御制数理精蕴下编卷三十

御制数理精蕴下编卷三十

体部八各体权度比例堆垜各体权度比例数学至体而备，以其综线面之全，而尽度量衡之用也。葢线面存乎度，体则存乎量，求轻重则存乎衡，是以又有权度之比例。其法防以诸物制爲正方，其边一寸，其积千分，较量豪厘，俾有定率。然后凡物知其体积，即知其重轻；知其重轻，即知其体积，而权度无遁情也。且体之爲质，不一边积等者，轻重不同；轻重等者，边积不同，皆有互相比例之法，而各体无混淆也。

赤金十六两八钱纹银九两水银十二两二钱八分红铜七两五钱白铜六两九钱八分黄铜六两八钱纲六两七钱三分生铁六两七钱熟铁六两七钱三分高锡六两三钱六锡七两六钱倭铅六两黑铅九两九钱三分白玉二两六钱金珀八钱白玛瑙二两三钱红玛瑙二两二钱砗磲一两五钱二分青石二两八钱八分白石二两五钱红石二两五钱六分象牙一两五钱四分牛角一两九钱沉香八钱二分白檀八钱三分紫檀一两零二分花梨八钱七分楠木四钱八分黄杨七钱五分乌木一两一钱油八钱三分水九钱三分设如，有金一方，每边三寸，问重几何？法以一寸爲一率，金寸方重一十六两八钱爲二率，今所设之金方每边三寸，自乘再乘得二十七寸爲三率，求得四率四百五十三两六钱，即金之重数也。此法葢因金方每边三寸，则体积爲二十七寸，以一寸与一十六两八钱之比，同于二十七寸与四百五十三两六钱之比也。设如，有银一方，每边二寸，问重几何？法以一寸爲一率，银寸方重九两爲二率，今所设之银方，每边二寸，自乘再乘得八寸爲三率，求得四率七十二两，即银之重数也。此法葢因银方每边二寸，则体积爲八寸，以一寸与九两之比，同于八寸与七十二两之比也。设如黄铜一条，重三百七十四两，问积几何？法以黄铜寸方重六两八钱为一率，一寸爲二率，今所设黄铜重三百七十四两爲三率，求得四率五十五寸，即黄铜之积也。设如熟铁一块，重十六两，欲镕爲正方体，问毎边几何？法以熟铁寸方重六两七钱三分爲一率，一寸爲二率，今铁重十六两爲三率，求得四率二寸三百七十七分四百一十四厘有余，开立方得一寸三分三厘有余，即每边之数也。设如水银一匣，但知匣阔四寸，长六寸，高三寸五分，问内水银重数几何？法以匣阔四寸与长六寸相乘得二十四寸，又以高三寸五分再乘得八十四寸，爲水银一匣之积数。爰以一寸爲一率，水银寸方重一十二两二钱八分爲二率，今所得之水银一匣之积数八十四寸爲三率，求得四率一千零三十一两五钱二分，即水银之重数也。设如白玉一方，重九十三两六钱，但知阔比高多一寸，长比阔多三寸，问高、阔、长各几何？法以玉寸方重二两六钱爲一率，一寸爲二率，今所设玉重九十三两六钱爲三率，求得四率三十六寸爲长方体积。乃以阔比高多一寸，长比阔多三寸，爲带两纵之较，用带两纵不同较数开立方法算之，得高二寸，加阔比高多一寸，得三寸爲阔，再加长比阔多三寸，得六寸爲长也。设如金与银镕于一处，共得正方体积二十七寸，重二百七十四两二钱，问金与银各几何？法以共积二十七寸，以银寸方重九两乘之，得二百四十三两，与共重二百七十四两二钱相减，余三十一两二钱。

乃以银寸方重九两与金寸方重十六两八钱相减，余七两八钱爲一率，金一寸爲二率。今相减所余之三十一两二钱爲三率，求得四率四寸，即金之寸数。于共积二十七寸内减去四寸，余二十三寸，即银之寸数也。以金四寸与金寸方重十六两八钱相乘，得六十七两二钱。以银二十三寸与银寸方重九两相乘，得二百零七两。两数相并，得二百七十四两二钱，仍与原数相合也。此即和较比例之法。葢银二十七寸，则其重数应得二百四十三两，与共重二百七十四两二钱相减，余三十一两二钱，即金重于银之数。而金每寸比银毎寸多七两八钱，故多七两八钱则金有一寸，今多三十一两二钱，则知金有四寸也。若欲先得银数，则仍以七两八钱爲一率，一寸爲二率，将共积二十七寸以金寸方重十六两八钱乘之，得四百五十三两六钱，内减共重二百七十四两二钱，余一百七十九两四钱爲三率，求得四率二十三寸，即银之寸数，与共积二十七寸相减，余四寸，即金之寸数。葢少七两八钱则银有一寸，今少一百七十九两四钱，则知银有二十三寸也。设如金镶玉炉一座，共重四十六两七钱，问金玉各几何？法用盛水器皿一件，置炉其中，实之以水，取出炉看水浅几何。设如盛水器皿系正方形，每边五寸，取出炉水浅五分，即以毎边五寸自乘，得二十五寸，以水浅五分爲高，再乘得一十二寸五百分爲炉之体积，即金玉之共积。爰以共积一十二寸五百分，以玉寸方重二两六钱乘之，得三十二两五钱，与共重四十六两七钱相减，余一十四两二钱。乃以玉寸方重二两六钱与金重一十六两八钱相减，余一十四两二钱爲一率，金一寸爲二率，今相减所余一十四两二钱爲三率，求得四率一寸爲金之寸数。于共积一十二寸五百分内减去一寸，余十一寸五百分爲玉之寸数。金一寸重得十六两八钱，玉十一寸五百分与玉寸方重二两六钱相乘，得二十九两九钱爲玉之重数。两数相并，共得四十六两七钱，仍与原数相合也。如欲先得玉数，则仍以一十四两二钱爲一率，一寸爲二率，将所得共积一十二寸五百分以金寸方重十六两八钱乘之，得二百一十两，内减共重四十六两七钱，余一百六十三两三钱爲三率，求得四率一十一寸五百分爲玉之寸数，与共积一十二寸五百分相减，余一寸即金之寸数也。设如空心金【率】球一个，外径一尺二寸，厚三分，问重几？何法以【球】金球外径一尺二寸，自乘再乘得一尺七百二十八寸，乃用【积】方边球径相等，方积球积不同之定率比例」。以方积一○○○○○○○○○【五】爲一率球积五二三五九八七七五【二】爲二率，今球径自乘再乘之正方体积一尺七百二十八寸爲三率，求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十【三】三厘有余爲球之全体积。

