数学钥卷四目録

数学钥卷四目録

柘城杜知耕撰少广一则立方求积二则直体求积三则堑堵求积四则刍荛求积五则三角体求积六则，六边体求积【八边、十二边附】【増】七则五边体求积【九边附】

八则圆体求积【増】九则撱圆体求积【増】十则弧矢体求积十一则锥体求积十二则诸杂线体求积【西法】十三则，浑圆求积【二法】

【增】十四则浑撱圆求积十五则鋭脊体求积【増】十六则鼈臑求积【増】十七则等广鋭面体求积。

十八则鋭面方体求积十九则鋭面直体求积【二法，后法増】

二十则鋭面圆体求积【増】二十一则，鋭面撱图，体求积。【西法】二十二则。诸鋭面体求积。

二十三则求锥体之正髙二十四则，立方以积求边一法【即开立方法】二十五则，立方以积求边二法。【増】二十六则，方体以积求边一法【即带纵开立方法増】二十七则，方体以积求边二法。

二十八则直体以积求边一法【増】二十九则，直体以积求边，二法。

三十则浑圆以积求径【増】三十一则浑撱圆以积求径。三十二则三乗还原【即开三乗方法，五乗七乗附】三十三则委粟求积。

三十四则倚壁委粟求积三十五则倚外角委粟求积三十六则倚内角委粟求积三十七则方平堆以周求积三十八则方平堆以积求周三十九则三角平堆以濶求积四十则三角平堆以积求濶四十一则梯形平堆以濶求积四十二则六边平堆以边求积四十三则，六边平堆，以积求边【求周附】

四十四则堑堵髙堆求积四十五则方底髙堆求积四十六则三角髙堆求积四十七则直底髙堆求积四十八则直底鋭面堆求积四十九则三角鋭面堆求积数学钥巻四目録钦定四库全书数学钥巻四柘城杜知耕撰少广一则立方求积设立方方三尺求积法曰置三尺自乘【得九尺】再以三尺乘之，得二十七尺，即所求。解曰：算体之法，先求底积【即方圆等形求积，详一、二巻】以髙为底。积倍数，如图，长广各三尺，相乘得九尺。为底积，若髙二尺，则二倍底积之数得。一十八尺，髙三尺，则三倍底积之数得。

二十七尺二则直体求积设直体长七尺，广五尺，髙一十二尺。求积法曰：以广乘长【得三十五尺】以髙乘之得四百二十尺即所求解同前三则堑堵求积设堑堵长一十二尺，广五尺，髙七尺。求积法曰：以广乘长【得六十尺】以髙乘之【得四百二十尺】折半得二百一十尺即所求解曰：甲乙丙丁直体，与堑堵髙广长各等，依甲乙线，丙乙棱分之，必成二堑堵。夫一直体，既能当二堑堵，则一堑堵必当半直体也，故折半得积。

四则刍荛求积设刍荛，长一十二尺，广五尺，髙七尺，求积。法同堑堵。

解曰甲乙丙戊刍荛依丙丁线丙戊脊分之必成二堑堵各为相当直方之半，两直方并，必成一直方。夫直方之两分，既倍于刍荛之两分，直方之全体，不倍于刍荛之全体乎？故亦折半，得积同堑堵也。

五则三角体求积设三角体广六尺中长五尺高一十二尺求积法曰置长广相乘【得三十尺】以髙乘之【得三百六十尺】折半得一百八十尺，即所求。解曰：即刍荛，但彼横此纵耳。○勾股体同。

六则六边体求积【八边及十二边附】设六边体，每边广二十尺，中长三十四尺六寸四分。

有竒髙四十尺求积法曰置广三因之【得六十尺】以长折半【得一十七尺三】【寸二分零二毫】乘之【得一千零三十九尺二寸一分二厘】为底积，再以高乘之，得四万一千五百六十八尺四寸八分，即所求。解曰：六边底依各角分之，成三角形，六三角求积法，以广乘长折半【一巻五则】不折则得两三角积，故三因边广，以底长之半乘之【底之半长即三角之中长】即得六三角积【即全底积】犹平圆半径乘半周之义也【二巻三则】若无底长之度，则取边广为▯【全底分为六三角形，每形之三边俱等，以甲乙为▯，即以丙乙为▯也】半广为勾【丁乙】各自乘相减，平方开之，得股【丙丁】即底长之半【六巻二则】○设八边底，每边广二十尺，求底长，即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺，以七六五三六除之，得二六一三一四强为▯【丙乙】各自乘相减，平方开之，得股【丙丁】即底长之半。设十二边底，每边广二十尺，求底长，即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺，以五一七六四除之，得三八六三六八强为▯【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半按七六五三六乃四十五度弧之通▯四十五度，为三百六十度八之一，故以之除八边底之一边，即得外切圆形之半径五一七六四。乃三十度弧之通▯三十度，为三百六十度十二之一，故以之除十二边底之一边，即得外切圆形之半径。外切圆形之半径，即三角形之腰线【丙乙】也【见大测及八线表】

