几何论约卷三之首

几何论约卷三之首

柘城杜知耕撰界説十则一界凡圜之径线等，或从心至圜界线等为等圜如甲乙、戊己两径等，或丁丙、辛庚从心至圜界等，即两圜等。二界凡直线切圜界过之而不与界交，为切圜线。甲乙在圜外，为切圜线。若丙丁入圜内，则交线也。

三界凡两圜相切而不相交，为切圜。甲乙两圜相切。

于外丙丁两圜相切于内俱曰切圜戊己庚辛则交圜也四界凡圜内，直线从心下垂线，其垂线大小之度，即直线距心逺近之度。如甲乙距丁心近，则丙丁垂线小；戊己距心逺，则丁庚垂线大。五界凡直线割圜之形为圜分，如丁乙线割圜，其乙甲、丁乙、丙丁皆为圜分。圜分有三等：过心者为半圜分，函心者为圜大分，不函心者为圜小分，又割线为▯圜分为弧。六界凡圜界偕直线作角为圜分角，其在半圜内为半圜角，在大分内，为大分角；在小分内，为小分角。七界凡圜界任于一防出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙防出两直线作甲乙丙角为负甲乙丙圜分角八界若两直线之角乗圜之一分为乗圜分角甲乙。

丙丁圜内于甲防出甲乙甲丁两线作乙甲丁角为乗乙丙丁圜分角、圜角三种之外，又有一种为切边角，或直线切圜，如己庚辛；或两圜相切于外，如辛壬癸；或两圜相切于内，如癸壬子，俱为切边角。九界凡从圜心以两直线作角，偕圜界为三角形，曰分圜形十界两负圜角相等，即所负之圜分相似。甲乙己与丁丙戊两负圜分角等，则所负丙丁戊与乙甲己两圜分相似。又两圜或不等，其负圜分角等，即两圜分相似【相似者，同为几分圜之几也】

钦定四库全书几何论约巻三柘城杜知耕撰一题有圜求心解曰：甲乙丙丁圜，求心，先于圜之两界，任作一甲丙直线，平分于戊，次于戊作乙丁。

垂线平分于己即己为圜心糸因此推显圜内有直线分他线为两平分而为直角，即圜心在其内。

二题圜界任取两防，以直线相聨，则直线全在圜内。

三题直线过圜心，分他直线为两平分，其分处必为两直角，为两直角，必两平分。解曰：甲乙丙丁，圜有丙丁线，过戊心，平分甲乙线于己。题言戊己必是垂线，而己旁。为两直角，又言己旁既为两直角，则戊己必分甲乙为两平分。

四题圜内不过心，两直线相交，不得俱为两平分。解曰：甲乙丙圜内，有甲乙丙丁两直线，俱不过已心，而交于戊。题言两直线或有一线为两平分不得俱为两平分五题两圜相交必不同心六题两圜内相切必不同心七题圜径离心，任取一防，从防至圜界，任出几线。其过心线最大，不过心线最小，余线愈近心者愈大，愈近不过心线者愈小。而诸线中，止两线等。解曰：甲戊辛，圜其径；甲乙，其心。巳离心，任取一防为庚。从庚至圜界，任出几线为庚丙、庚丁、庚戊。题先言，从庚所出诸。线惟过心庚甲最大，次言不过心庚乙最小。三言庚丙大于庚丁，庚丁大于庚戊。愈近心愈大，愈近庚乙愈小。后言庚乙两旁，如庚戊、庚辛，止可出两线等，不得有三线等。

八题圜外任取一防，从防任出几线，其至规内则过心线最大，余线愈离心愈小，其至规外则过心线最小，余线愈近径愈小，而诸线中止两线等。解曰：乙己壬圜之外，从甲防任出几线？其一过心为甲壬，余为甲辛、甲庚、甲己，皆至规内。题先言过。心之甲、壬最大，次言近心之甲、辛。大于离心之甲，庚甲庚，又大于甲。己三言规外之甲乙，为乙壬径余。者最小，四言甲丙近径，余小于甲丁，甲丁又小于甲戊。后言甲乙两旁，止可出两线，如甲丙、甲子相等，不得有三线等。

九题圜内从一防至界作三线，以上皆等，此防必是圜心。论曰：三线皆半径，故等。若非圜心所出，止有两线等，不得有三线等。

十题两圜相交止于两防十一题两圜内相切，作直线聨两心，引出之必至切界。解曰：甲乙丙，甲戊丁两圜内相切于甲，两心为巳，为庚。题言作直线聨庚己两心，引抵圜界必至甲十二题两圜外相切，以直线聨两心，必过切界。

