御制数理精蕴上编卷三

御制数理精蕴上编卷三

几何原本六几何原本七几何原本八几何原本九几何原本十几何原本六第一大凡欲论诸物之不齐，必借同类之物以比之，始可以得其不齐之度数。如一线与他线相比，其度之或长或短，其数之或多或少，自能见之。如一面与他面相比，其面度之或大或小，其积数之或多或少，自能见之。又如一体与他体相比，其体度之或厚或薄，其积数之或多或少，亦自能见之。若将一线与一面相比，或一面与一体相比，既不同类，又不同形，则线之长短，面之大小，体之厚薄，俱不可辩矣。故曰：欲论诸物之不齐，必借同类之物以比之也。

第二将两数相比，其度互为大小，则谓【率】之比例。其比者与所比者俱谓之【率者，法也，矩也，以数互相准之之谓也】其比之数为前率，其所比之数为后率。如甲乙二数互相为比，其相较之分，甲数之度为长，其分为多；乙数之度为短，其分为少。如是以比之，故谓之二率。甲为比之之数，故谓之前率；乙为所比之数，故谓之后率焉。

第三有四率，两两相比，其一率与二率之比，同于三率与四率之比，则谓之同理比例也。如甲乙丙丁四数，甲与乙比，丙与丁比，苟乙为甲六分之五，丁为丙六分之五，则甲与乙之比例，丙与丁之比例，此两比例相同，而乙有甲防分之数，即可知丁有丙防分之数矣。故凡四率内，将一率与三率分数定为相等，二率与四率分数亦定为相等，其度之长短虽有不同，苟分数定准则，一率与二率之比，即如三率与四率之比也。夫甲乙丙丁四线内，甲第一线与丙第三线俱各定为六分，乙第二线与丁第四线俱各定为五分，则甲度之长虽大于丙度之长，其分数则俱为六，而乙度之长虽大于丁度之长，其分数亦俱为五，故知乙第二线度与甲第一线度之六分之五分相等，丁第四线度亦与丙第三线度之六分之五分相等，所以甲线之比乙线，即如丙线之比丁线，而谓之同理比例也。

第四凡四率两两相比，其一率与二率相比之分，若大于三率与四率相比之分，则为不同理之比例，而比例不得行也。如有甲乙丙丁四数，甲与乙，丙与丁各互相为比。苟甲第一数与乙第二数相比之分为六与四，其丙第三数与丁第四数相比之分为五与四，则此甲与乙之比大于彼丙与丁之比矣。故凡如此例者，以一率二率相比之分为凖，则三率四率相比之分为小；若依三率四率相比之分为准则一率二率相比之分又大。故谓之不同理之比例，而比例四率不能行也。

第五凡有四率，一率之度与二率之度相比分数，若同于三率之度与四率之度相比分数，则此四率又谓之相当比例四率焉。如甲乙丙丁四线，苟甲线与乙线相比之度，与丙线与丁线相比之度，其分数同，则此四线谓之各相当线。而毎两率相比，其毎度之分数同，故又谓之相当比例四率也。

第六凡三率互相为比，其一率与二率之比同于二率与三率之比，则谓之相连比例率也。如甲乙丙三数互相为比，苟甲数与乙数之比同扵乙数与丙数之比，则此甲乙丙三数谓之相连比例率矣。若相连比例率内将一率与三率比之，则为隔一位加一倍之比例。或有相连比例四率，将一率与四率比之，则为隔二位加二倍之比例。大凡有几率隔几位以比者，皆以隔几位而为加几倍之比例也。如甲乙丙相连比例率内，其甲与丙之比为隔一位加一倍之比例。又或甲乙丙丁戊五数俱为相连比例率，其甲与丁之比即为隔二位加二倍之比例，而甲与戊之比则又为隔三位加三倍之比例矣。

第七相当比例四率为数学之要，因其理之所该最广，故设为双圜图以申明之。立甲防为心，作乙丙一大圜，丁戊一小圜。此二圜界各具三百六十度，故皆可以为三百六十分【首卷第十七节云：凡圜无论大小，俱定为三百六十度】于是自圜之甲心，过小圜界之辛壬二处，至大圜己庚二处，作二线。则大圜之己甲庚，小圜之辛甲壬，俱同一甲角。此甲角相对之己庚弧界，设为六十度，则为乙丙大圜三百六十分中之六十分矣。乙丙大圜之己庚弧界度既为六十分，则丁戊小圜之辛壬弧界度亦为六十分矣。大凡角度俱定于相对之圜界【见首卷第九节】今此大圜之己庚弧界，小圜之辛壬弧界，俱与一甲角相对。其度虽依圜之大小不同，而分数则等。分数既等，则大圜小圜，大弧小弧，两两互相为比，即如四率之两两相比为同理比例矣。是以大圜之三百六十分为一率，自大圜所分之己庚弧之六十分为二率，小圜之三百六十分为三率，自小圜所分之辛壬弧之六十分为四率。其乙丙大全圜与本圜己庚分之比，即同于丁戊小全圜与本圜辛壬分之比也。故凡各率各度虽异，相当之分数若同，则一率与二率之比，必同于三率与四率之比，而俱谓之顺推比例矣。要之，分合加减各率之法，总不越此图之互转相较之理也。

第八一种反推比例，将一率与二率之比同于三率与四率之比者，反推之，以二率与一率为比，四率与三率为比，其所比之例仍同，故亦谓之相当比例率也。如甲乙丙丁四数，将甲与乙之比同于丙与丁之比，反推之，以乙与甲为比，丁与丙为比，则所比之例仍同于相当比例率焉。以前双圜图解之，葢甲数与乙数之比例，即乙丙大圜全界与所分己庚弧界之比例；丙数与丁数之比例，即丁戊小圜全界与所分辛壬弧界之比例也。今反以乙与甲为比，丁与丙为比，即如以乙丙大圜所分之己庚弧界与乙丙大圜全界为比，丁戊小圜所分之辛壬弧界与丁戊小圜全界为比也。因其以二率为一率，以三率为四率，前后互移，故谓之反推比例。然名虽为反推比例，而相当比例之率仍与顺推比例相同也。

第九一种递转比例，将一率与二率之比同于三率与四率之比者，转较之以一率与三率为比，二率与四率为比，其所比之例仍为相当比例率也。如甲乙丙丁四数，将甲与乙之比同于丙与丁之比，转较之以甲与丙为比，乙与丁为比，则所比之例仍同于相当比例率也。如前双圜图，乙丙大圜全界一率与所分巳庚弧界二率之比，同于丁戊小圜全界三率与所分辛壬弧界四率之比。若转较之以乙丙大圜之一率与丁戊小圜之三率为比，大圜所分之巳庚弧界二率与小圜所分之辛壬弧界四率为比，其度虽依圜之大小有异，而分数则同，其比例仍同于原比例。故甲乙丙丁之四数，亦如大小二圜为互相比例之率，而甲一率与丙三率之比，即大圜与小圜之比；乙二率与丁四率之比，即大圜所分弧界与小圜所分弧界之比也。葢以三率为二率，以二率为三率，递转相较，故谓之递转比例。其相当比例之四率，虽递转以较之，亦仍为相当比例之四率也。

第十一种分数比例，彼四率之中，以一率与二率之比同于三率与四率之比矣。若将此相比之率所较之分截开，以一率与二率之较为一率与二率为比，以三率与四率之较为三率与四率为比，则其所比之例仍为相当比例率也。如甲乙丙丁四数，于甲数内减去乙数之分为戊巳，丙数内减去丁数之分为庚辛，乃以戊己易甲与乙线为比，以庚辛易丙与丁线为比，则所比之例仍同于相当比例率也。如前双圜图，于乙丙大圜全界内减去所分己庚弧界一段，仍与己庚弧界为比；丁戊小圜全界内减去所分辛壬弧界一段，仍与辛壬弧界为比，亦与大圜全界与大圜所分弧界、小圜全界与小圜所分弧界相比之理同。故此甲线内截去乙所成戊己，仍与乙相比，即如乙丙大圜全分截去己庚弧界一段，仍与己庚弧界相比；而丙线内截去丁所成庚辛，仍与丁相比，即如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段，仍与辛壬弧界相比也。其比例仍同于相当比例四率，但因其各分内有分开相减之故，所以谓之分数比例也。第十一一种合数比例，有四率。以一率与二率之比，同于三率与四率之比矣。若将此相比之率并之，以一率与二率相加为一率，仍与二率为比；以三率与四率相加为三率，仍与四率为比。其所比之例，亦仍同于相当比例之四率也。如甲乙丙丁四数，以甲数与乙数相加共为一率，与乙数为比；丙数与丁数相加共为三率，与丁数为比。则所比之例，仍同于相当比例四率也。此合数比例与分数比例之理，互相对待。彼分数比例以双圜图，二圜全界内减去所分弧界一段，仍与所分弧界一段为比。今此合数比例，即如二圜全界内所分大段加入所分弧界一小段，即是全界，而与所分弧界一段为比也。其所比之理，仍同于相当比例四率，但因有相加之加，故谓之合数比例焉。

