御制数理精蕴下编卷一

御制数理精蕴下编卷一

首部一度量权衡命位加法减法因乘归除度量权衡虞书》同律度量衡。葢度量衡皆本于律，而律为万事之本也。《汉志》曰：度者，分寸尺丈引，所以度长短也。本起于黄钟之长，以子谷秬黍中者，一黍之广度之，九十分黄钟之长一为一分，十分为寸，十寸为尺，十尺为丈，十丈为引，而五度审矣。量者，龠合升斗斛，所以量多少也。本起于黄钟之龠，以子谷秬黍中者千二百实其龠，合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛，而五量嘉矣。权者，铢两斤钧石，所以权轻重也。本起于黄钟之重，一龠容千二百黍，重十二铢，两之为两，十六两为斤，三十斤为钧，四钧为石，而五权谨矣。《通考》曰：律度量衡并因秬黍散为诸法，其率可通。外此则代不一，名度之异名者，如《左传》注：方丈曰堵，三堵曰雉【长三丈，高一丈】易纬通卦验》：十马尾为一分。《孙子算术》曰：蚕所吐丝为忽，十忽为丝，十丝为豪，十豪为厘，十厘为分，十分为寸，十寸为尺，十尺为丈。《小尔雅》曰：跬，一举足也。倍跬谓之步。四尺谓之仞，倍仞谓之防，倍防谓之常。五尺谓之墨，倍墨谓之丈，倍丈谓之端，倍端谓之两，倍两谓之疋，疋百谓之束。孔安国又以八尺为仞。《説文》曰：人手却十分动脉为寸，口十寸为尺。周制寸咫尺防常仞皆以人体为法。又曰：妇人手八寸谓之咫，周尺也。又曰：丈，丈夫也。周制以八寸为尺，十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫。量之异名者，如《左传》齐旧四量：豆、区、鬴、钟。四升曰豆，各自其四以登于鬴【六斗四升】鬴十则钟【六十四斗】论语》注：十六斗曰庾，十六斛曰秉。《孙子算术》曰：六粟为圭，十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合。汉应劭又以四圭为撮，孟康以六十四黍为圭。《小尔雅》：一手之盛谓之溢，两手谓之掬，掬四谓之豆，豆四谓之区，区四谓之釡，釜二有半谓之薮，薮二有半谓之缶，缶二谓之钟，钟二谓之秉，秉十六斛。衡之异名者，如《汉志》注应劭曰：「十黍为累，十累为铢。」《小尔雅》：「二十四铢曰两，两有半曰防，倍防曰举，倍举曰锊。」锊谓之锾，二锾四两谓之斤，斤十谓之衡，衡有半谓之秤，秤二谓之钧，钧四谓之石，石四谓之鼔。《通考》：「唐刘承珪以忽万为分，丝则千，豪则百，厘则十，转以十倍，倍之则为一钱。」黍以二千四百枚为一两，累以二百四十铢，以二十四是，则度量衡之名不一，故其为制不同，而纷杂难用。然时易世殊，古今沿革，有必不可比而同者，故入算之际，不过取其大同者以审不齐之物耳。要之，度定扵丈，量定扵石，衡定于两大，之而递进扵无穷，小之而递析于不可测，爰悉其名目扵左，以为数学之所资焉。度法丈以下曰尺【十寸】寸【十分】分【十厘】厘【十豪】豪【十丝】丝【十忽】忽【十微】微【十纤】纤【十沙】沙【十尘】尘【十埃】埃【十渺】▯【十漠】漠【以下皆以十析】糢糊，逡巡，须臾，瞬息，弹指，刹那，六徳，虚空，清浄。量法：石以下曰斗【十升】升【十合】合【十勺】勺【十撮】撮【十抄】抄【十圭】圭【六粟】粟。衡法两以下曰钱【十分】分【十厘】厘【十豪】豪【十丝】丝【十忽】忽以下并与度法同。凡度量衡，自单位以上，则曰十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧秪、那由他、不可思议、无量数。自亿以上，有以十进者，如十万曰亿，十亿曰兆之类；有以万进者，如万万曰亿，万亿曰兆之类；有以自乘之数进者，如万万曰亿，亿亿曰兆之类。今立法从中数。厯法则曰：宫【三十度】度【六十分】分【六十秒】秒【六十微】微【六十纤】纤【六十忽】忽【六十芒】芒【六十尘】尘。又有日【十二时又为二十四小时】时【八刻又以小时为四刻】刻【十五分】分，以下与前同。田法，则曰：「顷【百亩】亩【积二百四十步】分【积二十四步】里法则三百六十步，计一百八十丈，为一里。古称在天一度，在地二百五十里。今尺验之，在天一度，在地二百里。葢古尺得今尺之十分之八，实縁纵黍横黍之分也。石法二千五百寸【按汉志曰：斛重二钧，又曰四钧为石，是二斛为一石也。古尺斛积一千六百二十寸，为今尺之八百六十寸有竒，倍之得古尺石积三千二百四十寸，为今尺之一千七百二十寸有竒。以权法凖之，石重一百二十斤，求其积古尺应得三千一百一十寸，为今尺之一千六百五十寸有竒。今之权法又加古一倍，则今尺石积应得三千三百寸有竒。今现行斛积为一千五百八十寸，石积为三千一百六十寸。旧算书所载数各不同，而多以二千五百寸为率。摠之，古今尺度不同，古今量法亦不一，须先求其斗斛之积数，然后用其积数以比例之，方得密合。今设例从旧数】