又以厚三分倍之得六分，与外径一尺二寸相减，余一尺一寸四分爲空心径，自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分。仍以方积一○○○○○○○○○爲一，五九八七七五爲二率，今空心径自乘再乘之正方体积一尺四百八十一寸五百四十四分爲三率，求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三。厘有余爲【边】球内空心虚积两积相减，余一百二十九寸零四十四分零六十。厘有余爲空【较】心球体积乃以一寸爲一率，金寸方重十六两八钱爲二率，空心球体积一百二十九寸零四十四分零六十厘有余爲三率，求得四率二千一百六十七两九钱四分有余，即空【二】心金球体之重数也？设如正方青石一块，红石一块。红石比青石毎边多二寸，体积多五十六寸。问二石之边数及重数？各几何法，以红石比青石，每边多二寸爲边较，体积多五十六寸爲积较。用大小二立方，有边较积较，求边法算之。以寸自乘再乘，得八寸，与积较五十六寸相减，余四十八寸。三归之，得一十六寸。以边较二寸除之，得八寸爲长方。面积以边较二寸爲长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔二寸，即青石之边数。加红石比青石每边多二寸，得四寸，即红石之边数。乃以一寸爲一率，红石寸方重二两五钱六分爲二率，红石毎边四寸自乘再乘，得六十四寸爲三率，求得四率一百六十三两八钱四分，即红石之重数也。又以一寸爲一率，青石寸方重二两八钱八分爲二率，青石每边二寸自乘再乘，得八寸爲三率，求得四率二十三两零四分，即青石之重数也。此法因二石皆爲正方体，故用大小二立方，有边较积较求边之法，求得二石之边，自乘再乘即得二石之体积，用寸方重数定率以比例之，即得二石之重数也。设如，有正方水桶三个。第一桶每边一尺。第三桶比第二桶每边多二寸。第三桶体积与第一桶、第二桶两桶之共积相等。问三桶水之重数各几何？法以一寸爲一率，水寸方重九钱三分为二率。第一桶正方每边一尺，自乘再乘，得一千寸爲三率。求得四率九百三十两，爲第一桶水之重数。又以第三桶比第二桶每边多二寸爲边较，以第一桶体积一千寸爲第三桶比第二桶所多之积较。用大小二立方有边较积较求边法算之。以边较二寸自乘再乘，得八寸，与积较一千寸相减，余九百九十二寸。三归之，得三百三十寸六百六十六分六百六十六厘有余。以边较二寸除之，得一尺六十五寸三十三分三十三厘有余，爲长方面积。以边较二寸爲长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔一尺一寸八分九厘有余，爲第二桶之边数。加较二寸，得一尺三寸八分九厘有余，爲第三桶之边数。

乃以一寸爲一率，水寸方重九钱三分爲二率。第二桶每边一尺一寸八分九厘有余，自乘再乘，得一尺六百八十寸九百二十四分有余，爲三率。求得四率一千五百七十两九钱九分三厘有余，即第二桶水之重数。又以一寸爲一率，水寸方重九钱三分爲二率。第三桶每边一尺三寸八分九厘有余，自乘再乘，得二尺六百七十九寸八百二十六分有余，爲三率。求得四率二千四百九十二两二钱三分八厘有余，即第三桶水之重数也。此法葢因第三桶之体积与第一、第二两桶之共积相等，则第一桶体积一千寸即第三桶体积比第二桶体积所多之较也。而第三桶比第二桶每边多二寸，故用大小二立方有边较积较求边法求得二桶之边数。自乘再乘即得二桶之体积。用寸方重数定率以比例之，即得二桶水之重数也。设如金【二】球一个径二寸二分六厘，今欲作一【寸】银。

球其重　　　　　　　【七】与金球等问径几何法，以金方边一寸爲一率，银方边一寸二分三厘爲二率，今所设之金球径二寸二分六厘爲三率，求得四率。二寸七分七厘有【分】余，即银球之径数也。此法葢因各色俱爲正方体，其重数俱设爲十六两八钱，与金寸方等，故金方边爲一寸，银方边爲一寸二分三厘，水银方边爲一寸一分一厘，铅方边爲一寸一分九厘，铜方边爲一寸三分一厘，铁方边爲一寸三分六厘，锡方边爲一寸三分九厘，石方边爲一寸八分九厘，水方边爲二寸六分四厘，油方边爲四厘皆系边与边之比例故【数】球径【也】与球径之比同于方边与方边之比而爲相当比例四率也设如青石一块，正方一尺二寸，重四千九百七十六两六钱四分，今欲作与青石一样大熟铁一块，问重？几何法，以青石寸方重二两八钱八分爲一率，熟铁寸方重六两七钱三分爲二率，今所设之青石重四千九百七十六两六钱四分爲三率，求得四率一万一千六百二十九两四钱四分，即与青石一样大熟铁之重。

