庄氏算学卷四
庄氏算学卷四
淮徐海道庄亨阳撰曲线体设长圆体径与高皆七尺，问积几何？
法以长圆体径七尺，求得圆面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余，以髙七尺乗之，得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余，即长圆体之积也。又法，以长圆体径七尺，求得圆周数，与髙七尺相乗，得数为长圆体之外面积，以半径之三尺五寸乗之，得数折半，即长圆体之积也。又法，以长方体积一○○○○○○○○为一率，长圆体积七八五三九八一六三为二率，现设之长圆体径七尺，自乗以髙七尺，再乗得数为三率，求得四率，即长圆体之积也。【一率一○○○○○○○○，二率七八五三九八一六三，三率三四二，四率二六九三九一五六九九○九】设尖圆体底径六尺，中髙六尺，问积几何？法以底径六尺求得底面积数，以髙六尺乗之，得数以三归之，即尖圆体之积也。又法，以尖方体积一○○○○○○○○为一率，尖圆体积七八五三九八一六三为二率，现设之尖圆径体底径六尺，自乗以髙六尺，再乗得数三归之，成尖方体积为三率，求得四率，即尖圆体之积也。【一率一○○○○○○○○○，二率七八五三九八一六三，三率七二，四率五六四八六六七七三六】又法，以长方体积一○○○○○○○○为一率，尖圆体积二六一七九九三八八为二率，现设之尖圆体底径六尺，自乗以髙六尺，再乗得数为三率，求得四率，即尖圆体之积也。【一率一○○○○○○○○，二率二六一七九九三八八，三率二一六，四率五六五四八六六七八○八】设尖圆体底周二十二尺，自尖至底周之斜线五尺，求中垂线之髙几何？
法以底周二十二尺求得底径数，折半得半径为勾，以自尖至底周之斜线五尺为▯，求得股数，即中垂线之髙也。【三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余，即中垂线之髙】
设圆球径二尺问外面积几何法以圆球径二尺，求得周数，与径二尺相乗，得数即圆球之外面积也。【一十二尺五十六寸六十三分七十厘有余，即圆珠外面积】
设圆球径一尺二寸问积几何法以圆球径一尺二寸，求得圆面积数，以圆球径一尺二寸乗之，得数为长圆体积，三归之，得数倍之，即圆球之体积也。又法，以圆球径一尺二寸，求得圆球之外面积数，以半径六寸乗之，得数三归之，即圆球之体积也。又法用方积一○○○○○○○○为一率，球积五二三五九八七七五为二率，现设之圆球径一尺二寸，自乗再乗得数为三率，求得四率即圆球之体积也【一率一○○○○○○○○二率五二三五九八七七五三率一七二八四率九○四七七八六八三】又法，以圆球径一○○○○○○○○为一率，正方边八○五九九五九七为二率，现设之圆球径一尺二寸为三率，求得四率数，为与圎球积相等之正方体每边之数，自乗再乗即圆球之体积也。又法，以二十一分为一率，十一分为二率，现设之圆球径一尺二寸，自乗再乗，得数为三率，求得四率，即圆球之体积也。
设圆球积六尺问径几何法以球积一○○○○○○○○为一率，方积一九○九八五九三一七为二率，现设之圆球积六尺为三率。
求得四率数，为与圆球径相等之正方边之正方体积，开立方即得圆球之径也。【一率一○○○○○○○○，二率一九○九八五九二一七，三率六，四率一一四五九一五五九】
【○二】又法，以方边一○○○○○○○○为一率，球径一二四○七○○九八为二率，现设之圆球积六尺，开立方得数为三率，求得四率，即圆球之径也。【一率一○○○○○○○○，二率一二四○七○○九八，三率一八一七一二○，四率二二五四五○二】设撱圆体大径六寸，小径四寸，问积几何？法以小径四寸求得圆面积数，以大径六寸乗之，得数为长圆体积，三归之，得数倍之，即撱圆体之积也。
又法，以小径四寸自乗，得数；以大径六寸再乗，得数，为长圆方体积。乃以方积一○○○○○○○○为一率，球积五二三五九八七七五为二率，现得之长方体积为三率，求得四率，即撱圆体之积也。【一率一○○○○○○○○二率五二三五九八七七五三率九六四率五○二六五四八二】设撱圆体积五十寸，大径比小径多二寸，问大小径各几何？法以球积一○○○○○○○○为一率，方积一九○九八五九三一七为二率，现设撱圆体积五十寸为三率，求得四率为长方体积。乃以大径比小径多二寸为长圆与濶之较，用带一纵开立方法算之，得濶数即撱圆体之小径。加大径比小径多二寸，即撱圆体之大径也【五寸九分九厘二毫大径】【一率一○○○○○○○○，二率一九○九八五九三一七，三率五○四率九五四九二九六五八五○】设上下不等圆面体，上径四尺，下径六尺，髙八尺，问积几何？
法以上径四尺，求得上圆面积；又以下径六尺，求得下圆面积；又以上径四尺与下径六尺相乗，得数开方得中径，用径求圆面积法，求得中圆面积数。三数相并，与髙八尺相乗，得数三归之，得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余，即上下不等圆面体之积也。又法以上径四尺与下径六尺相减，余二尺，折半得一尺为一率，髙八尺为二率，下径六尺折半得三尺为三率，求得四率二十四尺，为上下不等圆面体上补成一小尖圆体之共髙。乃以下径六尺求得圆面积数，与所得共髙数相乗，得数三归为大尖圆体之积。又以髙八尺与共髙二十四尺相减，余数为上尖圆体之髙，以上径四尺求得圆面积，与上髙数相乗，得数三归之为上小尖圆体之积，与大尖圆体积相减，余即上下不等圆面体之积也。又法，以正方体积一○○○○○○○○为一率，圆面体积七八五三九八一六三为二率，上径四尺，自乗，下径六尺，自乗，上下径相乗，三数相并，以髙八尺乗之，得数三归之，成上下不等正方体积为三率，求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余，即上下不等圆面体之积也。【一率一○○○○○○○○，二率七八五三九八一六三，三率二○二六六六六六六六六，四率一五九一七四○二七七○一】又防法以一○○○○○○○○为一率，二六一七九九三八八为二率，上径四尺，自乗，下径六尺，自乗，上下径相乗，三数相并，以髙八尺乗之，得数为三率，求得四率，即上下不等圆面体之积也。设上下不等撱圆面体，上大径四尺，小径三尺，下大径八尺，小径六尺，髙十尺。问积几何？