命位凡数视所命单位为本，如度法命丈为单位，则尺寸分厘皆为竒零；命尺为单位，则寸以下为竒零，而丈则进而为十；若命寸为单位，则分以下为竒零，而尺则进而为十，丈则进而为百。量法命石为单位，则斗升合勺皆为竒零；命斗为单位，则升以下为竒零，而石则进而为十；若命升为单位，则合以下为竒零，而斗则进而为十，石则进而为百。衡法命两为单位，则钱分厘豪皆为竒零；命钱为单位，则分以下为竒零，而两则进而为十；若命分为单位，则厘以下为竒零，而钱则进而为十，两则进而为百。故凡列数，单为一位，十为二位，百为三位，千为四位，万为五位。如有数一万二千三百四十五，则以单位为末，向前列之，共有五位，即知此数首位是万矣。至扵厯法宫度分秒日时刻分之定位，则每项命两位，如宫曰几十几宫，度曰几十几度，分曰几十几分之类。葢因秒以六十而进分，分以六十而进度，度以三十而进宫，故常例一位即命一等者，宫度时刻则两位命为一等，而每一等有十单之别焉。此又命位之最要者也。凡数未至单位者，必须作○以存其位。如有数一万二千三百四十丈，则补作○以存单位，如上式。又如有数一万二千丈，则补作○○○以存百十单之位，如下式。凡数单位后有竒零者，必作防于单位上，以志之。如有金三百四十五两六钱七分，命两为单位，则于五上作防志之，如上式。又如有米六石五斗四升三合，命石为单位，则于六上作防志之，如下式。凡列众数，几多位中，有空者必作○以存其位。如有数二万零四百五十六，此中千位无数，故必作○于万后百前以存其位，如上式。又如有数一万零三十四，此中千位百位俱无数，故补作两○于万后十前以存其位，如下式。凡宫度分秒皆两位列之，如有一十一宫二十度三十二分四十五秒，列位如上式。又如日时刻分列位，日时分则两位，刻止一位列之，如二十一日一十八时三刻零二分，列位如下式。

加减乘除算法以加减乘除为入门，然究其终，虽至扵千变万化，总不出乎此，但用法不同耳。或应取其相和之数，则用加；或应取其相较之数，则用减；或应聚而总其积，则用乘；或应散而取其分，则用除。又有先加而后减者，或先减而后加者；有先乘而后除者，或先除而后乘者；又有加减与乘除先后互用者。古称九章命算，自方田以至勾股，数有繁简，理有显晦，法有浅深，算有难易。然何一不从加减乘除而得？故浅言之，则算法之入门；究言之，实算法之全体也。

加法加者，合众数而成总也。葢数始扵一，终于九，至十又复为一。等而上之，十、百、千万，以至亿、兆、京、垓，皆得名之为一，即皆自一而加者也。今自一位言之，有自一至九之数；合前后之位言之，有单十、百、千万之等。先自单数加起，成十则进前一位，仍为一，以单数纪本位，下挨次并之，即得总数。若夫宫、度、时刻、斤两之类，则不以十进，必足其所命之分，始进一位【十于前位为一，志之如宫、度，足六十分进一度；足三十度进一宫。如时刻，足十五分进一刻；足四刻进一时；足二十四时进一日。如斤两，足】至于定位，则以原数列扵上，加数列扵下，或大数列于上，小数列于下，按法依次对位列之。加毕所得之数，依原列之位定之。设如，有数一万二千三百四十五，与六千七百八十九相加。法以原数横列于上，加数横列于下，按位相对加之【十六两进一斤之类，如九与五相对，单从单，八与四相对，十从十百】单位之五【千万数俱各从其类】九相加得十四进【作一防于前位为志，如进二十则作二防，如进三十则作三防】本位纪四【书于横格下】次十位之四八相加得十二，并所进之一为十三，复进十于前位为一志之，本位纪三，次百位之三七相加得十，并所进之一为十一，复进十于前位为一志之，本位纪一，次千位之二六相加得八，并所进之一为九，于是本位纪九，至于万位独有原数无可加，则仍纪一，所加之数共得一万九千一百三十四，即总数也设如，有数一万四千五百四十五，与一万七千三百五十相加。法以原数横列于上，加数横列于下。加数内单位无数，故作○以存其位，仍按位相对加之。单位之五对○无可加，仍纪五。次十位之四五相加得九，本位纪九。次百位之五三相加得八，本位纪八。次千位之四七相加得十一，进十于前位为一，志之本位纪一。次万位之一与一相加得二，并所进之一为三，于是本位纪三。所加之数共得三万一千八百九十五，即总数也。设如，有二十三丈零五寸六分，与二丈八尺六寸二分相加。法以原数横列于上，加数横列于下。原数内尺位无数，故作○以存其位，仍按位相对加之。分位之六二相加得八，本位纪八次。寸位之五六相加得十一，进十于前位为一，志之本位纪一次。尺位之八对○无可加，乃并所进之一为九，本位纪九次。丈位之三二相加得五，本位纪五。至扵十位，独有原数无可加，则仍纪二。所加之数共得二十五丈九尺一寸八分，即总数也。设如，有粮四万五千零三十一石，与三千零九十石相加。法以原数横列于上，加数横列于下。原数内百位无数，加数内百位单位俱无数，故各作○以存其位，仍按位相对加之。