第十二一种更数比例，以一率与二率之比同于三率与四率之比者，更之。将一率与二率相减，用其余分为二率，仍与一率为比。又将三率与四率相减，用其余分为四率，仍与三率为比，则其比例之理仍同于相当比例四率也。如甲乙丙丁四数，于甲第一率内减去乙第二率，所余为戊己，乃以戊己立乙第二率之位，而以甲与戊己为比。复于丙第三率内减去丁第四率，所余为庚辛，乃以庚辛立丁第四率之位，而以丙与庚辛为比，其所比之理仍同于四率之比例，故亦为相当比例之四率也。今以双圜图解之。《乙丙大圜三百六十度之全界》仍为一率，全界内减去所所分之巳。庚弧界六十度，一段余己丙庚三百度，一大段，为二率，丁戊小圜三百六十度之全界，仍为三率，全界内减去所分之辛壬弧界六十度，一段余辛戊壬三百度，一大段，为四率，则乙丙大圜三百六十度之全界，如甲所更之巳丙庚三百度，如戊巳，而丁戊小圜三百六十度之全界，如丙所更之辛戊壬三百度，如庚辛，故其四率之两相比例，亦同为相当比例率也。凡四率之内前后之相差，虽更入比之，仍与相当比例之理同，但以其数有更入之故，所以谓之更数比例也。

第十三一种隔位比例，有两相比例四率。将此一邉四率内，一率与末率为比；彼一边四率内，一率与末率为比，则其所比之例仍同于相当比例四率也。如此一边有甲乙丙丁四数，彼一边有戊己庚辛四数。此甲与乙之比，同于彼戊与己之比；此乙与丙之比，同于彼已与庚之比；此丙与丁之比，同于彼庚与辛之比。若将此四率隔位比之，使此一边之甲与丁为比，以彼一边之戊与辛为比，则其比例仍同于相当比例四率也。试以双圜图之大小圜所分各弧界之两线引长，自庚壬过甲至癸丑作一全径线，复自己辛过甲至子寅作一全径线，则分大圜为庚巳己丑丑寅寅庚四段，分小圜为壬辛辛癸癸子子壬四段。其大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段为相当四率，而小圜之壬辛辛癸癸子子壬四▯亦为相当四率。此二圜之所分四段既俱为相当四率，则其各相比例度之大小虽异，而分数相同。故大圜之庚己一▯与已丑一▯之比，同于小圜之壬辛一段与辛癸一▯之比；大圜之已丑一▯与丑寅一段之比，同于小圜之辛癸一▯与癸子一▯之比；大圜之丑寅一段与寅庚一段之比，同于小圜之癸子一段与子壬一▯之比也。若以此各相当四率隔位以比之，其大圜之庚已一▯与寅庚一段为比，而小圜之壬辛一▯与子壬一▯为比，其比例仍同于相当比例四率。但以其两边各相比例四率内各取两率隔位以比之，故谓之隔位比例耳。

第十四一种错综比例，有两连比例三率。此一边三率内，中率与末率之比，同于彼一边三率内，中率与末率之比，则为相当比例之四率。苟错综其位分，以此一边首率与末率隔位为比，复取另一数与彼一边中率为比，而成同理之四率，则此另一数必与彼边三率为连比例四率矣。如此一边有甲乙丙连比例三数，彼一边有丁戊已连比例三数，将此一邉中率乙数与末率丙数之比，同于彼一边中率戊数与彼一邉末率己数之比，则其比例为同理比例矣。今错综其位分，使此一边所有之首率甲数与所有之末率丙数隔位为比，复另取一庚数与彼一边所有之中率戊数为比，则其比例亦同于相当比例四率，而此庚数与彼边丁戊己三率为连比例之数矣。何也？试以庚数置于彼一边丁首率之上，则庚为首率，而丁移而为中率，戊又易而为末率。是故此一边甲首率与丙末率之比，同于彼一边所取庚首率与所易戊末率之比。但以两连比例率互相易位増入比之之不同，故名之为错综比例耳。

第十五一种加分比例，凡有二率，依本度各加几倍，所加之分数若等，则所成之二率互相为比，仍同于原二率之互相为比，谓之等倍相加之比例也。如甲乙二数，于甲数依本度加三倍为丙，于乙数依本度加三倍为丁，则此丙丁二数互相为比，仍同于甲乙二数之互相为比也。假若甲度为一大分，乙度为一小分，则甲加三倍成四大分之丙，乙加三倍成四小分之丁，以四大分之丙比四小分之丁，以一大分之甲比一小分之乙，其相当之分数既等，固为同理比例可知矣【见本卷第三节】故凡二率依本度各加几倍，其所加之分数若等，其加分之率互相为比，必同于原率之互相为比，因于原数有相加之分，故谓之加分比例也。第十六一种减分比例，凡有二率，依度度各减几倍，所减之分数若俱等，则所成之二率互相为比，仍同于原二率之互相为比，谓之等分相减之比例也。如有甲乙丙丁二数，其甲乙之三分内减去甲戊一分，丙丁之三分内减去丙己一分，则戊乙、己丁互相为比，仍同于原甲乙丙丁全数之互相为比也。何也？夫甲乙度为三尺，丙丁度为三寸，自甲乙度内减去一尺，则为戊乙；自丙丁度内减去一寸，则为己丁。以所余之戊乙二尺与所余之已丁二寸为比，以甲乙之全三尺与丙丁之全三寸为比，其相当之分数必等，故亦为同理比例矣。凡二率之内，无论减几分，其所减之分数若等，则相比之理必同于原数之比例，因于原数内减之故，又谓之减分比例也。

几何原本七第一前卷所论比例之法凡一十有二【相当比例一种相连比例一种正比例一种反比例一种递转比例一种分数比例一种合数比例一种更数比例一种隔位比例一种错综比例一种加分比例一种减分比例一种】虽种种变化不穷，其每相当分数所成之率依然一理，故其相比之例俱同，而皆为相当比例四率也。是故线与线为比，面与面为比，体与体为比，依前各种比例之法，线之比例若同，则为相当比例；线面之比例若同，则为相当比例；面体之比例若同，则为相当比例；体矣。夫线、面、体为类不同，虽不能互相为比，假使线、面、体之每相当分数若等，则按其各类相当分数比之，亦为同理比例率也。如甲之六分线与乙之三分线相比，丙之六分面与丁之三分面相比，戌之六分体与已之三分体相比，此三种每相当分数既俱相等，故其比例亦俱相等，而六率互为同理比例可知矣。

第二大凡直角平方面积皆生于二线之度，故欲知方面所生比例之分，将其二形之纵横线分考之即可得而知矣。如甲乙丙丁直角平方之二面，欲知其所生比例之分，则视甲乙大形之甲戊横线长度，得彼丙丁小形之丙己横线长度为三倍；而甲乙大形之甲庚纵线寛度，得彼丙丁小形之丙辛纵线寛度为二倍。假若将甲乙大形自中线平分为甲癸壬乙二形，其甲癸形之甲壬寛度，丙丁形之丙辛寛度必俱相等；其甲戊横线长度既仍与丙己横线长度为三倍，其所分之甲癸形必与丙丁三形相等。再彼壬乙形亦与丙丁三形相等，则此二形相合之甲乙一全形比之丙丁小形为六分，可知矣。又或甲乙大形之甲戊横线长度得丙丁小形之丙己横线长度为四倍，甲乙大形之甲庚纵线寛度得丙丁小形之丙辛纵线寛度为三倍，则大形与小形四倍者有三，而大形比小形为十二分，可知矣。再或甲乙大形之甲戊横线比丙丁小形之丙己横线为十二倍，丙丁小形之丙辛纵线反比甲乙大形之甲庚纵线为三倍，则甲乙大形之甲戊横线之长虽比丙丁小形之丙己横线之长多十一倍，而甲乙大形之甲庚纵线之寛又比丙丁小形之丙辛纵线之寛少二倍矣。将此纵横二线之多少较之，甲乙大形比丙丁小形为四倍，而丙丁小形为甲乙大形之四分之一。于是以二形之纵横多少互相较对，以比例之始得知此形与彼形之比例焉。故凡直角平方面形与他一形相比，其比例有二，以此形之长与他形之长比之为一比例，以此形之寛与他形之寛比之为一比例。两形相比之间而兼两比例者，正以平面之积自二线之度生之之故也。

第三有两直角方面形，若将此方面横界与他方面横界为比，又将他方面纵界与此方面纵界为比，其比例若同，则此两方面必相等也。如甲乙丙丁两方面形，甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己横界大一倍，而丙丁形之丙庚纵界比甲乙形之甲辛纵界亦大一倍，则甲乙丙丁两形之分必相等。是知两方面形纵横之分互相较对，则两方面之积可知矣。

