句股矩测解原卷上
句股矩测解原卷上
钦定四库全书句股矩测解原卷下余姚黄百家撰。以影测高。以矩度承日，使其光穿两耳而过，视权线垂于何度何分？若权线垂于对角，则影与物等【即前句股无较第一图】量其影长，即得物髙。在直影，则影短于物【即前股长句短第二图】以直表乗物影，以直影除之。在倒影，则影长于物【即前股短句长第三图】以倒影乗物影，以横表除之。假如权线在直影五度，物影二十尺，即以直表【十二】度与物影相乗，得二百四十为实，以直影【五度】为法除之，得物髙四十八尺。解曰：物与物影为大句，股矩度为小句股。大股不可知，而大句可知。大句可知，而大句之长短原出于大股，则大股亦可知。立一法焉，以矩度一定之小股【直表】因大▯以定小句。小句定，则小句小股之比例，犹大大句大股之比例也。于是遂以一定之小股入于大句中，而与之相乗，使不可知之大股遂与小股之十二相当。而后以小句之五度除之，而大股得焉。葢十二人所任设者也。于十二而得五度，则本乎大股者也。以十二乗大句，而五度代二十【物影】以除幂【相乗总数】则大股亦遂因五度而化为十二也。大股之四十八，其有合于十二者何？小句五度，其为五分者十，积五分而至二十四，则为十二。大句二十尺，其为二尺者十，积二尺而至二十四，则为四十八也。假如权线在倒影七度五分度之一，物影六十尺，即以倒影通作三十六分【七度五分度之一，毎度即通作五分，七度五七三十五分，又度之一，共三十六分】与物影相乗，得二千一百六十为实，以横表十二通作六十分为法【亦毎度通作五分】除之，得物高三十六尺。解曰：倒影与直影相反。直影为句，倒影为股。故直影之度自一而至十二，引而逺之，句渐长也。倒影之度自十二而至一，引而逺之，股渐短也。前权线在直影，股长句短，由股以截句；今在倒影，句长股短，由句以截股。其理一也。以倒影乗物影者，所求在股，以小股乗大句，以小句除之，与前无二也。倒影通作三十六分，横表通作六十分者，以有五分度之一，即以毎度通作五分【如三分度之一，即毎度可通作三分，余仿此】也。葢矩度之妙用，借权线以测句测股，而得其比例，其分度则固任人通变也。
重矩单矩须用量自足至物之数，方可入算。此句与小句股求股也。今不用句，止以小句股求股，故设重矩。假如立表四尺，与目齐，以矩度向物，顶线在直影五度。次退后立表四尺，与目齐，以矩度向物，顶线在直影十度。相减得影较五度。次量二表相去十尺，即以矩度十二与表间十尺相乗，得一百二十为实，以影较五度除之，得二十四，加表四尺，为物高二十八尺。解曰：后直影为句，目平行至物为句，矩度直表为股，物高为股，其比例一也。前直影之比例于前表平行至物，矩度之比例于物髙，亦一也。今以影较为矩度股之句，表间为物髙股之句，何以知其一哉？葢前表平行至物数不可知，后表至前表其数可知。然前表至物之数虽不可知，而已见于两直影互异之中。今于后直影减去前直影，则将其不可知者置之影较，则已移物之股近至前表，其表间之数同单矩测髙术量足至物之数，故与矩度相乗而得物髙。此减句不减股以凖之于▯也。▯之为凖，即在直影。假如物髙股二十四尺【表四尺不入算】试截句至一尺，直影必五分，算之仍得二十四。如物高股十二尺，试截句至一尺，直影必一度，算之得十二。故曰▯之为凖，即在直影。
以目测高不取日光而用目光，别立一表，若干尺以审自足至目之数目，切矩度乙耳以甲耳向上，使物顶从甲耳窍透乙耳窍斜见之，视权线在何度分，次量自足至物之数，其算法与以影测髙术同，不另具。假令与图。解曰：目光斜见，即物影之▯也。然物不能常有影，即有影，有不能摄入耳窍者。切矩以目，其法更防。凡目光所及，不论髙深广逺，俱可入算，不爽毫厘。
