御制数理精蕴下编卷三十七

御制数理精蕴下编卷三十七

末部七难题

难题算术之学，不外于线、面、体，其间比例相求，或借根、借方等法，既已分门别类于前。然设问中有纡廻繁襍之不同者，非审详明辨，则何以得其统绪？兹又探赜钩深，编为难题一卷，俾学者殚思观变，以不迷于入算之方。庶几数理之微，人心之巧，由此引而伸之，触类而长之，将以穷天下之变，亦不难也。设如甲乙丙三人值班，甲三日一次，乙四日一次，丙五日一次，问三人何日同班？法以三日与四日相乘得十二日，再与五日相乘得六十日，即三人同班之日也。此法葢因六十为三、四、五皆可以度尽之数。三与四相乘得十二日，是甲乙同班之日，而不能与丙同班。三与五相乘得十五日，是甲丙同班之日，而不能与乙同班。四与五相乘得二十日，是乙丙同班之日，而不能与甲同班。惟六十日为甲第二十次值班之日，为乙第十五次值班之日，为丙第十二次值班之日，故为三人同班之日也。设如有钱不知总数以三数之余二文，以五数之余三文，以七数之亦余二文，问钱总数几何？法先以三数之率定为七十五，数之率定为二十一，七数之率定为十五。乃以三数之率七十与余二相乘，得一百四十；以五数之率二十一与余三相乘，得六十三；以七数之率十五与余二相乘，得三十三。数相并得二百三十三。又以三五七递乘得一百零五，于二百三十三内减两次，余二十三，即总钱数也。此法以三数之率定为七十者，以其用七数、五数皆尽，惟用三数之余一也。今以余二相乘得一百四十，则是用七数、五数皆尽，惟用三数之余二矣。以五数之率定为二十一者，以其用三数、七数皆尽，惟用五数之余一也。今以余三相乘得六十三，则是用三数、七数皆尽，惟用五数之余三矣。以七数之率定为十五者，以其用三数、五数皆尽，惟用七数之余一也。今以余二相乘得三十，则是用三数、五数皆尽，惟用七数之余二矣。以此三数相并，自为三数余二、五数余三、七数余二之数。又以三五七递乘得一百零五者，此数用三五七皆可数尽，故二百三十三虽为三数余二、五数余三、七数余二之数，然减去一百零五余一百二十八，以三五七数之，其所余之数仍同也。即再减去一百零五余二十三，以三五七数之，其所余之数亦同也。是以问数在一百零五以下，必二十三；如问数在一百零五以上，必一百二十八或二百三十三；如原数更在二百三十三以上，则递加一百零五求之，必有合也。至其作率之法，不过一乘一减。如以三五七命算，则以五七相乘得三十五，以三减之余二，不可为率，以其所余为二，难与他数相乘也。故将三十五倍之得七十，以三减之余一，故七十即为三数之率。

三七相乘得二十一，以五减之余一，故二十一即为五数之率。三五相乘得一十五，以七减之余一，故十五即为七数之率。或以五数、七数、九数命算皆仿此例推之。设如三人治田，一人日耘七亩，一人日耕三亩，一人日种五亩。今令一人自耕、自种、自耘，问一日治田几何？法以七亩、三亩、五亩连乘得一百零五亩为治田总衰数，以每日耘七亩除之得十五日为耘田衰数，以每日耕三亩除之得三十五日为耕田衰数，以每日种五亩除之得二十一日为种田衰数。三数相并得七十一日为一率，一百零五亩为二率，一日为三率，得四率一亩四分七厘有余，即每日自耕自种自耘之数也。此法葢因一日耘七亩，则一百零五亩湏耘十五日；一日耕三亩，则一百零五亩湏耕三十五日；一日种五亩，则一百零五亩湏种二十一日。并之得七十一日，是一人自耕自种自耘治田一百零五亩，即知一日治田一亩四分七厘有余也。设如甲乙二人，甲借乙本银一千二百両，已经还讫，仍欠四月利银。今乙又借甲银八百両，欲与前利银抵兑，问得月数几何？法以今借银八百両为一率，原借银一千二百両为二率，原欠利银四月作一百二十日为三率，得四率一百八十日。以三十日归之，得六月为所求之日数也。葢甲借乙之银数多，故月数少；乙借甲之银数少，故月数多，而其利相等，为转比例四率也。设如原买小布一疋，长一丈八尺，阔一尺三寸，价一钱一分七厘。今买大布一疋，长二丈五尺，阔一尺六寸，问价几何？法以原布长一丈八尺，阔一尺三寸，相乘得二十三尺四十寸，为一率；价一钱一分七厘，为二率。今布长二丈五尺，阔一尺六寸，相乘得四十尺，为三率。求得四率二钱，即今布之价也。凡物惟长不同，或惟阔不同，则各以其长阔为比例。今长阔俱不同，故以其长阔各相乘为面，与面之比例也。设如，有银三百九十六両，令甲、乙、丙、丁四人分之。甲得二分之一，又多十両；乙得五分之三，内少二十両；丙得三分之一，又多八両；丁得四分之一，内少六両。问四人各得银数几何？法先以总银三百九十六両，内减去甲多十両，丙多八両，余三百七十八両，又加乙少二十両，丁少六両，共得四百零四両，为各分之总银数。乃以甲分母二，乙分母五，丙分母三，丁分母四，连乘之得一百二十，为总衰数。于总衰一百二十内，取二分之一得六十，为甲衰；取五分之三得七十二，为乙衰；取三分之一得四十，为丙衰；取四分之一得三十，为丁衰。并之得二百零二衰，为一率。以各分总银数四百零四両为二率，一衰为三率，得四率二両。乃以二両用甲衰六十乘之，得一百二十両，加所多十両，得一百三十両，即甲所分之银数。