第四凡有相比例四率，其二率与三率相乘，一率与四率相乘，则所得之分数俱相等也。如甲乙、丁戊、戊己、乙丙相比例四率：甲乙一率为二分，丁戊二率为四分，戊己三率为三分，乙丙四率为六分。将丁戊二率为纵线，戊已三率为横线，以之相乗又将甲乙一率为纵线，乙丙四率为横线，以之相乗其所得之丁己一方面形、甲丙一方面形，其分数俱是十二，互相等矣。然则丁已形之丁戊纵度虽比甲丙形之甲乙纵度大一半，而丁已形之戊己横度复比甲丙形之乙丙横度少一半，故其纵横互较之分相等，而其积亦等也。是故四率中凡有三率欲求其不知之一率，将两率之分相乘所得之数，以一率之分除之，即得其一率矣。设如甲乙三分为一率，丁戊六分为二率，戊己五分为三率，乙丙十分为四率。今只知一率、二率、三率之分，欲推四率，则以丁戊六分二率与戊巳五分三率相乘为丁己三十分，乃以甲乙三分一率除之，即得乙丙十分四率矣。此以小分为首率者也。或知乙丙、戊己、丁戊之三率而推甲乙之一率，则以乙丙十分为一率，戊巳五分为二率，丁戊六分为三率，二率与三率相乘，一率除之，即得甲乙之四率矣。此以大分为首率者也。又或知甲乙、丁戊、乙丙之三率而推戊己之一率，则以丁戊为一率，甲乙为二率，乙丙为三率，二率与三率相乘，一率除之，即得戊己之四率矣。此即反推比例之理也。又或知戊己、乙丙、甲乙之三率而推丁戊之一率，则以戊己为一率，甲乙为二率，乙丙为三率，二率与三率相乘，一率除之，即得丁戊之四率矣。此即递转比例之理也。

第五凡有两直角方面形，此一方面之横界与他一方面横界为比，此一方面之纵界与他一方面纵界为比，其比例若等，则此两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例也。如甲乙丙丁同式二方面形，其甲乙形之甲戊横界为丙丁形丙己横界之二倍，而甲乙形之甲庚纵界亦为丙丁形丙辛纵界之二倍，则甲乙形面积与丙丁形面积之比，比之甲乙形之一界与丙丁形之一界之比者，即如连比例三率隔一位相加之比例矣。葢甲乙方面之纵横界既为丙丁方面纵横界之二倍，则甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有二，二其二为四，故甲乙方面积比丙丁方面积为四倍。今甲乙方面积为一十六分，与丙丁方面积之四分相比较之，甲乙方界之四分与丙丁方界之二分相比者不同。葢丙丁四得甲乙十六之四分之一，而辛丁二得庚乙四之二分之一，以四分比一分较之，二分比一分不为二倍乎？故欲求其比例相连之率，则于甲乙形之界二倍之得八分，与丙丁方界二分为比，即如甲乙方面积十六与丙丁方面积四分之比矣。夫八与十六，四与八，二与四，皆二分之一之比例，而十六隔八与四比，八隔四与二比，则皆成四分之一之比例，故十六与四较之，四与二为两界上连比例隔一位相加之比例也。又如甲乙方面之纵横界为丙丁方面纵横界之三倍，则甲乙方面内如丙丁方面之三倍者有三，三其三为九，故甲乙之面积比丙丁面积为九倍。今甲乙之积为三十六分，与丙丁方面积四分相比较之，甲乙方界之六分与丙丁方界之二分相比者不同。葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一，而辛丁二得庚乙六之三分之一，以九分比一分较之，三分比一分不为三倍乎？故欲求其比例相连之率，则于甲乙形之界，三倍之，得十八，与丙丁方界二分为比。即如甲乙方面积三十六，与丙丁方面积四之比例矣。葢十八与六，六与二，皆三分之一之比例；而三十六隔十二与四比，十八隔六与二比，则皆为九分之一之比例。故三十六与四较之，六与二亦为两界上连比例，隔一位相加之比例也。

第六凡直角方面形有二种，一为长方，一为正方。因其纵横界之比例各异，故其所生之形不同，而积不得互相为比也。如欲比之，必以长方与长方为比，正方与正方为比，其比例始行。如甲乙丙丁两长方面形，其甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙己横界为大一倍，甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙辛纵界亦为大一倍，其比例相同。若以甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙辛纵界为比，则大三倍；而甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙己横界为比，止大一分，犹不得大一倍，其比例则异。故甲乙形所生之积为二十四，而丙丁形所生之积为六，俱为长方形焉。又如子丑寅夘两正方形，其子丑形之子辰横界与寅卯形之寅已横界之比，子丑形之子午纵界与寅卯形之寅未纵界之比，俱为大三倍，而比例相同。复以子丑形之子辰横界与寅卯形之寅未纵界为比，子丑形之子午纵界与寅卯形之寅已横界为比，亦各大三倍，而比例相同。故子丑形所生之积为三十六，而寅夘形所生之积为四，俱为正方形焉。以此四形两两相比，则甲乙长方形与丙丁长方形为比，而子丑正方形与寅卯正方形为比，各为相当比例之四方面也。

第七有两同式长方面，于两形相当之二界，各作两正方面，互相为比，即同原两长方面之互相为比也。如甲乙丙丁两直角长方面，在甲戊丙己相当二横界，各作甲庚丙辛两正方面，则所作甲庚丙辛两正方面互相为比，即同于原有之甲乙丙丁相同之两长方面之互相为比也。夫甲乙丙丁同式之两长方面积，既为隔一位相加之比例，则所作甲庚丙辛同式之正方面积，亦必为隔一位相加之比例。然则甲乙丙丁原有之两面互相为比，与所作甲庚丙辛之正方面之互相为比，其为同理之比例无疑矣。

第八大凡二平行线内所有直角方面互相为比，同于其底之互相为比也。如甲乙丙丁二平行线内，有甲已庚丁两直角方面，其甲已面与庚丁面之比，即同于甲已面之丙己底线与庚丁面之辛丁底线之比也。葢甲巳面之丙巳底线与庚丁面之辛丁底线为三倍，而甲巳面之甲丙纵线与庚丁面之庚辛纵线，因同在二平行线内，其度固同。今以二面纵线俱依庚丁面之庚辛分数分之，皆为四倍，则甲巳面为一十二分，而庚丁面为四分矣。以甲己面之十二分与庚丁面之四分为比，即如甲己面之丙己底三分与庚丁面之辛丁底一分之比，故其比例相同也。

第九凡二平行线内所有二界平行斜方面互相为比，同于其底界度之互相为比也。如甲乙丙丁二平行线内，有甲戊乙丁两斜方面积互相为比，即同于丙戊巳丁两底界之互相为比也。试将甲戊乙丁两斜方面之丙戊己丁两底界上立庚戊辛丁两直角面，则此两直角面因与两斜方面同底同髙，其积必等【见三卷第八节】前节言凡二平行线内所有直角方面互相为比，同于其底之互相为比。此甲戊乙丁两斜方面既与同底所立庚戊辛丁两直角面相等，则甲戊乙丁两斜方面互相为比，必同于丙戊己丁两底界之互相为比，可知矣。故凡二平行线内所有面积相比之分数，必与底界相比之分数同也。

第十凡二平行线内所有三角形面积互相为比，亦同于其底界度之互相为比也。如甲乙丙丁二平行线内，有戊己庚、辛壬癸两三角形，其内所函面积互相为比，即同于巳庚、壬癸两底界之互相为比也。何也？凡二平行线内所有三角形，得其同底所立四边形之一半。今以甲乙丙丁二平行线内之戊己庚三角形，同底立一戊巳庚子四边形；辛壬癸三角形，同底立一辛壬癸丑四边形。则戊巳庚三角形为戊巳庚子四边形之一半，而辛壬癸三角形为辛壬癸丑四边形之一半。如以两三角形面积互相为比，即同于两四边形面积之互相为比，而为相当比例四率矣。其面积既互相为比，则其两三角形面积相比同于两三角形底之相比者，亦如两四边形相比同于两四边形底之相比矣。然则戊巳庚、辛壬癸两三角形面积互相为比，必同于巳庚、壬癸两底界互相为比者，可知也。今壬癸底界既比己庚底界大一倍，故辛壬癸三角形面积必比戊巳庚三角形面积亦大一倍也。

