数学钥卷二目録

数学钥卷二目録

柘城杜知耕撰方田下【曲线类】

一则圆径求周二则圆周求径三则圆周径求积四则圆径求积五则圆周求积六则圆积求径七则圆积求周八则圆环求积【增】九则圆环以积及内周求外周。【增】十则圆环以积及外周求内周。十一则，圆环以积及内外周求环濶。【增】十二则圆环，以两周求环濶。【增】十三则圆环以积及濶求两周。【增】十四则，圆环以积及濶求径。十五则圆环以全径及虚径求积。

【西法】十六则撱圆求积【西法】十七则弧矢求积【增】十八则，弧矢形，以积矢▯及离径，求背。【西法】十九则。弧矢形，以矢▯求余径【求全径、离径、半径附】【西法】二十则。弧矢形，以矢径求▯。二十一则，弧矢形以离径、半径求▯。【西法】二十二则。弧矢形，以▯及余径求矢。【增】二十三则，弧矢形以▯及全径求矢。二十四则，弧矢形，以半▯、半径求矢。二十五则弧矢形以半▯及离径求矢。【增】二十六则，弧矢形以半径、半▯较及半▯离径较，求矢与▯。二十七则，旧弧矢法以矢，▯求积。二十八则，旧弧矢法以积矢求▯。二十九则旧弧矢法以积▯求矢。【增】三十则，增弧矢法，以矢▯求积。

【增】三十一则圆截圆三十二则圆截弧矢【西法】三十三则，弧矢形截，杂线三角形。三十四则，方内减圆，以余积求圆积。三十五则，方内减圆，以余积求方积【求方边、圆径附】三十六则，圆内减方，以余积求方积【求方边、圆径附】三十七则，圆内减方，以余积求圆积。三十八则，方内减不相切之圆，以余积求方边及圆径。【增】三十九则，圆内减不相切之方，以余积求圆径及方▯。

四十则诸杂线形求积数学钥巻二目録钦定四库全书数学钥巻二柘城杜知耕撰方田下【曲线类】

一则圆径求周设圆田径二十八步，求周法曰：置径为实，以周法二十二乘之【得六百一十六步】以径法七除之，得八十八步，即所求。解曰：径法七，周法二十二者，径与周。之比例若七与二十二也？何也？西洋亚竒黙德云：圆径与圆周三倍又七。十之十则朒【谓周不及此数也】三倍又七十。一之十则盈【谓周过于此数也】先论三倍，又七十之十，曰丁甲乙半圜，戊为心，从甲作午子切线，从乙从丁作乙己壬丁线，各与乙戊半径等，设乙戊己角六十度，己戊甲角必三十度，为六边形之半角也，末从心过己过壬作戊午戊子线，成戊午子等角形，己戊壬既六十度，则午子为等角形之边，设甲午股一百五十三。步则戊午▯必三百零六步【戊午元与午子】等午子既倍大于甲午，则戊午亦必倍大于甲午】各自乘甲午股得二万三千四百零九步，戊午。▯得九万三千六百三十六步，两数。相减，余七万零二百二十七步平方。开之，得二百六十五步有竒，为戊甲。勾【即半径】则戊甲与甲午之比例为二。百六十五步有竒，与一百五十三步。次平分午戊甲角作戊庚线，任分甲午于庚【庚戊线割圜界于酉己、酉甲、酉两弧等，两弧既等，则酉戊己、酉戊甲两角必等，故曰平分；甲庚、庚午两线不等，故曰任分】则午戊与戊甲若午庚与甲庚，合之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚，更之戊午并戊甲而与甲午【甲午即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚，先定戊午、戊甲并为五百七十一步有竒，午甲为一百五十三步，则戊午并戊甲与甲午之比例若五百七十一步有竒与一百五十三步，则戊甲与甲庚之比例亦若五百七十一步有竒与一百五十三步矣，即以两数各自乘并而开方得五百九十一步又八之一不尽为庚戊线【戊甲为勾，甲庚为股，庚戊为▯】则庚戊与甲庚之比例若五百九十一步又八之一不尽与一百五十三步，次平分庚戊甲角作戊辛线，则戊庚并戊甲一千一百六十二步又八之一与庚甲一百五十三步若戊甲与甲辛，若设甲辛为一百五十三步，则戊甲为一千一百六十二步又八之一有竒，两数各自乘并而开方得一千一百七十二步又八之一为辛戊线【甲戊为勾，甲辛为股，辛戊为▯】则辛戊与辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一与一百五十三步，次平分辛戊甲角作戊寅线，则辛戊并戊甲二千三百三十四步又四之一与辛甲一百五十三步若戊甲与甲寅，设甲寅为一百五十三步，则戊甲为二千三百三十四步又四之一，两数各自乘并而开方得二千三百三十九步又四之一有竒为寅戊线【戊甲为勾，甲寅为股，寅戊为▯】则寅戊与寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒与一百五十三步，次平分寅戊甲角作未戊线，则寅戊并戊甲四千六百七十三步五分有竒与寅甲一百五十三步若戊甲与甲未若设甲未为一百五十三步则戊甲为四千六百七十三步五分有竒子戊午为半圜三分之一即为全圜六分之一甲戊午为十二分之一甲戊庚为二十四分之一甲戊辛为四十八分之一甲戊寅为九十六分之一甲戊未为一百九十二分之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与全径之比例若一百五十三步与四千六百七十三步五分【未申倍大于未甲乙丁全径亦倍大于甲戊半径】以一百五十三步乘九十六边得一万四千六百八十八步则全边与全径之比例为一万四千六百八十八步与四千六百七十三步五分约之为三又七之一不足夫形外切线尚不及三又七之一况圜周乎　次论三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙径戊心从丙作丙甲与半径戊丙等【甲丙即六边形之一边】从乙作乙甲线成乙甲丙勾股形而甲为方角设甲丙勾为七百八十步乙丙▯为一千五百六十步两数各自乘相减开方得一千三百五十一步不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一千三百五十一步与七百八十步，次平分甲乙丙角，作乙丁线。