七则五边体求积设五边体，毎边广二十尺，中长三十尺零七寸七分。

六厘六毫强高四十尺求积法曰置边广以边数五因之【得一百尺】折半【得五十尺】为实，另置边广折半【得十尺】自乘【得一百尺】以中长除之【得三尺二寸四分九厘一毫强】与中长相减【余二十七尺五寸二分七厘四毫强】折半【得一十三尺七寸六分三厘七毫强】为法，乘实【得六百八十八尺一寸八分八厘】为底积，再以高乘之，得二万七千五百二十七尺五寸二分，即所求。

解曰五边底依各角分之成三角形五欲求底积必先得三角积欲求三角积必先得三角之中长【丙丁】然上则六边，边为偶数。角与角相对，边与边相对。其全底之长，即相对两三角之中长。令五边边为竒数，边与角相对，其底长【己丁】小半，为此三角之中线【丙丁】大半为彼三角之腰线【己丙】折半则得庚丁，不能得丙丁也。若欲得丙丁，必先求己丙【于己丁底长减去己丙余即丁丙】欲得己丙，必先求外切圆形之己戊径【己戊折半即己丙】欲得己戊，必先求外切圆径大于底长之丁戊【底长加丁戊即己戊】欲求丁戊，则用弧矢以▯及余径求矢法【二巻二十二则】今边广甲戊乙，弧矢形之甲乙▯也。边广折半，自乘丁乙，半▯上方形也。底长己丁，余径也。以除半▯上方形所得者丁戊矢也。以矢减底长，所余者倍三角中长之辛丁也。故半之为三角之中长。又五因边广折半者，取五三角底之半也。若无底长之度，则取边广折半为勾【丁乙】另置边广，以一一七五五八除之，得一七零一二八八为▯【丙乙】各自乘相减，平方开之得股【丙丁】即三角形之中长【六巻二则】

一　一七五五八乃七十二度弧之通▯七十二度为三百六十度五之一故以之除五边之一即得外切圆形之半径【丙乙】为三。角形之腰线也。○设九边底，每边广二十尺，求三角分形之中长，则以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺，以六八四零四除之，得二九二三八为▯【丙乙】自乘相减，平方开之，得股【丙丁】即三角形之中长。六八四零四乃四十度弧之通▯，四十度为三百六十度九之一，故以之除九边之一，即得三角形之腰线也。

八则圆体求积设圆体径三十尺，高四十尺，求积法曰：置径自乘【得九百尺】再以高乘之【得三万六千尺】用圆法十一乘十四除【二巻四则】得二万八千二百八十五尺七寸有竒，即所求。解曰：以径自乘，再以髙乘之，方体积也。方体与圆体等髙，则两体即若两底之比例，故用平圆法求圆体之积也。

九则撱圆体求积设撱圆体大径三十六尺，小径一十六尺，髙四十尺，求积法曰：置两径相乘【得五百七十六尺】再以高乘之【得二万三千零四十尺】用圆法十一乘，十四除，得一万八千一百零二尺八寸有竒即所求解同前则及二巻十六则十则弧矢体求积设弧矢，体矢濶八尺六寸六分零二毫，▯长三十尺，背三十六尺二寸九分零三毫六丝，高四十尺。求积法曰：置半▯自乘【得二百二十五步】以矢除之【得二十五尺九寸八分零九壹强】为余径余径加矢折半【得一十七尺三寸二分零五毫五丝】为法乘背【得六百二】【十八尺五寸六分九厘】另以余径减矢，折半【得八尺六寸六分零四毫弱】为法乘▯【得二百五十九尺八寸一分二厘】两数相减【余三百六十八尺七寸五分七厘】折半【得一百八十四尺三寸七分八厘】为底积，再以高乘之，得七千三百七十五尺一寸四分，即所求【二卷十七则】