用乙衰七十二乘之，得一百四十四両，内减所少二十両，余一百二十四両，即乙所分之银数。用丙衰四十乘之，得八十両，加所多八両，得八十八両，即丙所分之银数。用丁衰三十乘之，得六十両，减所少六両，余五十四両，即丁所分之银数。将四人所分之银并之，得三百九十六両，以合原数也。设如甲乙丙三商货殖二年共得利银八千五百八十両。甲原出本银三千両，至满八月収回一千両，至满十九月又添一千二百两。乙原出本银二千四百両，至满六月収回八百両，至满十五月又添一千四百両。丙原出本银二千両，满七月悉収回，至满十七月别出本银一千六百両。问各人分得利银若干？法以甲本银三千両与八月相乘【满八月収回一千両是八月以前皆为三千両】得二万四千両。又以収回一千両与原本银三千両相减，余二千両。以八月与十九月相减，余十一月【八月収回一千両余二千両，十九月后方添一千二百両，则是八月以后十九月以前此十一月皆为二千両】以十一月与二千両相乘，得二万二千両。又以二千両加所添一千二百両，得三千二百両。以十九月与二年之二十四月相减，余五月【十九月后添一千二百両，是十九月以后二十四月以前此五月皆为三千二百両】以五月与三千二百両相乘，得一万六千両。以三得数相并，共六万二千両，为甲之共衰数。乙本银二千四百両与六月相乘【满六月収回八百両，是六月以前皆为二千四百両】得一万四千四百両。又以収回八百両与原本银二千四百両相减，余一千六百両。以六月与十五月相减，余九月【六月后収回八百両余一千六百両，十五月后方添一千四百両，是六月以后十五月以前此九月皆为一千六百両】以九月与一千六百両相乘，得一万四千四百両。又以一千六百両加所添一千四百両，得三千両。以十五月与二年之二十四月相减，余九月【十五月后添一千四百両，是十五月以后二十四月以前此九月皆为三千両】以九月与三千両相乘，得二万七千両。三数相并，共五万五千八百両，为乙之共衰数。丙本银二千両与七月相乘【满七月悉収回，则七月以前皆为二千両】得一万四千両。又以十七月与二十四月相减，余七月，与别出本银一千六百両相乘【七月悉収回不算外，至第十七月方出本一千六百両，是十七月以后二十四月以前止七月也】得一万一千二百両。二数相并，共二万五千二百両为丙之共衰数，以甲乙丙三衰数相并【甲六万二千，乙五万五千八百，丙二万五千二百】共得一十四万三千両为一率，总利银八千五百八十両为二率，一両为三率，求得四率六分。以各人衰数乘之，甲得三千七百二十両，乙得三千三百四十八両，丙得一千五百一十二両，为各人所得利银之数也。

设如有一大石，不知其重；但知一小石重四両，求大石重几何？法用一木杆，结系于中，両端令平，乃以大石挂于一端，以小石作砣称之。如大石距提系一寸，小石距提系六寸，得平，则以一寸为一率，小石重四両为二率，六寸为三率，求得四率二十四両，即大石之重也。如圗，甲乙为大石距提系一寸，甲丙为小石距提系六寸，丁为大石，戊为小石。戊小石之重，即甲乙之分；丁大石之重，即甲丙之分。故甲乙与戊小石之比，同于甲丙与丁大石之比也。设如，有银大小二锭，共重十五両，求大小锭各重几何？法用一木杆结系于中，両端令平，乃以大锭、小锭各挂一端，如大锭距提系四寸，小锭距提系六寸，得平，则以四寸、六寸相加得十寸为一率，共重十五両为二率，大锭距提系四寸为三率，得四率六両，即小锭之重。如以小锭距提系六寸为三率，则得四率九両，即大锭之重也。如圗，甲乙为大锭距提系四寸，甲丙为小锭距提系六寸，故以甲乙、甲丙共分与丁戊共重之比，同于甲乙与戊小锭之比，亦同于甲丙与丁大锭之比也。设如以戥称银，戥数不足，将砣上加四两称之，得二百两，原砣重八两，问银实重几何？法以原砣重八两爲一率，又以原砣八两与加四两相并得十二两爲二率，以今称二百两爲三率，得四率三百两爲原银之重数也。如图，甲乙爲二百两之分，丙爲砣重十二两。试将甲乙戥衡引长至丁，甲丁爲三百两之分，戊爲原砣重八两。甲乙乗丙砣，卽与甲丁乗戊砣之数等，故以戊砣与甲乙之比，同于丙砣与甲丁之比，爲转比例四率也。设如戥子失去坠砣，欲配一砣，不知轻重，以重三两之物，用六钱之砣称之，得四两，问原砣重几何？法以原重三两爲一率，今称得四两爲二率，今砣重六钱爲三率，求得四率八钱，卽原砣之重也。如图，甲乙爲戥盘，距提系之分，丙爲物重，甲丁爲三两之分，戊为原砣，甲己为四両之分，庚为今砣。以比例论之，甲乙与戊砣之比，同于甲丁与丙重之比；又甲乙与庚砣之比，同于甲己与丙重之比。是甲丁乘戊砣，即与甲己乘庚砣之数等。故以甲丁与庚砣之比，即同于甲己与戊砣之比，为转比例四率也。设如河口上寛十尺，下寛六尺，深五尺，求每日流水几何？法以木板一块置于水面，用騐时仪坠子候之，看六十秒内木板流逺几丈，如流逺十丈，即以十丈变为一百尺，乃以河上寛十尺与下寛六尺相加，折半得八尺，与河深五尺相乘，得四十尺，又与木板流逺一百尺相乘，得四千尺，即六十秒内所流之数，又以六十秒収为一分为一率，水流四千尺为二率，以每日二十四小时化为一千四百四十分【一小时为四刻，一刻为十五分】为三率，求得四率五千七百六十万尺，即一日内所流之数也。

此法先用木板以騐所流之缓急，水急则木随水流亦急，水缓则木随水流亦缓，看木之缓急，即知水流之多少，故先求得河口面积，再以逺乘之，即得水流之积数也。设如，有房一所，不知间数，亦不知房价。但云：每房六间，每年租银二十四両，五年后适得本银；每房八间，每年租银三十五両，八年后得本银外，又得利银二千一百六十両。问房数、房价各几何？法以五年与每年二十四両相乘得一百二十両，以八年与每年三十五両相乘得二百八十両。是为每房六间租一百二十両，适足；每房八间租二百八十両，盈二千一百六十両。乃以六间互乘二百八十両，得一千六百八十両；以八间互乘一百二十両，得九百六十両。相减余七百二十両为一率，以六间与八间相乘得四十八间为二率，以利银二千一百六十両为三率，得四率一百四十四间，即房之总数也。又以六间为一率，五年得一百二十両为二率，总房一百四十四间为三率，得四率二千八百八十両，即房价。或以八间为一率，八年得二百八十両为二率，总房一百四十四间为三率，得四率五千零四十両，内减利银二千一百六十両，亦得二千八百八十両为房价也。此法葢因五年八年之数不同，故以五年八年与每年银数相乘作总得租银算也。设如，有银买物，不知银数，亦不知物价。但云：取银六分之五买之，则多六両；取银四分之三买之，仍多二両。问银数及物价各几何？法以前分母六互乘后分子三，得十八；以后分母四互乘前分子五，得二十。相减余二分为一率，盈六両与盈二両相减余四両为二率。両分母互乘得二十四分为三率，求得四率四十八両，即为银数。取六分之五为四十両，减盈六两得三十四両为物价；或取四分之三得三十六両，减盈二両亦得三十四両为物价也。又先得物价之法，以前分母六互乘后分子三，得十八；以后分母四互乘前分子五，得二十。又以十八互乘盈六両，得盈一百零八両为加十八倍；以二十互乘盈二両，得盈四十両为加二十倍。乃以十八倍与二十倍相减，余二倍为一率；互乘所得両盈数相减，余六十八両为二率；一倍为三率，求得四率三十四両，即物价。加盈六両得四十両，即原银六分之五。乃用五归六因得四十八両为原银数。或于物价三十四両加盈二両得三十六両，即原银四分之三。乃用三归四因亦得四十八両为原银数也。此盈朒单法，因带分母子不同，故用通分互乘以齐其分耳。设如，有银买米，不知米数，亦不知米价。只云买米四分之一，用银二十両，则米少一石。若买三分之一，用银二十四両，则米多二石。问米数及米价各几何？法以前分母四互乘得分子一，得四；以后分母三互乘前分子一，得三。