以丁、丙聨之，成丁、乙、丙、丙、丁、己两勾。股形自相似，葢同用丁方角在半圜。内甲丁丁丙两线所乘之弧等，则丁。丙、己、丁、乙、丙两弧之角必等，凡两形。有两角等者，各腰俱相似，则乙丁【大股】与丙丁【大勾】若丁丙【小股】与丁己【小勾】又乙丙【大▯】与丁，丙【大勾】若己，丙【小▯】与丁，己【小勾】更之乙丙与己丙【两▯】若丁丙与丁己【两勾】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两勾】乙丙与己丙【两▯】三比例皆等。又乙丙与己丙【两▯】若乙丙并甲乙【两腰】与甲丙底之两分，则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙。先定乙甲一千三百五十一步弱，乙丙一千五百六十步，是乙甲乙丙并为二千九百一十一步弱。甲丙先设七百八十步，则乙丁与丁丙亦为二千九百一十一步弱，与七百八十步各自乘并而开方，得三千零一十三步又四之一弱，为乙丙线【乙丁丙形之▯】则乙丙与丁丙之比例为三千零一十三步又四之一弱与七百八十步。次平分丁乙丙角作辛乙线，依前论，丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙。先定乙丙三千零一十三步又四之一弱，乙丁二千九百一十一步弱，并为五千九百二十四步又四之一弱。今丙丁为七百八十步，则乙辛与辛丙为五千九百二十四步又四之一弱与七百八十步。欲省数，改设辛丙二百四十步，改设乙辛一千八百二十三步弱，两数各自乘并而开方，得一千八百三十八步又十一之九弱，为乙丙线【乙辛丙形之▯】则二百四十步与一千八百三十八步又十一之九弱为丙辛乙辛之比例。次平分辛乙丙角作乙壬线，以壬丙线聨之，辛乙乙丙两数并三千六百六十一步又十一之九弱，与辛丙二百四十步为乙壬与壬丙之比例。又改设壬丙六十六步，改设乙壬一千零七步弱，两数各自乘并而开方，得一千零九步弱，则六十六步与一千零九步弱为壬丙与乙丙之比例。末平分壬乙丙角作乙庚线，以庚丙线聨之，乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二千零一十六步又六之一与丙壬六十六步，两数各自乘并而开方，得二千零一十七步又四之一弱为乙丙线【乙庚丙形之▯】则庚丙与乙丙之比例为六十六步与二千零一十七步又四之一弱。丙甲弧为全圜六分之一，丙丁十二分之一，丙辛二十四分之一，丙壬四十八分之一，丙庚九十六分之一。是丙庚为九十六边内切圜形之一边也。以六十六步乘九十六边，得六千三百三十六步，为九十六边内切形之周。乙丙径为二千零一十七步又四之一弱，约之径一周三又七十一之十强。夫圜内切线为三又七十一之十尚强，况圜周乎？○按三又七十一之十，设径一，则周三一四零八四五零七零四二二有竒；设周一，则径三一八三八五六五零二二。