十一则锥体求积设方锥，方二十尺，高四十尺，求积法曰：置二十尺自乘【得四百尺】为底积再以高乘之【得一万六千尺】以锥法三归之得五千三百三十三尺三寸三分有奇，即所求。解曰：方边自乘，再以高乘之，方体也。方锥居方体三之一，故三归得积也。何以知方锥居体三之一也？试作立方如甲乙自心至各棱分之必成锥体六俱以方靣为底方边之半为高更作一方体与锥体同底等高如丙丁丙丁方体既与锥体同底必亦与甲乙立方同底，既与锥体等高，必以甲乙方边之半为高。两方体既同底，则两体之比例若高与高。丙丁体必为甲乙立方二之一矣。锥体既为甲乙立方六之一，不为等高同底丙丁方体三之一乎？再作直体，广二尺，长四尺，高八尺，如癸辛。亦自心至各棱分之，亦成锥体六。底等戊庚辛己，高，等辛子之半，如丑者；二底等癸壬庚戊，高，等庚辛之半，如寅者；二底等庚壬子辛，高，等辛己之半，如卯者。二六锥体形势虽殊，而俱等，何也？丑与寅同长，丑之高倍于寅，而寅之广倍于丑。折寅之广凖丑之高，则丑寅二体等矣。又丑与卯同广，丑之长倍于卯，而卯之高倍于丑。折丑之长凖卯之高，则丑卯二体亦等矣。夫寅等于丑，丑等于卯，是六锥俱等矣。今癸辛一直体能分为相等之六锥体，则一锥体不为癸辛直体六之一乎？锥体既为同底倍高直体六之一，必为同底等高三之一无疑矣。○从此推之，不论方圆多边弧矢，凡属锥体者，皆为同底等高体三之一。

十二则诸杂线体求积凡体先求底积，底属直线，依一巻九则例；属曲线及杂线，依二巻四十则例裁之，得底积。再以高乘之，即得体积。

十三则浑圆求积设浑圆径十尺，求积法曰：置径自乘【得一百尺】四因之【得四百尺】十一乘，十四除【得三百一十四尺二寸八分六厘弱】为靣积。再以半径乘之【得一千五百七十一尺四寸三分弱】以三归之，得五百二十三。

尺八寸一分即所求解曰置径自乘再以十一乘十十四除者浑圆中丙子乙丑平圆积也以四因之者浑圆面积当平圆积四也？何也？浑圆面任割一分【如甲丁己戊】欲求面分之容，则取自甲顶至戊界之度【甲戊线】为半径，作平圆【如辛癸平圆，辛壬与甲戊等】其容即等。若自乙丙平割浑圆之半，取自甲顶至乙界之度为半径，作平圆，其容必与浑圆半靣等。今丙子乙丑平圆半径为乙庚，乙庚与甲庚等乙庚甲庚两线偕甲乙线则成一勾股形甲乙为▯乙庚甲庚一为勾一为股也，以▯为半径之平圆，必倍大于或勾或股为半径之平圆。浑圆半靣，既等于以甲乙弦为半径之平圆，不倍大于以乙庚勾为半径之丙子乙丑平圆乎？半面既倍大于丙子乙丑平圆，全靣不四倍大于丙子乙丑平圆乎？法以半径乘之，以三归之，又何也？平圆求积，同于以圆周为底，以半径为高之三角形【二巻四则】故浑圆求积，同于以全面为底，以半径为高之锥体以高乘底以三归之者锥体求积之法也【本巻十一则】○又尝借西洋割圆八线表考之如前径十尺之浑圆自顶中剖之，再以乙丙线平分之。依八线表例，分乙丁甲曲线为九十度。设任割球分为甲丁己戊，其甲丁曲线三十度。自丁戊向甲截作三十段梯形。于八线表中求三十度通▯得五尺二十九度通▯得四尺八寸四分八厘一毫。用梯形求积法【一巻七则】并两数折半，得四尺九寸二分四厘零五丝。再求二十八度通▯得四尺六寸九分四厘七毫，与二十九度通▯并而折半，得四尺七寸七分一厘四毫。依次折尽三十度，共得通▯数七十六尺七寸五分九厘七毫五丝。用圆径求周法【二巻一则】求得二百四十一尺二寸四分五厘弱【为球分面上三十段梯形两濶折半之数】为实。复求甲丁曲线三十分之一，得八分七厘三毫有竒【取浑圆全周以三十六归之即得】为梯长乘实得割【即】球靣积二十一尺零五分有奇。叧求甲戊直线得二尺五寸八分八厘二【即表中十五度通▯】毫倍之得五尺一寸七分六厘四毫为径，求圆积亦得二十一尺零五分有竒，与前数合又法置径自乘，再以径乘【得一千尺】之以十一乘，二十一除得数。同解曰：圆体与方体等高，则两体之比例若两底之比例。是方体与圆体若十四与十一也。又圆体与浑圆等高，令圆体之底同浑圆中心之平圆，则圆体之容必等于以平圆为底以浑圆半径为【浑圆半径，即固体高度之半也】高之锥。体【本巻十一则】六浑圆之面，既四倍于中心平圆而浑圆求积之法又同锥体，则浑圆之容必等于以平圆为底、半径为高之锥体。四夫以相等之锥体、圆体得六，而浑圆得四，是圆体与浑圆若六之与四，六之与四即三之与二也。又以三因十四得四十二，以二因十一得二十二，各以二约之为二十一与十一，则二十一与十一等高立方、浑圆之比例也。法置径自乘再乘立方也，十一乘二十一除，取立方二十一之十一为浑圆也，十四则浑撱圆求积设浑撱圆大径四十尺小径二十尺求积法曰置小径自乘【得四百尺】再以大径乘之【得一万六千尺】以十一乘二十一除得八千三百八十尺零九寸五分，即所求。解曰：小径自乘，再以大径乘之，甲乙方体也。方体浑撱圆比例，亦犹立方与浑圆。故十一乘二十一除，得浑撱圆之积。

