御制数理精蕴下编卷二十

御制数理精蕴下编卷二十

面部十曲线形曲线形设如圜径一尺二寸问周几何法用周径定率比例，以径数一○○○○○○○○为一率，周数三一四一五九二六五为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一微八纤，卽所求之圜之周数也。葢圜之数竒零不尽，立法必自方数始，是故圜内容形，屡求勾股至亿万边，圜外切形，屡求勾股至亿万边，内外凑集，使圜周变为直线，精密已极，始为得之。爰设圜径为一，而圜周得三一四一五九二六五有余，是为定率，故以圜径一与圜周三一四一五九二六五之比，卽同于今所设之圜径一尺二寸与今所得之圜周三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一防八纤之比也。又周径定率比例，以径数一一三为一率，周数三五五为二率，今所设之圜径一尺二寸为三率，求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽五微有余，为圜之周数也。葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之，径一一三，周得三五四九九九九六九有余，进而为三五五，则周数微大，故今所得圜周亦微大，然止在忽微之间耳。又周径定率比例，以径数七为一率，周数二十二为二率，今所设之圜，径一尺二寸为三率，求得四率三尺七寸七分一厘四豪二丝八忽五防七纤有余，为圜之周数也。葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之，径七周得二一九九一一四八五有余，进而为二二，则周数大而所得周数亦大。至于旧术，径一围三，乃圜内容六等边形之共度，实小于圜之周线，故径一则围三有余，围三则径一不足也。

设如圜周一丈五尺问径几何法用周径定率比例，以周数三一四一五九二六五为一率，径数一○○○○○○○○为二率，今所设之圜周，一丈五尺为三率，求得四率，四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防有余，即所求之圜之径数也。葢前法有径求周，故以定率之径与定率之周为比，卽如今所设之径与今所得之周为比；此法有周求径，故以定率之周与定率之径为比，卽如今所设之周与今所得之径为比也。又周径定率比例，以周数一○○○○○○○○为一率，径数三一八三○九八八为二率，今所设之圜周一丈五尺为三率，求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防，为圜之径数也。葢圜周为三一四一五九二六五，则圜径为一○○○○○○○○；若圜周为一○○○○○○○○，则圜径为三一八三○九八八，其比例仍同也。如以周数三五五为一率，径数一一三为二率，今所设之圜周一丈五尺为三率，亦得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝七忽八微有余，为圜之径数。又或以周数二二为一率，径数七为二率，今所设之圜周一丈五尺为三率，则得四率四尺七寸七分二厘七豪二丝七忽二微有余，较之前法所得径数稍小。葢径为七而周稍小于二二，若周为二二，径必稍大于七，今截而为七，则径数稍小，故所得径数亦稍小也。