石位之一对○无可加，仍纪一次。十位之三九相加得十二，进十于前位为一志之，本位纪二次。百位○与○无可加，则以所进之一为本位数，故下纪一次。千位之五三相加得八，本位纪八。至于万位，独有原数无可加，则仍纪四。所加之数共得四万八千一百二十一石，即总数也。设如，有银八两六钱五分四厘，与四两零六分二厘相加。法以原数横列扵上，加数横列扵下，加数内钱位无数，故作○以存其位，仍按位相对加之。厘位之四二相加得六，本位纪六次。分位之五六相加得十一，进十于前位为一，志之本位纪一次。钱位之六对○无可加，乃并所进之一为七，本位纪七次。两位之八四相加得十二，进十于前位为一，志之本位纪二。至扵十位无数，则纪所进之一为一。所加之数共得十二两七钱一分六厘，即总数也。设如，有田三区，一区五百九十二亩三分，一区八百五十五亩九分，一区七百八十二亩五分。相加法，以田三区按位横列相对加之。分位之三九五相加得十七，进十于前位为一，志之本位纪七次。亩位之二五二相加得九，并所进之一为十，进十于前位为一，志之本位纪○次。十位之九五八相加得二十二，并所进之一为二十三，进二十于前位为二，志之本位纪三次。百位之五八七相加得二十，并所进之二为二十二，进二十于前位为二，志之本位纪二至扵千位无数，则纪所进之二为二。所加之数共得二千二百三十亩零七分，即总数也。设如，有银九宗：一宗八千八百五十二两，一宗三千二百一十一两，一宗五百二十两，一宗九百三十八两，一宗二千五百九十两，一宗一千二百一十五两，一宗二千五百一十八两，一宗五千三百六十六两，一宗四千三百七十二两，相加。法因九宗数繁难加，故分为三次。三次复并为一次，则得共数。其八千八百五十二两，三千二百一十一两，五百二十两，相并则得一万二千五百八十三两。其九百三十八两，二千五百九十两，一千二百一十五两，相并则得四千七百四十三两。其二千五百一十八两，五千三百六十六两，四千三百七十二两，相并则得一万二千二百五十六两。既得三总数，又将三数并之，得二万九千五百八十二两，即九宗共数也。设如九宫二十度三十分二十六秒，与六宫一十八度二十分五十秒相加。法以原数横列于上，加数横列于下，其每项各命两位，仍按各位相对加之。秒之单位六对○，无可加，仍纪六秒之十位。二五相加得七十，乃以六十秒进一分，志于分之本位。秒之十位纪一次，分之单位○与○无可加，则以所进之一为本位数，故下纪一次分之十位。三二相加得五，故下纪五次度之单位。

八对○，无可加，仍纪八次度之十位。二一相加得三十，乃以三十度进一宫，志于宫之本位。度之十位纪○次，宫之本位九六相加得十五，并所进之一为十六，因十二宫满一周天，故逢十二去之，余四，故下纪四。所加之数共得四宫八度五十一分一十六秒，即总数也。设如一日一十五时二刻八分，与一日一十二时三刻九分相加。法以原数横列于上，加数横列于下，日时分则合两位共加，刻则仍命以单位，葢以四刻进一小时故也。分位之八与九相加得十七，十五分进一刻，故于刻之本位下志一，余二，故单位下纪二，十位下纪○。次刻位之二与三相加得五，并所进之一为六，四刻进一时，故于时之本位下志一，余二，故本位纪二。次时之单位五二相加得七，并所进之一得八，时之十位一与一相加得二，共为二十八，二十四时进一日，故于日之本位下志一，余四，故时之单位下纪四，十位下纪○。次日之单位一与一相加得二，并所进之一为三，故下纪三，所加之数共得三日四时二刻二分，即总数也。设如，有物重三十四斤十五两五钱，与二十一斤十四两三钱相加。法以原数横列于上，加数横列于下，其钱位、斤位与斤之十位，仍皆按位相对加之。两位与两之十位，则合其数共加之【两以十六方进一斤，故合而加之。如列数有两数无十数者，仍作○以存十两之位】钱位之五三相加得八，本位纪八。两位之原数十五，加数十四，相加共得二十九，则进十六两于前斤位为一，志之其所余十三两，则于两位纪三，十位纪一。次斤位之四一相加得五，并所进之一为六，本位纪六。次十位之三二相加得五，本位纪五。所加之数共得五十六斤十三两八钱，即总数也。