防何原本八第一凡三角形内，与其底线平行作一直线，则所截三角形之两边线互相为比例线，其两边线所分各二叚互相为比，为相当比例四率，而每边所截之一叚与本全线比之，亦为相当比例四率也。如甲乙丙三角形内，与乙丙底线平行作一丁戊线，则分甲乙一边为甲丁、丁乙二叚，分甲丙一边为甲戊、戊丙二叚。其甲乙一边之甲丁、丁乙二叚互相为比，甲丙一边之甲戊、戊丙二叚互相为比，其比例俱同，为相当比例四率矣。又如甲乙一边之甲丁一叚与本边甲乙全线为比，甲丙一边之甲戊一叚与本边甲丙全线为比，其比例亦俱同，为相当比例四率矣。今以三角形按所截分分为各式，以各式面积互相比者考之：自丁戊线之丁、戊二端作丁丙、戊乙二线，则甲乙丙一三角形分为四三角形。此四三角形内所有之乙戊、丁丙、丁戊两三角形，既在乙丙、丁戊二平行线之间，又共立于一丁戊之底，其二形之积必等【见三卷第十节】于此二形各加一所截甲丁戊小三角形，即成甲戊乙、甲丁丙两三角形，其积亦必相等。又如甲丁戊、乙丁戊两三角形之底俱在甲乙一直线上，而两三角形之戊角又共在一戊处，其两形必在二平行线之间；而甲丁戊、丙丁戊两三角形之底俱在甲丙一直线上，而两三角形之丁角又共在一丁处，其两形亦在二平行线之间【见三卷第十二节】因各三角形两两俱为二平行线所限，故其面积互相为比，必同于其底界之互相为比也【见七卷第十节】此所以甲丁戊、丙丁戊两三角形积互相为比，与其甲戊、戊丙两底线之互相为比同；其甲丁戊、乙丁戊两三角形积互相为比，与其甲丁、丁乙两底线之互相为比亦同也。▯甲乙戊三角形之积既与甲丙丁三角形之积相等，则以甲乙丙之全形与所分之甲乙戊三角形，或与所分之甲丙丁三角形相比，其比例必俱相同。而甲丙丁三角形之甲丁底，与甲丙乙全形之甲乙底，互相为比；甲乙戊三角形之甲戊底，与甲乙丙全形之甲丙底，互相为比，亦必俱相同矣。因其各三角形得互相为比例，故其所截两边线，两两为相当比例率也。

第二凡三角形内与底平行作一直线，其所截两边线之每一叚与各边全线之比，即同于所作线与底线之比也。如甲乙丙三角形内，与乙丙底平行作一丁戊线，此丁戊线所截甲丁一叚与甲乙全线之比，甲戊一叚与甲丙全线之比，皆如丁戊线与乙丙底线之相比也。假若将甲乙丙三角形之甲乙边线为底，而与甲乙底线平行作一戊己线，即成戊巳乙丁四边长方形，其两两平行线之度俱各相等。然三角形之两边与所截之每叚既互相为比【如前节所云】则此乙丙边之乙己一叚与乙丙边全线之比，即同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比。而丁戊之平行线既与乙已平行线度相等，则此丁戊平行线与原底乙丙线之比，亦必同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比矣。故甲戊叚为一率，甲丙边全线为二率，丁戊平行线为三率，乙丙底线为四率，为相当比例四率也。又如甲乙边之甲丁一叚与甲乙边全线之比，既同于丁戊平行线与乙丙底线之比，则甲丁叚为一率，甲乙边全线为二率，丁戊平行线为三率，乙丙底线为四率，亦为相当比例四率也。苟甲乙边全线为六分，则甲丁叚得其六分之二分；乙丙边全线为六分，则丁戊叚亦得其六分之二分，所以成两两相当比例之率也。

第三凡大小两三角形，其相当之二角度若两两相等，则其余一角亦必相等。如此类两三角形，谓之同式三角形也。虽其内容积分不同，而其相当各界互相为比，俱为相当比例之率焉。如甲乙丙丁戊己大小两三角形，其甲角与丁角等，乙角与戊角等，则所余丙角必与己角等，而为同式三角形也【二卷第三节言，凡三角形之三角相并与二直角等，则此大小两三角形之各三角相并亦俱为二直角。于二直角中减去大形之甲角乙角，余为丙角；减去小形之丁角戊角，余为己角。其所减之数既等，则所余之数亦必等矣】若于大形内与乙丙平行作庚辛线，与甲乙平行作辛壬线，则成甲庚辛、辛壬丙两小三角形。此两小形之相当角度与大形之相当角度亦必俱等，故皆谓之同式形也。凡同式之形，其容积虽不一，而其各界互相为比，皆为相当比例之四率。是故以大三角形之甲乙全线与所截甲庚一叚之比，即如大三角形之甲乙一边与小三角形之相当丁戊一边之比也。大三角形之甲丙全线与所截甲辛一叚之比，即如大三角形之甲丙一边与小三角形之相当丁巳一边之比也。大三角形之乙丙底线与所截庚辛底线之比，即如大三角形之乙丙底线与小三角形之戊已底线之比也。至于甲乙丙大三角形与所截辛壬丙小三角形相当各界之比，亦如甲乙丙大三角形与丁戊已小三角形相当各界之比也。由此推之，凡同式之形，其相当各界互相为比，皆为相当比例之率可知矣。

第四同式直角三角形面积互相为比，同于三角形各相当界所作方形之互相为比；而同式三角形面积互相为比者，比之各相当界互相为比，则为连比例内隔一位相加之比例也。如甲乙丙丁戊巳两同式直角三角形，其面积互相为比，即同于此两三角形之乙丙戊巳相当二界所作庚乙辛戊两方形互相为比之比例。而此两三角形之面积互相为比，比之乙丙戊已相当二界互相为比之比例，则为连比例内隔一位相加之比例矣。葢两三角形之乙戊二角俱为直角，若与乙丙戊巳二线平行作甲壬丁癸二线，又与甲乙丁戊二线平行作壬丙癸己二线，即成壬乙癸戊两直角长方形。此甲乙丙丁戊己两三角形因与所作壬乙癸戊两直角长方形在二平行线内同为一底，其积为一半，将半与半相比者，即同于全与全之相比。故甲乙丙丁戊己两三角形互相为比，必同于壬乙癸戊两直角长方形互相为比之比例矣。夫依乙丙戊己甲乙丁戊各相当二界所作壬乙癸戊两长方形互相为比之比例，既与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同，则依乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方形互相为比之比例，亦与壬乙癸戊两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同矣。又凡直角两方形，其两界互相为比之比例若俱同，则两形面积互相为比之比例较之两界互相为比之比例，为隔一位相加之比例【见七卷第五节】今甲乙丙丁戊己两三角形之各依底线所作正方形互相为比较之二底线互相为比之比例，即为隔一位相加之比例。夫甲乙丙丁戊己两三角形之面积互相为比者，既与所作庚乙辛戊两正方形面积互相为比之比例同，则此所作两正方形面积相比较之两底相比，为隔一位相加之比例，而甲乙丙丁戊己两三角形面积互相为比较之，乙丙戊己相当二界互相为比之比例，亦为隔一位相加之比例，可知矣。

第五同式无直角三角形面积互相为比，同于三角形各相当界所作方形之互相为比。而三角形面积互相为比者，比之各相当界互相为比，则为连比例内隔一位相加之比例也。如甲乙丙丁戊己两同式三角形，虽无直角，然其相当各角俱等，则此两形面积互相为比，同于在此两形之甲乙、丁戊相当二界所作方形互相为比之比例。而两形之面积互相为比者，比之甲乙、丁戊相当二界互相为比之比例，则为连比例内隔一位相加之比例矣。试自两形之丙、己二角与甲乙、丁戊二界平行，作丙庚、己辛各一线。又自甲、丁二角至庚辛二线之末，作甲庚、丁辛二线。又与此二线平行，自乙、戊二角至壬癸二处，作乙壬、戊癸二线，成庚乙、辛戊两直角长方形。此两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形俱在两平行线内，又同为一底，则此两三角形面积为彼庚乙、辛戊两长方形之一半。将半与半相比者，同于全与全之相比。故甲乙丙丁戊己两三角形面积之比例，必同于庚乙、辛戊两长方形之比例矣。夫同式两长方形之比例，同于相当界所立正方形之比例。而同式正方形之比例，比之各相当界之比例，为连比例隔一位相加之比例。今此两三角形面积之比例，既同于庚乙、辛戊两长方之比例，亦必同于两正方之比例。则两三角形面积之比例，比之两界之比例，为连比例隔一位相加之比例，可知矣。

第六有众多边形，其边数同，相当各角俱等，而相当界之比例又同，则谓之同式形也。如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小两多边形，其边数俱为五，其相当甲己二角，乙庚二角，丙辛二角，丁壬二角，戊癸二角各度俱等，而甲乙边与己庚边之比，即同于乙丙边与庚辛边之比，其相当边互相比之俱同者，即谓之同式多边形也。又如众曲线形，于其内外作各种直界形，其式若同，则谓之同式曲线形也。假如有甲乙大小两曲线形，在甲大形内作一丙丁戊己庚五边形，在乙小形内作一辛壬癸子丑五边形，此所作两五边形之式若同，则曲线形之式必同。又如甲乙大小两曲线形，在甲大形外作一丙丁戊己四边形，在乙小形外作一庚辛壬癸四边形，此所作两四边形之式若同，其曲线形之式亦必同，故皆谓之同式曲线形也。或如甲乙丙丁大小两圜分，于大圜分内作一戊甲乙三角形，于小圜分内作一己丙丁三角形，此所作两三角形之式若同，则圜分之式亦必同，故谓之同式圜分也。第七大小各圜分之式若同，则其相对之圜心角度必俱等也。如甲乙丙丁大小两圜之戊甲己、庚丙辛两分之式相同，其弧虽随圜之大小各殊，而自圜所分之度必同，其各叚所对二圜之壬癸心角度亦等矣。夫戊甲己与庚丙辛两叚式既同，则此内所函甲戊己、丙庚辛两三角形之甲丙相当两界角之度必等。若自甲丙二角过二圜心壬癸至对界乙丁，作甲壬乙、丙癸丁二线，则成两界角与两心角。葢心角大于界角一倍，故甲乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角大一倍，乙壬己心角比乙甲己界角大一倍。今将戊壬乙、乙壬己两心角并之，戊甲乙、乙甲己两界角并之，则所并之心角亦必比所并之界角大一倍矣。而丙丁小圜之庚癸丁、丁癸辛两心角并之，亦必比庚丙丁、丁丙辛所并之两界角大一倍。夫两圜之两界角度既等，而两圜之所并之心角度又等，则两界角相对之戊乙己、庚丁辛两弧叚之分数亦必相等。界角所对之弧分既等，则心角所对之弧分亦必相等。心角所对之弧分即为甲丙二界角相对之壬癸二心角之度也。

