御制数理精蕴下编卷九

御制数理精蕴下编卷九

线部七借衰互征叠借互征借衰互征借衰互征者，有总数而无分数，或有分数而无总数，或无总数、分数之实率，而但有其盈率，则不得不别借一衰数以为比例，然后可以得其真数，故曰借衰。然而所借之衰，又各不同，有借于本数之中者，有借于本数之外者，借彼征此，借虚征实，故曰互征。葢先借各项衰数，合而为总衰数，以总衰数与总真数相比，即若各项衰数与各项真数之比也；或先借总衰数，加减出各衰数之较，以各衰数之较与真数之较相比，即若总衰数与总真数之比也；或以各衰数之较与真数之较相比，即若各项衰数与各项真数之比也。要之，皆就比例之法而推广之耳。设如，有银一千八百两，命甲、乙二人按分分之。甲分比乙分有五倍，问甲、乙各得几何？法借一为乙衰，五为甲衰，并之得六为一率，总银一千八百两为二率，乙衰一为三率，得四率三百两，即乙所分之数，与一千八百两相减，余一千五百两，即甲所分之数，以三百两与一千五百两相较，则甲有乙之五倍也，此法既云甲有乙五倍，则是甲有五分，乙有一分，故借一为乙衰，五为甲衰，倂之得六为总衰，以总衰与总银之比，卽若乙一衰与乙银一分之比也【此法卽和数比例，因借衰之首，故设一最易者以发明其理云】设如，有三官接任，共歴一百年。第二官比前官加一倍零六年，第三官比二官加一倍少二年。问每官各该几年？法借一衰为第一官年数，借二衰多六年为第二官年数，借四衰多十年为第三官年数。倂三官衰数得七为一率，倂后二官共多十六年于总年数内减之余八十四年为二率。第一官一衰为三率，得四率十二年为第一官年数。倍之加多六年得三十年为第二官年数。又倍第二官年数减少二年得五十八年为第三官年数。合三数而共为一百年也。此法第一官既借一衰，则第二官加一倍零六年者，当借二衰多六年，而第三官既比第二官又加一倍，则当借四衰多十二年，因少二年故借四衰多十年为第三官衰数也。设如，有甲、乙、丙三人，共银四十四两。乙比甲银多一倍零四两，丙比甲乙二人共数又多六两。求各人银数几何？法借一为甲衰，借二多四两为乙衰，借三多十两为丙衰。倂三衰得六，为一率；并乙丙二人多数为十四两，于总银内减之，余三十两为二率。甲衰一为三率，得四率五两，卽甲银。倍之加多四两，得十四两为乙银。并甲乙银，又加多六两，得二十五两，即丙银也。此法既以一为甲衰，乙比甲加一倍零四两，故借二多四两为乙衰也。丙并甲乙共数多六两，故借三多十两为丙衰也。甲衰一，乙衰二，并之为三；乙比甲多四两，丙比甲乙共数又多六两，并之为十两也。

设如，有甲乙二人入山采果，共得三百枚。但云，甲数加六百枚，乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍。问甲乙各得几何？法借三为甲衰，借一为乙衰，并之得四，为一率。以三百枚与六百枚、二百枚相加，得一千一百，为二率。乙衰一为三率，得四率二百七十五，卽乙一分之数。减加数二百，余七十五，卽乙数。以七十五与三百枚相减，余二百二十五，卽甲数。以乙七十五与甲二百二十五相较，则甲多二倍也。此法既云甲比乙多二倍，则甲为三分，乙为一分。故借三为甲衰，一为乙衰，并之为总衰，作一率。又以原果与两加数相并为总数，作二率。葢总衰与总数之比，即乙一衰与乙果一分之比也。设如，有银一百九十六两，买驼四匹，马六匹，驴十头。马比驴价加一倍零二两，驼比马价加一倍零四两。问各价银若干？法借一衰为驴价，以驴十因之，得十；借二衰多二两为马价，以马六因之，得十二；衰多十二两【一马多二两，六马故多十二两】借四衰多八两为驼价，以驼四因之，得十六；衰多三十二两【一驼多八两，四驼故多三十二两】并三色衰数【驴十，马十二，驼十六】共三十八为一率；又并驼马多价【驼三十二两，马十二两】共四十四两，于总银内减之，余一百五十二两为二率；驴一衰为三率，得四率四两，即驴一头之价；倍之加多二两，得十两，即马一匹之价；又倍之加多四两，得二十四两，即驼一匹之价也。此法既借一衰为驴价，马比驴加一倍零二两，故借二衰多二两为马价也；驼比马又加一倍，当借四衰多四两，再加多马四两，则四衰多八两为驼价也。乃以各数因之【驴十，马六，驼四】故得各项总衰数也。设如问一人歳数，答曰：「我比弟长二年，父年倍我，仍多两歳。伯父兼我三人歳数，再加四年，整百歳。」问四人各得年数几何？法借一衰为其弟歳数借一衰零二年为本人歳数，倍之得二衰零四年，再加多两歳，得二衰零六年，为其父歳数，总并之得四衰零八年，为其伯之歳数。即以四衰为一率，八年四年相并得十二年，与百歳相减余八十八年为二率，其弟一衰为三率，得四率二十二，即其弟之歳数，加长二年得二十四，即本人之歳数。倍本人歳数，再加多两歳，得五十，即其父之歳数。并三人歳数得九十六，即其伯之歳数，再加四年是为整百歳也。此法既借一衰为其弟歳数，本人较长二年，故借一衰零二年为本人歳数也。其父年比本人加倍又多两嵗，故借二衰零六年为其父歳数也【加倍为二衰零四年，又加多两歳，故为二衰零六年也】将三人歳数相并得四衰零八年，为其伯之歳数，再加四年方整百嵗，则减四年又减所零之八年，余八十八年，即四衰相当之数也。