十三题圜相切不论内外止以一防十四题圜内两直线等，即距心之逺近等；距心之逺近等，即两直线等。解曰：「甲乙丙丁，圜其心；戊，圜内。甲乙丁丙两线等。题言两线距心逺近亦等，又言两」。

线距心逺近等则两线亦等十五题径为圜内之大线，其余线近心大于逺心。解曰：甲丙己，圜其心；庚其径；甲己其近心线，为乙戊；逺心线，为丙丁。题言：甲己最大。

乙戊近心大于丙丁逺心十六题圜径末之直角线，全在圜外，而直线偕圜界所作切边角，不得更作一直线入其内。其半圜分角大于各直线鋭角，切边角小于各直线鋭角。解曰：甲乙丙，圜其心。丁甲丙为径。从甲作甲戊，为甲丙之垂线。题言：戊甲全在圜外。又言：戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角。不得更作一直线入其内，若作甲己线，必割圜为分。又言甲丙径线偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角，大于各直线鋭角；而戊甲垂线偕甲乙圜分所作戊甲乙切边角，小于各直线鋭角。论曰：甲戊下有直线，既云必割圜为分，即此直线偕戊甲所作角，必大于切边角，偕丙甲所作角，必小于分圜角。

糸戊甲线必切圜以一防増题有两种几何，一大一小。以小率半増之，逓増至于无穷；以大率半减之，逓减至于无穷。其元大者恒大，元小者恒小。如戊甲乙切边角为小率，壬庚辛直线鋭角为大率。今别作甲丙、甲丁等圜，俱切戊己线于甲，其切边角愈増愈大。别以庚癸、庚子分壬庚。辛角愈分愈小，然直线角恒大，切邉角恒小，乃至终古不得相比。又増题旧有一説，以一小率加一大率之上，或以一大率加一小率之上，不相离逐线渐移之，必至一相等之处。又一説，有率大于此率者，有率小于此率者，则必有率等于此率者。昔人以为皆公论，若用以律本题，即不可得，故今斥为不公论。如甲乙丙圜，其径甲丙，令甲丙之甲界定在于甲，而引丙线逐线渐移之，向己，其所经丁。戊己及中间逐线所经无数，凡割圜时皆为鋭角，即小于半圜分角。才离鋭角便为直角，即大于半圜分角。终无相等线，可见前一旧説未为公论。又直线鋭角皆小于半圜分角，直角与钝角皆大于半圜分角。是有大者，有小者，终无等者，可见后一旧説未为公论。

十七题设一防一圜求从防作切线法曰：甲防求作直线切乙丙圜，其心丁。先从甲作甲丁直线，截圜界于乙。次以丁为心，甲为界，作甲戊圜。次从乙作甲丁之垂线，而遇甲戊圜于戊。次作戊丁线，而截乙丙圜于丙。末作甲丙线，为所求。论曰：甲丙丁与戊丁乙两角形各等。戊乙丁既直角，则甲丙偕丙丁半径亦直角。故甲丙为切线。十八题。直线切圜，从圜心作直线至切界，必为切线之垂线。解曰：甲乙线切丙丁圜于丙，从戊心至切界作戊丙线，题言戊丙为甲乙之垂线。

十九题直线切圜，圜内作切线之垂线，则圜心必在垂线内。

二十题负圜角与分圜角所负所分之圜分同，则分圜角必倍大于负圜角。解曰：甲乙丙，圜其心；丁有乙丁丙分圜角。乙甲丙负圜角，同以乙丙圜分为底，题言。

乙丁丙角倍大于乙甲丙角先论分圜角在乙甲甲丙之内者，曰：从甲作甲戊线，其甲丁乙形之丁甲、丁乙等，即丁甲、乙丁、乙甲两角等【一巻五】而乙丁戊外角与相对两内角并等【一巻三二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣。依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁，则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角。次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者，曰：「丁甲丙形，两腰等，则两角亦等；而乙丁丙外角与甲丙两内角并等，是乙丁」

丙角倍大于乙甲丙角后论分圜角在负圜角之外，而甲乙截丁丙者，曰乙甲丙负圜角，乙丁丙分圜角。自甲作甲戊过心线，依前论推显，戊丁丙分圜角倍。大于戊甲丙负圜角，又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙负圜角，次于戊丁丙角减戊丁乙角，于戊甲丙角减戊甲乙角，所余乙丁丙分圜角，必倍大于乙甲丙负圜角。増若乙丁、丁丙不作角于心，或为半圜，或大于半圜，则心外余地亦倍大于同底之负圜角。论曰：「作甲戊，过心线，即心外余地。」分为乙、丁、戊、戊、丁、丙，依前论推显。此两角倍大于乙甲丁，丁甲丙两角。