第八凡大小同式多边形，分为众三角形，其相当三角形之式俱相同也。如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形，自大形甲角至丙丁二角，自小形己角至辛壬二角，各作二线，则大形分为甲乙丙、甲丙丁、甲丁戊三三角形，小形分为己庚辛、己辛壬、己壬癸三三角形。而甲乙丙之形与相当己庚辛之形同式，甲丙丁之形与相当己辛壬之形同式，甲丁戊之形与相当己壬癸之形同式。因其所分各三角形俱为同式，故相当各角度必等。相当各角度既等，则其相当各界之比例亦必俱同。自五边形所分之各三角形之相当界互相为比之比例既同，则五边形之相当各界互相为比之比例亦必同。相当各界之比例相同，则两形之式相同，可知矣。

第九凡大小同式多边形互相为比，同于各形相当界所作方形之互相为比，而比之各面相当界互相为比之比例为连比例，隔一位相加之比例也。如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形，于大形之丙丁界，小形之辛壬界各作子丙丑辛大小两方形，其大小五边形互相为比，必同于所作子丙丑辛大小二方形之互相为比。大小五边形既同于大小两方形之互相为比，则比之丙丁辛壬相当二界互相为比之比例为连比例，隔一位相加之比例矣。若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两形分为众三角形，则相当各三角形之式必同。相当各三角形之式既同，则相当各三角形互相为比，即同于在三角形各相当界所作方形之互相为比，而各三角形面积之互相为比较之各相当界互相为比之比例亦为连比例，隔一位相加之比例。夫所分众三角形互相为比，既同于所作方形之互相为比，则众三角形所合甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五边形互相为比，亦必同于丙丁辛壬相当界所作子丙丑辛大小两方形之互相为比，而比之丙丁辛壬相当界互相为比之比例为连比例，隔一位相加之比例可知矣。

第十凡大小同式直界形，互相为比，同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也。如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小两直界形，于此二形内所函之甲丙丁己庚壬癸丑二同式四边形之甲丙庚壬相当二界，作寅丙卯壬正方形，则两直界形互相为比，即同于两正方形之互相为比也。若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两六边形俱分为三角形，则其相当各三角形之式俱相同，而相当各三角形互相为比，必同于甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比矣。此所分三角形之比例既同于所作正方形之比例，则大小两形内各三角形之甲丙庚壬界，又为两四边形之共界，而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两同式形互相为比，亦必同于其所函之甲丙丁己庚壬癸丑两四边形之甲丙庚壬两相当界所作寅丙卯壬两正方形之互相为比可知矣。

第十一凡大小同式曲界形，互相为比，同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也。如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜，此二圜之中，虽各函一同式六边形，各函一同式四边形，又各函众同式三角形，此大小二圜之积互相为比，必同于在圜内所函同式形之甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比也。大凡众界形，或函圜，或函于圜，其界数愈多，愈与圜界相近，而圜界分为千万叚，即成千万直界形【见四卷第十九、二十等节】则大小两圜之比例，固与内函相当直界形之比例等矣。夫相当直界形之比例，原同于两形之相当界所作方形之比例，而圜界形之比例，又同于相当直界形之比例，则此大小二圜互相为比之比例，同于此二圜之辐线或径线所作正方形互相为比之比例可知矣。第十二凡圆面径与撱圆面【一名鸭蛋形】髙度等者，其面积互相为比之比例，即同于函两形各作切方形互相为比之比例，而圆形面积与撱圆形面积互相为比之比例，又同于圆形径与撱圆形小径互相为比之比例也。如子壬寅癸之圆面，子丑寅卯之撱圆面，其子寅髙度俱同【圆径即撱圆大径】其面积互相为比之比例，必同于圆面外所作切圆戊己庚辛正方形与撱圆面外所作切圆甲乙丙丁长方形互相为比之比例，而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例，又同于圆面之壬癸径与撱圆面之丑卯小径互相为比之比例也。葢平行线内两面形互相为比之比例，同于其底界互相为比之比例【见七卷第八节】今戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形皆在戊辛己庚平行线内，故戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形互相为比之比例，同于己庚底与乙丙底互相为比之比例，而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面亦在戊辛己庚平行线内，则子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例，必同于戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形互相为比之比例矣。然戊己庚辛正方形之己庚底，即圆面壬癸径度，而甲乙丙丁长方形之乙丙底，又即撱圆面之丑卯径度也。夫平圆与撱圆之比例，既同于正方形与长方形之比例，而正方形与长方形之比例，又同于己庚底与乙丙底之比例，则圆面与撱圆面之比例，同于圆面之壬癸径。与撱圆面之丑卯径之比例可知矣。

防何原本九第一凡直角三角形，自直角至相对界作一垂线，则一形分为两形，与原形共为三，同式直角三角形，而其比例俱相同也。如甲乙丙直角三角形，自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线，则甲乙丙一形分为甲丁乙、甲丁丙两形。此所分两形与原有甲乙丙形之式俱相同，而皆为直角三角形。其三形毎相当各界之比例亦俱相同也。葢甲丁线既为垂线，则两傍所分甲丁乙、甲丁丙二角必俱为直角【见首卷第十节】是故甲乙丙三角形之甲角，甲丁乙三角形之丁角，其度相等，而两三角形又共一乙角。其相当二角度既等，则所余各一角度自等【见八卷第三节】故甲乙丙之丙角与甲丁乙之甲角，其度相等也。而甲乙丙之甲角亦与甲丁丙之丁角相等。此两三角形又共一丙角，故所余之甲乙丙之乙角与甲丁丙之甲角，其度亦等。三三角形之毎相当各角之度既等，则三三角形之式必同。三三角形之式既同，则其毎相当各界之比例亦俱相同，可知矣。

第八凡直角三角形，自直角至相对界作一垂线，则所截之两叚，一为一率，一为三率，而所作之垂线为中率。此三率即为相连比例率也。如甲乙丙直角三角形，自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线，则截乙丙界为两叚。其所截之乙丁叚为一率，则丁丙叚为三率；若丁丙叚为一率，则乙丁叚为三率。而所作甲丁垂线总为中率。故此乙丁、甲丁、丁丙三线互为相连比例三率也。葢甲乙丁、甲丁丙两三角形为同式，故其相当之乙丁、甲丁二界互相为比，即同于甲丁、丁丙二界之互相为比也。今以乙丁线为四分，丁丙线为一分，则甲丁线必得二分。因四分与二分之比，必同于二分与一分之比，故为相连比例三率也。第三直角三角形自直角至相对界所作垂线与所分二叚固为相连比例三率。如依垂线度作一方形，则与所分二叚一为寛度一为长度所作长方形之积相等也。如甲乙丙直角三角形，自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线，截乙丙界为两叚，遂成乙丁、甲丁、丁丙之连比例三率。今依甲丁垂线度作一戊丁正方形【即为中率自乗之数】以甲丁垂线所截丁丙一叚为寛度，乙丁一叚为长度作一己丁长方形【即为首率末率相乗之数】其戊丁正方形之积必与己丁长方形之积相等也。何也？葢同式两三角之相当界互相为比之比例同，故此乙丁界与甲丁界之比即同于甲丁界与丙丁界之比。乙丁线既为一率，则甲丁线为二率，甲丁线复为三率，则丙丁线为四率。然则此相连比例三率又为相当比例四率矣。因其可为相当比例四率，故二率与三率相乗，一率与四率相乗所得之分数相同【见七卷第四节】今既以甲丁为二率，又为三率，则甲丁自乗之数即是二率三率相乗之数，而乙丁一率与丙丁三率相乗所得己丁长方形，即与甲丁二率三率自乗之正方相等可知矣。此乃首率末率求中率之法也。要之，首率末率相乗，中率相乗【中率相乗者，中率自乗或二率三率相乗，俱在首率末率之中，故云】其所乗之二式虽异，因俱自相连比例四率而生，故其积相等而得以为准也。