设如圜径八寸问面积几何法以圜径八寸，用径求周法，求得圜周二尺五寸一分三厘二豪七丝四忽一微二纤，折半得一尺二寸五分六厘六豪二丝七忽零六纤，与半径四寸相乘，得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余，卽圜之面积也。葢圜之半径线若与直角三角形之小边线度等，而圜之周界又与直角三角形之大边线度等，则此直角三角形之面积与圜形之面积相等【见几何原本四卷第二十一节】如甲乙丙丁圜形，其戊丙半径与己庚辛直角三角形之己庚小边线度等，而甲乙丙丁圜周界与己庚辛直角三角形之庚辛大边线度等，则此己庚辛三角形之面积即与甲乙丙丁圜形之面积相等。是故以戊丙半径相等之己庚与乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己长方形【癸壬庚己长方形积即与己庚辛三角形积等】卽为圜之面积也。如以全周与全径相乗，则以四归之，亦得圜面积。葢全径为半径之倍，全周为半周之倍，则全周全径相乗之积必大于半周半径相乗之积四倍，为隔一位相加之比例，故全周与全径相乗以四归之而得圜面积也。又法用方边圜径相等，方积圜积不同之定率比例，以方积一○○○○○○○○为一率，圜积七八五三九八一六为二率，今所设之圜径八寸自乗得六十四寸为三率，求得四率五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余，即圜之面积也。此法葢因圜径方边相等，圜积方积不同，故以圜径自乗作方积定为面与面之比例如：子寅圜径为一○○○○，则其自乗之辰己午未正方积为一○○○○○○○○，而圜径一○○○○所得之子丑寅卯圜面积为七八五三九八一六。故以子寅圜径一○○○○自乗之辰己午未正方积一○○○○○○○○与子寅圜径所得之子丑寅卯圜面积七八五三九八一六之比，即同于今所设之甲丙圜径八寸自乗之戊己庚辛正方积六十四寸与今所得之甲乙丙丁圜面积五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余之比也。又法用圜积方积相等，圜径方边不同之定率比例，以圜径一○○○○○○○○为一率，方边八八六二二六九二为二率，今所设之圜径八寸为三率，求得四率七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤有余，为与圜面积相等之正方形每边之数，自乗得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余，即圜之面积也。此法葢以圜积方积设为相等，使圜径与方边不同，先定为线与线之比例，既得线而后自乗之为面也。如子寅圜径一○○○○○○○○，其所得之积开方则得八八六二二六九二，即为辰己午未正方之每边，是以子丑寅卯圜面积与辰己午未方面积为相等，故子寅圜径一○○○○○○○○与辰己方边八八六二二六九二之比，即同于今所设之甲丙圜径八寸与今所得之戊己方边七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤之比，既得戊己方边自乗得戊己庚辛方面积，即与甲乙丙丁圜面积为相等也。又法，用方周圜周定率比例，以方周数四五二为一率，圜周数三五五为二率，圜径八寸，自乗得六十四寸为三率，求得四率五十寸二十六分五十四厘八十六豪有余，即圜之面积也。此法葢因方【丑圜径为一一】周与圜周之比同于方【见算法原本二卷第二十八节】积与圜积之比如子三则子丑，圜周为三五五，寅卯辰己正方边与圜径同，亦为一一，三则寅卯辰己方周为四五二【方边一一三以四因之则得四五二】试以正方面之午丑半径为高，寅卯辰己方周为底，作一午丑未申长方形，则比寅卯辰己正方形之面积大一倍。又以圜面之午丑半径为高，子丑圜周为底，作一午丑酉戌长方形，则比子丑圜形之面积亦大一倍。此两长方形同以午丑为高，故此两长方面积之比例必同于两底边丑未与丑酉之比例，且全与全之比例又同于半与半之比例，故方积与圜积之比例亦必同于两底边丑未与丑酉之比例矣。夫丑未即寅卯辰己方周，丑酉即子丑圜周，故以方周四五二与圜周三五五之比，即同于今所设之甲丙圜径自乗之戊己庚辛正方积与今所得之甲乙丙丁圜面积之比也。又法以十四分为一率，十一分为二率，圜径八寸，自乗得六十四寸，为三率，求得四率五十寸二十八分五十七厘一十四豪有余，为圜之面积也。此法亦系方周与圜周之比同于方积与圜积之比。葢圜径七则圜周为二二半之得一，一方边七则方周为二八半之得一四，故以十四分与十一分之比，亦同于今所设圜径自乗之方积与今所得圜面积之比也。然所得之面积过大者，因径七围二十二之定率，其周既大，故所得之圜积亦大也。旧术圜积得方积四分之三，求积则以圜径自乗四分损一得圜积，求径则以圜积三分益一开方得圜径。此仍以径一围三立法，故径求积所得之数必小，积求径所得之数必大也。设如圜周六尺六寸，问面积几何？

法以圜周六尺六寸用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝五忽二微有余折半得一尺零五分零四豪二丝二忽六微有余与半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八豪有余即圜之面积也又法用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率今所设之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸为三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余即圜之面积也此法葢以圜周自乗之正方积与圜积设为比例为面与面之比例也圜周为一○○○○则其自乗方积为一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面积为七九五七七四七有余故以圜周一○○○○自乗之方积一○○○○○○○○与圜积七九五七七四七之比即同于今所设之圜周六尺六寸自乗之方积四十三尺五十六寸与今所得之圜面积三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余之比也旧术圜积为周自乗方积十二分之一有圜周求积则以圜周自乗以十二除之得圜积有圜积求周则将圜积以十二因之开方得圜周此仍以径一围三立法故周求积所得之数必大积求周所得之数必小也设如圜面积六尺一十六寸，问径几何？法用圜径方边相等，圜积方积不同之定率比例，以圜积一○○○○○○○○为一率，方积一二七三二三九五四为二率，今所设之圜面积六尺一十六寸为三率，求得四率七尺八十四寸三十一分五十五厘五十六豪六十四丝，为与圜径相等之正方边之正方面积，开方得二尺八寸零五豪六丝有余，即圜之径数也。葢圜积为七八五三九八一六，则方积为一○○○○○○○○；若圜积为一○○○○○○○○，则方积为一二七三二三九五四。其比例仍同，故以圜积一○○○○○○○○为一率者，即如以圜积七八五三九八一六为一率，而以方积一二七三二三九五四为二率者，即如以方积一○○○○○○○○为二率也。又法用圜积方积相等，圜径方边不同之定率比例，以方边一○○○○○○○○为一率，圜径一一二八三七九一六为二率，今所设之圜面积六尺一十六寸，开方得二尺四寸八分一厘九豪三丝四忽有余，为三率，求得四率二尺八寸零五豪六丝二忽有余，即圜之径数也。此法亦以圜积方积设为相等，使圜径与方边不同，故以圜面积开方得方边为线与线之比例。葢方边为八八六二二六九二，则圜径为一○○○○○○○○；若方边为一○○○○○○○○，则圜径为一一二八三七九一六，其比例仍同。故以方边一○○○○○○○○为一率者，即如以方边八八六二二六九二为一率，而以圜径一一二八三七九一六为二率者，即如以圜径一○○○○○○○○为二率也。