设如漏壶一具，上有渴乌注水，凡十二时而满；下有一孔通天池，泄水凡十八时而尽。若上注下泄，问几时可得水满？法以十二时与十八时相乘得二百一十六时，卽借二百一十六分为壶水衰数。又以十二时与十八时相减，余六时，卽借六分为一时水满分数。乃以六分为一率，一时为二率，二百一十六分为三率，得四率三十六，卽是水满一壶之时也。此法以十二时乘十八时者，卽借一壶水作二百一十六分算也。十二时满二百一十六分，则一时满十八分；十八时尽二百一十六分，则一时泄十二分。一时满十八分而泄十二分，则壶中所存止得六分，故以十二减十八余六分，为一时所满之水也。满水六分既得一时，则壶中满二百一十六分而得三十六时矣。设如漏壶一座，注水于内，下有三孔，大孔流水二时而尽，中孔流水三时而尽，小孔流水六时而尽，若三孔齐开，问水几时可尽？法以大孔之二时乘中孔之三时得六时，又以小孔之六时乘之得三十六时。卽借三十六分为壶水总衰数，以大孔二时除之得十八分，以中孔三时除之得十二分，以小孔六时除之得六分。并三数得三十六为一率，一时为二率，借衰三十六为三率，得四率。一时卽一时水可尽也。此法葢以三色之数连乘为共分，其大孔二时流尽，则一时流十八分；中孔三时流尽，则一时流十二分；小孔六时流尽，则一时流六分。故并三数而为一时所流者有三十六分，今壶水止有三十六分，故一时可以流尽也。设如有人自乡上城，共一百二十里，今行尚未到，若以行过路六分之一与余路三分之一相加，便是到城里数，问该若干？法借十五衰为一率，一百二十里为二率，余路三分，卽借三衰为三率，得四率二十四里，卽到城里数也。此法借十五衰为一率者，因余路取三分之一，尚余二分，又取行过路六分之一补足余路二分之数，是行过路之一分卽抵余路之二分也。今将余路一分借一衰，则行过路一分当借二衰，六分则当借十二衰，再加余路三衰，是共得十五衰。故十五衰与一百二十里之比卽余路三分与二十四里之比也【每分该八里】设如，有井深至底二丈六尺，不知水深若干。但云自水面向上取三分之一，从水面往下取四分之一，相并便是水深数。问该几何？法借十三衰为一率，二丈六尺为二率，自水面往下四分，卽借四衰为三率，得四率八尺，卽水之深也。此法借十三衰为一率者，因水面往下取四分之一，尚余三分，又取水面向上三分之一补足水面下三分之数，是水面上之一分卽准水面下之三分也。今将水面下一分借一衰，则水面上一分当借三衰，一分借三衰，则三分必当借九衰，再加水面下四衰，是共得十三衰，故十三衰与二丈六尺之比卽水面下四分与八尺之比也。

设如有人问：「此时系何时刻？」答曰：「自子正到此时时刻折半，与自此时到午正三分之一相加，便是此时时刻。」

法借二衰为自子正到此时衰数【时折半者定为一衰今用全数故借二衰】又借三衰为自此时到午正衰数【三分故借三衰因三分之一与折半之数相等故亦将一分借一衰】并之得五衰为子正到午正之分为一率又计子正到午正得十二小时因化为七百二十分为二率自子正到此时二衰为三率得四率二百八十八分收为四小时三刻三分即定为寅正三刻三分也此法因题言自子正到此时时刻折半故以折半数借为一衰今用全数为自子正起算故借二衰题又言到午正时刻三分之一与折半之数相加则是折半数即与三分之一之数相等故将三分亦借为三衰是子正到午正共为五衰矣计子正到午正时刻得七百二十分故五衰与七百二十分之比即二衰与二百八十八分之比既得二百八十八分收为四小时三刻三分即自子正到寅正三刻三分也设如有人问：「到日落得几时？」答曰：「自日出到此时，时刻取四分之一，从此时到日落，时刻折半，两数相加，即是此时时分。」法借二衰为自，此时到日落时，衰数【衰时折半者，借一衰，今用全数，故借二】又借四衰为自日出。【衰】到此时衰【四分故借四衰因四分之一与折半之数相等故亦将一分借一衰】数并之得六衰为一率又察昼夜长短如自日出至日落止有十小时卽化作六百分为二率自此时到日落二衰为三率得四率二百分收为三小时一刻五分即到日落之时分也此法因题言自此时到日落时刻折半故以折半数借为一衰今用全数则当借为二衰题又言自日出到此时四分之一与折半之数相加则是折半数即与四分之一之数相等故将四分亦借为四【是日出到日落共为六衰矣如日出至日落时刻得六百分则六衰与六百分之比即二衰与二百分之比故以二百分收为三时一刻五分也】设如，有羊一羣，不知数目，但云卖去三分之一，又分四分之一，另为一羣，下余一千只，问原共数几何？法以两分母相乘得十二为总衰，内减三分之一，余八，又减四分之一，余五，为一率；一千为二率；总衰十二为三率，得四率二千四百，即共数也。此法因题言三分之一、四分之一，两分子同，分母不同，故以两分母相乘为总衰，分内减三分之一，又减四分之一，所余五，即如总数分十二分而一千为其五分也，故五衰与一千之比，即如十二衰与二千四百之比也。设如，有羊一羣，不知数目。但云赏人七分之五，又将所余者卖五分之三，尚余八百只。问原共数若干？法以两分母相乘得三十【借】五为总羊衰数，内去七分之五，余一【衰将三十五分为七分，每分得五，今去五分，为二十五，故仍余一十】十又将【也】一十为所余羊衰数内去五分之三【将一十分为五分，每分得二，今去三分为六，故仍余四也】余四，卽以四为一率，所余羊八百只，为二率，总衰三十五，为三率，得四率七千，卽原羊共数也。

