数度衍卷十六
数度衍卷十六
桐城 方中通 撰开筑【商功之一】
垺实率穿地四尺 为壤五尺 为坚三尺通曰壤者垺土也坚者实土也互求法穿地求壤及坚，式穿地一万尺，问壤土、坚土各若干？曰：壤土一万二千五百尺，坚土七千五百尺。术：以五因穿地，得五万尺为实，以四为法，除得壤土；以三因穿地，得三万尺为实，以四为法，除得坚土。壤地求穿及坚式，壤地一万二千五百尺，问穿土、坚土各若干？曰：穿土一万尺，坚土七千五百尺。术：以四因壤地，得五万尺为实，以五为法，除得穿土；以三因壤地，得三万七千五百尺为实，以五为法，除得坚土。坚地求穿及壤式，坚地七千五百尺，问穿土壤土各若干？曰：穿土一万尺，壤土一万二千五百尺。术：以四因坚地，得三万尺为实，以三为法除，得穿土；以五因坚地，得三万七千五百尺为实，以三为法除，得壤土。
开法求日式开壕，上广七尺，下广九尺，深四尺，长一千八百尺。每夫每日穿一百四十四尺。今用夫二百名，问几日可完？曰：二日。术：并上下广得十六尺，折半得八尺，以乘深得三十二尺，又乘长得五万七千六百尺为实。以二百名乗每日穿数得二万八千八百尺为法，除实得日数。求夫式：开渠，上广二丈四尺，下广二丈一尺，深九尺，长三百八十四尺，每夫十二名，开积六百尺，问该夫几何？曰：一万五千五百五十二名。术：并两广得四十五尺，折半得二十二尺五寸，以乘深得二百○二尺五寸，又乘长得七十七万七千六百尺，又乘夫十二名得九百三十三万一千二百尺为实，以六百尺为法，除实得夫数。求工式：开河，长七千五百五十尺，上广五十四尺，下广四十尺，深十二尺，每日一工开三百尺，问用工几何？曰：一万四千一百九十四工。术：并两广得九十四尺，折半得四十七尺，以乗深得五百六十四尺，又乗长得四百二十五万八千二百尺为实，以三百尺为法，除实得工数。迟速式，甲乙二人开河，甲每日开积四百尺，乙每日开积三百五十尺，甲开七十日，问乙开多几日与甲同？曰：十日。术：以甲开七十日乗每日四百尺，得二万八千尺，为实；以乙每日三百五十尺为法，除实，得八十日，减甲七十日，余十日，为乙多数。
筑法筑墙式，原墙上广一尺，下广三尺，髙一丈二尺。今欲筑高九尺，问上广几何？曰：一尺五寸。术：以原下广减原上广，余二尺。以今高九尺乗之，得十八尺为实。以原高为法，除实，得一尺五寸。乃于原下广内减之，余一尺五寸为今上广。式二：原墙上广一尺，下广三尺，高一丈二尺。今欲筑高一丈五尺，问上广几何？曰：五寸。术：以原上广减原下广，余二尺；以原高减今高，余三尺。两余相乗，得六尺，为实；以原高为法，除实，得五寸。乃于原上广内减之，余五寸，为今上广。通曰：「前式今高少于原高，后式今高多于原高，故法不同。后式可用前法，而前式不可用后法也。」式三，原墙上广一尺，下广四尺，高一丈二尺。今上广如故，下广仅二尺一寸。问高几何？曰：七尺六寸。术：以原下广减今下广，余一尺九寸，以乘原高，得二十二尺八寸，为实；以原下广减原上广，余三尺，为法，除实，得今高。式四，原墙上广二尺，下广六尺，高二丈。今已筑至上广三尺六寸。问已得高几何？曰：一丈二尺。术：以今上广减原下广，余二尺四寸，以乗原高，得四丈八尺，为实；以原上广减原下广，余四尺，为法，除实，得今高。式五：原墙上广十尺，下广三十尺，高四十尺。今欲筑至上广九尺，问该增高几何？曰：二尺。术：以原上广减原下广，余二十尺，又减原高，余二十尺为实；以今上广减原上广，余一尺为法，除实，得今高。又术：以今上广减原上广，余一尺，乗原高，得四十尺为实；以原上广减原下广，余二十尺为法，除实，亦合。筑台求积式：筑直台上广八尺，长二丈；下广一丈八尺，长三丈；高一丈八尺。问积若干？曰：六千尺。术：倍上长为四丈，加下长，共七丈，乘上广，得五百六十尺。倍下长为六丈，加上长，共八丈，乗下广，得一千四百四十尺。并两乘数，得二千尺，乘高，得三万六千尺，为实。以六为法，除实，得积。筑堤求积式，筑堤东头，上广八尺，下广十四尺，高九尺；西头，上广二十尺，下广二十二尺，高二十一尺。东西长九十六尺，问积若干？曰：二万八千八百尺。术：倍东高为十八尺，加西高，共三十九尺；以东上下广并，得二十二尺，乘之，得八百五十八尺，折半，得四百二十九尺。倍西高为四十二尺，加东高，共五十一尺；以西上下广并，得四十二尺，乗之，得二千一百四十二尺，折半，得一千○七十一尺。并两折数，得一千五百尺，乘长，得十四万四千尺，为实；以五为法，除实，得积。填基式：填基东六丈五尺，西七丈五尺，南八丈，北九丈，高二尺。用土长濶方丈，髙一尺为一方。问该方若干？曰：一百一十九方。术：并东西为十四，折半得七；并南北为十七，折半得八五。两折数乗得五十九五，又乗高得一百一十九为方数。