二十一题凡同圜分内所作负圜角俱等解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜分丙任作丁甲、丙丁、乙丙两角题言，此两角等。论曰：若函心大分所作，如第一图，则依丁丙作丁戊丙分圜角。此角既倍大于甲角，又倍大于乙角，是甲乙两角自相等。或半圜分所作，如第二圗则依二十题増言心外余地倍大于同底各负圜角，即各角自相等。或不函心小分所作，如第三图，则作戊丙、戊丁两线，再作乙庚、甲己两过心线。丁戊己、己戊丙两角并，既倍大于丁甲丙角；而丁戊庚、庚戊丙两角并，又倍大于丁乙丙角，则甲乙两角必自相等。

二十二题圜内切界四边形，毎相对两角并与两直角等。解曰：甲乙丙丁，圜其心；戊，圜内有。甲乙丙丁四边形，题言甲乙丙丙。丁甲两角，并乙丙丁，丁甲乙两角，并各与两直角等。论曰：试作甲丙、乙丁两对角线，其甲乙、丁甲、丙丁两角同负甲乙丙丁圜分，即等【本卷二一】依显丙甲、丁丙、乙丁两角亦等【以同负丙乙甲丁圜分故】则甲乙、丁丙、乙丁两角并【即一甲乙丙角】与甲丙、丁丙、甲丁两角并等。次毎加一丙丁甲角，即甲乙丙、丙丁甲两角并与甲丙丁、丙甲丁、丙丁甲三角并等。此三角并元与两直角等【一巻三一】则甲乙丙、丙丁甲两角并亦与两直角等。依显乙丙丁、丁甲乙两角并亦与两直角等。二十三题一直线上作两圜分，不得相似而不相等。

二十四题相等两直线上作相似两圜分，必等。

二十五题有圜分求成圜法曰：甲乙丙圜分，求成圜。先作甲丙线，次作乙丁为甲丙之垂线，次作甲乙线。视丁乙甲角，或大或小，或等于丁甲乙角。若等，即丁为圜心。何也？两角等，则对等角之乙丁、丁甲两邉必等。又丁丙元与甲丁等，是从丁出三线至圜界皆等，故丁为圜心。次法曰：「若丁乙甲角大于丁甲乙角，当为圜之小分，即作乙甲戊角与丁乙甲角等，次引。」乙丁线与甲戊线遇于戊，即戊为圜心。论曰：试作戊丙线，成甲丁、戊丙、丁戊相等两角形，而甲戊、戊丙两线必等。又戊乙、甲戊甲乙两角等，而对等角之戊乙、戊甲两线必亦等。今戊甲、戊乙、戊丙三线至界皆等，故戊为圜心。后法曰：「若丁乙甲角小于丁甲乙角，甲乙丙当为圜之大分。即作乙甲戊角与丁乙。」甲角等而甲戊遇丁乙线于戊，即戊为圜心。论曰：试作戊丙线，依前推知甲戊与戊丙等，又与戊乙等，是从戊至界三线皆等，而戊为圜心。増求圜分之心，有一简法，于甲乙丙圜分任取三防，于甲，于乙，于丙，以两线聨之，各平分于丁，于戊，从丁戊各作垂线，相遇于己，即己。

为圜心用法：圜界上任取四防，各为心，相向作界线，两两相交为戊、己、庚、辛，各作直线，交于壬即壬为心二十六题等圜之乗圜分角，或在心，或在界，等其所乗之圜分，亦等。解曰：甲乙丙丁戊己，两圜等，其心。为庚，为辛，有甲、庚、丙、丁、辛、己两乗。圜角等，或甲、乙、丙、丁、戊、己两乗圜角等，题言所乗之甲、丙、丁、己两圜分亦等【乗圜角之在心，即分圜角在界，即负圜角，随类异名】

二十七题等圜之角，所乗圜分等，则其角或在心，或在界，俱等。増题，从此推显：有甲丁、乙丙两直线，不相交而在一圜之内。若甲乙与丁丙两圜分等，则甲丁、乙丙两线必平行。若两线平行，则甲乙丁丙两圜分必等二十八题等圜内，两直线等，所割圜分大与大小与小，各等。

