御制数理精蕴下编卷二十六
御制数理精蕴下编卷二十六
体部四曲线体曲线体设如长圎体径与髙皆七尺，问积防何？法以长圎体径七尺，用求圎面积法，求得圎面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余，以髙七尺乗之，得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余，即长圎体之积也。如圗甲乙丙丁长圎体，先以乙丙底径求得乙己丙戊圎面积，而以庚辛髙乗之，即得甲乙丙丁长圎体之积也。又法，以长圎体径七尺，用径求周，法求得圎周二十一尺九寸九分一厘一豪四丝八忽五微五纤有余，与髙七尺相乗，得一百五十三尺九十三寸八十分三十九厘八十五豪有余，为长圎体之外面积。以半径三尺五寸乗之，得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五厘有余，折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余，即长圎体之积也。如圗，甲乙丙丁长圎体，先求得乙己丙戊圎周，与甲乙髙相乗，得甲乙丙丁外面积为底，以庚甲半径乗之，得庚甲丙辛长方体，为甲乙丙丁长圎体积之二倍。葢因长圎体之外面积与长方体之底面积等，而长圎体之半径又与长方体之髙度等，则长圎体为长方体之一半【见防何原本五卷第二十四节】故折半即得甲乙丙丁长圎体之积也。又法用长方体长圎体之定率比例，以长方体积一○○○○○○○○○为一率，长圎体积七八五三九八一六三为二率，今所设之长圎体径七尺，自乗以髙七尺再乗，得三百四十三尺为三率，求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九厘有余，即长圎体之积也。此法葢以长方体与长圎体为比例定率，之一○○○○○○○○○为长方体积，而七八五三九八一六三为长方体同髙同径之长圎体积，故以径自乗髙再乗得长方体积，彼定率之长方体与长圎体之比，即同于今所得之长方体积与所求之长圎体积之比也。设如尖圎体，底径六尺，中髙六尺，问积防何？法以底径六尺，用求圎面积法，求得底面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余，以髙六尺乗之，得一百六十九尺六百四十六寸三分一百厘有余，三归之，得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百厘有余，即尖圎体之积也。如圗，甲乙丙丁戊尖圎体，先以乙丁底径，求得乙丙丁戊底面积，以甲己髙乗之，得庚乙丁辛长圎体，为甲乙丙丁戊尖圎体之三倍。葢因上下面平行，各体与平底尖体同底同髙者，其平底尖体皆得上下面平行体之三分之一【见防何原本五卷第二十三节】故以所得庚乙丁辛长圎体积三归之，即得甲乙丙丁戊尖圎体积也。又法用尖方体、尖圎体之定率比例，以尖方体积一○○○○○○○○○为一率，尖圎体积七八五三九八一六三为二率，今所设之尖圎体底径六尺，自乗以髙六尺，再乗得二百一十六尺，三归之得七十二尺，成尖方体积为三率，求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六厘有余，即尖圎体之积也。盖尖方体为长方体之三分之一，而尖圎体为长圎体之三分之一，故尖方体与尖圎体之比，即同于长方体与长圎体之比也。又捷法定率比例，以长方体积一○○○○○○○○○为一率，尖圎体积二六一七九九三八八为二率，今所设之尖圎体底径六尺，自乗以髙六尺，再乗得二百一十六尺为三率，求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八厘有余，即尖圎体之积也。此法葢以长方体与尖圎体为比例，长方体积为一○○○○○○○○○，则长圎体积为七八五三九八一六三，将此长圎体积三归之，则得尖圎体积为二六一七九九三八八，故定率之长方体与尖圎体之比，即同于今底径自乗髙再乗所得之长方体积与所求之尖圎体积之比也。设如尖圎体底周二十二尺，自尖至底周之斜线五尺，求中垂线之髙几何？法以底周二十二尺，用周求径，法求得底径七尺零二厘八豪一丝七忽有余，折半得半径三尺五寸零一厘四豪零八忽有余，为勾，以自尖至底周之斜线五尺为▯，求得股三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余，即中垂线之髙也。如圗，甲乙丙丁戊尖圎体，以乙丙丁戊底周求得乙丁底径，折半得乙巳半径，为勾，以自尖至底周之甲乙斜线为▯，求得甲巳股，即中垂线之髙也。设如圎【与】球径二尺，问外面积几？何法以【球】圎？球径二尺，用径求周，法求得周六尺二寸八分三厘一豪八丝五忽有余，与径二尺相乗，得一十二尺五。十六寸六十三分七十厘有余【体】即圎。