减法减者，较众数而得余也。凡以少减多，以小减大，原有之数书于上，应减之数书于下，横列必对其位，相减必从其类【如千减千，百减百之类】如或下数大于上数，不足减，则借前位之一以减本位【加法由后而进前，减法则借前而退后，其理一也，详见设如中】前位作一防以志之，既得本位，则前位所借之一并于前数而为减数。然两数相减，必先辨其多寡，首位必大于减数始可，其定位亦照原列之次为减余位。设如，有数五万六千七百八十九，内减四万三千六百四十二。法自单位减起，单位之九减二余七，故下纪七十；位之八减四余四，故下纪四百；位之七减六余一，故下纪一千；位之六减三余三，故下纪三万；位之五减四余一，故下纪一。所减之数得一万三千一百四十七，即余数也。设如，有数二万三千六百七十二，内减一万六千四百八十一。法自单位减起，单位之二减一，余一，故下纪一。十位之七减八，为下大于上，则借前位之一【前位下作一防为志】作本位之十，共十七减八，余九，故下纪九。百位之六减四，并十位所借之一，则为六减五，余一，故下纪一。千位之三减六，为下大于上，则借前位之一【前位亦作一防为志】作本位之十，共十三减六，余七，故下纪七。万位之二减一，并千位所借之一，则为二减二，恰尽，故下纪○。所减之数得七千一百九十一，即余数也。设如有六丈七尺八寸九分一厘内减三丈四尺五寸九分九厘。法自厘位减起，厘位之一减九，为下大于上，则借前位之一【前位下作一防为志】作本位之十，共十一，减九余二，故下纪二分位之九减九，并厘位所借之一，则为九减十，亦为下大于上，故复借前位之一【之一前位下作一防】作本位之十，共十九，减十余九，故下纪九寸位之八减五，并所借之一，则为八减六余二，故下纪二尺位之七减四余三，故下纪三丈位之六减三余三，故下纪三所减之数得三丈三尺二寸九分二厘，即余数也设如，有米六十五石四斗三升二合，内减四十六石二斗七升三合。法自合位减起，合位之二减三，为下大于上，则借前位之一【为志前位下作一防】作本位之十，共十二减三，余九，故下纪九。升位之三减七，并合位所借之一，则为三减八，为下大于上，则借前位之一【为志前位下作一防】作本位之十，共十三减八，余五，故下纪五。斗位之四减二，并升位所借之一，则为四减三，余一，故下纪一。石位【为志】之五减六，为下大于上，则借前位【前位下作之一作本】作本位之十，共十五减六，余九，故下纪九。十位之六减四，并所借之一，则为六减五，余一，故下纪一。

所减之数得十九石一斗五升九合，即余数也。设如，有银十五两三钱六分七厘，内减九两二钱三分四厘。法自厘位减起，厘位之七减四，余三，故下纪三分。位之六减三，余三，故下纪三。钱位之三减二，余一，故下纪一。两位之五减九，为下大于上，则借前位之一【一防为志，前位下作】作本位之十，共十五减九，余六，故下纪六。十位之一减两位所借之一，恰尽，故下纪○。所减之数得六两一钱三分三厘，即余数也。设如七宫一十八度二十七分五十二秒，内减九宫二十一度三十五分四十三秒。法自秒位减起，秒之单【一防为志】位二减三，为下大于上，则借【前位下作一防为志】前位位之十共十二，减三余九，故下纪九。秒之十位五减四，并所借之一则为五，减五恰尽，故下纪○。分之单位七减五余二，故下纪二。分之十位二减三，为下大于上，则借度位之一为六十分【度位下作一防为志】六十分与原二十分共为八十分，内减三十分余五十分，故下纪五。度之单位八减一，并所借之一则为八，减二余六，故下纪六。度之十位一减二，为下大于上，则借宫位之一为三十度【宫位下作一防为志】三十度与原十度共为四十度，内减二十度余二十度，故下纪二。宫之单位七减九，并所借之一则为七，减十为下大于上，则外借一周天为十二宫。十二宫与原七宫共为十九宫，内减十宫余九宫，故下纪九。所减之数得九宫二十六度五十二分九秒，即余数也。设如一十二日二十二时三刻零九分内，减一十一日二十三时三刻十分。法自分位减起，日位刻位俱各按单位相减，其分位时位则合两位减之。分位之九减十为下大扵上，则借刻位之一为十五分【刻之本位下作一▯为志】十五分与原九分共为二十四分，内减十分，余十四分，故分之单位纪四，分之十位纪一。刻之本位三减三并所借之一则为三减四为下大扵上，则借时位之一为四刻【时之单位下作一▯为志】四刻与原三刻共为七刻，内减四刻，余三刻，故本位下纪三。时位之二十二减二十三并所借之一则为二十二减二十四为下大扵上，则借日位之一为二十四时【日之本位下作一▯为志】二十四时与原二十二时共为四十六时，内减二十四时，余二十二时，故时之单位下纪二，时之十位下亦纪二。日位之二减一并所借之一则为二减二恰尽，故下纪○。日之十位之一减一恰尽，故亦纪○。所减之数得二十二时三刻一十四分，即余数也。设如，有物十五斤零四两八钱，内减十二斤十二两三钱。法自钱位减起，钱位之八减三，余五，故下纪五。两位之四减二，似非下大扵上。然原数两之十位为○【十六两为一斤，故作○于斤后两前，以存十两之位】而减数两之十位为一，则为四两减十二两，亦为下大扵上，故借斤位之一为十六两【斤位下作一▯为志】十六两与原四两共为二十两，内减十二两，余八两，故两之单位纪八，十位纪○。