再约之径七十一步，周二百二十三步三又七十之十。设径一，则周三一四二八五七一四二八五七有竒；设周一，则径三一八一八一八一八一八有竒。再约之径七步，周二十二步。两数皆不能与周径脗合，但径七周二十二，其数少整，姑从之。

二则圆周求径设圆田周八十八步，求径法曰：置周为实，以径法七因之【得六百一十六步】以周法二十二除之，得二十八步，即所求。

解曰即前法反用之三则圆周径求积设圆田周八十八步，径二十八步，求积法曰：置周折半【得四十四步】为实，以径折半【得一十四步】为法，乘之，得六百。

一十六步即所求解曰：圆形与半径为高，全周为底之三角形等何也？《测量全义》云：甲乙丙。丁圜自戊心百分之必皆成三角形。而己戊甲，其百分之一也。次依甲戊半径，作庚戊辛三角形，令庚辛底与圜之全周等。自戊角百分之，亦必皆成三角形。而甲戊壬，其百分之一也。己戊甲、甲戊壬两分形，己甲、甲壬两底既等，又戊甲同高，因推其容必等。夫百倍己戊甲，为甲乙丙丁全圜。百倍甲戊、壬为庚，戊、辛三角形，两分形既等。两全形有不等乎？故法以半径乘半。周得庚、戊、辛三角形之积，即得甲乙。丙丁圜之积也。○或云己戊甲，虽全。圜百，分之一，其底终属曲线，不可与。直线三角形，为比不知，甲戊壬角大。于己戊甲角，而己戊甲中垂线大于。甲戊壬中，垂线两相折准，即谓之无。

差亦可四则圆径求积设圆田径二十八步，求积法曰：置径自乘【得七百八十四步】再以十一乘之【得八千六百二十四步】以十四除之，得六百一十六步，即所求。解曰：测量全义云：「甲乙丙丁圜庚戊辛三角形，以半径为高，以圜周为底，己壬为圜径。上方形己丁，直形以全径为濶，以半径为高，而为己壬方形之半。己戊癸三角形，亦以全径为濶，半径为高，而为己丁直形。」之半，己戊癸形，既为己丁直形之半。必为倍大于己丁之己壬方形四之。一，又己戊癸与庚戊辛两形同，以半。径为高，凡两形等高者，形与形之比。例若线与线【两线即两底○一巻四十五则】今庚辛。底与圜周等，己癸底与圜径等，是己。戊癸庚戊辛，两形之比例若圜径七。与圜周二十二，若以四倍大于己戊。癸之己壬，方形与庚戊辛三角形较。其比例必若二十八与二十二矣。各以二约之，为十四与十一。夫庚戊辛三角形与圆形等【本巻三则】故方圆之比例亦若十四与十一。法以圆径自乘，求己壬方形之积也。以十一乘十四除，取方积十四分之十一，以为圆积也。

五则圆周求积设圆田周八十八步，求积法曰：置周自乘【得七千七百四十四步】以七因之【得五万四千二百零八步】以八十八除之，得六百一。

十六步即所求解曰戊己庚辛圜戊己径与甲乙丙丁圜周等则两圜之比例为其径与径再加之比例再加云者以两径各自乘之数以为比例也设甲乙径七戊己径二十二，甲乙自乘得四十九，戊己自乘得四百八十四，是两圜之比例若四十九与四百八十四。又壬癸方形与戊己庚辛圜元若十四与十一【本巻四则】今戊己庚辛圜既为四百八十四，壬癸方形必六百一十六，是壬癸方形与甲乙丙丁圜必若六百一十六与四十九矣。各以七约之，为八十八与七。法以圜周自乘，即壬癸方形之积也。以七乘八十八除，取方积八十八分之七，以为甲乙丙丁圜积也。

六则圆积求径设圆田积六百一十六步，求径法曰：置积为实，以十四乘之【得八千六百二十四步】以十一除之【得七百八十四步】平方开。

之得二十八步即所求解曰：以十四乘，十一除者，因圜积以求戊己方积也，平方开之，得方边，即得圜径者方边与圜径等也七则圆积求周设圆田积六百一十六步，求周法曰：置积为实，以八十八乘之【得五万四千二百零八步】以七除之【得七千七百四十四步】平方开之，得八十八步，即所求。解曰：以八十八乘七，除者，因圜积以求圜周上方积也【本巻五则】故平方开之，得圜周。