十五则鋭脊体求积设鋭脊体，脊长十尺，底长十四尺，广五尺，高十二尺，求积法曰：倍底长，加脊长【得三十八尺】以广乘之【得一百九十尺】再以高乘之【得二千二百八十尺】以六归之，得三百八十尺，即所求解曰依甲丙乙丁两线分之成刍荛一斜锥二【斜锥与正锥同论】刍荛以高乘，底积之半，得积【本巻四则】锥以高乘底积三之一，得积【本巻十一则】夫刍荛之底长，即鋭脊之脊长也。若三倍脊长以六归之，即得刍荛底长之半。又两斜锥之底长，即鋭脊之脊长与底长之较也【即戊庚己辛两线并之度】若二倍较线以六归之，即得斜锥底长三之一。今倍底长加脊长，非即三倍脊长二倍较线乎？以六归之，以广乘之，再以高乘之，得三分体之积，即全体之积。法先乘后归，亦异乘同除之意也。

十六则鼈臑求积设鼈臑上长二尺下长四尺高九尺求积法曰置两长相乘【得八】【尺】再以高乘之【得七十二尺】以六归之，得一十二尺，即所求。解曰：叧作一刍荛，如下图。刍荛原为等高同底方体二之一【本巻四则】依甲丙、乙丙两线，各从底棱分之，成一锥体二鼈臑。锥体原为等高同底方体三之一【本巻十一则】必为刍荛三之二。于刍荛内减去锥体，所余三之一，则两鼈臑也。两鼈臑并，既为刍荛三之一，必为与刍荛等高同底方体六之一矣。与刍荛等高同底，即为鼈臑等高倍底者也。两鼈臑既为等高倍底方体六之一，则一鳖臑亦必为等高同底方体六之一，故用六归也。

十七则等广鋭面体求积设等广鋭靣，体靣长四尺，底长一十二尺，底面俱广。

五尺高一十二尺求积法曰并两长折半【得八尺】以广乘之【得四十尺】再以高乘之，得四百八十尺，即所求。解曰：依甲丙乙丁两线分之，成一直体，二堑堵全靣，即一直体底全底，即一直体二堑堵底底靣，并而折半，则成一直体一堑堵底矣。夫直体以高乘本底得积【本巻二则】堑堵以高乘半底得积【本巻三则】今一堑堵之全底，即两堑堵之半底也，故以高乘防靣相并折半之数，得全积十八则。

鋭靣方体求积设鋭靣方体，靣方六尺，底方八尺，高一十二尺，求积。

法曰置上方自乘【得三十六尺】下方自乘【得六十四尺】上下两方相乘【得四】【十八尺】三数并【共一百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】以三归之，得五百九十二尺，即所求。解曰：各依面棱分之，成方体一，堑堵方锥各四，凡九体而有三等。三等求积之法则各殊：方体以高乘底得积【本巻二则】堑堵以高乘底二之一得积【本巻三则】方锥以高乘底三之一得积【本巻十一则】若从方体，则与堑堵不合；从堑堵，又与方锥不合，不得不用三归以就方锥。然用三归，必三倍方体之底，半倍堑堵之底而后可。今下方自乘，即甲乙方形，得方体之底一；堑堵方锥之底各四。上方自乘，即丙丁方形，得方体之底一。上下相乘，即戊己直形，得方体之底一，堑堵之底二。合三形共方体底三，堑堵底六，方锥底四。夫方体底三，三归之仍得一；堑堵底六，三归之得二，二堑堵底即四，堑堵底二之一也；方锥底四，三归之各得三之一。今以高乘一，方体底四，堑堵底二之一，四方锥底三之一，故得全积【余同本巻十五则】