斤位之五减二，并所借之一，则为五减三，余二，故下纪二。十位之一减一，恰尽，故下纪○。所减之数得二斤零八两五钱，即余数也。

因乘因乘者，生数也。以数生数，有生生不已之义焉。凡有几数，彼此按次加之，为得总数。然所加之次数多，则必至于烦而无统，此因乘之所以立也。因者，一位相因而得，如二因三而成六，四因二而成八也。乘者，多位相乘而得，如两位以上，则各以每位所因之数，而又层累以积之也。其法，以原数为实，乘数为法，实列于上，法列扵下，必使法实相当【如千对千，百对百，十对十，单对单之类】按法乘实，合而加之，为所得数。定位之法，视其法实所命之单位后有竒零与否。如无竒零，则实中所命之单位相对，即法尾之数。若有竒零，则法实相乘者，法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位，则截得数之二位；竒零有二位，则截得数之四位，向前为单位计之】法实相乘，再以法乘者【即自乘再乘也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位，则截得数之三位；竒零有二位，则截得数之六位，向前为单位计之】是故得数以一位论者，则为单、十、百、千之类；以两位论者，则为自乘之类；以三位论者，则为自乘再乘之类。错综交互用法不一，必须临题详审，求其无误，始为得之。具见设如于左。设如有三人，每人赏縀二疋，问共得几疋？法以三人为实，列于上，二疋为法，列扵下。以二因三得六，即书于本位下定位。以实之三人即是单位，而法又止一位为疋。今得数之六与实之单位相对，故知六是疋位。得共数为六疋也。设如，有八人，每人赏米六石，问共得几石？法以八人为实列扵上，六石为法列扵下。以六因八，得四十八。将四书于前位下【前位为十位，故十数纪前位下】八书于本位下【本位为单位，故单数纪本位下】定位以实之八人即是单位，而法亦止一位为石。今得数之八与实之单位相对，即知八是石位，而四在石之前一位，故知四是十位。得共数为四十八石也。设如有一十二人，每人赏银五两，问共得几两？法以一十二人为实，列于上，五两为法，列扵下。命两位与人之单位相齐，先以五乘二得一十，将十进前一位作一防志之纪○于本位下【此数无单故下纪○】次以五乘一，仍得五，并所进之一为六，故书六于本位下【一虽为十位而以五乘一则一下为本位矣】共得六○定位，因实之单位对法之两位而得数之○与实之单位相对，故知○为两位而六为十位，得共数为六十两也。设如，有二十四人，每人赏银三两六钱，问共得几两？法以二十四人为实，列于上，三两六钱为法，列于下。命钱位与人之单位相齐，乃以法之六遍乘实之二四，其所得之单位数即对本法位下书之。六乘四得二十四，将二十进前一位作二，防志之，四书于本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之二为四故书四于本位下【二虽为十位，而以六乘二，则二下即为本位矣】法之六既与实乘毕，次以法之三遍乘实之二四，其所得之单位数即对本法位下书之。

三乘四得一十二，将十进前一位作一，防志之，二书于本位下。次以三乘二得六，并所进之一为七，故书七于本位下。法之三又与实乘毕，乃用加法并之，共得八六四总书扵下。定位以实尾之四系四人为单位，而法尾为钱，今得数末位之四与实之单位相对，即知四是钱位，二位为两，三位为十两，得共数为八十六两四钱也。设如，有田三百六十亩，每亩纳粮三升五合，问共得若干？法以三百六十亩为实，列扵上，三升五合为法，列于下。实之单位无数，则补○以存其位。命合位与亩之单位相齐，乃以法之五遍乘实之三六○，其所得之单位数即对本法位下书之。五乘○仍为○，故下纪○。五乘六得三十，将三十进前一位作三，防志之。本位纪○，五乘三得一十五，将十进前一位为一，书之。五并所进之三为八，故书八于本位下。又以法之三遍乘实之三六○，其所得之单位数即对本法位下书之。三乘○仍为○，故下纪○。三乘六得一十八，将十进前一位作一，防志之。八书于本位下。三乘三得九，并所进之一为十，故进前一位为一，书之。本位纪○。乘毕，用加法并之，共得一二六○○，总书于下。定位以实尾之○系单位，法尾是合。今得数末位之○与实之单位相对，即知末位之○是合，前一位是升。向前数至首位得十石，因知共数为一十二石六斗也。设如，有田三顷五十亩，每顷纳粮一石二斗三升，问共得若干？【于下命】法以三顷五十亩为实【因亩位无数故作○以存其位】列于上一石二斗三升为法，列石位与顷之单位相齐【题中言每顷纳一石故石与顷对为单位】乃以法之三遍乘实之三五○，其所得之单位数即对本法位下书之三乘○，仍得○故下纪○。次以三乘五得一十五，将十进前一位作一防志之五书于本位下，次以三乘三得九并所进之一为十，故进前一位为一书之本位纪○。又以法之二遍乘实之三五○，其所得之单位数即对本法位下书之二乘○，仍得○故下纪○。二乘五得一十，将十进前一位作一防志之本位纪○。二乘三得六并所进之一为七，故书七于本位下。又以法之一遍乘实之三五○，其所得之单位数即对本法位下书之一乘○，仍得○。一乘五仍得五，一乘三仍得三，俱各书于本位下。乘毕用加法并之，共得四三○五○总书于下定位。因每顷纳粮一石二斗三升，即命顷为单位而石亦为单位，其后二位则为竒零。凡法实之竒零有一位则统得数之两位，今竒零既有二位则统得数之四位，故从后截去四位而第五位定为石，因知共数为四石三斗零五合也。设如，有金三十六两，每两价银九两九钱八分，问共价几何？法以三十六两为实列于上，九两九钱八分为法列于下。