又法用圜周方周定率比例，以圜周三五五为一率，方周四五二为二率，今所设之圜面积六尺一十六寸为三率，求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十二豪九十五丝有余，开方亦得二尺八寸零五豪六丝有余，为圜之径数也。又法，以十一分为一率，十四分为二率，今所设之圜面积六尺一十六寸为三率，求得四率七尺八十四寸，开方得二尺八寸，为圜之径数也。葢径七围二十二之定率，其径既小，则方周与方积亦皆小，故开方所得之圜径亦小也。设如圜面积六尺一十六寸，问周几何？法以圜面积六尺一十六寸，用圜积求径法，求得圜径二尺八寸零五豪六丝有余。又用圜径求周法，求得八尺七寸九分八厘二豪二丝有余，即圜之周数也。又法用圜积与圜周方积定率比例，以圜积一○○○○○○○○为一率，圜周方积一二五六六三七○六二为二率，今所设之圜面积六尺一十六寸为三率，求得四率七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪有余，开方得八尺七寸九分八厘二豪有余，即圜之周数也。葢圜积为七九五七七四七，则圜周自乗方积为一○○○○○○○○；若圜积为一○○○○○○○○，则圜周自乗方积为一二五六六三七○六二，其比例仍同。故以圜积一○○○○○○○○与圜周自乗方积一二五六六三七○六二之比，即同于今所设之圜面积六尺一十六寸与今所得之圜周自乗方积七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪之比。既得圜周自乗方积，开方即得圜周也。设如撱圜形【一音鸭蛋形】大径九尺，小径六尺，问面积几何？法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积，乃用方边圜径相等，方积圜积不同之定率比例，以方积一○○○○○○○○为一率，圜积七八五三九八一六为二率，今所得之大小径相乗之长方积五十四尺为三率，求得四率四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪，即撱圜形之面积也。葢圜面积与撱圜面积之比，同于圜外所切之正方形积与撱圜形外所切之长方积之比【见几何原本八卷第十二节】则圜外所切之正方形积与圜面积之比，亦必同于撱圜形外所切之长方形积与撱圜面积之比也。如甲乙丙丁撱圜形，甲丙大径九尺，乙丁小径六尺，以大径与小径相乗遂成戊己庚辛长方形，此长方形积与撱圜形积之比，即同于正方积与圜积之比，故以定率之方积数为一率，圜积数为二率，今所得之大小径相乗之长方积为三率，求得四率为撱圜形之面积也。设如撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪，大径九尺，问小径几何？法用圜径方边相等，圜积方积不同之定率比例，以圜积一○○○○○○○○为一率，方积一二七三二三九五四为二率，今所设之撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪为三率，求得四率五十四尺为长方积，以大径九尺除之，得六尺，即撱圜形之小径也。