球之外面积也如圗甲乙 【半】丙丁圎球体以甲丙全径与甲乙丙丁全周相乗即得圎球体之外面积葢因圎面半径径等者，其圎面积为【癸】球体外面积之四分之一而圎面半径【长】与球体全径等者，其圎面积与球体外面【圎体，此球体之乙见。几何】积等【原】故圎球全径与全周相乗【本】而得圎球之外面积【十】也设如圎球径一尺二。寸问积【巻】几何法，以圎球径一尺二寸，用径求圎面积法，求得圎面积一尺一十三寸零九分七十三厘三十五豪四。【第】十丝有余，以圎球径一尺二寸乗之。得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四厘有余，为长圎体积，三归之，得四百五十二寸三百八十九分三百四十一厘有余，倍之，得九百零四寸七。百七十八分六百八【八】十二厘有余，即圎球之体积【节】也如圗，甲乙丙丁圎球体，求得戊己庚辛平圎面积，以甲丙全径乗之，得与圎球同径同髙之壬戊庚丁全径，与长圎体之戊庚底径度等，而【有】球体之甲丙全径，又与长圎体之壬戊、髙、度等，则球体积为长圎体积之三。分之【余以半径六寸乗之得二】二试以【尺】圎球同径之平圎面积为【见】底圎球之半径为髙。作一甲乙丁尖圎体，则其积为甲【防】乙丁半球体积之半。夫尖圎体与长圎体同底同髙，其比例为三分之一，而尖圎【何】体又为半球体之二【原】分之一，则半。球体必为半长圎体【本】之三分之二半。球体既为半长圎体【十】之三分之二，则全球体必为全长圎体之三分之二，可知，故以所得壬戊庚癸长圎体积三归。
倍 【卷】之即得甲乙丙丁【第】圎球体积也。又法以【九】圎球径一尺二寸，用【节】求圎球之外面积法，求得圎球之外面积四尺五十二寸三十八分九十三厘四十一豪六十丝七百一十四寸三百三十六分四十九厘有余，三归之得九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余，即圎球之体积也如圗甲乙丙丁圎【百】球体先求得外面积，乃以此外面积为底，戊丙半径为髙，作一戊己庚尖圎体，其体积必与【零】圎球体积等，葢尖圎体之底面【四】积与球体之外面积等，尖圎体之髙度与球体之半径等，则其体积【寸七百七十见防何原本五卷】亦必等，故以戊丙半径与外面积相乗，三归之，即如得戊己庚尖圗体积。
而为甲乙 【第】丙丁圎球体积也，又【二】法以方邉球【十】径相等，方积球积不同之定率比例，以方积一。○○○○○○【五】○○○为一率，球积。五二三五九八七七五为【节】二率，今所设之圎球，径一尺二寸，自乗再乗，得一尺七百二十八寸，为三率，求得四率九。八分六百八十三厘有余，即圎【八】球之。体积也，此法葢因【十】圎球径与正方邉相等，而圎球积与正方积不同，故以圎球径自乗，再乗作正方积为体，与体之比例如子【三】丑圎球径为一○○○则其自乗再乗之寅邜辰巳正方体积为一○○○○○○○○【厘】○而圎球径一○○○所得之子午丑未圎球体积。
为五二三五九八七七五故 【有】以子丑圎球径一○○○自乗再乗之寅夘辰巳正方体积一○○○○○○○○【余】○与子丑圎球径所得【之】之子午丑未圎球体积，五二三五九八七七五之比。即同于【比】今所设之甲丙圎球，径一尺二寸，自乗再乗之，戊己庚辛正方体积。一尺七百二十八寸，与今【也】所得之甲乙丙丁圎球体积，九百零四寸七百七十八分六百。又法用【寅】球积方积相【邜】等球径方邉。不同之定率比例【正】以圎球径一○○○○○○○○为一率，正方邉八○五，九九五九七为二率，今所【方】设之圎球径一尺二寸为三率，求得四率九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有【邉】余，为与圎球积相等之正方体每邉之数，自乗再乗得九百零四寸七百七十。八分六百四十九【八】厘有余，即圎球之体积【○】也。此法葢以圎球积与正方【五】积设为相等，使圎球径与正方邉不同，先定为线与线之比例，既得线，而后自乗再乗 【九】之为体也如子丑圎球径一○○○○○○○○其所得之体积开立方则得八○五九九五九七即为寅邜辰巳正方体之【九】每一邉是子午丑未圎球积，与寅邜辰巳正方积相等，故子丑圎球径一○○○○○○○○与五九七之比，即同于今所设之甲丙圎。【积】球径一尺二寸，与今所得之戊巳正。方邉九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有余之比，既得戊己正方邉，自乗再乗，得戊己庚辛正方体积，即与甲乙丙丁 【六】圎球体积为相等也，又法以二十一分为一率，十一分为二率，今所设之圎球径一尺二寸，自乗再乗得一尺七百二十八寸，为三率，求得四率九百零五寸，一百四十二分。八百五十七厘有余【尺】为圎球之体积也。葢以正方体积一○○○○○○○【问】○○圎球体积五二三五九八七七？五之定率，约之则正方体积二【径】十一，而圎球体积得一○九九有余，进而【防】为十一则圎，球体积稍大【何】故今所得之圎？