堆垜堆垜之法，虽爲体属，而一面平堆与方圆束形，实与面同方者，即平方法，其余则用梯形法，以其每层皆递加之数也。束形亦与一面平堆同法，葢圆者以六包一，方者以八包一，三角者以九包一。有边求积，有周求积，其理皆相通也。若夫以方面层累者，则爲四角尖堆；以三角面层累者，则爲三角尖堆。此二者，每层之边皆同爲递加一数，每层之面积则三角爲按位相加之数，四角爲按位自乘相加之数。其傍皆崚嶒不平，故与体亦微异也。至于以长方面层累者，则爲长方堆；以全堆而减去上截者，则爲半堆。总以尖堆之法御之，分之以立其法，合之以明其理。一一按法解之于后。设如一面直角尖堆底十二，求积几何？法以底十二加尖上一得十三与层数十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之积也。如图甲乙丙一面直角尖堆，乙丙爲底十二，其甲乙高亦即爲十二层，其每层皆加一爲挨次递加之数，成直角三角形。试另作一丁戊己直角三角形，合于原形之侧，则成甲乙丁戊长方形，其高即层数，其底即首数与末数相加之数，其积即总数加一倍之数【见算法原本二卷第三十二节】故以底十二与上尖一相加，与层数十二相乘得长方积，析半即得一面直角尖堆之积也。此法与勾股求积之法异者，葢勾股之上尖爲一防，无数可纪，此上尖一即其上之阔，成斜方形，故用斜方求积之法，以上阔与下阔相加，以高数乘之，折半而得积也。设如一面直角尖堆积二十八，求底几何？法以一面直角尖堆积二十八倍之，得五十六，爲长方积。以一爲长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔七，即一面直角尖堆之底数也。如图，甲乙丙一面直角尖堆积倍之，则成甲乙丁戊长方形积。其乙丁长比甲乙阔多一，故用带纵较数开平方法算之，得甲乙与乙丙等，爲一面直角尖堆之底阔也。设如一面三角尖堆底七求积几何？

法以底七加上尖一得八与层数七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之积也如图甲乙丙一面三角尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七层其每层皆加一爲挨次递加之数成等边三角形试另作一丁戊巳等边三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊斜方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数故以底七与上尖一相加与层数七相乘得斜方积折半得一面三角尖堆之积也设如一面三角尖堆积三十六，求每边几何？法以一面三角尖堆积三十六倍之，得七十二，爲长方积。以一爲长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔八，即一面三角尖堆每一边之数也。如图，甲乙丙一面三角尖堆积，倍之则成甲乙丁戊斜长方积。若直排之，即与直角长方积等，故其求边之法，亦与前直角尖堆求边之法同也。设如一面梯形，堆上五，下九，求积几何？法以上五与下九相加得十四，又视上五以上至一虚四位，即以所虚之四与下九相减，余五爲层数，与上下相加之十四相乘得七十，折半得三十五，即一面梯形堆之积也。如图甲乙丙丁，一面梯形堆，甲丁爲上五，乙丙爲下九，甲乙爲层数五【凡自一递加之数，其末数即位数，今首数爲五，计自一己截去四位，故于末数内减去所少之位，即爲今之所有之位，见算法原本二巻第三十二节】试另作一戊己庚辛梯形，合于原形之侧，则成甲乙己庚斜方形，其底即上数与下数相加之数，其高即层数，其积即总数加一倍之数，故以上数与下数相加与层数相乘折半，即得一面梯形堆之积也。又法，以底九用一面三角尖堆求积法，求得总积四十五。又以上五内减一，余四，爲上虚小一面三角尖堆之底。亦用三角尖堆求积法，求得上虚小一面三角尖堆积十两，积相减，余三十五，即一面梯形堆之积也。如图甲乙丙丁一面梯形堆，先求得戊乙丙三角尖堆总积，又求得戊己庚上虚小三角尖堆积，相减即得甲乙丙丁梯形堆之积也。如有上阔或下阔与层数求积者，则于层数内减一，余爲上下阔之较，与上阔相加则得下阔，与下阔相减则得上阔，皆用有上下阔之法算之而得积也。设如一面梯形，堆积三十五下，九问上几何？法以下九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五，内减梯形积三十五，余十爲上虚小一面三角尖堆积。用一面三角尖堆有积求边法求得每边四，加一得五，即一面梯形堆之上阔也。如图甲乙丙丁一面梯形堆，先以乙丙下九求得戊乙丙三角尖堆总积，内减甲乙丙丁梯形堆积，余戊己庚上虚小一面三角尖堆积。乃用有积求边法求得己庚四，因每层埃次递加一，故加一即得甲丁五爲上阔也。如有上阔求下阔者，则以上阔内减一爲上虚小三角尖堆之底，求得上虚小三角尖堆积与梯形积相加爲三角尖堆总积，亦用有积求边法算之，即得下阔也。设如一面梯形堆积三十五，上阔比下阔少四，问上下阔各几何？法以梯形堆积三十五，倍之得七十。又以上下阔之较四，加一得五爲层数，以除倍积七十，得十四爲上下阔之和。加较四得十八，折半得九爲下阔，内减较四，余五爲上阔也。如图甲乙丙丁一面梯形堆积，每层挨次加一。今甲丁上阔比乙丙下阔少四，即知甲乙爲五层矣。故以甲乙丙丁梯形积倍之，则成甲乙戊己斜方积，以甲乙五层除之，得乙戊爲上下阔之和。加上下阔之较，折半即得下阔，于下阔内减上下阔之较，即得上阔也。如有积与上下阔之和，求上下阔者，则将积数加一倍，以上下阔之和除之，即得层数，内减一即得上下阔之较。或有积与层数求上下阔者，则于层数内减一即得上下阔之较，以层数除倍积，即得上下阔之和。既有较有和，即得上下阔矣。设如一面六角堆，每边六，求积几何？法以一面六角堆分作六三角尖堆算之，以每边六减一，余五，爲每一面三角尖堆之底，与毎边六【即底加一也】相乘，得三十，折半得十五，爲每一面三角尖堆积，六因之得九十，加中心一得九十一，即一面六角堆之积也。如图甲乙丙丁戊己一面六角堆，六分之则成甲庚辛类六三角尖堆，而余中心一，其每一三角尖堆之甲庚一边，比六角堆之甲己一边少一，故以六角堆之每一边内减一，即得三角尖堆之每一边，而求得一面三角尖堆积，六因之，再加中心一，即得一面六角堆之总积也。设如一面六角堆积九十一，求每边几何？法以一面六角堆积九十一，减中心一，余九十六，归之得十五，爲一面三角尖堆积。用一面三角尖堆有积求边法算之，得每边五，加一得六，即六角堆之每一边也。如图，甲乙丙丁戊己一面六角堆积，先减去中心一，以六归之，则得甲庚辛一三角尖堆积。其三角尖堆之甲庚一边，比六角堆之甲己一边少一，故用一面三角尖堆有积求边法求得一边，再加一爲一面六角堆之每一边也。此即算书所谓圆束也。本以六包一，不能成圆，凡云圆者，皆六边也。

