御制数理精蕴下编卷十三

御制数理精蕴下编卷十三

面部三勾股【勾股▯和较相求法下，勾股积与和较相求，正勾股比例】

勾股▯和较相求法【下】设如有勾股较七尺，勾股▯总和四十尺，求勾股▯各几何【第三十四】法以勾股▯总和四十尺内减勾股较七尺，余三十三尺为两勾一▯之共数【葢勾股▯总和为一勾一股一▯之共数，内减勾股较，是于股内减勾股较，即又得一勾矣，故为两勾一▯也】自乗得一千零八十九尺，又以勾股较七尺自乗得四十九尺，两自乗数相减，余一千零四十尺，折半得五百二十尺为长方积，乃以勾股▯总和四十尺与两勾一▯之共数三十三尺相加，得七十三尺为长阔和，用▯纵和数开方法算之，得阔八尺为勾，加勾股较七尺得十五尺为股，于勾股▯总和四十尺内减勾八尺，又减股十五尺，余十七尺为▯也。如图甲乙丙丁为两勾一▯自乗之一大正方，内戊己庚辛为▯自乗之一正方，甲子戊壬丑乙寅己庚夘丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方，壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚辛庚辰己为勾▯相乗之四长方，▯自乗之一正方内容四勾股积为勾股相乗之二长方，又勾股较自乗之一小正方，今于甲乙丙丁两勾一▯自乗之一大正方内减去午未申酉勾股较自乗之一小正方，尚余勾股相乗之二长方，勾▯相乗之四长方，勾自乗之四正方，折半得勾股相乗之一长方，勾▯相乗之二长方，勾自乗之二正方，与戌亥干坎长方形等，其濶即勾，其长为两勾两▯一股，其长濶和为三勾两▯一股，故以勾股▯总和与两勾一▯之共数相并为长阔和，用▯纵和数开方法算之，得阔为勾也。

又法以勾股▯总和四十尺自乗得一千六百尺折半得八百尺为长方积乃以勾股较七尺为长阔较用▯纵较数开方法筭之得阔二十五尺为勾▯和得长三十二尺为股▯和于勾股▯总和四十尺内减勾▯和二十五尺余十五尺为股减勾股较七尺余八尺为勾又于勾▯和二十五尺内减勾八尺余十七尺为▯也如图甲乙丙丁为勾股▯总和自乗之一大正方内戊己庚丁为▯自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为勾自乗之一正方甲辰辛寅与癸己卯丙为勾▯相乗之二长方寅辛己戊与己癸卯庚为股▯相乗之二长方辰子壬辛与壬丑己癸为勾股相乗之二长方如以勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并则又与▯自乗之一正方相等是为▯自乗之正方二股▯相乗之长方二勾▯相乗之长方二勾股相乗之长方二折半即得▯自乗之正方一股▯相乗之长方一勾▯相乗之长方一勾股相乗之长方一而与午未申酉勾▯和与股▯和相乗之长方等葢午未申酉之长方内戌亥干酉为▯自乗之一正方午坎亥戌为股▯相乗之一长方亥艮申干为勾▯相乗之一长方坎未艮亥为勾股相乗之一长方其濶即勾▯和其长即股▯和其长濶较即勾股较故以勾股较为长阔较用▯纵较数开方法算之得濶为勾▯和也设如有勾▯较九尺，勾股▯总和四十尺，求勾股▯各几何【第三十五】法以勾股▯总和四十尺内减勾▯较九尺，余三十一尺，为两勾一股之共数【盖勾股▯总和为一勾一股一▯之共数，内减勾▯较，是于▯内减勾▯较，即又得一勾矣，故为两勾一股也】自乗得九百六十一尺。又以勾股▯总和四十尺与勾▯较九尺相加，得四十九尺，爲两▯一股之共数【葢勾股▯总和为一勾一股一▯之共数，今加勾▯较，是于勾数加勾▯较，即又得一▯矣，故为两▯一股也】自乗得二千四百零一尺。两数相减，余一千四百四十尺，四归之，得三百六十尺，为长方积。乃以勾▯较九尺为长阔较，用▯纵较数开方法算之，得濶十五尺，为股。于勾股▯总和四十尺内减股十五尺，余二十五尺，为勾▯和。减勾▯较九尺，余十六尺，折半得八尺，为勾。加勾▯较九尺，得十七尺，为▯也。如图，甲乙丙丁为两勾一股自乗之一大正方，内戊己庚辛为股自乗之一正方，甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方，壬戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方。又午未申酉为两▯一股自乗之一大正方，内戊己庚辛为股自乗之一正方，午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为▯自乗之四正方，戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为股▯相乗之四长方。今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方，所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形，皆为▯自乗之方内减去勾自乗之方与股自乗之四正方积相等。