葢方面积与圜面积之比，既同于长方面积与撱圜形面积之比，则圜面积与方面积之比，亦必同于撱圜形面积与长方面积之比也。如甲乙丙丁撱圜形，用定率比例而得戊己庚辛长方形，其戊己长与甲丙大径等，其己庚阔与乙丁小径等，故以大径除之得小径也。如有小径求大径，则以所得长方积用小径除之而得大径也。设如圆环形，外周二十一尺三寸，内周七尺一寸，阔二尺二寸六分，求面积几何？法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸，折半得一十四尺二寸，以阔二尺二寸六分乗之，得三十二尺零九寸二十分，即圆环形之面积也。如图，甲乙丙丁圆环形，甲乙外周二十一尺三寸，丙丁内周七尺一寸，甲丙与丁乙皆二尺二寸六分。试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形，其己庚小边与甲乙大圜之戊乙半径等，庚辛大边与大圜之周界等，则己庚辛直角三角形之面积与甲乙大圜之面积等。又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬，又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行，则成己壬癸一小直角三角形，其面积与丙丁小圜之面积等。如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形，所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环形之面积等矣。故如斜尖方形求积法，以如丙丁内周之壬癸与如甲乙外周之庚辛相加，折半得丑庚，而以如丁乙阔之壬庚乗之，得子丑庚壬一长方形，与癸辛庚壬斜尖方形等，即甲乙丙丁圆环形之面积也。设如圆环形，外径二尺四寸，内径一尺二寸，求面积几何？法以外径二尺四寸求得周七尺五寸三分九厘八豪二丝有余，又以内径一尺二寸求得周三尺七寸六分九厘九豪一丝有余，乃以内径一尺二寸与外径二尺四寸相减，余一尺二寸，折半得六寸为圆环形之阔，依前法算之，得三尺三十九寸二十九分二十厘有余，为圆环形之面积也。又法以外径二尺四寸自乗得五尺七十六寸，又以内径一尺二寸自乗得一尺四十四寸，两数相减，余四尺三十二寸为方环面积，乃用方积圜积定率比例，以方积一○○○○○○○○为一率，圜积七八五三九八一六为二率，今所得之方环面积四尺三十二寸为三率，求得四率三尺三十九寸二十九分二十厘有余，即圆环形之面积也。此法葢以方环圆环为比例，即如用方积圜积定率为比例也。分而言之，则外径自乗与外大圜面积为比，内径自乗与内小圜面积为比，既得两圜面积相减，始为圆环面积，今以内外径各自乗相减，即用方积圜积定率比例，是合两比例而为一比例也。设如圆环形，外周六尺六寸，内周二尺二寸，求面积几何？法以外周六尺六寸求得径二尺一寸零八豪四丝有余，又以内周二尺二寸求得径七寸零二豪八丝有余，两径相减，余一尺四寸零五豪六丝有余，折半得七寸零二豪八丝有余，为圆环形之阔，依前法算之，得三尺零八寸一十二分三十二厘有余，即圆环形之面积也。

又法以外周六尺六寸自乗，得四十三尺五十六寸，内周二尺二寸自乗，得四尺八十四寸，两数相减，余三十八尺七十二寸，乃用圜周方积与圜积定率比例，以圜周方积一○○○○○○○○为一率，圜积七九五七七四七为二率，两周自乗相减之余三十八尺七十二寸为三率，求得四率三尺零八寸一十二分三十九厘有余，即圆环形之面积也。此法葢以两圜周自乗相减之余积与圆环积为比例，卽如用圜周方积圜积定率为比例也。分而言之，则外周自乗与外大圜面积为比，内周自乗与内小圜面积为比，既得两圜面积相减，始为圆环面积，今以内外周各自乗相减，即用圜周方积圜积定率比例，是合两比例而为一比例也。设如圆环形，面积四百六十二尺，阔七尺，求内外径各几何？法以阔七尺，除圆环面积四百六十二尺，得六十六尺，即内外周相并折半之数，为中周。乃以周求径，法求得径二十一尺零八厘四豪五丝有余，为内外径相并折半之数，为中径。加阔七尺，得二十八尺零八厘四豪五丝有余，卽外径。中径内减阔七尺，余一十四尺零八厘四豪五丝有余，即内径也。如图，甲乙丙丁圆环形，其面积四百六十二尺。甲丙与丁乙皆七尺。先所得之中周六十六尺，为戊己周。次所得之中径二十一尺零八厘四豪五丝有余，为戊己径。其甲戊与戊丙等，丁己与己乙等，故甲戊与己乙两段，戊丙与丁己两段，皆与丁乙及甲丙阔度等，是以于中径内加阔得外径，减阔得内径也。又法，先用圜积、方积定率比例，以圜积一○○○○○○○○为一率，方积一二七三二三九五四为二率，圆环积四百六十二尺为三率，求得四率五百八十八尺二十三寸六十六分六十七厘有余，为方环积。乃以阔七尺自乗，得四十九尺，以四因之，得一百九十六尺，与所得之方环积相减，余三百九十二尺二十三寸六十六分六十七厘有余，四归之，得九十八尺零五寸九十一分六十六厘有余，以阔七尺除之，得一十四尺零八厘四豪五丝有余，为内圜径。加倍阔十四尺，得二十八尺零八厘四豪五丝有余，为外圜径也。此法葢以圆环积变为方环积，卽如前法方环积变为圆环积也。如甲乙丙丁圆环形变为戊己庚辛壬癸子丑方环形，内减戊寅、壬辰、卯已、巳癸、子午、庚酉、未丑、申辛阔自乗之四正方形，余寅卯、癸壬、癸巳、午子、丑子、酉申、辰壬、丑未四长方形，四归之余寅卯、癸壬一长方形，以寅壬阔除之，得壬癸长，与丙丁内径等，加甲丙与丁乙，得甲乙即外径也。设如圆环形，面积三百零八尺，阔七尺，求内外周各几何？法以阔七尺除圆环面积三百零八尺，得四十四尺，为内外周相并折半之数，为中周。