第四凡有直角三角形，其直角相对界所作方形之积，必与两傍界所作两方形之积相等也。如甲乙丙直角三角形，其甲直角相对乙丙界，作一乙丁方形，其积必与甲乙、甲丙之两傍线所作戊乙、己丙两方形之积相等也。试自甲直角过相对乙丙界至方形辛丁界，作一甲庚壬垂线，则甲乙丙三角形分为甲乙庚、甲庚丙两三角形，而乙丁正方形分为乙壬、庚丁两长方形。此所分甲乙庚、甲庚丙两三角形与甲乙丙原三角形为同式，则其毎相当界之互相比例必同矣。是以甲庚丙小三角形之庚丙小界与丙甲大界之比，即同于甲乙丙大三角形之甲丙小界与乙丙大界之比，而为相当比例四率也。然丙甲、甲丙之二率三率原为一线，则庚丙、丙甲、乙丙又为相连比例三率矣。故丙甲中率所作己丙方形之积，与庚丙一率为寛、乙丙三率为长所作庚丁长方形之积相等也。乙丁既为正方形，则庚壬度必与方界乙丙各度等，故庚丁长方即同庚丙为寛、乙丙为长所作之长方也。又如甲乙庚、甲乙丙两三角之乙庚、甲乙、乙甲、乙丙四界为相当比例四率，又为相连比例三率，故甲乙中率所作戊乙方形之积，亦与乙庚一率为寛、乙丙三率为长所作乙壬长方形之积相等也。今庚丁、乙壬之两长方形既与己丙、戊乙两正方形等，则两形相合之乙丁正方形亦必与己丙、戊乙两正方形相等，可知矣。

第五凡直角三角形之三界所作同式三形，其一大界所作一形之积，必与二小界所作二形之积等也。如在甲乙丙直角三角形之乙丙、甲乙、甲丙三界，作乙丁戊、乙己丙三同式长方形，则乙丙大界所作乙丁一形之积，必与甲乙、甲丙二小界所作戊乙、己丙二形之积等也。又或如甲乙丙直角三角形，于乙丙大界作乙戊丁丙一半圜，于甲乙、甲丙二小界作甲庚乙、甲已丙二半圜，则乙丙大界所作乙戊丁丙一半圜之积，必与甲乙、甲丙二小界所作甲庚乙、甲已丙二半圜之积等也。葢依三界所作三形之式既同，故同式众形互相为比，即同于相当界所作正方形之互相为比也。要之一大界所作一大形，内减一小界所作一小形，即余一小界所作一小形；而一小界所作一小形内，再加入一小界所作一小形，则为一大界所作一大形矣。

第六一圜之内，二弦线相交所截之叚递转比之，其比例俱同，而为相当比例四率也。如甲圜内乙丙丁戊二▯线相交于已，其所截之戊已一叚与已丙一叚之比例，即同于乙己一叚与己丁一叚之比例，故戊己、己丙、乙己、己丁四叚为相当比例之四率也。何以见之？若自乙至戊，自丁至丙，复作二弦线，即成乙己戊、丁己丙两三角形。此两三角形之乙角、丁角俱切于甲圜之戊丙弧叚，其度相等【见四卷第十二节】再乙己戊之己角，丁己丙之己角，又为两尖相对之角，其度亦相等。今乙丁二角之度既等，而两己角之度又等，则所余戊丙二角亦自等。两三角形之相当各角既等，则其式必同。其式既同，则毎相当各二线互相为比之比例俱同，而戊己、己丙、乙己、己丁四叚互相为比例四率可知矣。

第七圜之径线不拘何处作一垂线，则所截之两叚，一为一率，一为三率，而垂线为中率，即为相连比例三率也。如甲圜自丁界至乙丙径线戊处作一丁戊垂线，将乙丙径线截为两叚，其所截乙戊一叚为一率，戊丙一叚为三率，而丁戊垂线为中率，此乙戊、丁戊、戊丙三线为相连比例三率也。试自圜界丁至乙丙二处作丁乙、丁丙二线，则成一乙丙丁三角形，其丁角既立于圜之乙己丙半界，故为直角【见四卷第十四节】而丁戊垂线乃自直角至相对乙丙底界所作之垂线，故所截乙戊一叚为一率，戊丙一叚为三率，而丁戊垂线为中率，为相连比例三率也。

第八自圜外一防过圜界二处至相对界作二线，以此两全线互相为比，即同于圜界外所截之二叚递转为比之比例，而为相当比例四率也。如己圜，自圜外甲防过圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作二线，则甲丙、甲戊两全线互相为比，必同于圜界外所截甲乙、甲丁二叚之递转相比而为相当比例四率也。试自圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作乙戊、丁丙二线，则成甲丙丁、甲戊乙两三角形。此两三角形之丙戊二角，既切于一圜之乙丁弧界，其二角之度必等【见四卷第十二节】再甲丙丁之甲角、甲戊乙之甲角，既共为一角，其度自等。两三角形各二角度俱等，则两三角形必为同式矣。故甲丙、甲戊相当二界互相为比之比例，即同于甲丁、甲乙相当二界互相为比之比例。是以甲丙与甲戊之比同于甲丁与甲乙之比。将甲丙全线为一率，甲戊全线为二率，甲乙、甲丁递转移之，而以甲丁一叚为三率，甲乙一叚为四率，为相当比例之四率也。

第九凡函于圜内之三角形，以其一角平分为二，过相对底界至相对界作一直线，则所分角之小边线与所作线之在三角形内一叚之比，即同于所作线之全分与所分角之大边线之比也。如函于圜内有甲乙丙三角形，以甲角平分为二分，过所对乙丙底界至相对界作一直线，即成甲丁戊一全线。以三角形之甲乙小边与所作甲丁戊线之甲丁一叚之比，即同于所作甲丁戊全线与三角形之甲丙大边之比也。何以言之？若自圜界乙至戊作乙戊▯线，即成甲乙戊、甲丁丙两三角形。此两三角形之戊丙二角，俱切于圜界甲乙弧之一叚，其度必等。而甲乙戊三角形之甲角，甲丁丙三角形之甲角，又为一角所平分之两角，其度亦必等。因此两三角形各二角之度等，故两形为同式。两三角形之式既同，则两形之相当二界互相为比之比例俱同。是以甲乙小分与甲丁小分之比，即同于甲戊大分与甲丙大分之比也。

第十凡函于圜内之三角形，以其一角为两平分，自角至底作一线，则所分底线两叚互相为比，即同于所分角之两傍两边线之互相为比也。如函于圜内有甲乙丙三角形，以甲角平分为二分，至乙丙底作甲丁一线，则分一丙底线为乙丁、丁丙两叚。以乙丁与丁丙之比，即同于以甲乙小边线与甲丙大边线之比也。试自所分底线之丁，至甲丙线与甲乙平行，作丁戊一线，即成戊丁丙一小三角形。葢甲乙丙大三角形之乙角，戊丁丙小三角形之丁角，既为乙甲丁戊平行线一边之内外角，其度必等【见首卷第二十三节】而甲乙丙、戊丁丙两三角形又共一丙角，故此两三角形之各二角度等，为同式两三角形也。再甲丁戊之丁角，乙甲丁之甲角，因为平行线内二尖交错之角，其度亦等。然则乙甲丁之甲角，既为甲乙丙之甲角之两平分，则甲丁戊之丁角亦与甲丁戊之甲角度等矣。甲丁戊三角形之丁角、甲角既等，则二角所对之丁戊、甲戊二线亦必等矣。甲乙丙、戊丁丙两三角形既为同式，而三角之度又俱等，则其甲乙丙大三角形之甲乙、甲丙二线互相为比，即同于戊丁丙小三角形之戊丁、戊丙二线互相为比之比例也。今戊丁、甲戊二线其度既等，则甲乙线与甲丙线之比，又同于以甲戊线与戊丙线之比。至于丁戊平行线所截乙丁一叚与丁丙一叚之比，则又同于甲戊一叚与戊丙一叚之比矣。是故甲乙线与甲丙线之比，为同于乙丁线与丁丙线之比也。

防何原本十第一大凡直角立方体积皆生于面线互乗之度，故欲知方体所生比例之分，将所比形之长寛与厚详较之，即可得而知矣。如甲乙丙丁直角立方二体，其甲乙大形之戊己长，比丙丁小形之庚辛长；甲乙大形之戊壬寛，比丙丁小形之庚癸寛；甲乙大形之甲戊厚，比丙丁小形之丙庚厚，俱为大一倍。其甲乙大形之戊乙底平面积，与丙丁形之庚丁底平面积之比例，将纵横二线之长寛度分考之，即得【见七卷第二节】既得二体底积之比例，乃以二形之厚度复与底积比之，即可知甲乙丙丁二体之比例矣。葢甲乙大体之戊己戊壬长寛之度，既比丙丁小体之庚辛庚癸长寛之度大一倍，则戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣。然则甲乙大形甲戊之厚度，既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍，则甲乙体形之内如丙丁体形四倍者有二可知矣。是故欲知直角方体之比例，以本体之长寛与厚互相比例以较之，即得直角方体互相为比之比例也。