四面之戌壬癸亥等类四长方形，乃勾▯较与股相乗之四长方【戌戊为▯，壬戊为勾，故戌壬为勾▯较】以四归之，则余股自乗之一正方，勾▯较与股相乗之一长方，共为戌坤兑亥一长方，其阔即股，其长即股与勾▯较之和，故以勾▯较为长阔较，用▯纵较。数开方法算之，得濶为股也。设如，有股▯较二尺，勾股▯总和四十尺，求勾股▯各几何【第三十六】法以勾股▯总和四十尺内减股▯较二尺，余三十八尺为两股一勾之共数【盖勾股▯总和为一勾一股一▯之共数，内减股▯较，是于▯内减股▯较，即又得一股矣，故为两股一勾也】自乗得一千四百四十四尺。又以勾股▯总和四十尺与股▯较二尺相加，得四十二尺为两▯一勾之共数【葢勾股▯总和为一勾一股一▯之共数，今加股▯较，是于股数加股▯较，即又得一▯矣，故为两▯一勾也】自乗得一千七百六十四尺。两数相减，余三百二十尺，四归之，得八十尺为长方积。乃以股▯较二尺为长阔较，用▯纵较数开方法算之，得阔八尺为勾。于勾股▯总和四十尺内减勾八尺，余三十二尺为股▯和。减股▯较二尺，余三十尺，折半得十五尺为股。加股▯较二尺，得十七尺为▯也。如图，甲乙丙丁为两股一勾自乗之一大正方，内戊己庚辛为勾自乗之一正方，甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为股自乗之四正方，壬戊辛癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方。又午未申酉为两▯一勾自乗之一大正方，内戊己庚辛为勾自乗之一正方，午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为▯自乗之四正方，戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为勾▯相乗之四长方。今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方，所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形，皆为▯自乗之方内减去股自乗之方与勾自乗之四正方积相等。四面之戌壬癸亥等类四长方形，乃股▯较与勾相乗之四长方【戌戊为▯，壬戊为股，故戌壬为股▯较】以四归之，则余勾自乗之一正方，股▯较与勾相乗之一长方共为戌坤兊亥一长方，其阔即勾，其长即勾与股▯较之和，故以股▯较为长阔较，用▯纵较数开。方法算之，得阔为勾也。设如有勾股和二十三尺，▯与勾股较之较十尺，求勾股▯各几何【第三十七】法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺，又以勾股和二十三尺与▯与勾股较之较十尺相加得三十三尺为两勾一▯之共数【葢▯与勾股较之较为一勾一股，▯较之共数与勾股和相加则得两勾一股，一股▯较而股加股▯较即▯，故为两勾一▯之共数也】自乗得一千零八十九尺，两自乗数相减余五百六十尺，折半得二百八十尺为长方积，乃以▯与勾股较之较十尺与两勾一▯之共数三十三尺相加得四十三尺为长濶和，用▯纵和数开方法算之得阔八尺为勾，于勾股和二十三尺内减勾八尺余十五尺为股，又于股十五尺内减勾八尺余七尺为勾股较，与▯与勾股较之较十尺相加得十七尺为▯也。

如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方，内戊己庚丁为股自乗之一正方，辛乙壬己为勾自乗之一正方，甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方，又癸子丑寅为两勾一▯自乗之一大正方，内卯辰巳寅为▯自乗之一正方，未申酉辰、亥干申未、干子坎申、申坎艮酉为勾自乗之四正方，癸亥未午、午未辰卯、辰酉戌己、酉艮丑戌为勾▯相乗之四长方。今以两正方相减，则是癸子丑寅方内减去离辰坤震股自乗之一正方，即如前图之戊己庚丁然，又未申酉辰勾自乗之一正方，即如前图之辛乙壬己然，又巽未辰离辰酉兑坤勾股相乗之二长方，即如前图之甲辛己戊己壬丙庚然，所余之卯离震坤己寅一磬折形与勾自乗之一正方等【▯自乗之正方内减股自乗之方则与勾自乗之方等】再午巽离卯与坤兑戌己二小长方为股▯较与勾相乗之二长方，若各补于勾自乗之二正方内即成勾与▯与勾股较之较相乗二长方【葢▯与勾股较之较乃▯内减去勾股较之余，然▯内有一勾一勾股较，一股▯较。若减去勾股较，则所余为一勾一股▯较矣。今以股▯较与勾相乗之长方，补于勾自乗之正方内，则其长为一勾一股▯较，即▯与勾股较之较，其濶即勾，故为勾与▯与勾股较之较相乗之长方也】合计之，则为勾自乗二正方，勾▯相乗二长方，勾与▯与勾股较之较相乗二长方。折半则余勾自乗一正方，勾▯相乗一长方，勾与▯与勾股较之较相乗一长方之共积，与金木水火长方形等。其阔即勾，其长为一勾一▯一▯与勾股较之较。其长阔和为两勾一▯一▯与勾股较之较。故以▯与勾股较之较与两勾一▯之共数相加，用帯纵和数开方法算之，得阔为勾也。设如，有勾股和二十三尺，▯与勾股较之和二十四尺，求勾股▯各几何【第三十八】法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺，又以▯与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺，两数相加得一千一百零五尺为长方积，乃以▯与勾股较之和二十四尺倍之得四十八尺为长阔较，用▯纵较数开方法算之得十七尺为▯，于▯与勾股较之和二十四尺内减▯十七尺，余七尺为勾股较，于勾股和二十三尺内减勾股较七尺，余十六尺折半得八尺为勾，加勾股较七尺得十五尺为股也。如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方，内戊己庚丁为股自乗之一正方，辛乙壬己为勾自乗之一正方，甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方。又癸子丑寅为▯与勾股较之和自乗之一大正方，内卯辰巳寅为▯自乗之一正方，午子未辰为勾股较自乗之一正方，癸午辰卯与辰未丑巳为勾股较与▯相乗之二长方。两大正方相并则得▯自乗三正方，勾股较与▯相乗二长方共为申酉戌亥一长方形何也？