又用径求周法，以径数一○○○○○○○○为一率，周数三一四一五九二六五为二率，阔七尺为三率，求得四率二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余，为内外周相减折半之数，为半较。乃以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相加，得六十五尺九寸九分一厘一豪四丝有余，卽外周数。以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相减，余二十二尺零八厘八豪六丝有余，即内周数也。如图甲乙丙丁圆环形，其面积三百零八尺，丁乙阔七尺。试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形，则己庚辛三角形之面积与甲乙大圜之面积等。又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬，又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行，则成己壬癸一小直角之三角形积，乃与丙丁小圜之面积等。如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形，所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环面积等矣。而癸辛庚壬斜尖方形积又与子丑庚壬长方形积等，故以如丁乙阔之壬庚除之，得丑庚为内外周相并折半之中周数。又以寅庚全径与庚辛全周之比同于丁乙圆环阔【与子丑等】与辛丑半较之比，葢丁乙为内外径相减折半之较，辛丑即内外周相减折半之较为相当比例四率也。既得辛丑与丑卯等，即辛庚外周大于丑庚中周之较，亦即癸壬内周【与卯庚等】小于丑庚中周之较。故于中周加半较得外周，减半较得内周也。设如圆环形，面积三尺三十六寸，内周一尺一寸，求外周及阔各几何？法以内周一尺一寸，用周求径法，求得内径三寸五分零一豪有余。又用周径求积法，求得内周圜面积九寸六十二分七十七厘五十豪有余，与圆环积三尺三十六寸相加，得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余，即外周圆面积。乃用圜积方积定率比例，以圜积一○○○○○○○○为一率，方积一二七三二三九五四为二率，今所得之外周圜面积三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余为三率，求得四率四尺四十寸零六分六十九厘一十七豪有余，为外径自乗之方积，开方得二尺零九分七厘七豪有余，即外径。减去内径三寸五分零一豪，余一尺七寸四分七厘六豪，折半得八寸七分三厘八豪，即圆环形之阔。又用径求周法，求得周六尺五寸九分零一豪有余，即外周数也。设如圆环形，面积三百八十四尺，外周八十八尺，求内周及阔各几何？法以外周八十八尺，用周求径法，求得外径二十八尺零一分一厘二豪有余。又用周径求积法，求得外周圜面积六百一十六尺二十四寸六十四分有余，内减去圆环积三百八十四尺，余二百三十二尺二十四寸六十四分有余，为内周圜面积。