周四十求积几何法以外周四十，加四得四十四，四归之得十一，爲方束每一边之数。自乘得一百二十一，即方束之积也。如图，甲乙丙丁方束，其四隅之四各爲两边所同用，故必以外周加四以四归之，始得甲乙每一边之数。以一边自乘，即爲方束之积数也。又法以外周四十加八得四十八，与外周四十相乘，得一千九百二十十，六除之，得一百二十，加中心一，得一百二十一，爲方束之积也。葢方束以八包一，其外周所包之数，亦必以八递加爲超位平加之数。如甲乙丙丁方束，除却中心之一，最内一层爲八，第二层爲十六，第三层爲二十四，第四层爲三十二，第五层爲四十，毎层皆加八爲超位平加之数。引而长之，成戊己庚辛梯形，外周四十，即梯形之底，内周八，即梯形之上阔。如以首数八与末数四十相加，得四十八，用层数五乘之，折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之五，乃系外周四十用八归所得之数，今以内周八与外周四十相加，即与外周四十栒乘，是未用八归，故将相乘所得之数，必以八归，又以二归【即折半】始得总数。夫先用八归后用二归，即与用十六归除等【二与八相因得一十六，合两次除爲一次除】故以十六归除得总数，再加中心一，即得方束之积也。又按第一法，以外周四十加四，以四归之，得方束之每一边，是外周加四则得每边之四倍。若以外周加四自乘，必得方束积之十六倍，而以十六归除，亦即得方束之积。今以外周加八与外周相乘，成长方形，则其长比毎边之四倍多四，其阔比每边之四倍少四，其积必爲方束积之十六倍而少十六，以十六归除，则得方束积而少一，故加一而得方束积也。此方束毎边十一，系奇数，故有中心之一。若方束毎边系偶数者，则无中心之一，详见下法。设如方束外周三十六，求积几何？法以外周，三十六，加四，得四十四，归之，得一十，爲方束，毎一边之数，自乘得一百，即方束之积也。又法以外周三十六加八得四十四，与外周三十六相乘得一千五百八十四，十六除之得九十九，加一得一百，爲方束之积也。此方束每边系偶数，无中心一，其最内一层爲四，其外周三十六，用八归之则得四层半，然其立法亦与前法同，乘除得数仍加一者，葢以外周加四则得每边之四倍，若以外周加四自乘，必得方束积之十六倍，而以十六归除，亦即得方束之积。今以外周加八与外周相乘成长方形，则其长比每边之四倍多四，其阔比每边之四倍少四，其积必爲方束积之十六倍而少十六，以十六归除则得方束积而少一，故加一而得方束积也。

设如方束积一百求外周几何法以方束积一百，开平方得一十四，因之得四十，内减四，余三十六，即方束外周之数也。如图，甲乙丙丁方束，开方则得甲乙一边。前法以外周加四，四归之而得一边；此法以一边四因之，减四而即得外周也。又法，以方束积一百内减一，余九十九，以十六乘之，得一千五百八十四，爲长方积。以八爲长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔三十六，即方束之外周数也。此即方束有外周求积之法，而转用之前法，以外周加八，与外周相乘，十六除之，再加一而得积。此法则以积数减一，余用十六乘之，以八爲长阔之较，用带纵开方得阔，而爲外周也。设如三棱束外周二十七，求积几何？法以外周二十七加三得三十三，归之得一十，爲三棱束每一边之数。用一面三角尖堆有边求积法，以每边一十加一得一十一，与每边一十相乘得一百一十，折半得五十五，即三棱束之积也。如图甲乙丙三棱束，其三角之三各爲两边所同用，故必以外周加三以三归之，始得甲乙每一边之数，即如一面三角尖堆之每一边，故用一面三角尖堆有边求积法算之，即得三棱束之积也。又法以外周二十七加九得三十六，与外周二十七相乘得九百七十二，以十八归除得五十四，加中心一得五十五，爲三棱束之积也。葢三棱束以九包一，其外周所包之数亦必以九递加爲超位平加之数，如甲乙丙三棱束，除却中心之一，最内一层爲九，第二层爲十八，第三层爲二十七，每层皆加九爲超位平加之数，引而长之成丁戊己庚梯形，外周二十七即梯形之底，内周九即梯形之上阔。如以首数九与末数二十七相加得三十六，用层数三乘之，折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之三乃系外周二十七用九归所得之数，今以内周九与外周二十七相加，即与外周二十七相乘，是未用九归，故将相乘所得之数必以九归，又以二归【即折半】始得总数。夫先用九归后用二归，即与十八归除等【二与九相乘得一十八，合两次除爲一次除】故以十八归除得总数，再加中心一即得三棱束之积也。又按第一法以外周二十七加三，以三归之得一面三角尖堆之每一边，是外周加三则得每边之三倍。若以毎边之三倍再加三，与每边之三倍相乘，必得一面三角尖堆积之十八倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍，今以毎边之三倍加三与每边之三倍相乘是边加三倍，则积加九倍。彼旣爲一面三角尖堆积之二倍，故此即爲十八倍也】而以十八归除，亦即得三棱束之积。今以外周加九与外周相乘，成长方形，则其长比每边之三倍加三者尚多三，其阔比每边之三倍少三，其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八。以十八归除，则得一面三角尖堆积而少一，故加一而得三棱束之积也。此三棱束亦有无中心之一者，葢缘三棱束包中心一爲一层者，周围九，其底则四；包中心一爲二层者，周围十八，其底则七。凡如此类，周递加九，边递加三者，皆有中心之一，其余皆无中心之一，详见下法。设如三棱束外周三十，求积几何？法以外周三十加三得三十三，三归之得十一，爲三棱束。每一边之数，用一面三角尖堆有边求积法，以每边十一加一得十二，与每边十一相乘得一百三十二，折半得六十六，即三棱束之积也。又法以外周三十加九得三十九，与外周三十相乘得一千一百七十，十八除之得六十五，加一得六十六，爲三棱束之积也。此三棱束无中心，其最内一层爲三，其外周三十用九归之则得三层又三分之一，然其立法亦与前法同，乘除得数仍加一者，葢以外周加三则得每边之三倍，若以每边之三倍再加三，与每边之三倍相乘，必得一面三角尖堆积之十八倍，而以十八归除，亦即得三棱束之积。今以外周加九与外周相乘成长方形，则其长比每边之三倍加三者尚多三，其阔比每边之三倍少三，其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八，以十八归除则得一面三角尖堆积而少一，故加一而得三棱束之积也。设如三棱束积六十六，求外周几何？法以三棱束积六十六，倍之得一百三十二，爲长方积。以一爲长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔十一，爲三棱束之每一边。三因之得三十三，内减三，余三十，即三棱束之外周数也。如图，甲乙丙三棱束，用一面三角尖堆有积，求边法，求得甲乙一边，前法以外周加三，三归之而得一边。此法以一边三因之，减三而即得外周也。又法，以三棱束积六十六内减一，余六十五，以十八乘之，得一千一百七十，爲长方积，以九爲长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔三十，即三棱束之外周数也。此即三棱束有外周求积之法，而转用之前法，以外周加九与外周相乘，十八除之，再加一而得积。此法则以积数减一，余用十八乘之，以九爲长阔之较，用带纵开方得阔，而爲外周也。

