御制数理精蕴下编卷十四
御制数理精蕴下编卷十四
面部四三角形三角形凡三角形立于圆界之一半者，为直角；即勾股过圆界之一半者，为鋭角；不及圆界之一半者，为钝角。然不拘鋭角钝角，自一角至底边作垂线，即分为两直角，是仍不离乎勾股也。两腰等者，垂线即当底之一半；而两腰不等者，所分底界则有大小不同，故和较相比之法因之而生。葢和求较，较求和，要必归于勾股相求之理由。勾股而得垂线，则凡面积及内容方圆等形，皆无不可得。至于三角形角度相求之法，乃割圆八线，实所以极三角之用。即如《周髀》所谓「仰矩知髙，俯矩知深」是也。故另为一卷，兹但取三角形之面线相求诸法，悉具图觧，以次勾股，使与勾股相表里焉。设如，有等边三角形，每邉十尺，求中垂线几何。法以底邉十尺折半，得五尺为勾，任以两腰之一邉十尺为▯，勾▯求股，得八尺六寸六分零二毫有余，即为中垂线也。如图，甲乙丙三角形，其甲乙、甲丙两腰相等，则其底边之乙丙两角度亦必相等【见几何原夲二卷第九节】今所求之垂线为甲丁，即将甲乙丙三角形平分为两直角三角形，而甲丁乙、甲丁丙皆为直角，其度又等，故所分之两直角三角形为同式形，而甲丁垂线又为两三角形所共用之邉线，则所分之底边之乙丁、丁丙焉得不等？故将乙丙底边折半为勾，任以甲乙、甲丙两邉之一边为▯，求得股为中垂线也。又法以底边十尺折半得五尺，自乗得二十五尺，三因之得七十五尺，开方得八尺六寸六分零二毫有余，即为中垂线也。葢▯比勾大一倍，则▯之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍，为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节】依勾▯求股之法，于▯自乗方积之四倍内减勾自乗方积之一倍，余三倍即为股自乗之方积。是中垂线之自乗方积为勾自乗方积之三倍，故将底边折半，自乗三因之，即与中垂线自乗之方积等，而开方得中垂线也。设如有鋭角三角形，大腰一百二十二尺，小腰一百一十二尺，底一百五十尺，求中垂线几何？法以底一百五十尺为一率，大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率，以大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相减余十尺为三率，求得四率十五尺六寸为底边之较，与底一百五十尺相减余一百三十四尺四寸，折半得六十七尺二寸为勾，以小腰一百一十二尺为▯求得股八十九尺六寸为中垂线也。如图甲乙丙三角形，甲乙为大腰，甲丙为小腰，乙丙为底，甲丁为所求中垂线。试以甲为心，丙为界，作一圜，截甲乙大腰于庚，截乙丙底于戊。又将甲乙大腰引长至己，作甲己线与甲丙小腰相等，则己乙为两腰之和，庚乙为两腰之较【葢甲庚与甲丙等，故庚乙为两腰之较】乙丙为底边之和，乙戊为底邉之较【葢丁丙与丁戊等，故乙戊为底邉之较】今以乙丙底邉之和与乙己两腰之和为比，即同于乙庚两腰之较与乙戊底边之较为比，为转比例之四率【几何原夲九卷第八节，自圜外一点至圜内所作之两线，此两全线之比例同于圜外两叚转相比之比例】故乙丙为一率，乙己为二率，乙庚为三率，求得四率为乙戊。