十九则鋭靣直体求积设鋭靣直体靣，长六尺，广五尺；底长十尺，广八尺，高。

一十二尺求积法曰倍上长加下长【共二十二尺】以上广乘之【得一百一】【十尺】另倍下长加上长【共二十六尺】以下广乘之【得二百零八尺】两数并【得三百一十八尺】以高乘之【得三千八百一十六尺】以六归之，得六百三十六尺，即所求。解曰：依各靣棱分之，亦成九体，与前则同。但四堑堵两两相等，辛戊与庚己等，丙戊与丁己等。四堑堵既不等，则三归之法不可用矣。于是有六归之法，倍上长加下长，以上广乘之，即戊己直形二，丙丁直形一，得戊己直体底三，丙戊己丁堑堵底各一。倍下长加上长，以下广乘之，即甲乙直形二，辛庚直形一，得戊己直体底三，辛戊庚己堑堵底各三，丙戊丁己堑堵底各二。甲戊等四锥底各二，合之共直体底六，堑堵底十二，与辛戊等者六，与丙戊等者六，锥底八。以六归之，得一直体底四，堑堵底二之一，四锥底三之一。故以高乘之，得全积。○按：鋭靣直体亦有可用三归。

者如后图面长五尺广三尺底长七尺广四尺二寸高一十二尺用前法得积二百六十一尺六寸今以面广乘靣长得一十五尺以底广乘底长得二十九尺四寸，以靣广乘底长得二十一尺【或以底广乘靣长亦同】三数并共六十五尺四寸，以高乘之，以三归之，得积。同用此法求前体，则不合，其故何也？葢前体乃鋭脊之截体，后体乃直锥之截体，后体底靣长广可互为比例，若依四角斜线引而高之，必成直锥，是以谓之直锥之截体。依前例分为九体，其四堑堵虽体势不同，而容积皆等，故用三归而合也。若前体底靣长广不可为比例，亦依四角斜线引而高之，止成鋭脊，终不成锥体，是以谓之鋭脊之截体。如前分为九体，其四堑堵体势既异，而大小复殊，故用三归必不合也。鋭靣直体有此二等，不可不知也。

二十则鋭靣圆体求积设鋭靣圆体靣径六尺底径八尺高一十二尺求积法曰置靣径自乘【得三十六尺】底径自乘【得六十四】。尺】两径相乘【得四十八尺】三数并【共一】【百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】再十一乘，四十二除，得四百六十五尺一寸四分有竒，即所求。解曰：此与鋭靣方体法同。元当用三归得鋭靣方体积，再十一乘十四除为本积。今用十一乘四十二除者，以三因十四得四十二，以四十二除犹三归又十四除也。

二十一则鋭面撱圆体求积设鋭面撱圆体，面大径四尺，小径二尺，底大径八尺。

小径六尺高一十二尺求积法曰倍靣大径加底大径以靣小径乘之【得三十二尺】另倍底大径加。靣大径以底小径乘之【得一百二十尺】两数并【共一百五十二尺】以高乘之【得一千八百二十四尺】再以十一乘，八十四除，得二百三十八尺八寸五分有竒，即所求。解曰：此与鋭靣直体法同。元当用六归，得鋭靣直体积。再十一乘，十四除，为本积。今以八十四除者，以六因十四得八十四，以八十四除，犹六归又十四除也。二十二则。