球体积亦稍大也设如圎球法用【○】球径方邉相【○】等，球积方积不同之定率比【○】例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率，今所【○】设之圎球积六尺为三率，求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二厘。有【○】余为与圎球径相等之正方邉之正方体积开立方得二尺二寸五分四厘五豪零二【○】忽有余，即圎【为】球之径也。葢圎球积为五二三五九八七七五。则正方积为一○○○○【二】○○○○○。若圎球积为一○○○○○○○○○，则正方积为一九○九八五九三一。七【率】其比例，仍同故，以圎球积一○○。○○○○○○【也】○为一率者，即如以圎球积五二三五九八七七五为一率，而以正方积一九○九八五九三一七为二率者，即如以正方积一○○○又法用 【○】球积方积相 【○】等球径方邉不同之定率比例以方邉一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○○九八为二率，今所设【○】之圎球积六尺，开立方得一尺八寸一分七厘一豪二丝有余，为三率，求得四率二尺二寸。五分四厘五豪零二忽有【○】余即圎球之径也。此法亦以圎球积与正方积设。为【○】相等，使圎球径与正方邉【○】不同，故以圎球积开立方得立方邉为线与线之比例，葢方邉为八○五【○】九九五九七，则球径为一○○○○○○○○。若方邉为一○○【为】○○○○○○，则球径为一二四○七○○九八，其比例仍同，故以方邉一○○○○○○○○为一率者，即如以方邉八○五九九【二】五九七为一率，而以球径一二四○七○○九八为二率者，即如以球径一○率也。设如撱圎体大径六寸，小径四寸，问积几何？法以小径四寸，用径求圎面积法，求得圎面积一十二寸五十六分六十三厘七十豪六十丝有余，以大径六寸乗之，得七十五寸三百九十八分二百二十三厘有余，为长圎体积，三归之，得二十五寸一百三十二分七百四十一厘有余，倍之，得五十寸二百六十五分四百八十二厘有余，即撱圎体之积也。如圗，甲乙丙丁撱圎体，以乙丁小径求得戊己庚辛平圎面积，再以甲丙大径乗之，得壬戊庚癸长圎体，此撱圎体积即为长圎体积之三分之二，亦如圎【大】球体积为同径同髙之长圎体积之三分之二，故以所得壬戊庚癸长圎体积三归倍之，即得甲乙丙丁撱圎体积。也，又法以小径四寸自乗，得十六寸，以径六寸再乗，得九十六寸，为长方体积。乃用方积【为】球积不同方【撱】邉球径相等之定率比例，以方积一○○○○○。○○○○为【圎】一率，球积五二三五九八七七五为二率，今所得之长方体积九十六寸为三率，求得四率五十寸二百六十五分四百八十二厘有余，即撱圎体之积也。
葢函撱圎之长方体与所函撱圎体之比【体】同于函球之正方【之】体与所【积也，见几何原本十卷第十】函球体之比，如甲乙丙丁撱圎体，甲丙大径六寸，乙丁小径四寸。以乙丁小径自乗，又以甲丙大径再乗，遂成戊己庚辛长方体形。此长方体积与撱圎体积之比，即同于正【四】方体积与圎球体积之比，故以定率。之正方【节】体积为一率，圎球体积为二率，今所得之长方体积为三率，求得四率。设如撱圎体积五十寸，大径比小径多二寸，问大小径各防何？法用方积、球积不同，方邉、球径相等之。定率比例以【开】球积一○○○○○○○○○为一率，方积一九○九八五九三一七为二率，今所设之撱圎体积五十寸为三率，求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五厘八百五十豪有余，为长方体积。乃以大径比小径多二寸为长与濶之较，用带一縦开立方法算之，得濶三寸九分九厘二豪有余，即撱圎体之小径。加大径比小径多二寸，得五寸九分九厘二豪有余，即撱圎体之大径也。如圗甲乙丙丁撱圎体【立】用球积与方积之定率比例，即成戊己庚辛长方体形。其戊己长即甲丙大径，壬庚濶即乙丁小径。甲丙大径比乙丁小径多二寸，即长濶之较，故用带一縦方法算之，得濶为撱圎体之小径，得长为撱圎体之大径也。设如上下不等圎面体，上径四尺，下径六尺，髙八尺，问积防何？法以上径四尺，用径求圎面积法，求得上圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余。又以下径六尺，用径求圎面积法，求得下圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余。又以上径四尺与下径六尺相乗，得二十四尺，开方得中径四尺八寸九分八厘九豪七丝九忽四微八纤有余。用径求圎面积法，求得中圎面积一十八尺八十四寸九十五分五十五厘八十五豪有余。