第二有两直角长方体，若将此一体之底度与他一体之底度，又将他一体之厚度与此一体之厚度为比，其比例若同，则此二体之积必等也。如甲乙丙丁两直角长方体，甲乙体之戊乙底度比丙丁体之庚丁底度大一倍，而丙丁体之丙庚厚度比甲乙体之甲戊厚度亦大一倍，则甲乙丙丁二体之积必相等。是故两体之底积与厚度相较，则两体之积可知矣。葢体积之比例视其面线，今两体之底面厚度交互相等，如此其体积不得不等也。

第三有两直角方体，其底面积之纵横二界相比之比例，与厚度面积之纵横二界相比之比例，若俱同，则此两体为直角正方同式体也。如甲乙丙丁两直角方体，其甲乙体之戊乙底面之戊己横界，比丙丁体之庚丁底面之庚辛横界大一倍；甲乙体之戊乙底面之戊壬纵界，比丙丁体之庚丁底面之庚癸纵界大一倍；甲乙体之甲己厚面之甲戊直界，比丙丁体之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍。则甲乙丙丁之两体俱为直角正方同式体也。至于两体所有之戊己、庚辛二界，戊壬、庚癸二界，甲戊、丙庚二界，俱为相当之界，而可互相为比例矣。第四凡同式直角正方体，其体积之比例，比之两界线之比例，为连比例隔二位相加之比例也。如甲乙丙丁两同式直角正方体，其相当之戊己庚辛二界，戊壬庚癸二界，甲戊丙庚二界，互相为比之比例，俱各大一倍，则此甲乙体积与丙丁体积之比，比之甲乙体之界线与丙丁体之界线之比者，即如连比例四率内隔二位相加之比例矣。盖甲乙体之各界既为丙丁体之各界之二倍，则甲乙体内如丙丁体之二倍者有四，二其四为八，故甲乙体积比丙丁体积大八倍。夫以甲乙体积八与丙丁体积一相比，为八分之一，甲乙体界二与丙丁体界一相比，为二分之一，其比例不同。盖以八分比一分，较之二分比一分为四倍也。如欲求其相连比例之率，则于甲乙体之界四倍之得八分，与丙丁体界一分为比，即如甲乙体积与丙丁体积之比例矣。夫八与四，四与二，二与一，皆为连比例二分之一之比例。今以八与一为比，其间隔四与二之两位，故曰同式两体积之比例为两界上连比例隔二位相加之比例也【若边为三倍，则面为九倍，体为二十七倍，亦为隔二位相加之比例也】

第五有两同式直角长方体，于两体相当之二界各作两正方体，互相为比，即同于原两长方体之互相为比也。如甲乙丙丁两直角长方体，在戊乙己丁相当二横界各作甲庚丙辛二正方体，则所作之甲庚丙辛两正方体互相为比之比例，仍同于原有之甲乙丙丁两长方体互相为比之比例也。夫甲乙丙丁同式之两长方体，既为隔二位相加之比例，则所作甲庚丙辛同式之两正方体，亦必为隔二位相加之比例矣。然则原有之甲乙长方体，为原有之丙丁长方体之八分之一，其所作甲庚正方体，亦为所作丙辛正方体之八分之一，可知矣。第六凡有大小平面体，其相当角度俱等，而相当界之比例又同，则谓之同式体也。如甲乙大小两平面体，其相当各界之度俱等，而相当各界之比例又同，则甲乙二体谓之同式平面正方体也。如丙丁大小两四瓣体，其相当各角之度俱等，而相当各界之比例又同，则丙丁二体谓之同式四瓣体也。又如大小圆面体，于其内外作各种平面体，其平面体之式若同，则圆面体亦谓之同式体。如戊己大小两圆体所函之庚辛尖瓣等体是也。

第七同式各种体之比例，同于在各体相当界所作正方体之比例也。如甲乙丙丁戊己大小两三角尖瓣体互相为比，即同于乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方体之互相为比。又如壬癸两圆球体，其互相为比之比例，亦同于圆球径相当之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊两正方体互相为比之比例也。盖同式平面形互相为比之比例，同于各相当二界所作正方面形互相为比之比例矣。今各种体之式既同，故其相当面互相为比之比例，必同。相当面互相为比之比例同者，縁相当面之各相当界互相为比之比例同也。故凡同类两体，知此一体之度，而不知彼一体之度，欲求知之，则在同式两体相当二界各作一正方体，此所作之二体，一为一率，一为二率，所知之体为三率，推得四率，即其未知之体矣。或有同类两体，知此一体之界，而不知彼一体之界，则依所知一体之界作一正方体，其两体一为一率，一为二率，所作正方体为三率，推得四率，即是彼一体界数所作之正方体矣。故曰同式两体之比例，与相当界所作正方体之比例相同也。

第八凡圆面半径与球体半径等者，其圆面积为球体外面积之四分之一；而圆面半径与球体全径等者，其圆面积与球体外面积等也。如丁己圆面之丁戊半径与甲丙球体之甲乙半径等，则丁己圆面积为甲丙球体外面积之四分之一；又如庚壬圆面之庚辛半径与甲丙球体之甲丙全径等，则庚壬圆面积与甲丙球体外面积等也。试作子寅卯一尖圆体，使其寅辰卯之底面积与甲丙球体外面积等，其子丑髙度与甲丙球体之甲乙半径等，则此尖圆体积与球体积相等【见五卷第二十五节】又作午未申一小尖圆体，使其未申底径与甲丙球体之全径等，亦与大尖圆体之寅丑半径等；其午酉髙度与甲丙球体之甲乙半径等，亦与大尖圆体之子丑髙度等，则此小尖圆体积为球体积之四分之一，亦即为大尖圆体积之四分之一。何以见之？盖大小两面之比例同于相当界所生连比例隔一位加一倍之比例。今大尖圆体之寅夘底径比小尖圆体之未申底径大一倍，则大尖圆体底积比小尖圆体底积必又大一倍，则小尖圆体底积为大尖圆体底积之四分之一矣。又两体同髙者，其体积之比例同于其底面之比例。今小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一，则其体积必为大尖圆体积之四分之一，而亦为球体之四分之一矣【球体原与大尖圆相等】夫大尖圆体之底积原与球体之外面积等，小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一，亦必为球体外面积之四分之一，而丁己圆面固与小尖圆之底积等，则为球体外面积之四分之一无疑矣。至于庚壬圆面之径原比丁己圆面之径大一倍，则其面积必大四倍。今丁己圆面既为甲丙球体外面积之四分之一，则庚壬圆面积比丁己圆面积大四倍。者，安得不与球体外面积相等乎？第九凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等，则球体为长圆体之三分之二也。如甲乙丙丁一球体，戊己庚辛一长圆体，此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径度等，而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等，则球体积为长圆体积之三分之二也。盖长圆体与尖圆体同底同髙则其比例为三分之一【五卷第二十三节言平底尖体与上下面平行体同底同髙则尖体为平行体三分之一】尖圆体之底径与球之全径等，髙与球之半径等者，尖圆体积为球体积之四分之一，而尖圆体又为半球体之二分之一矣【説见前节】今于乙己庚丁半长圆体内作己壬庚半球体，又作一壬己庚尖圆体，则此尖圆体为半球体之二分之一。尖圆体既为半球体之二分之一，又为半长圆体之三分之一，则半球体岂非长圆体之三分之二乎？夫全与全之比例，即若半与半之比例。今半长圆与半球之比例为三分之二，则全长圆体与全球体之比例亦为三分之二可知矣。

第十凡球体全径与长圆体底径、髙度相等者，其球体外面积与长圆体周围面积等也。如甲乙丙丁一球体，戊己庚辛一长圆体，其球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等，而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等，则此球体外面积必与长圆体之周围面积等也。大凡体之面积相等者，其体积之比例同于其髙之比例；而体积之比例与髙之比例同者，其面积必相等。试将球体乙壬半径分为六分，取其三分为髙以长圆周围面积为底所成之体积，必与长圆体积等；取半径之二分为髙以球体外面积为底所成之体积，必与球体之积等。盖长圆体与球体之比例原为三与二之比例，此所成之二体亦必为三与二之比例。一体之髙为三分，一体之髙为二分，是积之比例与髙之比例同矣，非因其面积相等之故乎？由是观之，球体外面积与长圆体周围面积相等也，明矣。