八则圆环求积设环田外周六十六步，内周一十一步，求积法曰：置内外两周各自乘【外周得四千三百五十六步，内周得一百二十一步】两数相减【余四千二百三十五步】以七乘之【得二万九千六百四十五步】以八十八除之，得三百三十六步八分七厘五。

毫即所求解曰：与方环求积同【一巻三十三则，及本巻五则】

九则圆环以积及内周求外周设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫，内周一十一步，求外周。法曰：置积为实，以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】另置内周自乘【得一百二十一步】两数并【共四千三百五十六步】平方开之，得六十六步，即所求。解曰：两数并，共成周上方积，故平方开之，得外周十则。

圆环以积及外周求内周设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫，外周六十六步，求内周。法曰：置外周自乘【得四千三百五十六步】另置环积以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】两数相减【余百二十一步】平方开之，得一十一步，即所求。解曰：外周上方积减去八十八乘七除之，环积所余即内周上方积也。故平方开之，得内周。

十一则圆环以积及内外周求环濶设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫，外周六十六步，内周一十一步。求环濶，法曰：置积为实，以两周相并【共七十七步】折半【得三十八步五分】为法，除之，得八步七分五厘，即所求。解曰：全圆既同三角形，则圆环必同梯形。圆环之两周，犹梯形之两濶也。圆环之濶，犹梯形之中长也。故用梯形求长法【一巻四十八则】即得环濶。

十二则圆环以两周求环濶设圆环田，外周六十六步，内周一十一步，求环濶。法曰：置两周，各以七乘之【外周得四百六十二步，内周得七十七步】各以二十二除之【外周得二十一步，内周得三步五分】两数相减【余一十七步五分】折半得八步七分五厘，即所求。解曰：「外周所得者，圆之全径也；内周所得者，环内虚径也。全径减虚径，所余即环之两濶，故折半得一濶也。」

十三则圆环以积及濶求两周设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫，濶八步七分五厘，求两周。法曰：置积为实，以濶除之，得三十八步五分。另置濶，以二十二乘之【得一百九十二步五分】以七除之【得二十七步五分】与三十八步五分相并，得六十六步，即外周；与三十八步五分相减，得一十一步，即内周。解曰：此亦梯形求濶法也。法以环濶除积，所得之三十八步五分，即两环周之中度也。环濶为全径与虚径相差之半，以二十二乘七除，则为内外两周相差之半矣。故以之增减两周之中度，得两周也。

十四则圆环以积及濶求径设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫，濶八步七分五厘，求全径及虚径。法曰：置积，以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】另置濶自乘【得七十六步五分六厘二毫五丝】以四因之【得三百零六步二分五厘】两数相减【余一百二十二步五分】为实，以四因濶【得三十五步】为法除之，得三步五分，即虚径。倍濶【得一十七步五分】加之，得二十一步，即全径。解曰：置积以十四乘，十一除者，令圆环积化为方环积也。余即方环求内方法【一巻五十六则】

十五则圆环以全径及虚径求积设圆环田，全径二十一步，虚径三步五分，求积法曰：置两径各自乘【全径得四百四十一步，虚径得一十二步二分五厘】两数相减【余四百二十八步七分五厘】以十一乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十四除之，得三百三十六步八分七厘五毫，即所求。解曰：两径各自乘相减者，求方环积也；十一乘十四除者，因方环积以求圆环积也。

十六则撱圆求积设撱圆田，大径九十步，小径四十步，求积法曰：置两径相乘【得三千六百步】以十一乘之【得三万九千六百步】以十四除之，得二千八百二十八步五分七厘有竒，即所求。

解曰西洋亚竒黙德云取撱圆两径之中率为径作圆其容与撱圆等【四九之中率为六，谓四之与六。犹六之与九也】夫求中率之法，以两径相乘，平方开之，即得。然中率自乘之数，实即两径相乘之数，故法以两径相乘，十一乘十四除，为撱圆积也【撱圆形状不同，恐不能无小差】