乃用圜积方积定率比例，以圜积一○○○○○○○○为一率，方积一二七三二三九五四为二率，今所得之内周圜面积二百三十二尺二十四寸六十四分为三率，求得四率二百九十五尺七十寸五十二分九十九厘五十豪有余，即内径自乗之方积，开方得一十七尺一寸九分六厘有余，即内径。与外径二十八尺零一分一厘二豪相减，余一十尺八寸一分五厘二豪有余，折半得五尺四寸零七厘六豪，即圆环形之阔。又用径求周法，求得周五十四尺零二分二厘八豪有余，即内周数也。设如圜径一尺二寸，今截弧矢形一段，矢阔二寸四分，求▯长几何？法以矢阔二寸四分为首率，圜径一尺二寸，内减矢阔二寸四分，余九寸六分为末率，首率末率相乗，得二十三寸零四分，开方得四寸八分为中率，倍之得九寸六分，即弧矢形之▯数也。如图甲乙，圜径一尺二寸，截甲丙丁弧矢形，其甲戊为矢阔二寸四分，试自甲至丙作甲丙线，自丙至乙作丙乙线，遂成甲丙乙直角三角形，而丙戊半▯即为其垂线，故所截甲戊为首率，戊乙为末率，求得丙戊为中率【见几何原本九卷第二节，并见勾股卷定勾股无零数法中】倍之得丙丁，即弧矢形之▯也。又法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为▯，矢阔二寸四分与半径六寸相减余三寸六分为勾，求得股四寸八分，倍之得九寸六分，得弧矢形之▯数也。如图甲乙，圜径一尺二寸，折半得甲己半径六寸，与丙己等为▯，又于甲己半径六寸内减甲戊矢阔二寸四分，余戊己三寸六分为勾，求得丙戊股，倍之得丙丁为弧矢形之▯也。设如圜径一尺七寸，今截弧矢形一段，▯长一尺五寸，求矢阔几何？法以▯长一尺五寸折半得半▯七寸五分，自乗得五十六寸二十五分，为长方积。以圜径一尺七寸为长阔和，用带纵和数开方法算之，得阔四寸五分，卽矢之阔也。如图，甲乙圜径一尺七寸，截甲丙丁弧矢形，其丙丁为▯长一尺五寸。自甲至丙，自丙至乙作二线，成甲丙乙直角三角形。而丙戊为垂线，故甲戊为首率，戊乙为末率，丙戊为中率。中率自乗之正方与首率末率相乗之长方等。今以丙丁▯折半得半▯丙戊，自乗即与甲戊矢为阔，戊乙截径为长相乗之长方等。故以甲乙为长阔和，求得甲戊阔，即矢也。又法以圜径一尺七寸折半得八寸五分为▯，以▯长一尺五寸折半得七寸五分为股，求得勾四寸，与半径八寸五分相减，余四寸五分，卽矢之阔也。如图甲乙，圜径一尺七寸，折半得丙己，半径八寸五分为▯，丙丁▯一尺五寸，折半得丙戊七寸五分为股，求得戊己勾，与甲己半径相减，余甲戊卽矢之阔也。又法以圜径一尺七寸为▯，弧▯一尺五寸为股，求得勾八寸，与圜径一尺七寸相减，余九寸，折半得四寸五分，卽矢之阔也。

如图甲乙，圜径一尺七寸与丁庚等，如自丙至庚作丙庚线，则成丁丙庚直角三角形，故以丁庚为▯，丙丁为股，求得丙庚勾，与戊辛等，以戊辛与甲乙全径相减，余甲戊与辛乙两叚，折半卽得甲戊为矢之阔也。设如弧矢形，▯长一尺二寸，矢阔四寸，求圜径几何？法以矢阔四寸为首率，▯长一尺二寸折半得六寸为中率，乃以中率六寸自乗，用首率四寸除之，得九寸为圜之截径，加矢阔四寸，得一尺三寸，卽圜之径数也。如图，甲乙丙丁弧矢形，甲丙▯长一尺二寸，丁乙矢阔四寸，试继甲丁丙弧作一全圜【法见几何原本十一卷十三节】将丁乙矢线引长作丁戊全径线，又自甲至丁作甲丁线，自甲至戊作甲戊线，遂成丁甲戊直角三角形，而甲乙半▯即为其中垂线，故丁乙矢为首率，乙戊截径为末率，而甲乙半▯即为中率，故丁乙与甲乙之比同于甲乙与乙戊之比，而得乙戊截径加丁乙矢，卽得丁戊为圜之全径也。设如弧矢形，▯长八尺，矢阔二尺，求面积几何？法先用弧矢形，有▯矢，求圜径法，求得圜之全径十尺，折半得半径五尺，为一率，半▯四尺，为二率，以半径十万为三率，求得四率八万为正▯数，捡八线表得五十三度零七分四十九秒为半弧之度分，倍之得一百零六度一十五分三十八秒为全弧之度分，乃以全圜三百六十度化作一百二十九万六千秒为一率，全弧一百零六度十五分三十八秒化作三十八万二千五百三十八秒为二率，全径十尺，求得全周三十一尺四寸一分五厘九豪二丝有余为三率，求得四率九尺二寸七分二厘九豪八丝有余为全弧之数，与半径五尺相乗得四十六尺三十六寸四十九分，折半得二十三尺一十八寸二十四分五十厘为自圜心所分弧背三角形积，又于半径五尺内减矢二尺，余三尺与▯八尺相乗得二十四尺，折半得十二尺为自圜心至▯所分直线三角形积，与弧背三角形积二十三尺一十八寸二十四分五十厘相减，余一十一尺一十八寸二十四分五十厘即弧矢形之面积也。如图甲乙丙丁弧矢形，甲丙▯长八尺，丁乙矢阔二尺，甲乙为半▯四尺，试继此弧作一全圜，求得丁戊全径【解见前】折半得己丁半径，既得半径，而甲乙半▯又即为甲丁半弧之正▯，故比例得正▯数，捡表而得甲丁半弧之度分，倍之得甲丁丙全弧之度分，又甲戊丙丁全圜之度分与甲丁丙全弧之度分之比，同于甲戊丙丁全周之尺寸与甲丁丙全弧之尺寸之比，而得甲丁丙全弧之数，与己丁半径相乘，折半即得甲己丙丁弧背三角形之面积，又于丁己半径内减丁乙矢，余乙己为截半径，与甲丙▯相乘，折半得甲己丙直线三角形面积，与甲己丙丁弧背三角形面积相减，余即甲乙丙丁弧矢形之面积也。