卯辰巳寅为一▯方，戊己庚丁一股方与辛乙壬己一勾方相并为一▯方，甲辛己戊己壬丙庚勾股相乗之二长方即四勾股积，与午子未辰勾股较自乗之一正方相并又为一▯方，癸午辰卯辰未丑巳即勾股较与▯相乗之二长方。今二自乗方相加则成申酉戌亥之一大长方，其阔即▯，其长为三▯二勾股较，其长濶较为二▯二勾股较，故将▯与勾股较之和倍之为二▯二勾股较之共数，用▯纵较数开方法算之得阔为▯也。设如，有勾▯和二十五尺，▯与勾股和之较六尺，求勾股▯各几何【第三十九】法以勾▯和二十五尺自乗得六百二十五尺，又以勾▯和二十五尺与▯与勾股和之较六尺相加得三十一尺，为两勾一股之共数【葢勾▯和为一勾一▯之共数，今于▯数内加▯与勾股和之较，即为勾股和，是为两勾一股之共数矣】与勾▯和二十五尺相乗得七百七十五尺，两数相减余一百五十尺，为长方积，乃以勾▯和二十五尺为长濶和，用▯纵和数开方法算之，得长十五尺为股，于股十五尺内减▯与勾股和之较六尺，余九尺为勾▯较，与勾▯和二十五尺相加得三十四尺，折半得十七尺为▯，内减勾▯较九尺，余八尺为勾也。如图甲乙丙丁为勾▯和自乗之一大正方，内戊巳庚丁为▯自乗之一正方，辛乙壬己为勾自乗之一正方，甲辛己戊与己壬丙庚为勾▯相乗之二长方，又癸子丑寅为两勾一股与勾▯和相乗之一大长方，内卯辰己寅为股自乗之一正方，午未申卯与癸酉未午为勾与▯相乗之二长方，与甲乙丙丁大正方内之甲辛巳戊、己壬丙庚二长方等，未戌亥申为勾自乗之一正方，与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等，而酉子戌未亦为勾自乗之一正方，与卯辰巳寅股自乗之一正方相并，乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁▯自乗之一正方等，两数相减所余为辰亥丑巳一长方，其辰巳长即股，其辰巳巳丑长阔和即勾▯和，故以▯纵和数开方法算之得长为股也。设如，有勾▯和二十五尺，▯与勾股较之和二十四尺，求勾、股、▯各几何【第四十】法以勾▯和二十五尺自乗得六百二十五尺，又以勾▯和二十五尺与▯与勾股较之和二十四尺相加得四十九尺，为两▯一股之共数【葢勾▯和加▯与勾股较之和，则得两▯一勾一勾股较，而勾加勾股较即股，故为两▯一股也】自乗得二千四百零一尺，两自乗数相加得三千零二十六尺，为长方积，乃以两▯一股之共数倍之得九十八尺，为四▯二股之共数，与勾▯和相加得一百二十三尺，为长濶和，用▯纵和数开方法算之，得濶三十四尺，折半得十七尺，为▯，于勾▯和二十五尺内减▯十七尺，余八尺为勾，又于▯与勾股较之和二十四尺内减▯十七尺，余七尺为勾股较，与勾八尺相加得十五尺为股也。