既得乙戊，则于乙丙底边内减去乙戊，余戊丙，折半得丁丙为勾，甲丙为▯求为股为甲丁中垂线也。又法以大腰一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺，又以小腰一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺，两自乘数相减，余二千三百四十尺，以底边一百五十尺除之，得十五尺六寸为底边之较，与底边一百五十尺相减，余一百三十四尺四寸，折半得六十七尺二寸为勾，以小腰一百一十二尺为▯求得股八十九尺六寸为中垂线也。如图甲乙丙三角形，试自甲角作甲丁垂线，则分为甲丁乙、甲丁丙两勾股形，甲乙、甲丙皆为▯乙丁、丁丙皆为勾，共以甲丁为股，乙丙为两勾之和，乙戊为两勾之较。今以甲乙▯自乘，则成甲戊己乙一正方形，内丁庚辛乙为乙丁勾自乘之一正方形，于甲戊己乙正方形内减去丁庚辛乙正方形，所余甲戊己辛庚丁磬折形积，即与甲丁股自乘之一正方形等。又以甲丙▯自乘，则成甲壬癸丙一正方形，内丁子丑丙为丁丙勾自乘之一正方形，于甲壬癸丙正方形内减去丁子丑丙正方形，所余甲壬癸丑子丁磬折形积，亦与甲丁股自乘之一正方形等。是则前图之甲戊己辛庚丁磬折形与后图之甲壬癸丑子丁磬折形相等矣。若两自乘之数相减，则如甲戊己乙正方形内减去与甲壬癸丑子丁磬折形相等之甲戊己辛庚丁磬折形，又减去丁子丑丙一小正方形，所余为子庚辛乙丙丑一小磬折形，引而长之成一长方形，其长即乙丁与丁丙之和，其濶即乙丁与丁丙之较，故以乙丁与丁丙之和除子庚辛乙丙丑磬折形之积，而得乙丁与丁丙之较也。又图甲乙丙三角形作甲丁垂线，分为两勾股形，共以甲丁垂线为股，故甲乙▯自乘方内有甲丁股自乘一方，乙丁勾自乘一方，而甲丙▯自乘方内有甲丁股自乘一方，丁丙勾自乘一方。今两勾股形之股既同，则两▯方相减所余之数，即两勾方相减所余之数。故甲丁乙勾股形之甲乙▯自乘方内减甲丁丙勾股形之甲丙▯自乘方，所余庚辛乙寅丑子磬折形，即与甲丁乙勾股形之丁乙勾自乘方内减甲丁丙勾股形之丁丙勾自乘方，所余乙卯辰己申未磬折形相等。若将乙卯辰己申未磬折形引而长之，遂成乙壬酉未长方形，其长即乙丁、丁丙两勾之和，其阔即乙丁、丁丙两勾之较，其积即乙丁、丁丙两勾方相减之余，亦即甲乙、甲丙两▯方相减之余。是以两▯自乘相减之余积，以两勾之和除之，而得两勾之较也。设如，有鋭角三角形，大腰十七尺，小腰十尺，底二十一尺，求中垂线几何？法以底二十一尺为一率，以大腰十七尺与小腰十尺相加得二十七尺为二率，以大腰十七尺与小腰十尺相减，余七尺为三率，求得四率九尺为底边之较，与底二十一尺相减，余十二尺，折半得六尺为勾，以小腰十尺为▯求得股八尺为中垂线也。
如图甲乙丙三角形，甲乙为大腰，甲丙为小腰，乙丙为底，甲丁为所求中垂线。试以甲为心，丙为界，作一圜，截甲乙大腰于庚，截乙丙底边于戊。又将甲乙大腰引长至己，作甲己线与甲丙小腰等，则己乙为两腰之和，庚乙为两腰之较，乙丙为底边之和，乙戊为底邉之较。其乙丙与乙己之比，即同于庚乙与乙戊之比，为转比例四率也。又法，以大腰十七尺自乘，得二百八十九尺。又以小腰十尺自乘，得一百尺。两自乘数相减，余一百八十九尺。以底二十一尺除之，得九尺，为底边之较。与底二十一尺相减，余十二尺。折半得六尺，为勾。以小腰十尺为▯，求得股八尺，为中垂线也。图解同前。设如有斜立鋭角三角形，大腰二十一尺，小腰十七尺，底十尺，求形外垂线几何？法以底十尺为一率，大腰二十一尺与小腰十七尺相减，余四尺为二率，大腰二十一尺与小腰十七尺相加，得三十八尺为三率，求得四率十五尺二寸为底，与形外垂线两边连底之总内减去底十尺，余五尺二寸，折半得二尺六寸为勾，以小腰十七尺为▯求得股十六尺八尺为形外垂线也。如图甲乙丙三角形，甲乙为大腰，甲丙为小腰，乙丙为底，甲丁为所求形外垂线。试以甲为心，丙为界，作一圜，截甲乙大腰于庚，又将甲乙大腰引长至己，作甲己线与甲丙小腰相等，复将乙丙底引长至戊，作乙戊线，则成甲乙戊三角形。