十七则弧矢求积设弧矢，田矢濶五步，▯长一十七步三分二厘有竒，背二十步零九分五厘二毫有竒，离径五步，求积法。曰：「置背以离，径并矢【共十步】乘。」之【得二百零九步五分二厘三毫有竒】另置▯。以离径乘之【得八十六步六分有竒】两数相减【余一百二十二步九分二厘三毫有竒】折半得六十一步四分六厘一毫有竒，即所求解曰：甲乙丙弧矢形，戊为圜心，自甲自乙作甲戊、乙戊两线，成甲戊乙丙杂线形。其丙丁矢与丁戊离径并，即全圆之半径。甲丙乙背，又为圆周之分线。求积之法，当与圆同。夫圆以半径乘周，折半得积【本巻三则】则杂线形亦必以半径乘背，折半得积矣。又杂线形内，以甲乙线分之，必成一甲乙丙弧矢形，一甲戊乙三角形。其三角形以甲乙▯为濶，以丁戊离径为高。若以高乘濶，折半必得三角形之积【一巻五则】于杂线形内减去三角积，所余非弧矢积而何？故法以半径乘背，离径乘▯相减，折半得积也【相减而后折半与各折半而后相减得数同】十八则弧矢形以积矢▯及离径求背设弧矢田积六十一步四分六厘一毫有竒，矢五步。▯一十七步三分二厘有竒离径五。步求背法曰置积倍之【得一百二十二步九分二】厘三毫有竒】另置▯以离径乘之【得八十六步六分有竒】两数并【得二百零九步五分二厘三毫有竒】以矢并离径【共十步】除之，得二十步零九分五厘二毫有竒，即所求。

解曰即前则求积法反用之十九则弧矢形，以矢▯求余径【求全径、离径、半径附】设弧矢田矢五步，▯一十七步三分二厘有竒，求余径。法曰：置▯折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以矢除之，得一十五步，即所求。解曰：甲乙丙，弧矢形；丙丁为矢，丁戊为离径，丁己为。

余径自圆心戊作戊乙线成丁戊乙勾股形丁乙半▯为股丁戊离径为勾戊乙半径为▯另作辛夘形为丁戊勾上方形，庚壬形为戊乙▯上方形。夫庚壬之大于辛夘者，为癸丑子磬折形。癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形。何也？▯上方形与勾股上两方形并等故也【六巻一则】若移子于寅，则成癸丑寅直形。必以勾▯较为濶，勾▯和为长。今戊乙▯等于戊丙，戊丙之大于丁戊勾者，为丙丁。是丙丁矢，即勾▯较也。故以矢除丁乙半▯【弧矢形之▯】自乘之积，即得勾▯和。又乙戊▯【勾股形之▯】既半径，必与戊己等。戊己合丁戊，非丁己余径而何？○求得余径加矢，即全径；减矢折半，即离径；加矢折半，即半径。

二十则弧矢形以矢径求▯设弧矢田矢五步径二十步求▯法曰以矢减径【余一十五步】以矢乘之【得七十五步】平方开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步三分二厘有竒即所求解曰：依前解，矢与余径相乘之数，即半▯自乘之数，故平方开之，得半▯，倍之得全▯也。

二十一则弧矢形以离径半径求▯设弧矢田，半径十步，离径五步，求▯法曰：置半径、离径各自乘【半径得一百步，离径得二十五步】两数相减【余七十五步】平方。开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步。

三分二厘有竒即所求解曰：半径乙戊为▯【勾股形之▯】离径丁。戊为勾，求得乙丁股，即半▯也【弧矢形之】

【▯】故倍之得全▯二十二则弧矢形以▯及余径求矢设弧矢田▯一十七步三分二厘有竒，余径一十五步，求矢法曰：置▯折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以余径除之，得五步，即所求。解曰：依十九则，解半▯自乘之数，即矢偕余径相乘之数，故以余径除之，得矢。

二十三则弧矢形以▯及全径求矢设弧矢田▯一十七步三分二厘有竒，全径二十步，求矢法曰：置▯径各自乘【▯得三百步，径得四百步】两数相减【余一百步】平方开之【得十步】以减全径【余十步】折半得五步，即所求。解曰：全径上方形，当矢偕余径矩内形四，及矢与余径之较线上方形一【一巻十三则】全▯上方形，当半▯上方形四，又半▯上方形与矢偕余径矩内形等【本巻十九则】于全径上方积内减去全▯上方积，即减去矢偕余径矩内积四也，则所余必矢与余径之较线上方积，平方开之即得矢与余径之较线，故以之减径，折半得矢也。

二十四则弧矢形以半▯半径求矢设弧矢田半▯八步六分六厘有竒半径十步求矢法曰置半▯半径各自乘【半▯得七十五步半径得一百步】两数相减【余二十五步】平方开之【得五步】以减半径。