变影前矩在直影，后矩在倒影者，亦以矩度乗表间为实，以倒影变直影相较为法除之；前后矩俱在倒影者，将两倒影俱变直影，两影较乗表间为实，以矩度为法除之。如两影在防分度之防者，以矩度照分，分之自乗得幂，如法变影乗表积，如法除之【有防分度之防者，测时亦可或前或后，使其正当某度，无有零分】假如前矩直影十一度，后矩倒影九度，表间二十尺。法以矩度【十二】乗表间【二十】得二百四十尺为实积。又以矩度自乗之幕一百四十四，以倒影之九度为法除之，得十六变作直影十六度。两影较余五度为法除之，得四十八尺。加表四尺，得五十二尺。陈言▯曰：「有物于前，立两表望之。后表之小句，必多于前表之小句，此视差之理也。而今之之前矩，在直影之十一度；后矩在倒影之九度。若不计其直影、倒影之何以变通，而第执度分之多寡以为法则，后表之视差反少于前表之视差，有是理乎？故必变倒为直，而后可以两影较也。」假如前矩倒影九度，后矩倒影二度，表间二十尺。法以矩幕【一百四十四】先以前影【九】除之，变为十六，次以后影【二】除之，变为七十二。两影较五十六，乗表间【二十】得一千一百二十，以矩度【十二】为法除之，得九尺三寸又一百二十分尺之四【三分】加表四尺，得全髙一十三尺三寸三分。陈言▯曰：「两矩测物，有前直影而后倒影者矣，未有前倒影后直影者也。葢矩愈逺则愈平，平则必切于倒影之度，故止有前直后倒之法，而不及前倒后直之影也。至于两影俱倒，其影为同类似，可不变而亦必变者，何也？曰：其故有二，一则倒影之度少于纵矩之小句。假如倒影二度，以矩度之甲乙纵之，则退望之处，其人目与物影相叅者，必不止于矩度十二分之二，而为矩度十二分度之七十又十二分度之二也，故必变也。一则倒影之度前表多后表少，不合于立表之小句。假如矩度之甲乙纵之至顶，则为一度，渐逺则渐为二度、三度、四五度不等。其前少后多，直影与小句同也。其在倒影则否，如以甲丁之矩而纵之，其望髙之线之在倒影者，始而近也，反切于丙丁之十二度，渐逺则十一度或十度、九度不等，愈退则愈逺，愈逺则愈平，愈平则倒影之度愈少，殊非小句渐逺渐长之理，故两倒不可不变也。变之而倒影之一度变为一百四十四矣【矩幕原数一度无殊】倒之二度变为七十二，逓变至倒影之十二度，以之为法除幕而仍存原度十二，岂非愈逺而愈平，愈平而变影愈多，不失小句近少逺多之至理乎？立法至此，亦云宻矣。或者曰：景之变固因小句之多寡而变，然使权线之在一度者，其小句虽应多，而非一百四十四之多；权线之在十二度者，其小句虽应少，而非犹然十二度之少，则是多寡之转移，西人亦约畧其法，而未必有确然之数也。不知立法者必穷于法之源，必晰于法之委，未有悬空拟合而可云法也。试先立一平方形，其矩之下丙角作平行线如地平，如人目望髙，然后以矩之甲角渐运渐髙，其权线之切于一度者，必矩之甲角髙于乙角一度矣。由是而因甲乙之渐低者作斜直线引之，令切合于地平，必」在一百四十四也，如在十二度，则甲角髙于乙角亦十二度矣。其斜▯切合于地平者，亦必在十二度。两角形相等，凡少于十二度、多于一度者，推之无不有确然之数也。且设有物焉，髙十二尺，如甲角之髙一度【有原矩度十二】离十二尺以立表，表之髙亦十二，如乙丙角之髙。其离表退望之处为一百四十四，如一度之变影，以表乗逺得一四四也，即矩幕也。以退立之一四四为法除，而仍得表上之髙一尺，即甲角之髙一度也，亦即权线之影髙一度也，无不合也。然其变影之合于小句既有然矣，而变影之必以权度除矩幕者，何也？曰：是不难知。夫容方求余句、余股者，以容方自之，以余句为法除之，而可得余股；以余股为法除之，而可得余句。今矩幕非即容方之自乗乎？以权为法，其实以甲角之髙为法，非以余股求余句乎？故立表亦容方法也，变影亦容方法也，无二法也。至甲角之髙十二，则成斜方句股等形，故倒影十二，则其变影亦十二。甲角愈低，而后斜线之切于地平愈长，其几何长者，法也；其所以长者，理也；其所以防何长者，穷理以立法，而非悬空拟合之为也。因创为后图，可以作变影观，亦可以作立表测髙观，亦可以作容方求余句余股观【言▯图未载】
解曰：变影之法，言▯之论辨矣。今取其言之未尽者，再为悉之。夫矩度之测髙于倒影，何以必变哉？葢矩度之倒影，股也。故分度自十二而至一【已详前论影测髙中】今所求在股，其影为句。乃股短句长，权线逾直影之句，而至倒影，则此倒影亦为句也。此变法之所由立也。然倒影为股，究不可为句。今云变倒为直者，葢矩度止为十二度之平方。直影既穷，权线侵股而上。在倒影十一度，在直影则当为十三度又一百一十分之一也。在倒影十度，在直影则当为十四度又一百分度之四也。股渐低，则线渐髙，而句愈逺。以至倒影一度，在直影则当为一百四十四度也【详前论两影消长中】此借倒影以推直影，而为之凖耳。