法以上大径四尺与上小径三尺相乗得十二尺，以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺。又以上大径四尺与下小径六尺相乗，下大径八尺与上小径三尺相乗，共得四十八尺，折半得二十四尺。三数相并得八十四尺。乃以方积一○○○○○○○○为一率，圆积七八五三九八一六三为二率，三数相并为三率，求得四率数与髙十尺相乗得数，三归之，即上下不等撱圆面体之积也。又防法以一○○○○○○○○为一率，一三○八九九六九四为二率。以上大径四尺，倍之加下大径八尺，共十六尺，与上小径三尺相乗，得四十八尺。以下大径八尺，倍之加上大径四尺，共二十尺，与下小径六尺相乗，得一百二十尺。两数相并，以髙十尺乗之，得数为三率，求得四率，即上下不等撱圆面体之积也。设截球体一段，髙二寸，底径九寸六分，问积几何？法以髙二寸为首，率底径九寸六分，折半为中，率求得末率一尺一寸五分二厘，为圆球之截径，加髙二寸为圆球之全径折半为圆球之半径，又以髙二寸为勾，底径折半为股，求得▯五寸二分，作平圆半径用，求圆面积法，求得平圆面积数，即为截球体一段之外面积，与圆球半径六寸七分六厘相乗，得数三归之余，为自圆球中心所分球面尖圆体积。又以截球体底径九寸六分，用求平圆面积法，求得截球体之底面积数，于圆球半径六寸七分六厘内减去截球体之髙二寸，余数与截球体之底面积数相乗，得数三归之余，为自圆球中心至截球体底径所分平面尖圆体积，与球面尖圆体积数相减，余即截球体一段之积也。【七十六寸，五百七十一分，八百八十厘有余，即截积数】设空心圆球积二千寸，厚三寸，问内外径数各几何？
法以球积一○○○○○○○○为一率，方积一九○九八五九三一七为二率，现设之空心圆球积二千寸为三率，求得四率为空心正方体积。乃用算空心正方体法，以厚三寸自乗，再乗得二十七寸，八因之得数与所得空心正方体积数相减，余数六归之，得数用厚三寸除之，得内径相乗长方面积数。乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较，用带纵较数开平方法算之，得濶一尺一寸四分六厘三毫九丝七忽有余，即空心圆球内径。加较六寸，即空心圆球外径也。【一率一○○○○○○○○，二率一九○九八五九三一七，三率二○○四率三八一九七一八六三四】设圆窖一座，周二十四尺，髙十尺，问盛米若干？法以周二十四尺求得圆面积数，与髙一丈相乗，得数为圆窖之积数。乃以米一石积数，定率二千五百寸为一率，一石为二率，圆窖体积四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为三率，求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余，即所盛之米也。【一率二千五百寸，二率一石，三率四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余，四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余】设圆窖一座，盛米一百六十石，髙十尺，问周径各几何？
法以米一石为一率，一石积数二千五百寸为二率，盛米一百六十石为三率，求得四率四百尺为圆窖之积数。以髙十尺除之，得四十尺为圆窖之面积。乃以圆积一○○○○○○○○为一率，方积一二七三二三九五、四为二率，现得之圆窖面积四十尺为三率，求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十毫有余，开平方得七尺一寸三分六厘四毫九丝有余，即圆窖之径数。再用径求周法，求得周二十二尺四寸一分九厘九毫四丝有余，即圆窖之周数也。【一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四三率四○四率十五○九二九五八一六○】设积米一堆，髙五尺，底周十四尺，问米数几何？法以底周十四尺，求得圆面积数，为尖圆堆之底面积。
与髙五尺相乗得数，三归之为尖圆堆之积数。乃以米一石积数二千五百寸为一率，一石为二率，现得之尖圆堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率，求得四率一十石零三升九合八勺一杪有余，即所堆之米数也。【一率二五，二率一，三率二五九九五三○六八二，四率一○三九八一】设倚壁积米一堆，髙四尺，底周六尺，问米数几何？