得五步即所求解曰：半▯丁乙为股，戊乙半径为▯。求得丁戊勾，即离径也，故以之减半。

径得矢二十五则弧矢形以半▯及离径求矢设弧矢田半▯八步六分六厘有竒离径五步求矢法曰置半▯离径各自乘【半▯得七十五步离径得二十五步】两数并【得一百步】平方开之【得十步】减去离径得五步即所求解曰半▯丁乙【图同前则】为股离径丁戊为勾求得乙戊▯即径也故减去离径得矢二十六则弧矢形，以半径半▯较及半▯离径较，求矢与▯。设弧矢田，半径多半▯一步三分四厘弱，半▯多离径三步六分六厘强，求矢及▯。法曰：并两数【共五步】以半径多半▯之数乘之【得六步七分】倍之【得一十三步四分】平方开之【得三步六分六厘】以加半径多半▯之数，得五步即离径。再加半▯多离径之数，得八步六分六厘即半▯。再加半径多半▯之数，得十步即半径。半径减去离径，余五步即矢。解曰：戊乙半径【图同二十四则】多于丁乙半▯之数，即股▯较。丁乙半▯多于丁戊离径之数，即勾股较。勾股较并股▯较，即勾▯较。此即勾▯较、股▯较求勾股▯法也【六巻二十则】

二十七则旧弧矢法以矢▯求积设弧矢，田矢十步，▯二十步，求积法曰：置矢▯相并【共三十步】折半【得一十五步】以矢乘之，得一百五十步，即所求。解曰：旧説圆径一周三，甲乙丙丁圆径二十步，周六。十步，甲、乙、丙，弧矢形为全圆之半，其背为全周之半，必三十步法，以矢▯。相并，即与弧背等，折半以矢乘之，犹圆法以半径乘周，折半得积之义也。【本巻三则】以旧法论，全圆得积三百步，而半圆之弧得积一百五十步，与围三径一之数脗合，无差过此以往，其矢渐短，弧形渐细，其差渐多，甚至百步之积，有差至二十余步者，即如十七则，弧矢田▯一十七步三分二厘有竒，矢五步，依旧法求之，止得积五十五步八分，较前法所求之积，则少五步六分六厘有竒，前法虽密于旧法，然必背矢▯皆具，方可起算，旧法有矢有▯，即可得积，故并存之。

二十八则旧弧矢法以积矢求▯设弧矢田积五十五步八分，矢五步，求▯。法曰：置积，倍之【得一百十一步六分】以矢除之【得二十二步三分二厘】减去矢，余一十七步三分二厘即所求解曰：旧法以矢乘半▯，半矢得弧矢。积若以矢除弧矢，积必仍得半▯半。矢以矢除弧矢积，既得半▯半矢以矢除弧矢之倍积，不得一▯一矢乎？一▯一矢内减去一矢，所余非▯而何？

二十九则旧弧矢法以积▯求矢设弧矢田积五十五步八分，▯一十七步三分二厘，求矢法曰：置积八因之【得四百四十六步四分】另置▯自乘【得二百九十九步九分八厘二毫四丝】两数并【共七百四十六步三分八厘二毫四丝】平方开之【得二十七步三分二厘】减去▯【余十步】折半得五步，即所求。解曰：「甲丁方形，边与一▯二矢等，甲」。戊、乙、己、丁、庚、丙、辛，各与矢等。其戊己。等四直形，即矢偕一▯一矢，矩内形，壬子即▯上方形也。又弧矢形，以矢乘半▯半矢得积【本巻二十七则】而当一直形之半，则四直形必当八弧矢积矣。是一▯二矢上方形与▯上方积一及弧矢积八并等。反之，则▯上方积一及弧矢积八并为一方，其边必一▯二矢也。法并两数以平方开之，所得即一▯二矢之度，故减▯折半得矢也。○旧弧矢法，▯背积及径辗转相求，共三百二十六法，实亦不出十七则以下十法之外，其不能该者止以上三法耳，故存之。

三十则增弧矢法以矢▯求积设甲乙丙弧矢，田丙丁矢五步，甲乙▯一十七步三分二厘有竒，求积法曰：有矢与▯，可得丁壬余径，余径加矢，可得丙壬全径【本卷十九则】甲己与丙壬等，即以甲己为▯，甲乙为股，求乙巳勾，得十。步【六卷三则】为乙巳庚余弧之▯，又将乙己折半，得巳；辛复为勾，戊巳半径为。▯求戊辛股以减半径【戊庚与戊巳等】余庚。辛一步三分四厘，为乙己庚余弧之矢。另求甲己径上半圆积【得一百五十七步一分四厘二毫八丝○本巻三则】次求甲乙己勾股积【得八十六步六分○一巻四则】与半圆积相减【余七十步零五分四厘二毫八丝】为甲乙丙与乙己庚两弧之共积，置为实。两弧各以三▯一矢相并，以矢乘之【甲乙丙弧得二百八十四步八分，乙己庚弧得四十一步九分九厘五毫六丝】以甲乙丙弧数乘实【得二万零九十步零五分八厘九毫四丝四忽】并两弧数【共三百二十六步七分九厘五毫六丝】除之，得六十一步四分七厘七毫五丝有竒，即所求。解曰：此借两弧三▯一矢以矢乘之之数为比例，以分共积也。此法较旧法为密，然大弧既盈，则小弧必朒。较十七则未免有千一之差，如必欲得弧积眞数，密量弧背，从十七则可也。