其乙丙为底邉之较，乙戊为底边之和，乙庚为两腰之较，乙己为两腰之和。自圜外至圜内所作两线之比例，既同于圜外两叚转相比之比例，则圜外两叚之比例亦必同于两全线转相比之比例。故乙丙与乙庚之比，即同于乙己与乙戊之比，为比例四率。既得乙戊，则减乙丙，余丙戊，折半得丙丁为勾，甲丙为▯求得股即甲丁垂线也。又法，以大腰二十一尺自乘，得四百四十一尺。又以小腰十七尺自乘，得二百八十九尺。两自乘数相减，余一百五十二尺。以底十尺除之，得十五尺二寸，为底与形外垂线两边连底之总。内减底十尺，余五尺二寸。折半得二尺六寸，为勾。以小腰十七尺为▯，求得股十六尺八寸，为形外垂线也。如图，甲乙丙三角形，将乙丙底引长至戊，自甲作垂线至丁，则丁戊与丁丙等。又自甲至戊作甲戊线，与甲丙小腰等，则成甲丁乙、甲丁戊两勾股形。甲乙、甲戊皆为▯，乙丁、丁戊皆为勾，共以甲丁为股，而乙丙为两勾之较，乙戊为两勾之和。前法以和求较，此法以较求和，其理一也。图解并同前。设如，有鋭角三角形，两腰俱五尺，底六尺，求面积几何？法先以底六尺，折半得三尺为勾，任以两腰之一边五尺为▯求得股四尺为中垂线，与底六尺相乘得二十四尺，折半得一十二尺为三角面积也。
如图甲乙丙三角形，以乙丙底边与甲丁中垂线相乘，成戊乙丙己长方形积，比三角形积正大一倍，故折半得三角积也。设如，有钝角三角形，大腰十七尺，小腰十尺，底二十一尺，求面积几何？法先用求中垂线法求得中垂线八尺，与底二十一尺相乘，得一百六十八尺，折半得八十四尺，为三角面积也。如图甲乙丙三角形，先求甲丁垂线，既得甲丁垂线，乃与乙丙底边相乘，成戊乙丙己长方形，比三角形积正大一倍，故折半得三角积也。又法，以甲乙边十七尺，乙丙边二十一尺，甲丙边十尺，三数相加得四十八尺，为三边之总，折半得二十四尺，为半总。以甲乙边十七尺与半总二十四尺相减，余七尺，为甲乙边与半总之较。以乙丙边二十一尺与半总二十四尺相减，余三尺，为乙丙边与半总之较。以甲丙边十尺与半总二十四尺相减，余十四尺，为甲丙边与半总之较。乃以半总二十四尺为一率，甲丙边与半总之较十四尺为二率，乙丙边与半总之较三尺与甲乙边与半总之较七尺相乘得二十一尺为三率，求得四率十二尺二十五寸，开方得三尺五寸，为三角形自中心至三边之垂线。与三边之总四十八尺相乘得一百六十八尺，折半得八十四尺，即三角形之面积。或以所得垂线三尺五寸与半总二十四尺相乘，亦得八十四尺，为三角形之面积也。此法葢一率二率以线与线为比，三率四率以面与面为比也。如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线，又自中心丁至三角各作一分角线，即成六直角三角形，俱两两相等【丁巳丙与丁庚丙等，丁巳乙与丁戊乙等，丁戊甲与丁庚甲等】又按甲戊度引乙丙线至辛，则乙辛为三边之半总，即三较之和【乙巳与乙戊等，即甲丙边与半总之较，巳丙与丙庚等，即甲乙边与半总之较，丙辛与甲戊甲庚等，即乙丙边与半总之较】试自辛作直角，将乙丁线引长作一乙辛壬直角形，则壬辛与丁巳平行，乙辛壬形与乙巳丁形遂为同式形。其乙辛与乙巳之比，即同于壬辛与丁巳之比。然乙辛一率，乙巳二率之数虽有，而壬辛之数却无。又但知巳丙与丙辛相乘之数，即丁巳与壬辛相乘之数，故以巳丙与丙辛相乘之数为三率【何以知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数？试作壬丙线，壬癸线使丙癸与丙辛等，癸角辛角皆为直角。癸丙辛角与辛壬癸角相合，共成一百八十度。然庚丙巳角为癸丙辛角之外角，相合亦共成一百八十度。是庚丙巳角与辛壬癸角等，庚丁巳角与癸丙辛角等。是以壬癸丙辛形与丙庚丁巳形为同式形，而丙辛壬勾股形与丁己丙勾股形亦为同式形，可互相比例矣。以丁己作一率，巳丙作二率，丙辛作三率，即得四率壬辛。