如图甲乙丙丁为勾▯和自乗之一大正方，内戊己庚丁为▯自乗之一正方，辛乙壬己为勾自乗之一正方，甲辛己戊与巳壬丙庚为勾▯相乗之二长方，又癸子丑寅为两▯一股自乗之一大正方，内卯辰己寅为▯自乗之四正方，午未子辰为股自乗之一正方，癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己为股▯相乗之四长方。今以两自乗之方相并，则得▯自乗五正方，又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为▯自乗之一正方，共为▯自乗六正方，勾▯相乗二长方，股▯相乗四长方相合，共成干坎艮震一大长方，其濶即二▯数，其长为三▯一勾二股数，其长濶和为五▯一勾二股数，故将两▯一股之共数倍之与勾▯和相加为长阔和，用▯纵和数开方法算之，得濶为二▯而折半为▯也。设如有股▯和三十二尺，▯与勾股和之较六尺，求勾股▯各几何【第四十一】法以股▯和三十二尺自乗得一千零二十四尺，又以股▯和三十二尺与▯与勾股和之较六尺相加得三十八尺，为两股一勾之共数【葢股▯和为一股一▯之共数，今于▯数内加▯与勾股和之较，即为勾股和，是为两股一勾之共数矣】与股▯和三十二尺相乗得一千二百一十六尺，两数相减余一百九十二尺，为长方积，乃以股▯和三十二尺为长阔和，用▯纵和数开方法算之，得阔八尺为勾，于勾八尺内减▯与勾股和之较六尺，余二尺为股▯较，与股▯和三十二尺相加得三十四尺，折半得十七尺为▯，内减股▯较二尺，余十五尺为股也。如图甲乙丙丁为股▯和自乗之一大正方，内戊己庚丁为▯自乗之一正方，辛乙壬己为股自乗之一正方，甲辛己戊与己壬丙庚为股▯相乗之二长方，又癸子丑寅为两股一勾与股▯和相乗之一大长方，内卯辰巳寅为勾自乗之一正方，午未申卯与癸酉未午为股▯相乗之二长方，与甲乙丙丁大正方内之甲辛己戊己壬丙庚二长方等，未戌亥申为股自乗之一正方，与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等，而酉子戌未亦为股自乗之一正方，与卯辰己寅勾自乗之一正方相并，乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁▯自乗之一正方等，两数相减所余为辰亥丑己一长方，其辰己濶即勾，其辰己巳丑长濶和即股▯和，故以▯纵和数开方法算之得阔为勾也。设如，有股▯和三十二尺，▯与勾股较之，较十尺，求勾股▯各几何【第四十二】法以股▯和三十二尺自乗得一千零二十四尺，又以股▯和三十二尺与▯与勾股较之较十尺相加得四十二尺为两▯一勾之共数【葢▯与勾股较之较为一勾一股，▯较之共数与股▯和相加则得一勾一股一▯一股▯较，而股加股▯较即又得一▯，故为两▯一勾也】自乗得一千七百六十四尺，两自乗数相加得二千七百八十八尺为长方积，乃以两▯一勾之共数倍之得八十四尺为四▯二勾之共数，与股▯和三十二尺相加得一百一十六尺为长濶和，用▯纵和数开方法算之得阔三十四尺，折半得十七尺为▯，于股▯和三十二尺内减▯十七尺余十五尺为股，又于▯十七尺内减▯与勾股较之较十尺余七尺为勾股较，于股十五尺内减勾股较七尺余八尺为勾也。

如图甲乙丙丁为股▯和自乗之一大正方，内戊己庚丁为▯自乗之一正方，辛乙壬巳为股自乗之一正方，甲辛己戊与巳壬丙庚为股▯相乗之二长方，又癸子丑寅为两▯一勾自乗之一大正方，内卯辰巳寅为▯自乗之四正方，午子未辰为勾自乗之一正方，癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳为勾▯相乗之四长方。今以两自乗之方相并，则得▯自乗五正方，又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为▯自乗之一正方，共为▯自乗六正方，股▯相乗二长方，勾▯相乗四长方相合，共成干坎艮震一大长方，其阔即二▯数，其长为三▯一股二勾数，其长濶和为五▯一股二勾数，故将两▯一勾之共数倍之与股▯和相加为长阔和，用▯纵和数开方法算之得濶为二▯，而折半为▯也。设如有勾股较七尺，▯与勾股和之较六尺，求勾股▯各几何【第四十三】法以▯与勾股和之较六尺自乗得三十六尺折半得十八尺为长方积，以勾股较七尺为长阔较，用▯纵较数开方法算之，得二尺为股。▯较与▯与勾股和之较六尺相加得八尺为勾，加勾股较七尺得十五尺为股，再加股▯较二尺得十七尺为▯也。如图，甲乙丙丁为▯自乗之一正方，戊己丙庚为股自乗之一正方，甲壬癸辛为勾自乗之一正方，戊丑癸子为▯与勾股和之较自乗之一正方，其积与壬乙己丑辛子庚丁之勾▯较与股▯较相乗之二长方等【与股▯较之共数见前有勾▯较股】今以▯与勾股和之较自乗折半，必与壬乙己丑一长方积相等，其乙己阔即股▯较，其壬乙长即勾▯较，而勾▯较之中有一股▯较一勾股较，故以勾股较为长阔较，用帯纵较数开方法算之，得濶为股▯较也。设如，有勾▯较九尺，▯与勾股较之较十尺，求勾股▯各几何【▯较求勾】

法以▯与勾股较之较十尺为勾与股▯较之共数【股▯法第四十四葢▯与勾股较之较乃▯内减去勾股较之余然▯内有一勾一勾股较一股▯较今减去勾股较故余为勾与】自乗得一百尺又以勾▯较九尺与▯与勾股较之较十尺【股▯较之共数也】相加得十九尺为▯【葢勾加勾▯较即▯今▯与勾股较之较既为勾与股▯较之共数若加勾▯较则为▯与股▯较之共数矣】自乗得三百六十一尺两自乗数相减余二百六十一尺又以勾▯较九尺自乗得八十一尺于两自乗数相减之余二百六十一尺内减之余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾▯较九尺为长濶较用▯纵较数开方法算之得长十五尺为股以股十五尺与▯与股▯较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为▯内减勾▯较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾与股▯较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛乙壬己为股▯较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股▯较与勾相乗之二长方又癸子丑寅为▯与股▯较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为▯自乗之一正方午未子辰为股▯较自乗之一正方即如前图之辛乙壬巳然癸午辰卯与辰未丑巳为股▯较与▯相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形余卯酉戌亥巳寅磬折形为▯自乗方内减去勾自乗方所余之股自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾▯较与股▯较相乗之二长方共积与▯与勾股和之较自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形变为股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥干丑己二长方共积变为▯与勾股和之较自乗之方作一巽离坤兑正方形，则此二正方邉之较即勾▯较【并见勾▯较股▯较求勾股▯法中】是以坎艮震巽股自乗之正方形内减去水艮金木勾▯较自乗之正方，则余坎水木金震巽一磬折形。而此磬折形内火木离巽之一正方形与巽离坤兑之正方形等，是则坎水木金震巽磬折形与巽离坤兑正方形相合，共为坎水离巽类之二长方矣。折半则为一长方，其阔即▯与勾股和之较，其长即股，其长阔较即勾▯较。故以勾▯较为长濶较，用▯纵较数开方法算之，得长为股也。又法以▯与勾股较之较十尺为勾，与股▯较之共数与勾▯较九尺相加，得十九尺为▯与股▯较之共数。两数相并得二十九尺，为一勾一▯二股▯较之共数。与勾▯较九尺相乗，得二百六十一尺。又以勾▯较九尺自乗，得八十一尺。两积相减，余一百八十尺。折半得九十尺为长方积。以勾▯较九尺为长阔较，用帯纵较数开方法算之，得长十五尺为股。与▯与股▯较之共数十九尺相加，得三十四尺。折半得十七尺为▯。内减勾▯较九尺，余八尺为勾也。