三十一则圆截圆设圆田径二十一步，依外周截积三。百三十六步八分七厘五毫，求余圆。径法曰：置径自乘【得四百四十一步】另置截积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】两数相减【余一十二步二分五厘】平方开之，得三步五分，即所求。解曰：此与方环截积同【一巻五十六则】

三十二则圆截弧矢【旧法】设圆田径一十三步，截弧矢积三十。二步求矢法曰置截积自乘【得一千零二十】四步】为实用商法商矢四步，即以所商。之矢乘截积【得一百二十八步】为上亷，另以矢每步加负隅二分五厘【得五步】与径相减，余八步，为余径。又以所商之矢自乘【得一十六步】以乘余径【得一百二十八步】为下亷。并两亷【共二百五十六步】为法除实，得四步，即所求。解曰：弧矢之积，元以矢乘半▯、半矢而得【本巻二十七则】若以半▯、半矢相并除积，必得矢法。置截积自乘，是倍截积为三十二。若以三十二半▯与三十二半矢并除倍积，必亦得矢法。以矢乘截积，得三十二全矢，是多三十二半矢，少三十二半▯。若以半▯大于半矢。之数，三十二，倍之，与三十二全矢并。即与三十二半▯，三十二半矢相并。之数同今无半▯数，须以矢乘余径。以为半▯自乘之方【本巻十九则】如甲乙。方形甲己为半▯，甲丁为半矢，丁己为半矢▯较【即半▯大于半矢之度】则丁己乙戊直形必半矢▯较以半▯为倍数者也，庚辛等于丁己，庚丙等于甲丁，则庚丙戊辛直形必半矢▯较以半矢为倍数者也，两直形并，再以矢乘之，必半矢▯较以截积三十二为倍数者也，何也？弧矢之积元以矢乘半▯半矢而得故也，甲乙大方形减去丁己乙戊与庚丙戊辛两直形，余甲丙小方形为甲丁半矢之幂，法所谓负隅也，负隅既为半矢之幂，必为全矢幂四分之一，故法以二分五厘为负隅也，法用矢自乘以乘余径与用矢乘余径再以矢乘之得数同也。○按元注云：所得之矢过于所商之矢为约矢太短，不及所商之矢为约矢太长，宜更商之，商约之法既无一定，惟以意斟酌之。若整齐之矢或一二商可得，苟遇畸零之矢必至千百商不能得者，古人于此条实无善法，姑以此考验所商之合否耳。若止欲考验所商之合否，又何如以所商之矢求半▯【本巻二十则】再加半矢以矢乘之【本巻二十七则】合积为准，过积为约矢太长，不及积为约矢太短，不较捷乎？

三十三则弧矢截杂线三角形设半圆弧矢田，▯二十步，自心截杂线三角形，背长一十步零四分七厘六毫一丝六忽，求截积法。曰：置截背以▯折半【得十步】乘之【得一百零四步七分】。六厘一毫六丝】折半得五十二步三分八厘。

零八丝即所求解曰：「杂线三角形为圆之分形，故求」。

积之法同圆【本巻三则】

三十四则方内减圆以余积求圆积设方田，减去内切圆田四隅余积一百六十八步，求圆积法曰：置积为实，以圆法十一乘之【得一千八百四十八步】以圆法十一与方法十四相减，余三。为法除之，得六百一十六步，即所求。解曰：「圆既为方十四分之十一，则方」内减圆之余积，必为方十四分之三。圆十一分之三矣，故十一乘三，归得圆积也。

三十五则方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】设方田，减去内切圆田四隅余积一百六十八步，求方积法曰：置积为实，以十四乘之【得二千三百五十二步】以圆法十一与方法十四相减，余三为法，归之，得七百八十四步，即所求。解同前。○置方积，平方开之，即方边，亦即圆径，三十六则。圆内减方，以余积求方积【求方边、圆径附】设圆田，减去内切方田，余积二百二。十四步求方积法曰：置积为实，以七乘之【得一千五百六十八步】以七与圆法十一。相减，余四，为法，归之，得三百九十二。