是以巳丙二率与丙辛三率相乘之数，即与丁巳一率与壬辛四率相乘之数等，故直以己丙丙辛相乘之数作三率也】其所得四率即丁己自乘之数，是故乙辛与乙巳之比同于丁己与壬辛相乘之面【即己丙与丙辛相乘之面】与丁己自乘之面之比也。既得丁己自乘之面，故开方而得丁巳为三角形自中心至三边之垂线，与丁戊丁庚俱相等，又即三角形容圜之半径也。既得自中心至三边之垂线，则用垂线与三边之总相乘所得一长方积【即如用垂线与三边各相乘所得三长方积合为一长方】比三角形积大一倍，故折半而得三角形之面积。如以垂线与半总相乘，即与三角形积等，而不用折半矣。设如，有鋭角三角形，大腰三十七尺，小腰十五尺，底四十四尺，求内容正方边几何？
法先用求中垂线法求得中垂线十二尺与底边四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率底边四十四尺为三率推得四率九尺四寸二分八厘五毫有余即三角形内所容正方之一边也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所得中垂线戊己庚辛为今所求内容正方形试依甲丁中垂线度将乙丙线引长作乙癸线为五十六尺又与甲丙线平行作壬癸线又将甲乙线引长作壬乙线则成与甲乙丙同式之壬乙癸三角形复与底线平行作甲子线与丙癸等即与甲丁垂线等又与甲丁平行作子丑线与甲丁等则甲丁垂线所作甲丁丑子正方形即为壬乙癸三角形内所容之正方形矣故壬乙癸三角形之乙癸底与甲丁方边之比即同于甲乙丙三角形之乙丙底与戊巳方边之比故中垂线与底边相加为一率中垂线为二率底邉为三率推得四率为内容正方之一边也设如等边三角形，每边一尺二寸，求内容圜径几何？法先用求中垂线法，求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余，以三归之，得三寸四分六厘四毫有余，即内容圜形半径，倍之得六寸九分二厘八毫有余，即内容圜形全径也。如图甲乙丙三角形，内容丁圜形，先求得甲戊中垂线，又自丙角至甲乙线界作丙巳垂线，与甲戊中垂线相交于丁，即三角形之中心，亦即内容圜形之中心，故丁戊与丁己即内容圜形之半径。又甲戊乙、甲巳丁两勾股形为同式形，甲乙为乙戊之二倍，则甲丁亦必为丁巳或丁戊之二倍，丁戊既为内容圜形之半径，则甲丁即为内容圜形之全径，而甲戊中垂线必为丁戊半径之三倍矣。故求得甲戊中垂线，以三归之，得丁戊即内容圜形之半径，倍之得庚戊，即内容圜形之全径也。设如等边三角形，每边一尺二寸，求外切圜径几何？法先用求中垂线法，求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余，三归四因，得一尺三寸八分五厘六毫有余，即外切圜形全径也。如图，甲乙丙三角形外切丁圜形，先求得甲戊中垂线，又自丙角至甲乙线界作丙己垂线，与甲戊中垂线相交于丁，即三角形之中心，亦即外切圜形之中心。故甲丁与丙丁即外切圜形之半径。又甲戊、乙甲巳丁两勾股形为同式形，甲乙为乙戊之二倍，则甲丁亦必为丁己或丁戊之二倍。甲丁既为外切圜形之半径，则为甲戊中垂线之三分之二，而甲戊中垂线却为甲庚全径之四分之三矣。故求得甲戊中垂线，三归四因，得甲庚即外切圜形之全径也。又法，以每边一尺二寸自乘，三归四因，开方得一尺三寸八分五厘六毫有余，即外切圜形全径也。如图，甲乙丙三角形外切甲乙丁丙圜形，试自甲角作甲戊中垂线，又引长作甲丁全径线，复自丁至乙作丁乙线，遂成甲乙丁、甲戊乙两勾股形，为同式形。