如图甲乙丙丁为勾▯较与一勾一▯二股▯较相乗之长方，内甲乙己戊为勾▯较与勾▯和相乗之一长方，与庚辛壬癸股自乗之一正方积等【见股与勾▯较求勾▯法中】戊己丙丁为勾▯较与股▯较相乗之二长方，与癸子丑寅▯与勾股和之较自乗之一正方积等。此二正方邉之较即勾▯较【并见勾▯较股▯较求勾股▯法中】是以庚辛壬癸股自乗之正方形内减去卯辛巳辰勾▯较自乗之正方，则余庚卯辰己壬癸一磬折形。而此磬折形内午辰子癸之一正方与癸子丑寅之正方形等，庚卯辰午之一长方与辰己壬子之长方形等。折半即余庚卯子。癸一，长方形，其阔即▯与勾股和之较，其长即股，其长阔较即勾▯较，故以勾▯较为长阔较，用▯纵较数开方法算之，得长为股也。设如，有股▯较二尺，▯与勾股较之和二十四尺，求勾股▯各几何【第四十五】法以▯与勾股较之和二十四尺减股▯较二尺，余二十二尺，为股与勾股较之共数【葢▯内减股▯较余即股，故于▯与勾股较之和内减股▯较余即为股与勾股较之共数也】自乗得四百八十四尺。又以▯与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺，两自乗数相减，余九十二尺。又于股与勾股较之共数自乗之四百八十四尺内减两自乗数相减所余之九十二尺，余三百九十二尺，为长方积。乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺，内减股▯较二尺，余四十二尺，为长阔和。用▯纵和数开方法算之，得濶十四尺，折半得七尺，为勾股较。于▯与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺，余十七尺，为▯。于▯内减股▯较二尺，余十五尺，为股。于股内减勾股较七尺，余八尺，为勾也。如图，甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方，内戊己庚丁为股自乗之一正方，辛乙壬己为勾股较自乗之一正方，甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与股相乗之二长方。又癸子丑寅为▯与勾股较相和自乗之一大正方，内卯辰巳寅为▯自乗之一正方，午子未辰为勾股较自乗之一正方，即如前图之辛乙壬己然。癸午辰卯与辰未丑己为勾股较与▯相乗之二长方。两自乗方相减，则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形，所余卯酉戌亥巳寅磬折形，为▯自乗方内减去股自乗方所余之勾自乗之方积。其癸申酉卯与亥干丑巳为勾股较与股▯较相乗之二长方。今以此余积再于甲乙丙丁正方形内减之，则减去坎艮震丁勾自乗之一正方，其积与卯酉戌亥巳寅磬折形等。又甲巽离戊与戊离坤坎二长方，即如癸申酉卯亥干丑巳二长方然，所余兑巳庚震与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方，火辛己兑与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方，巽火兑离与离兑艮坤为勾与股▯较之较与勾股较相乗之二长方，试将巽火兑离、离兑艮坤二长方移为水木辛、火木金乙辛，则成水金丙震一大长方形，其阔即二勾股较，其长即二股内少一股▯较，其长濶和为二勾股较，二股少一股▯较，故以股与勾股较之共数倍之，得二股二勾股较内减去一股▯较为长濶和，用帯纵和数开方法算之，得濶为二勾股较，折半得勾股较也。