设如圆束外周三十求积几何法以外周三十六，归之得五，爲一面三角尖堆之每一边。用一面三角尖堆有边求积法，以每边五加一得六，与每边五相乘得三十，折半得十五，爲每一三角尖堆积。六因之得九十，加中心一得九十一，即圆束之积也。如图，甲乙丙丁戊己圆束六分之，则成甲庚辛类六三角尖堆形，而余中心一。故以外周六分之而得甲庚每一边之数，即如一面三角尖堆之每一边，而求得一三角尖堆积，六因之得六三角尖堆积，加中心一，即爲圆束之积数也。又法以外周三十加六得三十六，与外周三十相乘得一千零八十，十二除之得九十，加中心一得九十一，爲圆束之积也。葢圆束以六包一，其外周所包之数亦必以六递加爲超位平加之数，如甲乙丙丁戊己圆束，除却中心之一，最内一层爲六，第二层爲十二，第三层爲十八，第四层爲二十四，第五层爲三十，每层皆加六爲超位平加之数，引而长之成庚辛壬癸梯形，外周三十即梯形之底，内周六即梯形之上阔，如以首数六与末数三十相加得三十六，用层数五乘之折半，即得总数【见算法厚本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周三十用六归所得之数，今以内周六与外周三十相加，即与外周三十相乘，是未用六归，故将相乘所得之数必以六归，又以二归【即析半】始得总数。夫先用六归后用二归，即与十二归除等【二与六相因得一十二，合两次除爲一次除】故以十二归除得总数，再加中心一即得圆束之积也。又按第一法以外周三十六归之得一面三角尖堆之每一边，是圆束之外周爲一面三角尖堆每边之六倍，若以外周加六与外周相乘，则必得一面三角尖堆积之七十二倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每一边之数相乘，则得一面三角尖堆积之二倍，今以每边之六倍加六与毎边之六倍相乘，是边加六倍则积加三十六倍，彼既爲一面三角尖堆积之二倍，故此即爲七十二倍也】以一面三角尖堆积六倍之加中心一则得圆束积，今将七十二倍积以十二除之，亦得一面三角尖堆积之六倍，故加中心一而得圆束之积也。凡圆束皆有中心，设此解与前法相通耳。设如圆束积九十一，求外周几何？

法以圆束积九十一减中心一余九十六归之得一十五倍之得三十【或即以九十三归之所得亦同葢六归二因与三归所得之数同也】爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五又以六因之得三十即圆束之外周数也如图甲乙丙丁戊己圆束减去中心一以六归之则得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有积求边法求得甲庚一边以六因之而得外周也又法，以圆束积九十一减一，余九十，以十二乘之，得一千零八十，爲长方积。以六爲长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔三十，即圆束之外周数也。此即圆束有外周求积之法，而转用之前法，以外周加六与外周相乘，十二除之，再加一而得积。此法则将积数减一，余用十二乘之，以六爲长阔之较，用带纵开方得阔，而爲外周也。