测深测广用矩度，须以甲耳切目，乙耳向外测深。线在直影，深过于广，以矩度乗面之广，以影度除之。倒影广过于深，以影度乗广，以矩度除之。其测广反是。假如测深水面十二尺，直影三度，以矩度【十二】乗广【十二】得【一百四十四】为实积，以直影【三】除之，得四十八尺。如在倒影三度，即以【三】乗广【十二】得【三十六】为实积，以矩度【十二】除之，得三尺。假如测广水深四十八尺，直影三度，则以直影【三】乗【四十八】得【一百四十四】为实积，以矩度【十二】除之，得广十二尺。水深三尺，倒影三度，则以矩度【十二】乗【三】得【三十六】以倒影【三】除之，得广十二。解曰：测深，亦以小句股与句求股也，故与测髙同。广即逺也，故与测逺同【或云：从下望高测逺为逺，从髙望逺测逺为广】
测逺从高测逺，先定自地至目之数。以甲耳切目，乙耳向逺线。在直影者，以影度乗高，以矩度除；在倒影者，以矩度乗高，以影度除。望高测逺，先以重矩测高，得高数。视后矩影度线，在直影者，亦以影度乗高，以矩度除；在倒影者，以矩度乗髙，以影度除。其前矩俱不必推算。假如髙六丈，测逺权线在直影九度，即以【九】与【六】相乗，得【五十四】为实，以矩度【十二】为法除之，得逺四丈五尺。假如髙九丈，倒影八度，以矩度【十二】与髙【九】相乗，得【一百八丈】以倒影【八】为法除之，得逺十三丈五尺。右二则俱从髙测逺。其望髙测逺须除矩度乙角下表数【或四尺】如髙六丈，除去表四尺，得髙五丈六尺，与矩度影度相乗。其乗除法，直影倒影与从髙测逺同，不另立。假如解曰：测逺者，以小句股与股求句也。视测髙之以句求股，正相反。故此直影视彼倒影之法，此倒影视彼直影之法。所得逺数俱平行句数，非从髙至逺斜望▯数也。
句股矩测解原卷下<子部,天文算法类,算书之属,少广补遗》>钦定四库全书 子部六少广补遗。天文算法类二【算书之属】提要。
【臣】等谨案少广补遗一卷国朝陈世仁撰。世仁，海宁人。康熈乙未进士。其书以一面、尖堆及方底、三角底、六角底、尖堆各半堆等题，分为十二法。后有抽竒、抽偶诸目，盖堆垜之法也。按堆垜乃少广中之一术，与尖锥体相似而实不同。盖堆体、台体外平而中实，堆垜为众体所积，面有峻峭，中多空隙。故二法相较，烦简顿殊。古少广中，仅具以边数、层数求积数法，亦未有解其故者。至以积求边数、层数之法则未备焉。又其为用甚少，故算家率畧而不详。世仁有见于此，専取堆垜诸形，反覆相求，各立一法。虽图説未具，不能使学者窥其立法之意，而于少广之遗法，引伸触类，实于数学有禆，不可以其一隅而少之也。乾隆四十六年五月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总校官【臣】陆 费 墀钦定四库全书少广补遗海宁陈世仁撰少广补遗第一篇凖本章平立方员开三角及诸尖一十二法一平尖。置倍实平方带一纵开之，得本数之底数，与其径数。
二立尖置六倍实，立方法开之内，阙一纵所得之数，溢于本数之底与径数一数。
三倍尖除原实末，必五数进一，十除之，得本数之底数。四方尖【尖内诸自乗数依根数序次相并】置三倍实，先开立方，次以立方根开平方，一半平方，一次除，半方根得本数之径数，与其底数。五再乗尖【尖内诸立方依根数序次相并】置实，二除之于除得数内，复减原实，平方开之，继以开得数为实，带一纵方开之，得原数之底数。从底数逆数至尖数，偶者得底所对之前数，数竒者得自尖及底之中数。中数与底相乘，对数加一五，数于数之次亦与底相乘，所得数为本数径数。
六抽竒平尖置实以带一縦方开之，得本数，径数亦得本数，逆数至尖所对之前数，以得本数底数。
七抽偶平尖置实平方法开之，得本数。径数亦得本数，逆数。至尖，自尖数至底之中数，以得本数底数。八抽偶数，立尖【本尖内层数及层内诸数偶者尽去之，抽竒法反之】以前方尖法开之，得本数，径数亦得本数，自尖数至底之中数，以得本数底数。
九抽竒数立尖三倍置实，立方法开之，阙一縦，以所得数减一，得本数，径数亦得本数，逆数至尖所对之前数，因得本数底数。
十抽竒偶数方尖前立尖法，开之得本数，底数，以底数逆数至尖，得自尖及底之中数，或平分数，因得本数，径数。
十一抽偶再乘尖二除原实阙半，縦平方法开之，方之所得之数即得径数，平尖抽偶法收之，得本数之底数。
十二抽竒再乘尖二除原实，平方法开之，方之所得之数即径数，平尖抽竒法收之，得自底至尖一之中分数，倍之得本数之底数。