诸鋭靣体求积设鋭靣六边体靣每边广一尺，中长一尺七寸三分二厘【所谓中长者，乃边与边相对之度，非角与角相对之度也，底同】底每边广二尺。

中长三尺四寸六分四厘高四尺求积法曰置高以底长折半乘之【得六尺九寸二分八厘】以两长相减折半【得八寸六分六厘】除之，得八尺为锥高。另三因底边二尺【得六尺】以底长之半乘之【得十尺零三寸九分二厘】以锥高八尺乘之，三归之【得二十七尺七寸一分强】为锥积。另三因靣边一尺【得三尺】以靣长之半乘之【得二尺五寸九分八厘】以原高减锥高，余四尺乘之，三归之【得三尺四寸六分四厘】为虚积。以虚积减锥积，余二十四尺二寸四分八厘，即所求。解曰：凡鋭靣体，底靣长广，能为比例者，皆诸锥之截体。既得锥积，复得体外虚积，相减之余，即为所求之实积。然欲求锥积，必先求锥高。锥高甲丙，与元高甲丁之比例，若底长之半甲乙，与底靣两半长之较线己乙也。法以底长之半乘高，以两半长之较线除之者，乃借乙己与己戊之比例【己戊即甲丁】因甲乙以求甲丙也。凡鋭靣体，俱同此法。

二十三则求锥体之正高设方锥底方十尺，斜高一十三尺，求正高。法曰：置斜高自乘【得一百六十九尺】另以底方折半自乘【得二十五尺】两数相减【余一百四十四尺】平方开之，得一十。

二尺即所求解曰：此勾▯求股法也【六巻二则】凡求诸锥体之积须得诸锥正高自傍面量者，乃斜高，非正高也。自顶至底中心，方为正高。方锥系偶边，故折底长为勾。如遇竒边，则求底中心至边之度为勾【本巻七则】

二十四则立方以积求边一法【即开立方】设立方积三千三百七十五尺，求方边法曰：置积于中为实，先商十尺于左，下法亦置十尺于右，自乘再乘【得一千尺】除实【余二千三百七十五尺】三因下法十尺【得三十尺】为方法，次商五尺置于左初商十尺之次，下法亦置五尺于初商十尺之次【共一十五尺】以次商五尺徧乘之【得七十五尺】为廉法，再以方法乘廉法【得二千二百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法，除实恰尽，合左初商次商得一十五尺，即所求。解曰：初商自乘，再乘大方积也。次商五尺，乘下法十。

尺得五十尺即方廉甲乙丙丁一侧面之平积也【丁乙五尺丁丙十尺相乘得五十尺】以初商乘之必得一方廉之积【每一方廉积五百尺】若以方法三十。

尺乘之则得三方廉之积【三方廉皆等】又以次商五尺乘下法五尺，得二十五尺，即戊己庚辛长廉一方面之平积也【戊己五尺，戊庚亦五尺，相乘得二十五尺】以初商乘之，必得一长亷之积【每一长廉积二百五十尺】若以方法三十尺乘之，则得三长廉之积【三长廉皆等】今以次商五尺徧乘下法十五尺，得七十五尺，即方廉之侧面长亷之方面两平积也。总以方法三十尺乘之，即得三方廉三长廉之共积矣。又次商五尺自乘再乘，得一百二十五尺，即隅方积。以三方廉附于大方之三面，以三长廉补方廉之缺，又以一隅方补长廉之缺，八体凑合，则成一纵广皆一十五尺之立方矣。

二十五则立方以积求边二法设立方积三百六十五万二千二百六十四尺，求方边法曰：置积于中为实，先商一百尺于左，下法亦置一百尺于右，自乘再乘【得一百万尺】除实【余二百六十五万二千二百六十四尺】三因下法一百尺【得三百尺】为方法。次商五十尺，置于左初商一百尺之次，下法亦置五十尺于初商一百尺之次【共一百五十尺】次商五十尺徧乘之【得七千五百尺】为廉法。以方法乘廉法【得二百二十五万尺】除实【余四十万零二千二百六十四尺】又以次商自乘再乘【得一十二万五千尺】为隅法，除实【余二十七万七千二百六十四尺】复三因下法一百五十尺【得四百五十尺】为方法。三商四尺于左初商次商一百五十尺之次，下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次【共一百五十四尺】以三商四尺徧乘之【得六百一十六尺】又为廉法。以方法乘廉法【得二十七万七千二百尺】除实【余六十四尺】又以三商四尺自乘再乘【得六十四尺】为隅法，除实恰尽。合左初次三商共得一百五十四尺，即所求。解曰：此与前则同，但彼二位，此三位耳。设三商，又不尽，复三因，初次三商为方法，四商之仿此。