三数相并，得五十九尺六十九寸二分六十厘三十豪有余。与髙八尺相乗，得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百厘有余。三归之，得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余，即上下不等圎面体之积也。葢上下不等圎面体立法，与上下不等正方体同理。但上下不等正方体上下俱系方面，故求得上中下三方面积相并与髙相乗，三归之而得体积。此上下俱系圎面，故求得上中下三圎面积相并与髙相乗，三归之而得体积也。又法以上径四尺与下径六尺相减，余二尺，折半得一尺为一率，髙八尺为二率，下径六尺折半得三尺为三率，求得四率二十四尺，为上下不等圎面体上补成一尖圎体之共髙。乃以下径六尺用径求圎面积法，求得圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余，与所得共髙二十四尺相乗，得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百厘有余，三归之，得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余，为大尖圎体之积。
又以髙八尺与共髙二十四尺相减，余十六尺，为上尖圎体之髙。以上径四尺用径求圎面积法，求得圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余，与上髙十六尺相乗，得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百厘有余，三归之，得六十七尺二十寸六百四十三分二百厘有余，为上小尖圎体之积。与大尖圎体积二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余相减，余一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百厘有余，即上下不等圎面体之积也。如圗，甲乙丙丁上下不等圎面体，如戊甲丁小尖圎体，遂成戊乙丙大尖圎体，故于戊乙丙大尖圎体积内减去戊甲丁小尖圎体积，而得甲乙丙丁上下不等圎面体之积也。又法用上下不等正方体与上下不等圎面体之定率比例，以正方体积一○○○○○○○○○为一率，圎面体积七八五三九八一六三为二率，上径四尺自乗，下径六尺自乗，上径四尺与下径六尺相乗，三数相并，以髙八尺乗之，得六百零八尺，三归之，得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六厘有余，成上下不等正方体积为三率，求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余，即上下不等圎面体之积也。又捷法定率比例，以一○○○○○○○○○为一率，二六一七九九三八八为二率，上径四尺相乗，下径六尺自乗，上径四尺与下径六尺相乗，三数相并，以髙八尺乗之，得六百零八尺为三率，求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百厘有余，即上下不等圎面体之积也。此法葢以三上下不等正方体与一上下不等圎面体为比例，夫一上下不等正方体积为一○○○○○○○○○，则一上下不等圎面体积为七八五三九八一六三，若三上下不等正方体积为一○○○○○○○○○，则一上下不等圎面体积为二六一七九九三八八，故以上径自乗，下径自乗，上下径相乗，三数相并，以髙乗之所得为三上下不等正方体积，彼定率之三上下不等正方体与一上下不等圎面体之比，即同于今所得之三上下不等正方体积与所求之一上下不等圎面体积之比也。设如上下不等撱圎面体，上大径四尺，小径三尺，下大径八尺，小径六尺，髙十尺，问积几何？法以上大径四尺与上小径三尺相乗得一十二尺，以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺。又以上大径四尺与下小径六尺相乗，下大径八尺与上小径三尺相乗，共得四十八尺，折半得二十四尺。三数相并得八十四尺，乃用方积圎积之定率比例，以方积一○○○○○○○○○为一率，圎积七八五三九八一六三为二率，三数相并之八十四尺为三率，求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五厘六十九豪有余，与髙十尺相乗得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百厘有余，三归之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三厘有余，即上下不等撱圎面体之积也。