步即所求解曰：内切方形之▯与外切方形之边等，则内切方形必倍小于外切方形，而若七之与十四。夫圆既为外方十四分之十一，而内方不为圆十一分之七乎？圆内减方之余积为圆十一分之四，即为内方七分之四，故七乘四除，得内切方积也。○置方积，平方开之，即得方边；倍方积，平方开之，即得圆径。

三十七则圆内减方以余积求圆积设圆田，减去内切方田，余积二百二十四步。求圆积法曰：置积为实，以圆法十一乘之【得二千四百六十四步】以圆法十一与七相减，余四为法，归之，得六百一十六步，即所求。

解同前三十八则方内减不相切之圆，以余积求方边及圆径。设方田内减圆田，方边至圆周五步，余积一千七百二十五步，求方边及圆径。法曰：置五步自乘【得二十五步】以三因之【得七十五步】与余积并【共一千八百步】另置五步，以六因之【得三十步】为纵方，以平方带纵开之【得九十步一巻十三则】减去纵方余六十步即方边再减两边各五步【共十步】余五十。

步即圆径解曰依图分之成甲乙等方形四子丑等直形八干坎等杂线三角形四，其甲乙等四形，即方边至圆周五步自乘之方形也。子丑等八形，亦各以五步为濶，其长则圆之半径也干坎等四形为方减内切圆形之余积以方四圆三推之【旧法谓方内容圆，圆居方。四分之三】四形并必当方四分之，一干坎艮三形并必足以补癸形之阙而与一小方二直形一杂形并共凑成一坤震方形矣次移甲于丁移乙于戊移丙于己，移子于午，移丑于未，移寅于申，移夘于酉，移辰于戌，移巳于亥，尚阙庚、辛、壬三形。故法取方边至圆周之五步，自乘以三因之，加入积内也。自壬至丁，凡六形，每形濶五步，共计三十步，故法取方边至圆周之五步，以六因之为纵方也。带纵开方法：置积四因之，纵方自乘，两数并，平方开之，得长濶相和之度【即兑巽与巽震并】减去纵方【即兑坤】余两濶【即坤巽与巽震并】即方边。方边之大于圆径者，为两边之各五步，故减之得圆径【本则及下则皆用周三径一法】

三十九则圆内减不相切之方，以余积求圆径及方▯。设圆田内，减方田，圆周至方角一步，余积四十三步。

求圆径及方▯法曰置一步自乘【仍得一步】以二因之【得二步】与余积并【并四十五步】另置一步以四因之【得四步】为纵方，以平方。带纵开之【得一十四步】减去纵方。即圆径再减圆周至方角各一步【共二步】余八步，即方▯。解曰：依内方角作一圆线，此圆线偕外圆周，必成一圆环形。次依环濶改作方环，圆环当方环四分之三。

故止作方环之三隅即与圆环等依图分之成甲乙丙三方形丁戊己庚辛壬六直形尚余癸子丑寅四弧矢形为圆减内切方形之余积以圆三方二推之【旧法谓圆内容方，方居圆三分。之二】四弧矢形并当圆三分之一必当内方二分之一，而夘癸辰方形亦当内方二分之一，则四弧矢形必能补夘癸辰方形之阙，而与辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣。次移甲于巳，移乙于午，移丁于酉，移戊于戌，移己于亥，移庚于干，尚阙未申二形。故法取圆周至方角一步，自乘二因之，补入积内也。自巳至申凡四形，每形濶一步，共四步，故取圆周至方角之一步四因之为纵方也。以平方带纵开之，得巽艮、艮坎长濶相和之度，减去纵方巽震，余震艮、艮坎两濶即圆径。圆径之大于方▯者为两边之各一步，故减之得方▯。

四十则诸杂线形求积第一图，可作一弧矢形，而减一弧矢形。第二图，可作半弧矢形，而减半弧矢形。第三图，可作两弧矢形。第四图，移甲丙实形，补乙丁虚形，成戊三角形。又移己实形，补庚虚形，成辛三角形。壬、癸、子各成三角形。丑自成弧矢形。此一大形内，成三角形五，弧矢形一。第五图，甲乙各自成弧矢形，丙丁、辛各自成三角形，移戊实形补己虚形庚亦成三角形癸借壬虚形亦成三角形【得积减去壬圆形】此一大形内成弧矢形，二三角形，五而减一，圆形，凡属杂线形者【裁之数学钥巻二】

皆依五形例<子部,天文算法类,算书之属,数学钥》>钦定四库全书