法以底周六尺为半周，倍之为全周，以周求得圆面积数，折半为倚壁尖圆堆之底面积，以髙四尺乗之，得数三归之，为倚壁尖圆堆之积数。以米一石积数二千五百寸为一率，一石为二率，现得之倚壁尖圆堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率，求得四率三石零五升五合七勺七杪有余，即倚壁所堆之米数也。【一率二五，二率一，三率七六三九四三六，四率三○五五七七】设倚壁内角积米一堆，髙五尺，周一十二尺，问米数几何？法以周一十二尺，四因之，得四十八尺，为全周，以周求得圆面积数，四归之为倚壁内角尖圆堆之底面积，与髙五尺相乗，得数三归之为倚壁内角尖圆堆之积数。乃以米一石积数二千五百寸为一率，一石为二率，现得之倚壁内角尖圆堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率，求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余，即倚壁内角所堆之米数也。设倚壁外角积米一堆，髙六尺，底周三十三尺，问米数几何？
法以周三十三尺，三归四因，得四十四尺，为全周。以周求得圆面积数，四归三因，得数为倚壁外角尖圆堆之底面积。以髙六尺乗之，得数三归之，即倚壁外角尖圆堆之积数。乃以米一石积数二千五百寸为率，一石为二率，现得之倚壁外角尖圆堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率，求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有余，即倚壁外角所堆之米数也。【一率二五，二率一，三率二三一九二九七二八，八四率九二四三七一八】
各等面体设四面体每边一尺二寸，求积几何？
法以每边一尺二寸为▯，每边折半得六寸为勾，求得股数为每一面之中垂线。与每边一尺二寸相乗，折半为每一面之面积。又以每边一尺二寸为▯，每一面之中垂线取其三分之二为勾，求得股数为四面体自尖至底中心之立垂线。或以每一面之中垂线数为▯，每一面之中垂线取其三分之一为勾，亦得股为四面体自尖至底中心之立垂线。以此立垂线与每一面之面积数相乗，三归之，得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余，即四面体之积也。又求自尖至底中心之立垂线防法，以每边一尺二寸自乗，得一尺四十四寸，三归二因，得九十六寸，开平方，即得自尖至底中心之立垂线。又以正方体积一○○○○○○○○为一率，四面体积一一七八五一一二九为二率，现设之四面体之每边一尺二寸，自乗再乗为三率，求得四率，即四面体之积也。【一率一○○○○○○○○二率一七八五一一二九三率一七二八四率二○三六四六七五○】设四面体体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘，问每边数几何？法以四面体积一一七八五一一二九为一率，正方体积一○○○○○○○○为二率，现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率，求得四率一尺七百二十八寸，开立方得一尺二寸，即四面体之每一边也。【一率一一七八五一一二九，二率一○○○○○○○○，三率二○三六四六七五○，四率一七二八】又法，以正方体之每边一○○○○○○○○为一率，四面体之每边二○三九六四八九○为二率，现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘，开立方得五寸八分八厘三毫三丝六忽五微有余，为三率，求得四率一尺二寸，即四面体之每一辶也。【一率一○○○○○○○○二率二○三九六四八九○三率二○三六四六七五○四率一二】设八面体每边一尺二寸，求积几何？
法以八面体分作二尖方体算之，将每边一尺二寸自乗，得一尺四十四寸，为二尖方体之共底面积。又以每边自乗之一尺四十四寸倍之，开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余，为二尖方体之共髙，即八面体之对角斜线。以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗，三归之，得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余，即八面体之积也。又法以正方体积一○○○○○○○○为一率，八面体积四七一四○四五二一为二率，现设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗，得一尺七百二十八寸为三率，求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余，即八面体之积也。【一率一○○○○○○○○二率四七一四○四五二一三率一七二八四率八一四五八七○一二】设八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘，问每边之数几何？法以八面体积四七一四○四五二一为一率，正方体积一○○○○○○○○为二率，现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率，求得四率一尺七百二十八寸，开立方得一尺二寸，即八面体之每一边也。【一率四七，一，四○四五二一，二率一○○○○○○○，○，三率八一四五八七○一二，四率一七三八】又法，以正方体之每一边一○○○○○○○○为一率，八面体之每边一二八四八九八二九为二率，现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘，开立方得九寸三分三厘九毫二丝六忽有余，为三率，求得四率一尺二寸，即八面体之每一边也。【一率一○○○○○○○○二率一二八四八九八二九三率九三三九二六四率一二】设十二面体每边一尺二寸，求积几何？