乃以互乘所得后分子四互乘二十両，得八十両；互乘朒一石，得朒四石。又以互乘所得前分子三互乘二十四両，得七十二両；互乘盈二石，得盈六石。乃以朒四石与盈六石相加，得十石为一率；八十両与七十二両相减，余八両为二率；一石为三率，求得四率八钱，即米一石之价也。既得米价，乃以八钱除二十両，得二十五石，减朒一石，余二十四石为米四分之一，以四因之，得九十六石，即米数；或以八钱除二十四両，得三十石，加盈二石，得三十二石为米三分之一，以三因之，亦得九十六石为米数也。葢以分母互乘前则为十二分之三，后则为十二分之四【両分母互乘得十二】又以分子互乘前则为米十二分【両分子互乘亦得十二分】用银八十两朒四石，后则为米十二分用银七十二両盈六石。夫米之分数既同，而银差八両，则盈朒差十石，故知十石价八両，即知一石价八钱也。此防套盈朒之法，但有米之分数，又有石数，故立法微不同。若止带零分，则惟用通分法，余俱与防套盈朒之法同。又先得米数之法，以银数列于上，分数列于下，乃以前分母四互乘后分子一，得四；以后分母三互乘前分子一，得三。又以二十両互乘后所得分子四，得八十分；互乘盈二石，得盈四十石。以二十四両互乘前所得分子三，得七十二分；互乘朒一石，得朒二十四石。乃以七十二分与八十分相减，余八分为一率；朒二十四石与盈四十石相加，得六十四石为二率；両分母互乘，得十二分为三率。求得四率九十六石，即原米数也。既得米数，四归之，得二十四石，加朒一石，得二十五石，以除二十両，得八钱为米价。或将米数三归之，得三十二石，减盈二石，余三十石，以除二十四両，亦得八钱为米价也。葢用互乘前，则为四百八十両【二十両与二十四両互乘得四百八十両】买米十二分之七十二，朒二十四石；后则为四百八十両买米十二分之八十，盈四十石。夫银数既同，而米差八分，则盈朒相差六十四石，故知八分为六十四石，即知十二分为九十六石也。又法，以二十両朒一石，俱用四因之，得八十両朒四石【因四分之一价二十両，故用四因为米总价】又以二十四両盈二石，俱用三因之，得七十二両盈六石【因三分之一价二十四両，故用三因为米总价】作盈朒单法算，以朒四石与盈六石相加，得十石为一率；八十両与七十二両相减，余八両为二率；一石为三率，求得四率八钱，即米一石之价也。此法葢因分数整齐，故可比例而得其全分之价；若有竒零，则湏用前法或用通分法算之。设如有一数不知几何，但云以三乘之，再加一十，又以四乘之，再加二十，又以五乘之，再加三十，又以六乘之，再加四十，共得六千七百。

问原数几何？法先以所加之一十，以四乘之，又以五乘之，又以六乘之，得一千二百。再以所加之二十，以五乘之，又以六乘之，得六百。再以所加之三十，以六乘之，得一百八十。乃以所得之三数相加，得一千九百八十，并所加之四十，共二千零二十，与共数六千七百相减，余四千六百八十，为连乘之整数。乃借一衰为原数，以三乘之，仍得三。又以四乘之，得一十二。又以五乘之，得六十。又以六乘之，得三百六十。衰为一率，原数一衰为二率，以连乘整数四千六百八十为三率，求得四率十三，即为原数也。此法葢因三乘原数外加一十，而又用四乘五乘六乘，则此一十己用四乘五乘六乘矣。四乘后加二十，而又用五乘六乘，则此二十已用五乘六乘矣。五乘后加三十，而又用六乘，则三十已用六乘矣。故将一十二、十三十之数亦用连乘，并后所加之四十与共数相减，然后为三四五六与原数连乘之整分，而以三四五六连乘所得之三百六十与原数一为比例，即同于今三四五六连乘所得之四千六百八十与原数十三之比例也。设如甲乙二车运粮，甲车先行二日，乙车后行五日追及甲车，比乙车运价少五钱。又甲车先行二日，乙车后行七日追过甲车八十里，甲车比乙车运价少一両一钱。问甲乙二车日行里数及运价各几何？

法以乙车五日为正甲车七日为负里数相等作一空位【甲车先行二日乙车行五日追及是乙车行五日甲车行七日其里数相等】运价多五钱为正列于上又以乙车七日为正甲车九日为负过八十里为正运价多一両一钱为正列于下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十里多一両一钱得乙三十五日仍为正甲四十五日仍为负多行四百里运价多五両五钱仍为正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日运价多五钱得乙三十五日仍为正甲四十九日仍为负多三両五钱仍为正相等无可乘仍为空位于是以上层为主両下相较则乙各三十五日彼此减尽甲両下相减余四日本层少变负为正里数无可加减仍得四百里为正价両下相减余二両依本层为正即甲车四日行四百里运价二両也以四日除四百里得一百里为甲车每日所行之里数以四日除二両得五钱即甲车每日之运价以乙车七日比甲车九日多行八十里价多一両一钱计之则甲车九日行九百里加多八十里共九百八十里为乙车七日所行之里数以七日除之得一百四十里即乙车每日所行之里数甲车九日运价四両五钱加多一両一钱共五両六钱为乙车七日之运价以七日除之得八钱即乙车每日之运价也此法因有里数运价二种或名叠脚然不过除両次耳若里数为较运价为和难以分列正负者则分両法算之设如甲、乙、丙三人，有银各不知数，只云甲得乙银二分之一，乙得丙银三分之一，丙得甲银四分之一，则各得七百两，问三人原银各几何？