又法以▯与勾股较之和二十四尺减股▯较二尺，余二十二尺为股与勾股较之共数，自乗得四百八十四尺。又以▯与勾股较之和二十四尺与股与勾股较之共数二十二尺相加得四十六尺，为一股一▯二勾股较之共数，以股▯较二尺乗之得九十二尺。两数相减余三百九十二尺，为长方积。乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺，内减股▯较二尺，余四十二尺为长阔和。用▯纵和数开方法算之得阔十四尺，折半得七尺为勾股较。于▯与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺，余十七尺为▯。于▯内减股▯较二尺，余十五尺为股。于股内减勾股较七尺，余八尺为勾也。如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方，亦即一勾二勾股较之共数自乗之正方也【盖图以甲辛为股，辛乙为勾股较。若以甲申为勾，则申辛亦勾股较，故为一勾两勾股较也】内巳午未丁为勾自乗之一正方，申辛己酉，酉巳戌午，辛乙壬己，巳壬亥戌为勾股较自乗之四正方，甲申酉戊，戊酉午巳，午戌庚未，戊亥丙庚为勾股较与勾相乗之四长方。又癸子丑寅为股▯较与一股一▯二勾股较相乗之一长方。内癸子辰夘为股▯较与股▯和相乗之一长方，与勾自乗之一正方等【见勾与股▯较求股▯法中】卯辰丑寅为股▯较与二勾股较相乗之二长方。今以两积相减，则于甲乙丙丁正方形内减去与癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方，又减去与卯辰丑寅相等之甲干坎戊，戊坎艮巳之股▯较与二勾股较相乗之二长方。所余酉巳庚未与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方，申辛己酉与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方，干申酉坎，坎酉午艮为勾与股▯较之较与勾股较相乗之二长方。试将干申酉坎、坎酉午艮二长方移为震巽辛申、巽离乙辛，则成震离丙未一大长方形。其濶即二勾股较，其长即二股内少一股▯较。其长濶和为二勾股较、二股内少一股▯较。故以股与勾股较之共数倍之，得二股二勾股较内减去一股▯较为长阔和。用▯纵和数开方法算之，得阔为二勾股较折半得勾股较也。

勾股积与勾股▯和较相求法设如，有勾股积一百二十尺，勾十尺，求股、▯各几何？法：以勾股积一百二十尺倍之，得二百四十尺，以勾十尺除之，得二十四尺为股。勾股求▯，得▯二十六尺。如图，甲乙丙勾股形，积倍之，成甲乙丙丁长方形积，其阔即勾，其长即股，故以勾除倍积而得股也。设如，有勾股积六十尺，股十五尺，求勾、▯各几何？法：以勾股积六十尺倍之，得一百二十尺，以股十五尺除之，得八尺为勾。勾股求▯，得▯十七尺。如图，甲乙丙勾股形，积倍之，成甲乙丙丁长方形积，其长即股，其濶即勾，故以股除倍积而得勾也。设如，有勾股积三十尺，▯十三尺，求勾股各几何？法：以勾股积三十尺四因之，得一百二十尺。又以▯十三尺自乗，得一百六十九尺，相减余四十九尺，开方得七尺，为勾股较。乃以勾股积倍之，为长方积，以勾股较为长濶较，用帯纵较数开方法算之，得濶五尺为勾，得长十二尺为股。如图，甲乙丙丁为▯自乗之方，内容甲戊乙，乙己丙，丙庚丁，丁辛甲四勾股积，戊己庚辛一勾股较自乗方积。故于▯自乗方内减四勾股积，即余勾股较自乗之方，而开方得勾股较也。设如，有勾股积六十尺，勾股较七尺，求勾股▯各几何？法以勾股积六十尺，倍之得一百二十尺，以勾股较七尺为长濶较，用▯纵较数开方法算之，得濶八尺为勾，加勾股较七尺，得十五尺为股，勾股求▯，得▯十七尺。如图甲乙丙勾股形，积倍之成甲乙丙丁长方形积，其濶即勾，其长即股，其长濶较即勾股较，故用▯纵较数开方法算之，得阔为勾也。又如有勾股积几何，知勾▯较或股▯较，求勾股▯，法中用帯纵立方算之，始得兹，故不设设在▯纵立方之后。设如，有勾股积六十尺，勾股和二十三尺，求勾股▯各几何？法以勾股积六十尺，八因之得四百八十尺。又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺。两数相减，余四十九尺。开方得七尺，为勾股较。于勾股和二十三尺内减勾股较七尺，余十六尺。折半得八尺为勾。加勾股较七尺得十五尺为股。勾股求▯得▯十七尺。如图甲乙丙丁为勾股和自乗之方，内容八勾股积，一勾股较自乗方积。今于勾股和自乗之方内减八勾股积，所余戊己庚辛正方，即勾股较自乗之方，故开方而得勾股较也。又如有勾股积几何，知勾▯和或股▯和，求勾股▯法中用帯纵立方算之始，得兹故不设。设在▯纵立方之后。设如有勾股积六十尺，勾股▯总和四十尺，求勾股▯各几何？法以勾股积六十尺，四因之得二百四十尺。又以勾股▯总和四十尺自乗得一千六百尺，两数相减余一千三百六十尺，折半得六百八十尺，以勾股▯总和四十尺除之得十七尺为▯。