设如堑堵堆底五求积几何法以底五自乘得二十五，爲底面积。又以位数五加一得六，与底面积二十五相乘得一百五十，折半得七十五，即堑堵堆之积也。如图甲乙丙丁戊，堑堵堆即一面直角尖堆累积之体也。两直角面相合成长方面形，比原位数多一行；而两堑堵体相合成长方体形，比原位数亦必多一面。故以位数加一与底面积相乘，所以增其一面之数，成长方体形爲堑堵堆之二倍，折半而得堑堵堆之积也。设如三角尖堆，每边五，求积几何？法以每边五加一得六，与每边五相乘得三十，折半得十五，爲底面积。再以每边五加二得七，与底面积十五相乘得一百零五，三归之得三十五，即三角尖堆之积也。如图甲乙丙丁三角尖堆，每面皆一面三角尖堆，累积成等边三角体形，其每边之数即位数也。试按位作防排之，第一层爲一，第二层爲三，第三层爲六，第四层爲十，第五层爲十五，爲每次按位相加之数。如以位数加二与末数相乘，取其三分之一，即得总数【见算法原本二卷第三十四节】今以每边加一与每边之数相乘，折半即得底面积。再以位数加二爲高，与底面积相乘成平行面之三棱体，是爲三角尖体之三倍，故以三除之而得也。然必以位数加二爲高者，葢以三三角尖体相凑，乃成上下相等之平行面体，其高必比原有之位数多二层【两相角面相合比原位数多一行，今三三角体相合，故必比原位数多二面也】又以一平行面三棱体分爲三三角尖体，其二面爲两体所同用，今以位数加二爲高与底数相乘，所以增其二面之分也。又法，以每边五加一得六，与每边五相乘得三十，爲倍底积。再以位数加二得七，与倍底积三十相乘得二百一十六，归之亦得三十五，爲三角尖堆之积也。此法与前法同，葢以每边加一与每边之数相乘，则得底面积之二倍。前法以位数加二与底数相乘，既爲三角尖堆积之三倍。此法以位数加二与倍底积相乘，即爲三角尖堆积之六倍矣，故以六归之得积也。又法，以每边五自乘，再乘，得一百二十五，爲第一数。再以每边五自乘，得二十五，爲第二数。又以每边五加一得六，与每边五相乘，得三十，倍之得六十，爲第三数。三数相加，共得二百一十六，归之得三十五，即三角尖堆之积也。此法与第二法同，葢以每边自乘再乘爲第一数，是未以每边加一相乘，亦未以位数加二再乘也。因未以每边加一相乘，则其所成之正方形必比前所得之长少一层之数，故又以每边自乘爲第二数也。因未以位数加二再乘，则其高必比前所得之高少二层之数，故又以每边加一与每边相乘【即如前之倍底积】又倍之爲第三数也。三数相加，始爲三角尖堆积之六倍，故以六归之而得积也。

设如三角尖堆积一百二十，求每边几何？法以三角尖堆积一百二十六，因之得七百二十，爲长方体积。以一爲长与阔之较，以二爲高与阔之较，用带两纵不同较数开立方法算之，得阔八，即三角尖堆之每一边也。此法即三角尖堆有边求积之法而转用之。葢有边求积，则以每边加一与每边相乘，又以每边加二再乘，得长方体积爲三角尖堆积之六倍。是长比阔多一，高比阔多二。今以三角尖堆积六因之得长方体积，故用带两纵不同较数开立方法算之，得阔爲每边之数也。设如四角尖堆，每边五，求积几何？法以每边五加半得五个半，与每边五相乘得二十七个半，又以每边五加一得六，与二十七个半相乘得一百六十五，三归之得五十五，即四角尖堆之积数也。如图甲乙丙丁四角尖堆，底面爲正方，傍四面皆一面三角尖堆，累积成方底四角尖体形，其每边之数即位数也。试按位作防排之，第一层爲一，第二层爲四，第三层爲九，第四层爲十六，第五层爲二十五，爲每次按位自乘相加之数。如以每边加半与每边相乘，复以位数加一乘之，取其三分之一，即得总数【见算法原本二卷第三十五节】今以每边加半与每边相乘，是得长方面积，复以位数加一爲高乘之，是得长方体积，爲四角尖体之三倍，故以三除之即得也。然以边数加半爲长，以位数加一爲高者，葢以三四角尖体相凑，乃成上下相等之长方体，其底必比正方面多半行，其高必比原有之位数多一层【三角体以边数加一与边数相乘，四角体以边数加半与边数相乘；三角体以位数加二爲高，四角体以位数加一爲高。总以四角体比三角体底式大一倍，故三角体爲长方体六分之一，四角体爲长方体三分之一。三角体加数几何，而此四角体皆用其半也】又以一长方体分爲三四角尖体，其三面爲两体所同用，而少一行之数。试以甲乙丙丁四角尖体作爲戊己庚辛阳马尖体形，爲长方体三分之一，所余爲三分之二，其戊己庚、戊庚辛两面爲两体所同用，而戊庚一行又爲两面所同用，是此两面爲两体所同用，而少一行之数也。又以其所余三分之二平分之，必有一面爲两体所同用，是以长方体分爲三四角尖体，有三面爲两体所同用，而少一行之数也。今以每边加半与每边之数相乘，又以位数加一乘之，所以增其三面少一行之分也【葢其高既比原位数多一则其傍面一层宜爲一面三角尖堆之倍数，而其傍面只比毎边多半，是傍面只爲一面三角尖堆之数也。又其高旣比原位多一则其上面一层爲毎边自乘之数，即爲一面三角尖堆之倍数，而少一行共之爲三面少一行之数也】又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数，再以每边五自乘得二十五爲第二数，又以每边五加一得六与每边五相乘得三十，折半得十五爲第三数，三数相加共得一百六十五，三归之得五十五，即四角尖堆之积也。