法先以甲三分乙一分共七百両列于上【甲原银四分丙得去一分余三分又得乙一分故为甲三分乙一分共七百両丙无数作空位以足其分】又以甲一分丙二分共七百両列于下【丙原银三分乙得去一分余二分又得甲一分故为甲一分丙二分共七百両乙无数亦作空位以足其分】乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原数于是以下层为主両下相较则甲各三分彼此减尽乙一分无可减仍为一分依本层为正丙六分无可减仍为六分本层无数则为负银両下相减余一千四百両本层少爲负即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分为正丙六分为负少一千四百両为负列于上又以乙一分丙一分共七百两列于下【乙原银二分甲得去一分余一分又得丙一分故为乙一分丙一分共七百両因为和数故不用号】因首色皆为一故省互乘両下相较则乙各一分彼此减尽丙六与丙一相加得七分银一千四百与七百相加得二千一百両即为丙七分之共数以七除之得三百両为丙一分之数以丙原银三分乘之得九百両为丙之银数以乙一分丙一分共七百両计之则于七百両内减去丙一分三百両余四百両即乙一分之数以乙原银二分乘之得八百両为乙之银数以甲三分乙一分共七百両计之则于七百両内减去乙一分四百両余三百両三归之得一百両即甲一分之数以甲原银四分乘之得四百両为甲之银数也设如有长方面积八百六十四歩，一长二阔三和四较共三百一十二歩，问长阔各几何？法以积数八因之，得六千九百一十二歩，为大长方形积。乃以长阔和较共数三百一十二歩为长阔和，折半得一百五十六歩为半和，自乘得二万四千三百三十六歩，与六千九百一十二歩相减，余一万七千四百二十四歩，开平方得一百三十二歩为半较，与半和一百五十六歩相减，得二十四歩为原阔数。以阔除原积八百六十四歩，得三十六歩为原长数也。此法葢因三和内有三长三阔，加一长二阔，共四长五阔。如以四较加于四阔，则又成四长，是共得八长一阔。此三百一十二歩即八长一阔之共数。今将原积八倍之，成一大长方形，其阔即原阔，其长为原长之八倍。故以三百一十二为长阔和，求得阔即为原阔，以原阔除原积即得原长也。设如买果木树，不知树数，亦不知树价，但知树每株之价为树共数之六倍，而每株脚钱六文，其脚钱并树价共三千六百文，问树每株价及树数各几何？法先以共钱三千六百文，六因之得二万一千六百文，为长方积。脚钱六文为纵多。爰以纵多六文折半，得三文为半较，自乘得九文，与二万一千六百文相加，得二万一千六百零九文，开平方得一百四十七文，为半和。

内减半较三文，得一百四十四文，为树每株之价。六归之，得二十四，为树之共数也。此法以树数为阔，树价并脚钱为长，成长方形。因每株之价为树数之六倍，是长为阔之六倍，又多六文。故六倍其积，则长比阔多六文。故以带纵开方法算之，得阔为树价，六归之，得树数也。设如一河寛一丈二尺，中间生一蒲草，出水面三尺，斜引蒲稍至岸，适与岸齐，问蒲长、水深各几何？法以河寛一丈二尺折半得六尺为勾，以蒲稍出水三尺为股▯较，乃以勾六尺自乘得三十六尺，以股▯较三尺除之，得一十二尺为股▯和，加股▯较三尺，得一十五尺，折半得七尺五寸为▯，即蒲之长，内减股▯较三尺，余四尺五寸为股，即水之深也。如图，甲乙为河寛，丙丁为蒲长，与甲丁等，戊丁为水深，丙戊为蒲稍出水三尺，故戊丁为股，甲戊为勾，甲丁为▯，丙戊为股▯较，用有勾有股▯较之法，求得股为水深，得▯为蒲之长也。设如圆柱髙二十一尺，周四尺，以绳自底至末绕柱七周，与柱适齐，问绳长几何？法以柱周四尺七因之得二十八尺为股，柱髙二十一尺为勾，求得▯三十五尺，即绳之长也。此法葢合七勾股为一勾股算也。如图，甲乙为柱髙二十一尺，甲丙为七分之一。若将柱面平铺之成一平面，则丙丁即柱周四尺，甲丁即绳绕柱之一周，成甲丙丁勾股形。今柱髙为甲丙之七倍，绳长为甲丁之七倍，故将柱周亦加七倍，成甲乙戊勾股形，甲乙为勾，乙戊为股，求得甲戊▯即绳长也。设如一方匣内，对角斜容一比例尺，长一尺一寸，寛三寸，问匣方边几何？法以比例尺寛三寸与长一尺一寸相加得一尺四寸，自乘折半开方，得九寸八分九厘九豪，即方匣之边数也。如圗，甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺，丁乙为对角斜线，癸壬为比例尺之长。壬乙与丁癸二叚与己庚寛度等。葢以己庚度作己子丑庚正方形，则乙为方之中心，壬乙为己庚方边之一半，与壬庚等。而壬乙与丁癸両段即与己庚等，故以比例尺之长阔相加，即为丁乙对角斜线。用斜求方之法，自乘折半开方，即得方边也。设如三角形，底二丈八尺，小腰与中垂线之较二尺，大腰与中垂线之较六尺，问両腰各几何？法借一衰为中垂线，则小腰为一衰多二尺，小腰与中垂线之和为二衰多二尺，与小腰较二尺相乗，得四衰多四尺，为小分底自乘方积。大腰为一衰多六尺，大腰与中垂线之和为二衰多六尺，与大腰较六尺相乘，得十二衰多三十六尺，为大分底自乘方积。以両方积相较，则大分底方为小分底方之三倍多二十四尺【大分底方十二衰为小分底方四衰之三倍，即将小分底方四衰多四尺以三因之，得十二衰多十二尺，与大分底方十二衰多三十六尺相减，仍余二十四尺】乃以底二十八尺自乘，得七百八十四尺，内减去所多之二十四尺，余七百六十尺，为小分底自乘四正方。

小分底乘大分底二长方积折半，得三百八十尺，为小分底自乘二正方。小分底乘大分底一长方积，共成一大长方。底二十八尺为长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔十尺，为小分底自乘，得一百尺，以小腰较二尺除之，得五十尺，为小腰与中垂线之和。内加小腰较二尺，得五十二尺，折半得二十六尺，即小腰。又以小腰较二尺与大腰较六尺相减，余四尺，即大腰与小腰之较，与小腰二十六尺相加，得三十尺，即大腰也。如圗，甲乙丙三角形，甲乙为小腰，甲丙为大腰，乙丙为底，自甲角作甲丁垂线，则分为甲丁乙、甲丁丙両勾股形。以甲乙、甲丁股▯和与甲乙、甲丁股▯较相乘，则得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形【见勾股法】以甲丁、甲丙股▯和与甲丁、甲丙股▯较相乘，则得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形。丁庚辛丙正方形既为乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺，故于乙壬癸丙大正方形内减去二十四尺，余者即与乙戊己丁三正方等，是共得乙戊己丁四正方，戊壬子、己庚子、癸辛为大分底乘小分底二长方，共成丑寅卯丙一长方形折半得丑辰己丙，长方形乙丙即长阔之较，故用带纵较数开平方法算之，得阔为乙丁。小勾自乘，以股▯较除之，得股▯和，故加股▯较，折半即得甲乙为▯也。或求得甲丙边，亦同。设如甲乙丙三角形，甲角五十三度八分，乙丙边一丈二尺二寸，甲乙、甲丙両边较三尺八寸，求乙角、丙角度几何？法依甲丙边度截甲乙边于丁，余乙丁即両边较。自丙至丁作丙丁线，成乙丁丙钝角形。乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率，乙丁边三尺八寸为二率，甲角五十三度八分与一百八十度相减，余一百二十六度五十二分，折半得六十三度二十六分，即丁钝角之外角【与丁丙甲角等】其正▯八万九千四百四十一为三率，求得四率二万七千八百五十八为丙分角正▯。捡表得十六度十分为丙分角，与丁丙甲角六十三度二十六分相加，得七十九度三十六分，即丙角度。以丙分角与丁外角相减，余四十七度十六分，即乙角度也。设如甲乙丙三角形，甲角五十三度八分，甲丙边一丈一尺二寸，甲乙、乙丙両边较二尺八寸，求乙角、丙角度各几何？法依乙丙边度截甲乙边于丁，余甲丁即両边较。自丙至丁作丙丁线，成甲丁丙钝角形。乃以甲丁边二尺八寸与甲丙边一丈一尺二寸相加，得一丈四尺为一率；甲丁与甲丙相减余八尺四寸为二率；甲角半外角六十三度二十六分之正切线一十九万九千九百八十六为三率。求得四率一十一万九千九百九十一为半较角切线。捡表得五十度十二分为半较角度，与半外角相减余十三度十四分为丙分角。