葢上下不等撱圎面体立法与上下不等圎面体同，但上下不等圎面体上下俱系圎面，故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积。此上下俱系撱圎面，故必求得上中下三长方面积相并，用定率比例得三撱圎面积，乃与髙相乗三归之而得体积也。又法以上大径四尺与下大径八尺相减余四尺，折半得二尺为一率，髙十尺为二率，下大径八尺折半得四尺为三率，求得四率二十尺为上下不等撱圎面体上补成一尖撱圎体之共髙。乃以下大径八尺小径六尺用求撱圎面积法，求得下撱圎面积三十七尺六十九寸九十一分一十一厘六十八豪有余，与所得共髙二十尺相乗得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百厘有余，三归之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余，为大尖撱圎面体之积。又以髙十尺与共髙二十尺相减余十尺，为上小尖撱圎面体之髙。以上大径四尺小径三尺用求撱圎面积法，求得上撱圎面积九尺四十二寸四十七分七十七厘九十二豪有余，与上髙十尺相乗，得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百厘有余，三归之，得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百厘有余，为上小尖撱圎面体积，与大尖撱圎面体积二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余相减，余二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百厘有余，即上下不等撱圎面体积也。如圗，甲乙丙丁上下不等撱圎面体，如戊甲丁小尖撱圎面积，遂成戊乙丙大尖撱圎面体，故于戊乙丙大尖撱圎面体内减戊甲丁小尖撱圎面体，而得甲乙丙丁上下不等撱圎面体之积也。又法，用上下不等长方体与上下不等撱圎面体之定率比例，以长方体积一○○○○○○○○○为一率，长圎体积七八五三九八一六三为二率，以上大径四尺倍之，加下大径八尺，共一十六尺，与上小径三尺相乗，得四十八尺；以下大径八尺倍之，加上大径四尺，共二十尺，与下小径六尺相乗，得一百二十尺，两数相并，得一百六十八尺，以髙十尺乗之，得一千六百八十尺，六归之，得二百八十尺，成上下不等长方体积，为三率，求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十厘有余，即上下不等撱圎面体之积也。葢长方面积与撱圎面积之比，同于方面积与圎面积之比，故上下不等长方体与上下不等撱圎面体之比，即同于长方体与长圎体之比也。又捷法定率比例，以一○○○○○○○○○为一率，一三○八九九六九四为二率。以上大径四尺，倍之加下大径八尺，共一十六尺，与上小径三尺相乗，得四十八尺。以下大径八尺，倍之加上大径四尺，共二十尺，与下小径六尺相乗，得一百二十尺。
两数相并，得一百六十八尺，以髙十尺乗之，得一千六百八十尺，为三率。求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十厘有余，即上下不等撱圎面体之积也。此法葢以六上下不等长方体与一上下不等撱圎面体为比例。夫一上下不等长方体积为一○○○○○○○○○，则一上下不等撱圎面体积为七八五三九八一六三。若六上下不等长方体积为一○○○○○○○○○，则一上下不等撱圎面体积为一三○八九九六九四。故以上大径倍之加下大径与上小径相乗，以下大径倍之加上大径与下小径相乗，两数相并，以髙乗之所得为六上下不等长方体积。彼定率之六上下不等长方体积与一上下不等撱圎面体积之比，即同于今所得之六上下不等长方体积与所求之一上下不等撱圎面体积之比也。设如截【求】球体一段，髙二寸，底径九寸六分，问积防何？法以髙二寸为首率，底径九寸六分折半得四寸八分为中率，求得末率一尺一寸五分二厘为【得】圎球之截径加」【髙二寸，得一尺三寸五分二厘【平】为圎。球之全径折半得六寸七分六【圎】厘，为圎球之半径。又以髙二寸为勾，底径九寸六分折半得四寸八分，为股，求得▯五寸二分，作平圎半径用。求圆面积法，面积八十四寸九十四分八十六厘有。