设如圜形截弧矢一段，所截弧度一百二十度，弧界长二尺二寸，求圜径及▯长、矢阔各几何？法以截弧一百二十度为一率，全圜三百六十度为二率，截弧二尺二寸为三率，求得四率六尺六寸为圜之周数。用圜周求径法，求得圜径二尺一寸零八豪四丝有余。乃以半径十万为一率，截弧一百二十度折半得六十度，查正▯得八万六千六百零三，倍之得一十七万三千二百零六，即一百二十度之通▯为二率。今所得之圜径二尺一寸零八豪四丝有余，折半得一尺零五分零四豪二丝有余，为三率，求得四率一尺八寸一分九厘三豪九丝有余，卽弧矢形之▯数。又以半径十万为一率，六十度之余▯五万与半径十万相减余五万，卽六十度之正矢为二率。今所得之半径一尺零五分零四豪二丝有余为三率，求得四率五寸二分五厘二豪一丝有余，即弧矢形之矢数也。如图甲乙丙丁圜形，截甲乙戊丁弧矢形一段，知乙甲丁弧一百二十度，又知乙甲丁弧界为二尺二寸，求甲丙全径及乙丁▯甲戊矢，则以乙甲丁弧一百二十度与甲乙丙丁全圜三百六十度之比，卽同于乙甲丁弧界二尺二寸与甲乙丙丁全圜界六尺六寸之比也。旣得全周，求得甲丙全径，折半于己心，自己至乙作己乙半径线，则乙戊卽如六十度之正▯乙丁卽如一百二十度之通▯甲戊即如六十度之正矢。故以半径十万与一百二十度之通▯一十七万三千二百零六之比，卽同于己乙半径一尺零五分零四豪二丝有余与乙丁全▯一尺八寸一分九厘三豪九丝有余之比。又半径十万与六十度之正矢五万之比，卽同于己乙半径与甲戊矢五寸二分五厘二豪一丝有余之比也。设如圜形截弧矢一段，任自弧界一处对圜心至▯作一斜线，长一尺二寸，将全▯分为大小两段，大段长一尺八寸，小段长一尺六寸，问圜径几何？法以所作之斜线一尺二寸为一率，截▯小段一尺六寸为二率，大段一尺八寸为三率，求得四率二尺四寸，为自截▯处过圜心至圜对界之线，将此线与所作之斜线一尺二寸相加，得三尺六寸，卽圜径也。如图甲乙丙丁圜形，截甲乙丁弧矢形，任自圜界甲对圜心戊至乙丁▯上作甲己斜线，将乙丁▯分为乙己、己丁两段，乙己小段一尺六寸，己丁大段一尺八寸，试将甲己斜线引长过圜心至圜对界丙作甲丙线，又自甲至乙作甲乙线，复自丁至丙作丁丙线，遂成甲己乙、丁己丙两同式三角形【乙角对甲丁弧，丙角亦对甲丁弧，甲角对乙丙弧，丁角亦对乙丙弧，两己角为对角，故两三角形为同式形也】故以甲己与乙己之比，即同于己丁与己丙之比，既得己丙与甲己相加，卽得甲丙为圜径也。设如圜形截弧矢一段，任自弧界一处至▯作一垂线，长一尺二寸，将全▯分为大小两段，其大段长三尺，小段长一尺，问圜径几何？