倍之与甲角相加得七十九度三十六分，即丙角度。以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分，即乙角度也。葢以丙分角与甲角相加，则得丙丁乙角与丙大分角等，是丙大分角与一丙小分角一甲角之度等，故倍小分角与甲角相加得丙全角也。设如甲乙丙三角形，甲角五十三度八分，乙丙边一丈二尺二寸，甲乙、甲丙両边和二丈六尺二寸，求丙角、乙角度各几何？法以甲乙与甲丙相加得丙丁，自乙至丁作乙丁线，成丁乙丙三角形。乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率，丙丁边二丈六尺二寸为二率，甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分，即丁角【与甲乙丁角等】其正▯四万四千七百二十四为三率，求得四率九万六千零四十六为丙乙丁角正▯捡表得七十三度五十分为丙乙丁角，内减半甲角二十六度三十四分【即甲乙丁角】余四十七度十六分即乙角度。以甲角乙角相并与半周相减，余七十九度三十六分即丙角度也。设如甲乙丙三角形，甲角五十三度八分，甲乙边一丈五尺，甲丙、乙丙両边和二丈三尺四寸，求乙角、丙角度几何？法以甲丙与乙丙相加得甲丁，自乙至丁作乙丁线，成甲乙丁三角形。乃以甲丁边二丈三尺四寸与甲乙边一丈五尺相加得三丈八尺四寸为一率，甲丁边与甲乙边相减余八尺四寸为二率，甲角五十三度八分与半周相减折半得半外角六十三度二十六分，其正切线一十九万九千九百八十六为三率，求得四率四万三千七百四十七为半较角切线，捡表得二十三度三十八分为半较角，与半外角相减余三十九度四十八分为丁角度，倍之得七十九度三十六分即丙角度。以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也。设如有一旗杆，不知其髙，用日影测之，问髙几何？法先立一表，长五尺，看影长几尺，如得四尺，同时看旗杆影为几尺，如得二丈四尺，乃以表影长四尺为一率，表髙五尺为二率，旗杆影长二丈四尺为三率，求得四率三丈，即旗杆之髙也。如圗，甲乙为旗杆，乙丙为旗杆影，丁戊为表髙，戊己为表影，甲乙丙与丁戊己为同式勾股形，故己戊与丁戊之比，同于乙丙与甲乙之比也。设如，有塔一座，不知其髙，亦不知其逺，用日影测之，问塔髙几何？法先立一表，长六尺，影长四尺，同时看塔影所至，记之。阅时看表影长五尺，塔影比先所记之处长几尺？如得八尺，乃以表影差一尺为一率，表髙六尺为二率，影差八尺为三率，求得四率四丈八尺，即塔之髙也。如圗，甲乙为塔髙，乙丙为先所记塔影，乙丁为后所记塔影，戊己为表髙，己庚为先所记表影，己辛为后所记表影。戊庚、辛与甲丙、丁戊、己庚与甲乙、丙皆为同式形，故庚辛与戊己之比同于丙丁与甲乙之比也。

设如逺望一村，欲知其逺，用放鎗騐时，仪坠子▯之，问逺几何？法令一人在村边放鎗，一见烟出，即用騐时仪坠子▯之。一闻鎗响，即止。计自见烟至闻响得几秒？如得三秒，即以一秒为一率，一百二十八丈五尺七寸为二率，三秒为三率，求得四率三百八十五丈七尺一寸，即距村之逺也。葢响与烟一时并出，其见烟而未闻响者，声未至也。故自见烟至闻响之分，即路逺之分。尝以其分较之路逺五里得七秒，以七归之，每秒得一百二十八丈五尺七寸。闻雷亦然，自一见电光至闻雷响，▯其秒数，即得里数也。设如梭形，阔四尺，中长九尺，求积几何？法以中长九尺与阔四尺相乘得三十六尺，折半得十八尺，即梭形积也。如圗甲乙丙丁梭形，以乙丁与甲丙相乘，则成戊己庚辛长方形，其积比梭形多一倍，故半之为梭形积也。此法必甲乙与乙丙等，甲丁与丁丙等，或甲乙与甲丁等，乙丙与丁丙等，则其中长适为両三角形之垂线，故长阔相乘折半而得积也。若中长不得为垂线，则湏先量得四边数及长数或阔数，用三角形求中垂线法算之。设如三广形，上阔三尺，中阔五尺，下阔四尺，上截长六尺，下截长四尺，求积几何？法以中阔五尺与上阔三尺相加折半得四尺，与上截长六尺相乘得二十四尺。又以中阔五尺与下阔四尺相加折半得四尺五寸，与下截长四尺相乘得十八尺。両数相并得四十二尺，即三广形积也。如圗甲乙丙丁戊己三广形，以乙戊线分之，则成甲乙戊、己乙丙丁戊両梯形。故用梯形求积之法【见第十九卷直线形】求得両梯形之积而并之，即为三广形积也。旧术以上下阔相加折半，加中阔与长相乘得积，此必上下両截长数相等者然后可算。若上下不相等，湏用両梯形算之。设如眉形両尖相距▯长二十四尺，外弧距▯九尺，内弧距▯四尺，求积几何？法以両尖相距二十四尺为▯，外弧距▯九尺为矢，用弧矢求积法，以矢九尺为首率，▯二十四尺折半得十二尺为中率，求得末率十六尺，加矢九尺得二十五尺为圜径，折半得半径十二尺五寸为一率，半▯十二尺为二率，半径十万为三率，求得四率九万六千为半外弧之正▯，捡八线表得七十三度四十五分为半外弧之度分，倍之得一百四十七度三十分为外弧之度分，乃以三百六十度为一率，外弧一百四十七度半为二率，全径二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九厘八豪为三率，求得四率三十二尺一寸七分九厘五豪为外弧之数，与半径十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分为自圜心所分弧背三角形积，又以矢九尺与半径十二尺五寸相减余三尺五寸，与▯二十四尺相乘折半得四十二尺为自圜心至▯所分直线三角形积，与弧背三角形积相减余一百五十九尺一十二寸一十八分为外弧矢全积【见第二十卷曲线形】又以両尖相距二十四尺为▯，内弧距▯四尺为矢，亦用弧矢求积法，求得内弧矢虚积六十五尺三十七寸六十分，与外弧矢积相减余九十三尺七十四寸五十八分，即眉形积也。