甲乙既为乙戊之二倍，则甲丁亦必为乙丁之二倍。故甲丁自乘方积比乙丁自乘方积大四倍。若依勾▯求股之法言之，则甲丁▯自乘方积内减乙丁勾自乘方积，所余为甲乙股自乘之方积。今甲丁▯自乘方积既为乙丁勾自乘方积之四倍，则是甲乙每边自乘方积为甲丁全径自乘方积之四分之三矣。故以一边自乘，三归四因，即与全径自乘之方积等，而开方得外切圜形之全径也。设如，有鋭角三角形，大腰三百三十八尺，小腰三百尺，底四百一十八尺，求内容圜径几何？法先用求中垂线法求得中垂线二百四十尺，与底四百一十八尺相乘，得一十万零三百二十尺。以大腰三百三十八尺，小腰三百尺，底四百一十八尺三数相加，得一千零五十六尺，除之得九十五尺，即内容圜半径，倍之得一百九十尺，即内容圜全径也。如图甲乙丙三角形内容戊圜形，试自圜之中心至甲乙丙三角各作戊甲、戊乙、戊丙三线，遂分甲乙丙三角形为甲戊乙、甲戊丙、乙戊丙三三角形。其三边皆为三角形之底，而戊巳半径皆为三角形之垂线。今乙丙底边与甲丁中垂线相乘所得之长方积，原比甲乙丙三角形积大一倍，即如将所分三三角形各用垂线乘底边所得之三长方积合为一长方也。三长方之长虽不同，而濶则一，故各以长除积而得濶者，即如合三角形之三边除三角形之倍积而得半径也。设如，有鋭角三角形，大腰一百八十三尺，小腰一百六十八尺，底二百二十五尺，求外切圜径几何？法用求中垂线法，求得中垂线一百三十四尺四寸，为一率；小腰一百六十八尺，为二率；大腰一百八十三尺，为三率；推得四率二百二十八尺七寸五分，即外切圜径也。如图，甲乙丙三角形，甲乙为小腰，甲丙为大腰，乙丙为底，甲丁为中垂线。试作切三角一圜，自甲角至圜对界作甲戊全径线，又自丙角至戊作丙戊线，则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半，必为直角，与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等；而戊角与乙角皆对甲丙弧，其度又等，故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形。是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比，而为相当比例四率也。设如，有钝角三角形，大腰十七尺，小腰十尺，底二十一尺，求外切圜径几何？法用求中垂线法，求得中垂线八尺为一率，小腰十尺为二率，大腰十七尺为三率，推得四率二十一尺二寸五分，即外切圜径也。如图，甲乙丙三角形，甲乙为小腰，甲丙为大腰，乙丙为底，甲丁为中垂线。试作切三角一圜，自甲角至圜对界作甲戊全径线，又自丙角至戊作丙戊线，则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半，必为直角，与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等，而戊角与乙角皆对甲丙弧，其度又等，故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形。
是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比，而为相当比例四率也。
御数精蕴下编卷十四<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书