲、丙戊、己丁、乙角形三，皆两腰等而直角；末作甲己线，成己戊甲、甲丁己角形二。皆直角戊庚己形之戊己上方，必倍大于己庚上方，即倍大于等己庚之丙丁上方。甲丙戊形之甲戊上方，必倍大于甲丙上方。又甲戊己形之甲己上方，与戊己、甲戊上两方形并等，即甲己上方亦倍大于甲丙、丙丁上两方形并。又甲己上方与甲丁、丁己上两方形并等，即与甲丁及等丁己之丁乙上两方形并等。夫甲丁、丁乙上两方形并，既等于甲己上方形，必亦倍大于甲丙、丙丁上两方形并。十题一直线两平分之，又任引増一线，共为一全线。其全线上及引增线上两直角方形并，倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并。解曰：甲乙线平分于丙，又任引増乙丁。题言：甲丁线上及乙丁线上两方形并，倍大于甲丙线上及丙丁线上两方形并。论曰：自丙作丙戊垂线，与甲丙等。自戊至甲至乙各作腰线。次从丁作己丁垂线，引长之，又引长戊乙，相遇于庚。次作戊己线。与丙丁平行成甲丙戊、戊己庚、庚丁乙角形三，各两腰等而直角末，作甲庚线，成甲戊庚、甲丁庚角形二，皆直角。甲丙戊形之甲戊上方，必倍大于甲丙上方；戊己庚形之戊庚上方，必倍大于等戊己之丙丁上方。又甲庚上方与甲戊、戊庚上两方形并等，即甲庚上方亦倍大于甲丙、丙丁上两方形并。又甲丁及等丁庚之丁乙上两方形并与甲庚上方形等，是甲丁、丁乙上两方形并亦倍大于甲丙、丙丁上两方形并矣。
十一题一直线求两分之，而元线偕初分线矩内形与分余线上方形等。法曰：甲乙线求两分之令，元线偕初分小线，矩内形与分余大线上方形等，先于甲乙线上作甲丙方形，次平分甲丁于戊，作戊乙线，次引戊甲线至己，令戊己与戊乙等，末截甲乙于庚，令甲庚与甲己等，即甲乙偕庚乙矩内形与甲庚上方形等，为所求。论曰：从庚作壬辛线，与丁己平行；次作己辛线，与甲庚平行。庚丙为甲乙乙庚矩内形，己庚为甲庚上方形，己壬为丁己偕甲己矩内形。于己壬増一甲戊上方形，必与等戊己之戊乙上方形等【本巻六】戊乙上方形，又与戊甲甲乙上两方形并等，是戊甲、甲乙。上两方形并与己壬及戊甲上方形并亦等矣。次各减同用之戊甲上方形，所存甲丙、己壬两形不亦等乎？再各减同用之甲壬形，所存甲乙乙庚矩内形【即庚丙形】与甲庚上方形【即己庚形】必相等【此题所求即理分中末线，详六巻三十】
十二题三边钝角形，其对钝角边上方形大于余邉上两方形并，其较为钝角旁任用一邉偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内形二。解曰：甲乙丙钝角形，乙为钝角，从余角下一垂线。与钝角旁一邉丙乙引増线遇于丁为直角，题言对钝角之甲丙邉上方。形大于甲乙，乙丙两邉上方形，并其较为丙乙，偕乙丁矩内形二。论曰：丙丁线任分于乙，即丙丁上方形与丙乙、乙丁上两方形及丙乙、偕乙丁矩内形二并等【本卷四】甲丙上、方形与甲丁、丙丁上两方形并等，即与甲丁、乙丁、丙乙上三方形。及丙乙偕乙丁矩内形二，并等也。又甲乙上方形与甲丁、乙丁上两方形并，等于甲乙上方形，再増一丙乙上方形，而与甲丙上方形较，仍朒。丙乙偕乙丁矩内形二也。
十三题三邉鋭角形，其对鋭角邉上方形，小于余邉上两方形并其较为鋭角旁，任用一邉偕其对角所下垂线旁之近鋭角分线矩内形二。解曰：甲乙丙，鋭角形。从甲角向对邉乙丙下，一垂线，分乙丙于丁。题言对。丙鋭角之甲乙邉上，方形小于甲丙乙丙邉上两方形并其较为乙丙偕丁丙矩内形二。论曰：乙丙线任分于丁，即乙丙及丁丙上两方形，并与乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等【本卷七】又甲丙上方形与甲丁、丁丙上两方形并等。若甲丙、乙丙上两方形并，必与乙丙偕丁丙矩内形二及甲丁乙丁上两方形并等，又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形。并等即甲乙上方形与甲丙乙丙上两方形较，则朒乙丙偕丁丙矩内形二矣。
十四题有直线形，求作直角方形与之等。法曰：甲无法，四邉形，求作方形与？之等先作乙丁形，与甲等，而直角。【一巻四五】任以丁、丙邉引之，至己，令丙。己与乙丙等次平分丁己于庚，其庚防若在丙，则乙丁即是方形；若在丙外，即以庚为心，丁为界，作丁辛己半圜。末于乙丙线引长抵圜界于辛，即丙辛上方形与甲等。论曰：自庚作庚辛线，庚辛上方形与庚丙、丙辛上两方形并等。又等庚辛之庚己上方形与庚丙上方形及丁丙偕等。丙乙之丙己矩内形【即乙丁形】并等【本巻五】此二率毎减去同用之庚丙上方形，所存乙丁形与丙辛上方形，安得不等？増题：若先得方形之对角线所长于本形边之较，而求本形边，其较为甲乙，先于甲乙上作甲丙方。
形次作乙丁对角线引长至戊令丁戊与甲乙等即得乙戊线为所求论曰：依乙戊线作戊庚方形，次引乙甲线至己末，作戊甲线。其己甲、丁己、戊丁两角必等【两皆直角】同减去丁戊甲形，所存己甲戊、己戊甲两角亦等。角等则己甲、己戊两腰必等，故乙己角线大于戊己边之较为甲乙。耕曰：前论止言当然，而未及所以然，今补一论以明之。另作辛壬为乙己角线上方形，次作癸子丑寅两形，皆与庚戊等，错综加于辛壬方形之上，重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等两方形，凡两方形并与角线上一方形等【一卷四七増】则丑子一形必与两缺形并等，次作辛未为卯午缺形之角线，而辛未上方形必亦与两缺形并等，则丑子形之未丑邉与辛未线必等。夫午未为方邉，小于角线之较，与上圗甲乙等，即与上圗丁戊等，未丑与辛未等，即与上圗丁乙等，故并两线为方边。
几何讑约巻二钦定四库全书