此法葢因共数为七千，内去七分之五，是去五千，余二千。又将二千去五分之三，是去一千二百，仍余八百。故借总衰三十五内去七分之五所余，又去五分之三，而得余衰四。以余衰四与余羊八百之比，卽若总衰三十五与总羊七千之比也。此法与前法防异者，前法虽有三分、四分之不同，是于总数中计分，故其为分则一。此法赏人七分之五者，是去总数内七分之五，而卖五分之三者，乃赏人后所余之五分之三也。立法少异，故中总分余分相减亦别。至减余归四率，其比例仍同也。设如，有田七百四十二亩，内有耕者、种者、耘者。种者比耕者得十分之七，耘者比种者得五分之三。问：每项各几何？法以两分母两分子互相连乘，共得一千零五十，为耕者衰数。此数十分之取其七分，得七百三十五，为种者衰数。此数五分之取其三分，得四百四十一，为耘者衰数。并三衰数得二千二百二十六，为一率。七百四十二亩为二率。以耕者衰数一千零五十为三率，得四率三百五十亩，即所耕之田。以种者衰数七百三十五为三率，得四率二百四十五亩，即所种之田。以耘者衰数四百四十一为三率，得四率一百四十七亩，即所耘之田也。此法因分母分子皆不同，恐借数有竒零，故即以本题分数连乘之得数后，仍依各项分之，则衰数无竒零，而各分各数俱可比例而得矣。设如逺望一塔，上露三丈二尺，中有林木遮去三分之二，下尚露五分之一，问共髙若干？法先借一数可分为三分五分者，乃借三十为总衰，此数三分之二得二十，又五分之一得六，两数相加得二十六，与总衰三十相减余四，为一率；上露三丈二尺为二率；总衰三十为三率，得四率二十四丈，卽塔之髙也。此法以减余四衰与上露三丈二尺之比，卽总衰三十与塔总髙二十四丈之比也。二十四丈三分之二得十六丈，五分之一得四丈八尺，相加得二十丈零八尺，又加上露三丈二尺，则共二十四丈也。又法于借衰三十内减去三分之二【减去二十】又减五分之一【减去六】余四衰。卽以四衰除塔露三丈二尺，得八尺，是一衰为八尺也。一衰为八尺，则三十衰自得二百四十尺矣。设如，有木匠与瓦匠、小工三项分工。价，瓦匠得木匠五分之二，小工得木匠四分之一。瓦匠比小工多一两二钱。问每项工价若干？法以两分母两分子连乘，共得四十，为木匠衰数。此数五分之二，得十六，为瓦匠衰数。四分之一，得十，为小工衰数。又将十六衰与十衰相减，余六，为一率。多一两二钱，为二率。木匠衰数四十，为三率，得四率八两，卽木匠价。取五分之二，得三两二钱，卽瓦匠价。取四分之一，得二两，卽小工价。

以二两与三两二钱相减，余一两二钱，卽瓦匠多于小工之数也。此法亦以题中分母分子连乘作衰数，但用瓦匠比小工所多衰数银数与木匠衰数银数为比例何也？葢各项衰数与各项银数之比皆同，今瓦匠衰数与小工衰数之比，卽瓦匠银数与小工银数之比也。又瓦匠衰数多于小工衰数之六与瓦匠银数多于小工银数一两二钱之比，卽同于小工衰数与小工银数之比，又即同于木匠衰数与木匠银数之比，故直以六衰与多一两二钱为一率、二率也。设如，有金不足色，欲炼成上等好金。第一次入炉，煅去三分之一；第二次入炉，煅去四分之一；第三次入炉，煅去五分之一；第四次入炉，煅去六分之一。方净剩上等好金二十七两，问原金几何？法借三分、四分、五分、六分俱分得尽之六十为原金总衰，此数三分之一得二十四，分之一得十五，五分之一得十二，六分之一得十四，数相并得五十七，与原借数六十相减余三，为一率；净剩金二十七两为二率，总衰六十为三率，得四率五百四十两，卽原金数也。此法因原金中镕销四次所余二十七两，故借衰中亦减去四次之数，所余为三衰，以三衰与二十七两之比，卽六十衰与五百四十两之比也。设如，有铜不知斤数，但云取七分之三作上等仪器，又取所余之五分之二作中等仪器，又取所余之四分之一作三等仪器，仍余五十四斤，问原铜共数几何？法以三分母连乘得一百四十为总铜衰数，取其七分之三，余八十为二次余铜衰数【一百四十分为七分，每分二十，今去三分为六十，仍余八十也】又将所余八十取其五分之二，余四十八为三次余铜衰数【八十分为五分，每分十六，今去二分为三十二，仍余四十八也】又将所余四十八取其四分之一，余三十六为所余衰数【四十八分为四分，每分十二，今去一分十二，仍余三十六也】即以三十六为一率，余铜五十四斤为二率，总衰一百四十为三率，得四率二百一十斤，卽原铜共数也。葢二百一十斤内去七分之三是去九十斤，余一百二十斤。又将一百二十斤内去五分之二是去四十八斤，余七十二斤。又将七十二斤内去四分之一是去十八斤，余五十四斤，而与原剩数合也。此法亦是按节次另定分数，与均分者不同，故立衰数亦按节次减去，取其余衰三十六与余铜五十四斤之比，卽若总衰一百四十与总铜二百一十斤之比也。设如问一老人嵗数，但云加三分之二，减四分之一，得一百三十六歳，求其嵗数几何？法借十二为总衰数，此数三分之二为八，四分之一为三，于总衰十二内加八减三，得十七为一率，一百三十六嵗为二率，总衰十二为三率，得四率九十六嵗，即老人嵗数也。