如圗，甲乙丙丁眉形，甲丙为▯，乙戊为外弧矢，丁戊为内弧矢，成甲乙丙戊、甲丁丙戊両弧矢形，故先求得甲乙丙戊弧矢形积，又求得甲丁丙戊弧矢形积，相减即得甲乙丙丁眉形积也。设如橄防形，长二尺四寸，阔八寸，求积几何？法以长二尺四寸为▯，阔八寸，折半得四寸为矢，用弧矢求积法，求得弧矢积六十五尺三十七寸六十分，倍之得一百三十尺七十五寸二十分，即橄防形积也。如圗，甲乙丙丁橄防形，自甲至丙作甲丙线，平分乙丁于戊，则成甲乙丙戊、甲丁丙戊両弧矢形，故求得弧矢形积倍之，即橄防形积也。设如钱，形径一尺二寸，求积几何？法以钱形径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘，又求得内容方积七十二寸，相减余四十一寸零九分七十三厘，倍之得八十二寸一十九分四十六厘，即钱形积也。如图，甲乙丙丁钱形作戊己、己庚、庚辛、辛戊四线，则分为壬癸、子丑、寅卯、辰巳八弧矢形。故先求得圜形积，又求得戊己庚辛内方积，相减余壬癸子丑四弧矢形，倍之即得钱形积也。设如银锭形，径一尺二寸，求积几何？法以银锭形径一尺二寸，自乘得一尺四十四寸，折半得七十二寸，即银锭形积也。如图，甲乙丙丁戊己银锭形，以甲丁径自乘，折半则得乙丙戊己正方。其所虚庚辛二弧矢形，与所盈壬癸二弧矢形之积等，故乙丙戊己正方积，即与银锭形之积等也。设如甲乙丙丁四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘，甲圜径比乙圜径多三尺，乙圜径比丙圜径多三尺，丙圜径比丁圜径多二尺，问四圜径各几何？法用圜积方积定率比例，以圜积一○○○○○○○○为一率，方积一二七三二三九五四为二率，四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘为三率，求得四率二百七十七尺为四平方共积。乃以丙圜径比丁圜径所多之二尺自乘，得四尺；又以乙圜径比丁圜径所多之五尺【丙比丁多二尺，乙又比丙多三尺，故乙比丁多五尺】自乘，得二十五尺；又以甲圜径比丁圜径所多之八尺【乙比丁多五尺，甲又比乙多三尺，故甲比丁多八尺】自乘，得六十四尺。三数相并，得九十三尺，与四平方共积二百七十七尺相减，余一百八十四尺为长方积。以丙圜径比丁圜径多二尺，乙圜径比丁圜径多五尺，甲圜径比丁圜径多八尺相加，得十五尺为长阔之较。用带纵较数开平方法算之，得阔八尺，二归之得四尺，即丁圜径；加二尺得六尺，即丙圜径；再加三尺得九尺，即乙圜径；再加三尺得十二尺，即甲圜径也。如图，甲乙丙丁四平圜形变为甲乙丙丁四平方形，则四圜径之较即四方边之较。故于四方形内减去壬癸子三较方，余戊己庚辛四小正方，丑寅卯辰巳午六长方，共成未申酉戌一长方。

戌亥为长阔之较，即三边较之共数，故用带纵较数开平方法算之，得阔折半而得丁方边，即丁圜径，递加之即得甲乙丙各圜径也。设如有一方形，内不切方边，容一圜形。但知方边离圜界五丈，方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分。问方边圜径各几何？法以方边离圜界五丈自乘得二十五丈，四因之得一百丈，与方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相减，余二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分。乃以圜积定率七、八、五、三、九、八、一、六与方积定率一、○、○、○、○、○、○、○、○相减，余二一四六○一八四为一率，方积一○○○○○○○○为二率，今减余积二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分为三率，求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分为长方积。又以二一四六○一八四为一率，一○○○○○○○○为二率，以方边离圜界五丈四因之得二十丈为三率，求得四率九十三丈一尺九寸五分为长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔十丈，即内圜径加方边离圜界共十丈，得二十丈，即外方边也。如图甲乙丙丁方形内容戊圜形，以方边离圜界五丈自乘四因与积相减，则减去己庚辛壬四小方形，余癸子丑寅四长方形及卯辰巳午四隅积。今欲以卯辰巳午四隅积补足戊圜虚积，共成未申酉戌长方形，应以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率，方积为二率，今所余之卯辰巳午方内圜外积为三率，则得四率为未亥方积，而戊圜虚积即补足在其中。然今乃以卯辰巳午四隅积并癸子丑寅四长方积共为三率，则戊圜虚积固已补足，而癸子丑寅四长方积必多补出之分，是知癸子丑寅四长方形其寛仍为戌酉，而亥酉之长必亦多补出之分矣【癸子丑寅四长】【方形为二平行线内直角方形，其面之互相为比同于其底之互相为比」见《几】【何原本》八卷第七节】故又以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率，方积为二率，以方边离圜界五丈四因之得亥酉之长为三率，求得四率，即将亥酉之长亦増补出之分，乃以此为长阔之较，求得未申阔，即为内圜径也。设如有一方形，内不切方边，容一圜形。但知方角离圜界二十一丈二尺一寸三分，方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分。问方边、圜径各几何？