此法与第一法同，葢以每边自乘再乘爲第一数，是未以每边加半与每边相乘，亦未以位数加一再乘也。因未以位数加一再乘，则其上层即少一每边自乘之数，故以每边自乘爲第二数也。因未以每边加半相乘，则其傍面即少一面三角尖堆之数，故以每边加一与每边相乘折半爲第三数也。三数相加始爲四角尖堆积之三倍，故以三归之而得积也。又法以每边五加一得六，与每边五相乘得三十。又以每边五加二得七，乘之得二百一十三，归之得七十，爲三角尖堆之倍积。又以每边五求得一面三角尖堆积十五，与倍三角尖堆积七十相减，亦得五十五，爲四角尖堆之积也。如图，甲乙丙丁四角尖堆爲戊己庚辛三角尖堆积之一倍而少一面之数。葢四角尖堆底面积爲三角尖堆底面积之一倍而少一行，故四角尖堆体积爲三角尖堆体积之一倍而少一面。是以求得倍三角尖堆积内减一面三角尖堆积，即得四角尖堆积也。又法，以每边五用堑堵堆求积法，求得堑堵堆积七十五。又以每边五用三角尖堆求积法，求得三角尖堆积三十五。两数相加得一百一十，折半得五十五，即四角尖堆之积也。如图，甲乙丙丁四角尖堆，先以乙丙一边求得戊己庚辛壬堑堵堆积。四角尖体爲堑堵体三分之二，三角尖体爲堑堵体三分之一。故又求得癸子丑寅三角尖堆积，与堑堵堆积相加，即与二方底四角尖堆之积等，故折半而得四角尖堆之积也。设如四角尖堆积二百零四，求每边几何？法以四角尖堆积二百零四三，因之得六百一十二爲长方体积。以半爲长与阔之较，以一爲高与阔之较。用带两纵不同较数开立方法算之，得阔八，即四角尖堆之每一边也。此法即四角尖堆有边求积之法而转用之。葢四角尖堆有边求积，则以每边加半与毎边相乘，又以毎边加一再乘，得长方体积爲四角尖堆积之三倍。是长比阔多半，高比阔多一。今以四角尖堆积三因之得长方体积，故用带两纵不同较数开立方法算之，得阔爲每边之数也。设如长方堆，底长九，阔七，上一行收顶，求积几何？法以底阔七爲方堆之底，用四角尖堆有边求积法，求得四角尖堆积一百四十。又以底阔七与长九相减，余二爲两一面三角尖堆，即以底阔七用一面三角尖堆有边求积法，求得一面三角尖堆积二十八，二因之得五十六，爲两一面三角尖堆积，与前所得四角尖堆积一百四十相加，得一百九十六，即长方堆之积也。如图甲乙丙丁戊长方堆，丙丁长比乙丙阔多庚丁二，试自己至庚截去二面，则成甲乙丙庚一四角尖堆形，己庚丁戊两一面三角尖堆形。其乙丙阔与丙庚等，即四角尖堆之毎一边，亦即一面三角尖堆之毎一边，故以一边求得四角尖堆积，又求得两一面三角尖堆积，相加即得长方堆之积也。

又法以阔七与长九相减，余二折半得一，又加半得一个半，与长九相加得十个半，与底阔七相乘得七十三个半，又以底阔七【即层数】加一得八，再乘得五百八十八，三归之得一百九十六，即长方堆之积也。此法与前法之理同，如甲乙丙丁戊长方堆既分爲一四角尖堆，两一面三角尖堆，其甲乙丙庚四角尖堆固当以丙庚加半与乙丙相乘，以甲乙加一再乘得一长方体形，爲一四角尖堆之三倍。其己庚丁戊两一面三角尖堆当以庚丁与乙丙相乘，以戊丁【同甲乙】加一再乘得二长方面形，爲两一面三角尖堆之二倍。因一爲三倍，一爲二倍，其倍数不同，故又以庚丁折半与庚丁相加，即增其一长方面之分，得三长方面形，亦爲两一面三角尖堆之三倍，故以三归之得一四角尖堆，两一面三角尖堆合之，与甲乙丙丁戊一长方堆之积相等也。又法，以底阔七与长九相减，余二，再加一得三，爲顶上之长。乃以底长九倍之得十八，加顶长三得二十一，与底阔七相乘得一百四十七。再以高数七加一得八，再乘【阔数即高数也】得一千一百七十六。六归之得一百九十六，即长方堆之积也。此法与第二法同，葢前法以长阔相减折半加半与长相加，此法以长阔相减不折半加一与倍长相加，则其长比前法多一倍，阔与高皆与前数同，而体积亦必比前数大一倍，故前法用三归，此法用六归也。设如长方堆积二百七十六，长比阔多二，求每边几何？法以长方堆积二百七十六，三因之得八百二十八，爲长方体积。以长比阔多二，折半又加半，得一个半，与二相加，得三个半，爲长与阔之较。以一爲高与阔之较，用带两纵不同较数开立方法算之，得阔八，爲底阔。加长比阔多二，得十，爲长也。此法即长方堆有边求积之法而转用之。葢长方堆有边求积，则以原长阔之较折半又加半，与原长相加，乃与阔相乘，又以阔加一再乘，得长方体积，爲长方堆之三倍。是长比阔多原长阔之较又多半，较仍多半，高比阔多一。今以长方堆积三因之得长方体积，故用带两纵不同较数开立方法算之，得阔爲底边之阔，加长阔之较得数爲长也。设如三角半堆，底边八，上边五，求积几何？法以底边八用三角尖堆有边求积法求得三角尖堆全积一百二十。又以上边五减一得四，爲上虚三角尖堆之每边，亦用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十。与先所得三角尖堆全积一百二十相减，余一百，即三角半堆之积也。如图甲乙丙丁戊己三角半堆，若于其上加一小三角尖堆，则成一大三角尖堆形。其上所加之小三角尖堆之每边比三角半堆之上边少一，故先求得大三角尖堆全积，又求得上虚小三角尖堆积，相减即得三角半堆之积也。

又法，以底边八加一得九，与底边八相乘得七十二，爲第一数。又以上边五与底边八相并得十三，以上边五加一得六，乘之得七十八，爲第二数。两数相并得一百五十。又以上边五与下边八相减余三，加一得四，爲层数，与两数相加之一百五十相乘得六百，六归之得一百，爲三角半堆之积也。此法与等边三角尖堆求积之法同。葢等边三角尖堆，其上尖一即上边，其每边之数即底边，亦即层数。其法以每边加一与每边相乘，又以每边加二再乘，得长方体积，爲三角尖堆积之六倍，分之则得长比高阔多一之一长方体形，又得长比阔多一之二长方面形【即上多二层】若依此法，以底边加一与底边相乘，即长比阔多一之长方体之一面数也。以上边一与下边相加，又以上边一加一得二，乘之则得长比阔多一之二长方面之两行数也。此两数相并，以层数乘之，则亦得长比高阔多一之一长方体形，又得长比阔多一之二长方面形，共成一长方体形，爲三角尖堆之六倍矣。设如三角半堆积一百，上边五，求底边几何？法以上边五减一，余四，爲上虚小三角尖堆之底。用三角尖堆有边求积法，求得上虚三角尖堆积二十，与半堆积一百相加，得一百二十，爲等边三角尖堆全积。用三角尖堆有积求边法，求得每边八，即三角半堆之底边也。如有底边求上边者，则以底边求得三角尖堆全积，与半堆积相减，余爲上虚三角尖堆积。求得上虚小三角尖堆之毎边，加一，即上边也。设如四角半堆，底边十二，上边五，求积几何？法以底边十二，用四角尖堆有边求积法，求得四角尖堆全积六百五十。又以上边五减一得四，爲上虚四角尖堆之每边，亦用四角尖堆有边求积法，求得上虚四角尖堆积三十。与先所得四角尖堆全积六百五十相减，余六百二十，即四角半堆之积也。如图甲乙丙丁戊己庚四角半堆，若于其上加一小四角尖堆，则成一大四角尖堆形。其上所加之小四角尖堆之每边，比四角半堆之上边少一，故求得大四角尖堆全积，又求得上虚小四角尖堆积相减，即得四角半堆之积也。又法以上边五自乘得二十五爲第一数，以底边十二自乘得一百四十四爲第二数，以上边五与底边十二相乘得六十爲第三数，又以上边五与底边十二相减余七，折半得三个半爲第四数。四数相并得二百三十二个半。又以上下边相减所余之七加一得八爲层数，与四数相并之二百三十二个半相乘得一千八百六十三，归之得六百二十，即四角半堆之积也。此法与等边四角尖堆求积之法同，葢等边四角尖堆其上尖一即上边，其每边之数即底边，亦即层数。其法以每边加半与每边相乘，又以每边加一再乘得长方体积，爲四角尖堆积之三倍，分之则得每边自乘再乘之一正方体形，每边自乘之一正方面形，又得长比阔多一之半层长方面形。