此法借十二衰，即三分与四分相乘之数，三分四分俱可以分尽也。于总衰十二内加八，即加三分之二也，又减三，即减四分之一也，所得十七即加减衰数也，以加减衰数与加减年数之比，即若所借总衰与所得歳数之比也。设如有一数，但云其数二分之一，三分之一，四分之一，五分之一，六分之一，共并为五百二十二，问原数几何？法先借一数可分为二分三分四分五分六分者，乃借六十为总衰数，此数依法剖之，其二分之一为三十，其三分之一为二十，其四分之一为十五，其五分之一为十二，其六分之一为十，并之得八十七为一率，共并数五百二十二为二率，总衰六十为三率，得四率三百六十，即原数也。此法借数六十与原数为比者，因原数隐而未露，故虚借一数作比例以互征之。葢并数八十七者，原数为六十；并数五百二十二者，原数为三百六十，其比例同也。设如，有马一羣，但云加一倍，又加二分之一，又加三分之一，又加四分之一，又加一，并原数，共一百一十二匹，问原数几何？法先借一数可分为二分、三分、四分者，乃借十二为衰数。此数加一倍得二十四，又加二分之一为六，又加三分之一为四，又加四分之一为三，共得三十七为一率。共数一百一十二减一余一百一十一为二率，衰数十二为三率，得四率三十六，即原数也。此法与前法同，但题中又加一匹是真数也，故于总数内减去一匹为比例。盖加分所得衰数三十七与加分所得共数一百一十一之比，即若所借原衰十二与原数三十六之比也。设如一人为商三次，第一次得利比本为三分之二，将利加入本银，第二次得利比本为四分之三，又将此利加入本银，第三次得利比本为五分之三，三次本利共银一千四百两，问原本银若干？法借六十为本银衰数，取其三分之二得四十，与六十相加得一百，又将一百取其四分之三得七十五，与一百相加得一百七十五，又将一百七十五取其五分之三得一百零五，与一百七十五相加得二百八十为一率，本利共银一千四百两为二率，原借衰数六十为三率，得四率三百两，即原本银数也。葢三百两三分之二得二百，与本银相加得五百，于五百内取四分之三得三百七十五，仍与五百相加得八百七十五，于八百七十五内取五分之三得五百二十五，仍与八百七十五相加得一千四百，以合原数。其借六十为本银衰数，加三分之二得一百，即第一次本利共衰也，又加四分之三得一百七十五，即第二次本利共衰也，又加五分之三得二百八十，即第三次本利共衰也。以本利共衰与本利共银之比，即如本银借衰与原有本银之比也。

叠借互征叠借互征者，因原问内设数隐伏，一次借衰尚不能得其真数，故不得不借两数以比较之。先借一数与原数相较，复借一数与原数相较，然后据两较以立算，而真数可得，故曰叠借。葢以叠借之数比原问之数或多或少，乃作盈朒法算之，以求两借数之较也。故其较之一多一少者，用加；或两较俱多，两较俱少者，用减，一如盈朒之例。以两差数之较与两借数之较为比，而得借数与真数之较；或以两借数互乘两差数，以两差数之较与互乘所得两差数之较为比，而得所求之真数。其法虽繁，实有条理，亦借数之巧也。设如，有银一百两，命甲、丙、丁三人分之。甲比丙多一倍，丙比丁多二倍。问：毎人应得几何？法先借十二两为甲银衰数，则丙应得六两【比甲少一倍】丁应得二两【比丙少二倍】并三数得二十两，与原银一百两相较，少八十两。再借二十四两为甲银衰数，则丙应得十二两【比甲少一倍】丁应得四两【比丙少二倍】并三数得四十两，与原银一百两相较，仍少六十两。乃以前借数十二两少八十两书于右，后借数二十四两少六十两书于左，作两不足法算之。于是两少数相减，余二十两为一率；两借数相减，余十二两为二率；前借数与原数相较之少八十两为三率，得四率四十八两，加入前借数十二两，共得六十两，即甲银数。或以后借数与原数相较之少六十两为三率，得四率三十六两，加入后借数二十四两，亦得六十两为甲银数。既得甲银数，减一倍得三十两，即丙银数；再取丙银三分之一得十两，即丁银数也【因丙银比丁银多二倍，故于丙银中取三分之一即丁银】此法先借一人银数，加减出三人银数，与原总银相较，得其差数；又借一人银数，加减出三人银数，又与原总银相较，复得一差数。爰将两借数相减，是得甲一人两借数之较也；又将两差数相减【因两差俱少，故相减，如一多一少则相加】是得三人两差数之较也。乃以比例求之，以三人两差数之较比一人两借数之较，即同于三人共数与原总银之差比一人借数与本银之差也。故以二十两与十二两之比，同于八十两与四十八两之比，为借数十二两少于甲本银之差数；或以二十两与十二两之比，同于六十两与三十六两之比，为借数二十四两少于甲本银之差数，各与借数相加，皆得甲本银数也【因其为少，故与借数相加，若差数为多，则与借数相减】此即盈朒先求适足之法，葢两少数相差二十两，由于两借数之相差十二两，如欲补足所少之八十两，则应加四十八两；或欲补足所少之六十两，则应加三十六两也。又如欲借两数所得差数，一多一少，用相加立算，则先借四十八两为甲银衰数，丙应得二十四两，丁应得八两，并三数得八十两，与原银一百两相较少二十两。

再借六十六两为甲银衰数，丙应得三十三两，丁应得十一两，并三数得一百一十两，与原银一百两相较则多十两。乃以前借数四十八两少二十两书于右，后借数六十六两多十两书于左，作一盈一朒法算之。于是一多数一少数相加得三十两为一率，两借数相减余十八两为二率，前借数与原数相较之少二十两为三率，得四率十二两，加入前借数四十八两，共得六十两，即甲银数。如以后借数与原数相较之多十两为三率，得四率六两，与后借数六十六两相减，亦得六十两为甲银数。既得甲银数，其丙丁银数按分递减之，即得矣。又法，既得两借数之差，用互乘以齐其分。以前借数四十八两互乘后多十两，为加四十八倍，得多四百八十两。以后借数六十六两互乘前少二十两，为加六十六倍，得少一千三百二十两。乃以互乘所得一多一少两数相加，得一千八百两为二率；原一多一少两数相加，得三十两为一率，一人为三率，得四率六十两，即甲银数也。葢所加四十八倍与六十六倍相差为十八倍，则互乘所得一多一少两数相差之一千八百两，即十八倍总银数也【八百见盈】然甲银为总银之三十分之十八【朒法，盖两差数之较为三十，则两借数之较为十八，少数为二十，则借数加一十二；多数为一十，则借数减六，皆三十与十八之比】必为十八倍总【例】银之三十分【也葢三十分之十八者，将总银分为三十分而得其十八分也。若十八倍总银，则其一分即十八也】之一，故以三十分与一千两之比，即同于一分与六十两之比，即甲银数也。设如，有香炉二座，不言重数，但知炉葢一个重一百五十斤。如以葢加甲炉，则重于乙炉二倍；以葢加乙炉，乃与甲炉相等。求甲乙二炉各重几何？法先借三十斤为甲炉衰数，加葢一百五十斤，共一百八十斤，内取三分之一，得六十斤为乙炉衰数【因甲炉加葢比乙炉重二倍，故以乙炉衰数定为甲炉衰数加葢之三分之一】以乙炉衰数加葢一百五十斤，共二百一十斤，比所借甲炉衰数三十斤多一百八十斤，则是所借甲炉衰数三十斤少一百八十斤。再借九十斤为甲炉衰数，加葢一百五十斤，共二百四十斤，内取三分之一，得八十斤为乙炉衰数。以乙炉衰数加葢一百五十斤，共二百三十斤，比所借甲炉衰数九十斤多一百四十斤，则是所借甲炉衰数九十斤少一百四十斤。乃以前借甲炉衰数三十斤少一百八十斤书于右，后借甲炉衰数九十斤少一百四十斤书于左，作两朒法算之。于是两少数相减，余四十斤为一率；两借数相减，余六十斤为二率；前借数与原数相较之少一百八十斤为三率，得四率二百七十斤。加入前借数三十斤，共三百斤，即甲炉之重。