法以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈与方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相减余五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢积二八五三九八一六为一率【方积一○○○○○○○○方内容圜积七八五三九八一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六为弧矢积】圜内容方积五○○○○○○○为二率今减余积五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分为三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分为长方积又以二八五三九八一六为一率五○○○○○○○为二率以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内圜所容方边以四隅方边十五丈倍之得三十丈与内圜所容方边十丈相加得四十丈即外方边以内圜所容方边十丈求得对角斜线十四丈一尺四寸二分即内圜径加方角离圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方对角斜线也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角离圜界甲卯自乘倍之与积相减则减去己庚辛壬四小正方形【以甲卯自乘折半得己正方形积故甲卯自乘倍之即得四正方形积也】余癸子丑寅四长方形而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所虚之未申酉戌四弧矢形变为卯辰巳午一正方形应以定率弧矢积为一率方积为二率未申酉戌四弧矢虚积为三率则得四率为卯辰巳午虚方积然今无未申酉戌四弧矢虚积而以癸子丑寅四长方形内虚未申酉戌四弧矢形之余积为三率，实积既变，则虚积亦变，故求得四率为卯辰亥干长方形，而内虚卯辰巳午正方形。葢癸子丑寅四长方实积与午巳亥干长方积之比，同于弧矢积与方积之比，则其所虚之未申酉戌四弧矢形与卯辰巳午正方形之比，亦同于弧矢积与方积之比。而癸子丑寅之共长与长亥之比，亦必同于弧矢积与方积之比矣。故以四长方之共边比例，得辰亥边为长阔和，求得卯辰阔为内圜所容正方形之每一边也。设如有一圜形，内不切圜界，容一方形。但知圜界离方角五丈，圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分。问圜径方边各几何？法以圜界离方角五丈，自乗得二十五丈，四因之得一百丈。又以圜积定率七八五三九八一六为一率，方积一○○○○○○○○为二率，今圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分为三率，求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分。内减所得一百丈，余二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分。乃以定率弧矢积二八五三九八一六【方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六，圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六】用圜积变方积法通之，得三六三三八○二三为一率，方积一○○○○○○○○为二率，今减余积二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分为三率，求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸为长方积。

又以三六三三八○二三为一率，一○○○○○○○○为二率，以圜界离方角五丈四因之得二十丈为三率，求得四率五十五丈零三寸八分七厘四豪为长阔之较。用带纵较数开平方法算之，得阔十丈，即内方对角斜线。用斜求方法算之，得七丈零七寸一分，即内方边。以内方对角斜线十丈加圜界离方角共十丈，得二十丈，即外圜径也。如图甲乙圜形内容丙方形，以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形，而多丑寅卯辰四弧矢形。所变之积，葢圜环变为方环，今圜内方外积比圜环积多丑寅卯辰四弧矢形，故所变之方环亦多丑寅卯辰四弧矢形所变之积也。以圜界离方角五丈自乘四因与积相减，则减去巳午未申四小方形，余酉戌亥干四长方形及丑寅卯辰四弧矢形所变之积。今欲以丑寅卯辰四弧矢形所变之积补成辛壬癸子正方形，共成辛壬坎艮长方形，应以定率四弧矢形已变之积为一率，方积为二率【设方积为一○○○○○○○○，方内容圜积为七八五三九八一六，圜内容方积为五○○○○○○○，内圜积与内方积相减，余二八五三九八一六，是二八五三九八一六与一○○○○○○○○相比，为弧矢积与外方积之定率也。然今所多之四弧矢积，先已用圜率变为方率，故又以圜积七八五三九八一六为一率，方积一○○○○○○○○为二率，弧矢积二八五三九八一六为三率，得四率三六三三八○二三。是三六三三八○二三与一○○○○○○○○相比，为已变之弧矢积与外方积之定率也】今所多之丑寅卯辰四弧矢形已变之积为三率，则得四率为辛壬癸子正方积。然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已变之积并酉戌亥干四长方积共为三率，则辛壬癸子正方积固已补足，而酉戌亥干四长方必多补出之分。是知酉戌亥干四长方其寛仍为子癸，而癸坎之长必亦多补出之分矣。故又以四弧矢形已变之积为一率，方积为二率，以圜界离方边五丈四因之得癸坎之长为三率，求得四率。即将癸坎之长亦増补出之分，乃以此为长阔之较，求得辛壬阔，即内方对角斜线也。设如有一圜形，内不切圜界，容一方形。但知圜界离方边十五丈，圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分。问圜径、方边各几何？法以圜界离方边十五丈自乘，得二百二十五丈，四因之，得九百丈。又以圜积方积定率比例，圜积七八五三九八一六为一率，方积一○○○○○○○○为二率，今圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分为三率，求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分。内减所得九百丈，余五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分。乃以方内圜外积二一四六○一八四【方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六相减余二一四六○一八四】用圜积变方积法通之，得二七三二三九五五为一率，方积一○○○○○○○○为二率，今减余积五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分为三率，求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分为长方积。

又以二七三二三九五五为一率，一○○○○○○○○为二率，以圜界离方边十五丈四因之得六十丈为三率，求得四率二百一十九丈五尺八寸八分为长阔和。用带纵和数开平方法算之，得阔十丈，即内方边加圜界离方边共三十丈，得四十丈，即外圜径也。如图，甲乙圜形内容丙方形，以圜积方积定率比例，则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形，而少丑寅卯辰四隅所变之积。葢圜环变为方环，今圜内方外积比圜环积少丑寅卯辰四隅，故所变之方环亦少丑寅卯辰四隅所变之积也。以圜界离方边十五丈自乘四因与积相减，则减去巳午未申四小正方形，余酉戌亥干四长方形，而内少丑寅卯辰四隅所变之积。今欲以所虚之丑寅卯辰四隅形所变之积作为辛壬癸子正方。形应以定率，四隅形已变之积为一率，方积为二率【设方积为一○○○○○○○○，方内容圜积为七八五三九八一六，相减余二一四六○一八四，是三一四六○一八四与一○○○○○○口○相比为圜外四隅积与外方积之定率也。然今所少者乃圜外四隅积，用圜积方积比例之数，故又以圜积七八五三九八一六为一率，方积一○○○○○○○○为二率，圜外四隅积二一四六○一八四为三率，求得四率二七三二三九五五，是二七三二三九五五与一○○○○○○○○相比为已变之四隅积与外方积之定率也】丑寅卯辰四隅形已变之虚积为三率，则得四率为辛壬癸子虚方积。然今无辛壬癸子四隅形已变之虚积，而以酉戌亥干四长方内虚丑寅卯辰四隅形之余积为三率，实积既变，则虚积亦变，故求得四率为辛壬坎艮长方形而内虚辛壬癸子正方形。葢酉戌亥干四长方实积与子癸坎艮长方形之比，同于己变之四隅积与方积之比，则其所虚之丑寅卯辰四隅已变之积与辛壬癸子正方形之比，亦同于己变之四隅积与方积之比，而酉戌亥干之共长与壬坎之比，亦少同于己变之四隅积与方积之比矣。故以四长方之共边比例而得壬坎边为长阔和，求得辛壬阔为内方边也。设如有一大【寸】球体内容四【为】小球【长】体大球径一尺二　　　　　　【方】寸求小球径几何法，以大球径一尺二寸自乘，得一尺四十四寸，倍之，得二百八十八。积以大【分】球径一尺二寸，四因之得四尺八寸，为长阔之较。用带纵较数开平方法算之，得阔五寸三分九厘三豪，即内容四【之】小球之径也，如图甲【二】乙大。球体内容丙丁戊【故】己四小球体【甲】试自四小球之中心俱各作线聮之，则成一四等面体【癸】又以甲乙大球心为【丁】心，丙丁戊己小球心为界，作一虚圆，则成【子】四等面体外切圆球体，其【正】四面体之一边即小球径【方】以四面体【形】外切丁【为】庚虚球径【丁】加一小球径，即大。