余即为截 【圎】球体一段之外面积与【体】圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘有余三归之得一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余，为【积】自圎球中【一】心所分球面尖圎体【百】积又以截球体底径九寸六分用求平圎面【九】积法求得截球体之底面积，七十二。寸三十八分二十【十】二厘有余，于圎球。半径六寸七【一】分六厘，内减去截球体。之髙二寸余【寸】四寸七分六厘，与截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乘，得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余，三归之，得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘有余，为自圎球中心至截球体底径所分平面尖圎体积，与球面尖四百一十七分五百一十二厘有余相。减余七十【丑】六寸五百七十一分八【寅】十八厘有余，即截球体一段之积也，如圗甲乙【邜】丙截球体一段，其乙丙底径，即如弧矢形之▯长，其甲丁髙，即如弧矢形之矢濶，故甲丁为首，率乙丙【平】底径折半【圎】得乙丁为中率，求得【面积】丁【之四倍，若甲辛壬半球体】戊末率为截球径与甲丁。【其见】髙相加得甲戊为圎球【各】全径折。半得甲巳为圎球【面】半径又以甲丁为勾乙丁为股【形】求得甲乙▯，乃以甲乙▯为半径求【▯】得【矢】庚乙丙平圎面积。即与甲乙丙截球【求】体一段之外面积。等葢圎【圎】面半径与球体半径等者，其圎面积为【径】球体外面积之四分之一。【法】而圎面半径【见防何原本十卷第八节】与球体全。径等者，其圎面积与球体外面积等。故甲辛戊壬圎球体，其外面积为同径子外面积，必为子丑寅邜平圎面积之二倍。然则甲己半径，求得平圎面积；又辛己半径，亦求得平圎面积。两面积相并。必与甲辛壬半【体】球体之外面积等矣。今甲乙丙【底】截球体一段，若以甲丁为半径，求得平圎面积，又以乙丁为半径，求得平圎面积，两面积相并，亦必与甲乙丙截球体一段之外面积等。而甲乙▯自乗之正方，与甲丁勾自乗之正方，乙丁股自乗之正方相并之积等，则甲乙▯为半径所得之圎面积，亦必与甲丁勾为半径所得之圎面积，乙丁股为半径所得之圎面积相并之积等。故以甲乙▯为半径所得之庚乙丙平圎面积即与甲乙【径】丙截球体一段之外面。积相等也【求】既得截球体一段之外面积，与甲巳圎球半径相乗，三归之，得己丙甲乙球面尖圎体积。又以乙丙截球，得乙丙底面积，与丁巳截半径相乗，三归之，得己丙丁乙平面尖圎体积。与己丙甲乙球面尖圎体积相减，所余即甲乙丙截 【减】球体一段之积也，又法先求得【去】圎球径一尺三寸五分二厘，用径求周法，求得圎周四尺二。
寸四分七厘四豪三丝三忽有余【截】与截球体一段之髙二寸相乗，得八十四。寸九十四分八十六厘有余【球】即为截。球一段之外【体】面积与圎球半径六寸七分六厘相乗，得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘，三归之，得一百九十一寸四百一十七分五百一十。二厘【之】有余为自【髙】圎球中心所分球。面【二】尖圎体积又以截球体底径九寸。六分用求【寸】平圎面积法求得截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余，于圎球半径六寸七分六厘内。余四寸七分六厘与截【则】球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余，相乗得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余，三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘。有余为自【与】圎球中心【甲】至截球径所。分平面尖圎【巳】体积与球面尖圎体积一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余，相减余七十六寸五百七十一分八十八厘【半】有余，即截球体一。段之积也如【径】圗甲乙丙截球体一段，先求得甲戊全径与庚辛等，又求得壬庚癸辛全周与甲丁髙相乗，得庚子丑。辛截长圎体一段之外面【相】积与甲乙。丙截球体一【乗】段之外面积等。葢球体全径与长圎体底径髙度相等者，其相当每【见防何原本十卷第十一节】段之外面积皆相等。既得甲乙丙截球体一段之外面积。三归之而得，己丙甲乙【厘】球面尖圎体。积又以乙丙【相】截球体底面积与丁己截半径相乗，三归之而得己丙丁乙平面尖圎体积与己丙【减】甲乙球面尖圎。体积相减，余即得甲【余】乙丙截球体一。段之积也设【三】如空心圎球积二千寸，厚三寸，问内外。径数各防，何法用？球径方邉相等，球积？方积不同之【尺】定率比例，以球积一○○○○○○○○○为一率，方积一九○九八五九三一七为二率，今【六】所设之空心圎球积二千寸为三率，求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余，为空心正方体积。