实中钱位、分位俱无数，则补作○○以存其位。命分位与分位相齐，乃以法之八遍乘实之三六○○。先以八乘○○，仍得○○，故下纪○○。次以八乘六得四十八，将四十进前一位作四防志之八，书于本位下。次以八乘三得二十四，将二十进前一位为二，书之四，并所进之四为八，故书八于本位下。又以法之九遍乘实之三六○○。先以九乘○○，仍得○○，故下纪○○。次以九乘六得五十四，将五十进前一位作五防志之四，书于本位下。次以九乘三得二十七，将二十进前一位作二防志之七，并所进之五为十二，十又进前一位为一，并所志之二为三，故前位书三，本位书二。又以法之九遍乘实之三六○○。先以九乘○○，仍得○○，故下纪○○。次以九乘六得五十四，将五十进前一位作五防志之四，书于本位下。次以九乘三得二十七，将二十进前一位作二防志之七，并所进之五为十二，十又进前一位为一，并所志之二为三，故前位书三，本位书二。乘毕用加法并之，共得三五九二八○○。定位因题言每两价银九两九钱八分，爰以两为单位，其后二位则为竒零。竒零既有二位，则统得数之四位，故从后截去四位，而第五位定为两，第六位为十，第七位为百。因知共数为三百五十九两二钱八分也。

设如有物二十六斤求两数法以二十六斤为实，列于上，以每斤十六两为法，列于下，乃以法之六遍乘实之二六，其所得之单位数即对本法位下书之。六乘六得三十六，将三十进前一位作三，防志之六，书扵本位下。次以六乘二得一十二，将十进前一位为一，书之二，并所进之三为五，故书五于本位下。又以法之一遍乘实之二六，其所得之单位数即对本法位下书之。一乘六仍得六，故下书六；次以一乘二仍得二，故下书二。乘毕，用加法并之，得四一六。定位，因实尾是单位，而法尾又是两位，故得数末位之六即为单位，为两，而前一位为十，又前一位为百，因知得数为四百一十六两也。

又法斤求两身加六名为定身加法葢以十六两之十为一乘之仍得原数故以本身加六即得如二十六斤则从首位加起二六加一十二将一对实之十位二对实之单位下书之又六六加三十六则三对实之单位而六对实之单位后一位书之用加法相并得四一六定位以原斤数之后一位为两今得数末位之六在原斤数之后一位即知是两因知得数为四百一十六两也设如周天三百六十度，每度六十分，问共得若干分？法以三百六十度为实，列扵上，以六十分为法，列扵下【因单位俱无数，故各作○以存其位】乃以法之○遍乘实之三六○，仍皆得○，故各纪○于各位下。又以法之六遍乘实之三六○，其所得之单位数即对本法位下书之。六乘○仍得○，故本位下纪○。次以六乘六得三十六，将三十进前一位作三防志之，六书于本位下。次以六乘三得一十八，将十进前一位作一防志之，八并所进之三为十一，十又进前一位为一，并所志之一为二，故前位书二，本位书一。乘毕用加法并之，共得二一六○○。定位以实之末位是单位，法之末位是分，今求分数，故得数末位之○即是分之单位，向前数至首位得万，因知共数为二万一千六百分也。设如，有验时仪，坠子来一秒，往一秒，今十五分，问共得来往几秒？法以十五分为实列于上，以每分六十秒为法列于下，乃以法之○遍乘实之一五，仍皆得○，故各纪○于本位下。又以法之六遍乘实之一五，其所得之单位数即对本法位下书之。六乘五得三十，将三十进前一位作三，防志之本位纪○。次以六乘一，仍得六，并所进之三为九，故书九于本位下。定位以实之末位是单位，法之末位是秒，今求秒数，故得数末位之○即是秒之单位，其前一位为十，又前一位为百，因知共数为九百秒也。设如一尺二寸，自乘求积【以本数乘本数，故为自乘】法以一尺二寸互为法实，列扵上下，乃以法之二遍乘实之一二，其所得之单位数，即对本法位下书之。二乘二得四，故下书四；次以二乘一，仍得二，故下书二。又以法之一遍乘实之一二，其所得之单位数，即对本法位下书之。一乘二，仍得二，故下书二；次以一乘一，仍得一，故下书一。乘毕，用加法并之，共得一四四。定位，因自乘数成平方面，其每一尺正方面容积一百寸，故百寸为尺，百尺为丈，俱以两位命之。今实之末位为寸，即命为单位；法之末位是寸，得数末位之四与实之单位相对，即知为寸位，向前第二位为十寸，第三位为百寸。既以百寸为尺，即知得数为一尺四十四寸也。若命尺为单位，则扵尺上命位，其后一位为竒零，故扵得数内从末截去二位，以第三位为尺【葢自乘乃两数相乘，两数既各有一位零数，故截去两位算也】今得数有三位，即知首位为一尺，首位既为尺，末位又既为寸，则中一位为十寸，可知矣。设如一尺二寸，自乘再乘，求积【以本数乘本数所得之数，又以本数乘之，故谓之自乘再乘】法先以一尺二寸互为法实，按法自乘得一尺四十四寸，又以一尺四十四寸为实，复以一尺二寸为法，按法乘之，共得一七二八。定位因自乘再乘数成立方体，其每一尺正方体容积一千寸，故以千寸为尺，千尺为丈，俱以三位命之。今实之末位为寸，即命为单位，法之末位是寸，得数末位之八与实之单位相对，即知为寸位，向前第二位为十寸，第三位为百寸，第四位为千寸。既以千寸为一尺，即知得数为一尺七百二十八寸也。若命尺为单位，则于尺上命位，其后一位为竒零，故扵得数内从末截去三位，以第四位为尺【葢自乘再乘乃以三数相乘，三数既各有一位零数，故截去三位算也】今得数有四位，即知首位为一尺，首位既为尺，末位又既为寸，则中二位为十寸、百寸，可知矣。