加葢一百五十斤，共四百五十斤，内取三分之一，得一百五十斤，即乙炉之重。加葢一百五十斤，共三百斤，与甲炉相等也。又法，既得两借数之差，用互乗以齐其分。以前借数三十斤互乗后少一百四十斤，为加三十倍，得少四千二百斤。以后借数九十斤互乘前少一百八十斤，为加九十倍，得少一万六千二百斤。乃以互乗所得两少数相减，余一万二千斤为二率；原两少数相减，余四十斤为一率。甲炉一为三率，得四率三百斤，即甲炉之重数也。葢所加三十倍与九十倍相差为六十倍，则互乗所得两少数相差之一万二千斤，即六十倍总差数也。然甲炉重数为总差数之四十分之六十【之得五十斤，盖两差数之较为四十，则两借数之较为六十，少数为一百八十，则借数加二百七十，皆四十与六】必为六十倍总差数之四十分之一【十之比例也，葢四十分之六十者，将总差数分为四十分而得其六十分也，若六十倍总差数则其一分】故以四十分与一万二千斤之比，即同于一分与三百斤之比也。设如，有铜铸甲、乙二钟，未称斤数。但云：取乙钟铜八十斤入甲钟，则所余得甲钟四分之一；若取甲钟铜八十斤入乙钟，则所余得乙钟三分之二。问：二钟各得铜数若干？法先借一百二十斤为甲钟衰数，取乙钟铜八十斤加入甲钟，则【即六十分也】甲钟得二百斤，此数四分【因取乙钟铜八十斤入甲钟，所余得甲钟之四分之一，故四分之为乙钟之一分】加八十斤得一百三十斤为乙钟衰数【此乙钟未取八十斤入甲钟时得一百三十斤也】若取甲钟铜八十斤加入乙钟，则乙钟得二百一十斤，而甲钟止余四十斤【甲钟一百二十斤中去八十斤，故余四十斤】加一半二十斤得六十斤为乙钟数【因取甲钟铜八十斤入乙钟，所余得乙钟三分之二，故四十斤为三分之二，而加一分为二十斤，共六十斤为乙钟数】而与乙钟二百一十斤相较则少一百五十斤。再借三百六十斤为甲钟衰数，取乙钟铜八十斤加入甲钟，则甲钟得四百四十斤，此数四分之得一百一十斤【因取乙钟铜八十斤入甲钟，所余得甲钟之四分之一，故四分之为乙钟之一分】加八十斤得一百九十斤为乙钟衰数【此乙钟未取八十斤入甲钟时得一百九十斤也】若取甲钟铜八十斤加入乙钟，则乙钟得二百七十斤，而甲钟止余二百八十斤【甲钟三百六十斤中去八十斤，故余二百八十斤】加一半一百四十斤得四百二十斤为乙钟数【因取甲钟铜八十斤入乙钟，所余得乙钟三分之二，故二百八十斤为三分之二，而加一分为一百四十斤，共四百二十斤为乙钟数】而与乙钟二百七十斤相较则多一百五十斤。乃将前借数一百二十斤少一百五十斤书于右，后借数三百六十斤多一百五十斤书于左，用盈朒法算之，于是以一多一少两数相加得三百为一率，两借数相减余二百四十为二率，前借数与乙衰相较之少一百五十斤为三率，得四率一百二十斤，加前借数一百二十斤。

共二百四十斤，为甲钟斤数。加入乙钟铜八十斤，为三百二十斤，四分之得八十斤【既取乙钟铜八十斤入甲钟，故余此数】再加入甲钟铜八十斤，得一百六十斤，为乙钟斤数也。又法，既得两借数之差，用互乘以齐其分。以前借数一百二十斤互乘后多一百五十斤，为加一百二十倍，得多一万八千斤。以后借数三百六十斤互乗前少一百五十斤，为加三百六十倍，得少五万四千斤。乃以互乘所得一多一少两数相加，得七万二千斤为二率。原一多一少两数相加，得三百斤为一率。甲钟一为三率，得四率二百四十斤，即甲钟重数也。葢所加一百二十倍与三百六十倍相差为二百四十倍，则互乘所得一多一少两数相加之七万二千斤，即二百四十倍总差数也。然甲钟重数为总差数之三百分之二百四十，必为二百四十倍总差数之三百分之一，故以三百分与七万二千斤之比，即同于一分与二百四十斤之比也。设如甲丙二人入山采矿，皆不知所得之数，但云甲与丙二十四两，则所余得丙之四分之一；若丙与甲三十两，则所余得甲之六分之一。问两人各得之数若干？法先借四十两为丙之衰数，加甲与二十四两，得六十四两，此数四分之，得十六两【一因甲得丙四分之一，故将丙数四分】加二十四两，得四十两，为甲之衰数【也因甲与丙二十四两所余得丙四分之一，故仍以二十四两加入为甲衰数】若丙与甲三十两，则甲得七十两，而丙止余十两，六因