二十九题等圜之圜分等，则其割圜分之直线亦等。

三十题有圜分求两平分之法曰：甲乙丙圜分，求两平分。先于分之两界，作甲丙线。次平分于丁，作乙丁垂线，即分圜分为两平分三十一题负半圜角，必直角；负大分角，小于直角；负小分角，大于直角。大圜分角，大于直角；小圜分角，小于直角。解曰：甲乙丙圜，其心丁，其径甲丙。于半圜分内，任作甲乙丙角形，即甲乙丙角，负甲乙丙半圜分；乙甲丙角，负乙甲丙大分。又任作乙戊丙角，负乙戊丙小分。题先言负半圜之甲乙丙角为直角，二言负大分之乙甲丙角小于直角，三言负小分之乙戊丙角大于直角，四言丙乙庚【谓丙乙直线偕乙庚曲线所作角】大圜分角大于直角，后言丙乙辛【谓丙乙直线偕乙辛曲线所作角】小圜分角小于直角。耕曰：「试作乙壬过心线，其壬丁丙分圜角，倍大于壬乙丙负圜角；甲丁壬分圜角，倍大于甲乙壬负圜角。甲丁壬、壬丁丙两角并与两直角等，则甲乙壬、壬乙丙两角并必为一直角矣【本巻二十】次论曰：「试作甲壬线，成乙甲壬角，与甲乙丙直角等，而乙甲丙为其分，故小于直角。」三论曰：甲乙戊丙四边形在圜内，其乙甲丙、乙戊丙相对两角并等两直角【本卷二二】而乙甲丙小于直角，则乙戊丙必大于直角。四论曰：甲乙丙直角，为丙乙庚大圜分角之分，则丙乙庚角大于直角。后论曰：「试引甲乙线至已，成丙乙巳直角，而丙乙辛角为其分，故小于直角。」一糸凡角形之内一角与两角并等，其一角必直角。甲乙丙角形之甲丙丁外角与相对之甲乙两角等，而甲丙乙内角又与外角等【一巻三二】

非直角而何二糸大分之角大于直角，小分之角小于直角，终无等于直角。

三十二题直线切圜，从切界任作直线割圜为两分，分内各任为负圜角，其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等。解曰：甲乙线切丙丁戊圜于丙，任作丙戊直线割圜为两分，两分内任作丙丁戊丙。己、戊两负圜角，题言甲丙戊角与丙己戊角，乙丙戊角与丙丁戊角，交互相等。先论割圜线过心者，曰：甲丙戊，乙丙戊，两皆直角【一巻十八】而丙己戊，丙丁戊，两负半圜角，亦皆直角【本卷】故交互相等。后论割圜线不过心者曰：「试作丙庚过心线，次作戊庚线，相聨丙戊庚为直角【以负半圜】【故】即戊丙庚、戊庚丙两角并等于一直角，亦等于甲丙庚角。此二率各减同用之戊丙庚角，即所存甲丙戊与戊庚丙等也。而丙己戊与丙庚戊元等【以所负之圜分等故】故甲丙戊与丙己戊交互相等。又丙丁戊巳四边形之丙丁戊、丙己戊两对角并等两直角【本巻二二】而甲丙戊、乙丙戊两交角并亦等两直角【一巻十三】此二率各减一相等之甲丙戊、丙己戊，则所存之乙丙戊、丙丁戊亦交互相等。

三十三题一直线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等。先法曰：设甲乙线，丙角，求线上作圜分而负圜角与丙等。或直，或鋭，或钝。若直角，即平分甲乙于丁，以丁为心，甲为界，作半圜，内作乙戊甲，即直角【本巻三一】次法曰：「若设丙鋭角，先依甲乙线作丁甲乙鋭角，与丙等；次作戊甲为甲。」丁之垂线，次作己乙甲角与己甲乙角等，而乙己线与戊甲线遇于己，即以己为心，甲为界，作甲庚乙圜，圜内依甲乙线作甲庚乙鋭角，即与丙等。论曰：甲戊线过己心，又为丁甲之垂线，丁甲线必切圜于甲【本巻十六之糸】则丁甲乙与甲庚乙两角必交互相等。后法曰：若设辛钝角，依甲乙线作壬甲乙钝角，与辛等，余仿次法作甲癸乙钝角，与辛等。

三十四题设圜求割一分，而负圜分角与所设角等。法曰：设甲乙丙圜，求割一分作负圜角与丁等。先作戊己线切圜于甲，次作己甲乙角与丁等，末依甲乙线作甲丙乙角与丁等。论曰：己甲乙与甲丙乙两角交互相等【本巻三二】三十五题。圜内两直线交，而相分，各两分线矩内形等。解曰：甲丁，乙丙，圜内有甲乙丙丁两线，或俱过心，或一过心，一不过心，或俱不过心。交而相分于戊，题言：甲戊偕戊，乙与丙戊偕戊，丁两矩内形等。若俱过心，其各分四线等，即两矩内形亦等。先论曰：圜内线独丙丁过心者，又有二种。其一，丙丁平分甲乙线于戊。试从心作己乙线，其丙丁线既平分于己，又任分于戊，即丙戊。