若以底边自乘，即正方体之一面数也。以上边一与底边相乘，则得每边自乘正方面之一行数也。以上边一自乘，又以上边一与底边相减折半，此两数相并，即得长比阔多一之半层长方面之一行数也。四数相并，再以层数乘之，则亦得一正方体形，一正方面形，又得长比阔多一之半层长方面形，共成一长方体形，爲四角尖堆之六倍矣。又此法与上下不等正方体之法异者，在多上下边相减折半之一数，因堆垜之傍面有余分故也。设如四角半堆积六百二十，上边五，求底边几何？法以上边五减一，余四，爲上虚小四角尖堆之底。用四角尖堆有边求积法，求得上虚四角尖堆积三十，与半堆积六百二十相加，得六百五十，爲等边四角尖堆全积。用四角尖堆有积求边法，求得每边十二，即四角半堆之底边也。如有底边求上边者，则以底边求得四角尖堆全积，与半堆积相减，余爲上虚四角尖堆积。求得上虚小四角尖堆之每边，加一，即上边也。设如长方半堆，底长十二，阔十，上长八，阔六，求积几何？法以底长十二阔十，用长方堆求积法，求得长方堆全积四百九十五。又以上长八阔六，各减一，得长七阔五，爲上虚长方堆之长阔。亦用长方堆求积法，求得上虚长方堆积八十五。与先所得长方堆全积相减，余四百一十，即长方半堆之积也。如图甲乙丙丁戊己庚，长方半堆。若于其上加一小长方堆，则成上一行收顶之长方堆形。其上所加之小长方堆之每边，比长方半堆之上边少一。故先求得长方堆全积，又求得上虚小长方堆积，相减即得长方半堆之积也。又法，以上长八与上阔六相乘，得四十八，爲第一数。以底长十二与底阔十相乘，得一百二十，爲第二数。以上长八与底阔十相乘，得八十。以上阔六与底长十二相乘，得七十二。两数相并，折半，得七十六，爲第三数。又以上下长相减，余四，折半，得二，爲第四数。以此四数相加，得二百四十六。又以上长与底长相减，所余之四加一，得五，爲层数，与四数相加之二百四十六相乘，得一千二百三十三。归之，得四百一十，即长方半堆之积也。此法与四角半堆求积之法同。葢四角半堆长阔皆相等，此则有长阔之不同。故四角半堆以上边自乘爲第一数者，此则以上长阔相乘爲第一数。四角半堆以下边自乘爲第二数者，此则以下长阔相乘爲第二数。四角半堆以上下相乘爲第三数者，此则以上长与下阔相乘，上阔与下长相乘，相并折半爲第三数。四角半堆以上下相减折半爲第四数者，此则以上下长相减折半爲第四数【如以上下阔相减折半亦同】其理皆相通也。又法，以上长八倍之，得十六，加下长十二，得二十八。

以上阔六乘之，得一百六十八。又以下长十二倍之，得二十四，加上长八，得三十二。以下阔十乘之，得三百二十。又以下长十二与上长八相减，余四，三数相加，得四百九十二。又以上下长相减所余之四加一，得五，爲层数，与三数相加之四百九十二相乘，得二千四百六十六，归之得四百一十，即长方半堆之积也。此法与第二法同，葢此法用数比前法大一倍，故前法用三归，此法用六归也。又此法与上下不等长方体之法异者，在多上下长相减之一数，因堆垜之傍面有余分故也。又法，以底阔十与长十二相乘，得一百二十。又以长十二、阔十各减一，得长十一、阔九，相乘得九十九。又以长十一、阔九各减一，得长十、阔八，相乘得八十。又以长十、阔八各减一，得长九、阔七，相乘得六十三。再以长九、阔七各减一，得长八、阔六【即上长阔】相乘得四十八。以此五数相加，共得四百一十，即长方半堆之积也。此法将每层长阔相乘，得每层之积，故总加之即五层之共积也。法虽层累相加，实爲显而易见。凡堆垜诸法，皆可以此法御之。若层数太多者，用本法爲简易也。设如长方半堆积四百一十，上长八，阔六，求底长阔各防何？法以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚小长方堆之长阔，用长方堆有边求积法求得上虚小长方堆积八十五与半堆积四百一十相加得四百九十五爲长方堆全积，用长方堆有积求边法求得阔十长十二，即长方半堆之底边数也。如有底边长阔求上边长阔者，则以底边求得长方堆全积与半堆积相减，余爲上虚小长方堆积，求得上虚小长方堆之长阔两边各加一，即长方半堆上边长阔之数也。

御制数理精蕴下编卷三十<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书