之得　　　　　　　　　　【也】六十两为甲【因丙与甲三十两所余得甲六分之一故将丙之十两六因之为甲数】数而与甲七十两相较则少十两再借六十两为丙之衰数加甲与二十四两得八十四两此数四分之得二十一两加二十四两得四十五两为甲之衰【其所加所分之故同前】数若丙与甲三十两则甲得七十五两而丙止余三十两六因之得一百八十两而与甲七十五两相较又多一百零五两乃将前借数四十两少十两书于右后借数六十两多一百零五两书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得百一十五为一率两借数相减余二十为二率前借数与甲相较之少十两为三率得四率一两七钱三分九厘一毫有余加前借数四十两共四十一两七钱三分九厘一毫有余为丙所得之数此数加二十四两得六十五两七钱三分九厘一毫有余再四分之得一十六两四钱三分四厘七毫有余【余之六分之一也因甲得丙银四】加入二十四两得四十两四钱三分四厘七毫有余为甲所得之数【分之一故四分之甲既与丙二十四两故止剰一十六两有余若未与丙二十四两其全数】若将甲数加三十两得七十两四钱三分四厘七毫有余将丙数减三十两得十一两七钱三分九厘一毫有余此丙十一两七钱三分九厘一毫有余即为甲七十两四钱三分四厘七毫有【则四十两】【有余也。因丙与甲三十两，则丙数居甲数之六分之一。故将四十两有余，再加八丙三十两，得七十两有余。则丙数内减去三十两，止得十一两有余，故为甲数之六分之一也】又法，既得两借数之差，用互乘以齐其分。以前借数四十两互乘后多一百零五两，为加四十倍得多四千二百两。以后借数六十两互乗前少十两，为加六十倍得少六百两。乃以互乗所得一多一少两数相加，得四千八百两为二率。原一多一少两数相加，得一百一十五两为一率，一人为三率，得四率四十一两七钱三分九厘一毫有余，即丙所得之数也。葢所加四十倍与六十倍相差为二十倍，则互乗所得一多一少两数相加之四千八百两，即二十倍总差数也。然丙数为总差数之一百一十五分之二十，必为二十倍总差数之一百一十五分之一，故以一百一十五分与四千八百两之比，即同于一分与四十一两七钱三分九厘一毫有余之比也。设如，有铜缸、磁缸二面。若于铜缸内添水五十斤，则比磁缸内水多二倍。若于磁缸内添水五十斤，则与铜缸内水数相等。问二缸各得水数若干？法先借十斤为铜缸水之衰数，加五十斤得六十斤，此数三分之得二十斤，为磁缸水之衰数【因铜缸加五十斤则比磁缸水多二倍，故三分之为磁缸水衰数也】以磁缸水衰数加五十斤得七十斤【因磁缸加五十斤与铜缸水相等，故亦加五十斤】比所借铜缸水之衰数十斤多六十斤，则是所借铜缸水之衰数十斤少六十斤。

再借二十二斤为铜缸水之衰数，加五十斤得七十二斤，此数三分之得二十四斤，为磁缸水之衰数。以磁缸水衰数加五十斤得七十四斤，比所借铜缸水之衰数二十二斤多五十二斤，则是所借铜缸水之衰数二十二斤少五十二斤。乃以前借数十斤少六十斤书于右，后借数二十二斤少五十二斤书于左，作两朒法算之。于是两少数相减余八斤为一率，两借数相减余十二斤为二率，前借数与铜缸相较之少六十斤为三率，得四率九十斤，加入前借数十斤共一百斤，即铜缸之水数。加五十斤得一百五十斤，三分之得五十斤，即磁缸之水数。以磁缸水数加五十斤，亦得一百斤，与铜缸水数相等也。又法，既得两借数之差，用互乗以齐其分。以前借数十斤互乗，后少五十二斤，为加十倍，得少五百二十斤。以后借数二十二斤互乗，前少六十斤，为加二十二倍，得少一千三百二十斤。乃以互乗所得两少数相减，余八百斤为二率；原两少数相减，余八斤为一率；铜缸一为三率，得四率一百斤，即铜缸之水数也。葢所加十倍与二十二倍相差为十二倍，则互乗所得两少数相差之八百斤，即十二倍总差数也。然铜缸水数为总差数之八分之十二，必为十二倍总差数之八分之一，故以八分与八百斤之比，即同于一分与一百斤之比也。设如，有羊三羣。甲羣四百只。丙羣为甲、丁两羣二分之一。丁羣为甲、丙两羣三分之一。问：丙、丁两羣羊数各若干？法先借三百只为丙羣衰数。丙羣既为甲丁两羣二分之一，则甲丁两羣当有六百只。内减甲羣四百只，余二百只为丁羣衰数。又并甲丙二羣得七百只。丁羣既为甲丙两羣三分之一，则将丁羣二百只三因之，得六百只，与甲丙两羣七百只相较，则少一百只。再借二百四十只为丙羣衰数。丙羣既为甲丁两羣二分之一，则甲丁两羣当有四百八十只。内减甲羣四百只，余八十只为丁羣衰数。又并甲丙二羣得六百四十只。丁羣既为甲丙两羣三分之一，则将丁羣八十只三因之，得二百四十只，与甲丙两羣六百四十只相较，则少四百只。乃将前借数三百只少一百只书于右，后借数二百四十只少四百只书于左。用两不足法算之。于是以两少数相减，余三百只为一率，两借数相减，余六十只为二率，前借数与甲丙两羣相较之少一百只为三率，得四率二十只。加前借数三百只，共三百二十只，即丙羣之羊数。加入甲羣四百只，得七百二十只，三分之得二百四十只，即丁羣之羊数也。若并甲丁两羣得六百四十只，折半得三百二十只，即丙羣为甲丁两羣二分之一也。又法，既得两借数之差，用互乗以齐其分。以前借数三百只互乗，后少四百只，为加三百倍，得少一十二万只。