归除归除者，分数也。以数分数，有各得均齐之义焉。凡有两数，以此数减彼数，减得几次，即为所得。然所减之次数多，则益至于纷而难纪，此归除之所以立也。归者，一位归之而得，如归作几分而均分之也。除者，多位除之而得，葢以所得之数与法相因，而于实内除去也。其法，以原数为实，横列于下；除数为法，横列于上。法之小于实者，法之首位与实之首位列齐；法之大于实者，则法比实退一位。看实足法几倍，即为得数，自法之末位上纪所得之数。既得数，乃以所得与法相因，书于实下，与实相减，余者即为次商实。依次按法归除，以恰尽为度【减余者，乃所得与法相因之数，在实中所减者，其数每与法位相对，即初商之余实也。至于实位所余之数，则每次取下一位续于减余之末，以为每商之实。若实无余位而归除仍未尽者，则按位添○以纪之】如实不足法之一倍者，则得数为○。定位之法，以法中所命单位与原实相对之数为所得之首位数。若实之位数少于法者，则作几○位以补足法，然后位数一览即明。至于一位归除防法，则竟以原数书于上，就身用几分分之，得数书于下，其定位仍照原列之位定之。具见设如于左。设如有缎六疋，令三人分之，问每人得几疋？法以六疋为实列于下，三人为法列于上。今法与实俱为单位，而法比实小，故列法与实相齐。爰看实足法几倍，今足二倍，故书二于法上。乃以得数之二与法之三相因，得六，书于实下，与实相减恰尽，即得数为二疋也。定位因法之三人即为单位，而实亦止一位为疋，是法之单位与实之疋位相对，故得数为二疋也。设如，有米六十四石，令八人分之，问每人得几石？法以六十四石为实，列于下，八人为法，列扵上。因法之八，大于实之首位之六，故将法退一位书之。爰看实足法几倍，今足八倍，故书八于法上。乃以得数之。【下与实相减恰尽即】八与法之八相因【其所得单位数即对得数之本位下书之】得六十四书于实得数为八石也。定位因法之八人即为单位而与实之石位相对故得数为八石也。设如，有银三百四十三两，令七人分之，问每人得几两？法以三百四十三两为实列于下，七人为法列于上。因法之七大于实之首位之三，故将法退一位书之。爰看实足法几倍，今实前两位为三四，足法之四倍【何以知其足法之四倍？葢实之三十四内足法之七之四倍为二十八，如法之七之五倍则为三十五，比实则大矣】故书四于法上，乃以得数之四与法之七相因得二十八，书于实下【其所得单位数即对得数之本位下书之后仿此】与实相减余六。次取实数所余之三，书于减余之后，共六三为次商实。

爰看实之六三足法几倍，今足九倍，故书九于得数之次，乃以得数之九与法之七相因得六十三，书于次商实之下，与实相减恰尽。即得数为四十九两也。定位因法之七人即为单位，而与实中之两之十位相对，故得数首位即为十，而次位为两，是知每人得四十九两也。设如，有丝四十五斤，共织得缎九十二丈二尺五寸，问每斤织得若干？法以九十二丈二尺五寸为实，列于下；四十五斤为法，列于上。因法之首位四小于实之首位九，故列法与实相齐。爰看实之九二足法之二倍，故书二于法上。乃以得数之二与法之四五相因，得九○，书于实下，与实相减，余二次。取实数所余之二，书于减余之后，共二二为次商实。今实之二二不足法之四五之一分，故得数为○，乃纪○于上。复取实数所余之五，书于二二之后，共二二五。【二二五足次商实之二二不足法之四五故再取实之一位续书于下谓之三商实者○位为次商故也】为三商实，爰看实之法之五倍，故书五于上，乃以得数之五与法之四五相因，得二二五，书于实下与实相减，恰尽，即得数为二丈零五寸也。定位，因法之五斤为单位而与实之丈位相对，故得数首位即为丈等，而下之为尺为寸，是知每斤织得二丈零五寸也。设如，有田四十五亩六分，共纳谷五十七石，问每亩纳谷若干？法以五十七石为实，列于下；四十五亩六分为法，列于上。因法之首位四小于实之首位五，故列法与实相齐。又因实之位数少于法，故补作○以足其位。爰看实之五七○足法之一倍，故书一于法上。乃以得数之一与法之四五六相因，仍得四五六，书于实下，与实相减，余一一四。此后实无余位，故添书一○于减余之末为次商实。爰看一一四○足法之二倍，故书二于上。乃以得数之二与法之四五六相因，得九一二，书于实下，与实相减，余二二八。又添书一○于减余之末为三商实。爰看二二八○足法之五倍，故书五于上。乃以得数之五与法之四五六相因，得二二八○，书于实下，与实相减，恰尽。即得数为一石二斗五升也。定位因法之五亩为单位，而与实之石位相对，故得数首位为石，是知每亩纳谷一石二斗五升也。设如，有丹砂一两，价值钱二万五千文，问每钱一文，该得丹砂几何？法以丹砂一两为实，列于下；钱二万五千为法，列于上。因法之首位二大于实之首位一，故将法退一位列之。又因法之百位、十位、单位俱无数，故各作○以存其位，而实亦作五○位以补足法。爰看实足法之四倍，故书四于法上。乃以得数之四与法之二五○○○相因，得一○○○○○，书于实下，与实相减恰尽。即得数为四丝也。定位：因法之末位○系单位，故从实之首位一两数至法之单位相对之位为丝，是知每钱一文得丹砂四丝也。