偕戊丁矩内形及己戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】又己戊戊乙上两方形并亦与己乙上方形等【一巻四七】是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并与己戊戊乙上两方形并亦等矣次每减一同用之戊己上方形则所存丙戊偕戊丁矩内形不与戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形【以甲戊戊两线等故】　也次论曰：「若丙丁任分甲乙线于戊，即平分甲乙线于庚。次从心作己庚、己乙两线，即己庚为甲乙之垂线。其丙戊偕戊丁矩内形及己」戊上方形并与等，己丁之己乙上方形等【二巻五】己戊上方形与己庚、庚戊上两方形并等【一巻四七】己乙上方形与巳庚、庚乙上两方形并亦等。则丙戊偕戊丁矩内形及己庚、庚戊上两方形并与己庚、庚乙上两方形并等。次毎减同用之己庚上方形，即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不与庚乙上方形等乎？又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦与庚乙上方形等【二巻五】此相等两率毎减同用之庚戊上方形，则所余两矩内形等矣。后论曰：「甲乙丙丁两线，俱不过心。」相交于戊，或一线平分，如上图，或俱任分如下图，皆自戊作庚、辛过心线，依上论推，显甲戊偕戊乙、丙戊偕戊丁两矩内形，皆与庚戊偕戊辛矩内形等，即两矩内形自相等。

三十六题圜外任取一防，从防出两线，一切圜一割圜，其割圜全线偕规外线，矩内形与切圜线上方形等。解曰：甲乙丙圜外，任取丁防，从丁作丁乙线，切圜于乙，作丁甲线，截圜界于丙。题言：甲丁偕丙丁矩内形，与丁乙上方形等。先论丁甲过心者，曰：试作乙戊为乙丁之垂线，其甲丙线平分于戊，又引出一丙丁线，即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形，并与戊丁上方形等【二巻六】又戊丁上方形与戊乙、丁乙上两方形并等【一巻四七】即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形，并与戊乙、丁乙上两方形并等。毎减同用之戊乙上方形，则所存甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等。后论丁甲不过心者，曰：「试平分甲。」丙，于己次，从戊心，作戊己，戊丙，戊。丁戊乙四线，即戊乙为丁乙之垂线，戊己为甲丙之垂线。其甲丙线既平分于己，又引出一丙丁线，即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形，并与己丁上方形等【二巻六】次毎加一戊己上方形，即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上两方形，并与己丁戊己上两方形并等。夫己戊丙己上两方形，并与戊丙上方形等。又戊己己丁上两方形，并与戊丁上方形等。是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并。与戊丁上方形等，又戊丁上方形。与丁乙及等戊乙之戊丙上两方。形并等，每减同用之。戊丙上方形所存，甲丁偕丁丙矩内形与丁乙上方形不亦等乎？一糸若从圜外一防，任作几线，各全线偕规外线。

矩内形俱等论曰：各矩内形，俱与乙丁线上方形等，即各矩内形自相等二糸从圜外丁防作丁甲、丁乙两切圜线，两线必相等。论曰：两线俱与丙丁偕，丁戊矩内形等，即两线自相等。三糸从圜外一防止可作两直线切圜。

三十七题圜外任于一防，出两直线，一至规外，一割圜止。规内而割圜全线，偕割圜之规外线，矩内形与至规外之线上方形等，则止规外之线必切线。解曰：甲乙丙，圜其心。戊从丁，防作丁乙。至规外，遇圜界于乙。又作丁甲，割圜至规内。而截圜界于丙，其丁甲偕丁丙矩内形与丁乙上方形等。题言丁乙必切圜线【同前题反言之】

几何论约巻三<子部,天文算法类,算书之属,几何论约》>钦定四库全书几何论约巻四之首柘城杜知耕撰界説七则一界，此直线形居他直线形内。此直线形为他直线形内切形。二界，此直线形居他直线形外，此直线形为他直线形外切形。三界圜内，直线形以各角切圜界，为圜内切形。四界圜外，直线形以各边切圜界，为圜外切形。五界直线形，内圜圜界切直线形之各边，为形内切圜。六界直线形，外圜圜界切直线形之各角，为形外切圜。七界直线之两端各抵圜为合圜线，如甲乙丙丁两线俱为合圜线，而戊己辛庚两线或至界，或不至界，或俱不至界，皆不得为合圜线。

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