第十一凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等者，其相当毎段之外面积皆相等也。如甲乙丙丁一球体，戊己庚辛一长圆体。此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等，球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等。则球体之癸丙寅一段凸面积，必与相当长圆积之辰己庚己一段周围外面积等也。夫乙辰巳丁一段长圆体内分出子癸寅丑一小长圆体，余癸子乙辰巳丁丑寅空心体。此空心体与子癸寅丑长圆体之积必等。何以知之？盖壬癸为大圆面之半径，而所截卯癸又为小圆面之半径，其壬卯与卯癸之度又等，故壬癸、壬卯、卯癸三线成一壬癸卯直角三角形。而壬癸半径所作圆面，必与壬卯、卯癸两线为半径所作两圆面等【见九卷第六节】又壬癸与壬乙皆一圜之辐线，其度必等，而卯辰原与壬乙相等，故卯辰为半径所作之圆面，即壬癸为半径所作之圆面。于卯辰为半径所作圆面内减去夘癸为半径所作圆面，即余壬癸环面与壬卯为半径所作之圆面等。而壬卯与卯癸原相等，然则辰癸环面既与壬卯半径所作之圆面等，亦必与卯癸为半径所作之圆面等矣。夫卯癸即小长圆底之半径，而辰癸又为空心体底之环径，其两面积既等，则其两体积必等无疑矣。又壬癸寅小尖圆体原与癸乙辰巳丁寅曲凹体等【乙丙丁半球体为半长圆体三分之二，则癸乙己丙庚丁寅曲凹体为长圆体三分之一，与壬己庚尖圆体相等，故壬癸寅一段尖圆体与相当癸乙辰巳丁寅一段曲凹体亦必相等也】而壬癸寅小尖圆体为子癸寅丑小长圆体三分之一，则癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为辰癸空心体之三分之一矣。于乙辰巳丁长圆体内减去壬癸寅小尖圆体，又减去癸乙辰巳丁寅曲凹体，则余乙癸壬。寅丁一段空心球体必与乙辰壬巳丁一段空心长圆体等【如以乙辰巳丁一段长圆体作六分则子癸寅丑小长圆为三分壬癸寅小尖圆体为一分与小尖圆体相等之癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为一分今既减去小尖圆体及曲凹体是于六分内减去二分而存一段空心球体为四分也而壬辰巳大尖圆体亦为乙辰巳丁辰圆体三分之一于长圆体内减去大尖圆体则余乙辰壬巳丁空心长圆体为三分之二也三分之二之比例同同于六分之四之比例则此一段空心长圆体与一段空心球体相等无疑】若将此两空心体从壬心至外面剖为千万尖体【俱以乙壬半径为髙以两空心体外面为底】则空心球体所分之各尖体与空心长圆体所分之各尖体其积既等其髙又等则其底不得不等【同底同髙者其积既等则同髙同积者其底必等】此各尖体之底既等则两空心体之外面积相等可知矣【千万尖体之底即两空心体之面也】夫乙丙丁半球体外面积原与乙己庚丁半长圆体周围外面积等于半球体内减去乙癸寅丁一段余癸丙寅一段球体于半长圆体内减去乙辰巳丁一段余辰己庚已一段长圆体其减去之各段外面积既相等则所余之球体癸丙寅一段凸面与长圆体辰己庚已一段周围外面积相等也明矣第十二凡撱圆体大径与圆球体径相等者，其二体积之比例即同于撱圆体小径所作方面与圆球体径所作方面之比例也。如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己圆球径等，则撱圆体积与球体积之比例即同于撱圆乙丁小径所作方面与球体戊己径所作方面之比例也。试将撱圆体与球体任意依径线平行分之，其所分之大小平圆面如子丑，乃球体大圆面之径；寅卯乃撱圆体小圆面之径。此大小两平圆面之比例同于其相当子丑寅卯二径所作二方面之比例【见八卷第十一节】而子丑径与寅卯径之比例又同于戊己径与乙丁径之比例，故此所分之大小圆面之比例亦必同于戊己方面与乙丁方面之比例矣。若将此两体与戊己径平行任意分为防何面，其相当大小两面之比例皆如戊己方面与乙丁方面之比例。此所分各面之比例既皆同于乙丁与戊己所作方面之比例，则撱圆体与圆球体之比例必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例可知矣。即所分之寅丙卯撱圆体之一段与子丙丑圆球体之一段，其比例亦必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例矣。

第十三凡撱圆体大径与长圆体髙度等，而撱圆体小径与长圆体底径等，则撱圆体为长圆体之三分之二，亦如圆球体与同径同髙长圆体之比例也。如甲乙丙丁一撱圆体，戊己庚辛一长圆体，其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等，而撱圆体之乙丁小径亦与长圆体之己庚底径等，则撱圆体为长圆体之三分之二，其比例即如子丑寅卯球体与辰巳午未长圆体之比例也。盖戊己庚辛长圆体之戊己髙度与辰巳午未长圆体之辰巳髙度等，故两长圆体之比例即同于己庚底积与巳午底积之比例。至于戊己庚辛长圆体之己庚底积与撱圆体之乙丁小径所作圆面积等，而辰巳午未长圆体之巳午底积又与球体丑卯全径所作圆面积等，则戊己庚辛长圆体积与辰巳午未长圆体积之比例即同与撱圆体之乙丁小径所作圆面与球体丑卯全径所作圆面之比例矣。夫撱圆体与球体之比例原同于撱圆体小径所作圆面与球体全径所作圆面之比例，故撱圆体与球体之比例亦同于撱圆体同径同髙之长圆体与球体同径同髙之长圆体之比例也。若转比之，即戊己庚辛长圆体与甲乙丙丁撱圆体之比例亦同与辰巳午未长圆体与子丑寅卯球体之比例矣。夫球体既为同径同髙长圆体之三分之二，则撱圆体亦必为同径同髙长圆体之三分之二，可知矣。

第十四凡函撱圆之长方体与所函撱圆体之比例，同于函球之正方体与所函球体之比例也。如甲乙丙丁长方体函一戊己庚辛撱圆体，其长方体之甲乙髙度与撱圆体之戊庚大径等，长方体之乙丙底度与撱圆体之己辛小径等，则此甲乙丙丁长方体与所函戊己庚辛撱圆体之比例，同于壬癸子丑正方体与所函寅卯辰午球体之比例也。盖甲乙丙丁长方体之甲乙髙度与壬癸子丑正方体之壬癸髙度等，故长方体与正方体之比例，同于两体底积之比例。今此长方体之底积，与所函撱圆体之己辛小径所作方面等，而正方体之底积，与所函球体之卯午全径所作方面等矣。然则此长方体与正方体之比例，不同于撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例乎？夫撱圆体与球体之比例，原同与撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例，则撱圆体与球体之比例，同于函撱圆体之长方体与函球体之正方体之比例，可知矣。若转比之，则长方体与所函撱圆体之比例，亦必同于正方体与所函球体之比例矣。

第十五凡撱圆体大径与圆球体之径等者，其撱圆体外面积与球体外面积之比例，即同于撱圆体小径与球体全径之比例，即任分一段，其相当一段外面积之比例亦无不同也。如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己球体全径等，则此撱圆体外面积与球体外面积之比例，必同与撱圆体之乙丁小径与球体之戊己全径之比例也。即任分寅内卯一段撱圆体外面积与子丙丑一段球体外面积之比例，亦仍同于乙丁小径与戊己全径之比例也。盖两体所分寅卯、子丑平圆面，皆与乙丁、戊己径线平行，故寅卯圆界与子丑圆界之比，同于寅卯圆径与子丑圆径之比，而寅卯径与子丑径之比，又同于乙丁径与戊己径之比也。然此两体依径平分，可为无数平圆界，其相当各圆界之比例，既皆同于乙丁径于戊己径之比例，则全体外面积之比例，岂不同于乙丁径与戊己径之比例乎？至于所分之寅丙卯一段撱圆体与子丙丑一段球体，俱可分为平圆以比之，则一段与一段之比例，无异于全体与全体之比例也。明矣。第十六凡撱圆体大径与长圆体髙度等，而撱圆体小径与长圆体底径等，则撱圆体外面积与长圆体周围外面积等，即任分一段，其相当一段之外面积亦无不等也。如甲乙丙丁一撱圆体，戊己庚辛一长圆体，其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等，而撱圆体之乙丁小径与长圆体之己庚底径等，则撱圆体之外面积与长圆体周围之面积等，即任分壬丙癸一段，撱圆体外面积亦与相当壬己庚癸一段长圆体之外面积等也。试依撱圆体甲丙大径度作子丑寅卯一球体，并作与球体同髙同径辰巳午未一长圆体，则此两长圆体之髙度等，其二体周围面积之比例必同于二体底径之比例，二长圆体底径之比例即是撱圆体之乙丁小径与球体之丑卯全径之比例也。撱圆体外面积与球体外面积之比例原同于撱圆体乙丁径与球体丑卯径之比例，则戊己庚辛长圆体外面积与撱圆体外面积之比例亦同于辰巳午未长圆体外面积与球体外面积之比例也。夫球体外面积原与辰巳午未长圆体外面积等，而撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积之比例既与球体外面积与辰巳午未长圆体外面积之比例相同，则此撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积相等无疑矣。至于撱圆体所分一段与球体所分一段之比例，与其全体之比例亦相同，今撱圆体外面全积与戊己庚辛长圆体周围外面全积之比例既同于球体外面全积与辰巳午未长圆体周围外面全积之比例，则所分撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积之比例亦必同于所分球体之申寅酉一段外面积与长圆体之戌巳午亥一段外面积之比例矣。彼球体之申寅酉一段外面积既与长圆体之戌巳午亥一段外面积相等，则此撱圆体之壬丙癸一段外面积，与长圆体之壬己庚癸一段外面积相等也。明矣。

御制数理精蕴上编卷三<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书