垜捆【商功之二】
堆垜法通曰：「有与少广递加之法相同者，两章皆有所属，故复衍于此。」一面尖堆式，一面尖堆脚濶十八，问积若干？曰：一百七十一。术：用顺加求积法，以十九乗十八，得三百四十二，折半即得。说详《少广》。一面平堆式，一面平堆脚七，上三，问积若干？曰：二十五。术：用顺加异首求积法，以脚七并上三，得一十为实，以脚七减上三，余四，加一得五为法，乘之得五十，折半即得。四面尖堆式，底长濶皆十二，问积若干？曰：六百五十。术：置底十二，以十二加一为十三，乗之得一百五十六；又以十二加半为十二，五乗之得一千九百五十，为实；以三为法，除实即得。四面平堆式，底濶八，长十三，问积若干？曰：三百八十四。术：以长减濶，余五，折半得二五，又加半得三，并入长得十六，以濶乗之得一百二十八，又以濶加一作九乗之得一千一百五十二为实，以三为法除实即得。四面尖堆，即四面顺加；四面平堆，即长濶顺加，说详《少广》。又式横面，下十，上一；正面，下十二，上三，问积若干？曰：四百九十五。术：倍正下为二十四，加正上得二十七，以横下乗之得二百七十，再乗横下得二千七百，加入二百七十共二千九百七十为实，以六为法除实即得。通曰：右二式，前式若知正面上数，可用后法；后式可用前法。四面半堆式，上长二十五，濶十二，下长三十，濶十七，中高六。问积若干？曰：二千四百一十。术：倍上长得五十，加下长得八十。乗上濶得九百六十，倍下长得六十，加上长得八十五。乗下濶得一千四百四十五，并两乗数共二千四百○五。以下长减上长，余五，并之得二千四百一十。乘高得一万四千四百六十为实，以六为法，除实即得。圆底尖堆式，底外周十五，问积若干？曰六十九。术通曰：用少广超三递加法，首三，尾十五，得积外加一，得四十六；又首三，尾九，得积外加一，得十九；相并得六十九。又加四，共六十九为积。通曰：凡圆堆每层外周自顶一起，第二层是三，第三层加三为六，从此每层加三，故用超三也。每次以三为首，故每外加顶一也。底外周十五，用圆包加六率推之内周减六，必九，故初曰首三尾十五，次曰首三尾九也。内周九，内又减六，余三为底中心三，上必有一顶，故又加四也。盖底周至九者必加四，至十二者必加十一为率也。三角尖堆式，底面七，问积若干？曰：八十四。术：以底七加一为八，乗底七，得五十六；又以底七加二得九，乗之得五百○四，为实。以六为法，除实即得。三角半堆式，每面上濶五，底濶十二，问积若干？曰：三百四十四。术：以底濶求出全积，得三百六十四，另以上尖虚底四，求出虚积二十，相减余为实积。又术：上濶自乗得二十五，底濶自乗得一百四十四，两濶相乗得六十，倍下濶加上濶得二十九，并四数共二百五十八为实，以下濶减上濶余七，加一得高八为法，除实得二千○六十四，又以六除之，亦合。砖堆式，长三丈，高九尺，入深四尺。每块长一尺，濶五寸，厚二寸。问该砖若干？曰：一万○八百块。术：以长为实，以每块厚为法，除得一百五十块；以高为实，以每块濶为法，除得十八块。两除得数相乗，得二千七百块。又以入深乗之，即得。
量捆法木每根大率作长一丈五尺，濶五寸。以立法，至其实数，随时求之可耳。一封书式，捆深七尺五寸，濶四丈七尺，长九丈。问该木若干？曰：一万四千八百○五根。术：倍深得十五根，倍濶得九十四根，相乗得一千四百一十根为实，以长率一丈五尺除长得六根为法，乗实得八千四百六十根，又以深七尺五寸首加一作一七五乗之，即得。通曰：「濶率五寸，每尺作二根，故深濶皆用倍法。」方捆式，捆深七尺，濶五丈，长六丈，问该木若干？曰：八千四百根。术：倍深作十四根，倍濶作一百根，相乗得一千四百根为实，以长率一丈五尺除长得四根为法，乗实得五千六百根。又以濶五丈首加一作一五乗之，即得。荒排式，排深二丈一尺，濶四丈四尺，长六丈，问该木若干？曰：八千三百七十七根六分。术：以三除深得七尺，倍作十四根，倍濶作八十八根，相乗得一千二百三十二根为实，以长率一丈五尺除长得四根为法，乗实得四千九百二十八根。又以三除深得七尺首加一作一七乘之，即得。通曰：相乗固有应得之数，而有以虚乗者，其数却非应得之数，不过借以相求耳。如一十七尺五寸乗八千四百六十根，应得十四万八千○五十根，而今止得一万四千八百○五根者，是也。首不加一，用定身法【见珠算】乗之，亦可。
数度衍巻十六钦定四库全书