设如，有银一千二百五十两，买果赏人，每果一枚价二厘五豪，问买果若干？法以一千二百五十两补五○位为实列于下【因法之末位是豪故补五○位与法相对葢命实为一千二百五十万豪也】二厘五豪为法列于上。爰看实之一二五足法之五倍，故书五于法上。乃以得数之五与法之二五相因，得一二五，书于实下与实相减恰尽。然实后尚有五○位，故得数后亦添五○位为五十万也。定位，因法实俱至豪位止，即命豪为单位。爰从实之末位数至法之单位相对之位为十万，是知得果为五十万枚也。设如，有物重三百八十四两，问得斤数若干？法以三百八十四两为实列于下，每斤一十六两为法列于上。爰看实之三八足法之二倍，故书二于法上。乃以得数之二与法之一六相因，得三十二，书于实下，与实相减，余六。次取实数之四，书于减余之后，共为六四。因足法之四倍，故书四于上。乃以得数之四与法之一六相因，得六十四，书于实下，与实相减恰尽。即得数为二十四斤也。定位因法之两数为单位，而与实之十位相对，故知得数为二十四斤也。又法名为斤称流法。其法曰：一退六二五【如一万两则为六百二十五斤，一千两则为六十二斤半，一百两则为六斤二分半，皆以十递析，退者退一位命之也】二一二五【如二万两则为一千二百五十斤，二千两则为一百二十五斤，二百两则为十二斤半，不言退者对位命之也，余仿此】三一八七五，四二五五三，一二五六三七五，七四三七五，八五九五六二五。如三百八十四两则列于上，先以三之一八七五通之，爰将一对三之本位以下依次向后书之；次以八之五通之，将五对八之本位书之；次以四之二五通之，将二对四之本位书之。五则列于次位，三数书毕，乃以加法并之，得数为二十四斤。定位因两之前一位为斤，今得数之四在两之前一位，故四即为斤位，而又前一位则为十位，是知得数为二十四斤也。设如周天三百六十度，分十二宫，问每宫得若干度？法以三百六十度为实，列于下，一十二宫为法，列于上。爰看实之三六足法之三倍，故书三于法上。乃以得数之三与法之一二相因，得三六，书于实下，与实相减，恰尽。然实后尚有○位，故得数后亦添一○位，即得数为三十度也。定位因法之二为单位，而与实之十位相对，故得数首位为十，而每宫为三十度也。设如一日之中得一千四百四十分，以九十六刻分之，问每刻得若干分？法以一千四百四十分为实，列于下；以九十六刻为法，列于上。爰看实之一四四，仅足法之一倍，故书一于法上。乃以得数之一与法之九六相因，仍得九六，书于实下，与实相减，余四八。

次取实之○位，书于减余之后，共为四八○。因足法之五倍，故书五于上。乃以得数之五与法之九六相因，得四八○，书于实下，与实相减，恰尽。即得数为一十五分也。定位因法之六为单位，而与实之十位相对，故得数首位为十，而每刻为一十五分也。

一位归除防法设如，有银三十四万五千六百七十八两，作二分分之，问每分若干？法以三十四万五千六百七十八两为实列于上，视首位之三足二分之几何？今足一倍，故下书一，一二除二余一，乃移于下位为十【下位作防为志】并下位之四共为十四，足二分之七倍，故下书七，二七除一十四恰尽。次五足二分之二倍，故下书二，二二除四余一，移于下位为十，并下位之六共为十六，足二分之八倍，故下书八，二八除一十六恰尽。次七足二分之三倍，故下书三，二三除六余一，移于下位为十，并下位之八共为十八，足二分之九倍，故下书九，二九除一十八恰尽。定位因得数仍原数之位，故知每分得一十七万二千八百三十九两也。设如，有银一十二万三千四百五十三两，作九分分之，问每分若干？法以一十二万三千四百五十三两为实列于上，因首位之一小于九分，故移于下位为十，并下位之二共为十二，足九分之一倍，故下书一一九，除九余三，移于下位为三十，并下位之三共为三十三，足九分之三倍，故下书三三九，除二十七余六，移于下位为六十，并下位之四共为六十四，足九分之七倍，故下书七七九，除六十三余一，移于下位为十，并下位之五共为十五，足九分之一倍，故下书一一九，除九余六，移于下位为六十，并下位之三共为六十三，足九分之七倍，故下书七七九，除六十三恰尽。定位因得数比原数退一位，故知每分得一万三千七百一十七两也。

御制数理精蕴下编卷一

钦定四库全书