球径故以大球径自乘得甲【庚】乙辛壬正【辛丑即四面体每边自】方形内甲癸丁子为小。球径【乘】自乘，方丁庚辛丑，为四面体外。切圆球径自乘方，癸乙庚丁【方】子丁丑壬为四面体之每边，与外切圆球径相乘，二长方。凡四面体每边【见第二十八卷球内容四面体法】自乘方为外切圆球径自乘方三正方形三分之二。将甲乙辛壬正方形倍之，则得甲癸丁子二正方，丁庚辛丑二正方，癸乙庚丁四长方。而丁庚辛丑二正方为甲癸丁子正方形之三倍，是共得甲癸丁子五正方，癸乙庚丁四长方，即与寅卯辰巳长方积等。其巳午长阔之较为甲乙【开】球径之四倍，故四因大球径为较纵，求得阔即小球径也。如先有【平】小球径【方】求大球径【法】则以小球径为四面体之一边自乘二归三因。开平方，得四面【算】体外切圆球【之】径，再加　　　　　　　　　【得】一小球径即大球【阔】径也。设如有【四】一大【寸】球体，内容六小球　　　　　　【九】体大球径一尺【分】二寸，求小球径几何？法以大球径一尺三寸，自乘得【七】一尺四十四寸，为长方积。以大球径一尺二寸，倍之得二尺四寸，为长阔之较。用带纵较数。厘即内容六小【大】球之径数也，如图甲。

乙　　　　　　　　　【球】大球体内容丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】六小球体试自六小球之中心俱各作线聮之则成一八等面体其八面体之一【则】边即小球径，以八面体之对角【以】线」。加一【小】小球径即【球】大球径，故以大球。径自乘得甲乙壬癸正方形【径】内甲子丙【为即八面体每边自乘】丑为小球径自乘方，丙戌壬寅为八面体对角线自乘方，子乙戊丙丑丙寅癸为八面体之每边与对角线相乘二长方。凡八面体每边自乘方为对【方见第二十七卷八面体】角线自乘方之一半，故丙戊壬寅一正方与甲子丙丑二正方等。是甲乙壬癸一正方共为甲子丙丑三正方，子乙戊丙二长方与卯辰。巳午长方积等，其午【法】未长阔之较为甲乙球径之二倍，故倍大球径为较纵，求得阔即小球径也。如先有小球径，求八面体之一边，自乘加倍，开方得对角。线再加一小【小】球」，径即【球】大球。径也，设如一大球体，内容八小球体。大球径一尺二。

寸　　　　　【径】求小球径几何【乘】法：以大球径一尺二寸自乘，得一百四十四寸，折半得七十二寸，为长【正】方积，以大球径一尺二寸为长阔之较，用带纵较数开平方法算之，得阔。四寸三分九厘二豪【方】即内容八小球。之径数【体】也。如图，甲乙大球体内容丙。丁、戊【对】己、庚、辛、壬、癸【角】八小球体，试自八小球之中心，俱各作线聮之，则成一正方体【斜】其正方体之一边，即小球径。以正方体【线】之丙壬【二】对角斜线【长】加一小球径，即大球径，故以大球径自乘。得甲【方】乙子丑正方形内，甲寅卯辰为小球径，自乘方；卯巳子午为正方体对角斜线，自乘方；寅乙巳卯，辰卯午丑为凡正方对角斜线，自乘方为每边自乘方之三倍【尺自乘得见第二十八卷球内容】故卯巳子午正方形为甲寅卯辰正方形之三倍，折半即得未甲辰申，甲寅卯辰二正方，寅乙巳卯一长方，共成未乙巳申一长。方甲乙【正】球径即长阔之较，故用带纵。较数开平方法算之，得阔，即【方】小球径也。如先有小球径，求大球径，则以小球径为正方体之一边，自乘，三因之，开平。方得正方体对角斜线再加【体】一小球。

【法】径即大球径也。设如，有三角形，底十四尺，中埀线十二尺，大腰与小腰之较二尺，求両腰各几何法，借一根为小腰，则大腰为一根多二尺。以一根自乗，得一平方，为小腰之面积。内减中垂线十二尺自乗之一百四十四尺，余一平方少一百四十四尺，为小分底之面积。以一根多二，一平方多四根多四尺，为大腰之面积。内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺，余一平方多四根少一百四十尺，为大分底之面积。又以底十四尺自乘，得一百九十六尺，内减去大小両分底之共面积二平方多四根少二百八十四尺，余四百八十尺少二平方少四根，折半得二百四十尺少一平方少二根，为小分底乘大分底之面积。此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率。葢大分底之面积为首率，而小分底乘大分底之面积为中率，小分底之积为末率也。乃以首率大分底之面积一平方多四根少一百四十尺，与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘，得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二万零一百六十尺。又以中率小分底乘大分底之面积二百四十尺少一平方少二根自乘，得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五万七千六百尺。此二数为相等，両边各减一三乘方四立方二万零一百六十尺，又各加四百七十六平方九百六十根，得一百九十二平方多三百八十四根与三万七千四百四十尺相等。一百九十二平方多三百八十四根既与三万七千四百四十尺相等，则一平方多二根必与一百九十五尺相等。乃以一百九十五尺为长方积，以多二根作二尺为长阔较，用带纵较数开平方法算之，得阔十三尺为一根之数，即小腰加二尺得十五尺，即大腰也。设如有三角形，底十四尺，中垂线十二尺，大腰与小腰之和二十八尺，求大小腰各几何？法借一根为小腰，则二十八尺少一根为大腰。以一根自乘，得一平方，为小腰之面积。内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺，余一平方少一百四十四尺，为小分底之面积。以二十八尺少一根自乘，得七百八十四尺少五十六根多一平方，为大腰之面积。内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺，余一平方少五十六根多六百四十尺，为大分底之而积。又以底四十尺自乘，得一百九十六尺，内减去大小両分底之共面积二平方少五十六根多四百九十六尺，余五十六根少三百尺少二平方，折半得二十八根少一百五十尺少一平方，为小分底乘大分底之面积。此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率。葢大分底之面积为首率，而大分底乗小分底之而积为中率，小分底之而积为末率也。乃以首率大分底之面积一平方少五十六根多六百四十尺，与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘，得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺。又以中率小分底乘大分底之面积二十八根少一百五十尺少一平方自乘，得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺。此二数为相等，両边各减一三乘方，又各加五十六立方，得四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺，与一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺相等。両边各减四百九十六平方，各加八千四百根，又各加九万二千一百六十尺，得一万六千四百六十四根，与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等。一万六千四百六十四根既与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等，则二十八根必与一平方多一百九十五尺相等，故以一百九十五尺为长方积，以二十八根作二十八尺为长阔和，求得阔十三尺，为一根之数，即小腰也。

御制数理精蕴下编巻三十七<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书