以后借数二百四十只互乗，前少一百只，为加二百四十倍，得少二万四千只。乃以互乗所得两少数相减，余九万六千只，为二率。原两少数相减，余三百只，为一率。丙一羣为三率，得四率三百二十只，即丙羣之羊数也。葢所加三百倍与二百四十倍相差为六十倍，则互乗所得两少数相差之九万六千只，即六十倍总差数也。然丙羣为总差数之三百分之六十，必为六十倍总差数之三百分之一，故以三百分与九万六千只之比，即同于一分与三百二十只之比也。设如，有田一百亩，令甲乙二人分耕。若以甲田三分之一与乙，以乙田五分之一与甲，则各得五十亩。问甲乙原田数各若干？法先借三十亩为甲原田之衰数，此数与一百亩相减，余七十亩为乙原田之衰数，甲原田三十亩之三分之一为十亩，乙原田七十亩之五分之一为十四亩，若甲与乙十亩，乙与甲十四亩，则甲得田三十四亩【甲三十亩与乙十亩余二十亩，又得乙所与十四亩，故为三十四亩】与各五十亩相比，则甲少十六亩，再借六十亩为甲原田之衰数，此数与一百亩相减，余四十亩为乙原田之衰数，甲原田六十亩之三分之一为二十亩，乙原田四十亩之五分之一为八亩，若甲与乙二十亩，乙与甲八亩，则甲得田四十八亩【甲六十亩与乙二十亩余四十亩，又得乙所与八亩，故为四十八亩】与各五十亩相比，则甲少二亩，乃将前借数三十亩少十六亩书于右，后借数六十亩少二亩书于左，用两不足法算之，于是以两少数相减，得十四亩为一率，两借数相减余三十亩为二率，前借数与五十亩相较之少十六亩为三率，得四率三十四亩二分八厘有余，加前借数三十亩，共六十四亩二分八厘有余，即甲原田之数，与一百亩相减，余三十五亩七分一厘有余，即乙原田之数也，若甲以其三分之一二十一亩四分二厘有余与乙，而乙以其五分之一七亩一分四厘有余与甲，则两人各得五十亩矣。又法，既得两借数之差，用互乗以齐其分。以前借数三十亩互乗，后少二亩为加三十倍，得少六十亩。以后借数六十亩互乗，前少十六亩为加六十倍，得少九百六十亩。乃以互乗所得两少数相减，余九百亩为二率；原两少数相减，余十四亩为一率。甲一人为三率，得四率六十四亩二分八厘有余，即甲原田之数也。葢所加三十倍与六十倍相差为三十倍，则互乗所得两少数相差之九百亩，即三十倍总差数也。然甲原田为总差数之十四分之三十，必为三十倍总差数之十四分之一，故以十四分与九百亩之比，即同于一分与六十四亩二分八厘有余之比也。设如甲、丙、丁三人共有银二百一十两。只云甲与丙四分之一，丁与甲二分之一，丙与丁三分之一，则每人均得银七十两。

问各人原有之银数若干？法先借十两为甲银衰数，此数减四分之一二两五钱，余七两五钱，与七十两相减，余六十二两五钱为丁银二分之一，加一倍得一百二十五两为丁银衰数【因甲与丙四分之一，丁与甲二分之一成七十两，故于甲衰十两内减四分之一余七两五钱，再加六十二两五钱方凑成七十两，故以六十二两五钱即为丁银二分之一，加一倍得丁银全数也】又并甲丁两衰数得一百三十五两，与总银二百一十两相减，余七十五两为丙银衰数【因三人共银二百一十两，减去甲银十两、丁银一百二十五两，所余七十五两即丙之银数也】又于丙衰七十五两内减三分之一二十五两，余五十两，加甲衰四分之一二两五钱，共得五十二两五钱【因丙与丁三分之一，甲与丙四分之一成七十两，故于丙衰七十五两内减与丁二十五两，又加甲所与二两五钱，共五十二两五钱也】此数与七十两相较则少十七两五钱，再借二十八两为甲银衰数，此数减四分之一七两，余二十一两，与七十两相减，余四十九两为丁银二分之一，加一倍得九十八两为丁银衰数【甲银减四分之一余四十九两，既为丁银二分之一，故加一倍即为丁银全数也】又并甲丁两衰数得一百二十六两，与总银二百一十两相减，余八十四两为丙银衰数【因三人共银二百一十两，减去甲银二十八两、丁银九十八两，其余八十四两即丙之银数也】又于丙衰八十四两内减三分之一二十八两，余五十六两，加甲衰四分之一七两，共得六十三两【因丙与丁三分之一，甲与丙四分之一成七十两，故于丙衰八十四两，内减与丁二十八两，又加甲所与七两，共得六十三两也】此数与七十两相较，则少七两，乃将前借数十两少十七两五钱书于右，后借数二十八两少七两书于左，用两不足法算之。于是以两少数相减，余十两五钱为一率，两借数相减，余十八两为二率，前借数与七十两相较之少十七两五钱为三率，得四率三十两，加前借十两，共四十两，即甲之银数。减四分之一十两，余三十两【因去一分与丙也】与七十两相减，余四十两，倍之得八十两，即丁之银数。并甲丁银数，得一百二十两，与总银二百一十两相减，余九十两，即丙之银数也。此叠借三色之法也。借衰时加减甚繁，然条理分明，自能了然。如此法，前借数甲衰十两，丙衰七十五两，丁衰一百二十五两。若于丁衰减去二分之一【减六十二两五钱与甲】加丙衰三分之一【丙与丁二十五两】得八十七两五钱，与七十两相较，则多十七两五钱，丙差与丁差其数一也。至再借二十八两为甲衰，其加减亦与前借数同，惟甲成七十两，至丙则少七两，丁则多七两，其数相同，故但取丙差数，就其两差之较数以比例之，得甲之原银数也。