于勾股▯总和四十尺内减▯十七尺，余二十三尺为勾股和。用有▯有勾股和求勾股法算之，得勾八尺，股十五尺。如图，甲乙丙丁为勾股▯总和自乗之一大正方，内戊己庚丁为勾自乗之一正方，辛壬癸己为股自乗之一正方，子乙丑壬为▯自乗之一正方，寅子壬辛与壬丑卯癸为股▯相乗之二长方，甲寅辛辰与癸卯丙己为勾▯相乗之二长方，辰辛己戊与己癸己庚为勾股相乗之二长方。夫勾股相乗之二长方与四勾股积等，今于勾股▯总和自乗之一大正方内减去四勾股积，即减去勾股相乗之二长方，而勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并，又与▯自乗之一正方等，故所余者为▯自乗之二正方，股▯相乗之二长方，勾▯相乗之二长方，折半即得▯自乗之一正方，股▯相乗之一长方，勾▯相乗之一长方，与甲乙丑辰长方形等，其濶即▯，其长即勾股▯总和，故以勾股▯总和除之而得▯也。设如，有勾股积六十尺，▯与勾股和之较六尺，求勾股▯各几何？法以勾股积六十尺，四因之得二百四十尺，以▯与勾股和之较六尺除之，得四十尺为勾股▯总数，内减▯与勾股和之较六尺，余三十四尺，折半得十七尺为▯，加▯与勾股和之较六尺，得二十三尺为勾股和，用有▯有勾股和求勾股法算之，得股十五尺，勾八尺，如图，甲乙为勾股和，丙乙为▯，甲丙为▯与勾股和之较，试依甲乙线作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方，又以丙乙线作丙己庚乙▯自乗之一正方，二方相较，其甲丁戊庚己丙磬折形，乃与四勾股积相等【葢勾股和自乗方内容八勾股积，一勾股较自乗方积，▯自乗方内容四勾股积，一勾股较自乗方积，二方相减所余磬折形积与四勾股积相等】引而长之，即如丙甲戊庚一长方形，其濶即▯与勾股和之较，其长即▯与勾股和之和，故以▯与勾股和之较除之，得勾股▯总数也设如，有勾股积六十尺，▯与勾股较之和二十四尺，求勾股▯各几何？法以勾股积六十尺，四因之得二百四十尺。又以▯与勾股较之和二十四尺自乗，得五百七十六尺。两数相减，余三百三十六尺。折半得一百六十八尺，用▯与勾股较之和二十四尺除之，得七尺为勾股较。于▯与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺，余十七尺为▯。用有▯有勾股较求勾股法算之，得勾八尺，股十五尺。如图，甲乙丙丁为▯与勾股较之和自乗之一正方。甲戊己庚为▯自乗之一正方，而▯自乗之方内容四勾股积，一勾股较自乗方积。今减去四勾股积，余辛壬癸子为勾股较自乗之一正方，而巳丑丙寅亦为勾股较自乗之一正方。再戊乙丑巳与庚己寅丁又为勾股较与▯相乗之二长方。折半则余戊乙丑己一长方，己丑丙寅一正方。

其戊寅长即▯与勾股较之和，其戊乙阔即勾股较。故以▯与勾股较之和除之而得勾股较也。设如，有勾股积六十尺，▯与勾股较之较十尺，求勾股▯各几何？法以勾股积六十尺，四因之得二百四十尺。又以▯与勾股较之较十尺，自乗得一百尺。两数相减，余一百四十尺。折半得七十尺，以▯与勾股较之较十尺除之，得七尺为勾股较。与▯与勾股较之较十尺相加，得十七尺为▯。用有▯有勾股较求勾股法算之，得勾八尺，股十五尺。如图，甲乙丙丁为▯自乗之一大正方内，丁戊己庚为勾股较自乗之一正方，辛乙壬己为▯与勾股较之较自乗之一正方。甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与▯与勾股较之较相乗之二长方。葢▯自乗方内容四勾股积，一勾股较自乗方积。今丁戊己庚既为勾股较自乗之方，若于甲乙丙丁▯自乗方内减之，则所余甲乙丙庚巳戊磬折形即与四勾股积相等。又于四勾股积相等之甲乙丙庚己戊磬折形内减辛乙壬己▯与勾股较之较自乗之方，则尚余甲辛己戊己壬丙庚二长方。折半则得巳壬丙庚一长方，其己壬长即▯与勾股较之较，其己庚阔即勾股较，故以▯与勾股较之较除之而得勾股较也。

正勾股比例设如，有正勾股，知勾十二尺，求股与▯各几何？法以正勾股定分之勾三分为一率，股四分为二率，今所设之勾一十二尺为三率，推得四率十六尺为股。仍以勾三分为一率，▯五分为二率，今所设之勾十二尺为三率，推得四率二十尺为▯也。葢大小两同式形，其相当各界互相比之比例，俱为相当比例。四率【见几何原夲八卷第三节】故正勾股定分之勾三与股四之比，即同于今所设之勾十二与股十六之比。又正勾股定分之勾三与▯五之比，亦同于今所设之勾十二与▯二十之比也。又防法以勾十二尺，用正勾股定分之勾三分除之，得四尺，即知今所设之勾股形为加四倍之比例，乃以正勾股定分之股四分，▯五分，各加四倍，即得所求之股▯之各数矣。设如，有正勾股，知勾股和六十三尺，求勾股▯各几何？法以正勾股定分之勾三分股四分相并得七分为一率勾三分为二率今所设之勾股和六十三尺为三率推得四率二十七尺为勾。若以股四分为二率即得四率三十六尺为股。若以▯五分为二率即得四率四十五尺为▯也。葢正勾股定分之勾股和七尺与勾三股四▯五各相为比即同于今所设之勾股和六十三尺与勾二十七尺股三十六尺▯四十五尺各相比之比例也。又防法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所设之勾股形为加九倍之比例。乃以正勾股定分之勾三股四▯五各加九倍即得所求之各数也。设如，有正勾股，知勾股▯总和六十尺，求勾股▯各几何。