乃用算空心正方体法，以厚三寸自乗，再乗得二十七寸，八因之得二百一十六寸，与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四百零三寸七百一十八分六百三十四厘有余，六归之得六百寸六百一十九分七百七十二厘有余，用厚三寸除之得三尺零二十分六十五厘九十豪，为内径与外径相乗长方面积。乃以厚三寸倍之得六寸，为长濶之较，用带縦较数开平方法算之，得濶一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余，即空心圎球内径，得长一尺七寸四分六厘三豪九丝七忽有余，即空心圎【心】球外径也，此法盖以空心【正】圎球体与空心正方体。为比例，即【方】如用球积与方积定率为比例也如圗《甲乙丙丁戊己庚辛【体】空心圎球体，其甲丙外径与壬癸外方邉等，其戊庚内径与寅邜内方邉等，是以甲【之】乙丙丁大球体与壬癸子丑大正方体为比，戊己庚辛小球体与寅邜辰已小正方体为比，而空心圎球体与空比即如【十】球体积与方体积之比也。
既得空心正方体积，则用算空心正方体法，以壬酉厚自乗，再乗八，因之得午巳未申类八小隅体，与空心正方体相减，则余空心正方体之六面酉戌坎未类六长方扁体，六归之得酉戌坎未一长方扁体，用厚三寸除之，得酉戌亥干一长方面积。其酉戌濶与戊庚等，即内径；其酉干长与壬丑等，即外径。其酉寅巳干皆与壬酉厚度等，酉寅巳干并之，即长濶之较。故以厚三寸倍之为带縦，求得濶为内径，长为外径。也，又法用定率比例求得空心正方体积，以厚三寸倍之得六寸为内方邉与外方邉之较，自乗再乗得二百一十六寸，与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余相减，余三尺六百零三寸七百一八分六百三十四厘有余，三归之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四厘有余，以内外方邉之较六寸除之，得二尺零二十分六十五厘九十豪有余为长方面积，以内外方邉之较六寸为长濶之较，用带縦较数开平方法算之，得阔一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余，即空心圎球内径，得长一尺七寸四分六厘三豪九丝七忽有余。即空心圎【度】球外径也，如圗甲乙丙丁。戊己庚辛空心【自】圎球体用定率比例而得壬癸子丑寅邜辰巳空心正方体。将寅邜辰巳空心小正方形移置癸角之一隅，则空心正方体变为壬寅己辰子申未午罄折体形。其壬寅即罄折体之厚，为甲丙外径与戊庚内径之较，依开立方法分之，得酉戌亥三方亷体，干坎艮三长亷体，震一小隅体。以壬寅厚乗，再乗得震一小隅体，与空心正方体积相减，余三方亷体三长亷体，三归之，则余酉一方亷体，干一长亷体，共成巽壬癸辰坤离一扁方体。其巽壬厚与壬寅等，以巽壬厚除巽壬癸辰坤离扁方体，则得壬癸辰坤长方面。壬寅即长濶之较，故用带縦较数开平方法算之，得邜辰濶与寅癸等，即空心圎球之内径。以壬寅与寅癸相加，得壬癸与甲丙等。
即空心圎 【十】球之外径也设如圎窖一座，周二十四尺，髙十尺，问盛米防何？法以周二十四尺，用圎周求面积法，求得圎面积四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余，与髙一丈相乗，得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余，为圎窖之积数。乃以米一石积数定率二千五百寸为一率，一石为二率，圎窖体积四百五十八尺三百六六寸二百二十分有余为三率，求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余，即所盛之米数也。此法与求长圎体积之法同，如甲乙丙丁长圎窖，以甲戊丁巳圎周求得平圎面积，用甲乙髙乗之，即得甲乙丙丁长圎体积。既得体积，则以一石积数二千五百寸与一石之比，同于今所得之体积与今所求之米数之比也。设如圎窖一座，盛米一百六十石，髙十尺，问周径各防何？法以米一石为一率，一石积数定率二千五百寸为二率，盛米一百六十石为三率，求得四率四百尺为圎窖之积数。以髙十尺除之，得四十尺为圎窖之面积。乃用圎积方积之定率比例，以圎积一○○○○○○○○为一率，方积一二七三二三九五四为二率，今所得之圎窖面积四十尺为三率，求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十豪有余。开平方得七尺一寸三分六厘四豪九丝有余，即圎窖之径数。再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九豪四丝有余，即圎窖之周数也。