又法，既得两借数之差，用互乗以齐其分。以前借数十两互乗后少七两，为加十倍得少七十两；以后借数二十八两互乗前少十七两五钱，为加二十八倍得少四百九十两。乃以互乗所得两少数相减，余四百二十两为二率；原两少数相减，余十两五钱为一率。甲一人为三率，得四率四十两，即甲银数也。葢所加十倍与二十八倍相差为十八倍，则互乗所得两少数相差之四百二十两，即十八倍之总差数也。然甲银为总差数之十分半之十八，必为十八倍总差数之十分半之一，故以十分半与四百二十两之比，即同于一分与四十两之比也。设如甲、丙两果园，不知亩数。将甲园扩出五十亩，则比丙园大二倍。若将丙园扩出五十亩，则比甲园大一倍。问两园原有之亩数若干？法借四十亩为甲园衰数，加五十亩，得九十亩。此数三分之，得三十亩，为丙园衰数【因甲加五十亩，比丙园大二倍，是丙园为甲园三分之一也，故三分之】将丙园三十亩加五十亩，得八十亩，与甲园四十亩相较，适大一倍。此数已合，则不必再借。故凡叠借法中，一借即合原数者，皆如此例，不必再借也。设如大小两船雇夫，小船每人出银为大船每人五分之四。若大船八人，小船五人出银，则不足七两；若大船六人，小船八人出银，则不足三两。问共银及每人各出银几何？法以五分为大船每人衰数，四分为小船每人衰数【因小船每人为大船每人五分之四也】以五分与大船八人相乗，得四十分，为大船八人共衰数；以四分与小船五人相乗，得二十分，为小船五人共衰数，相加得六十分，为大船八人、小船五人共出银共分数。又将五分与大船六人相乗，得三十分，为大船六人共衰数；以四分与小船八人相乗，得三十二分，为小船八人共衰数，相加得六十二分，为大船六人、小船八人共出银共分数。乃将六十分少七两书于右，六十二分少三两书于左，用两朒求总银法算之。于是以六十分与六十二分相减，余二分为一率；以两少数相减，余四两为二率；一分为三率，得四率二两，为每分之银数。与六十分相乗，得一百二十两，加少七两，得一百二十七两，为雇夫之总银数【如与六十二分相乗，则得一百二十四两，加少三两，亦得一百二十七两，为雇夫之总银数】又以每分二两与大船每人衰数五分相乗，得十两，为大船每人所出银数；以每分二两与小船每人衰数四分相乗，得八两，为小船每人所出银数也。此盈朒内两朒之正法，但因有借分为衰数之故，故附于此，以备叠借之一体云。设如，有石二块，大小不等，俱不知重数。只有铜条一根，重十二两，互换称之，而得二石之各重几何？

法先将铜条分作十二分，每分又作十分。用一绳系于第五分之上【系于五分者，随便取一数也】乃以五分加一倍与十二分相较，余二分，折半得一分，与五分相加为六分。乃以五分为一率，六分为二率，余二分作二两为三率【因铜条重十二两，分为十二分，今二分故为二两也】得四率二两四钱【此四率是先将铜条之五分处取均平之法，葢提系在五分上，必于五分之端加二两四钱乃与七分相平也】爰以铜条作秤杆，将大石挂在铜条一头，离提系五分，而以小石作锤称之，今离提系得六分始平，记之【如前图】又将小石挂在铜条一头，离提系五分，而以大石作锤称之，今离提系得四分始平，亦记之【如后图】乃先借二十六两四钱为大石衰数，与前所得二两四钱相减，余二十四两【内减二两四钱者，因铜条之五分一边必加二两四钱始平，今于借衰中减去者，所以补足均平之数然后较物之轻重也】用六分为一率【即小石在六分之数】五分为二率【即大石在五分之数】二十四两为三率【即大石衰中减去二两四钱所余之数】得四率二十两为小石之衰数【此四率是以大石衰数求小石衰数】因以小石衰数二十两与二两四钱相减，余十七两六钱【此亦减去二两四钱，因小石移在五分之一边补足均平之数也】用四分为一率【即大石在四分之数】五分为二率【即小石在五分之数】十七两六钱为三率【即小石衰中减去二两四钱所余之数】得四率二十二两【此第二四率又以小石衰数转求大石衰数，试其合否也】与所借大石衰数二十六两四钱相较，则少四两四钱，再加三十二两四钱，为大石衰数。与二两四钱相减，余三十两。用六分为一率，五分为二率，三十两为三率，得四率二十五两，为小石之衰数。因以小石衰数二十五两与二两四钱相减，余二十二两六钱。用四分为一率，五分为二率，二十二两六钱为三率，得四率二十八两二钱五分。与所借大石衰数三十二两四钱相较，则少四两一钱五分。乃将前借数二十六两四钱少四两四钱书于右，后借数三十二两四钱少四两一钱五分书于左。用两不足法算之，于是以两少数相减，余二钱五分为一率，两借数相减，余六两为二率，前借数与大石衰数相较之少四两四钱为三率，得四率一百零五两六钱。加前借数二十六两四钱，共一百三十二两，即大石之重数。又于大石重数内减去二两四钱，余一百二十九两。【用六分为一率五分为二率一百】【即前以大石衰数求小石衰数之法】，既有大石真数，故仍以前法求小石真数】六钱二十九两六钱为三率，得四率一百零八两为小石之重数也。如以四分为一率五分为二率【即前以小石求大石之重法】于小石重数一百零八两内减去二两四钱，余一百零五两六钱为三率，得四率一百三十二两为大石之重数，亦合前数也。

此法葢因铜条重十二两而分作十二分，设如作一甲乙线为铜条，分作十二分，每分重一两，提系在丙处，甲丙与丙丁等，则其重亦必等。如以甲丁与甲乙相减，则余丁乙，即丙乙多于甲丙之二分也。既多二分，必重二两。如以二两重物挂于乙丁中间之戊处，则丙乙自重于甲丙也。今欲以物趂之，使其两平，则以甲丙五分为一率，丙戊六分为二率，二两为三率，得四率二两四钱，是将二两四钱之物加于甲处始得两平。其以丙戊六分为二率者何也？葢丙丁与甲丙等，而重者止在丁乙一段，而戊为丁乙之中，戊去丙逺，甲去丙近，惟近故加重而后可以胜逺之轻。若于甲接长二分，则于二分之中施二两之物即称平矣。故以二两四钱加于甲处始能趂平丁乙之二分也。此法数层加减，几用比例，颇觉繁琐，而用方程算之，防觉简明，但系叠借本法，故两收之。收入叠借者，所以存其理；而收入方程者，所以取其简也。

御制数理精蕴下编卷九<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书