法以十二面体分作十二五角尖体算之，将每边一尺二寸，求得五等边形之分角线为一尺零二分零七毫八丝零九微有余，自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余，面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余。乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率，全分一○○○○○○○○为二率，现设之每邉一尺二寸为三率，求得四率一尺九寸四分一厘六毫四丝零七微有余，为每一面两角相对之斜线。又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率，全分一○○○○○○○○为二率，现得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八毫二丝零三微有余为三率，求得四率一尺五寸七分零八毫二丝零二微有余，为十二面体之中心至每边正中之斜线。乃以此斜线为▯每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余为勾，求得股一尺三寸三分六厘二毫一丝九忽六微有余，为十二面体之中心至每一面中心之立垂线。以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余，为一五角尖体积。十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余，即十二面体之总积也。【一率六一八○三三九九，二率一○○○○○○○○，三率一二，四率一九四一六四○七；一率六一八○三三九九，二率一○○○○○○○○，三率九七○八二○三，四率一五七八○八二○二】又法，以正方体积一○○○○○○○○为一率，十二面体积七六六三一一八九○三为二率，现设之十二面体之一尺二寸自乗再乗，得一尺七百二十八寸为三率，求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余，即十二面体之积也。【一率一○○○○○○○○，二率七六六三一，一八九○三，三率一七二八，四率一三二四一，八六九四六四】设十二面体，积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘，求每边数几何？法以十二面体积七六六三一，一八九○三为一率，正方体积一○○○○○○○○为二率，现设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率，求得四率一尺七百二十八寸，开立方得一尺二寸，即十二面体之每一边也。【一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○，三率一三二四一八六九四六四，四率一七二八】又法，以正方体之每边一○○○○○○○○为一率，十二面体之每边五○七二二二○七为二率，现设之十二面体积开立方得数为三率，求得四率，即十二面体之每一边也。设二十面体，每边一尺二寸，求积几何？法以正方体积一○○○○○○○○为一率，二十面体积二一八一六九四九六九为二率，现设之二十面体之每边一尺二寸，自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率，求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六厘有余，即二十面体之积也。【一率一○○○○○○○○，二辛二一八一六九四九六九，三率一七二八，四率三七六九九六八九○六】又法，以二十面体之每边七七一○二五三四为一率，正方体之每边一○○○○○○○○为二率，现设之二十面体之每边数为三率，求得四率为与二十面体积相等之正方体每邉之数，自乗再乗，即二十面体之积也。【一率七七一○二五三四二率一○○○○○○○○三率一二四率一五五六三六九】设二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘，求每边数几何？法以二十面体积二一八一六九四九六九为一率，正方体积一○○○○○○○○为二率，现设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率，求得四率一尺七百二十八寸，开立方得一尺二寸，即二十面体之每一边也。【一率二一八一六九四九六九，二率一○○○○○○○○，三率三七六九九六八九○六，四率一七二八】又法，以正方体之每边一○○○○○○○○为一率，二十面体之每邉七七一○二五三四为二率，现设之二十面体积开立方得数为三率，求得四率，即二十面体之每一边也。【一率一○○○○○○○○，二率七七一○二五三四，三率一五五六三六九，四率一二】
庄氏算学卷四
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