设如积米一堆，髙五尺，底周十四尺，问米数几何？法以底周十四尺，用圎周求面积法，求得圎面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二豪有余，为尖圎堆之底面积，与髙五尺相乗，得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余，三归之，得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余，为尖圎堆之积数。乃以米一石积数定率二千五百寸为一率，一石为二率，今所得之尖圎堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率，求得四率一十石零三升九合八勺一抄有余，即所堆之米数也。此法与尖圎体求积之法同，既得尖圎堆之积，而以一石之积数定率为比例，即得米数也。设如倚壁积米一堆，髙四尺，底周六尺，问米数？防何法？以底周六尺为半周，倍之得一十二尺为全周，用圎周求面积法求得圎面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余，折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余，为倚壁尖圎堆之底面积，以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余，三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余，为倚壁尖圎堆之积数，乃以米一石积数定率二千五百寸为一率，一石为二率，今所得之倚壁尖圎堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率，求得四率三石零五升五合七勺七抄有余，即倚壁所堆之米数也。葢倚壁尖圎堆即尖圎体之一半，故求得平圎面积折半与髙数相乗，又以三归之得倚壁尖圎堆之积数，而以一石积数为比例，即得米数也。设如倚壁内角积米一堆，髙五尺，周一十二尺，问米数防何？法以周一十二尺，四因之，得四十八尺，为全周。用圎周求面积法，求得圎面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余。四归之，得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余，为倚壁内角尖圎堆之底面积。与髙五尺相乗，得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分。三归之，得七十六尺三百九十四寸三百七十分，为倚壁内角尖圎堆之积数。乃以米一石积数定率二千五百寸为一率，一石为二率，今所得之倚壁内角尖圎堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率，求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余，即倚壁内角所堆之米数也。盖倚壁内角尖圎堆即尖圎体之四分之一，故求得平圎面积四归之，与髙数相乗，又以三归之，得倚壁内角尖圎堆之积数，而以一石积数为比例，即得米数也。设如倚壁外角积米一堆，髙六尺，底周三十三尺，问米数防何？法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周，用圎周求面积法求得圎面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二豪有余，四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十八厘四十四豪有余，为倚壁外角尖圎堆之底面积，以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余，三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余，即倚壁外角尖圎堆之积数，乃以米一石积数定率二千五百寸为一率，一石为二率，今所得之倚壁外角尖圎堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率，求得四率九十二石四斗三升七合一勺八抄有余，即倚壁外角所堆之米数也，盖倚壁外角尖圎堆即尖圎体四分之三，故求得平圎面积四归三因与髙数相乗，又以三归之得倚壁外角尖圎堆之积数，而以一石积数为比例，即得米数也。
御制数理精蕴下编卷二十六
钦定四库全书