二十六则方体以积求边一法【即带纵开立方】设方体积二千九百二十五尺，长广相等，高朒二尺，求各度。法曰：置积于中为实，初商十尺，自乘，又以朒二尺减十尺，余八尺，乘之【得百尺】除实【余二千一百二十五尺】倍八尺，加初商十尺【共二十六尺】为方廉法。又倍初商十尺，加八尺【共二十八尺】为长廉法。次商五尺，置于初商之次，以初商十尺乘方廉法【得二百六十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百四十尺】两数并【共四百尺】以次商五尺乘之【得二千尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺，自乘，再乘【得一百二十五尺】为隅法，除实恰尽。合初商次商共得一十五尺，即底方之度，减高朒二尺，余一十三尺，即高度。解曰：初商自乘，大方之底积，又减二尺乘之，高朒于纵及广也。倍八尺，加十尺，为方廉法者，以方廉广十尺者一，广八尺者二也。又以十尺乘之者，三方廉之。

长皆十尺也倍十尺加八尺为长廉法者以长廉长八尺者一长十尺者二也又以次商五尺乘之者三长廉之广皆五尺也又并六廉以五尺乘之者，六廉之厚，皆五尺也，余同前则○改设前积为三千二百四十三尺三寸七分五厘。初商十尺，次商五尺，仍余积三百一十八尺三寸七分五厘。又以朒二尺减初次两商十五尺，余十三尺，倍之加十五尺，共四十一尺为方廉法。倍十五尺加十三尺，共四十三尺为长廉法。三商五寸，于初次两商一十五尺之次，以初次两商十五尺乘方廉法，得六百一十五尺。以三商五寸乘长廉法，得二十一尺五寸，并两数共六百三十六尺五寸。又以三商五寸乘之，得三百一十八尺二寸五分，除实余一寸二分五厘。陞二位作一百二十五寸。又置三商五寸自乘再乘，得一百二十五寸，除实恰尽。合初次三商得一十五尺五寸为底方之度，减高朒二尺，余一十三尺五寸为高度○余积一寸二分五厘陞二位，何也？葢体以纵广及高各一尺为积一尺，一尺实积千寸，取十分尺之一为寸，是一寸，而实积百寸也，故寸以下皆陞二位。二十七则方体以积求边二法设方体积四千二百七十五尺，长广相等，高多四尺，求各度。法曰：置积于中为实，初商十尺，自乘，又以多四尺并十尺，共十四尺，乘之【得一千四百尺】除实【余二千八百七十五尺】倍十四尺加初商十尺【共三十八尺】为方廉法。倍初商十尺加十四尺【共三十四尺】为长廉法。次商五尺，置于初商之次，以初商十尺乘方廉法【得三百八十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百七十尺】两数并【共五百五十尺】又以次商五尺乘之【得二千七百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法，除实恰尽。合初次两商共得一十五尺，即底方之度，加高多四尺，共一十九尺，即高度。解同前。

二十八则直体以积求边一法设直体积七千二百尺，高一十二尺，广朒于长十尺，求长广法曰：置积以高除之【得六百尺】四因之【得二千四百尺】叧置广朒于长十尺自乘【得一百尺】两数并平方开之【得五十尺】减广朒于长十尺【余四十尺】折半得二十尺，即广，加十尺得三十尺，即长。解曰：「以高除积，所得者直体底积也。故平方带纵开之，即得所求也。」

二十九则直体以积求边二法设直体积三千一百三十五尺，高多长四尺，长多广四尺，求各度。法曰：置积于中为实，初商十尺，以十尺减长多广四尺，余六尺，乘之，又以十尺加高多长四尺，共十四尺，乘之【得八百四十尺】除实【余二千二百九十五尺】列十尺、六尺、十四尺为方廉法，并十尺、六尺、十四尺共三十尺为长廉法。次商五尺，置于初商之次，方廉法维乘以六尺乘十尺【得六十尺】十尺乘十四尺【得一百四十尺】十四尺乘六尺【得八十四尺】并之【共二百八十四尺】又以次商五尺乘长廉法【得一百五十尺】两数并【共四百二十四尺】再以次商五尺乘之【得二千一百七十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百十五尺】为隅法，除实恰尽。合初次两商共一十五尺，即长増四尺共一十九尺，即高减长四尺余一十一尺，即广。解曰：初商十尺，为大方之长，减四尺，余六尺，为广，増四尺共一十四尺为高故两乘得大方积大方三面之平积即三方廉之底积也而大方之三面各不等以广六尺乘长十尺得甲乙丙丁面平积，以长十尺乘高一十四尺，得戊己。甲乙面平积，以高一十四尺乘广六尺，得已庚。乙丁面平积，故列三位为方廉法，维乘也。又大方三棱之度，即三长廉之高也。而大方三棱亦不等，甲乙棱十尺，乙丁棱六尺，乙己棱一十四尺，故并三数为长。