法以所作垂线一尺二寸为一率，截▯小段一尺为二率，大段三尺为三率，求得四率二尺五寸，为自截▯处至圜对界之直线。乃以此线与所作之垂线一尺二寸相加，得三尺七寸为股；以截▯小段一尺与大段三尺相减，余二尺为勾，求得▯四尺二寸，卽圜径也。如图，甲乙丙丁圜形，截甲乙丁弧矢形，任自弧界甲至乙丁▯上作甲戊▯线，长一尺二寸，将乙丁▯分为乙戊、戊丁两叚，乙戊小段一尺，戊丁大叚三尺。试将甲戊▯线引长至圜对界丙，作甲丙线；又自甲至乙作甲乙线，复自丁至丙作丁丙线，遂成甲戊乙、丁戊丙两同式三角形【乙角对甲丁弧，丙角亦对甲丁弧；甲角对乙丙弧，丁角亦对乙丙弧；两戊角俱为直角，故两三角形为同式形也】故以甲戊与戊乙之比同于丁戊与戊丙之比，既得戊丙与甲戊相加，即得甲丙。又以乙戊【同己丁】与戊丁相减，余戊己与甲庚等，乃自甲至庚作甲庚线，与乙丁平行，则甲角为直角，必立于圜界之一半。又自庚至丙作庚丙线，则又成庚甲丙勾股形，故以庚甲为勾，甲丙为股，求得庚丙▯，即圜径也。设如一大圜形，内容四小圜形，但知大圜形径一尺二寸，求小圜形径几何？法以大圜形径一尺二寸，自乘倍之，开方得一尺六寸九分七厘零五丝有余，内减大圜形径一尺二寸，余四寸九分七厘零五丝有余，即小圜形径也。如图，甲大圜形内容乙、丙、丁、戊四小圜形，试切甲大圜形界，作己庚辛壬正方形，其方边即大圜形全径。用方边求斜▯法，求得壬庚、己辛两斜▯，即成己甲壬、己甲庚、庚甲辛、壬甲辛四勾股形，内各容一小圜形，而四方边遂为四勾股形之各▯。两斜▯各折半，遂各为四勾股形之各勾股。任取一勾股和减▯，即得容圜全径也【觧见勾股容圜法中】设如一大圜形，内容四小圜形，但知小圜形径五寸，求大圜形径几何？法以小圜形径五寸自乘倍之，开方得七寸零七厘一豪有余，加小圜形径五寸，得一尺二寸零七厘一豪有余，即大圜形径也。如图，甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形，试连四小圜形中心作乙丙、丙丁、丁戊、戊乙四线，遂成乙丙丁戊一正方形，用方边求斜▯法，求得乙丁斜▯，加己乙与丁庚两半径【即一小圜形之全径】即得己庚大圜形全径也。设如一大圜形，内容三小圜形，但知大圜形径一尺二寸，求内容小圜形径几何？法以大圜形径一尺二寸，求得外切三角形之每边为二尺零七分八厘四豪六丝有余。乃以大圜形径一尺二寸为三角形之两腰，半径六寸为中埀线，用三角形容圜法，求得容圜半径二寸七分八厘四豪六丝有余，倍之得五寸五分六厘九豪二丝有余，卽小圜形全径也。

如图，甲大圜形内容乙丙丁三小圜形，试求外切甲大圜界戊己庚三角形。自圜心甲至戊己庚三角各作一分角线，皆与圜之全径等，卽成戊甲己、己甲庚、戊甲庚三三角形内各容一小圜形。故任以两全径为两腰，一半径为中▯线，用三角形容圜法算之，卽得一小圜径也。设如一大圜形，内容三小圜形，但知小圜形径五寸，求大圜形径几何？法以小圜形径五寸为等边三角形之每一边，用等边三角形求外切圜形全径法，求得外切圜径五寸七分七厘三豪五丝有余，加小圜全径五寸，得一尺零七分七厘三豪五丝有余，卽大圜形。全径也如图甲，大圜形内容乙、丙、丁三。小圜形试连三小圜形，中心作乙丙，乙。丁丙丁三线遂成乙丙丁等边三角形。其毎边皆与小圜全径等，又切乙丙丁。三角作一圜形，用等边三角形求外切。圜形全径法【解见三角形卷】求得乙戊径线，加己、乙与戊、庚两半径【即一小圜形之全径】卽得己。

庚大圜形全径也御制数理精蕴下编卷二十<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书