法以正勾股定分之勾三分股四分▯五分相并共得十二分为一率勾三分为二率今所设之勾股▯总和六十尺为三率推得四率十五尺为勾若以股四分为二率即得四率二十尺为股若以▯五分为二率即得四率二十五尺为▯也又防法以勾股▯总和六十尺，用正勾股定分之勾三，股四，▯五，相并之十二分除之，得五尺，即知今所设之勾股形为加五倍之比例，乃以正勾股定分之勾三，股四，▯五，各加五倍，即得所求之各数也。设如，有正勾股，勾九尺，股十二尺，求内容方邉几何？法以股十二尺，七归三因，得五尺一寸四分二厘八毫有余；或以勾九尺，七归四因，亦得五尺一寸四分二厘八毫有余，为内容方邉也。葢勾三分，股四分者，则以勾股和七分为一率，勾三分为二率，股四分为三率，推得四率为内容方邉。是内容方邉得股七分之三，得勾七分之四也。今九尺与十二尺之比，仍同于三分与四分之比，故以其分数相求，得内容方边，仍为比例四率也。设如，有正勾股，勾九尺，股十二尺，求内容圜径几何？法以股十二尺折半，得六尺，或以勾九尺取其三分之二，亦得六尺，即为内容圜径也。葢勾三分，股四分，▯五分者，则于勾股和七分内减▯五分，余二分为内容圜径【见勾股容圜第二法】是内容圜径得股四分之二，得勾三分之二也。今九尺与十二尺之比，同于三分与四分之比，故十二尺与六尺之比，仍同于四与二之比，而九尺与六尺之比，亦仍同于三与二之比也。设如，有正勾股，知勾股和二十一尺，求内容方边几何？法以正勾股定分比例，得勾九尺，股十二尺。以勾九尺，七归四因；或以股十二尺，七归三因，得五尺一寸四分二厘八毫有余，即内容方边也。葢内容方边，得勾七分之四，得股七分之三【圜径见】故必先比例得勾数或股数，复比例得内容方边也。设如，有正勾股，知勾股和二十一尺，求内容圜径几何？法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分为一率，内容圜径二分为二率，今所设之勾股和二十一尺为三率，推得四率六尺，即内容圜径也。葢勾三，分【前法】股四分，▯五分者，其内容圜径为【见前法】二分，故勾股和之七分与内容二分之比，即同于今所设之勾股和之二十一尺与内容圜径六尺之比也。总之，正勾股形，知一数即得所求之各数，要先以勾三，股四，▯五，求得所知之定分及所求之定分【如勾股较则以勾三分与股四分相减，余一分；又如▯与勾股较之和则以勾股较一分与▯五分相加，得六分之类】乃以所知之定分与所求之定分之比，即同于今所知之数与今所求之数之比也。设如，有正勾股面积九十六尺，求勾股▯各几何？法：以正勾股定分之面积六分为一率，勾三分自乗得九分为二率，今所设之勾股积九十六尺为三率，推得四率一百四十四尺为勾自乗之方，开方得十二尺为勾。如以正勾股定分之股四分自乗为二率，则得今所设之股自乗之方；如以正勾股定分之▯五分自乗为二率，则得今所设之▯自乗之方，各开方而即得各数矣。或得勾，而以正勾股定分之勾股▯各比例之，亦可葢。同式两勾股形，其面积互相为比，即同于勾股形各相当界所作正方形互相为比【见几何原夲八卷第四节】故以正勾股定分之面积六尺与勾股▯各方之比，即同于今所设之面积九十六尺与勾股▯各方之比也。又防法以面积九十六尺，用正勾股定分之面积六尺除之，得十六尺，开方得四尺，即知今所设之勾股▯为各加四倍之比例。乃以正勾股定分之各数各加四倍，即得各数。葢两直角方面形，其两方面之比例，比之两界之比例，为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节】。今勾股为长方之半，正方与正方为比，长方与长方为比，其比例相同，并见第六节】故积大十六倍者，界必大四倍。既知其大四倍，则以正勾股之定分各加四倍即得矣。设如，有正勾股，知勾自乗，股自乗，▯自乗，共积四百五十尺，求勾股▯各几何？法以共积四百五十尺，折半得二百二十五尺，为▯。自乗方积，开方得一十五尺，为▯。既得▯，则以勾股▯之定分比例之，得九尺为勾，得十二尺为股也。如用面积为比例，则以▯五分自乗之二十五分为一率，勾三分自乗之九分为二率，今所得之▯自乗方二百二十五尺为三率，求得四率八十一尺为勾自乗方积，开方得九尺为勾。若以股四分自乗之十六分为二率，则得四率一百四十四尺为股自乗方积，开方得十二尺为股也。葢▯自乗之一方，既与勾自乗股自乗之二方等，则勾自乗股自乗▯自乗之三方，必与▯自乗之二方等，故折半即得▯自乗之一方，而开方得▯也。

御制数理精蕴下编卷十三

钦定四库全书