廉法也余同前解三十则浑圆以积求径设浑圆积一千七百六十七尺八分五厘七毫有竒，求圆径法曰：置积二十一乘，十一除【得三千三百七十五尺】立方开之，得一十五尺，即所求。解曰：十一与二十一，浑圆立方之比例也【本巻十三则】二十一乘十一除，令浑圆化为相当之立方，故立方开之，得方边，即得圆径也。

三十一则浑撱圆以积求径设浑撱圆积二千二百三十九尺二寸八分五厘有竒，大径多小径四尺，求两径法曰：置积二十一乘，十一除【得四千二百七十五尺】以带纵立方开之，得一十五尺，即小径；加多四尺，得一十九尺，即大径。解曰：浑防圆与方体之比例，亦若浑圆与立方。故二十一乘，十一除，带纵立方开之，得方体之广及高，即浑撱圆之两径也。

三十二则三乘还原【即开三乘方】设三乘积六百二十五尺，求还原法。曰：置积为实，平方开之【得二十五尺】再以平方开之，得五尺，即所求。解曰：以五自乘，再乘三乘，得六百二十五，即所谓三乘方也。反求元数，即所谓开三乘方也。三乘原无形体可言，但法类于开平方、立方，故亦谓之方耳。○从此推之，一次平方，一次立方，可开五乘方；三次平方，可开七乘方。

三十三则委粟求积设委粟底周八十八尺，高八尺八寸，求积法曰：置周自乘【得七千七百四十四尺】以高乘之【得六万八千一百四十七尺二寸】再七乘，二百六十四除，得一千八百零六尺九寸三分有竒，即所求。解曰：此即圆锥也。圆形与周上方形之比例，若七与八十八【二巻五则】凡两体等高者，体与体之比例，若底与底，圆体与周上。等高方体之比例，必亦若七与八。十八，今圆锥居圆体三之一，以三。乘八十八，得二百六十四。则是圆锥与周上等高方体之比例，必若七与二百六十四矣。

二十四则倚壁委粟求积设倚壁委粟周四十四尺高八尺八寸求积法曰置周自乘【得一千九百三十六尺】以高乘之【得一万七千零三十六尺八寸】再七乘，一百三十二除，得九百零三尺四寸六分有竒，即所求。解曰：此圆锥之半也。半锥居全锥二之一，半周上方体【与圆锥等高下同】居全周上方体四之一，故其比例为七与一百三十二也。

三十五则倚外角委粟求积设倚外角，委粟，周六十六尺，高八尺八寸，求积法曰：置周自乘【得四千三百五十六】。尺】以高乘之【得三万八千三百三十二尺八寸】再七乘一百九十八除得一千三百五十五尺二寸即所求解曰：此圆锥四之三也。与全周上方体【与圆锥等高下同】之钦定四库全书数学钥巻五凡例柘城杜知耕撰凡例一则以此防分之防为彼几分之几之倍数，即以彼防分之防为此防分之防之倍数，两数必相等。设甲数十二，乙为甲四分之三，数九；丙为甲三分之二，数八。以丙乗乙，得七十二；以乙乗丙，亦得七十二。更设丁数四十八，戊为丁四分之三，数三十六；己为丁三分之二，数三十二。以己乗乙，得二百八十八；以戊乗丙，亦得二百八十八。故曰两数必相等。

二则设乙四倍之多于甲，数为三，七倍之多于甲，数为十五。以倍数四互乗十五，得六十，为二十八倍乙多于四倍甲之数。以倍数七互乗三，得二十一，为二十八倍乙多于七倍甲之数。两数对减，所余必七倍甲多于四倍甲之数。七倍甲多于四倍甲之数，则三甲之数也。

三则同名相减，犹异名相加。故异名相加者，必同名相减。同名相加，犹异名相减。故异名相减者，必同名相加。四则。正与正，负与负，为同名；正与负，为异名。

五则有一数为法中之闗键而乗除加减反不用者，曰暗用数。

数学钥巻五凡例钦定四库全书数学钥巻五上之上目録柘城杜知耕撰商功一则修筑计积二则以积计工三则以工计日一法四则以工计日二法五则坚土壤土之较六则迟疾求齐一法七则迟疾求齐二法八则迟疾求齐三法巻五上之下均输一则田地之多寡二则方物之贵贱三则道里之逺近一法四则道里之逺近二法五则任载之重轻一法六则任载之重轻二法七则合，均田地多寡，方物贵贱，道里逺近。